TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR PARA OTIMIZAÇÃO DE GRANDE PORTE. Veranise Jacubowski Correia Dubeux

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1 TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR PARA OTIMIZAÇÃO DE GRANDE PORTE Veranse Jacubows Correa Dubeu TESE SUMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Aprovada por: Prof. José Hersovs Norman, D. In. Prof. Alfredo Roca de Fara, P. D. Prof. Álvaro Luz Gayoso de Azevedo Couno, D. Sc. Prof. Anaol Leonev, D. Sc. Prof. Fernando Perera Duda, D. Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - RASIL MARÇO DE 5

2 DUEUX, VERANISE JACUOWSKI CORREIA Técncas de Proramação Não Lnear para Omzação de Grande Pore [Ro de Janero] 5 XV, p. 9,7 cm COPPE/UFRJ, D.Sc., Enenara Mecânca, 5 Tese - Unversdade Federal do Ro de Janero, COPPE.. Omzação Não Lnear. Problemas de Mínmos Quadrados com Resrções 3. Méodos eravos I. COPPE/UFRJ II. Tíulo sére

3 A Deus e a mna flna Lusa.

4 Aradecmenos Ao professor Hersovs, pela orenação e pelo rande apoo para a realzação dese rabalo. À CAPES e à FAPERJ pelo apoo fnancero. Ao professor e conselero Eml Sáncez, pela amzade e por er me ensnado a mporânca da pesqusa. Aos randes amos Alfredo Canelas, Paulo Mappa e Evandro Goular, aos quas devo o apoo écnco, a pacênca e o ncenvo. Ao apoo dos ouros coleas do Laboraóro Opmze: Sandro, Passarela, Mosés, Muel, Gabrel e Marcelo. Ao pessoal admnsravo do Prorama de Mecânca. Aos meus querdos pas, Ademr e Luca, e ao meu mardo eo pelo ncenvo e carno. Ao apoo sempre nesoável das amas Elana e Vvane. Às pessoas que colaboraram de forma drea ou ndrea, por meo de ncenvo, confança e roca de eperêncas. Em especal para as mnas randes amas: Carmem Mena, Mara Cláuda, a, Mara Helena, Paríca, Lucmar, Adrana, Lea Mara e Cína. v

5 Resumo da Tese apresenada à COPPE/UFRJ como pare dos requsos necessáros para a obenção do rau de Douor em Cêncas D. Sc. TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR PARA OTIMIZAÇÃO DE GRANDE PORTE Veranse Jacubows Correa Dubeu Março /5 Orenador: José Hersovs Norman Prorama: Enenara Mecânca Ese rabalo apresena duas écncas, para resolver problemas não lneares de omzação de rande pore, que foram nerados ao FAIPA Feasble Arc Ineror Pon Alorm. A prmera écnca, baseada no méodo de Gauss-Newon, resolve problemas de mínmos quadrados com resrções de ualdade e desualdade. No desenvolvmeno da aplcação desse alormo são apresenados aluns resulados com problemas enconrados na leraura, e comparados com a versão quase-newon ornal do FAIPA. Descreve-se uma aplcação de denfcação de parâmeros de maeras, verfcando-se que o alormo mosrou-se efcene e robuso. A oura écnca é um méodo eravo para resolução de ssemas lneares randes e mal condconados. As déas báscas que fundamenam o desenvolvmeno dessa écnca esão alcerçadas no méodo de radene conjuado precondconado e na écnca quase-newon de memóra lmada para efeuar o precondconameno. Um esudo do cuso compuaconal das operações e a resolução de eemplos numércos foram realzados mosrando que esse alormo eve um bom desempeno, e por sua vez ornando essa écnca erava uma écnca válda. v

6 Absrac of Tess presened o COPPE/UFRJ as a paral fulflmen of e requremens for e deree of Docor of Scence D. Sc. NON-LINEAR PROGRAMMING TECHNIQUES FOR LARGE SCALE OPTIMIZATION PROLEMS Veranse Jacubows Correa Dubeu Marc /5 Advsor: José Hersovs Norman Proram: Mecancal Enneern Ts wor presens wo ecnques o solve non-lnear lare scale opmzaon problems a were neraed no FAIPA Feasble Arc Ineror Pon Alorm. Te frs ecnque, based on Gauss-Newon meod, solves leas square problems w equaly and nequaly consrans. Some resuls for problems avalable n e leraure are presened and compared w e ornal quas-newon verson of FAIPA. One applcaon reardn denfcaon of maeral parameers s descrbed o aes a e alorm s very robus and effcen. Te oer ecnque s an erave meod for soluon of lare, ll condoned lnear sysems. Te deas for s ecnque are based on e conjuaed precondoned raden meod and as e lmed memory quas-newon ecnque for precondonn. Te sudy of compuaonal cos of e operaons and e numercal eamples sow e ood performance of s ecnque. v

7 Índce - Inrodução - FAIPA: Alormo de Ponos Inerores de Arcos Váves 7. - Problema de Proramação Não Lnear 7. - O Alormo de Ponos Inerores de Arcos Váves Técnca para Solução de Problemas de Mínmos Quadrados com Resrções Não Lneares Noas Incas Problemas de Mínmos Quadrados Sem Resrções Méodos Ieravos para Solução de Problemas de Mínmos Quadrados Sem Resrções Méodo de Gauss-Newon Méodo de Levenber-Marquard Méodo de Gauss-Newon com Apromação Quase-Newon 7 Newon Méodo Tpo Levenber-Marquard com Apromação Quase- 8 v

8 3.4 - Problemas de Mínmos Quadrados com Resrções Teses Numércos 4 - Técnca Quase-Newon de Memóra Lmada Noas Incas Méodos de Aualzação da Marz Quase-Newon Técnca de Memóra Lmada Produo v Produo u v Produo H v Produo u H v Análse da Compledade Compledade da Aualzação FGS da Marz Quase-Newon Compledade da Aualzação da Marz Quase-Newon pela Técnca de Memóra Lmada 5 - Méodo do Gradene Conjuado Precondconado pela Marz Quase- Newon de Memóra Lmada Noas Incas Méodo do Gradene Conjuado Méodo do Gradene Conjuado Precondconado Gradene Conjuado Precondconado pela Marz Quase-Newon de Memóra Lmada 47 v

9 6 - Resolução dos Ssemas Lneares Inernos do FAIPA Noas Incas Ssemas Lneares Inernos do FAIPA Cuso Compuaconal para Monar a Marz do Ssema Dual Resolução do Ssema Dual Alormo para Resolução dos Ssemas Inernos do FAIPA Resulados Numércos Eemplos Numércos Obdos com a Aplcação da Técnca do Gradene Conjuado Precondconado pela Marz Quase-Newon de Memóra Lmada Análse dos Resulados e Connudade da Pesqusa 94 Referêncas bloráfcas 96

10 Lsa de Furas. - Arco vável Número de erações com o FAIPA_QN e FAIPA_LSP Gano percenual do número de erações do FAIPA_LSP em relação ao FAIPA_QN Número oal de erações para as marzes com condconameno lnear - 8 pares Número oal de erações para as marzes com condconameno lnear - 6 pares Número oal de erações para as marzes com condconameno lnear - 3 pares Número oal de erações para as marzes com condconameno quadráco - 8 pares Número oal de erações para as marzes com condconameno quadráco - 6 pares Número oal de erações para as marzes com condconameno quadráco - 3 pares Gráfco que relacona a compledade de empo para monar a marz com e sem a écnca de memóra lmada

11 6. - Gráfco que relacona a compledade de espaço para monar a marz, com e sem a écnca de memóra lmada Número médo de erações para resolver o ssema dual com os méodos: GCP_ML e GCP Gano percenual do número médo de erações do GCP_ML em relação GCP

12 Lsa de Tabelas 3.. Resulados numércos dos problemas desenvolvdos por Hoc- Scows e do problema lnear de mínmos quadrados com resrções de ualdade Propredades lobas denfcadas e resulados dados pelo eensômero Propredades denfcadas por maeral Freqüêncas epermenas e resíduos obdos após a denfcação de cada 9 fase Compledade de empo e de espaço - LAS Compledade de empo da aualzação FGS da Eq Compledade de empo da aualzação FGS da Eq Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 8 pares. 5

13 5.4 - Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Lnear - Número de Condconameno, com 3 pares. 59

14 5.6 - Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 8 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 6 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 3 pares. 66 v

15 5.8 - Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 3 pares Teses Numércos com marz com Condconameno Quadráco - Número de Condconameno, com 3 pares Cuso para monar a marz dual ulzando a écnca de memóra lmada Comparação GCP e GCP_ML com e sem a escola dos pares Tempo necessáro para resolver o problema Políono 5, 5, 75 e ulzando GCP_ML 3 pares. 9 v

16 CAPÍTULO Inrodução A omzação raa do problema da busca da melor alocação de um conjuno lmado de recursos, escolendo a alernava que mamze ou mnmze um deermnado faor, denre odas aquelas que sasfazem ceras resrções. A omzação é aplcada em numerosas áreas de conecmeno, nclundo: esão de cadeas de suprmeno planejameno, produção, dsrbução; ranspore roeros, esão de froas e rpulação; ndúsra peroquímca aqusção de maeras, projeo e operação de refnaras, dsrbução; aplcações mlares loísca, alocação de pessoal, operações de uerra; fnanças operação de careras, esão de recursos fnanceros; omzação do projeo de esruuras, veículos erresres, marímos e aeroespacas, equpamenos para dversas ndúsras de processameno e projeo ómo, em eral. A busca de melores soluções é um dos randes objevos da enenara, que em, cada vez mas, nvesdo na área de omzação para que seja possível aplcar esa ferramena em problemas de rande pore. Há um rande neresse em se desenvolver

17 alormos de omzação efcenes e robusos, de modo a aender a uma ama crescene de necessdades umanas. Os problemas de omzação podem ser classfcados em dos randes rupos: proramação nera e proramação conínua. Na proramação nera os parâmeros do problema são escoldos denre um número fno de valores neros, enquano que na proramação conínua, os parâmeros assumem quasquer valores numa reão do espaço. A proramação conínua é abualmene dvdda em proramação lnear e proramação não lnear, NOCEDAL, 999. Ressala-se que a ulzação comercal de sofwares baseados em proramação maemáca conínua esá quase oalmene lmada à proramação lnear. O movo é que desde o século passado, esem sofwares comercas que são muo robusos e efcenes para proramação lnear, baseados no méodo SIMPLEX. Ese é um méodo eravo de converênca fna, ou seja, que enconra a solução após uma quandade fna de erações LUENERGER, 984. Os códos para problemas não lneares com resrções são eravos de converênca nfna. Desde meados da década de 7, a maora dos alormos maemácos se basea no méodo de proramação quadráca sucessva SQP - Succesve Quadrac Prorammn Meod AZARAA e al., 993, HAN, 977, WRIGHT, 997 e POWELL, 983. Esa écnca é basane robusa em aplcações prácas, porém em problemas de poucas varáves e resrções. O méodo SQP requer a cada eração a solução de um subproblema nerno que consse na mnmzação de uma função quadráca com resrções lneares denomnado prorama quadráco QP. O empo de compuação e a memóra necessára para a solução do prorama quadráco são alamene crescenes em função do número de varáves do problema. Por ese movo o méodo de SQP é vável somene para aplcações com aé uma ou duas cenenas de varáves. Em város eemplos ambém, observa-se a nerrupção do processo eravo, causada pela não esênca de solução do prorama quadráco. Em aplcações com alo rau de não-lneardade, a converênca do SQP pode ser muo lena. Esem écncas que ncremenam a velocdade de converênca do SQP, porém esas requerem a solução de um prorama quadráco adconal, em cada eração, LUENERGER, 984.

18 Desde 985 á um ncremeno do número de pesqusas sobre méodos eravos de converênca nfna para proramação lnear, os quas são conecdos como méodos de pono neror. A parr de um pono ncal no neror da reão vável, os alormos de pono neror eram uma seqüênca de ponos váves que converem para a solução. Foram desenvolvdas eoras que mosram que esas écncas são muo mas efcenes que o méodo SIMPLEX em problemas com muas varáves WRIGHT, 997. A proramação não lnear em um campo muo mas amplo de aplcações, conudo, aé o presene momeno não foram desenvolvdas écncas sufcenemene confáves. Na maora dos problemas prácos só fo possível resolver problemas de um amano muo aquém do necessáro. Ese rabalo basea-se no FAIPA Feasble Arc Ineror Pon Alorm, desenvolvdo por HERSKOVITS 995, 998a e 998b. Traa-se de um alormo de ponos nerores que resolve o problema eral de omzação não-lnear, fazendo erações nas varáves de projeo e nos mulplcadores de Larane para resolver as condções de omaldade de Karus-Kun-Tucer. O FAIPA em se mosrado confável e efcene na solução de problemas de médo e pequeno pore. Esas caraceríscas o qualfcam como alormo base dese rabalo, onde o objevo é resolver problemas do pore requerdo pelas aplcações auas. O FAIPA é ulzado em ndúsras de prmera lna, assm como em unversdades e randes cenros de pesqusa. O FAIPA apresena uma mporane vanaem quando comparado com o SQP. Desacando-se que, no luar do prorama quadráco, o FAIPA resolve em cada eração rês ssemas lneares com a mesma marz de coefcenes. Esa caracerísca perme aumenar de forma consderável o amano dos problemas que podem ser resolvdos, pos é possível aprovear numerosas écncas para resolver ssemas lneares, em compuadores seqüencas ou paralelos. Oura vanaem é que a busca no arco fea no FAIPA eva o efeo Maraos MARATOS, 978. Nese rabalo faz-se o desenvolvmeno eórco e compuaconal de écncas para proramação não lnear em problemas dferencáves baseados no FAIPA. Desaca-se a apresenação de uma écnca para soluconar problemas de mínmos quadrados com resrções, e o desenvolvmeno de códos compuaconas baseados em écncas eravas para resolver problemas de pore muo rande. 3

19 Os problemas de mínmos quadrados Leas Square Problems são esudados devdo a sua rande aplcação em problemas prácos. Város alormos são proposos para a solução dos problemas de mínmos quadrados que não apresenam nenum po de resrções. Na leraura observa-se que poucos auores desenvolveram alormos para os problemas que apresenam resrções SCHITTKOWSKI, 988, MAHDAVI- AMARI,989. Uma das proposas dese rabalo é a aplcação de uma écnca numérca que nera méodos para problemas com resrções não lneares, baseados no alormo de Gauss-Newon, com o FAIPA para soluconar problemas com resrções. Em problemas eras de proramação não lnear com muas varáves orna-se ambém nvável a ulzação das écncas quase-newon, dado que as mesmas requerem o armazenameno de uma marz cea, de dmensão ual ao número de varáves. Medane o méodo de memóra lmada so é evado. O mesmo em a vanaem adconal de se adapar aos compuadores de alo desempeno YRD e al., 994. A solução de problemas de rande pore mplca, em parcular, na solução de ssemas lneares nernos ao FAIPA, com elevado número de equações. Para al problema é fea uma neração de écncas de memóra lmada a méodos eravos, como por eemplo, o méodo do radene conjuado GOLU, 996. Os alormos baseados nas novas écncas são mplemenados no ssema MaLab e em lnuaem Forran, endo como objevo a realzação de aluns eses numércos de rande pore enconrados na leraura. Ese rabalo esá oranzado em capíulos da seune forma: Capíulo - Inrodução. É mosrado, de manera sucna o foco do rabalo em quesão. Capíulo - FAIPA: Alormo de Ponos Inerores e de Arcos Váves. 4

20 É descro o FAIPA baseado no méodo de ponos nerores. FAIPA é um alormo de Ponos Inerores que resolve o problema eral de omzação nãolnear com resrções, ele em sdo muo ulzado nos úlmos anos e em se mosrado confável na resolução de problemas de omzação em dversas áreas da Enenara. Capíulo 3 - Técnca para Solução de Problemas de Mínmos Quadrados Não Lneares com Resrções. É fea a descrção de alumas écncas já esenes para soluconar problemas de mínmos quadrados não lneares sem resrções e com resrções. Todava, o objevo cenral dese capíulo é apresenar uma écnca numérca que nera méodos para problemas sem resrções, baseados no alormo de Gauss-Newon, com o FAIPA, o alormo de ponos nerores para problemas com resrções. Fnalmene são apresenados aluns resulados numércos realzados com problemas eses dsponíves na leraura, e uma aplcação de denfcação de parâmeros de maeras. Capíulo 4 - Técnca de Memóra Lmada. Nese capíulo é mosrada uma adapação fea na aualzação FGS royden, Flecer, Goldfarb e Sanno, que consu a camada écnca de memóra lmada para represenação da marz quase-newon. Capíulo 5 - Méodo do Gradene Conjuado Precondconado pela Marz Quase- Newon de Memóra Lmada. São apresenados os fundamenos do méodo do radene conjuado para resolver ssemas lneares, e uma écnca de memóra lmada para o precondconameno da marz de ssemas lneares. Capíulo 6 - Resolução dos Ssemas Lneares Inernos do FAIPA. São descros de forma mas dealada os ssemas nernos do FAIPA, e é efeuada uma avalação da compledade para monar a marz dual do ssema, e ambém o cuso compuaconal para se resolver o ssema com a écnca proposa no Capíulo 5. 5

21 Ese capíulo apresena alumas observações sobre a aplcação do méodo do radene conjuado precondconado pela écnca de memóra lmada nos ssemas nernos do FAIPA, e uma análse de sua compledade. Os esudos do cuso compuaconal das operações e eemplos numércos mosraram o bom desempeno desa écnca. Capíulo 7 - Resulados Numércos Ese capíulo apresena os resulados numércos de aluns problemas eses dsponíves na leraura, com a aplcação do méodo do radene conjuado precondconado pela écnca de memóra lmada para resolver os ssemas nernos do FAIPA. Os resulados numércos mosram o bom desempeno desa écnca. Capíulo 8 - Análse dos Resulados e Connudade da Pesqusa Ese capíulo apresena as conclusões sobre o que fo realzado nese rabalo, e alumas suesões para fuuros rabalos nesa lna de pesqusa. 6

22 CAPÍTULO FAIPA: Alormo de Ponos Inerores e Arcos Váves. - PROLEMA DE PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR Nesa ese, o problema eral de proramação não lnear consderado é represenado da seune manera: mnmze sujeo a e f, R n. onde é o veor das varáves de projeo, f: R n R é a função objevo, : n m R R é a função que defne as resrções de desualdade, e : n p R R função que defne as resrções de ualdade. As funções f, e são conínuas, dferencáves e não necessaramene conveas. Ouras propredades são requerdas para aranr a converênca lobal do alormo HERSKOVITS, 998b. é a

23 são: As condções de Karus-Kun-Tucer, correspondenes ao problema Eq.., m f λ µ λ λ p onde λ R e µ R são os mulplcadores de Larane que correspondem às resrções de desualdade e ualdade, respecvamene. Os veores f,,, λ e µ são colunas, e marzes. j, j e j, j são. - O ALGORITMO DE PONTOS INTERIORES E ARCOS VIÁVEIS O alormo FAIPA Feasble Arc Ineror Pon Alorm proposo por HERSKOVITS 998a, é um alormo de ponos nerores que enconra um mínmo local do problema eral de omzação não-lnear dado pela formulação da Eq... Nese alormo são feas erações nas varáves de projeo varáves prmas e nos mulplcadores de Larane varáves duas, aé que sejam verfcadas as condções de omaldade de Karus-Kun-Tucer. O FAIPA pare de um pono ncal neror na reão vável, so é, no neror da reão Ω defnda pelo conjuno de ponos que verfcam as resrções de desualdade dada pela Eq..6, defnndo uma seqüênca de ponos denro desa reão. Em cada eração se deermna um arco, ao lono do qual se realza uma busca lnear neaa processo de deermnar o pono de mínmo de uma função em uma dada dreção para deermnar o passo que o alormo dará para defnr o novo pono da seqüênca. Para defnr o arco, o FAIPA resolve rês ssemas lneares com a mesma marz de coefcenes. 8

24 Em aluns problemas, quando as resrções de desualdade são alamene não lneares, os alormos de ponos nerores podem apresenar baas velocdades de converênca devdo a valores do passo nferores a um. Para soluconar ese problema, a busca lnear é realzada ao lono de um arco, que é defndo consderando-se a curvaura das resrções. Desa forma o passo ual a um é aceo pelo créro de busca quando o pono aual esá sufcenemene prómo da solução, so perme converr para a solução com velocdade super lnear. Nos méodos quase-newon, a converênca superlnear só é obda se o passo da busca lnear é unáro próma da solução. A busca lnear ao lono do arco fo apresenada por MAYNE e POLAK 976 num coneo dferene e ambém aplcada por TITS 993 no méodo de proramação quadráca sucessva SQP - Succesve Quadrac Prorammn Meod AZARAA e al., 993, HAN, 977, WRIGHT, 997 e POWELL, 983. Essa écnca eva o efeo Maraos MARATOS, 978. No méodo SQP a defnção do arco de busca requer uma solução adconal de um problema quadráco a cada eração, no FAIPA requer da solução de um ssema lnear adconal com a mesma marz de coefcenes. O efeo Maraos consse na perda de converênca superlnear devdo a que o passo unáro é rejeado pela busca lnear para ponos arbraramene prómos da solução. O alormo de ponos nerores e arcos váves para resolver o problema Eq.., é descro a seur de forma resumda, de modo a eemplfcar o seu funconameno. Alormo FAIPA Dados Incas: Ω, λ R m, λ >, µ >, c, ν,, η,. nn R smérca posva defnda α,, c p R, Passo. Deermnação da dreção de descda. Resolver o ssema lnear em d, λ, µ : 9

25 Λ - f d G µ λ.8 onde, n R d, m R λ, p R µ mm R G marz daonal com, e G mm R Λ marz daonal com. λ Λ Se d parar. Resolver o ssema lnear em d, λ, µ : Λ - λ µ λ d G.9 onde, n R d, m R λ. p R µ Se c µ, faça c. µ, para,..., p. v Seja:, c f c φ. se enão se defne:,, c d > φ,, ; nf c d c d d φ φ α ρ. em caso conráro se defne: d ρ. v calcular d d d d ρ.3 Passo. Deermnação do arco vável de descda. Seja:

26 p d d w m d d w E I,..., onde,..., onde.4.5 Resolver o ssema lnear em : µ λ,, d Λ Λ E I Mw w d G - µ λ.6 onde pp R M marz daonal com. M µ Passo 3. usca Lnear Uma busca lnear neaa é fea ao lono do arco, por eemplo, a busca lnear de Armjo defne como sendo o prmero número da seqüênca {, ν, ν, ν 3,...} que sasfaz: d d d φ η φ φ.7 e < d d se λ.8 ou d d < caso conráro.9 Passo 4. Aualzação. Assumr: d d. e defnr um novo valor para: w >, λ >, µ > e smérca posva defnda. Vá ao passo.

27 A Fura. represena o arco vável no caso em que á uma resrção ava, so é. Prova-se HERSKOVITS, 995 que é possível camnar de ao lono do arco aé um novo pono, o qual será o prómo pono da seqüênca. FIGURA.. Arco vável. O amano da marz dos ssemas lneares dados pelas equações.8,.9 e.6 é ual à soma do número das varáves mas o número de resrções. Em HERSKOVITS 998a prova-se que eses ssemas êm solução únca. Em HERSKOVITS 998a mosra-se que o alormo FAIPA em converênca lobal e se sasfazem alumas condções de reulardade.

28 CAPÍTULO 3 Técnca para Solução de Problemas de Mínmos Quadrados com Resrções Não Lneares 3. - NOTAS INICIAIS Os problemas de mínmos quadrados são esudados á muo empo face à sua rande aplcação em problemas prácos, as como em ajuse de parâmeros de modelos mecâncos, químcos, fnanceros ou de aplcações econômcas. Esem város alormos para a solução de problemas de mínmos quadrados sem resrções, mas, poucos auores desenvolveram alormos para problemas com resrções. Uma eceção é o alormo desenvolvdo por SCHITTKOWSKI 988 baseado em proramação quadráca seqüencal, o qual é muas vezes menconado na leraura. Perane ese quadro, o objevo cenral dese capíulo é apresenar uma écnca numérca que nera méodos para problemas sem resrções, baseados no alormo de

29 Gauss-Newon, com o FAIPA, o alormo de ponos nerores e arcos váves para problemas de omzação com resrções. Esa écnca nerada ao alormo FAIPA erou uma nova versão do alormo que fo denomnada FAIPA_LSP Feasble Arc Ineror Pon Alorm-Leas Square Problems. No em 3. é brevemene descra a formulação maemáca dos problemas de mínmos quadrados, e nos ens seunes é fea uma descrção de alumas écncas desenvolvdas para soluconar problemas de mínmos quadrados não lneares, com e sem resrções. No em 3.5 são apresenados aluns resulados numércos sobre problemas eses usualmene empreados por dversos auores. Os resulados numércos obdos com o FAIPA_LSP são comparados com resulados obdos com a versão ornal do FAIPA. É ambém efeuada uma aplcação de denfcação de parâmeros de maeras, ARAÚJO e al. 996, e PROLEMAS DE MÍNIMOS QUADRADOS SEM RESTRIÇÕES O problema de mínmos quadrados sem resrções se represena como se seue: mnmze n R f s [ r ] 3. n s onde é o veor das varáves do projeo, r : R R represena o veor de resíduos, s é a dmensão do veor de resíduos, e n é a dmensão do veor das varáves de projeo. Seja r o veor resíduos defndo por: r r ; r ;...; r s 3. Usando-se esa noação e escreve-se f como: f r O radene de f é dado por: 3.3 4

30 s r J r r f 3.4 onde é a marz jacobana de J, r J n s s n r r r r A marz essana de f é dada por: Q J J Q r r f s 3.6 onde. s r r Q 3.7 O ermo da Eq. 3.6 é mas mporane que o seundo ermo Q, quando pero da solução do problema o ermo da Eq. 3.7 é pequeno. Iso ambém é váldo quando o resíduo é pequeno. A maor pare dos alormos para problemas de mínmos quadrados não lneares eplora esa propredade da marz essana NOCEDAL, 999. J J r r MÉTODOS ITERATIVOS PARA SOLUÇÃO DE PROLEMAS DE MÍNIMOS QUADRADOS SEM RESTRIÇÕES Os méodos eravos usualmene ulzados para solução de problemas de mínmos quadrados sem resrções são varanes do méodo de Newon. Uma pesqusa de alormo para problemas de mínmos quadrados fo apresenada por DENNIS 977, 983. A seur são descras alumas écncas aplcadas a problemas de mínmos quadrados sem resrções: Gauss-Newon, Levenber-Marquard, Gauss-Newon com 5

31 apromação quase-newon, e o méodo Levenber-Marquard com apromação quase-newon al como eposo em NOCEDAL 999 e HERSKOVITS MÉTODO DE GAUSS-NEWTON O méodo de Gauss-Newon para resolver o problema dado pela Eq. 3., eplora a esruura do radene f, e da marz essana f, apresenadas nas Eq.3.5 e Eq.3.6, respecvamene. Ese méodo pode ser vso como uma modfcação do méodo de Newon com busca lnear. No méodo de Newon com busca lnear, a dreção de busca da resolução do seune ssema lnear: d é erada a parr f d f. 3.8 Nelencando-se o ermo Q de GN busca de Gauss-Newon : d f da Eq. 3.6 obém-se a dreção de GN J J d J r 3.9 Esa modfcação era alumas vanaens: - eva-se o cálculo de Q da Eq. 3.7; - quando o prmero ermo J da Eq. 3.6 em poso mámo, GN é J uma dreção de descda para f; 3 - em muos problemas se obém um desempeno smlar ao méodo de Newon; As desvanaens são: d - o prmero ermo J da Eq. 3.6 pode ser uma marz snular em J aluns problemas; - o desempeno do méodo pode ser nferor ao do méodo de Newon. Iso aconece quando Q é snfcavo e não pode ser nelencado ou r 6

32 não é pequeno na solução. Para que Q seja nelencado é necessáro que os valores de r r sejam snfcavamene menores que o menor auovalor de J T J MÉTODO DE LEVENERG-MARQUARDT No méodo de Levenber-Marquard LEVENERG, 944, MARQUARDT, 963 a dreção de busca é defnda como a solução do seune ssema lnear: onde ε é um escalar posvo. J J ε I d J r 3. A déa básca dese méodo é modfcar a marz J J, que pode ser snular ou mal condconada, para se ober um ssema de equações não snular. A marz do ssema Eq. 3. é posva defnda para qualquer valor posvo de ε. Ese méodo em a vanaem de maner a smera do ssema e melorar o condconameno da marz. Quando da possbldade de se ober uma marz com um elevado número de condção, pode ser convenene ulzar valores pequenos de ε para não alerar muo a dreção de Gauss-Newon MÉTODO DE GAUSS-NEWTON COM APROXIMAÇÃO QUASE-NEWTON Os méodos de Gauss-Newon e Levenber-Marquard são baseados na suposção de que J J é uma boa apromação do f, so é, o seundo ermo Q da Eq. 3.6 pode ser nelencado. Esa premssa não é jusfcada para os problemas nos quas os valores de r r são randes em relação ao menor auovalor da marz J J. Uma possível esraéa nese caso é nclur uma 7

33 apromação quase-newon M, do ermo desconecdo Q. A dreção de busca nese caso é dada por: r J d M J J 3. Seja: r J r J y s A fórmula apresenada por GILL 978 GILL e al. 98 para M é baseada na aualzação FGS: y y s y W s s W s W s M M 3.4 onde M J J W 3.5 Em GILL 978 se prova que se é uma marz posva defnda e, enão ambém será posva defnda. Esa propredade pode ser úl nas úlmas erações quando é apromadamene ual a. Nas prmeras erações pode não ser posva defnda, sendo necessáro alumas correções adconas para se ober uma dreção de busca de descda. M J J > s y M J J J J J J M J J MÉTODO TIPO LEVENERG-MARQUARDT COM APROXIMAÇÃO QUASE-NEWTON A aplcação do méodo Levenber - Marquard juno ao méodo quase-newon consse em adconar uma marz daonal posva rande o sufcene para se er posva defnda. A dreção de busca é defnda como a solução do seune ssema lnear: E E M J J r J d E M J J 3.6 8

34 Nese rabalo se propõe a decomposção de Colesy da marz J J M para se deermnar a marz E HERSKOVITS, 4. Decomposção de Colesy Seja J J M a decomposção de Colesy de é: uma marz smérca posva defnda, para a qual LL 3.7 onde L é uma marz ranular nferor. Os elemenos de L são epressos da seune forma: l ss b ss s lsj j 3.8 e l s b s lj j l l sj, para,,, s Nos casos em que não é posva defnda no processo de decomposção se obém um ou mas elemenos daonas as que: b s ss l sj j. 3. Conseqüenemene, l ss obdo por meo da Eq.3.8 não será um número real. Adconando-se a b ss um número posvo rande o basane, é possível ober-se uma marz posva defnda. O valor a ser adconado a será o valor da daonal prncpal da marz E.Defne-se E, al que: b ss E s bss lsj j 3. δ mín 9

35 onde δ mím deve ser um valor que consdere a escala do problema e a precsão da máquna u. Quando se verfcar a Eq. 3. oma-se E PROLEMAS DE MÍNIMOS QUADRADOS COM RESTRIÇÕES O problema de proramação não lnear com resrções, mosrado no capíulo aneror Eq.., é apresenado novamene a seur: mnmze sujeo a e f, ;. R n O novo alormo proposo para resolver o problema dado pela Eq.. é baseado no alormo FAIPA. Ao nvés de se fazer ual a uma apromação quase - Newon de m p H, λ, µ f λ µ, se ulza: J M E 3. J Para a aualzação de M emprea-se a mesma fórmula de aualzação da Eq.3.4, nese caso y se defne como: y l, λ, µ l, λ, µ, 3.3 onde l, λ, µ f λ µ, 3.4 sendo f J r. 3.5 É mporane desacar que H, λ, µ pode ser ndefnda na solução. Usando o méodo de Levenber Marquard, como proposo nese rabalo, arane-se que seja posva defnda na solução, o que ambém arane no FAIPA uma dreção de descda. O méodo de Levenber Marquard com aualzação quase-newon ulzando-se a decomposção de Colesy nerado ao FAIPA, erou a nova versão FAIPA, que fo

36 denomnada FAIPA_LSP Feasble Arc Ineror Pon Alorm-Leas Square Problems TESTES NUMÉRICOS Nesa seção são apresenados os resulados numércos obdos com a ulzação do alormo para problemas de mínmos quadrados com resrções, FAIPA_LSP. Eses resulados são comparados com a versão quase-newon do FAIPA HERSKOVITS, 4. Os resulados numércos referem-se a quaro problemas usuas enconrados na leraura: rês problemas complados por HOCK 98, e um úlmo problema de mínmos quadrados com resrções lneares de ualdade descro em p:// É fea ambém uma aplcação para denfcar os parâmeros mecâncos de maeras compósos. PROLEMA 5: Fone: HOLZMANN 969, HIMMELLAU 97 Função objevo: Resrções: Pono ncal: 99 f 5,...,99. r r. ep u u 5ln ,.5,3 3

37 PROLEMA 57: Fone: ETTS 977, GOULD 975 Função objevo: : apêndce A de HOCK98.,,...,44. 8 ep b a a b r r f Resrções: Pono ncal:.4,5 PROLEMA 7: Fone: HIMMELLAU 968 Função objevo: :apêndce A de HOCK 98., ep ep , , 9,, obs cal obs cal y c b bc c b bc c b y y y f

38 Resrções:.,,4., Pono ncal:,4,.4, PROLEMA DE MÍNIMOS QUADRADOS: O problema lnear raa-se de: d b A sujeo a mín onde,, 3 6, 3 3 d b A A seur são mosrados os resulados obdos com os problemas cados na Tabela 3 e nas Furas 3. e 3.. com FAIPA_QN que é a versão quase-newon do FAIPA e com o FAIPA_LSP que é o alormo com a versão aual para problemas de mínmos quadrados com resrções. 3

39 TAELA 3.. Resulados numércos dos problemas desenvolvdos por Hoc- Scows, e do problema lnear de mínmos quadrados com resrções de ualdade. Aualzação de cfv ofv er Problema 5 FAIPA_QN n 3, m 6, p FAIPA_LSP Problema 57 FAIPA_QN n, m 3, p FAIPA_LSP Problema 7 FAIPA_QN n 4, m 9, p FAIPA_LSP PMQ com Resrções Lneares FAIPA_QN.. 5 n 4, m, p FAIPA_LSP. 4 8 Número de erações do FAIPA FAIPA_QN FAIPA_LSP Problema 5 Problema 57 Problema 7 Problema Lnear Problemas FIGURA 3. - Número de erações com FAIPA_QN e FAIPA_LSP 4

40 6% 54.7% 5% Gano percenual 4% 3% % 9.5%.% % 7.4% % Problema 5 Problema 57 Problema 7 Problema Lnear Problemas FIGURA 3. - Gano percenual do número de erações do FAIPA_LSP em relação FAIPA_QN. Os resulados obdos esão resumdos na Tabela 3., onde n é o número de varáves, m é o número de resrções de desualdade, p o número de resrções de ualdade, er é o número de erações; cfv é o valor obdo para a função objevo, ofv é o valor da função no pono ómo. Todos os problemas eses foram resolvdos com o mesmo valor do parâmero α.7. O créro de parada adoado fo uma olerânca no ómo da função objevo de 5 HOCK, 98. O valor de δ mín na decomposção de Colesy é calculado da seune forma: δ mín ε u 3.6 onde ε > é uma consane que ndepende da marz, e u é a precsão da máquna dupla precsão, -6. 5

41 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS DE MATERIAIS: Ese rabalo de denfcação de parâmeros de maeras eve a cooperação dos Professores Crsovão M. Moa Soares Insuo de Enenara Mecânca, ISP, Lsboa, Porual e Aurélo Araújo Insuo Polécnco de raança, Porual. O problema de denfcação de propredades mecâncas de maeras compósos envolve a comparação de resulados epermenas com resulados produzdos por um modelo numérco. Ese eemplo lusra a aplcação da écnca de omzação em problemas nversos. Normalmene a denfcação ou esmava dos parâmeros de placas lamnadas de maeras compósos é fea para dos pos dferenes de maeras. Ese problema consse na esmava das propredades eláscas dos dos pos de maeras ulzados. O problema é resolvdo usando-se a écnca de omzação, por meo da mnmzação de um erro funconal, f, o qual epressa a dferença enre a resposa do modelo numérco e os correspondenes resulados epermenas. A resposa epermenal consse nos I valores meddos da freqüênca naural λ, e a resposa do modelo numérco consse no conjuno dos I valores numércos λ. onde f λ λ I w λ 3.7 são os faores de ponderação que epressam o rau de confança em cada medda epermenal da freqüênca naural. Para ese eemplo fo ulzado o valor de w w [, ]. A varável represena as propredades eláscas dos maeras. O problema é formulado como um problema de mnmzação não lnear com resrções, onde as varáves de projeo são funções admensonas das propredades eláscas de cada maeral, e as resrções são mposas de manera a maner posva defnda a marz consuva dos maeras. 6

42 O problema de mnmzação é: mn f al que 3.8 l < < Maores deales sobre as propredades dos maeras são enconrados em ARAÚJO e al. 996, e e HERSKOVITS 4. A placa dese eemplo é fea de uma camada undreconal de vdro E, e de fbras de carbono T3 em marz epó. Os pré-mprenados usados para consrur esas placas são Srucl /m VEE R368 para as camadas de vdros, e Srucl 35/m CTE35 R367 para as camadas de carbono. A seqüênca de emplameno é [ 4 C, 3 V ] S 9. As dmensões das placas reanulares e as massas são: a 9 mm, b 54 mm, 3.89 mm e m As esmavas ncas para as propredades eláscas do vdro, correspondenes às propredades da camada undreconal dese maeral com 5% de volume de fbras são: G G3 E 45 GPa ; E 4.5 GPa ; G 3.7 GPa ; ν 3 u.8. As esmavas ncas para as consanes eláscas das camadas de carbono, ambém com 5% de volume de fbras são: G E 7. GPa ; E 8.8 GPa ; G G 3.GPa ; ν O problema fo resolvdo pelo alormo FAIPA_LSP em 7 erações, nas quas foram usadas malas de elemenos fnos de 6 elemenos, e o créro de parada por redução da função de penaldade menor que -6. Os resulados esão represenados nas Tabelas 3., 3.3, 3.4 e

43 TAELA 3.. Propredades lobas denfcadas e resulados dados pelo eensômero. Idenfcado Eensômero E [GPa] 7. E y [GPa] G y [GPa] 4. G z [GPa]. G yz [GPa] 3.8 ν y TAELA 3.3. Propredades calculadas para os maeras. Vdro E Carbono T3 E [GPa] E [GPa] G [GPa] G 3 [GPa] G 3 [GPa] 4..4 ν

44 TAELA 3.4. Freqüêncas epermenas e resíduos obdos após a denfcação de cada fase. ω [Hz] r ω [%] Os resíduos r ω meddos λ ω e os calculados π nas freqüêncas são obdos pela dferença enre os resulados λ ω usando-se a epressão abao: π r ω ω ω ω 3.9 onde ω é a freqüênca no valor ómo. Uma boa apromação enre as propredades lobas denfcadas e as correspondenes meddas por eensômero perme conclur que as propredades denfcadas para cada maeral esão razoavelmene de acordo com o esperado, eceo pelos módulos de dsorção ransversal G 3 e G 3, porque as placas não são sufcenemene espessas para uma denfcação precsa desas propredades ARAÚJO, e al.. Além dsso, as dferenes densdades dos maeras não foram consderadas 9

45 nese eemplo, o que em pare eplca o fao do cálculo da quna freqüênca naural não apresenar sufcene precsão. 3

46 CAPÍTULO 4 Técnca Quase-Newon de Memóra Lmada 4. - NOTAS INICIAIS Nese capíulo é mosrada uma adapação fea na aualzação FGS royden, Flecer, Goldfarb e Sanno que consu a camada écnca de memóra lmada para represenação da marz quase-newon apresenada por YRD e al Esa écnca é baseada no méodo da projeção do radene e usa uma marz FGS de memóra lmada para apromar a marz essana, e é parcularmene efcaz para os problemas de rande pore em que apromação da essana não pode ser armazenada eplcamene. A essana esmada é armazenada em veores e as aualzações ambém são armazenadas em veores. Durane o processo eravo somene as úlmas aualzações são armazenadas. As vanaens dese méodo são a economa no armazenameno na memóra e no número de operações.

47 4. - MÉTODOS DE ATUALIZAÇÃO DA MATRIZ QUASE-NEWTON O DFP Davdson, Flecer e Powell fo um dos prmeros méodos a consrur uma apromação da nversa da essana. Fo ornalmene proposo por Davdson em 959, e poserormene desenvolvdo por Flecer e Powell em 963 LUENERGER, 984. Parndo-se de uma marz qualquer smérca posva defnda H na práca, a marz ncal é dada por H I, e um pono qualquer, enão é consruída da seune manera: Seja H d H f 4. Mnmza-se f d em relação à para se ober: d 4. Calcula-se enão: H H s s s y H y y H y H y 4.3 onde s 4.4 y f f 4.5 O procedmeno aneror busca consrur uma apromação da nversa da marz essana, H f. É possível fazer uma aualzação drea da essana f, ulzando-se a seune fórmula: y y y s s s s s 4.6 A Eq. 4.6 é denomnada aualzação FGS da marz. 3

48 Oura rera de aualzação de H é a nversão de apresenada na Eq Para so ulza-se a fórmula de Serman-Morrson para se deermnar : H s y s y H H y s y s s s s y y H y H H 4.7 A Eq.4.7 é denomnada rera de aualzação FGS da marz H. O méodo de aualzação FGS em um melor desempeno compuaconal comparado com o DFP. A dferença enre esses dos méodos esá apenas na aualzação da marz quase-newon NOCEDAL, TÉCNICA DE MEMÓRIA LIMITADA A écnca de memóra lmada fo concebda para resolução de problemas de omzação não lnear de rande pore. A mesma écnca, que é baseada no méodo quase-newon, perme apromar a nversa da marz essana da função que se deseja mnmzar sem a necessdade de armazenar a marz quase-newon. As vanaens dese méodo esão na economa no armazenameno em memóra e na redução do número de operações YRD e al., 994. Seundo YRD e al. 994 é possível represenar de forma mas convenene a aualzação FGS apresenada na Eq.4.6. Esa nova forma é uma represenação compaca da marz FGS. Seja nn R obda na -ésma aualzação de pela fórmula drea FGS Eq.4.6. Ao omar-se os pares { a represenação compaca de é: } y s [ ] Y S D L L S S Y S 4.8 onde: ],..., [ ],..., [ y y Y s s S

49 são marzes n, L s y j se > j caso conráro j 4. é uma marz ranular, é uma marz daonal. D da[ s y,..., s y ] 4. Usando-se o esquema apresenado por YRD e al. 994 ao nvés de } y consderar-se os pares { s para aualzar a marz, é possível omar somene os q úlmos pares, para so, assume-se que 4.8: q ε I, e reformula-se a Eq. ε I ε S S L ε S [ ε S Y ] L D Y 4. onde: S [ sq,..., s ] 4.3 Y [ y q,..., y ] são marzes n q, sq y q j se > caso conráro j L j 4.4 é uma marz ranular n q, D da[ sq yq,..., s y ] 4.5 é uma marz daonal q q e ε um escalar posvo. Em YRD,994 recomenda- ys se omar ε, e em GOLDFED996 recomenda-se ε. s s 34

50 Observa-se que a marz da equação Eq. 4.8 é ndefnda. Porém, sua nversão pode ser fea, ulzando-se o méodo de decomposção de Colesy, da seune manera: D L L S S V D L D V D L D S S L L D 4.6 onde é uma marz ranular nferor que sasfaz V, L D L S S V V 4.7 Se é posva defnda e enão ese e não é snular. Donde, em-se uma nova forma de represenar a aualzação da marz quase- Newon dada por:,,...,, y s V [ ] S Y V D L D V L D D S Y I ε ε ε Nesa úlma formulação as marzes êm a dmensão relaconada com os úlmos q pares de veores s e y, e não mas ao oal de erações. A marz quase-newon, connua com a mesma dmensão, n. n Na práca suere-se que YRD e al., q Consderando-se a marz H, em-se a seune ssemáca. Seja uma marz smérca posva defnda, e assumdo-se que os q pares sasfazem Seja H { } y s. y s H nn R obda na -ésma aualzação de pela fórmula drea FGS da Eq.4.7, ao omar-se os úlmos q pares de { emse enão: H } s y [ ] Y S R R R Y Y D R Y S I H ε ε ε ε onde 35

51 s R j q yq j se j caso conráro 4. é uma marz q q. Usando-se a Eq. 4.8, é mporane que se apresene alumas operações, envolvendo a marz, que serão úes quando for apresenada a ulzação da écnca de memóra lmada no alormo do FAIPA. As operações desacadas são: produo de por um veor v, produo u v, produo de H por um veor v e produo u H v PRODUTO v O produo de por um veor v é deermnado da seune forma: Dados:, S, Y, L, D e ε ; ober. V - efeuar a faorzação de Colesy de ε S S L D L para se - resolver os dos ssemas da Eq. 4.: D D V L - D L D V - Y v ; ε S v 4. - efeuar o produo [ Y ε S ]. v ε v PRODUTO u v 36

52 O produo de, onde u e são veores de dmensão v u v, n é deermnado da seune forma: Dados,, e S Y L ; D - calcular e e deermnar e onde v Y S u Y u,, ε v S ε W u, v W [ ]; S Y W ε efeuar a decomposção de Colesy de para ober L D L S S ; V - resolver os dos ssemas v W v S ε v Y V D L D V L D D W v-u u ε v u calcular e efeuar a subração. ε uv PRODUTO v H Consderando-se a Eq. 4.9, e mulplcando-se ambos os membros por emse: v [ ] ; S v - v Y v S R R R Y Y D R Y v H ε ε ε ε PRODUTO v H u O produo de, onde e são veores de dmensão v H u u v n é deermnado da seune forma: v Y R S u v S R Y u v S R Y Y D u S R v u ε v H u ε ε ε

53 Em YRD e al. 994 são fornecdos mas deales sobre a écnca de memóra lmada ANÁLISE DA COMPLEXIDADE O cuso compuaconal de um alormo é meddo por meo do empo aso e da memóra requerda durane a eecução do alormo. Defne-se por compledade de empo uma função CTn, que é a medda do empo necessáro para eecuar deermnado alormo em ermos do amano n do problema. O empo de eecução esá relaconado ao número de operações eecuadas. Defne-se por compledade de espaço uma função CEn, que é a medda da memóra que um dado alormo necessa para resolver um problema de amano n. Na compledade de espaço será consderada a operação realzada por ronas padrões, numa máquna padrão. Essas ronas recebem a denomnação de sub-ronas báscas de álebra lnear, e usualmene, denomnadas por LAS, DEMMEL, 997 e LAWSON, 979 e al.. Na Tabela 4. é apresenada a operação do LAS, onde a é escalar, u e v são veores de amano n e A, e C são marzes n n. TAELA 4. - Compledade de empo e de espaço - LAS. Operação Defnção Tempo - CTn Espaço - CEn LAS v au v n 3 n LAS LAS 3 v Au v v A C 3 n n n 3n 4n 38

54 COMPLEXIDADE DA ATUALIZAÇÃO FGS DA MATRIZ QUASE-NEWTON Consdere-se a aualzação FGS da marz quase-newon dada pela Eq A Tabela 4. apresena as operações e o respecvo cuso, ou seja, o número de produos de cada operação, relavos a aualzação FGS. TAELA 4. - Compledade de empo da aualzação FGS da Eq Operação Produos s n s s s s s n n ss s s n yy y s Toal n n 3n 3n Sendo: CT n 3n 3n 4.7 Para se aualzar é necessáro armazenar y, s e, e anda alocar na memóra um resulado nermedáro resulane de s s s s compledade de espaço, CEn, da aualzação FGS é: y y s s e de, loo a y s s s 39

55 CE n n n 4.8 Consdere-se a aualzação FGS da marz quase-newon dada pela Eq Na Tabela 4.3 apresena as operações e o cuso, relavos a aualzação FGS. TAELA Compledade de empo da aualzação FGS da Eq Operação Produos Hy n y s Hy y s n n y Hy y s n yy y s Toal n n 3n 3n A compledade de empo é: CT n 3n 3n 4.9 Para se aualzar é necessáro armazenar y, s e, e anda alocar na memóra um y resulado nermedáro resulane de H y s s H H y s s y s y H H s y y s. Compledade de espaçocen, nese caso, da aualzação FGS é: 4

56 CE n n n COMPLEXIDADE DA ATUALIZAÇÃO DA REPRESENTAÇÃO DA MATRIZ QUASE-NEWTON PELA TÉCNICA DE MEMÓRIA LIMITADA Consdere-se a formulação das Eq. 4.9, para esa formulação é necessáro a aualzação de S, Y, R, D e Y. Y CT F m p q m p 4.3 onde q F S, Y, R, D é o par aual do FAIPA. Para se aualzar os ermos da formulação da Eq. 4.9 é necessáro armazenar e Y Y, a compledade de espaço CEn, para cada aualzação é ual a: F F F CE q q q m p 4.3 4

57 CAPÍTULO 5 Méodo do Gradene Conjuado Precondconado pela Marz Quase-Newon de Memóra Lmada 5. - NOTAS INICIAIS A crescene necessdade de se resolver problemas cada vez mas compleos, envolvendo randes ssemas de equações lneares, levou a um enorme neresse em relação à solução deses ssemas. Com o aparecmeno de compuadores de processameno veoral e paralelo, em-se aumenado a aenção dada aos méodos eravos, já que os mesmos eploram ao mámo as caraceríscas da arqueura desas novas máqunas. Os méodos eravos para resolver ssemas de equações lneares parem de uma esmava ncal da solução e eram uma seqüênca de ponos que convere para a solução do problema. Na práca o processo é fnalzado quando o pono aual é

58 sufcenemene prómo da solução do problema. Em muos casos é possível se ober uma boa apromação da solução com um cuso compuaconal muo menor que o necessáro para ober a solução eaa por meo de um méodo dreo. O cuso prncpal de cada eração do alormo eravo é realzar o produo da marz de coefcenes do ssema por um veor. Quando ese produo pode ser realzado de forma efcene, e não é necessáro um número ecessvo de erações para er uma boa apromação, o alormo eravo pode ser muo mas convenene que um méodo dreo. Para ssemas com marz de coefcene smérca posva defnda o méodo do radene conjuado se apresena como um dos mas convenenes, pos possu as melores propredades de converênca, e requer o armazenameno somene de aluns poucos veores pares, além dos dados ornas do problema MÉTODO DO GRADIENTE CONJUGADO O méodo do radene conjuado, nroduzdo por HESTENES-STIEFEL 95, é um dos mas populares processos eravos para solução de ssemas de equações do po: onde a marz de coefcenes do ssema é a ncóna do problema e A b 5. nn A R é smérca posva defnda, é o ermo ndependene. Ese méodo eplora o fao de que a solução do ssema dado pela Eq.5. equvale à mnmzação da função quadráca: n b R n R f A b 5. 43

59 Alormo do Méodo do Gradene Conjuado conjuado: SAAD 3 apresena o seune alormo para o méodo do Gradene Sendo conecdo, em-se: nn R A smérca posva defnda, b R e R um pono ncal n r b A, 5.3 p r 5.4 Para varando de aé verfcar o créro de converênca adoado, assumr: n fm. α r p r r Ap p 5.5 α p 5.6 r α Ap 5.7 β r r r r 5.8 r β p MÉTODO DO GRADIENTE CONJUGADO PRECONDICIONADO A efcênca do méodo do radene conjuado depende uncamene dos auovalores da marz A. O processo de precondconameno mplca na modfcação da marz de coefcenes do ssema, fazendo com que os auovalores desa marz fquem mas prómos, e, o ssema de equações fque mas esável, proporconando a redução do número de erações necessáras para alcançar a solução do ssema. Loo a ulzação de precondconadores promove uma dmnução do número de erações na solução do ssema de equações. Para que seja efeuado o precondconameno da marz A, sem a necessdade de mudar a esruura do méodo do radene conjuado, é necessáro modfcar o ssema 44

60 na sua forma ornal dado pela Eq. 5., efeuando-se uma pré mulplcação dese ssema pela marz não snular e smérca posva defnda, N: N A N b 5. A marz N é denomnada precondconador da marz de coefcenes. O méodo eravo fará um menor número de erações quano mas prómo de esverem os auovalores da marz de coefcenes resulane A N A. Por eemplo, se na Eq. 5. a marz N for a própra marz A, o ssema resulane fca com a marz de coefcenes ual a marz dendade. N deve ser uma marz próma de A, e será um melor precondconador quano mas prómo da dendade esver a marz A. Seundo GOLU 996 a aa de converênca do méodo do radene conjuado precondconado é proporconal a: A A onde A é o número de condconameno da marz precondconada. 5. Quando N A, A, o alormo do méodo do radene conjuado precondconado convere em uma eração, já que a marz precondconda A será ual a marz dendade, sendo a solução da Eq. 5. rval. Conudo, so não sera coerene, pos ese méodo eravo sera ransformado em um procedmeno dreo de solução. Para que o méodo do radene conjuado precondconado seja efcene a marz N deve aender aluns pré-requsos: - seus componenes devem ser faclmene deermnados, além de não necessar armazenameno ecessvo em relação à marz ornal; - a solução do ssema Nz r deverá ser bem mas efcene que a solução do ssema ornal A b ; ornal, A. - o número de condconameno da marz A deverá ser menor que o da marz 45