Modelagem de Escoamento em Aqüíferos Longos Baseada no Método de Elementos Analíticos

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1 José Anderson do Nascmeno Basa Modelagem de Escoameno em Aqüíferos Longos Baseada no Méodo de Elemenos Analícos Tese apresenada à Escola de Engenhara de São Carlos como pare dos requsos para a obenção do Tíulo de Douor em Cêncas da Engenhara Ambenal. Orenação: Prof. Harry Edmar Schulz Co-orenação: Prof. Edson Cezar Wendland São Carlos - SP 6

2 Fcha caalográfca preparada pela Seção de Traameno da Informação do Servço de Bbloeca EESC/USP B333m Basa, José Anderson do Nascmeno Modelagem de escoameno em aqüferos longos baseada no méodo de elemenos fnos / José Anderson do Nascmeno Basa. - São Carlos, 6. Tese Douorado - Escola de Engenhara de São Carlos-Unversdade de São Paulo, 6. Área: Cêncas da Engenhara Ambenal. Orenador: Prof. Dr. Harry Edmar Schulz. Co-orenador : Prof. Edson Cezar Wendland.. Hdráulca Ambenal.. Méodo de elemenos analícos. 3. Aqüíferos longos. I. Tíulo.

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4 Dedco para Sabrna, Flpe e Pedro.

5 Agradecmenos Os agradecmenos a segur são nformas, porém, necessáros e exsem em função dos números aos gualmene desobrgados realzados em benefíco dese rabalho. Esa ese é fruo de muas conversas, dscussões, sugesões, crícas que produzram esclarecmenos, dúvdas e, prncpalmene, movação. Logo no níco, colegas de classe com quem converse, ou apenas comenáros de amgos a respeo esmularam-me à curosdade sobre o ema. Com a chegada dos prmeros resulados, as dúvdas levanadas por pessoas neressadas em palesras que fz e, de ouro lado, correspondêncas que manve com dversos auores va e- mal foram necessáras para me alerarem para dfculdades. No enano, ao longo de odo rabalho, o smples fao de expor um problema a um colega muas vezes permu ober colocações ou quesões que valeram de precosos feedbacks. Nese sendo, posso dzer que Jorge e Quaresma são as pessoas mas pacenes e soldáras que exsem. A camnho do fnal do rabalho, próxmo ao érmno do prazo, a compreensão do Professor Harry pôs fm a qualquer ansedade. Tenho ambém muo a agradecer ao Professor Edson pela confança que dspensou a mm nos seus proeos de exensão durane o período pós-bolsa. Enreano, é precso, anda, menconar o fao de que ese rabalho não era sdo possível sem a oração de meus pas, mnha sogra e mnha esposa Sabrna. Porano, esa ese é fruo de mua movação, consruída por meo da ddáca formal, mas, ambém, da nformal e esa regda por Deus. A Ele oda gradão e louvor.

6 Passa dane do povo, e oma congo alguns ancãos de Israel, leva congo em mão a vara, com que ferse o ro, e va. Es que esare al dane de sobre a rocha de Horebe; ferrás a rocha, e dela sará água, e o povo beberá. Êxodo 7. 5, 6 Toma a vara, auna o povo, u e Arão, eu rmão, e, dane dele, fala à rocha, e dará a sua água; asssm lhe rares água da rocha, e dares a beber à congregação e aos seus anmas. Números. 8

7 Resumo Basa, J. A. N. 6 Modelagem de Escoameno em Aqüíferos Longos Baseada no Méodo de Elemenos Analícos. Tese de Douorado. Unversdade de São Paulo. São Carlos- SP. O Méodo de Elemenos Analícos em se mosrado uma alernava convenene para a consrução de modelos regonas de escoameno suberrâneo. O Méodo ulza soluções elemenares analícas e, porano, não necessam de conornos arfcas. Enreano, a caracerzação de froneras exernas de aqüíferos consderados longos Aqüíferos Longos acarrea dúvdas quano à presença do efeo de borda na smulação. Assm, nese rabalho, o Méodo de Elemenos Analícos é esenddo para a modelagem de escoamenos em Aqüíferos Longos elmnando-se a possbldade da presença de efeos de borda. O domíno desses aqüíferos é mapeado em um sem-plano ulzando-se a ransformação de Schwarz- Chrsoffel. Dessa forma, elemenos de regme esaconáro são mapeados unamene com o domíno para o sem-plano e, porano, sua formulação é modfcada. Os conornos do semplano, por sua vez, são represenados pelo Méodo de Imagens. Elemenos de escoameno ransene são abordados ulzando-se a formulação de Zaadnoordk. São realzadas correções algébrcas e compuaconas na formulação desses elemenos. No enano, o mapeameno de domíno não é exensvo aos elemenos ransenes. Sua aplcação em Aqüíferos Longos é fea de manera aproxmada ulzando-se apenas o Méodo de Imagens dreamene sobre o aqüífero. Em seguda, a exensão proposa para o Méodo de Elemenos Analícos é analsada em um problema hpoéco. Fnalmene, é fea uma modelagem para a avalação de mpacos ambenas devdos a um ssema de capação de água localzado em uma porção do Aqüífero Barreras no Esado do Ro Grande do Nore sobre a Lagoa do Bonfm. O modelo é calbrado em regme permanene fornecendo uma esmava de recarga de mm/mês e, enão, esma os mpacos permanenes do ssema sobre a Lagoa do Bonfm, onde é fea a capação. O mpaco do bombeameno reduz aproxmadamene 5,36m do nível de água naural da Lagoa. Um cenáro de seca é, ambém, smulado em regme ransene. A parr dos resulados obdos avala-se que dos meses de ausênca de recarga drea aumenam aproxmadamene,5m a redução do nível de água da Lagoa do Bonfm. Palavras-chaves: Hdráulca Ambenal, Méodo de Elemenos Analícos, Aqüíferos Longos.

8 Absrac Basa, J. A. N. 6 Elonged Aqufer Flow Modelng Based on Analyc Elemen Mehod. Docoral Thess. Unversdade de São Paulo. São Carlos-SP. The Analyc Elemen Mehod has shown self an elegan alernave o regonal groundwaer flow modelng. The Mehod apples elemenary analyc soluons and, herefore, arfcal boundares are no a necessy. However, froners of such consdered Elonged Aqufers carres ou some quesons abou edgng effecs n he model resuls. In hs work, he Analyc Elemen Mehod s exended o Elonged Aqufer flow compleely elmnang any edgng effec. To do hs, such aqufers are mapped no a sem-plan by means of he Schwarz-Chrsoffel ransform. Nex, seady flow elemens are mapped accordngly o he doman ransformaon and consequenly s formulas are modfed suably. Then, Mehod of Image gves boundary condons n sem-plan. Transen flow elemens due o Zaadnoordk are consdered. Msakes n algebrac and compuaonal aspecs were correced. Neverheless, doman mappngs are no performed o ransen elemens. Applance of such elemens o Elonged Aqufers s performed n an approxmaed manner wh he Mehod of Image us upon he aqufer. Afer ha, a hypohec example s performed n order o analyze he new elemens, gven successful resuls. Then, a case sudy s developed n order o assess he mpac due o a waer supply sysem n he Barreras Aqufer, Ro Grande do Nore Sae, on Bonfm Lake. The model s calbraed, obanng he recharge rae parameer equal o mm/monh, and hen s used o evaluae waer level depleon n Bonfm Lake. Waer level changng n Bonfm Lake s gven by he seady sae flow 5.36m down. Fnally, a ransen flow model s bul n order o oban waer level changes due o recharge absence. Accordng o resuls, recharge absence durng wo monh long enlarges.5m, approxmaely, waer depleon n Bonfm Lake. Key-words: Envronmenal Flow, Analyc Elemen Mehod, Elonged Aqüífers

9 Lsa de Smbolos A marz de coefcenes A, B consanes deermnadas por condções de conorno B veor de ermos ndependenes C conorno de uma superfíce de conrole; consanes de negração c veor de nensdade do dpolo no espaço c m d D D E e el F ressênca ransversal da camada semconfnane nferor do aqüífero m dâmero médo dos grãos do meo domíno da solução ensor de proporconaldade enre a descarga aparene e o campo gravaconal do escoameno campo gravaconal índce denfcador de espelhos índce denfcador de elemenos função que sasfaz a eora do poencal f, g, F, G funções g aceleração da gravdade no local h alura da lâmna de água do escoameno H espessura do aqüífero h veor formado pelos elemenos φ m H * H m I espessura de paredes esruuras horzonas presenes no aqüífero espessura do aqüífero m ndce da lnha do elemeno do ensor de conduvdades do meo poroso negral, índces ulzados na denfcação de ermos de uma sére î, ĵ, kˆ versores do ssema caresano de coordenadas K K - ndce da coluna do elemeno do ensor de conduvdades do meo poroso conduvdade hdráulca do meo poroso saurado conduvdade hdráulca em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo

10 k K * K K K m K L L m m n N n e N m p pc Q q Q * Q Q - Q Q permeabldade nrínseca do maeral poroso; índce ulzado em séres conduvdade hdráulca de paredes esruuras horzonas presenes no aqüífero conduvdade hdráulca em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo elemenos do ensor de conduvdades do meo poroso conduvdade hdráulca do aqüífero m ensor de conduvdades do meo poroso comprmeno do ubo ulzado no Expermeno de Darcy espessura da camada semconfnane nferor do aqüífero m índce que denfca o aqüífero em um ssema de camadas aqüíferas número de ermos de uma sére axa de recarga do aqüífero porosdade efeva do meo axa de recarga do aqüífero m pressão do fludo; polnômo de correção do poencal no nfno pono de conrole velocdade aparene do escoameno oalzada na dreção vercal velocdade aparene do escoameno, ou sea, a descarga de água por undade área perpendcular à sua dreção velocdades aparenes dsrbuídas ao longo de paredes esruuras horzonas presenes no aqüífero velocdade aparene bdmensonal em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo velocdade aparene bdmensonal em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo componene horzonal da velocdade aparene bdmensonal em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo componene horzonal da velocdade aparene bdmensonal em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo

11 Q Q componene vercal da velocdade aparene bdmensonal em relação a um segmeno de rea em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo componene vercal da velocdade aparene bdmensonal em relação a um q x q y q z r R S S s s S T segmeno de rea em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo velocdade aparene do escoameno na dreção x velocdade aparene do escoameno na dreção y velocdade aparene do escoameno na dreção z posção relava a um pono reflexo obdo pelo Méodo de Imagens dane de uma deermnada fronera coefcene de armazenameno bdmensonal do aqüífero conuno de ponos obdos de um domíno refledo medane o Méodo de Imagens deslocameno do escoameno nensdade de um dpolo plano coefcene de armazenameno específco para solos vercalmene consoldanes nsane de empo onde o fenomeno ocorre ransmssvdade do aqüífero u, v, w varáves auxlares v índce para denfcação de vérces de uma polgonal V volume de conrole W varável complexa que represena a velocdade aparene oalzada na vercal X pare real da coordenada complexa admensonal x, y, z coordenadas do ssema caresano de localzação no espaço Y - Y Y Z z z lme negavo da pare magnára da coordenada complexa admensonal pare magnára da coordenada complexa admensonal lme posvo da pare magnára da coordenada complexa admensonal coordenada complexa admensonal de um pono em relação a um segmeno de rea coordenada do plano complexo coordenada complexa do cenro geomérco de uma polgonal z coordenada do plano complexo no exremo orgnal de um segmeno de rea

12 z coordenada do plano complexo no exremo ermnal de um segmeno de rea Zea plano admensonal de mapeameno de elemenos ulzados em Aqüíferos Longos varável admensonal de negração sobre um segmeno de rea φ φ carga pezomérca méda carga pezomérca na exremdade de maor abscssa do ubo ulzado no Expermeno de Darcy; função qualquer que sasfaz equações lneares φ carga pezomérca na exremdade de menor abscssa do ubo ulzado no Expermeno de Darcy; função qualquer que sasfaz equações lneares h γ v γ Φ Φ c Φ e k Φ b Φ a Φ Φ ss Φ Φ Γ el λ Λ e Θ el produção de massa fluda por undade de área; dvergene produção de massa fluda por undade de volume poencal de descarga parcela do poencal de descarga devdo a elemenos de esforços calculados parcela do poencal de descarga devdo a elemenos de esforços especfcados parcela do poencal de descarga devdo a um efeo ocorrdo em deermnado nsane poencal de descarga do lado exerno de um elemeno Areasnk poencal de descarga do lado nerno de um elemeno Areasnk poencal de descarga em regme esaconáro em um pono poencal de descarga em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo poencal complexo de descarga em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo condções da solução no conorno C coefcene da dsrbução de esforços de um dado elemeno função de nfluênca de um elemeno operação do Méodo de Imagens sobre um elemenos

13 Ω Ω Ω Ξ Ψ Ψ Ψ β χ δ φ φ m φ φ ϕ λ λ poencal complexo de descarga poencal complexo de descarga em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo poencal complexo de descarga em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo pare real de um pono do plano Zea lnhas de correne lnhas de correne em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo lnhas de correne em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo coefcene de compressbldade da água; ângulo de um segmeno de rea; coefcene de dfusvdade do escoameno coefcene de compressbldade do maeral poroso; roaconal da velocdade aparene; dreção da nensdade do dpolo consane real da Equação de Helmholz; função paramérca das lnhas de correne; poencal de Zhukovsk; fun varável de negração sobre um segmeno de rea carga, ou energa, pezomérca da água; função qualquer que sasfaz equações lneares carga, ou energa, pezomérca do aqüífero m carga pezomérca em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo carga pezomérca em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo ordenada de um pono em relação ao cenro de um segmeno de rea ordenada de um pono localzado em um plano ulzado para mapeameno varável auxlar função paramérca das lnhas de correne; dsrbução de esforços devdos a dpolos ransversas a um dado segmeno de rea veor de ncógnas dos esforços dos elemenos

14 µ vscosdade dnâmca do fludo; dsrbução de esforços devdos a dpolos alnhados a um segmeno de rea θ ângulo; coordenada angular de um pono θ θ ρ σ τ τ ω ζ I R coordenada angular de um pono em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme posvo coordenada angular de um pono em posções onde a pare magnára da coordenada complexa admensonal enconra-se no lme negavo massa específca do fludo dsrbução da axa de descarga ao longo de um segmeno de rea nsane de empo ncal de negração varável de negração emporal coefcenes presenes nos ermos de uma equação dferencal abscssa de um pono em relação ao cenro de um segmeno de rea; abscssa de um pono localzado em um plano ulzado para mapeameno plano de coordenadas complexas em relação ao cenro de um segmeno de rea; pono localzado em um plano ulzado para mapeameno pare magnára de um número varável complexo pare real de um número varável complexa

15 Sumáro Inrodução... 5 Capíulo FUNDAMENTOS DO ESCOAMENTO DE ÁGUA EM AQÜÍFEROS Conceos Hdrogeológcos Les Fundamenas Equações Governanes... Capíulo FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS Águas Suberrâneas e Campos Veoras Campos Irroaconas Campos Roaconas Prncípo da Sobreposção Decomposção de Helmholz Funções Analícas em Águas Suberrâneas Varáves Complexas Funções Analícas Funções Harmôncas Inegras de Lnha em Águas Suberrâneas Lnha Poço Lnha Dpolo Inegração do Poencal de Newon sobre uma Lnha Inegral do Dpolo Elérco sobre uma Lnha Inegração do Poencal de Newon sobre um Anel Vórce sobre um Anel Represenação de Froneras Exernas em Águas Suberrâneas Méodo de Imagens Transformações de Schwarz-Chrsoffel... 5 Capíulo 3 3 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS Poencal Unfcado Elemenos Esaconáros Poencal de Descarga Devdo a um Lago Crcular Lnesnks de Ordem Dos Lago Polgonal de Ordem Dos Lnedpole e Lnedouble de Ordem Dos Areasnk de Esforço Unformemene Dsrbuído Elemenos Transenes Poencal de Descarga Devdo a um Lago Crcular Lnesnk de Ordem Dos e Grau Zero Lago Polgonal de Ordem Dos e Grau Zero Lnedouble de Ordem Dos e Grau Zero Areasnk Ordem Zero e Grau Zero Condções de Conorno Poencal Conhecdo Esruuras Drenanes Vazão Específca Conhecda Condções de Conorno Combnadas... 3

16 3..5 Esruuras Sem-permeáves Condções Transenes Implemenação Compuaconal Classes de Obeos Geomércos Classes de Obeos Analícos Classfcação dos Procedmenos Obeos Analícos Transenes Avalação da negral de Rosser Exemplo de Aplcação... Capíulo ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS Escopo do Méodo de Imagens Transformações de Schwarz-Chrsoffel para Duas Froneras Relíneas Uso de Elemenos Analícos em Domínos Alongados Recarga Drea Compreendda por Duas Froneras Paralelas Aplcação do Méodo de Imagens sobre Elemenos Analícos Aplcação de Transformações de Schwarz-Chrsoffel sobre Elemenos Analícos.... Implemenação Compuaconal Classes CoasalAqufer Transformações de Domíno Classes de Espelhos Classes de Imagens Procedmeno de Consrução de Obeos Imagens Procedmenos de Solução nos Obeos Imagens Exemplo de Aplcação... 5 Capíulo 5 5 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Área de Esudo Clma e Pluvomera Recursos Hídrcos Geologa Uso e Ocupação do Solo Esudos Anerores de Poencomera na Área de Esudo Esudos Anerores de Impacos sobre a Lagoa do Bonfm Modelagem do Escoameno Suberrâneo e Calbração Modelo Conceual Base de Dados Modelo Compuaconal Calbração Resulados e Dscussões Conclusões Referêncas Bblográfcas Apêndce A Apêndce B Apêndce C... Índce de Auores... 7 Índce Remssvo... 8

17 5 Inrodução A modelagem de escoameno em sdo amplamene ulzada para o planeameno e a gesão de recursos hídrcos. A necessdade da ulzação de modelos para esses fns em crescdo à medda que cresce a demanda desses recursos. As formações geológcas onde é possível a exploração de águas suberrâneas, geralmene, esendem-se muo além das regões para as quas são consruídos os modelos. Sob essas crcunsâncas, lança-se mão do uso de froneras arfcas para lmar o domíno do modelo. Alernavamene à práca de ulzação de froneras arfcas, o Méodo de Elemenos Analícos na leraura nernaconal, Analyc Elemen Mehod ou AEM é formulado em ermos de funções analícas, e porano, é adequado para a modelagem de regões aberas Srack, 989. Essas formações geológcas comumene apresenam-se, anda, em formas alongadas, ou sea, esreas em relação à sua dreção de maor comprmeno. Enreano, a represenação de froneras de domínos sem-nfnos por meo do AEM comumene acarrea dúvdas quano aos créros a serem adoados para se evar evenuas efeos de borda. Aqüíferos com essa conformação são chamados nese rabalho de Aqüíferos Longos e podem ser caracerzados por meo de uma faxa de domíno nfna, sobre a qual componenes b ou rdmensonas do escoameno podem ser modeladas. No Brasl, o Aqüífero Barreras compreende uma largura muo pequena em relação à sua exensão e, porano, consu-se em um exemplo de Aqüífero Longo. No Esado do Ro Grande do Nore, o Aqüífero Barreras fornece água para dversos ssemas de abasecmeno públco de água. O Ssema Aduor Agrese/Trar/Poeng possu o maor ssema de capação nsalado na porção do Aqüífero gerencada pelo Esado. A capação do Ssema enconra-se nsalada na regão do Ssema Lacusre Bonfm, onde enconram-se, anda, dversos córregos e lagoas ulzados para avdades recreavas. Os mpacos ambenas do ssema êm sdo amplamene dscudos na socedade, bem como na comundade écnco-cenífca, desde sua fase de concepção, em 996, aé hoe. No enano, embora relaóros de consulora aponem poços de capação alernavos e.g. Manuel Flho e Casro,, a modelagem da hdrodnâmca do ssema realzada em esudos anerores não em reproduzdo o comporameno observado em campo Perera e al., 3. Ese rabalho em o obevo de, em prmero lugar, esender o Méodo de Elemenos Analícos para a modelagem de escoamenos em Aqüíferos Longos, uma confguração de domíno anda não abordada na leraura do méodo. Em segundo lugar, ese rabalho vsa

18 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 descrever o escoameno suberrâneo da regão do Ssema Lacusre Bonfm, fazendo smulações baseadas em Elemenos Analícos e, assm, nroduzr novos subsídos à dscussão sobre a hdrodnâmca da área de esudo. A modelagem baseada em Elemenos Analícos perme o enrquecmeno da análse do escoameno à medda que são ulzadas funções explícas para cada efeo nroduzdo ao modelo. Porano, esse rabalho conrbu ano para a exensão do Méodo de Elemenos Analícos, amplando-se o seu alcance de aplcação, como para o conhecmeno da hdrodnâmca do Ssema Lacusre Bonfm. No prmero capíulo, apresena-se os conceos e equações fundamenas no esudo de escoamenos em meos porosos no âmbo da Engenhara de Recursos Hídrcos. No segundo capíulo, apresena-se uma vsão geral sobre ferramenas analícas comumene ulzadas no esudo do escoameno de águas suberrâneas. No ercero capíulo, o Méodo de Elemenos Analícos é apresenado. Como conrbução ao esado-da-are do méodo são revsas algumas equações ulzadas na leraura e nroduzdos aperfeçoamenos de modo a corrgr expressões que descrevem de forma nsasfaóra o comporameno de alguns elemenos. No quaro capíulo, é desenvolvda uma nova formulação para a smulação de escoameno em Aquferos Longos baseada no Méodo de Elemenos Analícos. Observa-se que essa écnca dspensa o uso de elemenos em froneras exernas permndo, ambém, que a defnção de elemenos nos conornos nernos do Aquferos Longos sea fea de manera aproprada. Por fm, no quno capíulo, a meodologa desenvolvda é esada em um problema real consrundo-se um modelo de Elemenos Analícos para o esudo do escoameno suberrâneo no Ssema Lacusre Bonfm. Embora a mplanação da capação enha movado dversos esudos, o presene rabalho conrbu para a quesão, fornecendo uma calbração dos parâmeros hdráulcos e smulando cenáros de seca na regão.

19 7 Capíulo FUNDAMENTOS DO ESCOAMENTO DE ÁGUA EM AQÜÍFEROS Nese capíulo são apresenados conceos e equações fundamenas para o esudo de escoamenos em meos porosos.. Conceos Hdrogeológcos A água exse em uma quandade fna e é enconrada nos seus rês esados físcos na amosfera, sobre a superfíce erresre e no neror de nosso subsolo. O esudo de sua ocorrênca, movmenação e reações com o meo ambene, defne, em poucas palavras, o obeo da Hdrologa Vllela e Maos, 975. De manera geral, as rochas enconradas no subsolo são consuídas de maeras porosos, capazes de absorver água. Penerando-se a superfíce erresre após uma cera profunddade, os poros do maeral perfurado serão enconrados compleamene preenchdos com água. A água enconrada nos poros saurados do subsolo é denomnada Água Suberrânea Feer, 99. Hdrogeologcamene, rochas e solos são classfcados de acordo com sua capacdade de ransmr água. Formações mpermeáves recebem a denomnação de Aqücludes. Formações geológcas com baxa permeabldade são denomnadas Aqüardes. Fnalmene, os Aqüíferos consuem-se formações capazes de armazenar e ransmr água sufcene para fornecer quandades razoáves para poços Feer, 99. A ocorrênca de águas suberrâneas pode ser observada com baxa concenração de sas doce ou com uma concenração elevada de sas dssolvdos das rochas salobra. Na Tabela.. apresena-se a dsrbução da água na Terra desacando a ocorrênca de águas suberrâneas. Os valores enre parêneses referem-se a suboas da lnha superor. Reservas permanenes de gelo, vapor de água na amosfera e água nos seres vvos não esão dsponíves para o abasecmeno humano. Pode-se nferr da Tabela.. que as águas suberrâneas doces consuem 96,3% de oda água doce dsponível no planea. Somene 3,7% de oda água dsponível ros, lagos e pânanos enconram-se sobre os connenes.

20 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 Tabela.. Dsrbução da água no cclo hdrológco. Fone Hídrca Volume. km 3 Percenual do Volume Toal Percenual do Volume Doce Oceanos, Mares e Baías ,5 - Capas e Monanhas de Gelo e Neve.6,7 68,7 Permanenes Água Suberrânea 3.,7 - Doce.53,76 3, Salobra.87,9 - Umdade do Solo 6,5,,5 permafros 3,,86 Lagos 76,,3 - Doce 9,,7,6 Salobra 85,,6 - Amosfera,9,, Pânanos,7,8,3 Ros,,,6 Seres Vvos,,,3 Toal ,, Fone: Gleck, P. H., 996: Waer resources. In. Schneder, S. H ed. Encyclopeda of Clmae and Weaher, Oxford Unversy Press, New York, vol., pp Em oda Terra, a água é submeda a uma renovação dnâmca e perene com dferenes nensdades e escalas de empo de acordo com o ambene onde se enconra. De uma forma geral, ambenes onde a água é enconrada com maor abundânca deêm a água durane maores nervalos de empo, como é o caso das águas suberrâneas. O nverso aconece em meos como a amosfera, onde a água permanece menos empo. Porano, em nenhum meo que coném água no ambene o armazenameno é esáco. Ou sea, as águas de qualquer meo esão em movmeno e rocam massas connuamene enre as dversas componenes enconradas no cclo hdrológco. Em ambenes hdrogeológcos aqüíferos, a água escoa de forma muo lena cm/da ou m/da se comparada ao escoameno superfcal ou ao amosférco, função da ressênca mposa pelos poros das rochas. Hdrologcamene, a ressênca das rochas ao escoameno é necessára para que as cargas pezomércas dos aqüíferos seam mandas em níves elevados. Dessa forma, a água suberrânea nerage com ros, lagos e nascenes ornando-os perenes. A gesão de recursos hídrcos suberrâneos, porano, deve ser responsável pela manuenção das cargas pezomércas próxmas às condções nauras, a fm de promover o maneo susenável dos recursos hídrcos.

21 FUNDAMENTOS DO ESCOAMENTO DE ÁGUA EM AQÜÍFEROS 9. Les Fundamenas Henry Darcy, em 856, quanfcou a perda de carga pezomérca necessára para a produção de deermnados valores de descarga de água em um clndro de area de comprmeno fxo. A descarga mosrou-se dreamene proporconal à perda de energa e nversamene proporconal ao comprmeno do clndro. As varáves esudadas esaram relaconadas por nermédo de uma consane de proporconaldade K, represenava das propredades do fludo e do meo. φ φ q K Eq... L A expressão raz q [LT - ] como a descarga por undade de área ransversal, φ e φ [L] como as cargas pezomércas nas exremdades do ubo, L [L], o comprmeno do percurso e K [LT - ], a conduvdade hdráulca. Reescrevendo-se a Eq... na forma dferencal, a expressão resulane é fscamene nerpreada como a aplcação da le de conservação da energa pezomérca φ do fludo em meos porosos sobre um exo x. d q K φ Eq... dx Esse pono de vsa perme nerprear a conduvdade hdráulca K como o produo de k, a permeabldade nrínseca [L ] do meo pelo faor hdrodnâmco ρg/µ do fludo, Kk. ρg/µ Eq...3 onde ρg é o peso específco do fludo [MT - L - ] e µ a vscosdade dnâmca [MT - L - ]. Aplcando-se as equações de conservação de quandade de movmeno do fludo Equações de Naver-Sokes à escala dos poros, Hubber 956 obeve a segune expressão para a permeabldade nrínseca do meo: k d n 3 e 5-n Eq...

22 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos onde n e é a porosdade efeva do meo e d o dâmero médo dos grãos. A equação do movmeno do fludo no meo poroso orenada em um ssema de exos x,y,z caresano é chamada le de Darcy generalzada, e é dada pela segune expressão: K xx K xy K xz q K yx K yy K yz φ, ou q K φ Eq...5 K zx K zy K zz onde a marz [K ] x, y, z e x, y, z é o ensor de conduvdades do meo. Mesmo em casos onde os exos de coordenadas não concdem com as dreções prncpas de conduvdade, observa-se Bear, 97 pág. 36 que o ensor de conduvdades do meo é sempre smérco em relação à dagonal prncpal K K. Caso haa concdênca enre os exos de coordenadas e os exos prncpas de conduvdade, o ensor é dado por uma marz dagonal. Em ambos os casos, cada pono do meo oferece dferenes componenes de conduvdade para cada componene do escoameno. Formações geológcas assm consuídas são denomnadas aqüíferos ansorópcos. Essa é uma suação comumene enconrada em formações geológcas esrafcadas e em formações frauradas. Reescrevendo a equação Eq...5 para cada exo de coordenadas, em-se: q q q x y z K K K xx yx zx φ K x φ K x φ K x xy yy zy φ K y φ K y φ K y xz yz zz φ z φ z φ z Eq...6 Quando são observados valores guas de conduvdade em odas as dreções de cada pono do meo, o ensor da equação Eq...5 orna a ser expresso novamene por um escalar. As formações assm caracerzadas são denomnadas hdrogeologcamene de aqüíferos sorópcos. Meos sorópcos são comumene enconrados em formações geológcas sedmenares recenes.

23 FUNDAMENTOS DO ESCOAMENTO DE ÁGUA EM AQÜÍFEROS q K φ Eq...7 A conduvdade de uma formação sorópca é, porano, expressa por um únco valor em odas as dreções de um únco pono. A conduvdade hdráulca pode, por ouro lado, varar enre dos ponos em duas suações: em uma formação que apresena uma varação suave de sua conduvdade; consderando-se dos ponos localzados sobre formações dferenes. No prmero caso, a caracerzação da conduvdade é fea, por exemplo, por meo de méodos geoesaíscos. No segundo, são denfcadas regões dferenes de mesma conduvdade. Em ambos os casos, as formações consuem-se meos denomnados aqüíferos heerogêneos e sua conduvdade K é consderada uma função do espaço. Para o fechameno do equaconameno das ncógnas q e φ é necessáro anda, observar-se a connudade da massa de fludo, especfcando-se enão o campo de escoameno e de aluras pezomércas φ o campo pezomérco. A expressão da conservação de uma massa fluda de densdade consane é dada pela Equação da Connudade escra da segune forma: r φ. q S Eq...8 onde S [L - ] é o coefcene de armazenameno específco para solos vercalmene consoldanes. O coefcene S é defndo como o volume de água lberado/recebdo dos poros do aqüífero por unade de volume do maeral poroso para cada undade de varação de carga pezomérca no aqüífero, dado por S ρg[ n nβ ] com e β sendo os coefcenes de compressbldade do solo e da água, respecvamene Bear, Equações Governanes O acoplameno das equações Eq...7 e Eq...8 fornece a equação governane que descreve de forma geral, para o caso onde os exos de coordenadas enconram-se alnhados aos exos prncpas de conduvdade, o escoameno de águas suberrâneas. K x xx φ K x y yy φ K y z zz φ φ S Eq..3. z

24 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos A aplcação da Eq..3. exge mas conhecmeno sobre as propredades físcas do aqüífero e suas condções de conorno do que geralmene se dspõe. No enano, deermnados casos parculares permem que seam nroduzdas smplfcações que conduzem o equaconameno a algumas equações dferencas amplamene esudadas. Em aqüíferos confnados, a seção ransversal ao escoameno é consderada consane no empo e a dsrbução de pressão hdrosáca, ou sea, as lnhas equpoencas na seção são ndependenes da posção z. Dessa forma, o ermo referene à varação de φ na dreção do exo z orna-se nulo na equação geral Eq..3.. Reescrevendo-se, enão, a Eq..3. nas duas dmensões resanes e adconado um ermo de fone N que expressa a passagem de água aravés das superfíces de opo e de base do aqüífero, em-se: φ Kb x x φ Kb N y y φ S Eq..3. onde K é a conduvdade hdráulca; H é a espessura do aqüífero; S, o coefcene de armazenameno defndo como SS b e N [LT - ], a função de dsrbução espacal e emporal da recarga. Por sua vez, fazendo o ermo à drea do snal de gualdade na Eq..3. gual a zero, o escoameno permanene confnado orna-se expresso por: KH x φ x KH y φ N y Eq..3.3 Em aqüíferos lvres, ao observar-se que de modo geral as propredades do escoameno suberrâneo varam suavemene, Dupu 863 apud Bear, 97 afrmou que a perda de carga na dreção do escoameno é gual à queda de alura de água; a dreção dos veores de descarga é quase horzonal; e 3 as lnhas equpoencas na seção ndependem da posção z φ p/ρg z, onde p é aproxmada pela pressão hdrosáca, p φ - zρg. Assm, em aqüíferos lvres onde são sasfeas as suposções de Dupu, a equação Eq..3. orna-se ambém bdmensonal, porém não-lnear, uma vez que b orna-se gual a φ. A prncípo, as Dupu, J. 863 Éudes Théorques e Praques sur le Mouvmen des Eaux dans les Canaux Découvers e à Travers les Terrans Permeables, a ed., Dunod, Pars

25 FUNDAMENTOS DO ESCOAMENTO DE ÁGUA EM AQÜÍFEROS 3 suposções de Dupu foram nroduzdas para problemas de escoamenos esaconáros φ. Assm, o escoameno permanene lvre orna-se governado pela segune equação: K x φ K x y φ N y Eq..3. Boussnesq 93, 9 apud Bear, 97, 3 aplca as suposções de Dupu a φ problemas de escoameno em regme ransene admndo o meo homogêneo. A parr das smplfcações de Dupu obém-se a Equação da Connudade da segune forma Bear, 97 pág. 37: Q x x Q y y N n e φ Eq..3.5 Ulzando-se a le de Darcy Eq...7 e defnndo-se Q como a soma das componenes de descarga q x e q y oalzada ao longo da espessura H, com base na segunda hpóese de Dupu, e fazendo φ H com base na hpóese rês, em-se em meos homogêneos: K φ x φ y N n e φ Eq..3.6 onde o coefcene de armazenameno é dado pela porosdade efeva do aqüífero n e. A equação Eq..3.6 é conhecda como Equação de Boussnesq e ambém pelo nome do pesqusador Forchhemer 93 apud Bear, 97 devdo aos rabalhos de ambos na solução Boussnesq, J. 93 Recherches heórques sur l écoulemen des nappes d eau nflrées dans le sol e sur deb de sources, J. Mah. Pures Appl., CRH Acad. Sc., v, pp5-78; 3 Boussnesq, J. 9 Recherches heórques sur l écoulemen des nappes d eau nflrées dans le sol e sur deb de sources, J. Mah. Pures Appl., CRH Acad. Sc., v, pp Forchhemer, P. 93 Hydraulk, 3 a ed. Teubner, Lepzg, Berln

26 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos da equação. De modo semelhane, admndo-se a homogenedade da conduvdade e da espessura de aqüíferos confnados, a equação Eq..3. é reduzda à forma segune: φ φ KH N x y φ S Eq..3.7 ou anda, KH S φ φ N x y S φ. Eq..3.8 KH onde o ermo é conhecdo como dfusvdade do aqüífero e a equação é referda como S Equação do Calor. Reduzndo-se, anda as equações Eq..3.6 e Eq..3.8 ao regme esaconáro, produz-se a Equação de Posson, expressa para o escoameno lvre e confnado, respecvamene, por : φ x φ y N K Eq..3.9 φ φ N x y KH Eq..3. Na ausênca do ermo de fone, as equações Eq..3.9 e Eq..3. são reduzdas à forma da Equação de Laplace, respecvamene equações Eq..3. e Eq..3.. Na equação geral Eq..3., a suposção de meo homogêneo, sorópco e nelásco produz gualmene a forma da Equação de Laplace. φ Eq..3. φ Eq..3.

27 FUNDAMENTOS DO ESCOAMENTO DE ÁGUA EM AQÜÍFEROS 5 Em aqüíferos esrafcados, por ouro lado, comumene são enconradas formações pouco permeáves nerposas a formações de maor conduvdade. Nesse caso, as formações de maor conduvdade são chamadas de aqüíferos semconfnados e a camada pouco conduva, semconfnane, consundo-se uma camada que ransme água apenas em sua dreção ransversal. A ocorrênca alernada dessas camadas confgura os ssemas mulcamada, onde a perda ou recarga N do aqüífero semconfnado para os aqüíferos adacenes é obda em função da pezomera dos aqüíferos relaconados. A relação de recarga ou perda enre os aqüíferos, por sua vez, é obda aplcando-se a expressão de Darcy Eq... para as camadas pouco conduoras adacenes ao aqüífero semconfnado. Porano, pode-se escrever o ermo de fone da expressão Eq..3., consderando-se a presença de duas camadas semconfnanes, da segune manera: N m φm φm cm φm c φm m Eq..3.3 onde m é o índce que numera cada camada de aqüífero, H c [T] é a ressênca m m K m ransversal da camada semconfnane nferor do aqüífero defnda em função de sua espessura H m- e sua conduvdade hdráulca K m-. Assm, a equação governane orna-se expressa da segune manera: φ x m φ y m N m K m H m ou φ Aφ Eq..3. onde A é a marz de coefcenes formada pelos ermos que mulplcam φ m-, φ m e φ m defndos na expressão Eq Dessa forma, a Equação de Helmholz é nroduzda como a equação governane de ssemas aqüíferos homogêneos e sorópcos em mulcamadas Hemker, 98. De uma forma geral, as equações governanes do escoameno suberrâneo Laplace, Posson, Calor e Helmholz são ulzadas apenas em meos homogêneos e sorópcos. No enano, embora as mposções de homogenedade e soropa seam smplfcações basane dfunddas e bem aceas, a Equação de Helmholz é aplcada anda em casos onde a

28 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 conduvdade do meo é dada por uma dsrbução obda da segune equação, onde χ é uma consane real: / / K χ K Eq..3.5 Georghza 969 demonsra que a equação governane do escoameno aravés de meos cua conduvdade sea assm caracerzada é escra na segune forma: ϕ χ ϕ Eq..3.6 onde a varável ϕ é defnda como ϕ φk /. Em aqüíferos confnados N, a demonsração de Georghza é aplcada a aproxmações bdmensonas Eq..3.3 ulzandose dsrbuções de ransmssvdade T Kb obdas da Eq..3.5.

29 7 Capíulo FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS Nese capíulo, é apresenada uma revsão de ferramenas maemácas comumene ulzadas na análse de problemas de escoameno em meos porosos e em dscplnas voladas a problemas maemacamene análogos. Na prmera seção, alguns conceos úes à análse de campos veoras são apresenados em ermos de varáves comumene ulzadas para descrever o escoameno de águas suberrâneas. Na segunda seção, são nroduzdos os conceos de varáves complexas e funções analícas culmnando na apresenação de algumas funções harmôncas mporanes na formulação do Méodo de Elemenos Analícos. Por fm, são apresenadas duas écncas auxlares basane ulzadas na obenção de soluções analícas de problemas em aqüíferos alongados.. Águas Suberrâneas e Campos Veoras A le de Darcy é dscuda por Hubber 956, 969 em ermos de uma relação enre o campo gravaconal ou campo de forças E e o campo de escoameno q. Para um fludo cua massa específca é nvarável, a força que aua no fludo por undade de massa E é deermnada fazendo: E g φ Eq... p onde φ z, g é a aceleração da gravdade [LT - ], z [L] é a posção do pono na dreção ρ g vercal, p [MT - L - ], a pressão do fludo no pono e ρ [ML -3 ] a massa específca do fludo. O campo de escoameno, por sua vez, ndependenemene do campo de forças, deve sasfazer a conservação de massa, produzndo a Equação da Connudade em ermos do veor de descarga de volume por undade de área da seção ransversal q [LT - ] para o fludo ncompressível na forma de: v q γ. Eq...

30 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 onde v γ [T - ] é a produção de massa fluda por undade de volume. Ambos, escoameno e força gravaconal, esão relaconados pela le de Darcy da segune forma Hubber, 956: q D.E, Eq...3 enconrando analoga em dversas aplcações da físca, como elerosáca e condução de calor. Defnndo o faor D Eq...3 a parr de K conduvdade hdráulca como D K g a relação é expressa anda como: q K. φ Eq... onde K é a conduvdade hdráulca do meo, podendo ser generalzada pelo ensor K defndo na equação Eq Campos Irroaconas Em casos onde o meo é sorópco e homogêneo, o ensor K orna-se de ordem zero e, porano um escalar K. Dessa forma, a Eq... pode ser reescra defnndo um poencal de descarga Φ Kφ, mas comumene chamado apenas de poencal Bear, 97 pág. 9 da segune forma: q Φ Eq...5 Assumndo esa forma, o campo de escoameno é chamado de campo conservavo ou escoameno poencal e maemacamene, Φ, é raado sob a óca da eora do poencal e.g. Bear, 97; Kellogg, 959. A denomnação de um poencal de descarga Φ em suas dversas aplcações, nclundo escoamenos em meos porosos, é fea de manera a ober funções F que sasfaçam a expressões escras na forma: F Φ Eq...6

31 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 9 Consderando um fludo ncompressível, a equação Eq...5 acoplada à Equação da Connudade Eq... produz: v Φ γ r Eq...7 O campo caracerzado pela equação Eq...7 é ambém chamado de rroaconal. Campos rroaconas onde. q são ambém chamados solenódes e são deermnados pela Equação de Laplace: Φ r Eq...8 A condção de rroaconaldade, por sua vez, é defnda pelo eorema de Sokes e.g. Bear, 97; Kellogg, 959:. ro. V C d q dv s q Eq...9 Porano, o campo não rval q que sasfaz a equação Eq...9 é enconrado fazendo ro q, ou sea, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k y x x z z y z y x k x y z x y z z y x q q q q q q q q q q Eq... Para que y x x z z y x y z x y z q q q q q q ; ; é necessáro que K xx K yy K zz e que K, o que produz gualmene a equação Eq...5. Assm, esas propredades são váldas somene para aqüíferos homogêneos e sorópcos... Campos Roaconas

32 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 Embora a defnção do poencal de descarga Φ forneça uma formulação basane smplfcada para a solução de problemas de escoameno em meos porosos, sua aplcação esá foremene arelada à rroaconaldade do escoameno. No enano, a obenção de funções chamadas lnhas de correne orna possível descrever o campo de escoameno, de manera ndependene do gravaconal, em duas e rês dmensões. Lnhas de correne são curvas em cada nsane de empo que são angenes à dreção da velocdade, maemacamene defndas por Bear, 97, pág. : q d s. Eq... onde o veor s ndca o deslocameno ao longo da lnha de correne. Em duas dmensões horzonas, q passa a ser oalzado negrado na espessura do aqüífero b e a ser referdo como o veor Q da segune forma Bear, 97, pág. 5: b Q q x q y qz dz qxb q yb Qx Qy Eq... e as lnhas de correne podem ser expressas como: dx / Qx dy / Q y, ou anda, Qy dx Qxdy. Eq...3 A função que sasfaz a equação Eq...3 será dada por uma Ψ Ψ x,y ce ao longo Ψ dx Ψ dy de uma lnha de correne s, onde d Ψ / ds, se: x ds y ds Ψ Q x e y Ψ Q y Eq... x ou anda, Q ro Ψ Eq...5

33 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 3 A Equação da Connudade Eq..., por sua vez, pode ser reescra no plano horzonal como: h Q γ Eq...6 onde h γ é a produção de fludo sobre o plano horzonal. A parr da redução da equação Eq... sobre o plano horzonal, Φ é redefndo como Φ bkφ e v γ em Eq...8 é subsuído por h γ. Observando as equações Eq... e Eq...5, pode ser exraída a segune relação enre o poencal Φ e a função de lnhas de correne Ψ conhecdas como equações ou condções de Cauchy-Remann Srack, 989. Ψ Φ y x Ψ Φ x y Eq...7 A defnção de lnhas de correne Eq...3 pode ser reescra anda como Qy dx / ds Qxdy / ds, donde vem Q s Q s ds, que represena a conservação de um fludo em escoameno solenóde. Fazendo o dvergene na Equação da Connudade Eq... gual a zero, escreve-se dv Q ou anda, Qx / x Qy / y Bear, 97. Isso mplca que as propredades do escoameno roaconal, embora váldas para aqüíferos ansorópcos e heerogêneos, não abrangem fenômenos ransenes nem ocorrêncas de recarga. Assm, a represenação de campos roaconas é descra expressando-se o roaconal de Q dferene de zero e gual a β, ou sea: Q β Eq...8

34 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 O campo de escoameno será deermnado por lnhas de correne Ψ que sasfazem a segune Equação de Posson: Ψ β Eq...9 onde β, é o roaconal de Q. Em campos solenódes, em-se: Ψ Eq... Em rês dmensões, as lnhas de correne ψ são obdas pela nerseção de duas superfíces caraceríscas enconradas para a equação Eq... Bear, 97, pág. 7: λ λ x, y, z ce χ χ x, y, z ce Eq... A geomera das lnhas de correne, por sua vez, é descra por uma função Ψ dada por Ψ[ λ x, y, z, χ x, y, z]. Sendo o veor q não-dvergene perpendcular à normal de ambas as superfíces no pono de nerseção, Q λ χ Eq... Aplcações de rês dmensões da formulação de um campo de escoameno nãodvergene a parr de lnhas de correne são feas somene em casos parculares conforme dscudo por Bear 97, pág Prncípo da Sobreposção As equações Eq...7 e Eq...9 são sufcenes para a deermnação do campo pezomérco e de escoameno de dversos problemas em meos porosos. As equações possuem coefcenes consanes e, porano são lneares, possblando-se o uso da sobreposção de efeos. O prncpo da sobreposção esá baseado na propredade que afrma que se φ φ x, y, z, e φ x, y, z, φ são duas soluções parculares de uma equação

35 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 33 φ dferencal homogênea lnear, enão qualquer combnação lnear de φ e φ, φ C φ C, é solução da equação dferencal lnear homogênea. Quando se raa de uma equação dferencal lnear não-homogênea, como são Eq...7 e Eq...9, a solução pode ser escra na forma φ φ C φ C φ, onde φ é uma solução e é denomnada negral parcular, φ enquanoc φ C é a solução da equação homogênea, denomnada solução complemenar Bear, 97, pág. 98. A aplcação do prncípo da sobreposção pode ambém ser fea no empo. Consdere, por exemplo, a segune equação governane: x φ φ φ φ ω ω3 ω Eq...3 x y y z z ω onde ω,, 3, são coefcenes ndependenes de φ. A condção ncal no domíno D é φ fx,y,z e no conorno C é Lφgx,y,z, sendo L um operador dferencal. Sea φ φ x, y, z,, a solução para o segune escoameno dado por φ φ φ, Eq... x y z sasfazendo as mesmas condções de conorno. Sea ambém φ x, y, z, equação Eq...3 agora com condção ncal φ a solução da φ fx, y, z gx, y, z Eq...5 e no conorno Lφ, de forma que φ gx,y,z. Verfca-se que φ φ φ sasfaz a equação Eq...3 e as condções ncas no domíno D e de conorno em C. Dessa forma, o problema é analsado por nermédo de um problema de escoameno permanene especfcado por suas condções de conorno e um problema ransene prescro por sua condção ncal e condção de conorno homogênea.

36 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 Segundo Bear 97, pág. 3 o Teorema de Duhamel perme anda que dversas soluções φ fx, y, z, τ, de problemas com condção ncal φ e de conorno φ Γx, y, z, τ seam sobreposas ao longo do empo. Por exemplo, a solução do problema onde são especfcadas com condção ncal φ e de conorno φ Γx, y, z, para a equação Eq...3 é, enão, obda ulzando-se a negral: φ x, y, z, τ, τ dτ Eq...6 onde τ é o empo ncal omado gual a zero e τ é o empo fnal gual a. Decompondo-se, enão, um problema de condção ncal φ φx, y, z, τ e de conorno φ Γx, y, z, em dos problemas, o prmero, especfcado pela condção onde φ em vale fx, y, z e zero no conorno C, e o segundo, especfcado pela condção onde φ é zero ncalmene e vale Γx, y, z, no conorno, sua sobreposção, φ φ φ, resolve o problema. Em ouras palavras, o eorema, ou prncípo de Duhamel expressa o fao de que dversas ocorrêncas auando smulaneamene produzem efeos ndependenes. Assm, o efeo resulane pode ser obdo pela soma dos efeos ndvduas... Decomposção de Helmholz O eorema de decomposção de Helmholz perme que campos veoras que se anulam no nfno como o de escoameno suberrâneo seam compleamene deermnados se conhecdos seu dvergene e seu roaconal em odo o domíno. Kobe 985 esendeu esse conceo de manera que um campo veoral qualquer pode ser decomposo em um campo rroaconal, porém dvergene, um campo dvergene-nulo, porém roaconal e um campo harmônco solenóde. Consderando um campo de escoameno represenado por Q, se os valores de dvergênca γ e de roaconaldade β são conhecdos, enão o campo veoral dvergenenulo pode ser represenado pelo roaconal do campo escalar Ψ: β Ψ Ψ Q Eq...7 x y

37 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 35 A pare rroaconal, por sua vez é represenada em ermos do gradene do escalar Φ: γ Φ Φ Q Eq...8 x y Dessa forma, o dvergene de γ Q é o Laplacano de Φ e é gual a γ Eq...7 e o roaconal de β Q é dado, semelhanemene, por Eq...9. A ercera componene do campo de escoameno é harmônca dv Q ro Q e pode ser represenada por Srack, 3: h h h h h Φ Φ Ψ Ψ Q Eq...9 x y x y Assm, o campo Q é deermnado pela soma β Q Q Q Q. γ h. Funções Analícas em Águas Suberrâneas.. Varáves Complexas Geomercamene, um número complexo é a represenação de um par de coordenadas x,y em um plano caresano ou polar. O plano de coordenadas complexas defndas por: z x y Eq... é chamado plano complexo z e os valores de x e y são denomnados respecvamene de coordenada real e magnára, ndvdualmene referdas respecvamene como: x Rz e y Iz Eq... Em ermos de coordenadas polares r,θ, um número complexo pode ser represenado da segune forma:

38 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 36 z x y rcosθ snθ Eq...3 Um número complexo é represenado, anda, de uma ercera manera, conhecda como fórmula de Euler. Expandndo-se as funções seno e cosseno com a sére de Taylor, enconrase: θ z re z e argz Eq... Dessas defnções, são advndas dversas propredades algébrcas cua dscussão é enconrada, por exemplo, em Srack Funções Analícas Funções complexas dferencáves são defndas pela verfcação das condções de Cauchy-Remann. Os campos escalares Φ e Ψ são exemplos de funções que sasfazem as condções, e porano expressam a pare real e a magnára de uma função complexa: Ω Ω z Φ Ψ Eq...5 A função Ω é conhecda como o poencal complexo, onde a decomposção z x y e odas demas propredades algébrcas observadas em z são váldas ambém para Ω. O veor de descarga Q, por sua vez, pode ser represenado por uma varável complexa W, obda de manera semelhane à equação Eq...5, dferencando-se o poencal em relação à varável de espaço z: W dω Φ Ψ Eq...6 dz x y O poencal Φ pode ser escro em duas dmensões consderando a espessura do aqüífero b consane a parr da le de Darcy para meos homogêneos sorópcos Eq...7, em-se: Q qb b. K φ Eq...7

39 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 37 Se b não vara no plano xy, Φ pode ser escro agora como Φ Kbφ e assm Q Φ Eq...8 Ulzando as equações Eq... e Eq...5 para relaconar as coordenadas de W Φ e Ψ às componenes de Q, em-se: W Q x Q y Eq Funções Harmôncas A Equação de Laplace é uma das formas de equação governane mas freqüenes em problemas de escoameno suberrâneo. As funções que sasfazem a Equação de Laplace são chamadas funções harmôncas e são basane úes na análse maemáca de campos veoras. Além dsso, o prncípo da sobreposção possbla a aplcação dessas funções à resolução de ouras formas de equações dferencas lneares. Por exemplo, escoamenos governados pela Equação de Posson podem ser deermnados pela sobreposção de funções harmôncas e de uma solução parcular de Posson...3. O poencal complexo Demonsra-se que a expressão ulzada para a defnção de poencal complexo Eq...5 sasfaz a Equação de Laplace da segune manera. Sabendo que Φ e Ψ são harmôncas ver Eq...8 e Eq... e segundo o prncípo da sobreposção, a combnação lnear de Φ e Ψ produz ambém uma função harmônca: Φ Ψ Ω Eq Escoameno Unforme A função complexa de descarga para o escoameno unforme com componenes Q x e Q y é obda escrevendo a função de descarga Eq...9 para uma dada coordenada x, y.

40 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 38 W u Q Q Eq... x y Por sua vez, o poencal complexo é expresso a parr da expressão Eq...6 por: Q Q dz Q Q Ω Ωu x y x y z Eq... onde Ω é um poencal de referênca localzado em um pono do plano ambém escolhdo como referênca. A dsrbução de poencas de descargas devdo a um escoameno unforme é obda da pare real de Ω: Φ u R[ Q x y Q x y Ω Q x Q y Φ Eq...3 x y ] x y Ω: As lnhas de correne do campo, por sua vez, são obdas da componene magnára de Ψu I[ Q x y Q x y Ω Q x Q y Ψ Eq... x y ] y x..3.3 Poencal Logarímco O escoameno horzonal gerado por uma descarga unformemene dsrbuída ao longo da parede de um clndro consdere-se um poço de peneração complea pode ser caracerzado smercamene em relação ao exo vercal desse clndro. O campo assm descro é deermnado em coordenadas polares por: Q r Eq...5 Em ermos de varáves complexas, W z Eq...6

41 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 39 rr, Consderando a orgem das coordenadas z localzada no cenro do poço, é dado que em Q p πrq, sendo Q r a descarga em qualquer pono posconado com dsânca r a r parr do poço, onde a descarga é Q p. Ou sea, escrevendo-se a vazão complexa W r Q e e a coordenada complexa zre θ, em-se: r θ W π Eq...7 p zw r Assm, a parr da expressão Eq...6, em-se: W r dω W p Eq...8 dz πz Inegrando-se Ω em z, em-se: W p Ω p ln z zr C π p Eq...9 O módulo de W p é gual à vazão bombeada no poço Q. Dessa forma, a componene real e a componene magnára do poencal logarímco complexo são expressas pelas segunes funções: Q Φ p ln z zr C π p Eq... Q Ψ p θ Eq... π Observe-se que a função Ψ p é desconínua em oda lnha enre θ π e θ - π Fgura... O nervalo da função nessa lnha é chamado ramo e fornece o bombeameno do poço Q subsundo-se os valores de θ na Eq... e fazendo a subração Ψ - Ψ -.

42 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos Fgura.. Ramo no poencal logarímco..3. Dpolo Plano A função dpolo é ulzada em dversos problemas de valor de conorno. Denomna-se dpolo plano a função defnda pelo caso lme onde dos poços com valores de vazão oposos são posconadas em uma dsânca uma da oura que ende a zero. Srack 989, pág. 5 faz uma neressane apresenação de ulzação da função dpolo, deduzndo sua expressão a parr de um problema de escoameno, onde um lago crcular é submedo a um campo de escoameno unforme. O poencal devdo ao dpolo plano Φ d é enão dado por: s π r s x x Φ d r y r y C d Eq... ou anda: Φ s cos θ β π r d C d Eq...3 onde C d é a consane de negração; s é o complexo que coném nensdade e dreção do y y dpolo e s x e s y suas componenes real e complexa; θ arcan é a orenação do veor x x de posção represenado por r e β args. Ulzando-se as condções de Cauchy-Remann Eq...7, obém-se:

43 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS Ψ d s π x r y s r y r x Eq... ou anda s sen θ β Ψd Eq...5 π r Das equações Eq... e Eq...5 obém-se o poencal complexo devdo ao dpolo expresso por: Ω d β s s e s [ cos θ β sen θ β ] θ π r π r e π z z Eq Vórce Plano Um vórce plano é o escoameno roaconal gerado em orno de um únco pono. Embora a deermnação do escoameno em aqüíferos sob condconanes que o ornam roaconal em odo domíno venha sendo crescenemene abordada na leraura cenífca, a função vórce apresenada a segur pode ser aplcada somene em deermnados ponos do conorno onde o poencal é desconínuo. Pare-se do prncípo de que as lnhas de correne são crculares o escoameno é roaconal no vórce, semelhanemene às lnhas equpoencas devdo a um poço de bombeameno sob as condções de Cauchy-Remann. Conseqüenemene, as lnhas equpoencas são radas. Assm, podemos escrever que: Ω Aln z Ω Eq...7 v z r v onde A é uma consane a ser deermnada. A pare real e a magnára de Ω v são escras fazendo Ω v Aln z z r e θ Ω A θ ln z zr Φ v Ψv v Eq...8

44 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos enão, Φ v Aθ Φ v Eq...9 e Ψ Aln z Ψ Eq...3 v z r v A consane A pode ser deermnada consderando a segune aplcação parcular. Consdere o escoameno produzdo pela dferença de poencal devdo à consrução de uma barragem em um ro Srack 989, pág. 55. A carga pezomérca é consderada consane ao longo do ro, sendo que o poencal a monane da barragem vale Φ e a usane, Φ. Consderando-se anda que a usane da barragem θ vale zero e a monane vale π, em-se Φ Φ A Eq...3 π O ramo da função vórce Φ v é dado enre θ π e θ -π e o valor de Φ Φ é gual a Φ Φ. A função de vórce em sdo basane ulzada, por exemplo, em esudos de escoamenos mulfáscos, onde ocorrem desconnudades no poencal Φ na nerface enre os fludos Haema, 99; De Josseln De Jong, 96; ec. As quaro funções harmôncas apresenadas aé aqu são desenvolvdas para o poencal na sua forma complexa Ω no plano complexo x y e, porano, a dervada do poencal Φ e da função de correne Ψ exse em qualquer pono do plano. As funções harmôncas ambém podem ser enconradas no espaço x, y, z. No enano, com o laplacano de Ω resro ao plano, são consderadas a segur somene algumas funções obdas do laplacano de Φ Poencal de Newon Duas funções ulzadas como soluções fundamenas para a descrção de efeos produzdos sobre campos conservavos rdmensonas são o poencal de Newon e o

45 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 3 dpolo elérco em analoga ao eleromagnesmo. O poencal de Newon descreve a dsrbução de poencal devdo à presença de uma fone/sumdouro ponual e é dado por: Q Φ Eq...3 πr onde r é a dsanca da posção da fone ao pono analsado e Φ é defndo no espaço por Φ Kφ. O dpolo elérco apresenado a segur, como defndo na função dpolo plano descreve a dsrbução do poencal devdo ao posconameno de duas cargas ponuas de valores oposos. No espaço rdmensonal, o poencal devdo à presença de um dpolo elérco é apresenado em Luher 998 como: c. r Φ σ Eq πr onde c é o veor de orenação do dpolo; r é o veor que une a posção do dpolo ao pono analsado e r é o comprmeno do veor r Poencal de Zhukovsk Dada a Equação de Laplace no plano vercal y, z, a função de Zhukovsk Eq...3 é ambém harmônca Bear, 97, pág. 3 e pode ser esendda para o espaço rdmensonal Luher, 998. p χ Φ Kz Eq...3 ρg onde p é a pressão relava e ρg é o peso específco do fludo. A função de Zhukovsk é ambém conhecda como mapeameno de Zhukovsk, uma vez que a superfíce freáca e superfíce de aflorameno seepage face são ransformadas no exo χ do plano- χ χ Bear, 97. Luher 998 ulza a função na especfcação da condção de conorno em ermos de escoameno poencal na superfíce freáca e de aflorameno produzda por um poço de

46 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos peneração parcal. Dessa forma, a função χ é anda chamada poencal de Zhukovsk. Consderando o caso de não haver recarga sobre o lençol de água, ou sea q n e χ, emse Luher, 998 pág. 3: χ Φ χ Eq...35 Em casos onde consdera-se recarga do lençol, Luher 998, pág. 3 fornece: Φ χ N χ Eq Inegras de Lnha em Águas Suberrâneas As funções dscudas nesa seção são obdas negrando-se funções de varáves complexas sobre uma lnha. As negras de lnha complexas são conhecdas pelo nome de negras de Cauchy. Em se raando de funções como aquelas dscudas na seção aneror funções sngulares, a negral de lnha comumene recebe o nome de negras sngulares devdo às aplcações proposas por Muskhelshvl, Lnha Poço A negração da função Eq...9 em uma lnha em mporanes aplcações na represenação de drenos não só para escoamenos suberrâneos e.g. Carslaw e Jaeger, 959; Srack, 989. Por exemplo, consderando-se poços gualmene espaçados de ao longo de um segmeno de lnha rea no plano, como lusrado na Fgura.3., e a descarga de cada poço dada por Q σ, σ será uma axa de descarga unformemene dsrbuída ao longo do lnha.

47 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 5 Fgura.3. Esboço para uma lnha poço dado por: Fazendo, o poencal complexo devdo à soma dos poços ao longo da lnha é Ω L / L / σ ln z δ d π Eq..3. onde δ ndca a coordenada complexa de cada poço e pode ser reescra como: δ e z z Eq..3. onde z z corresponde ao cenro do segmeno e é o ângulo que o segmeno z z forma com o exo x ver Fgura.3.a. Admensonalzando-se δ e z em relação à meade do comprmeno z z, em e Z, respecvamene, em-se z z z Z e z z δ δ δ. Eq..3.3 δ δ

48 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 A defnção Eq..3.3 é ulzada na consrução de dversas funções empregadas no Méodo de Elemenos Analícos. Escrevendo-se d e - dδ com base na defnção Eq..3. e Ld / d e - δ com base na ransformação Eq..3.3, o poencal da lnha de poços pode ser reescro como Ω ln Ld Z z z π σ Eq..3. A negral produz a segune função Srack, 989 pág. 85: Ω ln ln ln z z Z Z Z Z L π σ. Eq..3.5 O poencal Φ e a descarga Q, podem ser expressos a parr do poencal complexo Eq..3.5 ulzando-se as defnções apresenadas na seção... O ramo da função Eq..3.5 na pare magnára Ψ ocorre sobre o exo Y ver Fgura.3.b e é analsado a parr da expressão Srack, 989: ] [ ] [ θ θ θ θ π σ θ θ π σ Ψ X L X X L Eq..3.6 Para odas as regões onde se observa ramo, a desconnudade na função Ψ é gual à vazão Q Q L σl exraída na lnha poço Fgura.3.c: Ψ Ψ Ψ < < Ψ < < π π π σ π π π σ π π σ π π σ X L Y X X L Y X L Y X L Y X Eq..3.7

49 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 7 Fgura.3. Defnções de ângulos e componenes de descarga para a função lnha poço. A vazão Q é defnda a parr da expressão Eq...6 como: W dω Q Q Eq..3.8 dς onde ζ z z z..3. Lnha Dpolo A lnha dpolo é uma dsrbução conínua de dpolos alnhados sobre um segmeno de rea. Inegrações da função dpolo ao longo de lnhas êm sdo amplamene ulzadas em campos rroaconas como ocorre em aqüíferos homogêneos sorópcos. Grande pare dos elemenos ulzados no Méodo de Elemenos Analícos ulza negrações da função dpolo Srack, 989. De manera semelhane à lnha poço, a expressão para a dsrbução de dpolos sobre uma lnha é obda negrando-se a função Eq...6 ao longo do segmeno de rea, produzndo:

50 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 z µ e Ω d π z δ z Eq..3.9 onde o esforço s é represenado por -µ. Ulzando-se a defnção Eq..3. a negral do dpolo orna-se: z µ Ω dδ π z δ z Eq..3. A expressão pode ser admensonalzada pela defnção Eq..3.3, enconrando-se: Ω π µ d Z Eq..3. De manera a expressar µ como uma função da posção Z, a expressão é reescra como: Ω π µ Z µ Z µ d d Z π Z Eq..3. onde Z e são ndependenes. Enão, resolvendo a prmera negral, em-se: µ Z Z µ Z µ Ω ln d. Eq..3.3 π Z π Z Srack 989, pág. 9 demonsra que a negral resane na expressão é uma função analíca e que, represenando-se a dsrbução de µz por um polnômo, n µ Z a Z Eq..3. onde a é um coefcene real, sua solução ambém pode ser dada por meo de um polnômo escro na forma:

51 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 9 n m m p Z b m Z. Eq..3.5 Assm, a lnha dpolo pode ser expressa por: µ Z Ω ln π Z Z q Z Eq..3.6 Da negral admensonal do dpolo Eq..3. pode-se observar que a função aproxma-se do valor /Z para Z ordem n que mulplca ln / Z quando Z polnômo de ordem n. Z. Porano, expressando-se µ por um polnômo de Z, pz será dado sempre por um Z Defnndo arg θ com π θ π Fgura.3.c, Ω é dsrbuído ao longo Z de ambos os lados da lnha dpolo como: X X Y Y Ω Ω µ X X ln π p X π X µ X X ln p X π π X Eq..3.7 Assm, o poencal Φ e a função de correne Ψ são conínuos ao longo de θ, mas Ψ em um nervalo de Ψ Ψ µx enre os dos lados da lnha X e Y..3.3 Inegração do Poencal de Newon sobre uma Lnha O Poencal de Newon expressa o campo devdo a uma descarga em um pono posconado no espaço. Sua negração sobre uma lnha em sdo ulzada na formulação do escoameno devdo ao bombeameno de poços de peneração parcal e.g. Haema, 985. Na Fgura.3.3 é lusrado um segmeno de rea defndo por dos veores, p h e p h. Ponos defndos ao longo da lnha são defndos por λh, onde λ assume valores enre e. O

52 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 5 veor r apona de um pono qualquer sobre a lnha para um pono qualquer do espaço em relação ao cenro da lnha x - p. Fgura.3.3 Esboço para negralzação de funções em uma lnha no espaço. O poencal devdo a uma lnha com uma dsrbução de descarga polnomal λ é dado por Duschek e Hochraner, 95 Φ π [ λ hdλ λh λh ] / Eq..3.8 Haema 985 apresena uma solução para a negral expressa por Duschek e Hochraner 95 onde λ é defndo como um polnômo do ercero grau Eq..3.9 e após desenvolvmenos adconas ulza a expressão obda na represenação do efeo devdo ao bombeameno de poços de peneração parcal em aqüíferos confnados. λ λ 3 λ λ 3 Eq Inegral do Dpolo Elérco sobre uma Lnha Duas lnhas de dpolos orogonas lnedoubles são posconadas paralelamene ao exo do poço a fm de represenar a passagem do escoameno aravés do poço Haema, 985. O

53 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 5 poencal devdo a uma lnha de dpolos Eq...33 agrupados ransversalmene é dado em Haema 98 apud Haema, com dsrbução de esforços σ consane ao longo da lnha. Φ σ π u v c h uv h u v Eq Inegração do Poencal de Newon sobre um Anel Funções obdas da negração do poencal de Newon sobre uma crcunferênca Fgura.3. êm sdo ulzadas na especfcação de condções de conorno rdmensonas em escoamenos suberrâneos, como a deermnação da alura da superfíce freáca devdo ao bombeameno de poços de peneração parcal e.g. Haema, 99 e Luher, 998. Fgura.3. Esboço de negralzação de funções sobre um anel O poencal devdo a uma crcunferênca de descarga consane pode ser escro por 5 Haema, H.M. 98 Modelng Three-Dmensonal Flow n Confned Aqufers Usng Dsrbued Sngulares, ese PhD, Unversy of Mnnesoa

54 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 5 σ ds Φ π r Eq..3. Duschek e Hochraner 95 obêm a segune solução para a negral: σ R Φ kk k Eq..3. π τ onde Kk é a negral elípca na sua forma complea de prmero po com módulo k dado por: k τr Eq..3.3 R τr.3.6 Vórce sobre um Anel O poencal devdo a dsrbuções de vórces em sdo gualmene úl na deermnação de escoamenos suberrâneos. A aplcação fo ncalmene proposa na deermnação do escoameno de nerface enre fludos mscíves por De Josseln De Jong 96. O poencal devdo à dsrbução de vórces ao longo de uma crcunferênca é dado por: σ Φ ω Eq..3. π onde ω é o ângulo sóldo que compreende a crcunferênca a parr do pono onde o poencal é avalado. Haema 987 apresena a segune expressão para a avalação de ω: τ ϖ e R, ~ ω R K k τ τ τ R Eq..3.5 R R R onde ω ~ é zero quando a proeção do pono em quesão sobre o plano da crcunferênca ca do lado de fora da mesma e π quando ca denro com o veor e aponando para fora.

55 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 53 Fnalmene, o valor π é enconrado quando o veor apona para denro. A função, R é a negral elípca complea do ercero po com defndo como τr τ R τr Eq..3.6 Para τ R, e ω [ k' K k π ] Eq Represenação de Froneras Exernas em Águas Suberrâneas.. Méodo de Imagens O Méodo de Imagens é uma écnca para a especfcação de condções de conorno em froneras exernas nfnas. O méodo é uma aplcação do prncípo da sobreposção de efeos capaz de produzr funções pares e ímpares e é dscudo na seção. de forma mas abrangene. Uma função f defnda em um domíno sem-nfno, por exemplo, y < é par em relação ao seu domíno complemenar, y >, quando f x, y, z f x, y, z e sua dervada parcal em relação à dreção de smera, nesse caso, o exo y é gual a zero ao longo do plano de smera y Bear, 97. Essa defnção pode ser expressa como: f x, y, z f x, y, z, x x f x, y, z f x, y, z y y f x, y, z f x, y, z z z e Eq... Subsundo y nas expressões acma, em-se que num mesmo pono, f / y f / y, se f / y. Em problemas de valor de conorno, o enuncado feo acma pode ser empregado na especfcação da condção de Neuman onde f é conhecdo no conorno para a deermnação de funções que sasfazem equações lneares.

56 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 5 Essa écnca é baseada no prncípo da sobreposção de efeos e é conhecda em dversas aplcações como Méodo de Imagens para o problema da barrera não-conduora ou mpermeável nfna. Se uma função f é agora defnda em y < como f x, y, z f x, y, z, emos uma magem mpar de f em y >, logo, f x, y, z f x, y, z, x x f x, y, z f x, y, z y y f x, y, z f x, y, z z z e Eq... Observando-se as condções de smera expressas acma, o valor de f no plano de smera será o valor médo enre f e f e, porano, fx,,z. Porano, em-se um valor conhecdo para a função ao longo de seu conorno, especfcando-se condções do po Drchle por meo de sobreposções. A aplcação do Méodo de Imagens por meo de funções nversas é basane dfundda na deermnação de campos sueos a uma fronera nfna onde seu poencal é conhecdo. Os conceos e expressões apresenadas acma permem que o Méodo de Imagens sea aplcado com a mesma abrangênca que o prncípo da sobreposção, porano a qualquer equação lnear. Ouras formas smércas e especfcações de valor de conorno obdas por meo do méodo são dscudas na seção.... Transformações de Schwarz-Chrsoffel Em conornos cua geomera pode ser represenada por polígonos smples ou mulconecados a especfcação do escoameno pode ser fea nos conornos medane o mapeameno de Schwarz-Chrsoffel. O mapeameno de Schwarz-Chrsoffel ransforma um sem-plano ζ ζ em um domíno conornado por um polígono no plano-z de modo que os ponos,,..., n- do exo real no plano-ζ correspondem aos vérces z, z,..., z n- do polígono Fgura...

57 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 55 Fgura.. Esboço do mapeameno de Schwarz-Chrsoffel O vérce z n corresponde ao nfno no plano-ζ. Um polígono pode ser represenado no plano-z como: arg dz arg dz πk v,..., n Eq...3 v v v onde o ermo dz v represena o ncremeno de z ao longo do lado v do polígono. A equação sgnfca que dz deve ser consane ao longo de cada lado do polígono, mas aumena abrupamene de πk v se z passar do vérce z v, percorrendo-se o conorno na dreção dos maores índces, ou sea, com o domíno à esquerda. A expressão acma pode ser escra ambém para o plano ζ fazendo que ζ percorra o conorno do sem-plano, o exo real, à medda que z percorre os vérces do polígono dado. Observando-se que o argumeno de dζ se maném nulo, o argumeno de dz/dζ que é gual a argdz argdζ orna-se argdz/dζ argdz, assm: dz dz arg arg πk v v,..., n Eq... dζ dζ v v argdz/dζ: Inroduzndo-se uma função complexa χ cua pare magnára sea dada por χ τ ω lndz/dζ, Eq...5

58 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 56 pode-se escrever: ω v ω v- πk v v,..., n Eq...6 Srack 989, pág. 37, faz analoga da condção de conorno ω com a função de correne de poços posconados nos vérces de um polígono cua soma das descargas é πk v para chegar à expressão de χ como: n v χ k ln ζ C Eq...7 v v onde C é uma consane complexa. Escrevendo-se a consane C como lna, onde A é o número complexo A exparga, represena-se sua pare real e magnára da segune forma: C lna arg A IC. Eq...8 Observando-se que o argumeno de ζ ν é anulado ao longo do exo real n < < e a expressão Eq...7 é escra nese exo como χ arga e a parr de da defnção Eq...5 em-se: dz arg A arg n < < e Eq...9 dζ Fazendo ϕ arga, a função χ pode ser reescra como: n ϕ χ ln A v k e v ζ v Eq... ou, anda, escrevendo χ lndz/dζ: dz A dζ n k e ϕ v ζ v v Eq...

59 FERRAMENTAS ANALÍTICAS EM ÁGUAS SUBTERRÂNEAS 57 Assm, z é obda da segune negral, chamada mapeameno de Schwarz-Chrsoffel: z n ϕ kv A e ζ dζ B Eq... v v Em casos onde o n-ésmo pono z v mapea um valor fno de, o produóro esende-se aé o índce n.

60 58 Capíulo 3 3 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS Nese capíulo, o Méodo de Elemenos Analícos da leraura nglesa, Analyc Elemen Mehod é apresenado formalmene. Apenas problemas de escoamenos em aqüíferos de uma únca camada são abordados por nermédo da formulação de elemenos esaconáros Srack, 989 e ransenes Zaadnoordk, 988. Embora ouras formulações enham sdo desenvolvdas mas recenemene e.g. Jancovć, 997; Furman e Neuman, 3,, a formulação de Srack 989 e de Zaadnoordk 988 enconra-se dsponível no programa Tm SL.3 Bakker e al., sob os ermos da lcença LGPL versão. FSF, 999. O fundameno da formulação do Méodo esá no prncípo da sobreposção de efeos seção..3. Isso mplca que o equaconameno governane no problema abordado deve ser lnear. Com esse pono de parda, o obevo do méodo é sobrepor soluções, denomnadas elemenos, para a consrução de modelos realsas. Enenda-se por modelo a represenação maemáca de processos físcos, e.g. Mecânca dos Fludos, Eleromagnesmo, Elerosáca, Ressênca dos Maeras ec. Modelos realsas são, por sua vez, aplcações de modelos maemácos em casos concreos produzndo resposas em formaos compreensíves para a área de aplcação. Em dversos campos de aplcação, problemas concreos não hpoécos ornam-se complexos geomercamene e fscamene e, por consegune, em sua represenação maemáca. A represenação maemáca ornando-se cada vez mas especalzada, sua análse passa a ser asssda por méodos compuaconas, seam numércos, em sua grande maora, seam smbólcos compuação smbólca. Embora a compuação smbólca auxle a obenção de expressões analícas, a complexdade geomérca de problemas concreos não perme o smples uso desses méodos como écnca de modelagem. Méodos numércos, por sua vez, permem uma ampla capacdade de represenações espacas, no enano exgem a defnção do domíno denro de regões fechadas sendo, por vezes, necessáro nroduzr-se conornos arfcas. O Méodo de Elemenos Analícos oferece realsmo ao modelo à medda que a necessdade de se nroduzr conornos arfcas ao domíno é elmnada. O Méodo consse da especfcação de condções de conorno de campos veoras pelo prncípo da sobreposção

61 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 59 Srack, 3. Para ano, soluções algébrcas de problemas elemenares descros em ermos de Φ, Ψ ou Q são ulzadas como elemenos do somaóro sobreposção, que expressa a condção de conorno deseada. Qualquer função obda de uma equação governane lnear pode ser empregada pelo méodo. Os elemenos analícos, a que se refere o nome do méodo, são defndos por essas funções. Embora os fundamenos e a formulação do méodo enham aplcabldade em dversas engenharas, sua programação compuaconal e sua aplcação em esado volada exclusvamene para a deermnação de campos de escoameno suberrâneos. A segur são apresenadas algumas funções, bem como suas aplcações. Prmeramene, é defnda a relação enre o poencal de descarga Φ e a alura de água φ. Em seguda, são dscudos os prncpas elemenos, esaconáros e ransenes, ulzados no méodo. Adconalmene, são nroduzdos aspecos compuaconas, observados nese rabalho, para a correção de comporamenos ndeseados na formulação ulzada. São apresenadas, anda, as expressões mas comumene ulzadas em condções de conorno são apresenadas e, por fm, a mplemenação compuaconal do méodo. 3. Poencal Unfcado Em escoamenos suberrâneos, as equações governanes seção.3 são comumene escras em ermos da carga pezomérca φ por expressões dsnas para aqüíferos confnados e lvres. Como dscudo na seção. a le de Darcy relacona vazão específca q e carga φ por uma expressão semelhane à defnção Eq...6. Srack e.g. 98, 989 reescreve equações governanes de escoamenos suberrâneos ulzando a defnção Eq...6 em ermos de um poencal Φ em duas dmensões. A expressão para o poencal, válda ano para aqüíferos lvres como para aqüíferos confnados, é obda a parr da regra de dendade de Lebnz, expressa com a noação de Ensen, da segune manera: x h h x, x, x3 dx3 φ x, x, x3 dx3 φ x, x x h φ, h Eq. 3.. x onde a varável x de índce,, 3 refere-se aos exos rês exos caresanos noação de Ensen. Isolando-se o prmero ermo do segundo membro e fazendo φ x, x, h h, sendo h a espessura, em-se:

62 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 h h h φ x, x, x3 dx3 x x x dx h x x φ,, 3 3 Eq. 3.. x Assm, a parr da le de Darcy, o veor de vazão pode ser oalzado na seção do escoameno em um aqüífero homogêneo como: Q h h h φ h q dx3 K K φ x, x, x3 dx3 Eq x x O poencal de descarga, por sua vez, orna-se defndo por: h K Kh Φ φ x, x, x3 dx3 Eq. 3.. h Subsundo-se φ x, x, por sua méda, φ x, x, obém-se que φ x, x, x dx 3 3 φ x3 x, x h. Assm, a defnção acma Eq. 3.. não ulza as hpóeses de Dupu seção.3 para a formulação do escoameno em duas dmensões e, porano, não foram feas smplfcações aé o resulado apresenado. Ulzando-se agora as hpóeses de Dupu, onde φ h, em-se: KH Φ KHh, aqüíferos confnados com espessura H Eq. 3..5a h Φ K, aqüíferos lvres com espessura h Eq. 3..5b O poencal assm defndo é chamado poencal unfcado assumndo a expressão Eq. 3..5a para valores de h > H e a expressão Eq. 3..5b para valores de h < H. Subsundo-se as relações acma nas equações Eq..3.9 e Eq..3., por exemplo, o escoameno é governado por uma únca equação: Φ Φ x y N. Eq. 3..6

63 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 6 A defnção pode ser esendda para um número arbráro de camadas, separadas por camadas mpermeáves ver Srack, 989 pág. 5 e 9, Srack 98a e Srack e Haema, Elemenos Esaconáros A formulação aqu dscuda refere-se à meodologa apresenada em Srack 989. Os elemenos esaconáros são escros a parr de negras sngulares de Cauchy com polnômos de densdade de esforços de segunda ordem ao longo do elemeno e nvaráves no empo. São apresenados a segur soluções elemenares para o poencal devdo a: um lago crcular; um lnesnk de ordem dos; um lago polgonal; um lnedpole/lnedouble de ordem dos, onde aspecos ndeseados são raados; e um areasnk polgonal. Trabalhos recenes desenvolvem elemenos baseados em polnômos de Chebyshev para ordens maores que dos chamados hgh order elemens elemenos de ordem elevada a parr da meodologa desenvolvda em Jankovć Poencal de Descarga Devdo a um Lago Crcular Em uma suação hpoéca, onde os gradenes enconrados no aqüífero são produzdos apenas por um lago crcular, o modelo do escoameno podera ser obdo ulzando-se a função que represena um poço de rao gual ao do lago em quesão. No enano, se o escoameno em a nfluênca de elemenos vznhos, a ulzação da função de poço faz com que a borda do mesmo se orne dferene da equpoencal esperada para o conorno do lago. Srack 98b mosra que em um escoameno dado por um campo de gradenes unformes em uma dreção, a função dpolo Eq...6 pode ser ulzada para produzr uma equpoencal crcular de cenro no dpolo. Dessa forma, a combnação do bombeameno de um poço concênrco ao lago à afxação de uma lnha equpoencal sobre a borda do lago por meo da função dpolo, pode ser ulzada na modelagem de um lago crcular sueo a um escoameno regonal. Em um problema onde os gradenes pezomércos são desconhecdos, a nensdade e a dreção do dpolo ulzado deverão ser obdas de acordo com as condções de conorno especfcadas para o modelo. No problema aqu dealzado, a prmera condção de conorno é obda consderando-se que os gradenes unformes são obdos de meddas em qualquer

64 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 regão do aqüífero onde sua dreção se maném consane. Porano, Q x e Q y da expressão Eq...3 são conhecdos: Φ u x x Qy Q y C Eq. 3.. u A segunda condção de conorno mpõe que uma lnha equpoencal sea manda sobre a borda do lago e pode ser expressa ulzando-se a função dpolo Eq...: s π r s x x Φ d r y r y C d Eq. 3.. A ercera condção de conorno é obda pelo balanço hídrco do lago. O efeo de bombeameno, ou de recarga do lago é obdo pela função de poço Eq...: Q Φ p ln z zr C π p Eq Observe que qualquer função harmônca apresenada na seção..3, nclundo aquelas ulzadas nese modelo, pode ser escra como o produo dos parâmeros da dsrbução de esforços, λ, por suas funçãoões de nfluênca, Λ r. Referndo-se a uma função harmônca qualquer como Ha, pode-se escrever: Ha λ Λ Eq r Tome-se como exemplo o caso da função dpolo Eq. 3..: r r x y Φ d λλ λλ s x s y Eq π r π r Assm a expressão Eq. 3.. é escra na forma da equação Eq. 3.. separando-se os ermos de acordo com os parâmeros presenes na função. A represenação do escoameno proposo no problema é, enão, obda pela sobreposção dos rês efeos acma Eq. 3.., Eq. 3.. e Eq da segune forma:

65 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 63 [ ] T r y y x x y x C z z Q r s r s y Q x Q Φ ln π π r Eq Adoando o procedmeno descro para a obenção da função Eq em-se para a solução do problema Eq. 3..6: T p p d d d d u u u u C Λ Λ Λ Λ Λ Φ λ λ λ λ λ Eq A consane C T é a soma das consanes de negração presenes em cada função C. Os sobrescros presenes na expressão acma u, d e p fazem correspondênca às expressões Eq. 3.., Eq. 3.. e Eq As funções de nfluênca Λ e os parâmeros λ são ordenadas pelo índce de acordo com a posção de cada parâmero,,..., n presene em cada expressão. Dados os valores de vazão no lago Q, componenes do escoameno regonal preferencal Q x e Q y e o valor do poencal no pono de referênca Φ, resa deermnar as componenes do esforço na função dpolo e o poencal na borda do lago Φ lago. A deermnação das ncógnas do problema é fea ndcando-se no domíno no aqüífero ponos onde o poencal pode ser especfcado. Consdere-se que o nível de água sea conhecdo no lago e gual a φ lago e desea-se deermnar seu balanço hídrco Q lago. O nível de água no lago corresponde à equpoencal lago Φ, que por sua vez, é obdo da expressão Eq. 3..5a. Tomando-se rês ponos da borda do lago e um quaro pono, afasado do lago, como o pono de referênca, em-se: z Q z Q z Q z z C z Q z Q z Q z z C z Q z Q z Q z z C z Q z z C u y u x lago p lago d d d d u y u x lago p lago d d d d u y u x lago p lago d d d d p lago d d d d Λ Λ Φ Λ Λ Λ Λ Λ Φ Λ Λ Λ Λ Λ Φ Λ Λ Λ Φ Λ Λ Λ λ λ λ λ λ λ λ λ Eq Observe que na prmera lnha do ssema, o poencal Φ é especfcado em um pono de referênca z e por sso é chamado poencal de referênca. Nas lnhas segunes, o poencal

66 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 é especfcado com valores guas a Φ lago para os rês ponos da borda do lago: z, z e z 3. Do conuno de equações Eq. 3..8, as ncógnas λ, λ, Q lago e C T podem ser deermnadas. d d 3.. Lnesnks de Ordem Dos O poencal devdo a uma lnha rea de descarga unforme é dado pela equação Eq A ordem do elemeno é defnda pelo maor expoene do polnômo ulzado na represenação da desconnudade enconrada no poencal complexo Eq...5 Srack, 989. Na função Eq..3.5, σ é dado por uma consane que represena a dferença das componenes normas de descarga enre os dos lados da lnesnk, da segune forma: σ Q n Q. Eq n Aplcando-se a defnção Eq...6 a σ, onde Q é a pare magnára de W, em-se: dω dω σ Q Q I I ζ ζ Eq. 3.. e verfca-se a defnção expressa em Eq Aplcando-se a regra da cadea em relação a Z, ζ defndo como Z na dervada acma, obém-se: L / dω dω I I LdZ LdZ σ Eq. 3.. O parâmero σ é, porano, defndo pela dferença da dervada do poencal complexo Ω enre ponos logo à esquerda e ponos logo à drea do elemeno. Assm, a ordem da dsrbução de esforços enconrada em σ é dada pela ordem dos esforços da desconnudade do poencal λ menos um. Por exemplo, no caso de σ consane, a dsrbução de Ω ao longo do elemeno será um, o que deermna a ordem da lnesnk. A dsrbução de descargas que descreve a desconnudade da correne aravés de um lnesnk ordem dos é dada por Srack 989, pág. 5 pelo segune polnômo:

67 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 65 σ σ σ σ σ Eq. 3.. Observe-se que a dsrbução dada coném um ermo consane gual à méda dos valores de σ nos exremos do elemeno σ e σ. A expressão Eq. 3.. defne a soma de uma dsrbução lnear com uma dsrbução consane. Assm, o elemeno lnesnk de ordem dos é dado pela sobreposção do elemeno de ordem um a um poencal complemenar enconrado para o ermo lnear da dsrbução descra na equação Eq Subsundo-se a expressão Eq. 3.. em Eq..3.: L Ω 8π σ σ ln Z d Ω Eq onde Ω é dado por Eq..3.5 para σ σ σ. A negração expressa na Eq fornece: * L Ω σ σ Z 6π ln Z Z Z Eq. 3.. E, fnalmene, o poencal para uma lnesnk de ordem dos é escro como: Ω L σ σ Z 6π [ ln Z σ σ Z ln Z Z ln Z ln[ z z] Z Z Eq Lago Polgonal de Ordem Dos Um lago polgonal pode ser represenado ulzando-se elemenos lnesnk. Dada a dsrbução de esforços da Eq. 3.., o balanço hídrco de um lago é obdo negrando-se σ sobre os n lnesnks da segune forma:

68 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 66 Q n σ σ Eq Dessa forma, os esforços presenes em cada elemeno devem ser calculados levando-se em cona o balanço hídrco no lago. A solução dos parâmeros σ ulzados no lago é obda, mnmzando-se o poencal no lago nformação verbal de Srack, 3b 6 da segune forma: dφ n Φ dσ σ Eq Observando-se a defnção da equação Eq. 3.., o ermo Φ σ é subsuído por cada função de nfluênca Λ. Subsundo-se anda os operadores de dervada oal d por nervalos dscreos, em-se: Φ n Λ σ Eq O operador refere-se à varação de poencal Φ devdo a σ em cada σ durane o processo de mnmzação. Assm, dá-se níco ao processo arbrando-se um poencal Φ como aproxmação ncal do valor mínmo. Como o poencal no lago é dado pela sobreposção de n lnesnks, pode-se escrever o poencal devdo a um lago na forma da equação Eq. 3.. como Φ σ Λ e enão σ Λ. Por consegune, defnndo-se Φ Φ Φ e σ σ σ : Φ n Λ σ Eq Informação fornecda por Oo D.L. Srack durane mn-curso em São Carlos em dezembro de 3

69 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 67 A varável Φ será o poencal mnmzado no lago e consu-se em uma ncógna no ssema. O problema orna-se compleamene resolvdo, enão, nclundo-se a equação do balanço hídrco Eq no ssema. Uma vez que a solução do problema não depende de Φ, o índce sobrescro é desnecessáro. 3.. Lnedpole e Lnedouble de Ordem Dos Na seção.3., fo apresenada a formulação de lnhas dpolos de prmera ordem. Nese capíulo, essas funções passam a serem desgnadas como lnedpole de prmera ordem. A parr da defnção de lnedpole Eq..3.6 uma lnedouble é expressa fazendo λ µ na Eq..3.6, obendo-se: λ Z Ω ln π Z Z p Z Eq. 3.. O comporameno da Eq. 3.. é semelhane ao da Eq..3.6, ambas funções apresenam desconnudades ao longo do elemeno. Elemenos lnedpole e lnedouble são consuídos de nfnos dpolos dsposos ao longo do própro elemeno. Elemenos lnedpole possu dpolos alnhados com o exo do própro elemeno enquano os lnedouble são alnhados ransversalmene ao exo Fgura 3... Fgura 3.. Arranos de dpolos enconrados nos elemenos lnedpole à esquerda e lnedouble à drea

70 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 68 Fo vso que a função lnedpole apresena um nervalo na função de correne de Ψ Ψ µx ao longo do própro elemeno Eq..3.7, porano um nervalo na Z componene magnára da função Ω. A parr da defnção arg θ Fgura 3.. e Z decompondo-se os ermos reas e magnáros da função Eq. 3.. em-se o segune comporameno ao longo do elemeno. X X,, Y Y : : Ω Ω λ X X ln p X π π X λ X X ln p X π π X Eq. 3.. Fgura 3.. Esboço da relação enre dsâncas de um pono ao elemeno e seus argumenos Assm, a Eq. 3.. produz uma desconnudade no poencal Φ ao longo do elemeno X e Y gual ao valor do esforço λ. Maemacamene, em-se: Φ Φ R Ω Ω λ X Eq. 3..

71 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 69 O elemeno lnedouble de segunda ordem é dado a parr da sobreposção de ermos adconas ao lnedouble de prmera ordem que expressam gualmene ermos empregados em elemenos lnedpole. Srack 989, pág. 5 defne o polnômo λ para o elemeno de prmera ordem de manera que λ e λ represenem os esforços sobre as exremdades do elemeno, δ e δ, respecvamene. Dessa forma, em-se: λ Z λ f Z λ g Eq Z onde: f Z Z e g Z Z Eq. 3.. A defnção é agora reescra como a soma de duas funções F e G de manera a deermnar os coefcenes do polnômo pz na Eq Ω [ λf Z λg Z ] Eq π Conforme dscudo na seção.3., deermna-se p mpondo-se que o poencal complexo sea nulo quando Z. No caso do lnedouble de prmera ordem, p é reduzdo a uma consane e, conforme defndo na expressão Eq. 3..5, o polnômo p é deermnado como em F e em G. Assm, Z F Z f Zln Eq Z Z G Z g Zln Eq Z O lnedouble de ordem dos é obdo, segundo Srack 989, pág. 5, defnndo um ermo complemenar a ser somado à Eq como: * L * * Z Ω λ Z ln p Z π Z Eq. 3..8

72 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 7 * Z Deermnado p em-se: * L * Ω λ Z π ln Z Z Z Eq Defnndo-se uma varável c λ dada pelo valor de λz no cenro do elemeno escro da segune forma: c * λ λ λ λ Eq pode-se subsur * λ da Eq em Eq. 3..9, e defnr uma função F * como: * Z F Z Z ln Z Eq Z onde o ermo polnomal pode ser desgnado como * f da segune forma: * f Z Z Eq Assm, o poencal de descarga é defndo como: * c * * Ω λ[ F Z F Z] λ F Z λ[ G Z F Z] π Eq Srack 989 examna o comporameno do poencal devdo ao elemeno lnedouble levando a coordenada complexa z ao lme das exremdades do elemeno e obém as segunes expressões para ponos próxmos aos nós: Ω z λ λ ln z z π π Eq. 3..3

73 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 7 Ω z λ λ ln z z π π Eq As expressões acma evam que o poencal sea sngular nas exremdades do elemeno. Embora as expressões evem as sngulardades, não asseguram a suavdade da superfíce poencomérca ao longo dos elemenos Fgura 3..3, lnhas ponlhadas. Nese rabalho, as condções de connudade e suavdade do escoameno sobre o elemeno são asseguradas ambém sobre as exremdades do elemeno por nermédo da dsrbução de esforços λ nformação verbal de Schulz, 7. Fgura 3..3 Poencomera obda sem a suavzação dos esforços nos exremos dos elemenos lnhas ponlhadas e com a suavzação dos esforços lnhas conínuas Somando-se as expressões de Eq. 3.. e Eq e ulzando-se o ermo c λ defndo em Eq. 3..3, em-se uma únca expressão que represena o polnômo λ em Eq. 3.. da segune forma: c c λ λ λ λ λ X λ X X λ Eq Informação fornecda por Harry E. Schulz durane dscussões codanas

74 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 7 Ulzando-se o índce el para a denfcação do elemeno e o índce da forma, c e a aplcação da Eq sobre os nós dos elemenos produz: el el λ λ Eq Dferencando-se Eq em relação à coordenada X em-se: dλ X c λ λ λ λ λ X dx Eq Aplcação da Eq sobre os nós dos elemenos produz: el el el el 3 3 el el λ λ λ λ λ λ Eq Na Fgura 3..3 é lusrada a melhora da represenação do campo poencal obda da ulzação da expressão nos exremos dos elemenos ulzados. Os desenvolvmenos apresenados são váldos da mesma forma para elemenos lnedpole. O Apêndce A seção A.., apresena a ulzação de lnedpoles para ros e lagos Areasnk de Esforço Unformemene Dsrbuído O poencal devdo a uma regão fna de recarga é defndo em Srack 989 pela função areasnk. A função é defnda em odo o espaço plano nfno sobrepondo-se dos problemas: o prmero regdo pela Equação de Posson no neror da regão de recarga e o segundo regdo pela Equação de Laplace. Para cada problema defne-se um poencal cua soma produz a expressão deseada: a b Φ Φ Φ Eq. 3.. O obevo da decomposção do problema em duas pares é ulzar as soluções á conhecdas harmôncas na resolução do problema.

75 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 73 a Φ γ, denro Eq. 3.. Φ b, para odo domíno O poencal a Φ, que sasfaz a equação no neror da regão, é defndo como uma solução parcular para a Equação de Posson e no exeror da regão Φ a. O poencal Φ b, por sua vez, é deermnado de manera a elmnar as desconnudades ocasonadas por Φ a. Adoando o sobrescro para a localzação de varáves nernas à regão e - para varáves localzadas no exeror: b Φ b Φ b a a a λ Φ Φ Φ Eq. 3.. Observe que ocorre desconnudade no gradene de a Φ aravés da fronera: a Φ n a n Q. Assm, Φ b ambém deve ser especfcada para que a desconnudade em Q n sea elmnada. Noe-se que Φ b será, enão, dado pela soma de duas funções harmôncas cua sobreposção sasfaz as especfcações Eq. 3.. e Eq. 3..3, a saber, as funções lnedouble e lnesnk. b b b a a a Q Q σ Q Q Q Eq n n n n n Consderando uma regão na forma de um polígono qualquer de vérces z,,,..., n, Srack 989, pág. 9 sugere que os vérces da polgonal seam numerados em sendo an-horáro e de modo que o lado enre os vérces z e z sea o maor da polgonal Fgura 3... b

76 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 7 Fgura 3.. Esboço geomérco de uma areasnk As propredades geomércas da polgonal são defndas da segune forma: seam dos vérces consecuvos b b z e z, o comprmeno do lado L do lado será dado por: b b L b b z z Eq. 3.. como o módulo do número complexo b b z z. Escrevendo-se as coordenadas dos vérces agora na forma de veores b z, a área do polígono, por sua vez, será a meade do somaóro do produo veoral: A n b b z z Eq O ssema de coordenadas complexas é, por sua vez, defndo omando-se posções em b relação a z e à dreção do maor lado por nermédo da segune expressão: b b z z e Eq ζ b onde z é defndo como o cenro geomérco dos vérces da polgonal:

77 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 75 b z n n b z Eq Na Equação de Posson, a axa de recarga γ é explíca e aparece ndependene de Φ sendo porano, consderada conhecda. Na práca, γ ndepende de Φ apenas onde os escoamenos ocorrem em condções lvres não-confnado e sua dsrbução, para efeo de modelagem, é aproxmada delmando-se regões onde a nflração pode ser consderada consane. A axa de recarga, nesses casos, é um parâmero que esá foremene lgado, denre ouros aspecos, à hdrologa de superfíce precpação amosférca e nflração no solo que ornam sua dsrbução não-unforme. Dessa forma, γ é consderada consane na Eq. 3.. e o poencal que sasfaz essa equação é arbrado como Srack, 989: a Φ γ, Eq donde se obém: a a Q γ, Q. Eq De acordo com as equações Eq. 3.. e Eq. 3..3: b a λ Φ γ Eq e b a n σ Q γ sen Eq Deermnou-se aé aqu a dsrbução da recarga γ e as desconnudades no poencal a Φ a serem elmnadas pelo poencal Φ b. Obdos b λ e b σ, a aplcação das funções sobre as

78 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 76 bordas da polgonal é fea medane a defnção de um ssema de coordenadas admensonal Z para cada lado da polgonal. Z X Y z z z z z ζ ζ ζ ζ ζ Eq As dsrbuções dadas pelas equações Eq e Eq são expressas em cada função de borda em ermos de suas própras coordenadas Z que expressa, solando ζ da expressão aneror: ζ ζ ζ Z ζ ζ Eq A expressão coném enquano componene de ζ. Sabendo que as dsrbuções de esforços dadas nas expressões Eq e Eq são váldas apenas ao longo de cada lado da polgonal, a componene de ζ é nula e, porano, ζ é reescra em ermos de como segue: Z Eq Assm, as dsrbuções Eq e Eq são reescras como: 8 Z ] γ Eq b γ [ Z λ σ γ Z ]sen Eq b [ As dsrbuções b λ e b σ podem ser agora ulzadas nas expressões que defnem os poencas cua sobreposção expressará b Φ. A forma geral a parr das funções lnedouble e

79 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 77 lnesnk que defnem o poencal Φ b é dada na equação Eq na forma complexa. O procedmeno para a obenção da forma geral do areasnk é descro na seção A..3 do Apêndce A. b Ω π n b {[ λ δ µ δ ]ln b Z Z Q P Z} π b ln z z Eq O parâmero b µ em Eq pode ser obdo a parr de b σ ulzando-se ver Eq. A. b d b σ µ Eq L dz donde b µ é obdo como: µ 8 b b γ [ Z Z ] µ Eq onde b µ b µ defne o valor da função no nó ζ. ζ ζ A equação Eq defne uma expressão recursva para b b µ onde µ é gual a b µ no nó ζ, onde Z, e adoa-se µ. Assm, a função complexa b b b λ µ é obda da soma da equação Eq com Eq como: b b b λ µ γ γ ζ ζ [ Z Z ] µ 8 Eq b Ω n b Q b Ω π ln z z Eq. 3..6

80 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 78 onde Q b γa é o oal descarregado da ou para a polgonal. Procedendo-se conforme apresenado na seção A..3 do Apêndce A, é obdo o ermo de correção do escoameno regonal P em Eq e o elemeno areasnk para γ consane é fnalmene expresso por: b n γ ζ ζ γa 3γA Φ R cζ cζ cln ln z z π ζ ζ π π Eq Como defndo na equação Eq. 3..8, Φ a deve ser adconada à pare real de Φ b no neror do polígono. Srack 989 defne a segune função complexa, cua pare real vale γ no neror do polígono e desaparece no exeror: a Φ γ ζ ζ ln π ζ ζ n Eq Elemenos Transenes Os elemenos apresenados nesas seção seguem a formulação de Zaadnoordk 988. Essa formulação consse de rês passos: defnção de uma solução fundamenal da Equação do Calor Eq adequada ao elemeno deseado; um polnômo para a dsrbução de esforços no elemeno; e 3 um polnômo para a evolução dos coefcenes da dsrbução de esforços no elemeno. Convencona-se chamar ordem do elemeno o maor expoene do polnômo sobre o exo do elemeno. Convencona-se, anda, chamar grau o maor expoene da evolução dos coefcenes do polnômo do elemeno no empo. Φ Φ N x y Φ Eq Para aqüíferos confnados, o coefcene de dfusão é dado por KH S. Para aqüíferos lvres, a Equação de Boussnesq é lnearzada ulzando-se a defnção da Eq. 3..5a

81 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 79 para o poencal e a nrodução de uma espessura méda do aqüífero φ Srack 989, pág. 95. O coefcene de dfusão, nese caso, é dado por Kφ. A condção ncal das n e soluções é dada pela solução rval. Assm, o poencal que expressa a condção ncal de um modelo realsa pode ser dado por uma solução do modelo para um empo qualquer ou mesmo para o regme esaconáro. A condção fnal das soluções da Eq ulzadas como elemenos é especfcada pela esaconardade da função em. Dessa forma, o poencal Φ é dado com base na sobreposção hsórca de efeos e expresso da segune forma: k Φ Φ, para k > Eq k m m Assm, para, em-se: Φ Φ, para k Eq k k São apresenadas a segur soluções de problemas elemenares de poencas devdos a: um lago crcular, um lnesnk ordem um e grau zero, onde, nese rabalho é fea a exensão para ordem dos; um lago polgonal; um lnedouble ambém esenddo para ordem dos grau zero nese rabalho e uma areasnk polgonal. Em formulações mas recenes, o problema da sobreposção de efeos em escoamenos ransenes em sdo abordado ambém a parr da Equação de Helmholz no domíno dado pela ransformada de Laplace. A écnca consse em sobrepor soluções obdas para a Equação de Helmholz e ransporá-las para o domíno real va ransformada de Laplace nversa Furman e Neuman 3, Poencal de Descarga Devdo a um Lago Crcular O problema do lago crcular é analsado de forma dênca à apresenada na seção 3... O lago é sueo a um escoameno regonal e a varações de sua condção de equlíbro esaconáro. A sobreposção de um dpolo com orenação e nensdade específcas sobre o escoameno regonal produz uma equpoencal crcular concdene com a borda do lago. Por sua vez, as ensões hdrológcas sobre a superfíce do lago são represenadas por uma vazão

82 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 oalzada em um poço concênrco ao lago. A função ulzada para a represenação de ransóros em um poço é dada pela solução de Thes escra em Srack 989, pág. 96 como: Φ p k Q E w π Φ Eq onde E é a negral exponencal w exp v dv, ambém conhecda como função poço e w é o v admensonal r k. Dversas aproxmações são enconradas para a função E e.g. Srack, 989, pág. 98. A função dpolo a ser ulzada na obenção da equpoencal deseada para a borda do lago é obda a parr da expressão dada por Carslaw e Jaeger 959 apud Zaadnoordk 988 para o dpolo nsanâneo da segune forma: Φ d 8π [ s r cosθ s r r senθ ]exp x y Eq O dpolo responsável pela geração da equpoencal do lago sueo a um esforço consane ao longo do empo será enconrado fazendo Φ dτ, donde obém-se: Φ d k d [ sxr cosθ s yr senθ ] r dτ d k π τ τ Φ exp 8 Eq Efeuando-se agora a segune mudança de varáves conforme a defnção de w na Eq. 3.3.: r r r w, τ, dτ dw Eq τ w w obém-se:

83 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 8 Φ d k [ sxr cosθ s yr senθ ] πr r wexp w dw Eq cua solução é dada por: Φ d k s r cosθ s πr r senθ ] r exp [ x y k Eq Da forma semelhane à que ocorre com as funções harmôncas, as funções obdas da Equação do Calor podem ser referdas como He e escras na forma: k k Φ He λ Λ. Eq k Cada ermo das funções He, porém, é defndo com base na sobreposção de efeos ao longo do empo Zaadnoordk, 988 e Zaadnoordk e Srack, 993. Tomando como exemplo a função Eq. 3.3., em-se: k Λ E w k > π Eq Λ k k Fazendo k k k k λ Q ou anda λ s x, y em Eq , conforme as equações Eq e Eq. 3.3., em-se os parâmeros defndos no nsane k como: k k m λ λ k λ, para k > m Eq k λ, para k

84 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 onde o empo ncal é denfcado como k. Assm, ano a função de nfluênca Λ quano o parâmero de esforço λ erão valores dferenes de zero somene para nsanes de empo superores a k Lnesnk de Ordem Dos e Grau Zero O elemeno lnesnk é defndo segundo Zaadnoordk 988 como o efeo obdo da sobreposção de nfnos poços ao longo de uma lnha fna. A parr da função Eq. 3.3., Zaadnoordk 988 obém expressões que defnem elemenos de prmera ordem e grau arbráro, ou sea, esforços unformemene dsrbuídos no elemeno e evolução emporal de grau ão alo quano se quera. Embora o elemeno obdo por Zaadnoordk 988 sea de grau arbráro relavamene à dsrbução emporal de esforços, a dsrbução espacal por ele descra prmera ordem, não favorece a sobreposção das exremdades dos elemenos. As condções para a ulzação de lnesnks encadeadas são dscudas nesa seção. Para sso, é obda uma solução que expressa o elemeno lnesnk com dsrbução lnear e consane no empo ordem dos e grau zero e são dscudas as condções que devem ser aenddas pelo elemeno quando ulzado em cadea. A noação segue a convenção defnda por Zaadnoordk 988. A numeração no sobrescro de Φ refere-se à ordem do polnômo ulzado na dsrbução de esforços sobre o elemeno. As leras ulzadas nos subscros esão desgnadas como: ls referndo-se a lnesnk, ou o número zero referndo-se respecvamene a nsanâneo e grau zero e l ou q referndo-se a lnear e quadráco, respecvamene. Maemacamene, os elemenos lnesnk escros em Zaadnoordk 988 são obdos por negração da solução fundamenal de Carslaw e Jaeger 959 para um pulso ponual nsanâneo no plano horzonal: σ c Φ exp ps π Eq onde os subscros esão desgnados da segune forma: ps para ponsnk e para nsanâneo. A negração da solução fundamenal é fea defnndo-se uma densdade de esforços consane sobre o elemeno Zaadnoordk, 988 Eq..38. O procedmeno para a consrução da negral que represena a sobreposção dos ponsnks consunes de uma lnesnk é apresenado na seção.3..

85 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 83 du u c ls Φ exp π σ Eq O poencal devdo a uma lnesnk de ordem um unforme ao longo do elemeno, ver Eq. 3.. com densdade de esforços consane no empo é dado por Zaadnoordk 988, Eq..56 pela negral de ls Φ no empo da segune forma: τ τ τ τ τ π σ d c ls Φ erfc erfc exp. Eq Efeuando-se a mudança de varáves como apresenado na Eq : τ w, w τ, dw w d 3 τ Eq a solução da negral, por sua vez, é expressa por: I ls π σ Φ, Eq onde I é dada em Zaadnoordk 988, Eq..3. Barnes e Srack 3 apresenam correções a se fazer em alguns passos algébrcos adoados no rabalho de Zaadnoordk 988 devdos à mudança de varáves Eq Assm, a função I corrgda é:

86 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 dw w w w e I π erfc erfc exp E E erfc erfc Eq Dessa forma, o elemeno lnesnk de prmera ordem é expresso por: dw w w w ls Φ π σ π σ π σ erfc erfc exp E E erfc erfc exp Eq A negral no úlmo ermo da expressão Eq é referda nese rabalho como Inegral de Rosser: dw w w w erfc erfc exp Eq. 3.3.

87 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 85 devdo ao ponersmo de Rosser 98 apud Zaadnoordk, no problema. Lkouh e Becker 98 apud Zaadnoordk, ulzaram a negral em um problema de condução de calor e muo conrbuíram para a análse do problema. Embora o elemeno lnesnk de ordem um manenha o esforço nvarável ao longo de seu comprmeno, os esforços σ dos elemenos podem ser especfcados ndvdualmene c consundo-se segmenos de pollnhas e.g. especfcações de condções de conorno sobre ros e rachos. Enreano, sua aplcação em casos de condções não consanes nroduz efeos ndeseados nas exremdades dos elemenos. A aplcação de elemenos lnesnk e.g., especfcação de conornos ao longo de pollnhas requer que a dsrbução dos esforços sea conínua. Consdere-se para ano que a dsrbução sea lnear, de manera que os valores dos esforços concdam nas exremdades de cada elemeno. A dsrbução de esforços ao longo do elemeno lnesnk poderá ser defnda como σ σ σ, Eq c l onde o subscro l refere-se à palavra lnear. Em uma cadea de elemenos, a connudade enre os valores de esforços em cada nó será assegurada fazendo: L L L L σ σ σ σ σ σ Eq c l c l onde L é o comprmeno do elemeno. Nese rabalho observa-se que a dsrbução de poencal ao longo do elemeno, Φ,, não depende da dsrbução de esforços σ. Sabendo que σ é defndo apenas em função da 8 z Rosser, J.B. 98 Theory and Applcaon of exp x dx and z exp p y dy y exp x dx, Mapleon House, Brooklyn 9 Lkouh e Becker 98 Temperaures n Sem-Infne Body Heaed by Consan Hea Flux Over Half Space. In: Proceedngs of he Sevenh Inernaonal Hea Transfer Conference Muenchen, v, pp-7, Washngon DC

88 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 86 dreção ransversal do elemeno Eq e aplcando-se a defnção de lnhas de correne Ψ Eq..., em-se: Ψ Ψ σ Q Q Q. Eq A parr da defnção de poencal de descarga no planoeq...5, por sua vez, em-se: Φ Q, Φ Q Eq Inegrando-se o poencal na dreção do exo do elemeno, em-se uma função apenas da dreção da segune forma: Φ, Q d Eq Assm, conclu-se que para se er a connudade de σ assegurada, é necessáro nclur a expressão Eq na formulação do elemeno e, porano, ober-se a expressão de segunda ordem do elemeno. Nese rabalho, o poencal devdo a um lnesnk de segunda ordem é obdo escrevendose o polnômo de esforços conforme a Eq Observa-se que a expressão do elemeno poderá ser obda como a soma do poencal de ordem um com o poencal obdo de uma dsrbução lnear σ l u u du ls c l Φ σ σ exp Eq π Observe-se que operando-se a negração do prmero ermo, obém-se a expressão do poencal Φ Eq Assm, é necessáro apenas ober-se a negração do segundo ermo ls da equação Eq :

89 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 87 du u u l lsl Φ exp π σ Eq onde lsl Φ é o poencal devdo à dsrbução complemenar σ l. O poencal devdo a uma lnesnk com densdade de esforços lnear Eq manda consane no empo ls Φ poderá ser obdo negrando-se agora ls Φ em relação ao empo. Escrevendo-se ls Φ a parr da defnção expressa em Eq , em-se: Φ Φ Φ Φ lsl ls ls ls d d τ τ Eq O poencal de densdade consane Eq , como é defndo por Zaadnoordk 988, Eq.. é obdo do prmero ermo da negral na equação Eq , porano, ls Φ poderá ser obdo novamene negrando-se apenas o poencal complemenar lsl Φ da segune forma: τ τ τ π τ π τ π τ π τ σ d l lsl Φ exp exp erfc erfc exp Eq Efeuando-se a mudança de varáves como apresenado na Eq : τ w, w τ, dw w d 3 τ Eq

90 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 88 produz-se: I I d l l lsl π σ π σ τ Φ, Eq onde I é dada na Eq e I, após as correções proposas por Barnes e Srack 3 para Zaadnoordk 988, Eq..6, deve ser escra como: I E E exp exp. Eq Por fm, a negral τ d lsl Φ produz: Φ dw w w w d l l lsl π σ π π σ τ exp exp E E erfc erfc exp E E erfc erfc exp Eq

91 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 89 A expressão para o elemeno de lnesnk ordem dos e grau zero ls Φ poderá, enão, ser escra a parr das equações Eq e Eq como: Φ dw w w w l l l l ls π σ π σ π σ π σ π σ π σ π σ exp exp E E 8 erfc erfc exp E E erfc erfc exp Eq Lago Polgonal de Ordem Dos e Grau Zero Os efeos ransenes produzdos por lago polgonal podem ser represenados ulzando-se elemenos lnesnk. Semelhanemene à formulação apresenada para os efeos esaconáros de um lago polgonal seção 3..3, a sobreposção de n lnesnks produzrá n ncógnas. Assm, a expressão do balanço hídrco obda para uma lnesnk ransene pode ser empregada na formulação do poencal de descarga devdo a um lago polgonal a fm de assegurar a negrdade do balanço hídrco no lago em cada nsane de empo. O balanço hídrco em um elemeno lnesnk de ordem dos, com esforços dsrbuídos conforme Eq orna-se expresso por: L d c L L l c σ σ σ Eq

92 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 9 O procedmeno de solução é obdo conforme apresenado na seção 3..3, subsundose a função de nfluênca do elemeno lnesnk de regme esaconáro Eq pela função de nfluênca da equação Eq O balanço hídrco em cada nsane, por sua vez, é feo de modo acumulavo pela segune expressão: k k k m Q σ L Q, para k > c m Eq Q k Q, para k 3.3. Lnedouble de Ordem Dos e Grau Zero Zaadnoordk 988 desenvolve expressões para elemenos lnedoubles de ordem um ulzando-os apenas para ober expressões para a represenação de areasnks. Os elemenos lnedoubles ransenes de ordem dos podem ser aplcados dreamene em froneras onde podem ser especfcadas dversas condções de escoameno como dscudo na seção 3.. Nesa seção, as expressões obdas para lnedoubles de ordem dos são obdas. O elemeno lnedouble defndo por Zaadnoordk 988 é obdo a parr da solução de Carslaw e Jaeger 959 para o poencal devdo a um pulso dpolar nsanâneo. A noação segue a convenção defnda por Zaadnoordk 988. A numeração no sobrescro de Φ refere-se à ordem do polnômo ulzado na dsrbução de esforços sobre o elemeno. As leras ulzadas nos subscros esão desgnadas como: ld referndo-se a lnedouble, ou o número zero referndo-se respecvamene a nsanâneo e grau zero e l ou q referndo-se a lnear e quadráco, respecvamene. Dferenemene dos elemenos lnesnk, onde as cargas pezomércas são conhecdas nos exremos do elemeno, em um lnedouble as cargas pezomércas são desconhecdas em qualquer pono do elemeno. Dessa forma, a dsrbução de esforços deve assegurar que a dsrbução de cargas pezomércas sea, além de conínua, suave dferencável ambém nas exremdades do elemeno nformação verbal de Schulz,. Consdere-se que a dsrbução de esforços sobre o elemeno sea dada por um polnômo quadráco. Informação fornecda por Harry E. Schulz durane dscussões codanas.

93 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 9 λ λ λ λ q l c, Eq onde o subscro q refere-se ao parâmero na forma quadráca. Os valores de Eq devem ser conínuos concdenes nos nós de uma cadea de elemenos, observando-se que: L L L L L L q l c q l c λ λ λ λ λ λ λ λ Eq As nclnações de Eq , da mesma forma, devem ser guas nas exremdades de cada elemeno a fm de represenar a dferencabldade das cargas pezomércas φ em odas as dreções. Dferencando-se Eq em cada exremdade L /, L L L d d L d d q l q l λ λ λ λ λ λ. Eq Defnda a aproxmação da dsrbução de esforços no elemeno de acordo com a Eq , o elemeno lnedouble de segunda ordem, por sua vez, pode ser enconrado parndose dos resulados obdos por Zaadnoordk 988. Conforme o auor, a expressão de dpolos nsanâneos Eq com dsrbução lnear, orenados perpendcularmene à lnha onde são somados, é obda negrando a função: Φ exp 8 u c l pd π λ λ Eq Efeuando-se a negral que defne o poencal de um elemeno de ordem um e grau zero em-se: Φ Φ pd ld dud τ, Eq. 3.3.

94 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 9 Após as correções de Barnes e Srack 3 aplcadas sobre Zaadnoordk 988, Eq..8, ld Φ deve ser dado por: Φ dw w w w l c l ld π λ π λ λ E E erfc erfc exp Eq A expressão Eq fornece a solução para uma lnedouble de ordem um e grau zero. A negração da função de dpolo nsanâneo Eq com a dsrbução quadráca Eq defne o poencal de ordem dos e grau zero ld Φ conforme a expressão: τ π λ λ λ dud u u u q l c ld Φ exp 8 Eq Observe-se que a expressão coném o poencal ld Φ Eq como pare de sua expressão, uma vez que ld Φ pode ser escro como: τ π λ λ dud u u c l ld Φ exp 8 Eq Assm, para ober-se ld Φ, é necessáro apenas resolver a negral de uma dsrbução de esforços u q λ ao longo de um segmeno de rea. Separando-se as parcelas da soma presene no negrando e represenando-se a negração da segunda parcela da negral por dτ ldq Φ, o poencal devdo à dsrbução complemenar u q λ ldq Φ será dado por:

95 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 93 [ ] Φ erfc erfc exp exp 8 exp q ldq π π λ Eq O poencal ld Φ devdo a uma lnha de dpolos com densdade de esforços Eq manda consane no empo, por sua vez, poderá ser obdo negrando-se agora ldq Φ em relação ao empo. A parr de sua defnção expressa em Eq , ld Φ pode ser reescro como: Φ Φ Φ ldq ld ld d τ Eq e o ermo complemenar Φ ldq d τ será dado por: τ τ τ τ τ π λ τ τ τ τ τ π λ τ τ τ τ π λ τ d d d d q q q ldq Φ erfc erfc exp 8 erfc erfc exp 8 exp exp 3 Eq Medane a mudança de varáves:

96 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 9 τ u, u τ, du u d 3 τ Eq em-se: du u u e I I d u q k q k q ldq Φ π λ π λ π λ τ erfc erfc, Eq para, e k, onde k I é dada por Eq e k I é dada em Zaadnoordk 988 Eq..5 por: k k du u u I exp. Eq As funções Eq e Eq são obdas por Zaadnoordk 988, Apêndce E conforme apresenado no Apêndce B dese esudo. Ulzando-se Eq e Eq , a negral τ d ldq Φ fornecerá:

97 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 95 du u u e du u u e e d u q q q u q ldq Φ π λ π λ π λ π π λ τ erfc erfc E E erfc erfc E E erfc erfc Eq Assm, a expressão para o elemeno de lnedouble ordem dos e grau zero ld Φ pode, enão, ser escra a parr das equações Eq e Eq como: Φ du u u e e l u c l q q q ld π λ π λ λ λ π λ π λ E E erfc erfc E 3 E erfc erfc Eq Areasnk Ordem Zero e Grau Zero Zaadnoordk 988 obém uma expressão para o poencal devdo a uma areasnk com as mesmas propredades geomércas que uma areasnk esaconára defndas na seção 3..5.

98 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 96 A expressão que defne a solução para uma areasnk Eq. 3.. pode ser reescra da segune forma: as a b Φ Φ Φ Eq a onde o subscro as refere-se à areasnk, Φ é gual a zero fora da área e Φ b é gual ao poencal devdo a uma deermnada fone fora da área. A expressão que defne a fone pode ser arbrada por uma dsrbução de ordem um e grau um da segune forma: a, Φ γ, fora denro Eq onde γ é o esforço no elemeno. Como condções de conorno, a desconnudade do poencal a Φ e da componene normal de seu gradene são equaconadas aravés do conorno da área. Assm, um poencal Φ b é defndo pela sobreposção de lnedoubles e lnesnks ao longo dos lados da polgonal que cerca a área. Os esforços dos lnedoubles são defndos de forma a se gualarem às dferenças do poencal Φ a aravés de cada lado da polgonal. Da mesma forma, os esforços dos lnesnks são defndos de manera a elmnar as dferenças de gradene do poencal aravés de cada lado. Assm, o poencal Φ b pode ser expresso por Zaadnoordk 988 como: b Φ n Φ Φ ld a ls a λ Φ σ Q n Eq onde a Q é a descarga normal devda ao poencal a Φ no lado da polgonal, defnda como n posva no sendo para fora da polgonal. Enreano, para uma fone defnda por um valor consane sobre oda a área na equação Eq , a a a Φ se orna consane, logo, Q Q. Porano, ulzando-se a defnção do n n

99 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 97 poencal a Φ, a a γ Φ Φ, consane no espaço e lnearmene varado no empo, o poencal a Φ será dado apenas por lnedoubles com esforços conhecdos e guas a γ. Zaadnoordk 988, Eq..89 apresena a expressão para uma lnedouble de prmera ordem e grau um como: Φ e du u u e l u l c ld π π λ π π π λ λ exp exp E E erfc erfc erfc erfc E E 8 Eq Fazendo l λ em Eq , o poencal de descarga devda a b Φ é dada em Zaadnoordk 988, Eq..97 por: Φ e du u u e u n b π π π γ erfc erfc erfc erfc E E 8

100 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 98 Eq onde e são as coordenadas locas defndas sobre cada lado da polgonal. A expressão fnal do poencal devdo a uma areasnk ordem um e grau um é dada por Zaadnoordk, 988, Eq..98: b Φ, Φ b as γ Φ, fora denro Eq Condções de Conorno Uma expressão de uma condção de conorno é especfcada apenas em ponos condos nos conornos de forma que as dsrbuções de densdade de esforços presenes nos elemenos seam ausadas. Assm, as condções de conorno são mposas em dos passos: no prmero, uma função é escolhda para especfcar o conorno e, no segundo, são escolhdos os ponos do conorno ponos de conrole onde as dsrbuções de esforços ulzadas nos elemenos serão ausadas a fm de represenar a condção ao longo de odo elemeno Fgura 3... Fgura 3.. Esboço da dsrbução de esforços λ sobre um elemeno ponos de conrole ndcados pelo símbolo pc Os parâmeros de dsrbução de esforços ulzados nas funções que represenam Φ, Ψ ou Q de um elemeno são os mesmos. Isso sgnfca que, especfcando-se uma condção de

101 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 99 conorno, por exemplo, em ermos de Φ, a solução poderá ser expressa ambém em Ψ ou Q. Ou sea, a especfcação de condções de conorno em ermos de uma varável de campo qualquer é válda como especfcação para qualquer oura varável de campo. Isso perme que um modelo possua smulaneamene especfcações de condções de conorno de dferenes naurezas. Duas denomnações podem ser dsnas a prncípo. Elemenos cuos parâmeros são conhecdos são denomnados elemenos especfcados referdos pelo índce e e os elemenos cuos parâmeros são desconhecdos são denomnados elemenos calculados referdos pelo índce c. Após a especfcação da expressão de conorno em cada pono deseado, os parâmeros desconhecdos de cada elemeno são obdos de manera a sasfazer cada expressão especfcada medane a equação marcal: Aλ B. Eq. 3.. onde A é a marz de coefcenes, λ é o veor de ncógnas λ c e B, o veor de ermos ndependenes. A segur, são dscudas dversas expressões ulzadas em conornos comumene enconrados em escoamenos suberrâneos. As condções mposas em cada espéce de conorno são expressas em ermos da sobreposção de efeos elemenares elemenos analícos. Dessa forma, cada lnha da marz de coefcenes reunrá as funções de nfluênca daqueles elemenos cuos parâmeros anda não foram deermnados consundo-se uma marz denomnada marz chea. Deve-se noar que a consane de negração da solução do modelo C modelo ΣC el deve ser deermnada como uma ncógna do ssema. Assm, é especfcado um pono de referênca no domíno onde um poencal de referênca é arbrado, longe o sufcene para que o comporameno do campo próxmo aos conornos não sea nfluencado pela escolha ver seção Poencal Conhecdo As expressões especfcadas nos conornos de um modelo de elemenos analícos são escras aplcando-se o prncípo da sobreposção de efeos. Dado um pono do domíno pc onde o valor do poencal Φpc é conhecdo, seu valor será expresso sobrepondo-se os efeos de elemenos especfcados e elemenos calculados. Os parâmeros dos elemenos calculados

102 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos serão obdos de forma que o somaóro dos poencas produzdos por odos os elemenos ulzados no modelo no pono pc sea gual a Φpc. Assm, Φ Φ pc, Eq. 3.. ou anda, expressando-se a sobreposção de efeos: c c Φ Φ pc Φ Eq e e A especfcação de poencas é fea comumene em elemenos lnesnk ver seção 3... Assm, embora esea especfcando-se carga, o conorno analsado não caracerza o prmero po Drchle, mas sm, um conorno do po Neumann segundo po. Como dscudo na equação Eq , a dsrbução de poencas sobre uma lnesnk não depende da dsrbução de esforços ulzada ao longo desses elemenos e somene são asseguradas nos ponos de conrole símbolo pc na Fgura Esruuras Drenanes Frauras, falhas ou ouras esruuras drenanes que ocorrem em aqüíferos podem ser especfcados pela desconnudade da função de correne enre os exremos do obeo. Pela defnção da função de correne Eq..., a dferença enre as lnhas de correne nos exremos fornece a vazão que aravessa a dreção longudnal do obeo Fgura 3.. da segune forma: Ψ Ψ Q * s Eq. 3.. Consderando uma espessura H * e uma conduvdade K * para o obeo, a parr da expressão do expermeno de Darcy Eq..., Srack 989 obém: * Q s * K H K * Φ s Eq. 3..5

103 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS Fgura 3.. Componenes de Vazão nas dreções angene e normal à esruura. O ermo Φ s refere-se à componene angencal do gradene do poencal medaamene fora da esruura. Dessa forma, pode-se defnr uma componene de descarga angencal e fora da esruura 3... Assm, em-se: Q s Φ s de manera que Q s dω R ver Fgura LdZ K Q s Ψ Ψ, Eq * * K H ou anda, K c c c K e e e Ψ Ψ Q s Ψ Ψ Q s K H Eq * * * K H * c c e e A condção de conorno orna-se compleamene especfcada dsrbundo-se lnedpoles, defndos pela expressão Eq mulplcada pelo número magnáro Vazão Específca Conhecda

104 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos São dscudas duas aplcações da condção de conorno do segundo po Neumann. Em casos de dreno deal, a dferença de carga enre as exremdades do dreno é nula e conseqüenemene Q s e Ψ Ψ Srack 989 sugere: Φ Φ A Eq ou anda, c c Φ Φ A e e Φ Eq A expressão exge a mposção de um poencal Φ Α em um dos exremos do dreno. Alernavamene, pode-se ulzar: Q s Eq. 3.. ou sea, s c c e e Q Q Eq. 3.. s onde Q s é defnda como na subseção aneror 3... A dsrbução de esforços ao longo do conorno pode ser fea ulzando-se elemenos lnedpoles. A segunda aplcação é a modelagem de paredes mpermeáves Q n ver Fgura 3.., assm: Ψ ΨA Eq. 3.. A expressão é sugerda em Srack 989, embora haa adverêncas quano a nconvenêncas e assm, o auor sugere anda que expressão melhor ulzada no conorno enão é: Q n Eq. 3..3

105 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 3 ou n c c e c Q Q Eq. 3.. n Semelhanemene à defnção sugerda para Q s na subseção aneror, Q n pode ser defnda, por sua vez como Q n dω I. LdZ 3.. Condções de Conorno Combnadas A especfcação de condções de conorno em regões que defnem porções do aqüífero com dferenes ransmssvdades é fea ulzando-se as condções do prmero e do segundo po de forma combnada. As dferenças de propredades podem ser exbdas na conduvdade hdráulca, na espessura do aqüífero e na elevação da base do aqüífero. Para assegurar a connudade do escoameno Q e da carga pezomérca φ, é necessáro mpor que: φ φ e Q Q Eq n n Consderando a relação enre o poencal Φ e a carga φ na expressão Eq. 3..5a, uma fronera enre dferenes conduvdades pode ser escra a parr da equação Eq em ermos de poencal como: Φ K Φ K Eq ou c c e e K Φ K Φ K Φ K Φ Eq c c e e A segunda mposção redunda em que: Ψ Ψ Eq. 3..8

106 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos A dferença de poencal exbda aravés do conorno pode ser represenada empregando-se elemenos lnedoubles de segunda ordem mpondo-se a condção Eq e que a dsrbução de esforços enha valores guas Eq e com a mesma nclnação Eq nas exremdades do elemeno. Observando que um elemeno lnedouble não apresena desconnudade na componene Ψ por defnção, a segunda condção especfcada será sempre sasfea e os valores de seus esforços serão sufcenemene especfcados pela prmera condção. Em aqüíferos confnados, a expressão Eq pode ser esendda para os casos de heerogenedade na espessura H e na coa da base B da segune forma: Φ Φ B H K H K B H K H K, φ > H e φ > H - Eq ou Φ Φ Φ Φ H H B B H K H K H K H K e e e e c c c c Eq. 3.. Em aqüíferos lvres, a condção Eq redunda nas segunes expressões nãolneares: Φ Φ B K B K, φ < H e φ < H - Φ Φ B H K H K B K, φ < H e φ > H - Eq. 3.. Φ Φ B K B H K H K, φ > H e φ < H - Pode-se escrever a desconnudade do poencal aravés da fronera em cada pono pc como:

107 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 5 Φ pc Φ pc λ A Φ Eq. 3.. pc pc pc onde A é uma expressão obda da equação Eq. 3..5, conforme cada um dos casos de heerogenedade na espessura do aqüífero. Srack 989, pág. 3 apresena um processo eravo para a deermnação de λ para os casos onde a equação Eq. 3.. acarrea em expressões que dependem de φ. Fazendo Φ pc Φ pc A pc Eq Φ pc A equação Eq. 3.. orna-se: c c Φ c c Φ c e e Apc Φ Φ Φ Apc Φ Eq. 3.. c e e e e O processo nca-se com uma esmava para Φ e Φ, por exemplo, neglgencando-se os parâmeros nernos à regão. A solução do ssema de equações fornece a próxma esmava de λ e conseqüenemene A, aé que um créro de parada ε sea aenddo. λ pc Φ pc Φ pc ± ε Eq Esruuras Sem-permeáves Uma condção de conorno é classfcada como do ercero po Cauchy quando seu valor é dado em ermos da varável dependene e.g. φ - a carga pezomérca. Barragens suberrâneas e ouros obsáculos sem-mpermeáves são exemplos de conornos do ercero po. Escrevendo a expressão do expermeno de Darcy Eq... aravés de uma parede delgada, obém-se Q n ver Fgura 3.. da segune forma: Q n K K K * * [ φ φ ] K Φ Φ b * Kb * Eq. 3..6

108 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 Em aqüíferos confnados, escreve-se a mesma expressão da segune forma: Q n K K * K H b * [ φ φ ] K Φ Φ * Kb *. Eq Reescrevendo a expressão agora ulzando-se da sobreposção de efeos, em-se: K Kb * c c c * Φ Φ Q n * * c Kb e K e Φ e Φ e Q n Eq onde Q n pode ser defnda mas uma vez como Q n I Ω Z. Oura aplcação é enconrada em corpos de água cuos leos sofreram colmaação. O coefcene de drenança γ d relacona as cargas pezomércas em orno da fronera da segune manera: φ φy γ d Eq c * H onde c, φ * Y é o nível de água superfcal do corpo de água eφ é a carga pezomérca K no aqüífero. O poencal em aqüíferos lvres é uma função quadráca de φ Eq e, porano, o ssema de equações dexa de ser lnear. Srack 989 apresena uma lnearzação da expressão do poencal, onde a marz é resolvda em um processo eravo Srack, 989 pág. 98, Mchell-Bruker e Haema, 996 e De Lange Condções Transenes Condções de conorno em escoamenos ransenes podem ser mposas ulzando-se as convenções para as funções de nfluênca e parâmeros de esforço defndas na seção 3.3. e a sobreposção de efeos no empo. As condções de conorno prevamene dscudas podem ser esenddas para condções ransenes escrevendo-se o poencal em cada nervalo de empo. Assm, omando-se, por exemplo, a mposção de um valor conhecdo para o poencal, em-se:

109 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 7 k Φ pc, Φ Φ Eq ss onde o índce k refere-se ao k-ésmo nsane de empo ou nervalo de empo no qual Φpc, é obdo e Φ ss refere-se a um modelo esaconáro sobre o qual ocorrem os evenos ransóros. Valendo-se da sobreposção de efeos, pode-se escrever: c k Φ Φpc, Φ Φ Φ Eq c ss e k e e k e Observe-se que o poencal no k-ésmo nsane Φ k é desmembrado em elemenos calculados e elemenos especfcados e, em seguda, os elemenos especfcados são desmembrados novamene em elemenos especfcados no nsane k e elemenos de nervalos anerores a k < k. Deve-se observar, fnalmene, que os parâmeros dos elemenos são calculados apenas em um únco nsane de empo k e que apenas os elemenos especfcados em nsanes anerores ou guas a k esão avos, ou sea erão a função de nfluênca não < Λ k nula. 3.5 Implemenação Compuaconal O Méodo de Elemenos Analícos em sdo mplemenado em dversos programas compuaconas. Nesa seção é fea uma dscussão acerca do programa GNU Tm SL apresenado por Bakker e al. e dsrbudo sob os ermos da lcença LGPL FSF, 999, modfcado para as necessdades dese rabalho. O códgo fone do programa enconrase dsponível no CD em anexo. O programa defne rês classes fundamenas de obeos que represenam as expressões e varáves defndas no méodo: classes de obeos geomércos, classes de obeos analícos e classes de obeos aqüíferos. Cada obeo descreve propredades e procedmenos caraceríscos de seu respecvo ema. O programa é escro em Pyhon lnguagem de programação nerpreada e orenada com obeos, porém nclu ronas escras em Forran lnguagem de grande dfusão no meo cenífco. A comuncação enre as lnguagens é fea por nermédo da complação do códgo Forran em um arquvo de vínculo dnâmco.pyd. Pyhon em sdo basane ulzada

110 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 em rabalhos cenífcos por fornecer uma snaxe de alo nível e anda ser nerpreada com grande desempenho e.g. Bakker e Srack, 3. Pyhon é freqüenemene comparada a ouras lnguagens nerpreadas como NewLsp e Perl. A ermnologa ulzada em lnguagens orenadas com obeos vsa à assocação com propredades e processos observados na maora dos obeos ao nosso redor. O proeo de cada po de obeo é referdo como classe. A consrução de cada exemplar é referda como nsancação. O comporameno de um deermnado po de obeo é descro em cada procedmeno e propredade defndos no conexo de sua classe. E, por fm, a exnção de um exemplar é referda como desrução. O cclo compreenddo enre a consrução e a desrução de um obeo é chamado cclo de vda. Lnguagens orenadas com obeos oferecem poucas regras de snaxe e grande modulardade, conseqüenemene, grande legbldade e redução do códgo Classes de Obeos Geomércos A prmera classe fundamenal é a classe de obeos geomércos: Geomeryd. A classe Geomeryd é especfcada de modo a represenar os conceos que defnem uma geomera plana no programa. Nesa classe esão defndos apenas os nomes dos procedmenos e os créros de verfcação da negrdade de suas enradas. Cada forma geomérca é dervada a parr da defnção de geomera fea na classe Geomeryd. A exensão ou dervação de conceos ou espéces classes nas lnguagens orenadas com obeos é fea por nermédo de heranças. A prncpal vanagem da passagem de heranças para uma classe é evar a necessdade de redundâncas no programa. Assm, as nsruções peculares a cada forma geomérca são sobre-escras às defnções feas na classe. Se ocorrerem propredades ou procedmenos dêncos aos da classe prmva, eses podem ser recuperados dreamene a parr da classe dervada. Em cada geomera são defndas, por exemplo, as ransformações de coordenadas, cálculos como comprmeno e área, formaação de saída para arquvos.bln ec. Na Fgura 3.5. é apresenado o dagrama de herança das classes especfcadas no programa. A fgura é consuída de rês lsas de blocos que conêm o nome da classe especfcada. No opo de cada lsa enconra-se o nome da respecva classe fundamenal de onde parem seas que aponam na dreção das classes que recebem sua herança. As classes de obeos geomércos são enconradas na prmera coluna apresenada na Fgura 3.5..

111 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 9 Geomery Elemen Aqufer geomery.wo_d.pon geomery.wo_d.crcle geomery.wo_d.lne geomery.wo_d.polylne geomery.wo_d.quadrangle geomery.wo_d.polygon aem.wo_d.sngle.polygonaiinhom aem.wo_d.ransen.polygonainhom aem.wo_d.sngle.well aem.wo_d.sngle.dpolo aem.wo d.sngle.pond aem.wo d.sngle.lnesnk aem.wo d.sngle.lnedouble aem.wo_d.sngle.areasnk aem.wo d.sngle.lake aem.wo_d.sngle.infn aem.wo_d.ransen.infne aem.wo_d.ransen.well aem.wo_d.ransen.dpolo aem.wo_d.ransen.lnesnk aem.wo_d.ransen.lnedouble aem.wo_d.ransen.areasnk aem.wo_d.ransen.lake aem.wo_d.ransen.evaporaon Fgura 3.5. Esruura de heranças enre as classes do programa. Blocos no opo de cada lsa desgnam classes fundamenas. Seas ndcam a dreção da herança. Lnhas conínuas e raceadas ndcam respecvamene prmero e segundo grau das heranças.

112 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3.5. Classes de Obeos Analícos Elemenos esaconáros e ransenes são represenados no programa por obeos analícos. Para sso, são necessáras represenações geomércas e físcas do comporameno dos elemenos. As propredades geomércas observadas em cada po de elemeno são enconradas nas classes dervadas de Geomeryd. Assm, uma classe de obeos analícos poderá ser especfcada no programa dervando-se defnções feas em duas classes fundamenas: Geomeryd e Elemen. A classe Elemen, porano, será responsável pela defnção apenas de propredades e procedmenos que descrevem o comporameno físco do elemeno. Na segunda lsa de blocos da Fgura 3.5. apresena-se a esruura de heranças ulzada nas classes de obeos analícos do programa. As propredades do meo, assm como conduvdade hdráulca, porosdade ec., e efeos regonas, como campo preferencal, poencal de referênca ec., são represenados no programa por nermédo de classes de obeos aqüíferos Aqufer. Os obeos aqüíferos não possuem propredades geomércas, porém desempenham nfluênca físca sobre os demas elemenos, porano, são represenados no programa por classes dervadas apenas a parr de Elemen ver ercera lsa de blocos na Fgura São os obeos Aqufer que defnem parâmeros e descrevem procedmenos que gerencam elemenos e varáves no modelo Classfcação dos Procedmenos Tano classes de obeos analícos represenavos dos elemenos como as classes de obeos aqüíferos são especfcadas de forma a nclur procedmenos do po: a procedmenos de consrução, b procedmenos de nfluênca, c procedmenos de conrbução, d procedmenos de acumulação e e procedmenos de solução. A segur é dscudo cada po de procedmeno. a Procedmenos de Consrução Os procedmenos consruores são responsáves pela defnção das propredades de um obeo. Algumas propredades são comuns a qualquer obeo analíco. A prmera propredade comum é a lsa de elemenos presenes no modelo, chamada elemenls. Essa lsa coném pelo menos o própro obeo. Cada obeo dervado de Elemen possu anda um paren, uma propredade que armazena qual o obeo que ocupa a prmera posção na elemenls. A

113 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS propredade elemenls é melhor explcada na dscussão dos procedmenos de solução. A úlma propredade de qualquer obeo Elemen é chamada parameers. A propredade parameers é defnda como um veor que coném os parâmeros da dsrbução de densdade de esforços ulzados na expressão do elemeno represenado. Assm, qualquer expressão defnda para um elemeno sea ela uma expressão para Φ, Ψ ou Q é compuada como o produo escalar do veor parameers pelo veor de ermos de nfluênca ver Eq Os argumenos ulzados nos procedmenos de consrução dos elemenos, a menos dos aqüíferos, esão padronzados de forma a receber: um obeo geomérco, uma lsa de parâmeros e o obeo aqüífero. A lsa de parâmeros, no enano, é arbuída à propredade parameers somene para obeos onde é conhecdo o parâmero a pror. Por exemplo, poços cua operação é conhecda, ou elemenos areasnk represenavos de áreas cuas axas de recargas são conhecdas, e assm por dane. Elemenos cuos parâmeros são ncógnas são dervados dos elemenos de parâmeros pré-deermnados, de forma que a lsa de parâmeros passada como argumeno para a consrução recebe valores de campo a serem especfcados como condções de conorno. Por exemplo, poços onde a operação não é conhecda, mas seus poencas sm, devem ser consruídos nsancados para seu deermnado valor de poencal. Assm, os parâmeros de cada poço são deermnados a parr da solução do modelo de modo a sasfazer o valor de poencal arbuído ao poço. Porano, um obeo analíco é defndo no programa não apenas pelos seus procedmenos de nfluênca, mas ambém pelas suas condções de conorno. O Méodo de Elemenos Analícos é concebdo de modo que é necessáro especfcar um poencal de referênca. Como á dscudo, o poencal de referênca é mposo ao modelo em um pono de referênca para que a soma das consanes de negração de cada elemeno ver seção 3.. sea deermnada. Uma vez que o obeo aqüífero é concebdo para gerencar elemenos no modelo, o poencal de referênca é um dos parâmeros parameers dese obeo. b Procedmenos de Influênca Os procedmenos de nfluênca especfcam o po de efeo a ser analsado. Três pos de procedmenos de nfluênca podem ser enconrados: poenalinfluence, sreaminfluence e dschargeinfluence. Cada po de procedmeno represena,

114 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos respecvamene: as funções de nfluênca do poencal, as funções de nfluênca das lnhas de correne, as funções de nfluênca do veor de descarga. A saída de cada função é especfcada de forma a reornar um veor conendo os n ermos da função que devem ser mulplcados por cada um dos n parâmeros de esforços prevsos na expressão do elemeno ver Eq c Procedmenos de Conrbução Os procedmenos de conrbução são responsáves pelo cômpuo ndvdual do efeo deseado. Ou sea, é o procedmeno responsável pela mulplcação do veor parameers pelo veor obdo de um procedmeno de nfluênca. Assm, os procedmenos de conrbução êm seu nome baseado na varável de campo esudada: poenalconrbuon, sreamconrbuon e dschargeconrbuon. d Procedmenos de Acumulação Os procedmenos de acumulação oalzam as conrbuções ndvduas dos efeos deseados. Os procedmenos de acumulação são especfcados para cada varável de campo que se desea analsar. Esses méodos são responsáves pela sobreposção dos efeos de cada elemeno no modelo. Assm, os procedmenos de acumulação não dependem do elemeno e são especfcados no conexo da classe que gerenca o modelo: Aqufer. Os procedmenos de acumulação, por sua vez, ambém são baseados no nome das varáves de campo: poenal, dscharge, sream, waerbalance e race, que acumula o deslocameno de uma parícula magnára lançada no aqüífero a parr de uma deermnada posção. Orgnalmene, o programa Tm SL versão.3 não prevê o procedmeno de acumulação waerbalance. A necessdade de mplemenar esse procedmeno surge quando da mplemenação do elemeno lago polgonal ver seção 3..3 e Ambos, lago polgonal e funções de balanço hídrco, esão nserdos no programa Tm SL em decorrênca das parculardades apresenadas ao longo do presene rabalho. Assm, nese rabalho, o balanço hídrco é mplemenado no programa compuaconal por nermédo dos segunes procedmenos: waerbalance, waerbalanceconrbuon e waerbalanceinfluence, classfcados respecvamene como procedmeno de acumulação, procedmeno de conrbução e procedmeno de nfluênca. e Procedmenos de Solução

115 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 3 Ese grupo de procedmenos mplemena a consrução do ssema de equações, sua solução e a obenção dos parâmeros de cada elemeno parameers a parr da solução do ssema. Os processos de forma geral são versáes, nclundo a possbldade de manpulação de quandades arbráras de ponos de conrole e permndo a sobre-especfcação dos elemenos. São especfcados quaro pos de procedmenos de solução no programa: o gerencador do ssema solver, a obenção dos ermos da marz de coefcenes gemarxcoeffcens, a obenção de lnhas para a marz e para o veor de ermos ndependenes gemarxconrbuon e a arbução dos resulados para os devdos parâmeros dos elemenos geparameers, dscudas respecvamene a segur. A marz de coefcenes produzda em um modelo em o número de colunas gual ao número de parâmeros desconhecdos nos elemenos condos na elemenls do elemeno eleo como paren do modelo. O processo de consrução da marz ulza o procedmeno gemarxconrbuon de cada elemeno. O processo é nvocado do neror do procedmeno solve. Assm, o procedmeno gemarxconrbuon é sobre-escro apenas para as classes daqueles obeos que não possuem parâmeros conhecdos a pror. O procedmeno gemarxconrbuon dos elemenos pré-deermnados não reorna qualquer valor. A saída dos procedmenos coném uma lnha de ambos, da marz de coefcenes e do veor de ermos ndependenes, para cada pono de conrole defndo para o elemeno. Como vso na seção 3., cada lnha da marz de coefcenes deve ser escra de forma a especfcar uma condção de conorno. Assm, os ermos da marz expressam o somaóro das funções de nfluênca dos elemenos não predeermnados. Por ouro lado, dferenemene das expressões da seção 3., os ermos do veor ndependene expressam o valor especfcado no conorno menos o somaóro dos efeos de odos os elemenos, nclundo aquele do qual é requsado o procedmeno gemarxconrbuon. Porano, a solução obda fornece a dferença dos parâmeros anes e depos da solução do ssema. Como o número de lnhas na marz de coefcenes é gual à quandade de ponos de conrole ulzada em odos os elemenos, adoando-se o número de ponos de conrole gual ao número de parâmeros desconhecdos obém-se uma marz quadrada. Se o número de ponos de conrole é maor que o número de ncógnas, a marz passa a er mas lnhas que colunas, o que consse na sobre-especfcação do problema. No enano, a solução da marz, nese caso, não pode ser obda de forma exaa. Assm, o obevo do procedmeno solve é

116 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos percorrer oda lsa de elemenos, nclundo os de parâmeros pré-deermnados, resulando no preenchmeno da marz de coefcenes e no veor de ermos ndependenes. Monado o ssema, é ulzado um pacoe numérco de álgebra lnear para a obenção da solução. O procedmeno gemarxcoeffcen, da mesma forma que os demas pos de procedmenos dscudos aé aqu, é únco para cada elemeno. A necessdade de um procedmeno exclusvo para a obenção de valores de coefcenes orna-se evdene em obeos onde é necessáro nclur como ncógna do ssema algum ermo além daqueles presenes no procedmeno de nfluênca. Por exemplo, o caso esudado na seção 3.., onde é esudado um lago sueo a um escoameno unforme. Idenfca-se no exemplo rês obeos analícos: o aqüífero, o poço e o dpolo. Somene o poço possu o parâmero pré-deermnado. Embora seam conhecdos a descarga preferencal unforme do aqüífero e seu poencal de referênca, é necessáro defnr uma ncógna para ober o valor da soma das consanes de negração de odos os efeos. Assm, a função de nfluênca do aqüífero possu dos ermos conhecdos e um desconhecdo. Da mesma forma, a função de nfluênca do dpolo possu dos parâmeros, porém seu poencal é desconhecdo. Assm, observa-se que cada elemeno, além de possur um procedmeno de nfluênca, deve ambém possur um procedmeno de represenação de suas ncógnas no ssema. Essa represenação é mplemenada, enão, ulzando-se a esruura lambda recurso dsponível em Pyhon e em ouras lnguagens de alo nível. A esruura lambda perme a defnção emporára de procedmenos, que pode ser passada para um ouro procedmeno como se fosse um argumeno. Assm, o procedmeno gemarxcoeffcen recebe como argumeno o procedmeno de nfluênca deseado e reorna os ermos que esão sendo requsados como ncógnas do ssema. O procedmeno geparameers é especfcado de modo semelhane a gemarxcoeffcen. A necessdade de especfcação do procedmeno para cada obeo orna-se da mesma forma evdene dane de suações onde os ermos da função de nfluênca não expressam necessaramene as ncógnas do elemeno. Assm, fazendo o processo nverso de gemarxcoeffcen, o procedmeno em o obevo de denfcar, denre as ncógnas resolvdas, quas devem ser arbuídas à propredade parameers do obeo Obeos Analícos Transenes O pacoe de smulações ransenes no Tm SL realza o cálculo do campo de ransóros em águas suberrâneas a parr de uma solução esaconára ncal. A consrução dos

117 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 5 elemenos ransenes é fea, da mesma forma que os elemenos esaconáros, a parr de uma geomera, uma lsa de parâmeros e um paren. Enreano, os parâmeros dos elemenos ransenes devem permr varação emporal e, porano, sua lsa coném pares de valores, o prmero assnalando o nsane de empo e o segundo, o valor do parâmero. Alguns elemenos, à semelhança dos elemenos esaconáros, ambém podem er seus valores prédefndos, e.g. poços e areasnks. Os nsanes onde são assnalados os valores ndcam apenas o momeno em que ocorre a mudança do valor do parâmero. Os valores, por sua vez, são mandos consanes aé o nsane do próxmo eveno. Ouros elemenos devem receber especfcações de valores de campo, e.g. carga, para que seam especfcadas as condções de conorno no processo de solução. Os nsanes de empo devem ser ordenados de forma crescene e ncar no nsane zero, para o qual é obdo o modelo esaconáro. Uma oura propredade mporane é o nalseadysae. Essa propredade caracerza o obeo correspondene à condção ncal de um elemeno ransene. Durane o processo de consrução dos elemenos ransenes, os respecvos obeos esaconáros são ambém nvocados e arbuídos à varável nalseadysae. Não obsane essa relação enre elemenos ransenes e esaconáros, eses úlmos não parcpam da lsa de elemenos elemenls do prmero. A lsa de elemenos de um elemeno ransene é especfcada de modo a coner um obeo da classe UnSep para cada mudança obda para os parâmeros dos elemenos durane a smulação. Assm, para cada nsane de empo em que o processo de solução é aconado, um elemeno UnSep é consruído a parr da herança do elemeno que o requsou. A varável elemenls dos elemenos ransenes, dferenemene dos elemenos esaconáros, não coném o própro elemeno. Os obeos aqüíferos do pacoe de smulações ransenes são especfcados de modo a ncluírem propredades como coefcene de armazenameno, espessura méda para aqüíferos lvres e dfusvdade, além dos méodos á consderados no aqüífero esaconáro. Sua lsa de elemenos elemenls, ao conráro dos demas elemenos ransenes, coném o própro obeo. Os parâmeros condos em parameers não armazenam os valores da lsa de parâmeros passada para o processo de consrução do elemeno. Em modelos ransenes, à semelhança das classes de elemenos esaconáros, elemenos ransenes pré-deermnados êm sua lsa de parâmeros parameers especfcada de forma a coner as dferenças enre os resulados ao longo do nervalo de empo enre cada eveno. Devdo à formulação dos elemenos ser em ermos de dsrbução de esforços, uma evolução do campo de escoameno onde ulza-se elemenos pré-deermnados é exaa

118 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 quando o conorno represenado exbr valores de esforços consanes ao longo de deermnados nervalos de empo. Consdere-se a suação onde os esforços de apenas uma lnesnk sofrem um acréscmo nsanâneo no nsane ncal da smulação. A varação do esforço é lusrada na Fgura 3.5. e a varação da carga pezomérca sobre um dos ponos de conrole pc da lnesnk e em um pono qualquer fora do elemeno, por sua vez, é lusrada na Fgura Devdo à formulação do elemeno, em-se que a varação da carga pezomérca sobre o elemeno é exaa para as condções apresenadas. Isso ocorre por que os elemenos são concebdos maemacamene para expressar varações de parâmeros que se manêm consanes ao longo do empo.,,,8,6 esforço,, esforço -, -, -, empo Fgura 3.5. Parâmeros pré-deermnados consanes ao longo do empo

119 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 7,6,6,59,58 carga,57,56 carga sobre o pc carga fora do pc,55,5,53,5, empo Fgura Evolução da carga pezomérca em um pono posconado sobre o elemeno deermnadas a parr de esforços pré-deermnados Por ouro lado, os elemenos não pré-deermnados, que especfcam condções de conorno ao longo do empo, devem er os valores de seus esforços obdos em pequenos nervalos de empo de modo a descrever a evolução desses parâmeros ulzando-se valores consanes em cada nervalo. Uma vez que é arbuída uma varação, não mas do esforço para o qual o elemeno fo concebdo, mas uma varação de uma varável do campo, a evolução do esforço é aproxmada a parr das soluções obdas para os esforços nos elemenos em cada nervalo de empo subseqüenemene. Consdere o caso onde a carga pezomérca no níco da smulação é unára e no nsane segune vale,5 L ver Fgura A evolução dos esforços obdos para que seam aenddas as condções mposas sobre o elemeno é lusrada na Fgura

120 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8,6,, carga,8,6 carga sobre o pc carga fora do pc,, empo Fgura 3.5. Varação pré-deermnada da carga pezomérca sobre o elemeno e varação da carga em um pono posconado fora do elemeno 3,5 esforço,5 esforço, empo Fgura Evolução de parâmeros deermnados a parr de cargas pezomércas pré-deermnadas sobre o elemeno

121 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS Avalação da negral de Rosser Embora a formulação proposa por Zaadnoordk 988 sea elegane, a avalação da negral da Eq chamada de negral de Rosser por nermédo das expansões de séres proposas por Lkouh e Becker 98 apud de Barnes e Srack, 3 converge lenamene quando. Recenemene, Barnes e Srack 3 dscuram a ulzação de funções que produzem uma convergênca mas rápda na avalação da negral da Eq quando. Barnes e Srack 3 sugerem arbraramene os lmes,6 e,3 como lmes nferor e superor para a defnção de o que sgnfca. A avalação proposa por Barnes e Srack 3 é vanaosa em grande pare do domíno do plano, ver Fgura 3.5.6, gráfco à esquerda. No enano, observa-se nese rabalho, que quando < a avalação de Barnes e Srack 3 exbe desconnudades nos lmes de, qualquer que enha sdo a defnção adoada para os lmes superor e nferor dos valores de à drea. próxmos a, ver Fgura 3.5.6, gráfco Lkouh e Becker 98 Temperaures n Sem-Infne Body Heaed by Consan Hea Flux Over Half Space. In: Proceedngs of he Sevenh Inernaonal Hea Transfer Conference Muenchen, v, pp-7, Washngon DC

122 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos Fgura Curvas de sovalores obdas da avalação de Barnes e Srack 3 da negral de Rosser. À drea, dealhe da desconnudade observada na ransção em orno da ordenada gual a um. Observa-se, anda, que uma vez que a avalação de Barnes e Srack 3 não sea válda para < na faxa de ordenadas, a avalação de Lkouh e Becker 98, apud Barnes e Srack, 3 permanece válda em odo o domíno e pode permanecer sendo ulzada em quando a abscssa for menor que,. Por ouro lado, embora sea necessára uma elevada quandade de ermos para a convergênca das séres ulzadas nese caso, nroduz osclações na avalação, consderadas oleráves no escopo dese rabalho, à medda que o valor da ordenada Fgura se aproxma de, ver

123 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS Fgura Curvas de sovalores para a negral de Rosser. Avalação obda em orno de y sem desconnudade 3.6 Exemplo de Aplcação A necessdade do uso de sobreposção de efeos no empo e os problemas enconrados na avalação da negral de Rosser êm resrngdo o emprego da formulação de Zaadnoordk 988 em problemas prácos. Por ouro lado, a formulação apresena-se basane úl para o esudo de pequenos problemas de escoameno em planos nfnos fornecendo excelenes resulados eórcos. Zaadnoordk e Srack 993 apresenam um esudo de valdação e um de aplcação da formulação proposa em Zaadnoordk 988. No esudo de valdação, Zaadnoordk e Srack 993 obveram boa concordânca com a solução analíca undmensonal da elevação súba do poencal na fronera do sem-plano x > ulzando-se elemenos lnesnk de grau zero. O esudo apresena, ambém, um ssema hpoéco de rrgação nermene modelado com elemenos analícos ransenes. Os exemplos apresenados em Zaadnoordk e Srack 993 são novamene ulzados nese rabalho com o obevo de avalar os resulados obdos da modelagem com elemenos de segunda ordem e grau zero seção 3.3. Os exemplos são smulados com o programa Tm SL modfcado, conforme apresenado anerormene nesa seção. Os arquvos de enrada das smulações de ambos exemplos enconram-se dsponíves no CD em anexo. O prmero exemplo raa de um escoameno undmensonal gerado a parr de uma mudança súba de poencal na fronera. O domíno é sem-nfno e fronera é defnda no exo x. Aé o nsane o poencal vale Φ. Nesse nsane, o poencal é subamene elevado para Φ. O escoameno devdo à al varação de poencal é descro

124 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos pela Equação do Calor Eq e resolvda pela função Eq. 3.6., enconrada, por exemplo, em Carslaw e Jaeger 959. x Φ Φ Φ Φ erfc Eq onde é o coefcene de dfusvdade do meo. Zaadnoordk e Srack 993 consroem o modelo de elemenos analícos ulzando-se elemenos lnesnk ao longo do exo x desde y - aé y. Para maner a condção de Φ Φ em x é precso calcular os parâmeros de esforços sobre cada lnesnk necessáros para fornecer o poencal deseado. Os parâmeros são calculados ulzando-se nervalos de el L empo e L el L el represena o comprmeno dos elemenos ulzados conforme defndos arbraramene em Zaadnoordk e Srack 993. Na Fgura 3.6. os resulados obdos por Zaadnoordk e Srack 993 e obdos com os elemenos lnesnk deduzdos na seção 3.3. são confronados com a solução exaa no pono de coordenadas x, y. Em decorrênca da escolha do pono y, a ordem da dsrbução espacal dos esforços sobre o elemeno não faz dferença. Observe-se que ambas aproxmações de carga pezomérca na fronera, prmera ordem Zaadnoordk e Srack,993 e segunda ordem seção 3.3., são quase concdenes Fgura 3.6., gráfco à esquerda. As dferenças enconradas são, provavelmene, devdo ao dferene número de elemenos ulzados em cada rabalho. As caraceríscas da aproxmação emporal de grau zero dos esforços ornam-se mas evdenes na resposa dada para a vazão na fronera Fgura 3.6., gráfco à drea. A curva de recessão é aproxmada por degraus, da mesma forma que em Zaadnoordk e Srack 993. Os valores obdos de elemenos analícos não concdem com a solução exaa, mas os erros são menores para menores nervalos de empo com que são calculados os parâmeros.

125 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 carga hdraulca el 6 8 L^/ Exao AEM s.5 AEM s. Zaadnoordk & Srack 993 Qx el 6 8 L^/ Fgura 3.6. Evoluções da carga pezomérca e da vazão obdas de elemenos analícos em comparação com solução exaa

126 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS No segundo exemplo, é defndo um ssema de rrgação e seus dados hdrogeológcos. Três áreas de culvo rrgado são mplanadas em uma regão compreendda por dos braços de ro com coa de elevação do nível de água em m. O aqüífero sobre o qual enconra-se a área de plano é confnado e possu uma coa méda de elevação do fundo gual a,m, conduvdade hdráulca de m/da, espessura de 7,5m e coefcene de armazenameno de 3%, de manera que a dfusvdade do aqüífero em o valor de m /da. Os valores de recarga são descros semesralmene e alernam enre,mm/da e,mm/da. O ssema é abasecdo por meo de cnco poços localzados na mesma regão e em o níco da operação no quaro semesre consderado na smulação, correspondene ao segundo semesre seco. As condções de operação cano superor esquerdo da Fgura 3.6.a e o esboço do ssema foram rerados de Zaadnoordk e Srack 993 e são apresenados na Fgura 3.6.a. A condção ncal da smulação é defnda pelo modelo esaconáro do escoameno aneror à mplanação do ssema ulzando-se o valor médo das recargas semesras. Essa pare da modelagem é fea com elemenos esaconáros. São ulzados, um areasnk com quarocenos e oena nós, represenado pelo reângulo maor na Fgura 3.6.b e qunze lnesnks. Semelhanemene, o escoameno não-permanene devdo às varações de recarga aé o níco da operação do ssema é modelado ulzando a mesma quandade de elemenos, porém, agora, ransenes. A parr do níco da operação, são adconados elemenos analícos ao modelo para a represenação do bombeameno dos poços círculos pequenos na Fgura 3.6.b e da nflração devdo à rrgação das áreas de plano represenados por areasnks consruídos com nós a cada vne e dos meros quadrláeros pequenos na Fgura 3.6.b. a b Fgura 3.6. Esboços para a smulação do ssema hpoéco. a Mapa hpoéco e operação do ssema. b Dsposção de elemenos analícos para smulação do ssema Rerado de Zaadnoordk e Srack, 993

127 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 5 Elemenos areasnk e poços represenam fenômenos efeos caracerzados por parâmeros prevamene conhecdos. Elemenos areasnk devdos à precpação possuem p p γ,3,5 -,mm/da,, r γ,mm/da. Elemenos areasnk devdos à rrgação r possuem γ -,mm/da, γ,mm/da. A parr da vazão necessára para rrgar as rês áreas, os elemenos poços devem possur, cada, Q 3,89m 3 /da, Q -3,89m 3 /da. Os índces sobrescros nos parâmeros acma ndcam a ordem com que eles serão ulzados no modelo. Assm, os valores oposos de cada parâmero sgnfcam que esão sendo nroduzdos efeos conráros, va-de-regra, para elmnar um efeo aneror. Os elemenos lnesnk, enreano, não possuem os esforços pré-deermnados. Assm, o valor do poencal equvalene à carga pezomérca observada nos ros é especfcado em ponos de conrole ao longo das lnhas. Semelhanemene ao prmero exemplo, é esabelecda uma marcha de cálculo dos parâmeros, de modo, mas uma vez, a mpor o poencal ao conorno os ros a cada nervalo de 5das, o mesmo defndo no rabalho aneror ver Eq Não foram fornecdas a posção do pono de referênca nem a carga pezomérca de referênca. Assm, o modelo consruído para ese exemplo, consdera o pono de referênca suado m à esquerda e m abaxo do vérce nferor esquerdo do grande areasnk represenado na Fgura 3.6.b. O valor da carga pezomérca naquele pono fo consderado gual a m. Os resulados obdos do modelo consruído para ese exemplo são apresenados a segur. Muo embora os resulados de Zaadnoordk e Srack 993 não enham poddo ser reproduzdos quanavamene por fala de dados dsponíves, são evdencadas melhoras na forma das curvas poencomércas em relação ao rabalho aneror. Essas melhoras são arbuídas à elevação da ordem dos elemenos 3.3. e da mplemenação conuna das avalações dsponíves para a negral de Rosser Na Fgura apresena-se as lnhas equpoencas obdas do modelo acma para o empo 73das em uma anela que abrange odos os elemenos ulzados. Embora não enham sdo dsponblzados resulados dessa abrangênca em Zaadnoordk e Srack 993, para que se pudesse produzr comparações, observa-se suavdade na superfíce poencomérca aqu obda. r r

128 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 Fgura Dsrbução de cargas pezomércas sobre odos os elemenos do modelo no nsane 73das Os resulados podem ser comparados com o rabalho aneror na Fgura São apresenadas oo anelas assnaladas com o nsane de empo com os quas se relaconam. Novamene observa-se lnhas ponlhadas na Fgura 3.6. a suavdade da superfíce aqu obda em cada nsane represenado. Problemas relaconados à avalação da negral de Rosser são evdencados nos resulados apresenados por Zaadnoordk e Srack 993 em locas próxmos aos braços de ro e em empos fnas de períodos secos, 73das e 637das ver lnhas conínuas na Fgura 3.6.

129 MÉTODO DE ELEMENTOS ANALÍTICOS 7 9 das 8 das 73 das 365 das 55 das 56 das 637 das 73 das Fgura 3.6. Dsrbuções de cargas pezomércas obdas em dversos nsanes da smulação lnhas ponlhadas em comparação com aquelas obdas de Zaadnoordk e Srack 993 lnhas conínuas

130 8 Capíulo ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS As confgurações geomércas dos elemenos apresenados no capíulo 3 são convenenes para a represenação das esruuras comumene enconradas em aqüíferos. No enano a dsposção de elemenos analícos ao longo de froneras exernas de muo exensos pode acarrear algumas dúvdas: quano à exensão a ser consderada na borda e quano ao dmensonameno dos elemenos al posconados. Nese capíulo, serão dscudas e ulzadas écncas alernavas ao emprego de elemenos analícos em represenações de conornos exernos. Observa-se no decorrer da dscussão que écncas como o Méodo de Imagens e as ransformações de Schwarz-Chrsoffel permem dspensar o uso de elemenos em deermnadas confgurações geomércas dessas froneras e porano, as possíves dúvdas menconadas. Como vso na seção.., o Méodo de Imagens é baseado no prncípo da sobreposção de efeos e vsa à especfcação de froneras relíneas a parr da smera enre funções defndas em subdomínos. As ransformações de Schwarz-Chrsoffel, por sua vez, são váldas para qualquer polígono de n lados, embora suas soluções não seam obdas faclmene em domínos rregulares. Não obsane as geomeras observadas em aqüíferos serem rregulares, é possível fazer uso de dealzações em froneras exernas. Nese rabalho, as smplfcações geomércas de domíno são baseadas na segune premssa: uma vez defnda uma regão de neresse no modelo menor que o domíno do escoameno, a complexdade da geomera de froneras exernas exercerá ano menor nfluênca no escoameno quano mas dsane esverem da regão de neresse. Quando a represenação de Aqüíferos Longos por apenas duas lnhas reas é possível, as ransformações de Schwarz- Chrsoffel são obdas e o Méodo de Imagens é enão empregado na fronera de um semplano ver Fgura... Nesa seção, Méodo de Imagens e ransformações de Schwarz- Chrsoffel são dscudos em ermos de sua aplcabldade em problemas de escoamenos suberrâneos.

131 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 9. Escopo do Méodo de Imagens O Méodo de Imagens é uma écnca clássca, baseada na sobreposção de efeos, amplamene dfundda em aplcações da Equação de Laplace e.g. Águas Suberrâneas, Elerosáca e Eleromagnesmo. Maxwell 873 apud Muska 937 arbu a orgem do méodo a Wllam Thomson em 88. Com freqüênca o Méodo de Imagens é empregado com o obevo de ober expressões para escoamenos b e rdmensonas sueos a froneras exernas. Srack 989, por exemplo, apresena dversos modelos de escoamenos bdmensonas esaconáros e ransenes para poços medane a aplcação do Méodo de Imagens. Em domínos rdmensonas, dversos auores e.g. Muska, 937; Luher e Haema, e Seward, ulzam o méodo na abordagem de escoamenos produzdos por poços de perfuração parcal. O Méodo de Imagens é defndo, segundo Keller 953, como um méodo para a consrução de funções de Green em regões delmadas por planos. O obevo do méodo é especfcar condções de conorno medane a sobreposção de funções de Green prmvas Eq.... A parr dessa defnção, o auor deermnou regões, equações dferencas e condções de conorno para as quas o méodo é váldo. G r, r' G* r'', r' Eq... r" S r A equação Eq... descreve a função de Green para dos ponos no espaço, r e sua magem r'. A função G* por sua vez é defnda para magens de magens r'' e seus ponos orgnáros r'. O enuncado da proposção de Keller 953 pode ser apresenado da segune forma, consderando-se D a regão admssível para a qual o Méodo de Imagem é aplcável e a reflexão em um lado dessa regão D represenada por R. Consdere-se anda que Sr é o conuno de magens de um pono r no domíno D defndo pelo conuno de ponos obdos pela aplcação de odas as reflexões do pono r Fgura... Se a regão D é admssível, o Méodo de Imagens em o obevo de ober um conuno de magens Sr de forma que ese possua apenas um pono correspondene para cada pono da regão D. Isso mplca que o conuno gerado pelas reflexões R é dscreo e que a regão D é o domíno fundamenal desse grupo. Maxwell, J.C. 873 A Trease on Elecrcy and Magnesm. Clarendon Press, Oxford

132 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 Fgura.. Esboço esquemáco dos ermos defndos para o Méodo de Imagens Para froneras não-paralelas, o ângulo deve ser uma dvsão na forma π/p, onde p é um nero. No enano deve-se noar que se p é ímpar, o conuno Sr produz pelo menos dos ponos sobre a própra regão D, deformando-se os ponos do domíno fundamenal Fgura... Fgura.. Deslocameno não deseado de ponos do domíno fundamenal Porano, apenas os domínos formados por planos undos por ângulos da forma π/p são consuídas regões admssíves para a aplcação do Méodo de Imagens. Keller 953

133 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 3 concluu que as geomeras das regões admssíves ao Méodo de Imagens para duas e rês dmensões são enconradas para uma quandade fna e deermnada de planos. Assm, o número de magens obdas em orno desses conornos é gual à quandade de seores crculares resulanes da aberura enre as lnhas ou planos Eq.... Em casos de geomeras fechadas e.g. rângulos, reângulos, prsmas e poledros é necessáro um número nfno de magens. No plano, a smera é obda a parr de um número fno de magens somene para conornos formados por uma únca rea ou por duas sem-reas concorrenes. Reas paralelas exgem o uso de nfnas reflexões. n π, π p Eq... Uma função de Green G* suea a conornos do prmero ou do segundo po deve ser especfcada pelo Méodo de Imagens ulzando-se propredades de funções pares e ímpares ver seção Assm, quando é mposo ao conorno que a função sea zero G é especfcada a smera ímpar. Quando sua dervada em relação à normal da fronera deseada é especfcada com valor nulo G/ é verfcada a smera par. Observa-se nas expressões Eq... e Eq... que as componenes de suas dervadas relaconam-se por nermédo ora da gualdade, ora do snal oposo. Da mesma forma, o somaóro Eq... especfca condções do prmero ou do segundo po mulplcando-se a função magem por menos um quando necessáro, de modo a ober a smera deseada. Deve-se observar anda que, se a especfcação das condções não é a mesma em odas as lnhas ou planos fronerços, a verfcação do ângulo de smera enre os conornos é analsada de forma que o ângulo de smera é enconrado enre aquelas froneras de gual especfcação. O Méodo de Imagens pode ser aplcado em qualquer equação lnear. No enano, sua aplcação em dversas froneras smulaneamene depende da smera do comporameno da equação na dreção de cada fronera. No caso de duas varáves, uma equação dferencal homogênea pode ser represenada de forma geral por: ω φ x ω φ x y ω φ y ω φ x ω φ y ω φ Eq Tomando x', y' como as magens de x, y em orno de uma lnha que faz um ângulo θ com o exo x, Keller 953 defne que o Méodo de Imagens é aplcável quando a forma da equação Eq...3 é manda mesmo após a ransformação das varáves. Reescrevendo a

134 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 equação Eq...3 para os exos roaconados x', y', Keller 953 demonsra, por exemplo, que para valores de ω 6 e ω nulos e ω ω 3, a equação Eq...3 não depende do valor de θ. Isso sgnfca, por exemplo, que a Equação de Laplace a c na Eq...3, por exemplo, não sofre varação para qualquer valor de θ. Na Tabela.. são reundos os valores de coefcenes de Eq...3 para os quas adme-se a ulzação do Méodo de Imagens Keller, 953. Tabela.. Valores de θ admssíves para o Méodo de Imagens ω 6 ω AND ω ω 3 qualquer θ ω senθ ω 6 ω 5 AND ω ω 3 ω cos θ ω ω 6 ω 5 AND ω ω 3 an θ, para θ e θ π / ω ω 6 ω 5 ω ω AND ω ω 3 qualquer θ ω 6 ω 5 XOR ω AND ω AND ω ω 3 ω5 senθ ω cos θ ω 6 ω 5 XOR ω AND ω XOR ω ω 3 ω5 senθ ω e an θ ω cos θ ω ω ω ω 6 ω 5 ω AND ω XOR ω ω 3 an θ, para θ e θ π/ ω ω Transformações de Schwarz-Chrsoffel para Duas Froneras Relíneas Como á menconado, a ransformação de Schwarz-Chrsoffel expressa a relação enre um conorno polgonal e um sem-plano, onde a condção de conorno é, enão, mposa por meo do Méodo de Imagens. Embora esa écnca sea válda apenas para domínos planos, sua aplcação consu-se ão ampla quano à represenação de geomeras planas por nermédo de polígonos. A abordagem de conornos polgonas medane ransformações de Schwarz-Chrsoffel abrange uma ampla leraura especalzada e sua apresenação foge ao escopo dese rabalho. São dscudos aqu dos casos cuas soluções são dadas em Srack 989: domínos enconrados em duas froneras paralelas e em duas froneras concorrenes. Consdere-se o caso de uma faxa formada por duas froneras paralelas onde são especfcadas as mesmas condções de conorno. Na Fgura..a é lusrado o domíno da aplcação. Os ponos e 3 são arbrados nas exremdades da faxa, ou sea, em e respecvamene.

135 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 33 Fgura.. Esboço para ransformações em uma faxa nfna O sem-plano ζ, a parr do qual a faxa é mapeada, é especfcado de forma que sua orgem corresponda ao pono 3 da faxa e os exremos do exo correspondam ao pono Fgura..b. Os ermos k v e ϕ da expressão geral da ransformação Eq... são obdos da segune forma: observando-se a equação Eq...3 em-se que k e k 3 são avalados fazendo: arg zv zv arg zv zv πkv Eq... Tomando-se as meddas dos ângulos argz no segmeno v e no segmeno v 3, em sendo an-horáro, em-se k π k 3 π e conseqüenemene k 3 k. Ou sea, o argumeno de dz aumena de π comparando-se os segmenos A- e -B e o mesmo para os segmenos dz -3A e 3B-. O parâmero ϕ por sua vez, é obdo da equação Eq...9 como ϕ arg. d Assm, a ransformação assume a forma: dζ z A B A lnζ B Eq... ζ onde B é uma consane complexa. Aplcando-se as condções do mapeameno nos segunes conornos: < < para y < x <

136 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 3 < < para y d < x < Eq...3 a expressão Eq... produz, respecvamene: x A ln ζ B x d A ln ζ A π B B Eq... Ambas expressões esão defndas apenas no exo onde as componenes magnáras de ζ são nulas. Assm, aplcando-se x, na prmera expressão, em-se B. Igualando-se as pares magnáras na segunda expressão em-se A d/π, donde Eq... orna-se: d z π lnζ Eq...5 e sua ransformada nversa: d ζ e πz Eq...6 As expressões obdas acma relaconam ponos de um sem-plano a ponos compreenddos enre duas reas paralelas. Assm, as condções físcas especfcadas nos conornos da faxa devem ser guas para que esas permaneçam consanes ao longo do exo. Em problemas onde são especfcadas dferenes condções de escoameno, o mapeameno deve ser feo a parr de dferenes exos para cada condção especfcada. Consdere-se o caso onde é mposa a condção do prmero po sobre a lnha enre os ponos 3B e B na Fgura..a e a condção do segundo po na lnha enre A e 3A. Tomando-se como pono de parda o resulado obdo em Eq...5 observa-se que efeuando-se ζ /, defne-se um novo sem-plano ζ' smérco em relação ao exo Fgura..c. Dessa forma, a condção observada sobre a lnha 3B-B será especfcada sobre o exo-' e a condção dada em A-3A passa a ser especfcada sobre o exo '. Assm, pode-se dzer que o sem-plano ζ' relacona-se a ζ por meo de:

137 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 35 ζ ' ζ Eq...7 Assm, o sem-plano ζ' é mapeado no plano z medane: d z ln[ ζ ' ] Eq...8 π e sua ransformada nversa dada por: d ' e πz Eq...9 ζ Para o caso no qual o aqüífero é compreenddo por duas froneras não paralelas, suas froneras podem ser represenadas por meo de duas lnhas reas concorrenes que formam um ângulo qualquer enre s. Na Fgura..a os ponos A--B represenam a localzação das froneras. Fgura.. Esboço para ransformação em uma cunha nfna Os ponos e no plano z correspondem respecvamene a z e à orgem z. Obendo-se os parâmeros ϕ e k v num processo dênco ao exemplo aneror, a relação enre ambos os planos obda a parr da função Eq... é: / π π / π z A ζ dζ B A ζ B Eq...

138 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 36 De manera que o pono faça correspondênca a ζ Fgura..b, obém-se B, assm adoando-se um pono de referênca qualquer em z z z com ζ e β : π β / π z A e Eq... Assm, a ransformação do sem-plano ζ para o plano z é dada por: π z z ζ / Eq... Em problemas onde são observadas condções do prmero po sobre a fronera -B e do segundo po para a fronera A-, o sem-plano ζ é mapeado por ζ' ζ /. Dessa forma, as condções dadas em cada fronera são mapeadas a parr de cada exo ' e ' como na Fgura..c. O mapeameno do sem-plano ζ' para o domíno físco é dado enão por: / π z z ζ Eq...3 e sua ransformada nversa: z ζ z π Eq....3 Uso de Elemenos Analícos em Domínos Alongados Nesa seção é dscuda a ulzação de elemenos em modelos de domínos alongados. Prmeramene, funções que represenam o poencal devdo à nflração unforme de água em odo o domíno são apresenadas. Em seguda, o Méodo de Imagens é aplcado a ambos elemenos analícos, esaconáros e ransenes, apresenados no capíulo 3. Por fm, são dscudas as ransformações de Schwarz-Chrsoffel sobre elemenos esaconáros. Elemenos ransenes, como vso na seção 3.6, produzem bons resulados, porém, possuem aplcação resra. Aplcações de ransformações ou operações adconas sobre esses

139 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 37 elemenos aumenam suas resrções de uso. Dessa manera, apenas poucas operações adconas, como no Méodo de Imagens, são aplcadas..3. Recarga Drea Compreendda por Duas Froneras Paralelas Aqüíferos coseros 3 e aqüíferos aluvonares, em geral, apresenam-se ao longo de exensas faxas de sedmenos conendo água à pressão amosférca consundo-se em Aqüíferos Longos. Nesses aqüíferos, as recargas provenenes de chuvas são nflradas dreamene sobre o lençol freáco e drenadas aravés do aqüífero aé exuóros superfcas. Sendo assm, defne-se um modelo para o efeo da recarga drea consderando de manera dealzada a dsposção das froneras do aqüífero paralelas à área de neresse abordada no modelo. Pode-se, enão, especfcar as condções de escoameno ao longo do exuóro prncpal ro ou oceano mpondo-se que o poencal do aqüífero sea gual ao poencal enconrado na superfíce do corpo hídrco Eq..3.. Por sua vez, as condções enconradas na fronera de monane são, em geral, dadas pela formação vznha. Consderando aqüíferos sedmenares, a formação enconrada na base do aqüífero comumene aflora consundo-se ambém em bordas da formação sedmenar. Assm, em casos onde a base é consuída de rocha mpermeável, a fronera oposa é especfcada de manera que aravés dela não haa escoameno Eq..3.. Consderando que a lnha de descarga prncpal esea dsposa paralelamene ao aflorameno da base, o problema em condções de conorno especfcadas da segune manera: para, Φ Φ Eq..3. para L, Φ Eq..3. O escoameno assm descro é dado pela Equação de Posson cuo valor da fone N é dado posvo N > para exração e negavo N < para o apore de água. Dspondo-se o ssema de coordenadas alnhando o exo- sobre a lnha de cosa, a Equação de Posson orna-se função de apenas uma varável ndependene. Assm, a solução obda para a 3 No escopo dese rabalho, não é dscudo o escoameno na nerface enre água doce e água salgada.

140 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 38 Equação de Posson Eq...7 escra na forma undmensonal, mposas as condções Eq..3. e Eq..3. é dada por: Φ N NL Φ Eq..3.3 Observe que a expressão não é válda em um domíno nfno como as expressões dos elemenos dscudos no capíulo 3, mas sm apenas na faxa que defne o domíno do aqüífero. Nese sendo, vale ressalar que as magens e ransformações ulzadas não compreendem a expressão acma Eq Anes, o obevo de as operações sobre elemenos ulzados em froneras nernas do domíno é conformar seu comporameno à presença de froneras exerores ao seu domíno. O efeo produzdo pela ocorrênca de recargas nermenes, ou não-permanenes, é represenado sobre o mesmo domíno consderando um nsane ncal e a nensdade N para cada eveno. A equação governane para o escoameno não-permanene é dada por uma Equação do Calor Eq na forma undmensonal. Mandas as condções especfcadas para ambas froneras do aqüífero, a solução para o problema pode ser enconrada, por exemplo, em Carslaw e Jaeger 959, da segune forma: NL πna πna Φ, exp 3 3 sen Eq..3. π n n L L onde a dfusvdade hdráulca do aqüífero esá defnda como a KH S. A aplcação da equação Eq..3. segue as mesmas observações feas para a equação Eq..3.3 em relação aos modelos de elemenos analícos. Enreano, é neressane anda menconar o fao de que ambas equações Eq..3.3 e Eq..3. exbem a mesma esruura onde um parâmero de esforço mulplca uma função de posção ver Eq. 3.. e Eq Aplcação do Méodo de Imagens sobre Elemenos Analícos A especfcação de condções de conorno va magens consu uma alernava vanaosa em relação à dsrbução de elemenos analícos ao longo de froneras exernas. A prncípo podem ser enumeradas rês vanagens. Incalmene, a alernava apresena

141 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 39 vanagens do pono de vsa da consrução do modelo, exngundo-se a necessdade de se posconar elemenos ao longo de froneras exensas. Em segundo lugar, enconra-se uma vanagem maor no fao do Méodo de Imagens ser uma especfcação exaa. A especfcação de condções de conorno por meo de elemenos mplca na sobreposção de uma quandade fna de elemenos consundo-se uma aproxmação para as condções esperadas. Por fm, deve-se consderar que os efeos produzdos nos exremos da cadea de elemenos porvenura ulzada sobre essas froneras podem esar presenes na área de neresse do modelo. Uma vez que os conornos obdos pelo Méodo de Imagens são nfnos o efeo de borda é elmnado. De acordo com a formulação apresenada no capíulo 3, um elemeno analíco deve ser escro na forma λ onde é o ordnal referene a cada parâmero de esforço da Λ r expressão do elemeno. Sendo cada elemeno dado por dversas parcelas de uma função harmônca ou soluções da Equação do Calor, cada parcela é ambém uma função, e odas esarão sueas ndvdualmene a reflexões. Sea el λ λ o esforço do elemeno no domíno fundamenal e el λ ' λ o esforço no domíno arás do espelho. Assm, o elemeno produzdo em orno da fronera do domíno será obdo defnndo-se um ermo Θ que relacona ambos esforços λ e λ' da segune forma: e el e e el el λ' λ Θλ, Eq..3.5 onde o índce el refere-se ao elemeno orgnáro da magem consruída. O índce e refere-se ao espelho e por nermédo do qual é consruída a magem de el, podendo el referr-se ambém a uma magem se esver ocorrendo recursão de magens. De acordo com Keller 953, para enconrar a relação Θ enre uma magem e sua orgem, é necessáro verfcar a necessdade de mulplcar a magem por menos um - para ober a smera deseada. Assm, especfca-se a condção de conorno deermnando-se a dreção dos esforços na magem em função dos esforços no elemeno orgnáro smercamene em relação à fronera consderada. Ulzando-se a smbologa defnda em Eq..3.5, a condção do prmero po é especfcada para cada elemeno defnndo a relação e Θ da segune forma: el

142 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos Θ I Eq..3.6 poço I Θ dpolo I e Θ dpolo Eq..3.7 Θ I Eq..3.8 lnesnk Θ I Eq..3.9 lnedouble Θ I Eq..3. areasnk onde os subscros e referem-se às componenes do esforço em relação ao exo da fronera e à sua normal. A condção do segundo po, por sua vez, é especfcada para cada elemeno da segune forma: Θ II Eq..3. poço II Θ dpolo II e Θ dpolo Eq..3. Θ II Eq..3.3 lnesnk Θ II Eq..3. lnedouble Θ II Eq..3.5 areasnk

143 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS O ssema de equações para o cálculo dos esforços do modelo Eq. 3.. é consruído relaconando-se os esforços na própra lnha da marz A dos coefcenes escra para cada pono de conrole ver seção 3.. Assm, o ermo de uma lnha na marz dos coefcenes leva em cona a relação especfcada para sua magem, a fm de mpor a condção deseada nas froneras exernas. Assm, cada coefcene a é expresso como: el n, e a Λ Θ Λ Eq..3.6 el k, e el k O índce el refere-se ao elemeno cuo esforço ocupa a posção na marz. A consrução das magens do el-ésmo elemeno empregado no modelo é fea de acordo com a fronera e para a qual é fea a reflexão. Noe-se que as magens geradas poderão gerar novas magens dependendo do ângulo enre os espelhos ver Eq.... Em casos onde o número de espelhos é maor que um, k será o número de erações necessáras para a consrução de odas as magens, dado por n π / / π /, onde é o ângulo enre os espelhos. As condções do ercero po e a condção onde são mposos Drchle e Neuman smulaneamene e.g. heerogenedades, não são analsadas nese rabalho. No enano, dversos auores dscuem aplcações para poços sueos à presença de formações vznhas e, recenemene, Anderson e Bakker e Anderson apresenam uma abordagem para problemas de poços sueos a froneras do ercero po ver Apêndce C..3.3 Aplcação de Transformações de Schwarz-Chrsoffel sobre Elemenos Analícos A formulação de elemenos analícos unflares ulzados no Méodo de Elemenos Analícos é fea, orgnalmene, sobre o espaço conínuo e nfno. Nesa seção a formulação dos elemenos ulzados no Méodo é modfcada a fm de se consderar a modelagem de domíno alongado. Semelhanemene à formulação orgnal, os elemenos são baseados na negração de Cauchy para soluções da Equação de Laplace em problemas de efeos ponuas no sem-plano que mapea o domíno da aplcação. Devdo ao mapeameno a geomera dos elemenos no domíno da aplcação é dferene da geomera do elemeno no sem-plano de mapeameno ver Fgura.3..

144 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos Fgura.3. Esboço do elemeno no plano físco esquerda e no sem-plano de mapeameno drea Devdo a essa ransformação, segmenos de rea no plano z são mapeados por curvas espras em z. Admensonalzando-se o sem-plano ζ por meo da Eq..3.7, ζ ζ ζ Z Eq..3.7 ζ ζ onde ζ e ζ são coordenadas complexas do elemeno no sem-plano ζ, em-se uma nova confguração para o elemeno conforme apresenado na Fgura.3.a. Fgura.3. Mapeameno do elemeno a no plano Z e b no plano Zea

145 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 3 É possível mapear novamene o elemeno para um novo plano Fgura.3.b que o represena sobre seu exo horzonal. Aplcando-se a ransformação de Schwarz-Chrsoffel e.g. Eq...5, sobre o sem-plano ζ, em-se: ζ ζ Z ζ ζ ln lnζ lnζ Zea Eq..3.8 lnζ lnζ Por sua vez a ransformação nversa de Zea para Z é dada pela Eq Z exp - Zealn zexp Zealn z - z z Eq..3.9 z z Defndos os planos admensonas que mapeam o elemeno sobre o exo horzonal, a ransformação de Schwarz-Chrsoffel e.g. Eq...5 pode ser aplcada a elemenos esaconáros de manera basane convenene. Consdere-se a defnção de elemenos lneares dada na Eq..3., reescra a segur: Ω π µ d Z Eq..3. onde a presença do ermo defne um lnedouble e sua ausênca, um lnedpole. Duas condções devem ser observadas na consrução de um elemeno analíco unflar: a dsrbução de esforços deve produzr valores reas e a função obda deve produzr uma desconnudade no poencal Ω ao longo do elemeno. Defnndo-se a varável de negração Ξ ao longo do exo do plano Zea, em-se: Ω π µ Ξ Ξ Z d dξ dξ Eq..3.

146 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos Reescrevendo-se a negral acma conforme procedmeno ulzado na seção.3. Eq..3., em-se: µ Zea µ Zea µ Ξ d Ω d Ξ d π Z π Z Ξ dξ Eq..3. Novamene à semelhança do procedmeno ulzado na seção.3. a negral do prmero ermo da expressão é resolvda produzndo-se ver Eq..3.3: µ Zea Z µ Zea µ Ξ d Ω ln Ξ d π Z π Z Ξ dξ Eq..3.3 Dferenemene, enreano, da Eq..3.3, o núcleo da negral da Eq..3.3, não produz polnômos, mas uma expressão ranscendenal de dfícl manpulação. Alernavamene aos procedmenos de negração usuas, é recomendado o uso de fórmulas de quadrauras que fornecem valores aproxmados para a negral Wendland, 5. Observe-se anda que, embora o segundo ermo da Eq..3.3 não sea polnomal, o núcleo da negral ulza o mesmo polnômo de esforços µ. Assm, a o poencal fca expresso em ermos de apenas um polnômo em vez de dos como em modelos de elemenos relíneos ver Eq d A dervada Eq..3.3 é dada a parr do mapeameno dado na Eq..3.9 pela d Ξ segune expressão: d dξ ln z z - ln z z exp - Ξln z Ξln z Eq..3. Defndos os ermos que formam a negral da Eq..3.3, a quadraura é aplcada na forma gaussana: Informação fornecda por Edson Wendland durane dscussões codanas

147 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 5 I n b a n f x dx A f x Eq..3.5 onde A são coefcenes de ponderação e x são ponos onde a quadraura é calculada. Para polnômos de ordem menor ou gual a n, obém-se os n ponos e coefcenes para os quas a quadraura de manera exaa. Sroud e Secres 966, pág. fornecem abelas de ponos e coefcenes para a ulzação da quadraura gaussana. Assm, a Eq..3.3 se orna expressa por: µ Zea Ω ln π Z Z I n Eq..3.6 onde I n é a aproxmação da quadraura gaussana para a negral da Eq Conforme á vso na equação Eq..3.7, a expansão do ermo logarímco em pare real e magnára produz uma desconnudade do poencal sobre o exo X pare real do plano Z. No caso de elemenos relíneos o elemeno repousa sobre o exo X Fgura.3.3a e a função µz é ulzada para ponderar a desconnudade de acordo com o deseado. Elemenos curvlíneos e sua dsrbução dos esforços, por ouro lado, não concdem com o exo X Fgura.3.3b. Fgura.3.3 Esquema de correção do ramo do elemeno curvlíneo

148 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 O ângulo θ é defndo por arg - arg Z Z - Z Z - θ, assm, próxmo ao exo X θ π e π θ. Dessa forma, o ângulo θ pode ser corrgdo para que a desconnudade ocorra enre os lados de cma e de baxo do elemeno. Defnndo-se > I < I Zea Z I a regão abaxo do elemeno e acma do exo X e < I > I Zea Z I a regão abaxo do exo X e acma do elemeno, em-se: Ω Ω < I > I Ω Ω > I < I n n n n I X X X I X X X Zea Z I X X X I X X X Zea Z θ π µ π θ π µ θ π µ π θ π µ ln ln ln ln I I Eq..3.7 Resulados obdos da smulação de um únco elemeno lnesnk ulzando-se cnco ponos de quadraura abelados em Sroud e Secres 966 são apresenados sobre o plano ζ na Fgura.3.. Fgura.3. Dsrbução de poencal lnhas raceadas e de correne lnhas conínuas devdo a um lnesnk. À esquerda, dsrbução próxma ao elemeno. À drea, dsrbução dsane do elemeno.

149 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 7. Implemenação Compuaconal Uma vez que dversas funções analícas esão mplemenadas de forma a sasfazer condções de conorno em froneras nernas de aqüíferos, são, por sua vez, mplemenados processos para a especfcação de condções de conorno sobre suas froneras exernas. São dscudas nesa seção as ronas compuaconas, escras em Pyhon, para a nclusão do efeo da recarga drea de Aqüíferos Longos, geração de Imagens e o mapeameno de Schwarz- Chrsoffel. As ronas do Méodo de Imagens e da ransformação de Schwarz-Crsoffel seção. foram desenvolvdas orgnalmene nese rabalho e enconram-se dsponíves no CD em anexo. A rona de recarga de Aqüíferos Longos ulza as froneras posconadas no exeror de domínos como um argumeno para a consrução do obeo aqüífero. Se apenas uma fronera é declarada, é ulzado apenas o Méodo de Imagens, se uma segunda fronera é nclusa, os elemenos são adconados ao modelo medane as ransformações de Schwarz- Chrsoffel... Classes CoasalAqufer A classe de aqüíferos CoasalAqufer é especfcada a fm de gerencar o modelo de acordo com as necessdades de ambos méodos Méodo de Imagens e ransformações de Schwarz-Chrsoffel. Segundo a mplemenação de obeos analícos descra na seção., os obeos CoasalAqufer ver Fgura.. podem ser esaconáros ou ransenes. Aqufer aem.wo_d.sngle.infneaqu aem.wo_d.sngle.coasalaqu aem.wo_d.ransen.infne aem.wo_d.ransen.coasala Fgura.. Classes de aqüíferos adconadas ao programa A função de um obeo aqüífero, como á dscudo, é nroduzr parâmeros e efeos regonas e gerencar o modelo consruído. Em aqüíferos cuas froneras esverem dsposas paralelamene orna-se possível analsar o efeo da recarga drea sobre o modelo. Assm, além dos parâmeros especfcados para os aqüíferos nfnos InfneAqufer, é

150 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 adconado um quaro parâmero para a especfcação da recarga. A recarga especfcada em um obeo aqüífero esaconáro é, porano, unforme no espaço e ao longo do empo. A recarga drea passada para o obeo aqüífero ransene pode coner uma lsa de pares de valores de nsane e nensdade ver seção A especfcação de conornos exernos Méodo de Imagens e os méodos de ransformação de domíno Schwarz-Chrsoffel são ncalzados no programa a parr do procedmeno que preenche a lsa de elemenos do modelo addelemen. Dado o elemeno que esá sendo adconado ao modelo e as froneras exernas especfcadas no obeo aqüífero, suas coordenadas podem ser ransformadas, o que ocorre no caso de haver mas de um segmeno de rea na fronera. Em seguda, o elemeno é submedo ao Méodo de Imagens consderando-se o sem-plano para o qual o elemeno fo mapeado. Em casos com apenas uma fronera, o elemeno é submedo apenas ao Méodo de Imagens... Transformações de Domíno Conhecdas as expressões que relaconam um domíno qualquer a um sem-plano, sua mplemenação é especfcada de modo a abranger cada caso. Assm, são defndas duas funções de ransformação: map e mapback, responsáves respecvamene pela ransformação de um sem-plano no domíno aqüífero e a ransformação nversa. São argumenos das funções as lnhas do domíno consderado e os ponos a serem mapeados Fgura..a. Em vrude de haver mas de uma possbldade de sem-plano de mapeameno em função dos pos de condções de conorno mposas, é necessáro que a lnha passada para a função de mapeameno sea um espelho. Assm, caso ambos espelhos seam do mesmo po, o domíno é mapeado para o sem-plano horzonal. Caso conráro, o mapeameno é feo no sem-plano quadrane...3 Classes de Espelhos Para a mplemenação do Méodo de Imagens, é fundamenal que: cada pono do seor orgnáro enconre correspondênca no seor magem; os elemenos consruídos como magem expressem a relação dos esforços na magem em função do po de espelho. O processo é mplemenado por nermédo de classes para a consrução de dos obeos: espelhos e magens.

151 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 9 A classe MrrorLne é especfcada de forma basane smples. A classe especfca, por meo de herança, as propredades e procedmenos especfcados na classe Lne ver Fgura..b. map [geomery.wo_d.lne],[geomery.wo_d.pons] ransform mapback [geomery.wo_d.pons] [geomery.wo_d.lne],[geomery.wo_d.pons] [geomery.wo_d.pons] a Geomeryd Geomery.wo_d.Lne mrror.mrrorlne n sinfronofthemrror mrror_pons b geomery.wo_d.lne,ype Vod aem.wo_d.elemen Boo [geomery.wo_d.pons] [self,geomery.wo_d.pons] mage mage_mehod mage_model mage_elemen [aem.wo_delemen],[mrror.mrrorlne] [mage.image] [aem.wo_d.elemens],mrror.mrrorlne [mage.image] Elemen,MrrorLne Image c Elemen Fgura.. Ronas mplemenadas para as ransformações de Schwarz-Chrsoffel e o méodo de magens. O obeo espelho é especfcado, anda, de modo a possur uma propredade desgnada para a sua denfcação. Desa forma, as magens podem ser geradas de acordo com a propredade que caracerza o po de fronera requsada no domíno do modelo. Dos procedmenos são especfcados na classe MrrorLne: sinfronofthemrror e mrror_pons. O prmero desna-se a responder a segune perguna: o pono esá em frene ao espelho? Reornando um valor booleano TRUE ou FALSE. O segundo submee uma lsa de ponos requsados ao prmero procedmeno e em caso de ober o valor TRUE para odos os ponos, são obdos os ponos localzados smercamene do lado oposo ao espelho. O processo de consrução de magens é lusrado no dagrama de blocos da Fgura..3. As especfcações para as classes de magens são dscudas na seção a segur.

152 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 5 Espelhos Elemenos Geração de Imagens Elemenos e Imagens Solver Fgura..3 Fluxograma de modelagem a parr de magens.. Classes de Imagens Um obeo magem especfca, por nermédo de herança, odas as propredades e procedmenos do obeo analíco orgnáro, ano esaconáro como ransene. Não obsane a herança obda do obeo orgnáro, um obeo magem possu propredades e procedmenos peculares. Enre magens e elemenos, alguns procedmenos dêncos são os procedmenos de nfluênca e os procedmenos de conrbução. A consrução de uma magem e os procedmenos de solução, no enano, ocorrem de manera dferencada. Por exemplo, os obeos magens não parcpam da lsa de elemenos do aqüífero e sm do elemeno posconado à frene do espelho. Dadas as dferenças enre obeos magens e obeos analícos, é especfcada uma classe Image fundamenal, conendo os procedmenos e parâmeros necessáros à consrução de um obeo do gênero. Assm, conforme dscudo na seção.3, obeos magens são consruídos a parr de um obeo analíco orgnáro e dos obeos espelhos ulzados no modelo Fgura..3. A expressão Eq..3.5 defne a obenção de um elemeno magem em função do seu elemeno de orgem e de um espelho. Em função do po de espelho é requsada a consrução de obeos ImageDrec ou ImageInverse para cada elemeno refledo. Uma vez que não é possível deermnar a pror a classe de elemeno a ser recebda pela magem como herança, a especfcação da classe é fea por nermédo de uma função denomnada

153 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 5 mage_elemen no módulo mage ver Fgura..c. O módulo coném rês funções desnadas a desempenhar arefas prelmnares à consrução do obeo magem: a mage_mehod, b mage_model e c mage_elemen. a Função mage_mehod A função mage_mehod mplemena a esruura do méodo. Essa função é responsável pela verfcação da smera das froneras do domíno do modelo e pela ulzação da função mage_model para cada espelho, podendo reper o processo de acordo com a necessdade de recursão e o número de magens necessáro. b Função mage_model A função mage_model, por sua vez, expõe os elemenos ao espelho solcado e reorna as magens produzdas por nermédo da função mage_elemen. Submedo o elemeno ao espelho, o procedmeno mrror_pons nvoca o procedmeno sinfronofthemrror para a verfcação da posção dos elemenos em relação ao espelho. Caso os elemenos eseam posconados na frene do espelho, ou sea, se as ordenadas em relação ao exo defndo pelo espelho forem posvas, são localzados os ponos eqüdsanes aos do elemeno real na dreção normal ao espelho. c Função mage_elemen Para consrur um obeo magem de manera fel ao obeo orgnáro é necessáro denfcar a classe pela qual o obeo fo consruído, de modo a ober desa classe sua herança obeos não produzem herança. A classe do obeo orgnáro é denfcada pesqusando-se na lsa de propredades dr dos pacoes aem.sngle e aem.ransen a classe de quem o obeo analíco é nsânca. As classes ImageDrec e ImageInverse enconram-se denro do escopo da própra função mage_elemen que nsanca as magens. Assm, a função mage_elemen em o obevo de reornar obeos magens para um dado obeo de orgem e um espelho obeo da classe MrrorLne.

154 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 5..5 Procedmeno de Consrução de Obeos Imagens Uma magem pode ser mplemenada como odas as propredades e méodos de um obeo analíco ver seção O procedmeno de consrução, comparlha herda odos os processos especfcados para um obeo analíco, no enano, adconalmene especfca uma propredade exra desnada para a denfcação medaa de qual obeo espelho a orgnou. Imagens orgnadas de obeos analícos de parâmeros conhecdos êm seus parâmeros pré-deermnados pela relação Θ e ver Eq..3.6 a Eq..3.5 durane o el procedmeno de consrução. A deermnação de parâmeros desconhecdos, por sua vez, é ambém obda por nermédo das relações Θ e. No enano nese caso, a relação não é empregada no el procedmeno de consrução, mas nos procedmenos de solução...6 Procedmenos de Solução nos Obeos Imagens Os procedmenos de solução nas classes de magem são herdados da classe de elemenos. Assm eles são denomnados da mesma forma que na seção 3.5.3e. No enano, apenas os procedmenos de obenção de ermos da marz de coefcenes gemarxcoeffcens e o procedmeno de arbução dos resulados obdos do ssema para as devdas magens geparameers são especfcados como é descro a segur. Noa-se que, por se raar de relações lneares, a relação enre ambos Θ e pode ser el expressar apenas os ermos de esforços ver Eq. 3.. de odas magens produzdas em conseqüênca de um elemeno qualquer, exceo as magens geradas para condções de conorno do ercero po ver Apêndce C. De acordo com a noação á ulzada nas Eq. 3.. e Eq..3.6 escreve-se o poencal devdo a um elemeno e suas N magens da segune forma: Φ n Θλ λ Λ Λ Eq... k k

155 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 53 O ermo enre parêneses represena o conuno de parâmeros da magem k obdo da relação Θ e do conuno de parâmeros de seu orgnáro λ. Isso perme que os obeos magens enham seus procedmenos de nfluênca especfcados apenas por nermédo de herança a parr dos obeos orgnáros e que seus parâmeros de esforços seam deermnados em função apenas dos parâmeros do obeo orgnáro. Por ouro lado, cra-se a necessdade de se especfcar procedmenos de solução que expressem mplemenem a relação deseada enre os parâmeros da magem e do elemeno orgnáro Eq..3.6 a Eq A expressão Eq..3.6 descreve um ermo da marz de coefcenes de manera que o esforço sobre o elemeno aparecem sempre em evdênca. O posconameno de cada ermo da expressão, por sua vez é realzado pelo procedmeno gemarxcoeffcens especfcado nos obeos analícos obeos orgnáros das magens ulzando a lsa de magens geradas a parr dele própro. Assm, cada função de nfluênca passa a ser mulplcada pela relação Θ correspondene e somada consundo-se no valor do coefcene que mulplca um únco ermo desconhecdo. Durane o processo de consrução da marz, o procedmeno gemarxcoeffcens de cada obeo analíco passa a ser responsável pela aqusção e soma dos ermos obdos para cada magem do obeo condos na sua lsa de elemenos. Porano o procedmeno gemarxcoeffcens de um obeo magem reorna o valor obdo de seu procedmeno de nfluênca seção 3.5.3b mulplcado pela relação Θ Eq..3.6 que guarda com seu obeo orgnáro. Durane a smulação de escoamenos ransenes, o procedmeno gemarxcoeffcens dos obeos analícos é especfcado de forma semelhane aos obeos esaconáros. Uma vez que cada obeo ransene possu obeos do po UnSep, a lsa de elemenos elemenls é percorrda duas vezes. Na prmera, como dscudo na seção.5., é reornado o ermo referene ao úlmo elemeno UnSep da lsa e ncluído no somaóro. No segundo laço, o procedmeno reconhece somene os obeos magens e nvoca deles os procedmenos gemarxcoeffcens nclundo-os no somaóro do coefcene deseado. A deermnação dos parâmeros de esforços de uma magem, por sua vez, é, da mesma forma que os obeos analícos, baseada nas dferenças obdas para o parâmero ver seção 3.5.3e. O procedmeno de ransmssão dos resulados aos obeos magem, à semelhança do que ocorre nos obeos analícos, é especfcado de forma a realzar o processo nverso de gemarxcoeffcens. Ou sea, o elemeno magem recebe a solução do obeo paren e

156 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 5 mulplca pela relação Θ obendo a sua própra solução. Em seguda, a solução obda é passada para as evenuas magens dese elemeno..5 Exemplo de Aplcação Basa e al. apresenam modelos obdos medane o méodo de magens em domínos alongados segundo as drerzes de Keller 953. O méodo é aplcado em problemas hpoécos basane smples, produzndo resulados confáves. No enano, a meodologa ulzada no rabalho oferece lmações compuaconas para problemas realsas Basa e al.,. Na meodologa ulzada por Basa e al., a represenação dos conornos regonas do aqüífero é fea ulzando-se apenas o Méodo de Imagens, sendo necessára uma sére nfna de magens. No enano, Basa e al. ulzam uma quandade de quarena reflexões recursvas, runcando a sére o argo enconra-se no CD anexo. Segundo Bschoff 98, em casos onde são observadas duas froneras paralelas do mesmo po, a sére de magens converge lenamene. Em problemas onde se apresenam dferenes pos de conornos, a convergênca ocorre é mas acelerada. Basa e al. ulzam para eses modelos apenas rês magens. Esa represenação não sasfaz de manera exaa a condção de conorno. O erro, assm admdo, cresce à medda que a posção da fronera se dsanca dos elemenos ulzados no modelo. Transformações de Schwarz-Chrsoffel, por sua vez, exgem apenas uma magem em casos de froneras paralelas de mesmo po ver Fgura..b. Em casos onde são apresenados dferenes pos de froneras são necessáras rês magens para uma represenação exaa do sem-plano ver Fgura..c. A segur é dscudo um modelo hpoéco de aqüífero consuído por froneras de pos dferenes. O problema é smulado com o programa Tm SL e as ronas da seção aneror. O arquvo de enrada ulzado para esa smulação enconra-se dsponível no CD em anexo. Consdere-se a presença de um únco lago reangular na escala local que possu neração drea com o aqüífero Fgura.5., à esquerda, exrando dese uma vazão conhecda e consane. Consdere-se, anda, a presença de uma regão onde o aqüífero apresena uma conduvdade hdráulca reduzda delmada por uma regão polgonal. Na Fgura.5. à esquerda são lusradas a localzação e confguração do lago e as froneras do aqüífero onde ele esá nserdo. As froneras do aqüífero são caracerzadas por uma lnha onde o poencal é conhecdo, onde é mposa a condção do prmero po dreno e oura lnha onde não exse descarga ransversal, onde é mposa a condção do segundo po

157 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 55 parede. Na Fgura.5. à drea apresena-se a dsposção obda para o lago e suas magens no sem-plano de Schwarz-Chrsoffel. Fgura.5. Transformação de domíno para um Aqüífero Longo. Consderando-se undades arbráras de dmensão [L] e empo [T], os dados do aqüífero são dealzados da segune forma: conduvdade hdráulca observada na maor pare do aqüífero unára L/T; recarga devdo à precpação no valor de - L/T; coa opográfca da base do aqüífero no valor de L e a coa pezomérca observada ao longo do exuóro do aqüífero gual a zero, ornando o poencal de descarga Φ ambém nulo zero L 3 /T. A conduvdade da heerogenedade enconrada no aqüífero é a cenésma pare daquela observada na maor pare, L/T. Dos cenáros são apresenados. No prmero, o balanço da lagoa observado no aqüífero é nulo, onde a recarga é gual à descarga em dreção à fronera drenane, e da mesma forma a lagoa, onde a lâmna precpada é gual à evaporada no espelho de água. No segundo, a chegada da esação seca é concebda de al forma que a recarga drea do aqüífero é anulada e as perdas amosfércas da lagoa superam as precpações em, L 3 /T, equvalene a uma lâmna de. - L/T. A represenação do escoameno esperado no aqüífero para essas condções é obda ulzando-se a sobreposção dos elemenos analícos adequados para os conornos apresenados no neror do aqüífero lagoa e heerogenedade e a represenação de froneras exernas é fea medane as écncas de ransformação de domíno e de geração de magens. A fm de se evar a sobreposção de ponos de conrole, a polgonal que defne a heerogenedade aravessa o neror da polgonal da lagoa.

158 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 56 Os elemenos são ulzados com o comprmeno unáro L L nas faces de cada polígono, oalzando-se rna e nove elemenos relíneos mas a recarga regonal elemenos. O marz de solução do modelo possu uma quandade de lnhas gual à de colunas sem sobrespecfcação angndo-se ordem 9. Consderando-se o compuador ulzado para a smulação IBM PC, processador Celeron GHz, RAM 56MB, S.O. Mcrosof Wndows, embora uma marz pequena, o empo consumdo pelo o nerpreador Pyhon. na monagem da marz é de 3,8s e na solução do ssema lnear é de,5386 s. O empo consumdo para a arefa não é pequeno e não represena uma vanagem em relação a mplemenações de ouros méodos de smulação de escoameno suberrâneo. Enreano, é possível acredar em reduções 9% do empo compuaconal ulzando-se lnguagens de alo desempenho. A dsrbução de cargas pezomércas obda para o prmero cenáro é lusrada na Fgura.5. em uma ampla faxa do domíno e dealhada próxmo aos elemenos na Fgura.5.3a. Observe-se que as condções de escoameno mposas sobre ambas froneras do aqüífero são sasfeas.

159 ALTERNATIVAS AO USO DE ELEMENTOS EM MODELOS DE AQÜÍFEROS LONGOS 57 Fgura.5. Dsrbução de equpoencas para o aqüífero O segundo cenáro é modelado de forma semelhane. No enano, os elemenos ransenes são empregados medane apenas o Méodo de Imagens. O nervalo de empo com o qual é feo o cálculo dos esforços é defndo ulzando-se L mn devdo a Zaadnoordk e Srack, 993, onde L mn é o comprmeno mínmo dos elemenos ulzados no modelo L L e, a dfusvdade hdráulca do aqüífero. O empo compuaconal é a soma do consumdo na solução do modelo esaconáro mas o empo necessáro para a sobreposção dos efeos ao longo de 5 passos de, oalzando-se 8.36s. A evolução das cargas pezomércas é, enão, obda conforme lusrado nas Fgura.5.3. Observa-se que as condções de conorno são mandas ao longo de ambas froneras do aqüífero. No enano, ocorre o desvo dos poencas em relação ao especfcado à medda que se afasa da regão dos elemenos, devdo ao runcameno da sére de magens dos elemenos ransenes.

160 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 58,T,9T 5,T 9,7T Fgura.5.3 Dealhe da dsrbução de equpoencas em orno do lago. Em cada nsane de empo as cargas pezomércas ornam-se menores. A solução obda nos elemenos sasfaz as condções especfcadas para seus respecvos conornos. Observe-se que a carga pezomérca é manda consane ao longo da borda do lago. Ao longo das bordas da heerogenedade são observadas, gualmene, a connudade e a suavdade das cargas pezomércas.

161 59 Capíulo 5 5 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Nese capíulo, os elemenos analícos são aplcados ao esudo do escoameno suberrâneo em uma regão ulzada como fone de capação de água do Ssema Aduor Agrese/Trar/Poeng, no Ro Grande do Nore. A capação do ssema é fea de forma msa sobre o Aqüífero Barreras e sobre a Lagoa do Bonfm. O Aqüífero Barreras é caracerzado como Aqüíferos Longos e seu escoameno, naural e nduzdo pela capação, são modelados ano em regme permanene como ransene. Embora o mpaco do ssema sobre a Lagoa enha movado dversos esudos, o presene esudo conrbu para a quesão fornecendo uma calbração dos parâmeros hdráulcos e smulando cenáros de seca na regão. 5. Área de Esudo A área de esudo enconra-se sobre uma pequena faxa do Aqüífero Barreras pare superor da Fgura 5.., localzada na cosa lese do Esado do Ro Grande do Nore. A Lagoa do Bonfm possu, aproxmadamene, um volume gual a 83 km 3 e uma área de espelho de água gual a 8 km e é a maor do Ssema Lacusre Bonfm pare nferor da Fgura 5.., formado por ses lagoas localzadas na ª zona UTM enre as coordenadas 5kmE, 935kmN e 63kmE, 9335kmN. O Aqüífero Barreras consu-se no prncpal manancal suberrâneo do Esado, fornecendo aualmene cerca de.83,6 m 3 /h para abasecmeno humano. Aé o ano de, é esmado anda um acréscmo de.55,5 m 3 /h, ou sea de 35%, sobre a aual demanda do aqüífero Hdroservce, 998. O Ssema Aduor Agrese/Trar/Poeng, por sua vez, fo proeado em 996 para aender uma demanda de.68,35 m 3 /h, aé 6, capandose água, na regão da Lagoa do Bonfm, por meo de poços ubulares e bombeameno dreo da Lagoa. No enano, a operação do ssema em ocasonado redução do volume de água nas lagoas da regão Perera e al.,. Esudos auas êm procurado avalar qual é a capacdade de produção do ssema aduor, dado o nível mínmo do espelho de água da Lagoa

162 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 do Bonfm, proegdo por decsão udcal. Basa avala que a capacdade do ssema é aproxmadamene 5% abaxo do esperado para o horzone de proeo. Com o mnene aumeno de demanda prevso para a segunda fase do proeo, novos esudos êm sdo feos em busca de alernavas de locas para a nsalação de novas baeras de poços e.g. Manuel Flho e Casro,. Área de esudo Lagoa do Bonfm Fgura 5.. Localzação do Aqüífero Barreras acma e da Área de Esudo abaxo. Modfcado de FGV, 998 e Hdroservce, 998

163 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Clma e Pluvomera Predomnam no Esado os clmas muo quene e sem-árdo BSw h, na classfcação de Köppen, com esação chuvosa no fnal do verão e ropcal chuvoso As, na classfcação de Köppen com esação seca durane o verão e chuvosa durane o ouono e nverno. A pluvomera anual em odo loral lese em médas enre a 5mm decrescene na dreção do neror do Esado e a evaporanspração poencal é esmada em 6mm/ano. 5.. Recursos Hídrcos O loral do Ro Grande do Nore é marcado pela presença dos exuóros de bacas hdrográfcas que nascem no serão e agrese do Esado e dversas pequenas bacas de escoameno dfuso que ocorrem nas proxmdades de exuóros das bacas maores ver Fgura 5... No loral lese do Esado, oo sub-bacas de escoameno dfuso formam a Baca 6, com uma área oal de 69, km. O Ssema Aduor Agrese/Trar/Poeng enconra-se na Sub-baca 6-6, que possu uma área de apenas 87,7 km. A Sub-baca esá localzada enre as bacas dos ros Prang Baca 9 e Trar Baca, com áreas de 58,9 e.867, km, respecvamene Hdroservce, Geologa A maor pare do loral nordesno, porano ambém a área de esudo, em o seu embasameno rochoso formado por uma seqüênca arqueozóca crsalno, sendo consuída bascamene de gnasses, granos gnásscos e calcáros crsalnos. Sobre esse embasameno, oda a faxa cenral do Ro Grande do Nore apresena o aflorameno de uma seqüênca geológca do período creáceo composa de arenos na pare nferor e calcáro no opo, perencenes ao Grupo Apod ambém conhecdo como Jandaíra. No loral, no enano, o Grupo Apod enconra-se encobero por sedmenos recenes. As formações sedmenares que ocorrem ao longo de odo loral do Ro Grande do Nore perencem ao Grupo Barreras, formado por sedmenos ercáros e quaernáros era cenozóca. Os sedmenos marnhos ercáros recebem o nome de Formação Barreras. Essa Formação recebe anda uma coberura de depósos eólcos recenes quaernáro, chamados Dunas.

164 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 Fgura 5.. Localzação da Baca Hdrográfca do Ssema Lacusre Bonfm Baca 6-6 e bacas vznhas. Modfcado de Hdroservce, 998.

165 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM 63 A presença das coberuras dunares da regão é caracerzada, segundo Perera, por rês camadas. A prmera, as neodunas, que se enconram próxmas à lnha de cosa, consuídas de areas eólcas quarzosas brancas. A segunda é formada pelas paleodunas, dunas angas composas de areas eólcas bem seleconadas em cores avermelhadas e amareladas. Por fm, os vales dos ros, ocupados por aluvões de cascalho, lmos, sles e arglas. No domíno das pequenas lagoas do ssema Bonfm, porém, caracerza-se uma nerface arenosa enre os sedmenos eólcos e os não-eólcos, denomnada lençós eólcos, de cor branco-acnzenada com granulomera fna. Essas camadas ocorrem em depressões sobre as quas se nsalaram algumas lagoas, enre elas o Ssema Lacusre Bonfm conforme apresenado na Fgura 5..3 Perera e al., 996. O aflorameno da Formação Barreras aparece superfcalmene à oese da Formação Dunas e esende-se aé sua fronera com o aflorameno da baca sedmenar nferor, a cerca de km da Lagoa do Bonfm conforme a legenda apresenada na Fgura 5..3 Lacerda, 999 apud Perera, 5. A Formação Barreras, nesa regão, ocorre com sedmenos heerogêneos pouco consoldados, fracamene seleconados, caracerzando-a pela presença de arenos conglomerácos, a parr da base, segudos de arenos arglosos relavamene homogêneos com sgnfcavas e freqüenes nercalações de lenes arglosas IPT, 98 apud Perera e al., Alguns esudos caracerzam o aqüífero como sem-confnado, uma vez que, em seu opo, ocorrem lenes de argla e.g. IPT, 98 e Melo, 995 apud Perera, 7. No enano, a ocorrênca dessas lenes é esparsa e não confgura a presença de uma camada conínua, confgurando-se um ssema aqüífero únco denomnado Dunas/Barreras Perera,. 5 Lacerda, A.MA Caracerzação Geológca e Hdrogeológca da Regão de Mone Alegre RN. Monografa de Graduação. 83p. Unversdade Federal do Ro Grande do Nore. Naal. 6 Insuo Paulsa de Tecnologa 99. Esudo Hdrogeológco Regonal Dealhado do Esado do Ro Grande do Nore. Secreara da Indúsra e Comérco do Ro Grande do Nore. Vol.. 7 Melo, J.G Impacos do Desenvolvmeno Urbano nas Águas Suberrâneas de Naal RN. Tese de Douorado. 96p. Unversdade de São Paulo. São Paulo.

166 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 6 Fgura 5..3 Undades Hdrogeológcas da Área de Esudo Modfcado de Hdroservce, 998.

167 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Uso e Ocupação do Solo A regão do Ssema Lacusre Bonfm possu claramene uma dsnção na sua coberura de solos. Ocorrem dos pos báscos de solo na regão cua dsrbução, ou froneras seguem a orenação da lnha cosera. Os solos que consuem a coberura da pare lese da regão são laossolos vermelho amarelo, orgnados do aflorameno dos sedmenos areno-arglosos do Grupo Barreras e por sso são solos profundos. Na pare lese da regão a coberura é dada pelas areas quarzosas ambém consderados profundos orgnados dos depósos dunares SUDENE, 97, apud Perera, 8. A ocupação vegeal ocorre bascamene sob a forma de Floresas Ombróflas Maas de Dunas e Maa Clar rasas e densas e Floresa Semcaducfóla floresas de abuleros - arbóreas. Essa denomnação é referene às condções clmácas renanes. A regão do Ssema Lacusre Bonfm apresena vegeação ombróflas concenradas à lese, sobre as coberuras dunares e floresa de abuleros sobre os laossolos. Essa ocupação vegeal é caracerzada, porano, pela presença de esraos arbóreos como caueros e mangueras e herbáceos arbusos. Na Fgura 5.. é lusrada a ocupação enconrada na área de esudo. Segundo o RIMA Relaóro de Impacos ao Meo Ambene do proeo do Ssema Aduor Agrese/Trar/Poeng, a área de esudo compreende áreas ruras, com ocupações dsrbuídas ponualmene nas áreas culvadas e duas sedes muncpas: São José de Mpbu, aualmene com 377 hab ruras e 9ml hab urbanos e Nísa Floresa, com 883 hab ruras e 859 hab urbanos. A área culvada na regão abrange cerca de 5ha próxmos à Lagoa Ferrera Grande e 6 ha nas proxmdades da Lagoa do Bonfm dos quas cerca de ha são rrgados conra menos de % daqueles próxmos à Lagoa Ferrera Grande. No enano, as lagoas da regão não êm um uso consunvo local sgnfcavo. A população fxa nas áreas do enorno da Lagoa do Bonfm é de apenas 6 moradores que e próxmo à Lagoa Boa Água um lugareo com cerca de 5 moradores. A população fluuane é consuída pelos propreáros de chácaras e dos usuáros de nfraesruuras de lazer, como clubes e parques, nsalados prncpalmene nas lagoas Carcará com 5 habanes, Boa Água com 3 habanes e a Lagoas do Bonfm com cerca de 3 habanes. Todo abasecmeno parcular de água e feo a parr de poços e capação drea das lagoas. 8 Supernendênca de Desenvolvmeno do Nordese 97. Levanameno Exploraóro: Reconhecmeno de Solos do Esado do Ro Grande do Nore. Bol. Téc. no, 53p. Mnséro da Agrculura. Recfe.

168 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 66 Fgura 5.. Uso e Ocupação dos Solos da Área de Esudo Modfcado de Hdroservce, 998

169 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Esudos Anerores de Poencomera na Área de Esudo Com o obevo de caracerzar o comporameno hdráulco e hdrológco do Ssema Lacusre Bonfm, Perera realzou uma nensva campanha de monorameno. A campanha fo realzada enre ouubro de 998 e dezembro de sob condções pluvomércas abaxo da méda ano de 999, com 85 mm e acma da méda ano de, com 8 mm. A parr dos dados obdos no fnal da esação chuvosa de 999, Perera confecconou o segune mapa lusrado na Fgura As lnhas sopoencomércas apresenadas no mapa foram obdas manualmene pelo auor Perera,. O rabalho denfca dreções preferencas do escoameno suberrâneo e dvsores hdrogeológcos conforme represenado na legenda. Foram denfcadas as segunes dreções de escoameno: a enrada de água à oese da Lagoa do Bonfm, saídas de água da Lagoa nos seus exremos nore e sul e, à lese da Lagoa, foram denfcadas caraceríscas sazonas do escoameno, em dreção à Lagoa, na esação chuvosa, e conrára à Lagoa, durane a esagem. O esudo denfca, anda, os segunes dvsores hdrogeológcos. No lado oese da Lagoa, o escoameno drge-se para rês drenos: o Racho Pum, o Ro Trar e a Lagoa do Bonfm. No lado lese, o escoameno é dreconado pelas lagoas do ssema Bonfm, anda pelos ros Pum e Trar e prncpalmene pelos rachos Tmbó e Boacca e pela cosa. Os dvsores e as prncpas dreções de escoameno menconadas podem ser enconrados na Fgura 5..5.

170 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 68 Fgura 5..5 Mapa poencomérco do aqüífero lvre da regão do Bonfm RN Rerado de Perera e al., 3

171 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM 69 Manuel Flho e Casro realzaram uma avalação numérca das condções de exploração do aqüífero na área de esudo. A área smulada fo compreendda pela área enre o aflorameno do crsalno Snal de Macaíba à oese, o Oceano Alânco à lese, o Racho Pum ao nore e o Ro Trar ao sul. O modelo numérco de dferenças fnas é consrundo consderando o aqüífero homogêneo e a neração do escoameno suberrâneo com os corpos hídrcos da regão. A abrangênca do modelo é lusrada na Fgura As células ulzadas ao longo da lnha de cosa foram desgnadas a mpor a condção do prmero po coa pezomérca gual a zero. A lnha de aflorameno do crsalno fo represenada por condções do segundo po fluxo aravés gual a zero. Rachos e lagoas foram modelados como conornos onde são mposas condções do ercero po cargas pezomércas e ressêncas ransversas ao escoameno conhecdas. Por fm, os see poços do ssema Agrese/Trar/Poeng foram represenados por células onde eram esgoadas vazões conhecdas. Dversos auores avalam conduvdades dferenes na Formação Barreras e na Formação Dunas e.g. Melo e Feosa, 998; Perera,. No enano, Manuel Flho e Casro homogeneízam a conduvdade hdráulca em oda a área gual a,m/d, consderando o domíno homogêneo e sorópco em odo o domíno da smulação. De modo semelhane, a coa do opo da formação crsalna ocorre, em méda, com valores de -3m e - m, respecvamene, sob as Dunas e sob as Barreras. Porém, a varação dexa de ser sgnfcava em relação às dmensões da área de esudo, sendo ulzado o valor de -m em oda a área. A recarga drea do aqüífero devdo às chuvas fo ulzada segundo esma Melo e Feosa 998 gual a 6,6. - m/da. O ssema fo smulado consderando-se uma rerada de 3l/s dos poços mas l/s da Lagoa do Bonfm. Na Fgura 5..6 é apresenado o resulado da smulação. Observa-se que a dsrbução de cargas hdráulcas caracerza a Lagoa do Bonfm nfluene para o aqüífero. O resulado dverge, anda, do mapa poencomérco obdo por Perera, não se denfcando as caraceríscas levanadas no rabalho aneror.

172 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 7 Snal de Macaíba Fgura 5..6 Smulação da pezomera da regão da Lagoa do Bonfm Fone: Manuel Flho e Casro, 5..6 Esudos Anerores de Impacos sobre a Lagoa do Bonfm A capação da aduora Agrese/Trar/Poeng fo proeada ncalmene para rerar água apenas da Lagoa do Bonfm. Após a ocorrênca do rebaxameno conínuo de,7m do nível de água em 9 meses Nov/98 a Ago/99 de bombeameno da Lagoa Perera e al.,, foram nvesgadas alernavas para a mgação dos mpacos ambenas devdos à redução do volume de água na Lagoa, porém, anda sem esudos que avalem qual é sua efcáca. Esudos hdrogeológcos recenes concluíram pela perfuração de uma baera de poços suplemenares à oese da Lagoa, enreano, não foram enconrados esudos de avalação da evenual mgação dos mpacos sobre a Lagoa do Bonfm. Aualmene, embora uma nova baera de poços enha sdo nsalada em uma regão à lese do Ssema Lacusre

173 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM 7 Bonfm, esudos de avalação de mpacos se ornam necessáros à medda que fornecem supore ao processo de gesão dos recursos hídrcos. Perera e al. desenvolveram um modelo de balanço hídrco de reservaóros com o obevo de esudarem o mpaco da capação da aduora sobre a Lagoa do Bonfm. Foram smulados dos cenáros correspondenes às duas eapas de mplanação do ssema. No prmero cenáro, o balanço da Lagoa é smulado sem a operação do ssema. No segundo, é smulada a operação prevsa para o horzone de proeo. Os auores demonsram que, no mesmo período observado Nov/98 a Ago/99 o rebaxameno sem o bombeameno era sdo 8% menor e avalam o proeo como muo mpacane. Por ouro lado, o rebaxameno da Lagoa do Bonfm devdo ao bombeameno da vazão fnal de proeo no mesmo período era sofrdo mpaco anda maor, com 7,3% a mas que o naural. Embora a avalação forneça o grau de parcpação do bombeameno no comporameno do nível de água da Lagoa, a meodologa ulzada no esudo perme apenas a avalação de evenos passados. Basa esendeu a meodologa para ser ulzada em séres de dados snécos permndo exrapolar a avalação para cenáros fuuros. No enano, a meodologa ulza relações empírcas elaboradas para ober as varáves envolvdas no balanço hídrco da Lagoa em função de varáves hdromeeorológcas, não permndo, por exemplo, a nclusão ou rerada de poços da regão. 5. Modelagem do Escoameno Suberrâneo e Calbração Modelos de escoameno permem faclmene a nclusão ou rerada de poços, permndo, porano, a reconfguração do ssema. Embora rabalhos anerores enham consruído modelos de escoameno sobre a área de esudo Manuel Flho e Casro,, nesa seção é consruído um novo modelo consderando-se dferenças de conduvdade hdráulca no domíno. A neração do escoameno suberrâneo com águas superfcas, por sua vez, é represenada por meo do balanço hídrco fornecendo uma avalação da coa do espelho em função de dversos cenáros. A modelagem a segur ulza, anda, a meodologa de cálculo apresenada nos capíulos 3 e, conrbundo, assm, com mas um aspeco nédo no esudo dos mpacos físcos do proeo. 5.. Modelo Conceual

174 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 7 O Aqüífero Barreras esende-se por uma longa faxa que exrapola a área de esudo com largura aproxmadamene consane e gual a 5km. As froneras panorâmcas do aqüífero, em oda sua exensão, são dados pela lnha de cosa e pelo aflorameno do crsalno. O aqüífero é composo por duas formações Barreras e Dunas deposadas homogeneamene sobre uma formação mpermeável localzada aproxmadamene à coa de -m em relação ao nível do mar. O opo do aqüífero concde com a opografa do erreno e a superfíce poencomérca aflora sobre o erreno aravés dos corpos de água. Embora os dversos esudos de monorameno apresenem varação espacal em suas esmavas de conduvdades e espessuras no conexo da Formação Barreras e.g. Perera,, grande pare dos auores conclu pela homogenedade hdráulca do meo. Por ouro lado, dversos auores gualmene concluem pela homogenedade do conuno Dunas/Barreras. Enreano, dado que as varações espacas cadas ocorrem em orno de valore dferenes nas Barreras e nas Dunas, o modelo conceual dese rabalho defne, hdraulcamene, ambas formações de manera dsna. A enrada de água no ssema aqüífero, por sua vez, ocorre, predomnanemene, por meo da nflração drea de chuvas. A varabldade da axa de recarga ocorre em função dos dversos usos e ocupações pracados sobre o solo. No enano, conforme caraceríscas levanadas sobre a área, não são observadas presenças sgnfcavas de regões mpermeablzadas, ou anda de regões rrgadas. Por ouro lado, a presença de vegeação rasa e arbórea em áreas dsnas, embora sgnfcava, não possu esudos de evaporanspração real. Assm, a recarga do ssema é defnda unformemene dsrbuída e será calbrada no modelo em função da poencomera obda em Perera. 5.. Base de Dados Esmavas de parâmeros hdráulcos do escoameno, das condções do escoameno na fronera, ec. demandam avdades de monorameno do aqüífero e seus conornos, bem como da hdromeeorologa e do comporameno de seus usuáros uso/ocupação dos solos. Os dados apresenados nesa seção consuem-se na base de dados ulzada na almenação do modelo compuaconal propramene do. No Ro Grande do Nore, dversos órgãos êm cumprdo as arefas de monorameno dos seus ssemas hídrcos. Por nermédo desses órgãos em-se levanado a base de dados necessára para a consrução do modelo compuaconal Tabela 5... A base carográfca dese rabalho fo obda a parr do Plano Esadual de Recursos Hídrcos Hdroservce, 998

175 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM 73 e da Supernendênca de Desenvolvmeno do Nordese SUDENE, 983a,b. O hsórco dos volumes de água produzdos no ssema de capação fo obdo na Companha de Águas e Esgoos do RN CAERN, 9, enquano os dados de monorameno foram obdos na SERHID 9. Os dados hdromeeorológco, por sua vez, foram coleados na Empresa de Pesqusa Agropecuára do Esado EMPARN, 9, na Unversdade Federal do RN Esação Clmaológca da UFRN, 9 e no Comando Aéreo de Trenameno de Parnamrm CATRE, 9. Tabela 5.. Bases de dados ulzadas para o rabalho Tema Base Denomnação Auor Daa/ Período Hdrografa Carográfca Caracerzação Hdrogeológca dos Hdroservce 998 Aqüíferos do RN. Topografa Carográfca Cara Topográfca Folhas Naal SB 5-V-C-V e São José de Mpbu SB 5-Y-A-II e SB 5-Y-A-III. Uso e Ocupação do Solo Formações geológcas Monorameno Hdrogeológco SUDENE 983a,b,c Carográfca Mapa de uso e ocupação do solo. Hdroservce 998 Carográfca Carográfca Caracerzação Hdrogeológca dos Aqüíferos do RN. Mapa poencomérco do aqüífero lvre da regão do Bonfm RN. Hdroservce 998 Perera Tabular Pezomera dos poços e do ssema de lagoas. * SERHID 999- Monorameno Hdromeeorológco Tabular Pluvomera dára de Nísa EMPARN 99- Floresa. * Clmaologa dára de Naal. * Esação Clmaológca da UFRN 99- Clmaologa mensal de Parnamrm. * Monorameno Tabular Volumes mensas produzdos para Operaconal a aduora Trar/Poeng. * * Informações ceddas medane solcação por ofco. 9 Informação cedda medane solcação por ofco.

176 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos Modelo Compuaconal A consrução do modelo compuaconal de águas suberrânea da área de esudo é fea ulzando-se o Méodo de Elemenos Analícos capíulo 3 adapado a sem-planos capíulo. Foram ulzados os programas GNU TmSL.3 esenddo seção 3.5 e o programa apresenado no capíulo aneror seção.. Observando-se o fao de que as lnhas da cosa e do aflorameno seguem a mesma endênca durane um recho basane longo, o domíno do modelo é caracerzado por duas lnhas reas paralelas Fgura 5... Nesse prmero momeno, é fea uma abordagem panorâmca do aqüífero esudado, não sendo, anda, abordada a escala da área de esudo ver desaque feo pelas lnhas raceadas na Fgura 5... Lnha cosera Aflorameno do crsalno Fgura 5.. Aproxmação geomérca do Aqüífero Barreras próxmo à Área de Esudo Na abordagem panorâmca, as propredades do aqüífero e sua recarga são represenadas unformemene dsrbuídas. Pode-se observar que, nesa eapa da consrução do modelo, o aqüífero é abordado de uma manera basane smplfcada. Maemacamene, é represenado apenas o efeo do escoameno devdo à recarga panorâmca, expresso pela fórmula do escoameno undmensonal enre dos drenos seção.3. Os parâmeros adoados nesa eapa

177 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM 75 da modelagem foram obdos em esudos anerores e.g. Perera, e Melo e Feosa, 998. A axa de recarga, no enano, é avalada nese rabalho por meo da calbração da poencomera aneror à mplanação do ssema. A represenação dos efeos produzdos na área de esudo consu a segunda eapa da consrução do modelo compuaconal. Nessa eapa é fea a aplcação de Elemenos Analícos ao modelo. A Formação Dunas e a hdrografa local são represenadas por meo de elemenos relíneos, exceo as pequenas lagoas à lese da Lagoa do Bonfm, que são represenadas por elemenos dpolo e poço. A Formação Dunas apresena uma conduvdade hdráulca méda dferencada da Formação Barreras e.g. Perera, e Melo e Feosa, 998. Dessa forma, os conornos da Formação Dunas são represenados por meo de elemenos lnedoubles. A represenação de rachos, lagoas e poços da regão é fea ulzando-se elemenos lnesnks. São dsposos lnesnks sobre a Lagoa do Bonfm e a hdrografa próxma à Lagoa aé uma dsânca pragmacamene arbrada em km na dreção longudnal do aqüífero. A condção de conorno ulzada nos rachos é do prmero po, ou sea, cargas pezomércas conhecdas ao longo do corpo hídrco. Os valores ulzados são rerados das coas opográfcas das margens dos cursos de água. A dsposção dos elemenos ulzados é lusrada na Fgura 5... Os elemenos ulzados na represenação da Lagoa do Bonfm, mpõem ao escoameno a condção do segundo po. Dessa forma, o balanço hídrco da Lagoa, obdo dos dados hdromeeorológcos coleados nese rabalho ver seção 5.., é mposo sobre o escoameno. De manera semelhane, é mposo o balanço hídrco amosférco das demas lagoas do complexo, no enano, os elemenos ulzados são as funções dpolo e poço. Os poços de bombeameno, por sua vez, da mesma forma, mpõem seu efeo sobre o modelo por meo da função poço ulzando-se valores de vazões de bombeameno conhecdas. Foram ulzados nese modelo 576 elemenos de segunda ordem. Assm, são resolvdas 99 ncógnas correspondenes aos esforços naqueles elemenos cuos parâmeros não são conhecdos a pror. Ulza-se, anda, rês ponos de conrole por elemeno relíneo, sobrespecfcando os elemenos e oalzando-se 83 equações. O arquvo de enrada para as smulações feas a segur enconra-se no CD em anexo.

178 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 76 Fgura 5.. Dsposção de Elemenos Analícos sobre a Área de Esudo

179 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Calbração O valor de recarga regonal fo obdo de forma a calbrar o nível de água da Lagoa do Bonfm. Basa, ulzando um modelo de balanço hídrco de reservaóros, smulou o comporameno do nível de água na Lagoa do Bonfm para a sére hsórca de precpações da regão. Em seu esudo fo enconrado um valor médo da coa do espelho de aproxmadamene,65m, porano, a coa a ser ulzada na calbração da recarga. O modelo fo consruído conforme descro na seção 5..3 e os dados foram ulzados de acordo com os valores apresenados na Tabela 5.., exraídos de rabalhos anerores e.g. Perera, e Melo e Feosa, 998. É consderada, anda, uma axa de evaporanspração poencal sobre o espelho de água das lagoas de 6,3mm/mês. Dessa forma, a axa de recarga fo calbrada em, mm/mês, fornecendo a coa de espelho deseada na Lagoa do Bonfm. Ese valor é 5% superor ao ulzado dos rabalhos anerores, no enano, consderando-se a escassez de esudos acerca dese parâmero, o valor aqu obdo pode ser ulzado como uma verfcação de sua ordem de grandeza. Tabela 5.. Valores de Parâmeros Hdrogeológcos Dsponíves na Leraura Meo Conduvdade m/mês Coa da base m Porosdade % Taxa de Recarga mm/mês Formação Barreras 3, -,, 8, Formação Dunas 3, -, 3, 8, Embora poencomeras verfcadas em campo confgurem um nsane parcular de um escoameno em regme não-permanene, os dados hdromeeorológcos regsrados durane o esudo de Perera são próxmos dos valores médos. Assm, a poencomera obda é confronada com a poencomera de Perera na Fgura Muo embora, a resposa obda do modelo não reproduza a superfíce poencomérca em oda a área de esudo, a poencomera smulada reproduz o ssema de fluxo denfcado em campo. Regões onde a smulação apresena dferenças a parr do comporameno observado são represenavas de heerogenedades do meo não caracerzadas nas nvesgações anerores e, porano, não declaradas ao modelo.

180 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 78 Fgura 5..3 Comparação enre a Poencomera Smulada lnha raceada e a Monorada lnha conínua na Área de Esudo

181 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM Resulados e Dscussões Esa seção enconra-se dvdda em duas pares. Na prmera, a mgação do mpaco da capação sobre a Lagoa do Bonfm por meo de poços suplemenares é avalada. Em seguda, a ocorrênca de um eveno hdrológco exremo é dscuda a fm de se denfcar o mpaco do proeo sob condções nauras exremas Avalação da Mgação do Impaco sobre a Lagoa do Bonfm Vsando uma avalação da nfluênca da mplanação da prmera baera de poços auxlares do Ssema Aduor Agrese/Trar/Poeng sobre o espelho de água da Lagoa do Bonfm, são consderados dos cenáros. No prmero cenáro é smulada a poencomera da regão consderando-se a capação apenas na Lagoa. No segundo cenáro é nroduzdo o bombeameno dos poços ver Tabela 5..3 e ulzado o valor médo dos volumes bombeados na Lagoa após o níco da operação dos poços. Assm, no prmero cenáro, é ulzado o volume médo produzdo na Lagoa durane Nov/98 a Ma/ Q 5. m 3 /mês e no segundo cenáro, o volume produzdo na Lagoa, enre Jul/ e Mar/ Q 8.6, m 3 /mês. Os volumes médos bombeados em cada poço, durane o mesmo período, são apresenados na Tabela Tabela 5..3 Localzação e Vazões de Bombeameno dos Poços da Aduora Poços UTM E m UTM N m Vazões m 3 /mês 58, 9399, 8, 53673, , 7, , ,8 396, 577, 93376,6 35, , 93337, 597, , ,6 5, , 9398,,

182 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 Fgura 5.. Comparação enre a Poencomera do Cenáros Esaconáros da Capação apenas na Lagoa lnhas raceadas e da Capação Msa lnhas conínuas.

183 IMPACTO DA CAPTAÇÃO DA ADUTORA AGRESTE/TRAIRI/POTENGI SOBRE A LAGOA DO BONFIM 8 A dsrbução obda em ambos cenáros é lusrada na Fgura 5... Em ambos cenáros são enconrados valores anda não confrmados pelo monorameno aual da Lagoa. Somene uma calbração das porosdades das Dunas e das Barreras permra uma avalação do empo necessáro para a esablzação da poencomera após a mplanação do proeo, promovendo-se assm a verfcação do modelo. Enreano, embora a avalação de cenáros em regme esaconáro não necesse de dados de porosdade, o resulado pode ser ulzado como avalação endo em vsa a redução méda do espelho de água da Lagoa observada de aproxmadamene dos meros em ses anos de operação. Devdo à exensão do escoameno, o empo necessáro para o esabelecmeno do escoameno orgnado pela capação pode ser anda maor. Na Fgura 5.., apresena-se, a smulação da poencomera esaconára obda da capação smples da Lagoa lnhas raceadas e da capação msa lnhas conínuas, nroduzndo-se o bombeameno dos poços. Em ambos cenáros, observa-se coas poencomércas nferores àquelas smuladas com sem a presença da capação Fgura 5..3, lnhas raceadas. No prmero cenáro, represenando a confguração orgnal do proeo capação smples, obém-se uma dferença máxma de 6,8m, localzada sobre o espelho de água da Lagoa. No segundo cenáro, confgurando a ação mgadora prevsa no proeo suplemenação da capação por meo de poços, obém-se uma leve recuperação do espelho de água de,8m após angr novamene o regme esaconáro Avalação do Impaco Devdo à Ausênca de Recarga Drea na Regão Consderando a ocorrênca de secas na regão, é avalado agora o mpaco da capação sob um cenáro onde não ocorre recarga do aqüífero. A seca avalada refere-se a um período de dos meses onde é smulada a ausênca oal de precpação na área de esudo. Assm, a parr do regme esaconáro do bombeameno do Ssema Lacusre, é smulada a ocorrênca da seca. Embora a esação seca da regão sea compreendda durane odo verão e níco do ouono em méda quaro meses, o período compreenddo pela smulação enconra resrções devdo ao grande empo de processameno demandado pela formulação ransene do Méodo de Elemenos Analícos ver seção.5. Os resulados, lusrados na Fgura 5..6, permem vsualzar mudanças na poencomera devdo ao processo de reconfguração do escoameno no nsane que a seca ange dos meses de duração. Nesse nsane, observa-se um acréscmo no rebaxameno permanene do espelho de água da Lagoa o Bonfm de aproxmadamene,5 m. Com a

184 Modelagem em Aqüíferos Longos Baseada em Elemenos Analícos 8 connuação do eveno, valores anda maores poderão ser enconrados, enreano, o resulado apresena-se com a mesma ordem de grandeza enconrada em monoramenos lmnmércos enre anero e março de ver Fgura As dscrepâncas enre o resulado e a redução observada podem ser devdas à ocorrênca de recargas anda no níco de anero. Fgura 5..5 Poencomera Comparava do Cenáro Permanene lnhas raceadas e do Cenáro Transene Devdo à Seca lnhas conínuas. Período Jan/ a Mar/,8,75,7,7 Nível de água,65,6,55,5,5,, das Fgura 5..6 Redução do Nível do Espelho de Água da Lagoa do Bonfm enre Janero e Março de Fone: SERHID