APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES PRIMAIS-DUAIS AO PROBLEMA DE PRÉ-DESPACHO DE UM SISTEMA HIDROTÉRMICO

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1 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE PONTOS INTERIORES PRIMAIS-DUAIS AO PROBLEMA DE PRÉ-DESPACHO DE UM SISTEMA HIDROTÉRMICO Aurelo Rbero Lee de Olvera IMECC - UNICAMP - CP 6065, Campnas-SP aurelo@me.uncamp.br Roy Wlhelm Probs IMECC - UNICAMP - CP 6065, Campnas-SP roy@me.uncamp.br RESUMO Os méodos de ponos nerores prmas-duas são desenvolvdos para o problema de mnmzação das perdas na eração e ransmssão do pré-despacho DC de um ssema de poênca hdroérmco e a esruura marcal resulane explorada obendo uma mplemenação efcene. No pré-despacho de ssemas hdroérmcos, as usnas hdroelércas êm uma mea a cumprr em um deermnado da, esabelecda pelo planejameno de lono prazo. As usnas ermoelércas, por sua vez, apresenam resrções de rampa pos necessam de um deermnado empo ano para aumenar quano para reduzr sua produção de enera. A mplemenação dos méodos de ponos nerores desenvolvdos é comparada com uma mplemenação para o problema de pré-despacho que não consdera as resrções em rampas, no que dz respeo à qualdade da solução e a efcênca compuaconal. Palavras-Chaves: Méodos de Ponos Inerores, Ssemas Hdroérmcos, Ssemas de Poênca. ABSTRACT The prmal-dual neror pons mehods are developed for he eneraon and ransmsson losses opmzaon problem for a DC power flow model n a hydrohermal power sysem and he resuln marx srucure s exploed leadn o an effcen mplemenaon. In shor erm hydrohermal scheduln, he hydro eneran uns need o sasfy daly ares, esablshed by lon-erm scheduln models. The hermal eneran uns have rampn consrans because hey need a ceran amoun of me o chane de level of enery producon. The mplemenaon of he neror pons developed s compared wh an mplemenaon o a shor erm hydrohermal scheduln ha does no consder rampn consrans, wh respec o qualy soluon and compuaonal effcency. Keywords: Ineror Pons Mehods, Hydrohermal Sysems, Power Sysems.. Inrodução A mnmzação de perdas no pré-despacho de um ssema de poênca hdro-érmco é um problema de planejameno operaconal de curo prazo. O objevo consse em mnmzar as perdas na eração e ransmssão do ssema de poênca. Nesa aplcação, curo prazo snfca a operação horára durane um da ou uma semana. O problema de pré-despacho em apenas um nervalo de empo pode ser formulado como um modelo esáco. Já o modelo dnâmco é a exensão desa formulação para cada nervalo de empo, acrescenando as resrções de acoplameno referene às meas e às rampas. O problema de fluxo de cara ómo DC é esudado em [4,6] e a esruura marcal do modelo explorada resulando em uma mplemenação basane rápda e robusa. Ese rabalho por sua vez fo esenddo em [5] para o problema de pré-despacho sem a consderação das resrções em rampa. O problema de pré-despacho para ssemas puramene érmcos é abordado em []. Nese rabalho são desenvolvdos os méodos de ponos nerores prmas-duas para o problema de pré-despacho, e a esruura marcal resulane explorada obendo uma mplemenação efcenemene do méodo desenvolvdo. Os resulados obdos são comparados quano a qualdade da solução e efcênca compuaconal com a mplemenação do modelo de pré-despacho exsene [5] que não

2 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável consdera resrções em rampa. 2. Modelo de Fluxo de Poênca Óma DC O modelo de pré-despacho hdroérmco para um ssema de poênca com m barras, n lnhas de ransmssão e eradores pode ser expresso como o seune problema de fluxo em redes [2]: mnα f Rf + β pqp + cp 2 2 = = sa. Af Ep = l =,, Tf = 0 =,, mn f f f =,, mn p p p =,, p d p p + d =,, + + p = q = onde: n f R represena o veor de fluxo de poênca ava; p R represena o veor de eração de poênca ava; n n R R represena a marz daonal das ressêncas das lnhas; Q R represena a marz daonal da componene quadráca do cuso de eração; c R represena a componene lnear do cuso de eração; m n A R represena a marz de ncdênca da rede de ransmssão; m E R represena a marz formada pelos veores canôncos correspondenes às barras de eração; ( n m+ n T R represena a marz de reaânca da rede de ransmssão; m l R represena o veor demanda de poênca ava; mn mn f, f, p e p são os veores de lmes de fluxo e de eração de poênca ava; d represena a varação de enera permda em cada usna ermoelérca; q represena a mea de eração de enera das usnas hdroelércas para o horzone em esudo; α e β são ponderações dos objevos a mnmzar. mn mn Embora os veores f, f, p, p, d e c e as marzes R, Q, A, E e T envolvdas no modelo não varem com o empo, esa noação se faz necessára emporaramene.. Técnca de Solução Para smplfcar o desenvolvmeno do méodo faremos as seunes alerações no modelo: mn Mudanças de varáves f % mn = f f e p % = p p ; mn Mudanças dos veores f % mn = f f e p % = p p ; Inrodução da varável h = p p +. Com esas alerações, obemos o seune problema: 90

3 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável mnα sa. A E = l =,, f% R f% + c f f% + β p% Q p% + cp p% = 2 = 2 a f% p% b f% = =,, f% f% =,, p% p% =,, T l 0 0 h% p% + p% + = d =,, 0 h% 2d =,, = p% = q% mn mn a mn mn b mn mn onde cf = R f, cp = c + Qp, l = Ep l A f, l = T f e q% = q p =. Inroduzndo as varáves de fola (por smplcdade de noação elmnamos os ls obemos: mnα f Rf + c f f + β p Qp + cpp 2 2 a sa. Af Ep = l Tf = lb Bp= q h Cp= d f + s = f p+ s 2= p h+ s= 2d ( f, phss,,, s 0 onde f, p, c f, c p, 2 p são veores do po a b l, l, f e f = ( f,, f ; h e d são veores do po h= ( h,, h ; R, Q, A, E e T são marzes bloco daonas do po R = da( R, s, R ; B = [ II I] e I I 0 L 0 0 I I 0 L C = I L 0. M M M O M 0 L I Tano as varáves de fola como as varáves esruuras do problema devem ser não neavas; esas resrções de não neavdade podem ser mposas adconando uma função de barrera loarímca []. O Laraneano desde problema é dado por: 902

4 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável L= α f Rf + cf f + β pqp+ cpp y ( Af Ep l + y ( Tf l + y ( Bp q + y ( h Cp d a b w ( f + s f + w ( p+ s p + w ( h+ s 2 d 2 2 n ( μ (ln p + ln s + (ln ln 2 (ln ln f + s + h + s. = = = As condções necessáras de KKT para problemas de proramação não lnear aranem que as dervadas parcas do Laraneano se anulam na solução óma. Inroduzndo as varáves z μf = e, z2 μp = e e z = μh e, onde e represena o veor em que odos os elemenos em valor unáro e a noação F = da( f para marzes daonas é ulzada, obemos as condções de omaldade do problema perurbado: a Af Ep = l b Tf = l Bp= q h Cp= d Facbldade prmal f + s = f p+ s 2= p h+ s= 2d ( f, phs,,, s2, s 0, Facbldade dual Ay+ T y2 + w z+ αrf= αcf Ey+ By Cy4+ w2 z2+ βqp= βcp y4+ w z= 0 ( z, z2, w, w2, w 0, Complemenardade FZe PZ2e HZe SWe SWe 2 2 SWe... Méodo de Ponos Inerores Prmal-Dual O méodo de ponos nerores prmal-dual pode ser desenvolvdo aravés da aplcação do méodo de Newon às condções de omaldade [7]. O méodo pare de um pono esramene posvo e não perme que as varáves se ornem neavas. Obemos assm o seune méodo onde ulzamos os veores x = ( f, phs,,, s2, s e v= ( z, z2, z, w, w2, w : 90

5 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável Méodo Prmal-Dual Dados ( x, v > 0 e Para k = 02,,,, faça 0 y k γ ( Escolha σ [0, e faça μ = σ( onde, u é a dmensão do veor x e γ k = ( x k v k. k k k (2 Calcule a dreção de Newon ( Δx Δv Δ y.,, ( Calcule o amanho dos passos prmal e dual para permanecer em um pono k k k k k neror α = mn(, τρ, τρ2 onde τ (0,, ρ = k k e ρ = k k. k u mn ( Δ x / x 2 mn ( Δ v / v k + k + k + k k k k k k k (4 Calcule o novo pono ( x, v, y = ( x, v, y + α ( Δ x,δ v,δ y. Os parâmeros σ e τ e o pono ncal serão dscudos mas adane. A dreção de Newon é defnda pelo seune ssema lnear: O índce k será desconsderado a parr de aora para evar uma noação muo carreada. onde os resíduos são dados por AΔf EΔ p= r TΔ f= r2 BΔ p= r Δh CΔ p= r4 Δ f+δ s= r5 Δ p+δ s2= r6 Δ h+δ s = r 7 AΔ y+ TΔ y2+δw Δ z+ αrδ f= r β 9 EΔ y+ BΔy CΔ y +Δw Δ z + QΔ p= r Δ y4+δw Δ z= r 0 FΔ z+ ZΔ f= r PΔ z2+ Z2Δ p= r2 HΔ z+ ZΔ h= r SΔ w+ WΔ s= r4 S2Δ w2+ W2Δ s2= r 5 SΔ w+ WΔ s= r 6 904

6 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável a r = l Af + Ep b r2 = l Tf r = q Bp r4 = d h+ Cp r5 = f f s r6= p p s2 r7= 2d h s r 8= αcf A y T y2 w+ z αrf r9 = βcp + E y B y+ C y4 w2 + z2 βqp r0 = y4 w + z r FZe r2 PZ2e r HZe r4 SWe r5 S2W2e r 6 SW e..2. Dealhes de Implemenação Nesa seção são apresenados os parâmeros de mplemenação. Os seunes parâmeros em valor fxo: τ = e σ = u. O seune pono ncal fo adoado: f f = s = 2 p p = s2 = 2 h = s = d z = w = ( R+ I e z = w = e 2 2 z = w = e y = y = y = y = Resolução do Ssema Lnear A marz do ssema do méodo prmal-dual pode er sua dmensão snfcavamene reduzda aravés da elmnação de varáves sem modfcar sua esruura esparsa. Prmeramene subsuímos as varáves de fola prmas e duas: 905

7 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável Δ s = r Δf 5 Δ s = r Δp 2 6 Δ s = r Δh 7 Δ z = F ( r Z Δf Δ z = P ( r Z Δp Δ z = H ( r Z Δh Δ w = S ( r WΔs 4 Δ w = S ( r W Δs Δ w = S ( r W Δ s. 6 Com esas subsuções, o ssema se reduz a AΔf EΔ p= r TΔ f= r2 BΔ p= r Δh CΔ p= r4 AΔ y + T Δ y2+ DΔ f= r 5 % E Δ y + B Δ y C Δ y4 + D2 Δ p = r% Δ y4 + DΔ h= r% 7 onde D = S W + F Z + α R D = S W + P Z + βq D = S W + H Z 5 r8 S r4 S Wr 5 F r% = + + r 6 r9 S 2 r5 S 2 W2r6 P r% = + + r2 r 7= r0 S r6 + S Wr7 + H % r. Somene nversas de marzes daonas são envolvdas. Aora as varáves prmas podem ser elmnadas: Δ f = D ( r% 5 AΔy T Δy reduzndo o ssema para 2 Δ p = D ( + E Δy B Δ y + C Δy 2 r% 6 4 Δ h= D ( Δy r% onde ( AD A ED2 E Δy AD T Δ y2 + ED2 B Δy ED2 C Δ y4 = r% TD A Δy TD T Δ y2 = r% 2 BD2 E Δy BD2 B Δ y+ BD2 C Δ y4 = r% CD2 E Δ y+ CD2 B Δ y+ ( D CD2 C Δ y4 = r% 4 906

8 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável r% = r AD r% + ED r% r% = r TD % 2 2 r5 r% = r BD % 2 r6 r% = r D r% + CD r% Resulados Numércos Todos os ese foram realzados ulzando a lnuaem de proramação MATLAB 7.0 em um ssema operaconal Lnux, processador Inel Celeron 2.0GHz. A precsão adoada é de 0. mn Em odos os expermenos foram adoados os valores f = f para as lnhas de ransmssão e p = 0 para os eradores. Somene funções quadrácas puras foram ulzadas, ou seja, c = 0, e os mn coefcenes quadrácos são os mesmos para odos os eradores. O ssema de ese ulzado fo o IEEE0. Nos prmeros expermenos os lmes de eração e ransmssão foram escolhdos de al forma que na omaldade não exsam resrções de capacdade avas. Para odos os eradores foram esabelecdas meas (embora na práca esas resrções se aplquem apenas às usnas hdroelércas e rampas (embora esas resrções sejam mas mporanes para as usnas ermoelércas. No caso somene as perdas de ransmssão são consderadas ( α = e β = 0, no caso 2 somene os cusos de eração são consderados ( α = 0 e β = e no caso ambos são consderados ( α = β =. Os próxmos expermenos vsam esar o desempenho do méodo em suações mas resras consderando perdas de ransmssão e cusos de eração. No caso 4 odas as ses usnas foram desnadas com um lme p de forma que uma das resrções de capacdade eseja ava. No caso 5 a varação de enera permda em cada usna d fo fxada de al forma que uma das resrções de rampa eseja ava. No caso 6 os dos casos anerores foram consderados em conjuno. A abela a seur resume os resulados obdos nos város casos quano ao número de erações e esforço compuaconal em város períodos de empo. Caso Ier. Tempo Caso Ier. Tempo 6 5 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,52 Tabela. Número de Ierações e Tempo de CPU (se. 907

9 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmeno Susenável 6. Conclusões e Trabalhos Fuuros Nese rabalho o problema de pré-despacho de um ssema de poênca hdroérmco é formulado como um problema de fluxo em redes e o modelo resulane é resolvdo por méodos de ponos nerores prmas-duas. Uma caracerísca a ser desacada pelo méodo de ponos nerores é a robusez. Mesmo para problemas basane sobrecarreados, o méodo convere bem, sem apresenar nsabldade numérca com uma precsão maor que a necessára em uma aplcação práca. Já quano à velocdade, o méodo apresenado anda não é compevo com o problema que não consdera as resrções de rampa [5]. Iso pode ser explcado pos a esruura marcal não é oalmene explorada. Em rabalhos fuuros serão exploradas as esruuras parculares das marzes B e C para elmnar as varáves Δ y e Δ y4 do ssema a ser resolvdo. Elmnando esas varáves, a dmensão do ssema é reduzda e o problema resulane pode ser formulado como um ssema smérco defndo posvo, loo pode ser resolvdo ulzando a faoração de Cholesky, o que dmnu o esforço compuaconal. Esa nova mplemenação será ulzada para resolução de problemas de rande pore do ssema naconal braslero. Aradecmenos Ese rabalho fo fnancado pela FAPESP - Fundação de Amparo à Pesqusa do Esado de São Paulo e pelo CNPq - Conselho Naconal de Desenvolvmeno Cenífco e Tecnolóco. References [] M.S. BAZARAA, H.D. SHERALI e C.M. SHETTY, Nonlnear Prorammn: Theory and Alorhms, John Wlley & Sons, Inc., 979. [2] M.F. CARVALHO, S. SOARES e T. OHISHI, Opmal acve power dspach by nework flow approach, IEEE Transacons on Power Sysems, (988, pp [] G. IRISSARI, L.M. KIMBALL, K.A. CLEMENTS, A. BAGCHI e P.W.DAVIS, Economc dspach wh nework and rampn consrans va neror pon mehods, IEEE Transacons on Power Sysems, (998, pp [4] A.R.L. OLIVEIRA, L. NEPOMUCENO e S. SOARES, Opmal acve power dspach combnn nework flow and neror pon approaches, IEEE Transacons on Power Sysems, 8 (200, pp [5] A.R.L. OLIVEIRA, L. NEPOMUCENO e S. SOARES, Shor erm hydroelerc scheduln combnn nework flow and neror pon approaches, Elecrcal Power & Enery Sysems, Vol. 27, (2005, pp [6] A.R.L. OLIVEIRA e S. SOARES, Méodos de ponos nerores para problema de fluxo de poênca ómo DC, SBA: Conrole & Auomação,4 (200, pp [7] S.J. WRIGHT, Prmal-Dual Ineror-Pon Mehods, SIAM Publcaons, SIAM, Phladelpha, PA, USA,