SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GRUPO IX GRUPO DE ESTUDO DE OPERAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS - GOP

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1 SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GOP a 17 Ouubro de 2007 Ro de Janero - RJ GRUPO IX GRUPO DE ESTUDO DE OPERAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS - GOP MÉTODO DE PONTOS INTERIORES PARA O MODELO DE OTIMIZAÇÃO A USINAS INDIVIDUALIZADAS Anbal Tavares de Azevedo * Aurelo Rbero Lee de Olvera Secundno Soares Flho UNESP UNICAMP UNICAMP RESUMO O planejameno da operação energéca (POE) envolve a deermnação da geração hdráulca e érmca em base mensal para um período de aé cnco anos vsando aender o mercado e mnmzar o cuso esperado de operação do ssema. Uma abordagem promssora para o POE se basea na solução do problema em sua versão deermnísca, almenado por vazões prevsas. Nessa abordagem, o POE se apresena como um problema de programação não lnear devdo à caracerísca da geração hdráulca e dos cusos operaconas, e é resolvdo por um méodo de ponos nerores que explora a esruura esparsa do problema. O méodo fo esado em rês esudos de caso consderando períodos de planejameno de 10 anos. O prmero consse em um ssema hdroérmco composo por uma únca usna hdrelérca, a usna de Furnas, o segundo é um ssema de 15 usnas localzadas na cascaa do Ro Grande, e o ercero corresponde a uma confguração do Ssema Inerlgado Naconal (SIN), com 74 usnas hdrelércas. Dessa forma, por comparação enre as caraceríscas da solução nos rês esudos de caso, fo comprovada a robusez e a efcênca do méodo proposo. PALAVRAS-CHAVE Planejameno da operação energéca, modelo de omzação a usnas ndvdualzadas,, programação não-lnear, méodos de ponos nerores INTRODUÇÃO O planejameno da operação energéca (POE) envolve a deermnação da geração hdráulca e érmca em base mensal para um período de aé cnco anos vsando aender o mercado e mnmzar o cuso esperado de operação do ssema. O POE é um problema esocásco uma vez que as vazões fuuras não são conhecdas. Para a sua solução, enreano, ao nvés de ulzar meodologas baseadas em programação dnâmca esocásca, que necessaramene requerem smplfcações devdo à maldção da dmensonaldade (2), alernavas baseadas em modelos de omzação a usnas ndvdualzadas (MOUI) deermníscos êm sdo sugerdas com sucesso (6,12). Para ssemas hdroérmcos de grande pore como o braslero, o MOUI deermnísco se orna um problema complexo de programação não-lnear cuja solução requer méodos maemácos que explorem a caraceríscas parculares do problema. Alguns méodos êm sdo sugerdos, nclundo programação não-lnear (9) e fluxo em redes (5, 11, 14, 16, 18). Mas recenemene, écncas baseadas em méodos de ponos nerores (MPI) êm sdo aplcadas ao MOUI (8, 13, 15). Em (15) um méodo dual-afm é mplemenado para resolver uma versão lnear do MOUI. Em (8) um códgo (*) Av. Dr. Arbero Perera da Cunha, 333 Poral das Colnas - Deparameno de Maemáca - sala 21 CEP Guarangueá, SP Brasl Tel: (+55 12) Fax: (+55 12) Emal: anbal@feg.unesp.br

2 2 comercal assume que a função de produção hdráulca é lnear por pares. Em (13), o problema é resolvdo assumndo ambém uma modelagem lnear do MOUI. MPIs são especalmene efcenes para problemas de omzação de grande pore. O prmero MPI fo desenvolvdo por Dkn (7) em A aplcação de MPIs para resolver problemas de programação lnear fo proposa por Karmarkar (10) em 1984 e com os resulados apresenados em 1989, desde enão os MPIs foram exensvamene desenvolvdos e aplcados em dversos problemas de omzação, nclusve omzação não-lnear (1). Ese rabalho apresena um MPI efcene e robuso, capaz de resolver o MOUI em sua versão não-lnear para um ssema de grande pore, o SIN. O MOUI fo formulado de forma precsa consderando a função de produção hdráulca e os cusos operaconas como funções não lneares. O modelo maemáco e a noação ulzada no mesmo esão descros na Seção 2. A Seção 3 apresena uma descrção breve do méodo, enquano a Seção 4 mosra a aplcação do méodo em rês esudos de caso dferenes, denfcando as caraceríscas das soluções enconradas e seus aspecos comuns. Por fm, a Seção 5 apresena as conclusões do rabalho NOTAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA A segune noação será adoada no modelo do MOUI: T N Ω Ψ H D r - Indce de mês. - Número de meses no perodo de planejameno. - Indce de usna hdrelérca. - Número de usnas hdrelércas. - Conjuno de índces das usnas medaamene a monane da usna hdrelérca. - Função de cuso de complemenação ermelérca (Reas). - Função de geração hdrelérca (MW). - Mercado (MW). - Volume armazenado no reservaóro (hm 3 ). r,, - Lmes mnmo e máxmo de armazenameno do reservaóro. r, q - Vazão urbnada (m 3 /s)., - Lmes mínmo e máxmo de vazão urbnada. q, q,, v - Vazão verda (m 3 /s)., v,, - Lmes mínmo e máxmo de vazão verda. v, k - Produbldade específca (MW/m 3 /s/m). φ - Polnômo da coa de monane (m). θ - Polnômo da coa de jusane (m). - Perda hdráulca (m). ς ( q, y ) - Vazão afluene ncremenal (m 3 /s). - Número de segundos do mês dvddo por 10 6.

3 3 O MOUI pode ser formulado pelo segune problema de programação não-lnear: Mn T = 1 Ψ ( D H ) s : H N r, + r, 1 = k φ θ ( q + v ) ς ( q ) q = 1 2 r, r, 1 = ( qj, + vj, ) ( q, + v, ) + y,,,,, j Ω r, r, r, q q,, u q + v,,, v, 0, = 2,3,, T,, = 1,2,3,, N, (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) onde os volumes armazenados ncas r, 1,, = 1,2,, N são dados. A função objevo da Equação (1) mnmza o cuso operaconal Ψ do ssema, dado pelo menor cuso de complemenação ermelérca, consderando mporação de ssemas vznhos e core de carga como érmcas fcícas. O cuso operaconal é obdo, porano, a parr do despacho econômco das fones de complemenação não hdráulcas. A geração hdráulca no eságo é uma função não-lnear represenada pela Equação (2). As resrções de gualdade da Equação (3) represenam as equações de balanço de água para cada reservaóro em cada mês, onde y, é a vazão afluene ncremenal. Ouros efeos como evaporação e nflração não foram consderados por smplcdade de apresenação. Lmes nferores e superores das varáves expressos nas resrções dadas pelas Equações (4)-(7), são mposos pelas resrções operaconas das usnas hdráulcas, assm como resrções relaconadas aos usos múlplos da água, as como rrgação, navegação e conrole de cheas TÉCNICA DE SOLUÇÃO Para poder aplcar o méodo de ponos nerores à formulação proposa pelo modelo das Equações (1)-(7), a formulação marcal (8) fo consruída: Mn f (x) sa..: Ax = b (8) x x x. Observe que a função objevo não-lnear fo obda a parr da composção das Equações (1) e (2). A resrção de gualdade Ax = b represena as equações de conservação de água descras pela Equação (3). Fnalmene os lmes operaconas dados pelas Equações (4)-(7) esão expressas pela canalzação da varável x em (8). A chave para a rapdez e robusez do MPI desenvolvdo esá na exploração da esruura marcal parcular da marz A e na manpulação da marz Hessana H(x) assocada à função objevo f(x). Para aumenar o desempenho compuaconal, apenas os elemenos da dagonal da marz H(x) são consderados. Iso, porém, podera fazer com que a marz H(x) fosse ndefnda, acarreando problemas de convergênca do méodo, sendo ese problema conornado aravés de uma modfcação do procedmeno proposo em (1). Para maores dealhes sugere-se a referênca (3).

4 RESULTADOS FIGURA 1: Usnas hdráulcas do ssema elérco braslero. O méodo proposo fo esado para rês dferenes casos que dferem em relação ao número de hdrelércas consderadas. O prmero esudo de caso, com uma únca usna com reservaóro, perme a análse dealhada da solução. A usna de Furnas fo seleconada, pos em o reservaóro mas mporane na cabecera da cascaa do Ro Grande, uma das mas mporanes do ssema elérco braslero. O segundo esudo de caso engloba oda a cascaa do Ro Grande (nclundo o Ro pardo) e é composo por 15 usnas hdrelércas, 6 com reservaóro e 9 a fo-d água, represenando uma capacdade nsalada de MW. O ercero esudo de caso corresponde a maor pare do ssema hdrelérca braslero com 74 usnas, 42 com reservaóro e 32 fo-d água, correspondendo a uma capacdade nsalada de MW. Para cada esudo de caso a demanda fo consderada consane durane o período de planejameno e gual a capacdade hdráulca nsalada, de forma a maner aproxmadamene a mesma proporção hdroérmca em odos os esudos. Como função de cuso operaconal fo adoada uma função quadráca que represena aproxmadamene o cuso da complemenação érmca do ssema elérco braslero, dada por 2 Ψ = 0.02( D H ). A Fgura 1 lusra a opologa do ssema hdrelérco braslero. O reservaóro de Furnas é represenado como a usna de número 14 na cascaa do Ro Grande (nclundo o Ro Pardo) composa pelas usnas de número de 11 aé 25. Todas as nformações necessáras para os esudos de caso podem ser obdas em: hp:// (a) Afluênca e defluênca de Furnas no período seco. (b) Afluênca e defluênca de Furnas no período úmdo.

5 5 (c) Volume de Furnas no período seco. (d) Volume de Furnas no período úmdo. (e) Geração hdráulca de Furnas no período seco. (f) Geração hdráulca de Furnas no período úmdo. FIGURA 2: Operação da usna de Furnas para períodos seco e úmdo. Os dos períodos de planejameno de 10 anos foram seleconados, um nclundo o período mas seco (seqüênca de afluêncas mas baxa) correspondene aos anos da década de 50, e oura nclundo o período mas úmdo (seqüênca de afluêncas mas ala) da década de 80. A consderação de períodos de planejameno longos, acma do usual período de planejameno de 5 anos, eve por fnaldade ajudar na compreensão do comporameno da solução óma para dferenes cenáros. A solução óma para o prmero caso, assumndo as afluêncas da década de 50, corresponde às rajeóras de defluênca (urbnagem), armazenameno e geração, que são apresenadas nas Fguras 2-(a), 2-(c) e 2-(e). Quando a defluênca excede a máxma urbnagem, o excesso é verdo. Esa é uma caracerísca do despacho hdráulco ómo, pos é sempre preferível urbnar a verer. Assm, a rajeóra de defluênca da Fgura 2-(a), ocorrendo sempre abaxo da urbnagem máxma, represena ambém a rajeóra de urbnagem óma, uma vez que essa solução não apresenou vermeno. Na Fgura 2-(c), a rajeóra do armazenameno ómo da usna de Furnas alcançou o máxmo quase odos os anos no níco de cada período seco (Mao). Isso ocorre porque a solução procura maner o reservaóro ão cheo quano possível de forma a maxmzar a alura de queda e consequenemene a efcênca do processo de conversão de energa poencal hdráulca em energa elérca. Por ouro lado, a defluênca méda anual em geral acompanha a afluênca méda anual, resrngndo a regulação das afluêncas ao ano hdrológco e segmenando o problema de omzação pluranual em problemas de omzação ndependenes para cada ano. Assm, cada vez que o reservaóro ange o máxmo, uma nova omzação é ncada, como pode ser perfeamene denfcado aravés da mudança abrupa da rajeóra óma observada em Mao de 1951 e de 1952, quando o reservaóro enche e opera como uma usna a fo d água. Quando anos de baxa afluênca são suceddos por anos de ala afluênca, como ocorreu enre Mao de 1955 e Mao de 1957, a omzação compreende períodos maores que um ano, razão pela qual o reservaóro não chega ao seu valor máxmo no níco do período seco, como ocorreu em Mao de Olhando para cada período de omzação enre dos nervalos consecuvos onde o armazenameno de água ange o máxmo, pode ser noado que a rajeóra de defluênca óma apresena uma varação muo menor que a rajeóra de afluênca. Isso se deve à função objevo quadráca, que penalza osclações na geração érmca. Por ouro lado, observa-se um pequeno crescmeno na defluênca ao longo do ano, que se deve ao efeo da coa de monane na produvdade da geração hdráulca. Assm, um pequeno crescmeno da defluênca é preferível a uma defluênca consane, pos acarrea uma rajeóra de armazenameno lgeramene mas ala.

6 6 As Fguras 2-(b), 2-(d) e 2-(f) mosram a solução óma para o esudo de caso 1 com as afluêncas da década de 80. Como se observa, a solução para os úlmos 6 anos dessa década se assemelha à solução da década de 50. Para os prmeros 4 anos, porém, correspondenes ao período mas úmdo do hsórco de vazões, a solução ena reduzr ao máxmo o armazenameno na véspera da chea com a fnaldade de evar vermenos. Esa redução chega ao pono de fazer com que o reservaóro anja seu mínmo armazenameno em Novembro de Mesmo assm, a quandade de água afluene que chega dese momeno aé abrl de 1984 é ão grande que a solução é ncapaz de mpedr a ocorrênca de vermeno. As Fguras 2-(e) e 2-(f) mosram as rajeóras de geração do prmero esudo de caso, para as décadas de 50 e 80. Deve-se noar que as rajeóras de geração apresenam um padrão de comporameno smlar ao mosrado pelas rajeóras de defluênca descras nas Fguras 2-(a) e 2-(b). O esudo de caso 1, com uma únca usna, fo apresenado com o objevo de desacar as caraceríscas da solução hdráulca óma do MOUI. A solução procura mnmzar o vermeno, que represena um desperdíco de água, mas ambém procura maxmzar o armazenameno, que represena um aumeno da efcênca de conversão hdráulca e, porano, da energa hdrelérca gerada. A regularzação das afluêncas é normalmene lmada a cada ano hdrológco, com um lgero crescmeno da geração hdráulca ao longo do ano, e apresenando salos abrupos enre anos hdrológcos consecuvos. As Fguras 3-(a) e 3-(b) mosram a rajeóra de geração hdráulca para o segundo esudo de caso, durane as décadas de 50 e 80. Noe que o perfl das curvas é smlar aos apresenados no prmero esudo de caso, reflendo o fao de que o comporameno da geração da cascaa do ro Grande segue o comporameno da geração da usna de Furnas, seu prncpal reservaóro de cabecera. (a) Geração hdráulca do Grande no período seco. (b) Geração hdráulca do Grande no período úmdo. FIGURA 3: Trajeóras de Geração da cascaa do ro Grande. As Fguras 4-(a) e 4-(b) mosram as rajeóras de geração para o ercero esudo de caso, ambém para as décadas de 50 e 80. De novo, as curvas resulanes são smlares àquelas obdas nos esudos de caso anerores, ndcando agora a mporânca da cascaa do Ro Grande no conexo do SIN. (a) Geração hdráulca do SIN no período seco. (b) Geração hdráulca do SIN no período úmdo. FIGURA 4: Trajeóras de Geração para a cascaa do Grande.

7 7 Os resulados foram obdos pelo MPI proposo mplemenado em Malab 6.1, numa máquna com processador Inel Penum 1.5 GHz, 256 Mb de RAM, e sob o Wndows 2000 Professonal. A Tabela 1 mosra os números das usnas hdrelércas consderadas em cada esudo de caso e a dmensão do correspondene problema MOUI. TABELA 1 Usnas Varáves Resrções de Hdrelércas gualdade Esudo de caso Capacdade nsalada [MW] O empo compuaconal e o número de erações do MPI para odos eses esudos de caso são fornecdos pela Tabela 2. Em geral, o empo compuaconal e o número de erações para as décadas de 50 e 80 é smlar, sendo lgeramene maor para a década de 80 em casos com menor número de usnas. TABELA 2 Esudo de Caso Período Tempo(s) Ierações s 3, s 4, s 13, s 19, s 336, s 333,51 89 Para o ercero esudo de caso, que corresponde a 10 anos de horzone de planejameno e quase a oaldade das usnas do SIN (74 usnas sendo 42 com reservaóro), resulou em um problema com varáves, resrções de gualdade e resrções de desgualdade, que fo resolvdo em menos de 6 mnuos CONCLUSÃO Ese rabalho apresenou um modelo de omzação a usnas ndvdualzadas para o planejameno da operação energéca, resolvdo por méodo de ponos nerores. O modelo fo formulado como um problema de programação não-lnear, permndo a represenação precsa das funções de geração hdráulca e de cusos operaconas. O modelo fo esado em rês dferenes esudos de caso, um somene com a usna de Furnas, ouro com as usnas da cascaa do ro Grande, e fnalmene o úlmo com uma confguração do SIN. Foram ambém consderados dos períodos hdrológcos dsnos, o prmero correspondene à década de 50 (seco) e o segundo correspondene à década de 80 (úmdo). No prmero esudo de caso, a solução fo analsada dealhadamene e comprovada sua omaldade. Nos demas esudos de caso, a rajeóra de geração hdráulca fo comparada com a solução do prmero esudo de caso, ndcando um perfl smlar e mosrando que o comporameno da usna de Furnas prevalece na cascaa do ro Grande, e esa por sua vez prevalece no SIN. Os resulados ndcam que o méodo proposo perme ober a solução do modelo de omzação a usnas ndvdualzadas com robusez e efcênca REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1) A. Alman and J. Gondzo, Regularzed Symmerc Indefne Sysems n Ineror Pon Mehods for Lnear and Quadrac Opmzaon, Opmzaon Mehods and Sofware, Vol. 11, No. 12, pp , (2) R. Bellman, Dynamc Programmng, Prnceon, NJ: Prnceon Unv. Press, (3) A.T. Azevedo, Méodos de Ponos Inerores Aplcados em Ssemas de Poênca Modelados por Fluxo em Redes, Tese de Douorado FEEC UNICAMP Brasl, (4) A.A.F.M. Carnero, S. Soares and P.S. Bond, A Large Scale Applcaon of an Opmal Deermnsc Hydrohermal Schedulng Algorhm, IEEE Transacons on Power Sysems, Vol. 5, No. 1, pp , (5) M.F. Carvalho and S. Soares, An Effcen Hydrohermal Schedulng Algorhm, IEEE Transacons on Power Sysems, Vol. PWRS-2, No. 3, pp , (6) R. S. Dembo, Scenaro opmzaon, Annals of Operaons Research, pp , (7) I. I. Dkn, Ierave soluon of problems of lnear and quadrac programmng, Sove Mah. Doklady., vol. 8, no. 1, pp , (8) M. Chrsofords, M. Aganagc, B. Awobamse, S. Tong, and A. F. Rahm, Long-erm / md-erm resourse opmzaon of a hydrodomnan power sysem usng neror pon mehod, IEEE Trans. on Power Sys., vol. 11, no. 1, pp , (9) M. A. Hanscom, L. Lansdom, and G. Provonos, Modelng and resoluon of he medum erm energy generaon plannng problem for a large hydroelecrc sysem, Managemen Scence., vol. 26, no. 7, pp , 1980.

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