3 Espalhamento eletromagnético de Corpos de Revolução

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1 3 Espalhameno eleromagnéco de Corpos de Revolução 3.. Inrodução Nese capíulo é apresenada a formulação para o espalhameno eleromagnéco por corpos de revolução (BOR Bodes of Revoluon lusrados de forma genérca na Fgura 3. e consuídos por maeral conduor elérco perfeo (CEP. formulação é obda aravés da ulzação das equações negras do campo elérco e magnéco, EFIE (Elecrc Feld Inegral Equaon e MFIE (Magnec Feld Inegral Equaon respecvamene, [4, 84, 87, 9]. Esas equações negras possuem no seu negrando os parâmeros desconhecdos (densdades de correne elérca e magnéca e sua solução é obda aravés da aplcação do Méodo dos Momenos (MoM que ransforma esas equações negras em um ssema lnear de equações algébrcas [39, 4]. smera axal da esruura perme que o problema sea resolvdo em duas dmensões sobre a gerarz que defne o corpo de revolução, mnmzando consderavelmene o esforço compuaconal e possblando a análse de esruuras com dmensões elércas maores. Fgura 3. Geomera do BOR, vsão espacal.

2 Geomera do Corpo de Revolução O BOR é defndo pela roação da sua curva gerarz em orno do seu exo de smera defndo pelo exo caresano z, como lusrado nas Fguras 3. e 3.. curva gerarz é descra por n segmenos de rea, onde cada um possu um ssema de coordenadas local defndos pelos veores oronormas ˆn, ˆ e ˆ φ, sendo ˆn o veor unáro normal à superfíce do BOR, ˆ o veor angene à superfíce do BOR na dreção da curva gerarz e ˆ φ o veor angene à superfíce do BOR na dreção da crcunferênca, expressos em coordenadas clíndrcas por [4, 9]: nˆ = ˆ φ ˆ = cosu ˆ ρ sn uzˆ, (3. ˆ = sn u ˆ ρ + cosuzˆ, (3. onde u é o ângulo enre ˆ e ẑ, como lusrado na Fgura 3.. Fgura 3. Geomera do BOR, vsão longudnal.

3 Equações Inegras do Campo Elérco e do Campo Magnéco Nea seção é apresenada a formulação das equações negras de superfíce (EFIE e MFIE para a solução do espalhameno eleromagnéco por corpos de revolução (BOR consuídos por maeral conduor elérco perfeo (PEC e geomera apresenada na Seção 3.. Fgura 3.3 lusra de forma genérca a geomera de um BOR formado por uma esruura coaxal radane, sendo μ, ε e μ, ε os parâmeros consuvos (permeabldade magnéca e permssvdade elérca, respecvamene dos meos e, respecvamene, J e M as fones suadas no neror da esruura (meo provenenes da excação aravés de um gua de onda coaxal, e a aberura que separa a esruura nerna do espaço lvre (meo. Fgura 3.3 BOR represenando uma esruura coaxal de rradação. Como lusrado na Fgura 3.4, a parr da aplcação do prncípo da equvalênca [84], a pare nerna da esruura coaxal radane é subsuída por um conduor elérco perfeo (PEC e, de forma a assegurar as condções de conorno do problema orgnal, é nduzda uma correne superfcal equvalene M a + b sobre a aberura expressa por: magnéca g E a b onde (, M a b n E a b g ( ˆ + = (,, (3.3 é o campo elérco sobre a aberura expresso aravés da expansão modal dada em (..

4 77 Fgura 3.4 Densdade de correne magnéca nduzda sobre a aberura. Como lusrado na Fgura 3.4, assume-se que o BOR esá presene em um espaço lnear, homogêneo e sorópco (geralmene o vácuo. Novamene, conforme lusrado na Fgura 3.5, aravés da aplcação do prncípo da equvalênca [84], ese problema é subsuído por um problema maemacamene equvalene, onde o BOR é rerado e em seu lugar é colocada a correne superfcal equvalene elérca J s nduzda sobre a superfíce do BOR, nclusve sobre a aberura, de forma a assegurar as condções de conorno do problema orgnal. Fgura 3.5 Problema equvalene exerno. Deermnado o problema equvalene exerno lusrado na Fgura 3.5, onde as correnes equvalenes J s e M g esão presenes no mesmo espaço (meo, porém agora lvres de obsáculos, os campos eleromagnécos radados pela aberura no meo são dadas por [88]:

5 78 Er = ωμjs( r Ψ( rr, Js( r Ψ ( rr, ds + Γ( r ωε s Mg ( a + b Ψ( r, r ds, (3.4 H ( a, b = Js ( r Ψ( r, r ds Γ( r s (3.5 ωεm g ( a + b Ψ( r, r Mg ( a + b Ψ( r, r ds, ωμ sendo R e Ψ =, (3.6 R R = r r, (3.7 = ω με, (3.8 onde denoa a negração sobre a aberura, M a + b elérca nduzda na superfíce, g J ( r é a densdade de correne s é a densdade de correne magnéca nduzda sobre a aberura, dada pela equação (3.3. Consderando que o exo de smera do BOR é o exo Caresano z, o veor unáro normal à aberura será o veor ˆz, n ˆ ˆ = z, e o campo elérco modal só possu componene î ρ, ano para o modo TEM quano para os modos TM, a equação (3.3 pode ser expressa por: M a b a b e M m N M { ˆ g + = l + l l φ} = l l, (3.9 l= l= onde N M é o número de modos consderados sobre a aberura, a l e b l são as ampludes dos modos ncdenes e refledos na aberura, respecvamene, e l represena a componene de campo elérco modal, e

6 79 M = a + b, (3. l l l m = eˆ φ. (3. l l Nas equações (3.4 e (3.5, Γ( r é um parâmero que ausa esas equações em função do pono de observação. Ese parâmero é necessáro, pos, para a deermnação dos campos denro ou fora da regão lmada pela superfíce S do BOR, as negras (3.4 e (3.5 fornecem exaamene os valores de E e H. Porém, se o cálculo for realzado exaamene sobre a superfíce S enão as equações negras fornecem a meade dos valores de E e H [88]. Logo, defn-se o parâmero Γ( r como, se r S Γ ( r = (3., se r S desde que S sea suave. Caso S possua desconnudades na curvaura, Γ( r é defndo em função do ângulo sóldo no pono em S onde os campos são calculados [88]. s equações negras do campo elérco e magnéco são obdas aravés da mposção das condções de conorno sobre as componenes angencas dos campos na nerface S na forma angencal. ssumndo que a nerface S sea suave, ou sea, Γ ( r =, em-se [88]: Mg ( a + b nˆ = η nˆ nˆ J ( r ( r, r J ( r ( r, r ds s s Ψ Ψ s ˆ ˆ n n + Mg ( a + b Ψ ( r, r ds H ( a, b nˆ nˆ = nˆ nˆ Js ( r Ψ( r, r ds s nˆ nˆ + Mg ( a b ( r, r η + Ψ M g ( a + b Ψ( r, r ds (3.3 (3.4

7 8 onde η é a mpedânca nrínseca do espaço lvre, expressa por: η μ = (3.5 ε É escolhda a forma angencal, pos o processo de remoção da componene normal do campo não provoca mudança na dreção das componenes e φ, o que ocorre na forma normal Méodo dos Momenos solução numérca do espalhameno eleromagnéco por BOR conduor elérco perfeo (PEC será obda aplcando-se o Méodo dos Momenos (MoM às equações negras do campo elérco e magnéco, EFIE e MFIE, respecvamene, apresenadas na Seção 3.3. O MoM é uma écnca que perme a solução desas equações negras que possuem no seu negrando os parâmeros desconhecdos (densdades de correne elérca e magnéca ransformando-as em um ssema lnear de equações algébrcas [39, 4, 88] Equação marcal Para ransformar as equações negras (3.3 e (3.4 em um ssema lnear de equações algébrcas, as densdades de correne equvalene elérca J ( r M a + b devem ser represenadas por uma soma fna s e magnéca g de funções de base conhecdas, J ( r e M ( r, mulplcadas por coefcenes desconhecdos, I e M l. Logo a densdade de correne de correne elérca pode ser expressa por: N J ( r = I J ( r, (3.6 s =

8 8 onde N é o número oal de funções de base da densdade de correne elérca J ( r nduzda sobre oda a superfíce S. densdade de correne magnéca dada pela equação (3.9 pode ser represenada por: sendo base, por: M l dado em (3. e N N M g a b Ml BlM r l= = M ( + = m l, (3.7 expresso agora em ermos das funções de N = = m eˆ B M r l l φ l =, (3.8 onde M r N é o número de funções de base da densdade de correne magnéca mpressa somene sobre a aberura, modal para o modo l e elemeno da aberura, suado a B l é o coefcene da expansão ρ do exo de smera do BOR. s funções de base das densdades de correne elérca J ( r e M r devem ser cudadosamene escolhdas para que o magnéca comporameno eleromagnéco das correnes na superfíce do BOR sea correamene represenado e serão abordadas na Seção 3.5. Subsundo (3.6 e (3.7 em (3.3 e (3.4, em-se: η I nˆ nˆ J ( r Ψ ( r, r J ( r Ψ ( r, r ds = N M B nˆ M ( r NJ = s l l l= = N + Ml Bl nˆ nˆ M ( r ( r, r ds, Ψ l= = (3.9

9 8 H ( a, b N J nˆ nˆ = I nˆ nˆ J ( r ( r, r ds Ψ = s N + Ml Bl nˆ nˆ M( r ( r, r η Ψ l= = M ( r Ψ( r, r ds }. (3. Para smplfcar a noação, serão defndos os operadores: K( X ( r = X ( r Ψ( r, r X ( r Ψ( r, r ds, (3. s L( X ( r = X ( r Ψ( r, r ds. (3. s Logo, as equações (3.9 e (3. podem ser expressas por: NJ N η I nˆ nˆ K ( J ( r = Ml B l nˆ M ( r = l= = N M B + nˆ nˆ L ( M ( r, l l l= = H ( a, b N J nˆ nˆ I = nˆ nˆ L ( J ( r = N M B + nˆ nˆ K ( M ( r. l l η l= = (3.3 (3.4 Para ober os coefcenes I e funções de ese W ( r e M l é aplcado o produo escalar das m l em ambos os lados das equações (3.3 e (3.4, respecvamene. Poserormene, para a EFIE expressa pela equação (3.3, é resolvda a negral sobre a superfíce S do BOR e, para a MFIE expressa pela equação (3.4, é resolvda a negral sobre a aberura do BOR, ambas referenes às coordenadas de observação [39, 88]. Logo, em-se:

10 83 η N J = I W nˆ nˆ K ( J ( r ds = s N N M B W nˆ M ( r ds M l l l= = s N Ml Bl W + nˆ nˆ L ( M ( r ds, l= = s N J = m l nˆ nˆ H ( a, b ds = lq q N Blq Wq ( r + nˆ nˆ K ( M ( r ds Bl Ml. η l= = B W ( r nˆ nˆ L ( J ( r ds I (3.5 (3.6 Para o lado dreo da equação (3.6, m l é expresso em ermos das funções de ese dado pela equação (3.8, á para o lado esquerdo m l será dado pela equação (3. e o raameno desa negral será apresenado mas adane. Consderando que: Ψ= Ψ, (3.7 e ulzando as dendades veoras: nˆ nˆ B nˆ B nˆ nˆ nˆ B = = (3.8 n ˆ nb ˆ B = B, nˆ M r = M r nˆ, W( r Ψ ds = ΨW( r ds Ψ W( r ds, S S S (3.9 (3.3

11 84 onde a prmera negral do lado dreo da equação (3.3 é gual a zero, como conseqüênca do eorema da dvergênca bdmensonal. s equações (3.5 e (3.6 podem ser expressas por: I W( r J ( r W( r J ( r ( rr, dsds N J η ( ( = Ψ ss N = Ml Bl W( r M ( r ( r, r ds ds l Ψ = = s + W( r M ( r nˆ ds, s (3.3 m l nˆ nˆ H ( a, b ds = N J B W ( r J ( r Ψ ( r, r ds ds I lq q = s N + Blq Wq ( r M ( r l= = η } Wq( r M ( r Ψ( r, r ds ds BlM l. (3.3 H a b Para o campo magnéco da aberura (, da negral do lado esquerdo da equação (3.3 será fea a expansão modal dada pela equação (., logo, em-se: onde TEM TM TEM TM H a b a b h M h ˆ, (3.33 / / (, = ˆ l l φ = l φl l= l= M = a b l l l φl. (3.34 φ n ˆ Com do anerormene, o veor unáro normal à aberura será o veor ˆz, = ˆ, logo, o produo veoral da negral do lado esquerdo da equação (3.3 z será dado por:

12 85 TEM TM nˆ nˆ H a, b = M h ˆ. (3.35 / l φ l= l φ Consderando as equações (3. e (3.35, a negral do lado esquerdo da equação (3.3 pode ser expressa por: m l nˆ nˆ H ( a, b ds = N π b M TEM / TM TEM / TM INT Ml eρl hφl ρdρdφ = MlYll l= a l=, (3.36 onde π b INT TEM / TM TEM / TM ll l l Y eρ hφ ρdρdφ =. (3.37 a negral dupla da equação (3.37 é dênca a negral da marz [ R ] do MMT, resolvda na Seção.. e dada pelas equações (.6 e (.66 para o modo TEM e para os modos superores TM, respecvamene. Logo, a equação (3.3 pode ser reescra como: NJ INT M lyll = Blq Wq( r J ( r Ψ( r, r ds ds I l= = s N + Blq Wq ( r M ( r l= = η } Wq( r M ( r Ψ( r, r ds ds BlM l. (3.38 s equações (3.3 e (3.38 podem ser escras na forma marcal, aplcando esas equações a cada função de ese, W ( r e Wq ( r respecvamene, expressas por [39, 88]: E T [ ] = [ ] [ ] E Z I Y B M, (3.39

13 86 T [ ] = [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] INT H H Y M B Z I B Y B M. (3.4 Os elemenos da marz Y INT N M N M são dados em (3.37 e das marzes E Z NJ NJ, E Y, NJ N H Z N NJ e Y H N N são: η Z W ( r J ( r E = ss ( W( r ( J ( r Ψ( r, r ds ds Y = W( r M ( r Ψ ( r, r ds ds E s s + W ˆ r M r nds H Zq = Wq ( r J ( r Ψ( r, r ds ds Y W r M ( r s H q = q η ( Wq( r ( M ( r Ψ( r, r ds ds (3.4 (3.4 (3.43 (3.44 O ésmo e l ésmo elemeno dos veores [ I ], N J [ M ] e N M [ ] M, respecvamene, são os coefcenes desconhecdos deermnados no Capíulo 4 aravés da unção enre o Méodo do Casameno de Modos (MMT e do Méodo dos Momenos (MoM. N M 3.5. Funções de Base e de Tese Nesa seção será dscuda a represenação das funções de base e de ese ulzadas pelo Méodo dos Momenos (MoM. Para garanr a precsão e

14 87 convergênca da análse numérca apresenada na Seção 3.4, é de prmordal mporânca a escolha adequada das funções de base e de ese. Ouro pono mporane nesa escolha é fazê-la de forma que as negras resulanes seam smples, faclando o raameno das sngulardades [4]. Para al, foram escolhdas funções de base rangulares (FBT para a represenação das J r M a + b, correnes superfcas equvalenes elérca, expressas por [4, 9]: S, e magnéca, g = ( NJ T J ˆ S r = I ρ (3.45 N M a b M B + = g l l l= = T φ ( ρ ˆ φ (3.46 onde ˆ e ˆ φ são as dreções unáras no pono coordenada que localzam o pono r r sobre a superfíce, sobre a superfíce, é a φ T e T ( são as funções rangulares nas dreções ˆ e ˆ φ, respecvamene, I são os coefcenes complexos desconhecdos assocados à função T, M l dado pela equação (3. são as ampludes complexas desconhecdas dos modos φ ncdenes e refledos na aberura assocados à função T ( dsânca do pono, e ρ é a r ao exo de smera do BOR. dvsão por ρ eva problemas de sngulardades no negrando da equação negral quando ende a zero [9]. Fgura 3.6 lusra a represenação das funções rangulares ao longo da curva gerarz que defne o BOR, onde, cada função de base rangular é defnda sobre dos segmenos consecuvos e, como lusrado na Fgura 3.7, cada segmeno esá assocado a dos meos rângulos ρ R T (meo rangulo à drea da função de base L T e T + (meo rangulo a esquerda da função de base T +. Para um deermnado segmeno fone os meos rângulos R T (à drea e T L + (à esquerda possuem dervada negava e posva, respecvamene, em relação à varável.

15 88 Fgura 3.6 Represenação das funções rangulares ao longo da curva gerarz. Fgura 3.7 Represenação dos meos rângulos. Ese racocíno fo feo apenas para as funções de base relaconadas à J r, no caso das funções de base correne superfcal equvalene elérca relaconadas à correne superfcal equvalene magnéca M g ( a b racocíno é semalhane. Enreano, como lusrado na Fgura 3.8, nas bordas da aberura coaxal são consderados apenas meos rângulos, para a correa represenação para esa correne superfcal equvalene. represenação das funções de base aravés de funções rangulares perme expressar os coefcenes da expansão modal B l como a amplude do campo elérco modal S + o

16 89 para o modo l e elemeno da aberura, suado a ρ do exo de smera do BOR e expresso pelas equações (.93 e (.99 para o modo TEM e modos TM, respecvamene (ver Fgura 3.8. Fgura 3.8 Represenação das funções rangulares assocadas a correne superfcal equvalene magnéca ao longo da aberura e dos coefcenes da expansão modal para o modo TEM. B l Esas funções de base rangulares garanem uma boa represenação para as correnes superfcas equvalenes ao longo de oda a superfíce do BOR e, em especal, quando uma ou ambas as exremdades da curva gerarz nercepa o exo de smera, como lusrado na Fgura 3.6. Quando so ocorre, os segmenos da curva gerarz do BOR que ocam o exo de smera possuem somene um meo rangulo nas dreções ˆ e ˆ φ, permndo a represenação correa da correne nesa regão, evando problemas de sngulardades quando ρ ende a zero [9]. Para o caso de uma superfíce abera, o segmeno da exremdade da gerarz do BOR que não nercepa o exo de smera possu odos os meos rângulos na dreção ˆ φ e somene o meo rângulo da esquerda na dreção ˆ. Iso garane a descrção correa das correnes na borda do BOR, onde a correne na dreção ˆ ende a zero e na dreção ˆ φ ende para um valor fno. Oura vanagem, muo mporane, na ulzação das FBT é que as equações negras resulanes possuem um raameno de sngulardades

17 9 relavamene smples, onde esas sngulardades são da ordem de / R, /( Rρ, /( Rρ,/( Rρρ e 3 / R, sendo R a dsânca do pono de observação ao exo de smera. O méodo de Galern é ulzado na represenação das funções de ese J r e magnéca relaconadas às correnes superfcas equvalenes elérca M a + b g. ulzação desa écnca, geralmene, garane maor precsão, rapdez e conservação de energa da solução [9], e são expressas por: S m W r l N = B q= T = ρ lq T ( ˆ φ q ( ρ, (3.47 ˆ φ, (3.48 onde ˆ e ˆ φ são as dreções unáras no pono r sobre a superfíce, é a coordenada que localzam o pono r φ sobre a superfíce, T ( e T ( q são as funções rangulares nas dreções ˆ e ˆ φ, respecvamene, e ρ é a dsânca do pono r ao exo de smera do BOR. Como menconado anerormene, a dvsão por ρ eva problemas de sngulardades no negrando da equação negral quando ρ ende a zero. Ulzando as funções de ese e de base dadas nas equações (3.45, (3.46, (3.47 e (3.48, os elemenos das marzes mpedânca e admânca expressos nas equações (3.4, (3.4, (3.43 e (3.44 podem ser reescros como: η ( T ( T ( T ˆ ˆ E Z = 4 π ρ ρ ss T ˆ ˆ Ψ( r, r ds ds, ρ ρ (3.49 s ( ( E T T Y ˆ ˆ = φ ( r, r ds ds 4 π Ψ ρ ρ ( ( ( φ T T + ˆ ˆ nˆ ds, ρ ρ s (3.5

18 9 s ( Tq T H ˆ Zq = φ ˆ ( r, r ds ds 4 π Ψ ρ ρ, (3.5 Y H q ( T q T = ˆ φ ˆ φ 4 πη ρ ρ Tq ˆ T ˆ φ φ Ψ( r, r ds ds. ρ ρ ( valação Numérca das Marzes Impedânca e dmânca Defndas as funções de base e de eses na Seção 3.5, as marzes mpedânca e admânca das equações negras de campo elérco e magnéco, dadas pelas equações (3.49-(3.5, são avaladas numercamene de forma semelhane ao procedmeno dado em [4, 9]. Consderado o ssema de coordenadas defndo na Fgura 3., onde ds = ρddφ, (3.53 ds = ρ d dφ, (3.54 e ulzando as relações ˆ = senu cosφˆ + senu senφˆ + cosu ˆ, (3.55 x y z ˆ = senu cos φ ˆ + senu sen φ ˆ + cosu ˆ, (3.56 x y z ˆ φ = sen ˆˆ φ + cosφˆ, (3.57 x y ˆ φ = sen ˆ φ ˆ + cos φ ˆ, (3.58 x ( φ φ ˆ ˆ = senu senu cos + cosu cosu, (3.59 y ˆ φ ˆ φ = cos φ φ, (3.6 ( T ( T T ˆ = ρ = ρ ρ ρ ρ T ˆ T T = ρ = ρ ρ ρ ρ (, (3.6, (3.6 Tq ˆ Tq φ = =, (3.63 ρ ρ φ ρ

19 9 T ˆ T φ = =, (3.64 ρ ρ φ ρ Os elemenos das marzes mpedânca das equações negras de campo elérco e magnéco E Z e (3.5, são reescros como: H Y q, respecvamene, dadas pelas equações (3.49 e π π E η { ( T ( T ( ( ( φ φ Z = T T senu senu cos + cosu cosu Gdd E φ ddφ, (3.65 π π { ( } ` H Yq = Tq T cos φ φ GEd dφ ddφ, η (3.66 sendo: onde G E KR e =, (3.67 KR φ φ R = r r = ( ρ ρ + ( z z + 4 ρρsen. (3.68 Para os elemenos das marzes admânca das equações negras de campo elérco e magnéco, Y E e Z H q respecvamene, consderando as equações (3.53, (3.54, (3.55, (3.56, (3.57 e (3.58, e sendo ˆ φ ˆn= ˆ (3.69 e KR Ψ ( rr, 3 + KR e 3 Ψ ( rr, = K R K R KGR H R + R = =, ( KR ( KR (3.7 onde

20 93 G H + K R e = KR ( KR ( KR, (3.7 R = ˆ + ˆ + z z ˆ, (3.7 [ ρcos φ ρcos φ ] [ ρsen φ ρsen φ ] [ ] x y z ˆ ˆ φ R = cos ( φ φ sen u( z z ρcos u + ρcosu, (3.73 ˆ φ ˆ R = ( z z senu cos ( φ φ + cos u ρ ρcos ( φ φ. (3.74 s equações (3.5 e (3.5 são reescras como: K Y = π F + T ( T ( { cos u ρ ρcos ( φ φ ( π π E ( ( } + z z senu cos φ φ G d dφ ddφ, H K Z = T T z z u + 3 π π H q q ( ({ sen cos ( φ φ ( } cos u ρ ρcos φ φ GH d dφ ddφ, (3.76 onde G H é dado em (3.7 e F ( =. (3.77 T T ρ d plcando a ransformação de varáves: φ = φ φ, (3.78 dφ = dφ. (3.79 Esa ransformação elmna a dependênca do negrando em relação à φ, o que perme a solução drea dessa negral. Com relação à φ, o negrando é

21 94 smérco e os valores para φ são guas aos valores para φ. Logo, os elemenos das marzes mpedânca, equações (3.65 e (3.66, e admânca, equações (3.75 e (3.76, podem ser reescras como: { ( T ( T ( ( ([ sen sen cos cos ] E = η + Z T T u ug u ug G d d, (3.8 Y T T Gd d ( ( H q q η =, (3.8 { Y = πf + K T T ρcosug E 3 3 ( ρ ρ ( 4} cosu-sen u z z G d d, (3.8 { Z = K T T ρcosug + H q 3 q 3 ( ρ ρ ( 4} cosu sen u z z G d d, (3.83 onde π G, = cos φ G dφ, (3.84 E π G, = G dφ, (3.85 π = ( φ E G3, cos GH dφ, (3.86 π G, = cos φ G dφ, ( φ H R= ( ρ ρ + ( z z + 4 ρρsen. (3.88 Para a solução das negras em e, esas coordenadas serão paramerzadas em função de α e α, respecvamene, da segune forma:

22 95 + αδ, para T = + α Δ, para T L R + ( α Δ, para T = + α Δ, para T L R + (3.9 onde e ( e são os ponos ncas dos elemenos das funções rangulares de ese e de base de amanho Δ e Δ ( Δ + e Δ +, respecvamene, como lusrado na Fgura 3.7. Ulzando os parâmeros α, α e a defnção das funções rangulares lusrada nas Fguras 3.6 a 3.8, as funções T (, ( T, suas dervadas em cada segmeno e as coordenas ρ, ρ, z e são represenadas por: z ( T L ρ = ρ + αδρ α, para T, logo z = z + αδz = ρ ρ R = + αδρ+ α, para T, logo z = z + αδz+ (3.9 T ( L ρ = ρ + α Δρ α, para T, logo z = z + α Δz = ρ ρ α ρ R = + Δ + α, para T, logo z = z + α Δz+ (3.9 ( T (, para T Δ =, para T Δ + L R (3.93 ( T ( Δ, para T =, para T Δ + L R (3.94

23 96 Ulzando as equações (3.89-(3.9, e após algumas manpulações algébrcas, as equações (3.8-(3.83 são reescras como: { Z G u u E = η Δ + Δ + sen Rsen R + G Δ senu Δ senu Δ senu + R L + R + G Δ senu Δsenu Δ senu + R L + R ( sen L + sen R( sen L + sen R + G Δ u Δ u Δ u Δ u + G Δ Δ cosu cosu + + R R + G Δ cosu Δ cosu Δ cosu + R L + R + G Δ cosu Δ cosu Δ cosu + R L + R L + R L + R } + G Δ cosu Δ cosu Δ cosu Δ cos u, (3.95 { Y G G H q = Δ ì+ Δ + + Δ ì+ Δ Δ + η } + G Δ Δ Δ + G Δ Δ Δ Δ + ì ì+ ì ì+ +, { { Y = πg + Δ cosu Δ ρ G + G +Δρ G G ρ G E F L Δ ρg +Δ + ρ ( G G + G G +Δρ+ ( G G G + G ( G G ρ( G G } senul{ ( z z G zg Δ zg z ( G G z( G G ( z v( G G +Δ + Δ + +Δ + } Δ+ cosur{ Δ ρ ( G G + G G + Δρ ( G G G + G Δρ+ ( G G ρ( G G + Δ + ρ( G G G + G ( G G G + G + G G G + G Δρ+ ( G G G + G Δρ + ( G G G+ G G+ G + G G } senur{ z ( G G z ( G G ( z z ( G G Δ + Δz+ ( G G G + G + Δz+ ( G G G + G ( z z( G G G + G }}, ρ + Δ + +Δ Δ +Δ ρ 3 3 +Δ Δ Δ + Δ + (3.96 (3.97

24 97 { { Z = Δ cosu Δ ρ G + G +Δ ρ G + G + ρ G Δρ G H q L q q q q Δ q+ ρq( G G + G G + Δρq+ ( G G + G G ( G G ρ ( G G } senul{ q ( zq z G ΔzG q Δ zg +Δ q+ Δzq+ ( G G + ( zq z ( G+ G Δ z( G + G } cosur{ + Δ + Δ q ρq ( G G + G G Δρq( G G + G G ρ ( G G Δρ + ( G G Δ q+ ρq( G G G + G+ G G G + G Δρq+ ( G G G + G+ G G G + G ρ ( G G G + G Δρ+ ( G G G + G } { Δ q+ Δzq+ ( G G G + G Δ z+ ( G G G+ G ( zq z( G G G + G }}, ρ + Δ + Δ Δ Δ senu Δ Δz G G Δz G G + z z G G R q q + q onde (3.98 v G, = Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3.99 v G, = α Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3. v G, = α Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3. v G, = αgv, dα dα v=,, 3 e 4 (3. v G, = α Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3.3 v G, = αα Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3.4 v G, = αα Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3.5 v G, = αα Gv, dα dα v=,, 3 e 4 (3.6

25 98 sendo αl { αr αr αr αr + 4 } G = F Δ G +Δ G G G + G, (3.7 G α L α = dα, (3.8 ρ + αδρ v α R α Gv = dα, v=,, e 4. (3.9 ρ + αδρ + avalação numérca e o raameno das sngulardades das negras das marzes Z e Y são dscudas no pêndce D.