FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO BASEADA NA MECÂNICA DO MEIO CONTÍNUO PARA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA.

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1 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MÉODO DOS ELEMENOS DE CONORNO BASEADA NA MECÂNICA DO MEIO CONÍNUO PARA NÃO LINEARIDADE GEOMÉRICA Flavo Cezaro ESE SUBMEIDA AO CORPO DOCENE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARE DOS REQUISIOS NECESSÁRIOS PARA A OBENÇÃO DO GRAU DE MESRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Aprovada por: Prof. José Anôno Fones Sanago, D.Sc. Prof. Robero Fernandes de Olvera, D.Sc. Prof. José Clado de Fara elles, Ph.D. Prof. Fernando Amorm de Pala, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL AGOSO DE 4

2 CEZARIO, FLAVIO Formlação Clássca do Méodo dos Elemenos de Conorno Baseada na Mecânca do Meo Coníno para Não Lneardade Geomérca [Ro de janero] 4 XII, 74 p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenhara Cvl, 4). ese Unversdade Federal do Ro de Janero, COPPE.. Não Lneardade Geomérca. Méodo dos Elemenos de Conorno I. COPPE/UFRJ II. ílo (sére).

3 A Des, eerno companhero, e aos mes Pas, amgos de jornada.

4 AGRADECIMENOS Nese momeno em qe ma grande realzação esá preses a aconecer, dfícl é sporar a amanha sasfação qe me nvade a alma, sem a companha daqeles qe do enfrenaram comgo drane ese camnho árdo, mas compensador. A eses, era qe oferecer o qe mas enho de precoso, mes melhores senmenos, mas as palavras nem sempre são sfcenes para demonsrá-los em sa preza. eno mesmo assm. A Des, a presença nos momenos de rseza, de desespero, de medo, mas ambém nos de alegra, de sasfação, de vóra. Aos professores Sanago e Robero, a dedcação, a pacênca, o exemplo, a crença, a honesdade e a amzade qe me deram neses dos anos e meo de rabalho, esdo e pesqsa. A companha de vocês me rende m cke para m rem chamado FUURO. Mo obrgado! Aos demas professores do mesrado, Fernando, aborda, elles, Webe, Carrer, Breno, aqele abraço! Aos mes colegas de mesrado, Jonylson, os dos Brnos, Gabrela, Lcano, Vvan, Robera e os demas, qe aq não co, mas qe não há como esqecê-los, m mo obrgado pela convvênca e pelas las dáras. Ao Leonardo, amgo de fé e rmão camarada, vale! Vale pela pacênca e pela ajda em odos os momenos do mesrado. Vale! Aos amgos Danlo e Palo, companheros de gradação, companheros de vda, m abraço fore por do o qe fo comparlhado desde o da em qe nos conhecemos. Aos amgos do peo, Carlos, Rbens, Agosnho e Edardo, pela pacênca nos das em qe dexamos de er aqele noada, aqele programa. Um abraço fore! E por fm, aqeles qe me em em sas orações e em ses corações. Aos mes pas, à mnha namorada e à mnha sogra, mnha eerna gradão e me carnho pelas energas, pelos conselhos e pelo amor qe me oferam odos os das. v

5 Resmo da ese apresenada à COPPE/UFRJ como pare dos reqsos necessáros para a obenção do gra de Mesre em Cêncas (M.Sc.) FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MÉODO DOS ELEMENOS DE CONORNO NA MECÂNICA DO MEIO CONÍNUO PARA NÃO LINEARIDADE GEOMÉRICA Flavo Cezaro Agoso/4 Orenadores: José Anôno Fones Sanago Robero Fernandes de Olvera Programa: Engenhara Cvl O presene rabalho consse de ma análse elásca bdmensonal em problemas conendo deformações específcas fnas e grandes deslocamenos, sando o Méodo dos Elemenos de Conorno (MEC). Prmeramene apresenamos os ensores sados na formlação Lagrangeana da Mecânca do Meo Coníno, necessáros para a elaboração do MEC em problemas de elascdade envolvendo não lneardade geomérca. Nese rabalho adoamos a le de Hooke e a solção fndamenal de Kelvn. Em segda descrevemos as écncas nmércas elaboradas para a obenção da solção aravés de m processo eravo, necessáro na mplemenação nmérca do MEC. Para esabelecermos a formlação clássca do méodo na sa forma marcal é lzado o méodo da colocação. v

6 Absrac of hess presened o COPPE/UFRJ as a paral flfllmen of he reqremens for he degree of Maser of Scence (M.Sc.) CLASSIC FORMULAION OF HE BOUNDARY ELEMEN MEHOD IN MECHANICS OF CONINUUM MEDIUM FOR GEOMERICAL NON LINEARIY Flavo Cezaro Ags/4 Advsors: José Anôno Fones Sanago Robero Fernandes de Olvera Deparmen: Cvl Engneerng he presen work deals wh he analyss of wo dmensonal elasc problems wh fne srans and large dsplacemens by he Bondary Elemens Mehod (BEM). We presen he ensors sed n he Lagrangean formlaon of Connm Mechancs. hese ensors are employed n formlaon of BEM for elasc problems wh geomerc non-lneares. In hs work we adop he Hooke s law and he Kelvn s fndamenal solon. Aferwards, we descrbe he nmercal echnqes n order o oban he solon hrogh an erave process, necessary n he nmercal mplemenaon of BEM. he Collocaon Mehod s sed o esablsh he marces of he classcal formlaon of he mehod. v

7 ÍNDICE CAPÍULO I - INRODUÇÃO CAPÍULO II - DEFINIÇÕES EÓRICAS NA MECÂNICA DO MEIO CONÍNUO II. - Mecânca do Meo Coníno II. - Elascdade Fna II.. - ensor Gradene da Deformação II.. - ensor de Deformações de Lagrange II..3 - ensores de ensões e as Eqações Governanes do Problema II.3 - Eqações Incremenas CAPÍULO III - FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MEC III. - Formlação do MEC Baseada na Mecânca do Meo Coníno III. - Forma Dscrezada do MEC CAPÍULO IV - PROCEDIMENOS NUMÉRICOS IV. Inrodção IV. - Avalação das Inegras de Conorno IV.3 - Avalação da Inegral de Domíno IV.3. Céllas ranglares Lneares IV.3. ermos do Veor Não-Lnear IV.3.3 Inegração Nmérca IV.4 Processo Incremenal e Ieravo CAPÍULO V EXEMPLOS V. Chapa qadrada sjea a ração smples v

8 V. Clndro vazado sjeo a pressões nernas CAPÍULO VI - CONCLUSÕES E SUGESÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A APÊNDICE B v

9 ÍNDICE DE FIGURAS Fgra Deformação de m elemeno nfnesmal Fgra Represenação gráfca dos ensores de ensão de Pola-Krchhoff Fgra 3 Represenação gráfca da deformação de m corpo genérco Fgra 4 Corpo genérco em sa confgração ncal Fgra 5 Corpo genérco condo no corpo padrão Fgra 6 Célla ranglar paramerzada Fgra 7 Célla ranglar snglar Fgra 8 Célla ranglar não snglar Fgra 9 Chapa qadrada sjea a ração smples Fgra Modelo de dscrezação Fgra Modelo de dscrezação Fgra Modelo 3 de dscrezação Fgra 3 Erro relavo para cada número de ncremeno analsado Fgra 4 Deformação não-lnear Fgra 5 Convergênca para análse c/ DEA Fgra 6 Convergênca para análse s/ DEA Fgra 7 Clndro vazado sjeo a pressões nernas Fgra 8 Modelo de dscrezação Fgra 9 Modelo de dscrezação Fgra Modelo 3 de dscrezação Fgra Comporameno não lnear Fgra Convergênca para análse c/dea Fgra 3 Convergênca para análse s/dea ÍNDICE DE ABELAS abela Algormo para mplemenação da não-lneardade geomérca abela Deslocamenos obdos para os rês modelos apresenados abela 3 Deslocamenos obdos para os rês modelos apresenados x

10 LISA DE SÍMBOLOS [A] A a B b b b Marz dos coefcenes do ssema do Méodo dos Elemenos de Conorno Área da célla ranglar. Valor obdo das coordenadas em x dos vérces da célla ranglar. ensor deformação de Cachy Green esqerdo B F F. Força de volme no domíno deformado, referencada ao ndeformada. Força de volme no domíno nfno modelada pela fnção dela de Drac. Valor obdo das coordenadas em y dos vérces da célla ranglar. C ensor deformação de Cachy Green dreo C F F. C [c] DEA da da dp ensor elásco de 4ª ordem. Marz obda em fnção do conorno do problema analsado. Deformação do elemeno de área. Elemeno de área deformado. Elemeno de área ndeformado. Veor força nfnesmal. ~ d P ~ Veor força nfnesmal relaconado ao veor dp pelo ensor F dp F dp dx Veor nfnesmal espacal. dx Veor nfnesmal maeral. ds Módlo do veor nfnesmal espacal ds dx. ds Módlo do veor nfnesmal maeral ds dx. E ensor deformação de Green o Lagrange. k n E Erro calclado na eração n do ncremeno k. E Espaço ecldano. F ensor gradene da deformação F x.. F Inverso do ensor do gradene da deformação F xx f [G] G [H] J Veor dos valores prescros. Marz formada pela negração do deslocameno fndamenal no conorno. Módlo de elascdade ransversal. Marz formada pela negração da força de sperfíce fndamenal no conorno. Deermnane do ensor F Jacobano da ransformação. x

11 k M M Nˆ NC NE Nnc nˆ n P p p p Confgrações do corpo. Veor formado pela negração das componenes do veor não-lnear. Veor não lnear. Veor náro normal exerno ao conorno ndeformado. Número de céllas. Número de elemenos. Número de nós no conorno. Veor náro normal exerno ao conorno deformado. Número de erações. Pono qalqer na célla ranglar. Força de sperfíce na confgração deformada. Força de sperfíce na confgração deformada, referencada a ndeformada. Força de sperfíce fndamenal. p R Força de sperfíce prescra. ensor roação. R ( φ) Valor correspondene ao comprmeno do veor r em relação ao lado da célla r ranglar onde são dsrbídos os ponos de Gass para negração. Dsânca enre o pono fone e o pono campo. ensor de ensões de Cachy. ensor de ensões de Cachy no domíno nfno.. ensor de ensões de Pola-Krchhoff J F ~ ~ ensor de ensões de Pola-Krchhoff ( ) F. empo e número de ncremenos. Veor deslocameno. Deslocameno fndamenal. Deslocameno prescro. U ensor elongação dreo U C. V ensor elongação esqerdo V B. X Veor posção maeral. X Paríclas o ponos maeras (coníno), e o pono fone (MEC). x Veor posção espacal. x

12 α,α Ânglos represenados na fgra B, snglardade no conorno (, ). β Ânglo enre dos elemenos lneares no conorno - Fgra B. χ δ j ( ξ, X) Varável qalqer lzada para expressar ma qandade ncremenal. Dela de Kronecker. Incremeno de ma qandade ensoral o veoral (qando precede m ensor e veor). δ Dela de Drac. x Incremeno do veor formado pelos valores nodas de e p. ε,ε Rao do círclo cenrado em ξ e componenes nas dreções x e y (fg B-). ε ε ensor de deformação nfnesmal. ensor de deformação nfnesmal no domíno nfno. φ,φ Ânglos formados pelo veor r e a dreção x (,, 3) - (fgs. 7 e 8). Γ Φ Φ η Γ Γ λ Veor das fnções de nerpolação do conorno. Veor das fnções de nerpolação do domíno. Coordenadas naras (fg. 6) e fnções de nerpolação da célla ranglar. Conorno de m problema qalqer. Conorno do domíno do problema nfno. Consane de Lamé. µ Consane de Lamé de valor gal a G. ν θ ξ Coefcene de Posson. Ânglo represenado na fgra B, snglardade no conorno. Pono fone. Domíno de m problema qalqer. Domíno do problema nfno. Ψ Deslocameno fndamenal em fnção do ânglo φ. x Operador dferencal em coordenadas maeras. Operador dferencal em coordenadas espacas. x

13 CAPÍULO I INRODUÇÃO A análse lnear de sóldos já é basane comm no campo da engenhara esrral, ses prncípos e eqações governanes foram esabelecdos e aprmorados ao longo do empo, e hoje somos capazes, com relava facldade, de avalar m problema elásco de grande complexdade. Condo não podemos dzer qe odos os esdos nese campo se enconram esgoados, pos o avanço a novos campos do conhecmeno do comporameno esrral conna a ser realzado. A análse não-lnear é m deses campos, anda conendo descoberas a serem feas e repleo de nformações sobre o comporameno dos corpos sóldos. No rabalho qe apresenamos a segr, decdmos acrescenar algo a ese ramo do conhecmeno esrral e nenamos desenvolver ma formlação eórca e nmérca para o esdo do comporameno elásco não-lnear (não-lneardade geomérca) bdmensonal de corpos sóldos sando o Méodo dos Elemenos de Conorno (MEC). Desa forma, começamos com ma formlação eórca baseada na Mecânca do Meo Coníno, consderando como conceos báscos o srgmeno de grandes deslocamenos e deformações fnas, em qe não é mas válda a mposção do esado de eqlíbro à confgração ndeformada do sóldo como nos casos de comporameno lnear. Em segda, parndo do prncípo qe esas hpóeses dfclam ma solção analíca para a análse do problema, qando o mesmo começa a se ornar mas complexo, desenvolvemos ma formlação nmérca ncremenal e erava para o MEC, qe alada a ma mplemenação compaconal resolve de forma aproxmada, mas efcene, o nosso problema. Hsorcamene, segndo PRIEO e al. (998) esdos nese assno começaram a aparecer em 98 com a pblcação de NOVAI e BREBBIA (98), sando a Formlação Lagrangeana oal (o oal Lagrangean Formlaon, qe consdera varáves oas referenes ao esado ncal o ndeformado) para problemas eláscos e esácos geomercamene não lneares e le consva baseada na le de Hooke. Um ano depos aparece oro rabalho pblcado por CHANDRA e MUKHERJEE (983) sando a Formlação Lagrangeana Aalzada (o Updaed Lagrangean Formlaon,

14 com varáves calcladas em fnção do úlmo esado de deformação) para problemas elasopláscos e vscoeláscos. Não menos mporane qe os dos prmeros, JIN e al. (988) reconsderaram os problemas elasopláscos e apresenaram ma formlação Lagrangeana Aalzada Aproxmada (o Updaed Lagrangean Approach Formlaon) qe levo a ma eqação do rabalho vral não-lnear em cada ncremeno a qal era resolvda por eração. E, m mas recene (PRIEO e al., 998), para problemas eláscos e esácos lzando a mesma formlação qe NOVAI e BREBBIA (98) lzaram. O presene esdo esá organzado da segne forma: na formlação eórca ncamos o desenvolvmeno a parr da apresenação de veores e ensores na Formlação Lagrangeana descros pela Mecânca do Coníno. Em segda apresenamos as relações deslocameno-deformação e ensão-deformação, gerando assm as eqações qe regem os esados de eqlíbro do corpo drane sa movmenação. Para ermnarmos o prmero passo fornecemos ma formlação ncremenal a parr dos ensores e das relações já descras. No segndo passo, desenvolvemos a formlação nmérca parndo do eorema da Recprocdade (BREBBIA e al., 984), aplcado ao problema eqaconado maemacamene pela eora raçada em comparação com m corpo nfno padrão, e geramos as eqações analícas do MEC para problemas de não lneardade geomérca empregando solções fndamenas de Kelvn. ransformando o problema ora coníno em dscreo, apresenamos a meodologa para a sa mplemenação nmérca, a parr do programa de análse elásca lnear (BREBBIA e al., 984), e por fm, conclímos nosso rabalho, confronando os reslados obdos de problemas analsados, com os obdos na lerara.

15 CAPÍULO II DEFINIÇÕES EÓRICAS DA MECÂNICA DO MEIO CONÍNUO Nese capílo, baseados na eora da elascdade fna, ópco da mecânca do meo coníno, apresenamos as defnções eórcas necessáras para o desenvolvmeno da formlação do MEC. Assm, defnmos os ensores e as eqações qe governam m corpo sóldo qe sofre grandes deformações eláscas. II. - Mecânca do Meo Coníno Qando analsamos m problema qalqer (sóldo e fldo) baseando-nos em conceos da mecânca do meo coníno, levamos em consderação sa formação conína, o seja, sem espaços vazos o fendas, desconsderando sa consção moleclar. rabalhando sob ese conceo podemos, ambém, spor qe odas as fnções maemácas qe enram na eora são fnções conínas, exceo em m número fno de ponos do neror de sperfíces qe separam regões de conndade (MALVERN, 969). Assm, a aplcação de sa eora abrange m conjno enorme de problemas, sendo capaz de avalar dsrbções não nformes de ensões e concomanemene vsalzar faclmene o modelo físco, permndo a análse maemáca ser gada por nção (MALVERN, 969). São neses conceos fndamenas qe nos basearemos para modelar nosso problema e obermos os grandes deslocamenos. Os problemas analsados são vsos pela mecânca do coníno como corpos maeras defndos como m conjno de paríclas o ponos maeras X, os qas possem ma correspondênca bnívoca com os ponos de ma regão reglar Γ de m espaço Ecldano E. Esas regões, qando relaconadas com os ponos maeras, referdos a ma orgem fxa de m ssema de coordenadas escolhdo, ambém são chamadas de confgrações do corpo. A cada nsane de empo há ma mdança de confgração, reslado de m deslocameno, qe pode ser m movmeno de corpo rígdo, acompanhado o não de deformação. MASE e MASE (99), defnem o movmeno dese corpo como ma seqüênca de deslocamenos conínos no empo 3

16 qe carrega o conjno de paríclas X em váras confgrações em m espaço esaconáro. Segndo MALVERN (969), RUESDELL (965) apresena qaro descrções do movmeno de m corpo qe são: maeral, referencal, espacal e relava. Porém, como o presene rabalho enfoca as descrções referencal e espacal, defnremos apenas esas das. Descrção referencal: consdera como varáves ndependenes o veor posção X das paríclas em ma confgração referencal arbrára escolhda, e o empo. Mo empregada em problemas de elascdade, esa descrção recebe o nome de descrção Lagrangeana qando o empo é nlo. Podemos dzer qe o corpo se enconra na confgração ncal o ndeformada e qe esa confgração é escolhda como referencal. É a parr desa descrção qe desenvolveremos ese rabalho. ambém é chamada de descrção maeral qando consderamos a parícla X aravés de se veor posção X. Descrção espacal: consdera como varáves ndependenes o veor posção x, denomnado veor posção espacal da parícla X em m empo, e o empo aal. Esa descrção ambém é conhecda como descrção Elerana e é mo empregada em problemas de mecânca dos fldos. Apresenamos esa descrção porqe ensores e veores qe serão apresenados em ópcos sbseqüenes esão nela descros. A parr das descrções acma defndas apresenamos a segne expressão: ( X, ) x x, () qe explca o movmeno, o deformação de m corpo, aravés da relação enre as posções ncal o referencal e a espacal o aal de ma parícla o de m conjno delas qe o consem, defndas respecvamene pelos veores X e x. A análse do problema de grandes deslocamenos abrange m conjno de ensores qe fornecem, cada m, nformações mporanes para o esdo dealhado do comporameno do corpo solcado. Podemos escrever ma expressão do deslocameno em fnção dos veores posções maeral e espacal e anda represená-lo aravés da fgra, abaxo: 4

17 x X, () X, x dx dx X x X, x Fgra Deformação de m elemeno nfnesmal onde represena o veor deslocameno e, na fgra, dx represena m veor nfnesmal maeral e dx m veor nfnesmal espacal. II. - Elascdade Fna Incando o desenvolvmeno dese ópco, caracerzando ma análse elásca fna, a mecânca do coníno consdera qe as componenes do gradene do deslocameno não são peqenas em comparação à ndade (MALVERN, 969); porano, o problema de caracerzação das deformações ao esado ncal é mas dfícl qe no caso das peqenas deformações, ornando-se necessára ma análse mas rgorosa do problema. Como ese rabalho objeva ma análse bdmensonal elásca no campo fno (deslocamenos, roações e deformações fnas), far-se-á so da Formlação Lagrangeana (descrção maeral) e odos os ensores serão apresenados nesa formlação. A represenação smbólca sada será com leras maúsclas (marzes) e mnúsclas (veores) em negro, com exceção de algmas endades qe serão defndas drane ese exo. Desa forma, passemos à defnção dos ensores da formlação Lagrangeana. II.. - ensor Gradene da Deformação Como prmero ensor desa formlação, o ensor gradene da deformação F, responsável pela qanfcação das alerações no amanho e na forma de m corpo, 5

18 devdo ao movmeno o deformação (COIMBRA, 978), é expresso como o gradene das coordenadas espacas x de m veor posção no empo, em relação à confgração ndeformada (coordenadas maeras) o ncal adoada, mosrado abaxo: F x, (3) o anda, como o responsável pela segne operação: d x F dx, (4) onde o ensor opera ma ransformação de m veor nfnesmal maeral dx no pono X em m espacal dx no pono x na confgração deformada. De acordo com MALVERN (969), a mporânca do ensor F é sa capacdade de fornecer mas nformações sobre o movmeno do qe oros ensores da formlação, mas so pode ser ma desvanagem, já qe ele ncl ano roação como deformação, sendo necessáro o emprego de ma eqação consva bem consrída qe não perma qe seja gerada ensão drane ma roação de corpo rígdo: ma smples relação ensão-deformação lnear e homogênea aende esa condção, e é esa qe saremos em nosso problema, como veremos mas à frene. Oro ensor, ambém mporane para o desenvolvmeno dese rabalho, relaconado ao ensor F da Formlação Lagrangeana, é chamado de ensor nverso do ensor gradene da deformação F, na Formlação Elerana, desde qe de expresso em relação às coordenadas espacas, na segne forma: F, F xx (5) dx F dx. (6) O deermnane de F é represenado por: J de F (7) 6

19 II.. ensor de Deformações de Lagrange Prossegndo com as defnções de ensores, o ensor deformação de Lagrange o Green E, defndo como o responsável pela medda da mdança no comprmeno de m elemeno nfnesmal maeral dx do corpo analsado, é expresso da segne forma: ( ds) ( ds) dx EdX, (8) onde ds e ds represenam, respecvamene, o módlo dos veores dx e dx: ds dx e ds dx. (9) Ulzando-se desa úlma defnção e da eq. (4) do ensor gradene da deformação, chegamos, a parr da eq. (8), à segne expressão: E ( F F I). () Noa-se qe esa lma eqação nrodz m novo ensor formado pelo prodo F F. Ese ensor, represenado por C e chamado de ensor de Cachy-Green dreo, é smérco e posvo defndo. Desa forma, afrmamos qe o ensor E ambém o é. Assocado ao ensor C, emos o ensor de Cachy-Green esqerdo B, ambém smérco, posvo defndo, dado por B F F. Para enconrarmos a expressão do ensor de deformações em fnção dos deslocamenos, como no caso nfnesmal, fazemos so da eq. () e a sbsímos na eq. (), gerando, assm, a eqação desejada. Enão, emos: E ( ( ) ( ) ), () o anda, em coordenadas caresanas: 7

20 ( k, k, j ), () j k k E j, j j, X j X X X j II..3 ensores de ensões e as Eqações Governanes do Problema Qando rabalhamos com ma análse nfnesmal de m corpo, geramos as eqações necessáras (de eqlíbro e consva) e empregamos nas mesmas o ensor de ensões de Cachy. Enreano, nesa análse não há ma separação vsível enre posções referencas e espacas, e porano, ano faz dzer qe o ensor é referencado à confgração ndeformada o deformada. Porém, qando a análse elásca é fna, o ensor é defndo como m ensor smérco relaconado a ma posção espacal x. Desa forma, fca claro qe as eqações geradas a parr dele aplcam-se à confgração deformada. O nosso esdo é baseado na formlação Lagrangeana, porano, odos os ensores devem ser escros nela, o seja, em fnção de ma posção maeral X. Por esa razão o emprego de não é correo. O prmero ensor de ensões de Pola-Krchhoff (algmas vezes ambém chamado de ensor de ensões de Lagrange) (MALVERN, 969), aende a esa necessdade. A déa básca dese ensor não é meramene ma mdança de varáves (espacas para maeras) (MALVERN, 969). Podemos lsrar se sgnfcado aravés da fgra : dp ^ N ~ dp dp da X da x ^n A V a v Fgra Represenação gráfca dos ensores de ensão de Pola-Krchhoff 8

21 Segndo MALVERN (969), o ensor de ensões de Pola-Krchhoff fornece a força aal dp na área nfnesmal deformada da, mas é consderado por ndade de área nfnesmal ndeformada da e expressa a força em ermos da normal Nˆ para da em X. Assm, podemos expressar esa relação da segne forma: ( ˆ N ) da dp ( nˆ )da (3) Sabendo-se qe a mdança de área, após a deformação, é dada por: ( F ) Nˆ da nˆ da J, (4) podemos com o axílo desa, ober, a parr da eq. (3), a expressão do ensor como mosrada abaxo: J F, (5) sendo Nˆ e nˆ defndos, respecvamene, como os veores náros normas exernos às sperfíces do corpo nas confgrações ndeformada e deformada. Ulzando ese ensor aplcamos o Prncpo da Conservação do Momenm Lnear para m problema esáco e geramos, como no caso lnear, as segnes eqações de eqlíbro para o domíno e o conorno: b, (6) p N ˆ. (7) Nesas eqações os ermos novos qe se apresenam são defndos como:, o dvergene do ensor em coordenadas maeras; b, a força de volme qe aa em m volme deformado, mas referencada à confgração ndeformada; p, a força de sperfíce qe age em ma área do corpo deformado, porém referencada à confgração ndeformada. 9

22 O prmero ensor de ensões de Pola-Krchhoff apresena m nconvenene: ele não é smérco; ese fao orna dfícl o se so nas eqações consvas com o ensor deformação específca smérco E. Por esa razão, defne-se o segndo ensor de ensões de Pola-Krchhoff ~, smérco, qando o ensor de Cachy é smérco (caso não polar). Ese ensor condz a ma forma mas complexa, mas mesmo assm, é o preferdo para compor a formlação elásca fna (MALVERN, 969). O segndo ensor de Pola-Krchhoff encerra ma déa m ano dferene do ensor. De acordo com MALVERN (969), o ensor ~ fornece, ao nvés da força dp em da, a força d P ~ (fg. ) relaconada à força dp na mesma forma qe m veor nfnesmal maeral dx em X é relaconado pela deformação ao correspondene veor nfnesmal espacal dx em x. Assm, lembrando as eqações (4) e (6), e anda a eq. (4), podemos escrever as expressões para a força d P ~ e o ensor ~ da segne forma: ( ˆ ~ ) da dp F dp F ( nˆ ) da ( nˆ )( F ) da N, (8) ( F ) J F ( ) ~ F. (9) Conclndo ese ópco, fala-nos car a eqação consva, para complear as eqações governanes do nosso problema. Esa eqação é smlar àqela lzada para o problema elásco nfnesmal, somene sendo dsna no so do segndo ensor de ensões de Pola-Krchhoff ao nvés do ensor de ensões de Cachy, pelos movos já descros anerormene. Assm, expressamos a le consva da segne forma: ~ C E. () O ensor C é o mesmo lzado pelas eqações consvas dos problemas lneares. Elásco, lnear, homogêneo e sóropo de qara ordem, o ensor consane C pode ser eqaconado pela segne expressão abaxo: jkl j kl ( δ δ δ δ ) C λδ δ µ, () k jl l jk sendo λ e µ as consanes de Lamé e δ j o dela de Kronecker.

23 II.3 - Eqações Incremenas endo em vsa as úlmas defnções e a nenção de rabalharmos com problemas não lneares, necessamos de m procedmeno ncremenal. Sob o pono de vsa do procedmeno ncremenal, o corpo se deforma sob a ação de solcações exernas e, a cada ncremeno, assme ma nova confgração qe esá em eqlíbro (PRIEO e al., 998). Usando m psedo empo, embora rabalhemos com problemas eláscos e esácos, podemos represenar qalqer varável χ em dos nsanes de empo e, e sa qandade ncremenal pode ser expressada como: χ χ χ. () Segndo ese racocíno, ambém podemos represenar m ncremeno de deslocameno, (3) e em segda o deslocameno no ncremeno :. (4) A fgra 3, a segr, pode nos dar ma déa das deformações de m corpo genérco em m procedmeno ncremenal.

24 Y, y da X N^ x da ^n x da n^ X, x Fgra 3 Represenação gráfca da deformação de m corpo genérco Os deslocamenos ncremenas, qe não aparecem na fgra, são valores nermedáros enre ma confgração e ora, e são avalados de forma erava; os deslocamenos permanecem consanes em cada eração. Veremos mas à frene o fnconameno desses processos. Da mesma manera qe fzemos com o deslocameno podemos fazer ambém com as forças de sperfíce e as eqações governanes de eqlíbro no domíno e no conorno, a de compabldade e a consva do problema, como se sege: p p p (5) b, (6) p N, (7) E ( ) ( ) ( ) ( ), (8) ~ C E. (9)

25 Um oro ncremeno qe devemos represenar, convenenemene, é a relação enre o e ensor de ensões de Pola-Krchhoff, como se sege: ~ ~ ( ) ~ ~. (3) Feo so, compleamos a apresenação das eqações qe governam o problema, aendendo aomacamene a conservação da massa e o balanço de momenos. Segmos no próxmo ópco com a formlação clássca do Méodo dos Elemenos de Conorno. 3

26 CAPIULO III FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MEC No capílo precedene, apresenamos as eqações governanes do problema elásco não lnear, baseadas na eora da Elascdade Fna, de forma convenene para o desenvolvmeno da Formlação do MEC. Passamos agora à formlação do méodo e apresenamos sa forma conína e dscrezada, dvdndo-a em dos ópcos. III. Formlação do MEC Baseada na Mecânca do Coníno O méodo dos elemenos de conorno, como os demas méodos nmércos, é ma ferramena poderosa no cálclo de problemas dversos. Sa lzação se orna mprescndível qando os problemas analsados alcançam m nível de complexdade qe dfcla a obenção da solção analíca. Assm, como pare do nosso neresse, o escolhemos como a ferramena para a análse de problemas de não lneardade geomérca e defnmos sas eqações negras nos parágrafos a segr. Semelhane às eqações negras para problemas lneares descras por BREBBIA e al. (984), as eqações de conorno para o caso elásco não lnear ambém são geradas a parr do eorema da Recprocdade. Desa forma, segndo ses passos, defnmos m corpo genérco Γ (fg. 4), na sa confgração ncal, em esado de eqlíbro, sob a ação de cargas o deslocamenos prescros, governado, agora, pelas eqações ncremenas já descras da Formlação Lagrangeana no ópco precedene. 4

27 Y Fgra 4 Corpo genérco em sa confgração ncal X Como passo segne, spomos a exsênca de m corpo de domíno e conorno nfnos Γ, qe coném o corpo Γ (fg. 5). Y Fgra 5 Corpo genérco condo no corpo padrão X Ese corpo, elásco, lnear, homogêneo e sóropo é governado pelas mesmas eqações da formlação elásca nfnesmal, descra pela Mecânca do Meo Coníno (MALVERN, 969). Porano, emos as eqações lneares de eqlíbro, de deformação e consva, respecvamene, governando o corpo Γ, abaxo represenadas: b, (3) 5

28 ε ( ( ) ), (3) j [ λ δ ( )] j δ kl µ δk δ jl δl δ jk ε kl. (33) A força de volme b da eqação (3), al como na formlação elásca lnear (BREBBIA e al., 984), represenando ma força concenrada em m pono ξ (denomnado de pono fone), é modelada pela fnção dela de Drac, ( ξ, X) se ξ X δ, (34) ( ξ, X) se ξ X δ, (35) f ( X) δ( ξ,x) d( X) f ( ξ) (36) e cjo efeo é meddo em m pono qalqer X, denomnado de pono campo. Com os dos problemas defndos aplcamos, enão, o eorema da Recprocdade. Consderamos para sso as eqações consvas dos dos corpos descros e levando em consderação a smera do ensor C ( C C ), esabelecemos a segne relação: jkl klj j Ej Cjkl εkl Ej εkl Cklj Ej εkl ~ kl εj ~ j. (37) Inegrando ambos os lados da galdade no domíno ndeformado, emos a expressão do eorema da Recprocdade aplcado ao problema não lnear: E d j j ε ~ d. (38) j j Dando prossegmeno a ese processo, resolvemos prmero a negral do lado esqerdo da eq. (38), sbsndo a expressão de segnes expressões: 6 EIJ na eq. (8) e obendo as

29 7 j k, k, j k, k, k, j k, j, j, j j j d d E, (39) j k, k, j j k, k, j k, j k, j j, j j, j j j d ) ( d ) ( d ) ( d d d E. (4) As das prmeras negras do lado dreo da expressão (4) geram, ambas, ma negral no conorno e ma no domíno semelhanes ao problema lnear (BREBBIA e al., 984). As demas se jnam formando m novo ermo (PRIEO e al., 998), qe mas à frene será analsado. Desa forma a expressão fnal fca:. d ) ( d b d p d E j k, k, k, j j j Γ Γ (4) Analsando, agora, o lado dreo da eq. (38), sbsímos as expressões de j ε, na eq. (3), e de j ~, na eq. (3), e obemos as expressões abaxo: ( ) ( ),k,k j j, j, j j d ~ ~ ~ d ~ ε, (4)

30 8 ( ) ( ) ε,k j,,k,j,k j,,k,j j j, j,j j j d ~ d ~ d ~ ~ d ~ ~ d d d ~. (43) Segndo os mesmos passos lzados para a negral do lado esqerdo da eq. (38), obemos das negras, ma no conorno e ma no domíno, ambém semelhanes as negras lneares (BREBBIA e al., 984), e por fm, mas das negras de domíno (PRIEO e al., 998), qe serão analsadas mas à frene, como a da eq. (4). Porano emos esa expressão assm descra: ( ). d ~ d ~ ~ d b d p d ~,k,j,k,j j j Γ Γ ε (44) Conclídos eses passos reornamos à eq. (38) e sbsímos as eqs. (4) e (44) nos lados convenenes para obermos o segndo eorema da Recprocdade de Be para o problema elásco não lnear: ( ). d ~ d ~ ~ d b d p d ) ( d b d p,k,j,k,j k,j k, k, j Γ Γ Γ Γ (45)

31 Aq vemos os ermos descros no capílo aneror e nrodzmos os ermos consanes, obdos a parr da solção snglar da eqação de eqlíbro de Naver, e p, G G j,kk k, δ( ξ,x) e j, ν (46) e denomnadas de solções fndamenas de Kelvn, as mesmas lzadas para o problema lnear (BREBBIA e al., 984). Assm, descrevemo-las como se sege: ( ξ, X) e deslocameno na dreção j no pono X, devdo a aplcação de j j ma carga nára no pono ξ, na dreção ; (47) ( ξ, X) e p força de sperfíce na dreção j no pono X, devda a j pj aplcação de ma carga nára no pono ξ, na dreção. (48) Fornecemos, ambém, sas expressões bdmensonas abaxo: j ( ξ, X) 8π ( ν) G {( 3 4ν) ln( r) δ r r } j,,j, (49) r [( ν) δ r r ] ( ν)( r n r n ) p j( ξ, X) j,,j,,j,j,. (5) 4π ( ν) r n Feas esas consderações podemos agora, volar aos novos ermos nrodzdos nas eqações (4) e (44) e analsá-los, a fm de conclrmos ese em com a apresenação das eqações negras do problema para esse méodo. Reornando a expressão (45) do segndo eorema da Recprocdade de Be e passando para o lado dreo da galdade a úlma negral, vemos qe se rerarmos esa e mas as das úlmas do lado dreo, as qe sobram, formam ma expressão smlar ao segndo eorema da Recprocdade de Be para o problema lnear. Desa forma, podemos admr qe os novos ermos consem a conrbção não lnear procrada. Lembrando qe as rês são negras de domíno, podemos agrpá-las em m únco 9

32 ermo, de forma a rabalharmos com ma manera mas compaca; escolhemos para ese caso a lera maúscla manscra M e a defnmos pela segne expressão: ( ~ ~ ) k, M j ( k, ) k, j, j,k, j,k ~. (5) odos os ermos desa expressão já foram defndos, porano se qsermos ma expressão em fnção dos deslocamenos, ncremenos de deslocamenos e deslocamenos fndamenas, basa-nos somene sbsr os ermos por sas expressões e o reslado obdo, já consderando as solções fndamenas, será: M ( ξ,x) n,m n,n j,k n,m n,m λ j,k j,k n,n n,m m,k λ n,nm,k m,k µ µ j,k k,j n,m n,m n,m m,k k,m n,m n,k j,m n,m n,k n,m n,k n,k m,j m,k m,k k,m n,k n,m j,m n,m n,k n,m n,k m,j m,k m,j. n,n n,m n,m m,k n,m m,j n,m k,m m,k (5) O processo de sbsção das eqações na expressão (5) para ober a eq. (5) pode ser vso no Apêndce A dese rabalho. Fnalmene, para ermnarmos esa formlação não lnear para o Méodo dos Elemenos de Conorno, resa-nos as eqações negras fnas. Assm, da eq. (45), lembrando qe a força de volme aplcada no domíno nfno é modelada pela fnção dela de Drac e qe consderamos nlas as forças de volme em nossos problemas,

33 podemos gerar a eqação negral no conorno para ponos nernos no domíno, chamada de dendade de Somglana para problemas eláscos não lneares: () ξ p ( ξ,x) ( k Γ ) ( k ) j M d. j dγ ( k Γ ) j ( ξ,x) p j dγ (53) A negral para o cálclo dos deslocamenos no conorno leva em consderação a snglardade qando o pono fone ξ se enconra no conorno. Por esa razão srge ma marz avalada em fnção do conorno do problema, onde o pono fone esá aplcado: ( ξ) lm pj( ξ,x) dγε cj, (54) ε Γε apresenada no Apêndce B, geramos a eqação negral para grandes deslocamenos no conorno: c j ( ξ) ( ξ) p ( ξ, X) j ( k Γ ) ( k ) j M ( ξ, X) j d. dγ ( k Γ ) j ( ξ, X) p j dγ (55) O sobre-índce k qe aparece nas eqações (53) e (55) represena as váras confgrações qe o corpo pode assmr drane ma deformação. Parmos agora para a avalação dscrezada do problema e ao ermnarmos ese capílo, começaremos a dscr os procedmenos nmércos. III. Forma Dscrezada do MEC do o qe apresenamos aé aq fo avalado no coníno, as eqações foram formladas, apresenadas e chegamos ao fnal nas das eqações negras do MEC para deslocamenos fnos. Porém, a solção desas analcamene é mo dfícl, anda

34 mas qando a complexdade do problema amena. Por esa razão reescrevemo-las em ma forma dscrezada para analsarmos ses ermos aravés de écncas nmércas. As expressões (53) e (55), como já observado, apresenam das negras avaladas κ k no conorno Γ, e ma ercera, a parcela não lnear, avalada no domíno. A fm de obermos esas negras nmercamene, precsamos dscrezar o conorno e o domíno do problema em elemenos e céllas, respecvamene, onde os deslocamenos, as forças de sperfíce e os ncremenos desas das varáves, serão calclados em fnção dos valores nodas nerpolados. Assm, de forma geral podemos escrever as varáves da segne manera: Γ ( n ) Γ ( n ) ( Φ ) e ( Φ ) (56) p Γ (n) Γ (n) ( Φ ) p e p ( Φ ) p (57) sabendo-se qe ( n) p, Γ Φ é o veor das fnções de nerpolação do conorno e ( n), ( n), ( n) p são, respecvamene, os valores nodas dos deslocamenos, ncremenos de deslocamenos, forças de sperfíce e ncremenos das forças de sperfíce. A parr das consderações acma podemos reescrever a eq. (55) na forma dscrezada, para cada pono nodal ξ do conorno, gerando assm m ssema, represenado à segr: c NE k k Γ NC k ( k ) p M NE Γ ( ) ( ) ( ) dγ n Γ n Φ ( Φ ) dγ p k ( n ) ( n ) (,, )( Φ ) k Γ d, (58) onde Φ é o veor das fnções de nerpolação do domíno, NE é o número de elemenos e NC o número de céllas. O mesmo pode ser feo com a expressão para deslocamenos para ponos no domíno e eremos o segne ssema:

35 NE k k Γ NC k ( k ) p M NE Γ ( ) Γ ( ) ( ) n ( ) Γ n Φ dγ Φ d p k ( n ) ( n ) (,, )( Φ ) k Γ d (59) Analsando, cdadosamene, a expressão (58) para cálclo dos deslocamenos no conorno do corpo dscrezado, emos, após a avalação das negras, o segne ssema marcal: (, ) Γ H G p M,. (6) Nele, os veores e p conêm os valores respecvos dos ncremenos dos deslocamenos e das forças de sperfíce do problema e possem, ambos, dmensão de [ Nnc]. As marzes G e H, já conhecdas do problema lnear, qe os acompanham no ssema, êm dmensão da ordem de [ Nnc, Nnc]. Por fm, o ermo M, dos valores não lneares, necessa dos deslocamenos e ncremenos de deslocamenos avalados no conorno e no domíno, e poss dmensão da ordem de [ Nnc]. O ssema apresenado acma, avalado convenenemene, nos fornece os valores aproxmados do ncremeno de deslocameno e ncremeno de força de sperfíce do problema analsado. Enreano, sem menção algma, consderaríamos o veor p ndependene da deformação qe o corpo pdesse expermenar (da da). Esa hpóese não é correa, vso qe, dferenemene do problema lnear, a área, onde a força de sperfíce aa, expermena deformação fna e aleração de sa dreção normal, qe não podem ser desprezadas. Por esa razão, a força de sperfíce é, na verdade, dependene da deformação do corpo ( da da ) e, na Formlação Lagrangeana, da mesma forma qe necessamos referencar a força de sperfíce à confgração ndeformada, o mesmo deve ser feo à área e sa normal, onde aa. Para analsarmos esa mdança qe a carga sofre, devemos nos reporar a fgra do Capílo II, em II..3, lzada para dedzr a expressão dos ensores de Pola- Krchhoff e às expressões (3), (4) e (7), respecvamene, relaconadas à compabldade das forças aplcadas às confgrações ndeformada e deformada, à mdança de área fornecda pela Mecânca do Coníno e ao eorema de Cachy. A força 3

36 dp, represenada na fgra, é a mesma em odo o processo de deformação do corpo, porano, pode ser obda ano pela força de sperfíce na confgração ndeformada qano na confgração deformada. Desa forma, pela expressão (3), aplcando o eorema de Cachy, obemos esa grandeza dada por: p da dp p da. (6) Os ermos da, da e p já são conhecdos desde o Capílo II e represenam, respecvamene, ma área nfnesmal ndeformada, ma área nfnesmal deformada e o veor das forças de sperfíce na confgração ndeformada. O veor p represena as componenes das forças de sperfíce em ma confgração deformada. Da eq. (6), se solarmos a varável de neresse, eremos: da p p. (6) da Se valor ncremenal pode, enão, ser esabelecdo, e oberemos o valor real do ncremeno da força de sperfíce referencado a confgração ndeformada: da p p. (63) da Nossa preocpação agora é ober ma expressão para esa relação de áreas. Assm sendo, da expressão (4), podemos dvdr ambos os lados por da, obendo, abaxo, a relação reqerda mlplcada pela normal deformada: nˆ da da ( F ) Nˆ J. (64) Levando em consderação qe a norma dos veores normas às áreas, deformada e ndeformada é gal à ndade, obemos a expressão fnal para a relação: 4

37 da da de F. (65) nˆ Bnˆ O processo mplíco na passagem da expressão (64) para (65) enconra-se descro no apêndce A. O ssema para as cargas verdaderas enconra-se esabelecdo, e o procedmeno consa, apenas, de ma smples manplação algébrca fea a cada confgração. Agora só nos resa aplcar as condções de conorno, qe podem ser de dos pos, expressados abaxo: em Γ, (66) p p p em Γ, (67) e em segda reordenar os ermos convenenemene, a fm de chegarmos ao segne ssema smplfcado para análse não lnear do conorno de m corpo elásco: (,p) M A x f. (68) Vemos qe o ssema da expressão (68) garda ma semelhança com o ssema para análse de problemas lneares, condo, dferenças exsem, prncpalmene, no veor ndependene f, qe além de receber os valores prescros de ncremenos de deslocameno e de força de sperfíce, recebe, ambém, as componenes do veor não lnear M, calclado por m processo eravo qe ransforma as ncógnas em ermos prevamene conhecdos. Ese ssema pode ser avalado por m méodo de solção de ssemas lneares, como por exemplo, o da elmnação Gassana com pvoeameno parcal, o qal nós samos. Após obermos os deslocamenos no conorno, podemos calclar os deslocamenos em cada pono do domíno a parr da eq. (53) qe pode ser reescra da segne forma, consderando ses ermos já negrados: ( ) Γ da H G p M, da (69) 5

38 CAPÍULO IV PROCEDIMENOS NUMÉRICOS IV. Inrodção A esa alra é líco dzer qe lzamos, na análse dos problemas com não lneardade geomérca, o programa Bzep da aora de elles (984), para problemas eláscos e esácos lneares de das dmensões. Anes de mplemenarmos a rona responsável pela conrbção não-lnear, redzmos o programa, de forma a rabalharmos com ma versão mas smples. Para sso, reramos as consderações de smera, o cálclo em regões nfnas, o cálclo de ensões no conorno e no domíno e sbsímos a avalação das componenes da marz [c], aravés de deslocameno de corpo rígdo, para a solção analíca de sas expressões (MOREIRA, 983). Após a comprovação qe esa versão smplfcada fnconava conforme a anga, comprovando nossos aceros ncas, parmos para a mplemenação do processo ncremenal e eravo necessáros para a avalação das varáves fnas de m corpo com comporameno elásco não-lnear. A consderação no níco dese capílo, do so do programa Bzep em nossas análses, lbera-nos de aprofndarmos as écncas nmércas lzadas para a avalação dos ermos no conorno, pos esas não foram aleradas de sa versão orgnal, conhecda da lerara correspondene (BREBBIA e al., 984). Enreano, não dexaremos de cá-las e de jsfcar sas escolhas, pos são mporanes para formação geral do exo, mas daremos maor mporânca às écncas empregadas pela avalação dos ermos qe consem a conrbção não-lnear. Desa forma, ncaremos ese esdo apresenando as écncas nmércas para a avalação dos ermos no conorno e dos ermos do domíno, em segda, falaremos sobre o processo ncremenal e eravo na avalação das varáves fnas, o créro de parada e por lmo forneceremos o algormo gerado. 6

39 IV. Avalação das Inegras de Conorno Reporando-nos a eq. (58), do capílo III, do ssema dscrezado para ncremenos de deslocamenos no conorno, vemos a necessdade de avalar ses ermos de forma efcene e com m gaso de empo peqeno. Assm, a escolha dos elemenos soparamércos qe melhor descrevem as varáves nos ponos nodas, e o po de negração nmérca lzada, consem objevo essencal para ma aproxmação adeqada dos ermos. Para avalarmos as negras de conorno qe aparecem na eq. (58), lzamos as mesmas écncas presenes na versão orgnal do programa menconado. Dscrezando o conorno em elemenos soparamércos lneares, as negras de conorno são escras em fnção de coordenadas naras locas e a mdança de coordenadas fea pelo jacobano correspondene. Assm, represenando as negras em fnção deses elemenos, avalamo-las de forma nmérca, lzando o méodo de Gass, para a qandade de abscssas varando de a 6 ponos, dependenes da dsânca do pono snglar ao cenro do elemeno consderado; e de forma analíca, qando o pono snglar concde com qalqer pono do elemeno. A escolha de se maner esas écncas fo nflencada pela facldade de já ermos a mplemenação prona e de sabermos qe para a análse lnear, se fnconameno era comprovado. Em conra-parda, não sabíamos das dfcldades qe enconraríamos na mplemenação da pare não lnear e nem a qe pono ma nerpolação lnear do conorno podera gerar reslados dferenes de ma nerpolação qadráca lzada pelo argo (PRIEO e al., 998), objeo de nossas comparações. Embora possamos jsfcar nossa escolha, conclsões mas precsas, acerca das vanagens e desvanagens desa, só poderão ser dadas mas à frene, após apresenarmos as écncas nmércas empregadas para a avalação da negral de domíno e ses ermos, a écnca erava e os reslados dos exemplos rodados. IV.3 Avalação da Inegral de Domíno No em acma apresenamos as écncas para avalação dos ermos do conorno da eq. (58), e agora nos resa avalar o ermo do domíno aravés de ma dscrezação em céllas, já qe, nfelzmene, sa ransformação para avalação no conorno não é mo rval, e por sso não nos fo possível efeá-la nese rabalho. Para ese mser, 7

40 escolhemos para nossa análse céllas ranglares lneares, por acredarmos serem mas efcenes na dscrezação de nossos domínos e por nos levar a ma dscrezação em qe esas manenham ma dependênca com os elemenos do conorno. IV.3. Céllas ranglares Lneares A paramerzação de m domíno bdmensonal, aravés de céllas ranglares lneares, não oferece grandes dfcldades. Nos dversos lvros de elemenos fnos (BAHE, 996) e nos lvros de conorno (BREBBIA e al., 984) enconramos sa eora, qe consse em rabalharmos com coordenadas de área do elemeno. Em coordenadas de área, cada pono P fca deermnado por sas coordenadas (, η η ) como é mosrado na fgra 6. η,, 3 Y (,) 3 (,) P (,) Fgra 6 Célla ranglar paramerzada X Assm, emos para as coordenadas de área as segnes expressões: A P jk P η, com,,3; j,3, e k 3,,, (7) A 8

41 onde o ermo P A jk represena a sbárea formada pelo pono P e os vérces j e k, e A represena a área oal da célla. De acordo com esa defnção, é válda a relação para qalqer rânglo: η η η, (7) 3 onde a coordenada naral do nó 3 é dependene das demas, podendo ser calclada a parr da eq. (7). Sendo m pono qalqer de coordenadas (, ) x no neror da x célla, podemos expressar as fnções de nerpolação da segne forma: P η ( A bx a x ), (7) A com ses ermos agora defndos desa forma: j k k j A x x x x, (73) b j k x x, (74) a k j x x, (75) com, j e k varando da mesma forma qe na eq. (7). IV.3. ermos do Veor Não-Lnear A parr da defnção das fnções de nerpolação para a célla ranglar soparamérca lnear, dada no sbem acma, podemos defnr as écncas nmércas para avalação dos ermos do veor não lnear. Reornando a eq. (5) do veor não-lnear M, vemos qe é avalado em fnção dos gradenes do deslocameno fndamenal, do deslocameno e do ncremeno de deslocameno. 9

42 O gradene do deslocameno fndamenal é calclado dervando a sa expressão orgnal para m domíno bdmensonal em relação às coordenadas do m pono campo. Desa forma, as ses expressões fnas do gradene são assm: ( ν) [( 3 4ν) r r r ], 8π G r,,,, r, ( ν) [( 3 4ν) r r r ],,,, r,, 8π G r ( ν) [ r r r r r ],,,,,,, r,, 8π G r ( ν) [ r r r r r ],,,,,,, r,, 8π G r ( ν) [( 3 4ν) r r r ],,,, r,, 8π G r ( ν) [( 3 4ν) r r r ]. (76) 8π G r,,,, r, Os gradenes do ncremeno de deslocameno e do deslocameno precsam ser nerpolados pelas fnções paramércas da célla ranglar para conhecermos ses valores. Assm, podemos avalá-los aravés de sas dervadas em relação às coordenadas de área, do emprego da regra da cadea e de ma nversão do jacobano formado. Ese processo pode ser vso na expressão abaxo, para o cálclo do gradene do deslocameno: x x x x η η η x x x x x x η η η η η η η J. (77) 3

43 Relembrando as das expressões da eq. (56), sabemos qe o deslocameno o as coordenadas de m pono qalqer (no domíno) podem ser calclados aravés dos valores nodas nerpolados nas céllas; assm podemos calclar os ermos da expressão (77) e reescrevê-la em sa forma fnal: x x 3 3 [ b( ) b ( )] 3 3 a ( ) a ( ) A. (78) [ ] A Os ermos qe aparecem já são conhecdos; b, ranglar, e ( n,, 3) a e A são consanes de cada célla n os valores dos deslocamenos em cada nó n da célla ranglar, qe já são conhecdos de anemão pelo processo eravo, do qal falaremos mas a frene. Enão vemos qe esa expressão não poss nenhma ncógna, sendo consane em cada célla. A expressão fnal do gradene do ncremeno do deslocameno é smlar à expressão acma. IV.3.3 Inegração Nmérca Nos sbens acma, defnmos a célla paramérca, escolhda para a dscrezação do domíno, e apresenamos as écncas lzadas para a obenção dos ermos qe compõem o veor M. Podemos, agora, para fnalzar ese em, apresenar a écnca nmérca para sa negração. Para a escolha da melhor écnca de negração, observamos cdadosamene o negrando e consaamos a exsênca de ma snglardade no gradene do deslocameno fndamenal (da ordem de r ), qando o pono fone concde com m dos vérces da célla ranglar. Nese caso, aenção adeqada deve ser dada no momeno de sa avalação. Para so escolhemos para a negração de M no domíno dos esqemas apresenados por ELLES (983). Começando pelo caso snglar, empregamos m esqema de negração semanalíca, onde consegmos remover, de forma analíca, a snglardade do negrando, dexando a varável resane para ser resolvda nmercamene. Para so, efea-se ma 3

44 ransformação das coordenadas caresanas (x, y) para coordenadas clíndrcas (, φ) baseando-se no pono snglar ξ, segndo a fgra 7: r, Y φ R ( φ) b ξ A cosφ a ξ senφ φ ε ξ r φ r x r y cosφ senφ X Fgra 7 Célla ranglar snglar Nese ssema de coordenadas clíndrcas podemos reescrever as expressões de j,k em fnção do seno e cosseno do ânglo φ, separando a snglardade dese ermo. Assm represenamo-lo da segne forma: j,k ( r, φ) Ψj, k ( φ), (79) r onde Ψ j, k é m ensor cjas componenes dependem, somene, de φ. Uma vez feas esas consderações, podemos reescrever a negral dscrezada de domíno da eq. (58), consderando ses ermos já conhecdos, da segne forma: NC k φ φ ( φ) ( n ) ( n ) (, ) R e M lm Ψj,k C r dr dφ, (8) ε ε r 3

45 onde o ermo C e ( n ) ( n ) (, ) represena os gradenes do ncremeno de deslocameno e deslocameno nerpolados, mlplcados pelas consanes de Lamé. Elmnando a snglardade, negrando analcamene em [ ε R( φ) ], e efeando o lme, o qe resa depende somene de φ, podendo ser avalado pela qadrara Gassana sem maores dfcldades. A expressão fnal fca assm: NC e ( n) ( n) φ M C (, ) R( φ) Ψ dφ (8) k φ j,k com η φ ( φ φ ) ( φ φ ) (8) e η defndo no nervalo [, ]. Para o caso em qe o pono fone não concde com nenhm vérce da célla a avalação se orna mas smples. No nco dos rabalhos com o veor M, lzamos os ponos de Hammer (BREBBIA e al., 984) para efear sa negração não snglar. Empregando, ncalmene, 7 ponos na negração, não obvemos reslados sasfaóros. Enão, opamos por m processo sem-analíco (ELLES, 983) smlar ao sado pelo caso snglar e consegmos valores melhores. Desa forma, ma mdança de coordenadas caresanas para clíndrcas fo lzada novamene para ober o gradene do deslocameno fndamenal na forma da eq. (79). Assm, a parr da fgra 8, 33