UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA RICARDO LUIZ LABOZETTO

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA RICARDO LUIZ LABOZETTO Modelo de Spalar-Allmaras modcado com modelagem alernava para a escala de comprmeno São Palo 06

2 RICARDO LUIZ LABOZETTO Modelo de Spalar-Allmaras modcado com modelagem alernava para a escala de comprmeno Tese apresenada à Escola Polécnca da Unversdade de São Palo para a obenção do ílo de Door em Cêncas Área de Concenração: Engenhara Mecânca de Energa de Fldos Orenador: Pro. Dr. Fabo Salara São Palo 06

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4 AGRADECIMENTOS Agradeço à Escola Polécnca e ao Núcleo de Dnâmca dos Fldos (NDF) pelo apoo e pela dsponblzação de laboraóros e dos meos necessáros. Agradeço aos proessores qe me adaram ransmndo se conhecmeno e pelo ncenvo. E qero agradecer a odos os qe parcparam, drea o ndreamene, de mas essa ornada me acompanhando nas dcldades e nos das mas díces. Qero agradecer a mnha mãe Ondna, me pa Lz e me rmão Doglas pela pacênca, pela ada e ncenvo sempre ao me lado nos melhores e pores momenos. Qero agradecer à mnha nova e ra esposa Amanda pela pacênca e ncenvo nesses úlmos anos dessa longa ornada qe se encerra. Me agradecmeno especal va para o me amgo e orenador Fabo Salara qe ano me ado e me oreno, não só nese rabalho, mas ambém em cosas qe só m amgo pode adar. Esse empo de convvênca, drane o crso, além de er sdo mo prazeroso o mas ma óma oporndade de aprovear se conhecmeno, sabedora e amzade. Mo obrgado por do.

5 RESUMO Foram eas smlações de m ao plano lvre e ncompressível sando o modelo de ma eqação Spalar-Allmaras padrão e m modelo Spalar-Allmaras modcado aravés da aleração da escala de comprmeno rblena. Sabe-se da lerara qe no caso de aos lvres o modelo Spalar-Allmaras não consege predzer adeqadamene os reslados observados epermenalmene. Os reslados das smlações oram comparados com epermenos da lerara aravés de pers de velocdade e da aa de epansão do ao. Como esperado, os reslados obdos das smlações lzando o modelo Spalar-Allmaras padrão oram consderados nsasaóros, porém o modelo Spalar-Allmaras modcado eve ma melhor concordânca com os reslados epermenas. Além dsso, o modelo Spalar-Allmaras modcado o sado para smlar os casos do escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão e o escoameno em m degra com separação e gradene adverso de pressão. Qando comparados com reslados epermenas da lerara e com reslados obdos sando o modelo padrão, os reslados do modelo modcado obdos para ambos os casos oram mo sasaóros, conclndo-se qe a modcação da escala de comprmeno perme ober ma maor generaldade para o modelo Spalar-Allmaras. Palavras-chave: Jao plano lvre. Trblênca. Escoameno ncompressível. Spalar-Allmaras. Smlação CFD.

6 ABSTRACT Smlaons o a plane and ncompressble ree e sng he sandard Spalar-Allmaras model and a Spalar-Allmaras model moded by changng he rblen lengh scale were carred o. I s known rom lerare ha, n he case o he ree e, he Spalar-Allmaras model als o adeqaely predc he epermenally observed resls. The resls o or smlaons were compared wh pblshed epermens sng he velocy proles and he e spreadng rae. As epeced, he resls o smlaons sng he sandard Spalar-Allmaras model were consdered nsasacory whle he moded Spalar-Allmaras model had a beer agreemen wh he epermenal resls. Frhermore, he moded Spalar-Allmaras model was sed o smlae he cases o low over a la plae wh no pressre graden and low hrogh a backward acng sep wh separaon and adverse pressre graden. When compared wh epermenal resls rom he lerare and wh resls obaned sng he sandard model, he resls o he moded model or boh cases were very sasacory, allowng he conclson ha he change n he lengh scale provded a greaer generaly or he Spalar-Allmaras model. Keywords: Free e plan. Trblence. Incompressble low. Spalar-Allmaras. CFD smlaon.

7 I LISTA DE FIGURAS Fgra.- Represenação esqemáca de m ao plano lvre...4 Fgra 3.-Pers de vscosdade rblena ~ ~ / em nção de y + obdos para o escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão, na posção Re =50 6, para os valores n = e n = 5 na Eqação (3.4)....8 Fgra 4. - Célla genérca para negração da Eqação (4.4). Fgra rerada da págna 75 de JASAK (996)....3 Fgra 5. - Perl de velocdade parabólco de m escoameno lamnar. Fgra elaborada com base em ÇENGEL e CIMBALA (05), págna Fgra 5. - Perl de velocdades mosrando as regões da camada lme. Fgra elaborada com base em ÇENGEL e CIMBALA (05), págna Fgra Gráco mosrando ma comparação da le da parede e os pers de velocdade da le logarímca com dados epermenas para escoameno oalmene desenvolvdo em m bo. Fgra adapada da págna 366 de ÇENGEL e CIMBALA (05) Fgra Geomera e condções de conorno para o escoameno sobre ma placa plana..4 Fgra Imagem da malha grossera mosrando ma maor concenração de céllas no ao bordo de aaqe e à speríce da placa plana....4 Fgra Gráco mosrando ma comparação dos reslados da smlação sando o modelo Spalar-Allmaras modcado para a malha grossera no com os pers de velocdade da sbcamada vscosa, le logarímca, dados epermenas de WIEGHARDT e TILLMAN (95) apd SREENIVASAN (989) e reslados da smlação sando o modelo Spalar-Allmaras padrão....4

8 II Fgra Gráco mosrando ma comparação dos reslados da smlação sando o modelo Spalar-Allmaras modcado para a malha na no com os pers de velocdade da sbcamada vscosa, le logarímca, dados epermenas de WIEGHARDT e TILLMAN (95) apd SREENIVASAN (989) e reslados da smlação sando o modelo Spalar- Allmaras padrão Fgra Gráco mosrando ma comparação do coecene de aro na parede obdo aravés da eqação de Prand com os reslados do modelo Spalar Allmaras e do modelo Spalar Allmaras modcado para smlações com malha grossera Fgra Gráco mosrando ma comparação do coecene de aro na parede obdo aravés da eqação de Prand com os reslados do modelo Spalar Allmaras e do modelo Spalar Allmaras modcado para smlações com malha na Fgra Dmensões e condções de conorno lzadas na smlação para o degra com gradene adverso de pressão Fgra 5. - Malha grossera lzada na smlação do degra com gradene adverso de pressão Fgra 5. - Dealhe da malha grossera na regão do degra com gradene adverso de pressão Fgra 5.3 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha grossera para = H....49

9 III Fgra 5.4 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha grossera para = 4H Fgra 5.5 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha grossera para = 6H Fgra 5.6 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha grossera para = 0H Fgra 5.7 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha na....5 Fgra 5.8 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha na....5 Fgra 5.9 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha na....5 Fgra 5.0 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha na....5

10 IV Fgra 5. Comparação enre os reslados do coecene de aro obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha grossera Fgra 5. Comparação enre os reslados do coecene de aro obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985 apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05))), os obdos com o modelo de Spalar Allmaras e os obdos com o modelo Spalar Allmaras modcado com malha na Fgra Geomera e condções de conorno para a smlação do ao plano lvre Fgra Malha grossera sada nas smlações do ao plano lvre Fgra Pers de velocdade para / H 0, / H 30 e / H 40 obdos lzando-se o modelo de rblênca Spalar Allmaras sando a malha grossera comparados com o perl de velocdade epermenal de BRADBURY (965) apd BARDINA e al. (997) Fgra Pers de velocdade para / H 0, / H 30 e / H 40 obdos lzando-se o modelo de rblênca Spalar Allmaras modcado sando a malha grossera comparados com o perl de velocdade epermenal de BRADBURY (965) apd BARDINA e al. (997) Fgra Pers de velocdade para / H 0, / H 30 e / H 40 obdos lzando-se o modelo de rblênca Spalar Allmaras sando a malha na comparados com o perl de velocdade epermenal de BRADBURY (965) apd BARDINA e al. (997)..59

11 V Fgra Pers de velocdade para / H 0, / H 30 e / H 40 obdos lzando-se o modelo de rblênca Spalar Allmaras modcado sando a malha na comparados com o perl de velocdade epermenal de BRADBURY (965) apd BARDINA e al. (997)....60

12 VI LISTA DE TABELAS Tabela 5. - Comparação dos reslados epermenas da aa de epansão S de m ao plano lvre com as smlações sando a malha grossera....6 Tabela 5. - Comparação dos reslados epermenas da aa de epansão S de m ao plano lvre com as smlações sando a malha na....6

13 VII LISTA DE SÍMBOLOS Leras romanas maúsclas C consane do modelo k C consane do modelo k C D coecene de arraso C, C consanes de echameno do modelo Spalar-Allmaras C consane lzada no cálclo da vscosdade rblena L VK escala de comprmeno de Von Kármán L Re S comprmeno de escala rbleno número de Reynolds norma da aa de deormação; magnde da vorcdade; aa de epansão para m ao S S ~ T V aa de deormação do campo de velocdades nsanâneo medda escalar sada no modelo Spalar-Allmaras empo oal volme, volme do elemeno Leras romanas mnúsclas d g k l p p p ' 0 dsânca da parede do modelo Spalar-Allmaras aceleração da gravdade energa cnéca rblena escala de comprmeno caracerísca pressão pressão méda em escoameno rbleno lação da pressão em escoameno rbleno empo empo ncal

14 VIII,, 3 ' genérca v v v ',, 3 w w w ' componene da velocdade na dreção velocdades nas dreções do ssema caresano velocdade méda em escoameno rbleno em dreção genérca componene da lação da velocdade em escoameno rbleno em dreção componene da velocdade na dreção y velocdade méda do escoameno rbleno na dreção y componene da lação da velocdade do escoameno rbleno na dreção y coordenada genérca coordenadas do ssema caresano componene da velocdade na dreção z velocdade méda do escoameno rbleno na dreção z componene da lação da velocdade do escoameno rbleno na dreção z Leras gregas maúsclas ensor das ensões Leras gregas mnúsclas consane do modelo k- consane do modelo k- * consane do modelo k- dela de Kronecker aa de dsspação da energa cnéca rblena massa especíca consane do modelo k- * consane do modelo k- k consane do modelo k- consane do modelo k- vscosdade absola o dnâmca

15 IX ' vscosdade rblena aa de dsspação de energa por ndade de volme no empo vscosdade cnemáca propredade genérca propredade genérca méda componene da lação da propredade genérca ensor das ensões vscosas

16 X SUMÁRIO.INTRODUÇÃO....REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.....As prmeras enavas de modelagem de rblênca Eqações locas nsanâneas Eqação da conndade Eqação do momeno lnear eqações médas do escoameno rbleno Eqação méda da conndade Eqação méda do momeno lnear Vscosdade rblena Modelo k....5.modelos k e k SST Modelo de Mener de ma eqação de ranspore para a vscosdade rblena Modelo de Spalar-Allmaras... 3.O MODELO DE SPALART-ALLMARAS MODIFICADO METODOLOGIA COMPUTACIONAL RESULTADOS Placa Plana sem Gradene de Pressão Caraceríscas geras do escoameno Parâmeros das Smlações para a Placa Plana Comparação dos reslados nmércos com os epermenas Smlações do Escoameno em m Degra com Gradene Adverso de Pressão Parâmeros da Smlação Comparação dos reslados nmércos com os epermenas Smlação do escoameno de ma ao plano lvre ncompressível Parâmeros da Smlação Reslado das smlações para o ao plano lvre CONCLUSÕES... 6 REFERÊNCIAS... 63

17 INTRODUÇÃO O esdo dos escoamenos rblenos é de erema mporânca. Eles compõem a grande maora dos escoamenos enconrados na nareza. A grande maora dos escoamenos qe ocorrem em processos ndsras são escoamenos rblenos e são esdados nas mas dversas áreas da engenhara. Esses escoamenos são composos de esrras nsáves qe varam no empo e no espaço o qe dcla sa complea compreensão. Denre as erramenas para o esdo de escoamenos rblenos esão os programas de Dnâmca dos Fldos Compaconal ("Compaonal Fld Dynamcs" o CFD) mndos de modelos qe bscam represenar os ores eeos dsvos da rblênca. Embora os modelos de das eqações, como o k- e o k-, enham sdo sempre os preerdos dos pracanes de CFD, com o passar do empo os modelos de ma eqação ganharam mos adepos. Esse enômeno pode ser credado ao ao de qe as modelos em geral são mas robsos qe os modelos de das eqações. Além dsso, em condções de conorno relavamene smples. Modelos como o de BALDWIN e BARTH (990), SPALART e ALLMARAS (99, 994) e MENTER (996) rabalham com ma eqação de ranspore para ma vscosdade rblena ~, qe assme smplesmene o valor de ~ = 0 em speríces sóldas. Para escoamenos eernos pode-se adoar m valor de ~ como m múlplo o ração da vscosdade moleclar, conrolando assm os eeos da correne lvre. Em conraparda, e êm condções de conorno complcadas sobre paredes, obrgando a mplemenação de les de parede. Tas varáves ambém não êm condções de conorno óbvas para a correne lvre qando da smlação de escoamenos eernos. Aalmene o modelo de ma eqação mas lzado é o modelo de Spalar-Allmaras, presene em pracamene odos os códgos comercas de CFD. Esse modelo em sdo mo bem sceddo em nmerosas aplcações, mas noa-se qe há ma amíla de escoamenos em parclar para a qal o modelo parece não nconar: BARDINA e al (997) vercaram qe o modelo parece não predzer correamene o escoameno em aos lvres planos o assmércos. Aparenemene, o modelo de Spalar-Allmaras predz ma dsão ecessva do ao, levando a m aa de epansão ("spreadng rao") bem maor qe a vercada epermenalmene por BRADBURY (965).

18 Uma das eplcações para esse comporameno do modelo Spalar-Allmaras parece resdr na orma como é denda a escala de comprmeno rblena, relaconada smplesmene com a dsânca em relação à parede. No enano, o modelo de MENTER (996) dervado a parr do modelo k- com o aílo da hpóese de BRADSHAW (967) parece ornecer reslados mo sperores ao modelo de Spalar-Allmaras qando lzado na smlação de aos lvres. O modelo de Mener sa como escala de comprmeno rblena o comprmeno de Von Kármán L VK /, onde é o módlo do veor da vorcdade. Porém, a escala de comprmeno de Von Kármán apresena ma dcldade própra qando sada em aplcações de bao número de Reynolds. Na sbcamada vscosa L VK, o qe não parece mo naral. Fo dessa consaação qe srg a dea de propor ma modcação do modelo de Spalar-Allmaras qe combnasse o so da dsânca em relação à parede na sbcamada vscosa com o so da escala de comprmeno de Von Kármán na camada logarímca. Para esclarecer o desenvolvmeno dessa modcação do modelo de Spalar-Allmaras, ncalmene será eplcada como a méda de Reynolds é sada para nrodzr a vscosdade rblena na eqação de Naver-Sokes. Em segda, os modelos k- e o k-, ndamenas no desenvolvmeno, por Mener, de se modelo de ma eqação. A segr, serão eposas por qas razões Mener preer dervar se modelo de ma eqação a parr do modelo k- e não do modelo k-. Uma vez nrodzdo o modelo de ma eqação de Mener, será eplcada como ele nspro a modcação do modelo de Spalar-Allmaras. Feo sso, será dealhado como a modcação do modelo de Spalar-Allmaras pode ser mplemenada no programa de códgo abero OpenFOAM e de qe orma esse programa o sado para condzr as smlações sadas na valdação do modelo de Spalar-Allmaras modcado. Fnalmene, serão apresenadas as smlações pelas qas será valdada a modcação proposa no modelo de Spalar-Allmaras. Foram seleconados os casos do escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão, escoameno em m degra com gradene adverso de pressão ("backward acng sep") e o escoameno em m ao plano ncompressível lvre. Verco-se qe a modcação proposa não predca as caraceríscas predvas do modelo de Spalar-Allmaras orgnal qando aplcado aos escoamenos sobre a placa plana e aravés

19 3 do degra, verco-se ambém qe o modelo modcado melhoro as predções da aa de epansão do ao plano lvre. Fnalmene, oram apresenadas as conclsões do rabalho.

20 4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. As prmeras enavas de modelagem de rblênca Os prmeros esdos lgados à rblênca são devdos a Osborne Reynolds e ao Lorde Raylegh. Em 883, em se rabalho para a Royal Socey, Reynolds apreseno esdos realzados no neror de bos onde são apresenados os regmes lamnar e rbleno bem como, enre oras cosas, o parâmero admensonal qe mosra se m escoameno é lamnar o rbleno, hoe conhecdo como número de Reynolds Re UD /, onde é a massa especíca, U é a escala de velocdade, D é ma escala de comprmeno e é a vscosdade absola do ldo. Reynolds deermno qe o escoameno no neror de m bo era esável (lamnar) com m valor abao de 900 e nsável como m valor acma de 000 (REYNOLDS, 884). Na mesma época em qe Reynolds realzava ses rabalhos epermenas, Raylegh realzava rabalhos eórcos sobre nsabldades de escoamenos paralelos de ldos não vscosos permndo a deermnação de qando ma perrbação peqena na orma de m rem de ondas nno se amplca o se amorece com o passar do empo (RAYLEIGH, 880). Em 877 o maemáco e ísco rancês Joseph Valenn Bossnesq ez ma das prmeras proposas para descrever as ensões rblenas azendo ma correlação enre esas e as ensões vscosas. Assm a ensão rblena, o ensão de Reynolds, na camada lme pode ser represenada por v / y. Nesa úlma eqação é a chamada vscosdade rblena o rblhonar. É mporane salenar qe essa vscosdade, derenemene da vscosdade dnâmca, não é ma propredade do ldo e sm do escoameno, podendo varar no empo e no espaço e sendo, salmene, maor qe. Já em 95 Prandl, com a nrodção do conceo de comprmeno de msra, cro o prmero modelo de rblênca aravés de ma manera drea para calclar a vscosdade rblena. Uma descrção do modelo de comprmeno de msra pode ser enconrada em SCHLICHTING e GERSTEN (000). O modelo de comprmeno de msra de Prandl serv como nspração para o desenvolvmeno poseror de números modelos algébrcos como o modelo de CEBECI e SMITH (974) e BALDWIN e LOMAX (978). Mas, de acordo com WILCOX (993) o Kolmogorov, em 94, qe propôs o prmero modelo compleo de rblênca, com das eqações de ranspore, ma para a

21 5 energa cnéca da rblênca k e ora para o nverso da escala de empo. Desa orma, era possível deermnar, aravés das das eqações de ranspore, as escalas de empo e comprmeno da rblênca. O modelo de Kolmogorov só não eve maores aplcações, segndo WILCOX (993), devdo à ala de compadores capazes de realzar os cálclos necessáros.. Eqações locas nsanâneas Aq oram apresenadas as relações necessáras para descrever o movmeno de ma parícla de ldo a parr dos prncípos ndamenas da conservação da massa, reslando na eqação da conndade e da qandade de movmeno, reslando na eqação do momeno lnear... Eqação da conndade Aplcando a le da Conservação da Massa aplcada a m ldo escoando aravés de m volme de conrole nnesmal o, em-se qe: ( ) ( ) 0 (.) onde é a massa especíca do ldo e a sa velocdade. O prmero ermo desa eqação represena a varação da massa especíca denro do volme de conrole e o segndo ermo represena o lo líqdo de massa aravés das aces do volme de conrole por ndade de volme. A Eq. (.) o obda sando-se o ormalsmo Elerano lzando m volme de conrole o. Esa eqação esá escra com noação ensoral onde as rês coordenadas do ssema caresano são escras como,, 3 o, de orma genérca, com assmndo os valores qe vão de a 3. Para m escoameno ncompressível, onde a massa especíca é consane, a Eq. (.) resla: 0 (.)

22 6.. Eqação do momeno lnear Ulzando-se a le de conservação da qandade de movmeno para m ldo passando aravés de m volme de conrole nnesmal o em-se qe: ( ) g (.3) Onde o prmero ermo do lado esqerdo desa eqação represena a varação do momeno denro do volme de conrole por ndade de volme. O segndo ermo represena a varação do momeno por ndade de volme devdo à convecção aravés das aces do volme de conrole. O prmero ermo do lado dreo da eqação represena as orças de speríce por ndade de volme aplcadas por ensões eernas no elemeno ldo, qe podem ser dvddas em ensões normas e csalhanes. São represenadas pelas componenes do ensor de ensões. O segndo ermo do lado dreo da galdade represena a orça do campo gravaconal por ndade de volme qe age sobre o ldo denro do volme de conrole. O ensor de ensões, é dado por: (.4) p onde é o dela de Kronecker sendo qe se e 0 se e, p é a pressão esáca do ldo. A Eq. (.3) pode ser escra como: ( ) ( ) ( p) ( ) g (.5) Para m ldo newonano e ncompressível, a ensão vscosa pode ser epressa como:

23 7, (.6) onde é a vscosdade absola o dnâmca do ldo. Sbsndo as relações enre as ensões e aas de deormação na Eq. (.5) em-se a eqação de Naver-Sokes: g p ) ( ) ( ) ( ) ( (.7) Consderando-se m escoameno ncompressível e desprezando o eeo da gravdade, em-se assm as eqações da conndade e do momeno lnear: 0 (.8) p ) ( (.9) onde é a vscosdade cnemáca. As eqações acma ormam m ssema qe coném as segnes ncógnas: (,, 3 ) e p. Com as condções de conorno convenenes, ese ssema pode ser resolvdo, á qe poss mesmo número de eqações e de ncógnas..3 Eqações médas do escoameno rbleno Em casos onde o escoameno é rbleno, as varáves do escoameno podem ser descras como ma soma de m valor médo no empo e ma lação, assm ', (.0) p' p p (.)

24 8 O mesmo pode ser eo com os parâmeros do escoameno nsanâneo. Para as rês componenes de velocdade e a componene de pressão: ' ; v v v' ; (.) w w w' ; p p p' A méda emporal de ma qandade em m pono o no espaço é dada por 0 T lm d (.3) T 0 T Para qe os valores médos seam ndependenes do nervalo de empo, ese deve ser scenemene grande, sendo qe odas as propredades médas descrevendo lações devem ser nlas, reslando: ' v ' w' p' 0 (.4).3. Eqação méda da conndade Aplcando-se a méda de Reynolds na Eq. (.), em-se qe: ( ) 0 (.5) Manseando-se a Eq..5 e obendo o valor médo: ( ) 0, (.6) Sbrando-se esa úlma eqação da aneror:

25 9 0 ) ( (.7).3. Eqação méda do momeno lnear Aplcando-se a decomposção de Reynolds na Eq. (.9), obendo-se a chamada eqação de Reynolds: p ) ( (.8) A Eq. (.8), qe é a eqação do momeno lnear para m escoameno rbleno, dere da Eq. (.9) nsanânea devdo ao ermo do prodo das componenes da lação da velocdade. Com o aparecmeno do ermo, qe é chamado ensor de Reynolds, o ssema não pode ser resolvdo pos, desa vez, o número de ncógnas é speror ao de eqações. Srge o chamado "problema de echameno"..3.3 Vscosdade rblena A orma mas smples de resolver o problema de echameno consse em adoar a hpóese de Bossnesq relaconando o ensor das ensões com o ensor aa de deormação aravés da chamada vscosdade rblhonar. A epressão (.) pode ser generalzada para o ensor das ensões de Reynolds aravés da epressão (RODI, 980): k 3 (.9) onde é a vscosdade cnemáca rblena, qe como vso anerormene não é ma propredade do ldo como aconece com a vscosdade moleclar, e sm ma propredade qe depende do escoameno.

26 0 O prmero ermo do lado dreo da Eq..9 poss ma parcela onde esá presene o ensor dela de Kronecker ( ) qe é necessáro para ober as ensões normas, qando A energa cnéca k do escoameno rbleno é dada por:. k ( 3 ) (.0) Como mosrado na eqação acma, a energa cnéca rblena ( k ) é, por denção, ma qandade posva. A energa cnéca é ma grandeza escalar e as ensões normas, da mesma orma qe as orças de pressão, agem perpendclarmene às aces do volme de conrole. A sbsção da eq. (.9) na eqação (.8) resla: ( ) p e e (.) Onde emos ma pressão e vscosdade eevas: p e p k (.) 3 (.3) e Em geral, a nlênca de energa cnéca na pressão eeva não é sgncava. Porém, em geral, a parcela rblena da vscosdade eeva predomna sobre a parcela devda à vscosdade moleclar. Segndo as deas de Kolmogorov, os modelos de rblênca, aravés de eqações de ranspore para varáves caraceríscas da rblênca como a energa cnéca k e sa aa de dsspação, possblam a obenção da vscosdade rblena aravés de argmenos dmensonas. Embora a hpóese de Bossnesq ncone como ma erramena úl para resolver o problema de echameno, deve-se ressalar qe a base eórca sobre a qal se assena é rágl. Como dscdo por RODI (980), a analoga enre ensões rblenas e vscosas não se verca, pos a neração enre rblhões no escoameno rbleno não é smlar às colsões

27 enre moléclas. Porém, do pono de vsa compaconal, aé hoe a hpóese de Bossnesq represena a alernava menos complcada para represenar os eeos dsvos dos escoamenos rblenos..4 Modelo k - Uma manera de se classcar os modelos de rblênca é qano ao número de eqações de ranspore qe pode varar a parr de zero eqação, qando não há eqação de ranspore (modelo algébrco), aé múlplas eqações de ranspore dependendo do número de grandezas rblenas ransporadas. Qano maor o número de eqações de ranspore, para m maor número de grandezas rblenas, os modelos ornam-se mas prómos dos evenos reas amenando nclsve a possbldade da descrção de enômenos de maor compledade. O modelo de das eqações k em como grandezas ransporadas a energa cnéca rblena ( k ) e a aa de dsspação de energa cnéca da rblênca ( ). Fo proposo por LAUNDER e SPALDING (97), aprondando dea de CHOU (945) endo por base o ao de qe é possível ober eqações de ranspore eaas para essas grandezas. Em WILCOX (993), verca-se: k k k p P k (.4) Onde a prodção de energa cnéca rblena P k e a aa de dsspação são dadas por: P k (.5) (.6) k k A Eq. (.5) perme, aravés da hpóese de Bossnesq e do gradene de velocdades do escoameno médo, calclar a prodção P k. No enano, para deermnar a Eq. (.6) é de poca vala, e se az necessára ma eqação de ranspore. De WILCOX (993):

28 m k m k m k m k k k k k k k m m m m p (.7) A dedção das Eqs. (.4) e (.7) pode ser enconrada em CELIK (999). Uma vez qe as Eqs. (.4) e (.7) são mo compleas, oram proposas eqações modeladas para k e. Assm, segndo JONES e LAUNDER (97): k k P k k k (.8) k C P k C k (.9) Nesas das úlmas eqações, k,, C e C são consanes calbradas com reslados epermenas. Uma qna consane, C, srge da denção, por argmenos dmensonas, da vscosdade rblena: k C (.30) Os valores sados para as consanes do assm chamado modelo k- padrão oram dendos por LAUNDER e SHARMA (974). Calbrando o escoameno para a sação de eqlíbro da camada logarímca e para o decameno de energa cnéca rblena em m escoameno norme, obém-se C =,44, C =,9, C = 0,09, k =,0 e =,3. O modelo k- padrão o m dos prmeros modelos de rblênca a ser sado eensvamene em programas comercas de Dnâmca dos Fldos Compaconal qando se nco a poplarzação dessa ecnologa. No enano, rapdamene sas decêncas oram

29 3 descoberas. A prncpal é ma endênca a prodzr ecesso de vscosdade rblena em escoamenos com gradenes adversos de pressão, como ressalado por RODI e SCHEUERER (986). O ecesso de dsão rblena ende a dmnr as regões de recrclação capradas pelo modelo..5 Modelos k- e k- SST O modelo k- padrão o proposo por WILCOX (988) como m aprondameno das déas de Kolmogorov. Nesse modelo, ao nvés de ermos ma eqação de ranspore para, emos ma eqação de ranspore para o qe se chama dsspação especíca, onde = /(k.c ). As eqações do modelo k- padrão são: k k * P * k k k (.3) k P k (.3) A vscosdade rblhonar é dada por: k (.33) As consanes oram calbradas da mesma orma qe as consanes do modelo k-, reslando =5/9=0,556, =3/40=0,075, * = 0,09, =/, *=/. A consane * é eqvalene à consane C do modelo k-. O modelo k- padrão ornece reslados mo sperores para a smlação de escoamenos nernos com gradenes adversos de pressão do qe o modelo k-. No enano, rapdamene descobr-se ma grave decênca. Como pode ser vso em MENTER (994), o modelo k- padrão é oremene nlencado, na smlação de escoamenos eernos, pelo valor da condção de conorno de na correne lvre. Qando sados valores de mo baos na correne lvre, vercam-se valores ecessvos de vscosdade rblhonar nas pares mas alas da camada lme. O modelo k-, por oro lado, não apresena essa decênca.

30 4 Uma eplcação para as derenças de comporameno enre os modelos k- e k- pode ser obda qando samos a denção de, = /(k.c ) = /(k.*) e sando a regra da cadea do cálclo derencal enamos dervar sa eqação. Segndo MENTER (994), emos qe: D D * k D Dk D k D (.34) Agora, sbsímos as eqações de ranspore de k e e consderamos qe k. Após ma álgebra: D D C P C k k * (.35) k k Em relação à Eq. (.3) srgem das modcações menores, relavas a valores derenes de e, pos pelas consanes do modelo k- emos =(C -)=0,44 e =(C -)*=0,088. Porém, em-se ma grande derença correspondene ao úlmo ermo do lado dreo da Eq. (.35), chamado de ermo de dsão crzada. Na camada lme, qando mas dsane da parede, k/y>0 e /y<0. Logo, o ermo de dsão crzada ncona como m ermo de desrção da dsspação, avorecendo o ncremeno da vscosdade rblhonar. Se lembrando qe a Eq. (.35) o obda a parr do modelo k-, em-se ma eplcação para a ecessva dsão rblena relaconada a esse modelo e vercada por RODI e SCHEUERER (986). Por oro lado, ndo na dreção na pare mas ala da camada lme, k/y<0 e /y<0. O ermo de dsão crzada ncona como m ermo de prodção de dsspação, baando a vscosdade rblhonar. Isso dmn a dsão e conseqenemene a nlênca da condção de conorno do escoameno eerno. Nesse caso, a presença desse ermo é benéca, combaendo a nlênca negava de m bao valor de na correne lvre. Porém, o ermo de dsão crzada esá asene da eqação orgnal de, Eq. (.3). Por essas razões, MENTER (994) propôs ma modcação do modelo k- qe nclísse o ermo de dsão crzada na eqação de ndo em dreção à regão da camada lme mas próma do escoameno eerno, manendo esse ermo asene na vznhança da parede. O modelo proposo por Mener é o chamado modelo k- SST (Shear Sress

31 5 Transpor). Esse modelo az so de ma nção, chamada F, ca orma garane qe F 0 qando y, e F qando y0. A eqação de ca: D D Pk ( F ) k k k (.36) Com =0,556F +0,44(-F ), =0,075F +0,088(-F ) e =0,5F +0,856(-F ). A nção F é dada por: 4 F anh (.37) arg Onde arg é dado por: arg k mn ma,, 0,09 y y CD k y k (.38) A consane = 0,856 e CD k é dado por: k 0 CD k ma, 0 (.39) Ora modcação mporane nrodzda no modelo k- SST por Mener o a nclsão da chamada "hpóese de Bradshaw". Segndo BRADSHAW (967), a relação enre a ensão rblena e a energa cnéca nma camada lme, ndependenemene do gradene de pressão, é dada por: v a k (.40) Nesa úlma epressão, a é ma consane, a =C / =0,3. Ocorre qe, para m modelo de das eqações, sando a hpóese de Bossnesq, a ensão de Reynolds ambém pode ser escra como:

32 6 v (.4) y Tal eqação pode ser ransormada em: v. (.4) y A prmera raz corresponde, para ma camada lme bdmensonal, à raz da prodção de rblênca. Assm: k v P. k C (.43) Desa orma, para m modelo de das eqações, chegamos à epressão: Pk v a k (.44) Qe, obvamene, não esá de acordo com a hpóese de Bradshaw, Eq. (.40), sempre qe prodção e desrção de rblênca derrem sensvelmene. Isso é parclarmene verdadero qando enconram-se gradenes adversos de pressão, sação em qe a relação enre prodção e desrção de rblênca cosma ser bem maor qe a ndade. Para resolver esse problema nerene aos modelos de das eqações, MENTER (994) propôs calclar a vscosdade rblena como: a k (.45) ma a, F S Nesa úlma epressão, F é ma nção qe vale na promdade da parede e ende a zero a medda qe aproma-se do escoameno eerno, e S é a norma do ensor aa de deormação: S S S (.46)

33 7 Onde em-se: S (.47) O cálclo da vscosdade rblhonar pela Eq. (.45) garane qe, em sações de gradene adverso de pressão, qando P k >, a hpóese de Bradshaw sea respeada. Observase qe: Pk S S (.48) C O sea, qando P k > em-se S > a, e o cálclo da vscosdade rblhonar pela Eq. (.45) garane qe a ensão de Reynolds sea dada pela Eq. (.4), sasazendo a hpóese de Bradshaw. Qano à nção F, ela é dada por: F anh (.49) arg Onde em-se: arg ma 0,09 k 500, y y (.50) O modelo k- SST em sdo o modelo de rblênca de das eqações mas bem sceddo aé agora no sendo de represenar ma ampla gama de escoamenos. Torno-se parclarmene o modelo preerdo em aplcações aeronácas para escoamenos eernos com gradenes adversos de pressão.

34 8.6 Modelo de Mener de ma eqação de ranspore para a vscosdade rblena Uma das conclsões do rabalho de RODI e SCHEURER (986) o qe mesmo modelos com ma eqação podem predzer escoamenos com gradenes adversos de pressão melhor qe o modelo k- padrão. Assm como esem aqeles qe preerem nrodzr ma maor compledade na modelagem de rblênca, com o obevo de persegr ma maor generaldade, esem ambém aqeles qe bscam, ao conráro, smplcar ao mámo os modelos. Nessa lnha, MENTER (997) dervo m modelo de ranspore de ma eqação de ranspore para a vscosdade rblena a parr dos modelos k- e k-. A abordagem é smples: se a nossa vscosdade rblhonar é ~ =, sando o modelo k-: D ~ C D k Dk k D D D (.5) Consderando apenas ma camada lme bdmensonal, pode-se escrever a prodção de energa cnéca apenas como: P k ~ (.5) y Inrodzndo ambém a hpóese de Bradshaw: v a k (.53) y Sbsndo as eqações de ranspore de k e, Eqs. (.8) e (.9), na Eq. (.5), e consderando qe k, resla: D ~ ~ ~ ~ ~ C ~ C ~ D y ~ y (.54) y L VK Nesa úlma eqação, L VK é a chamada escala de comprmeno de Von Kármán:

35 9 L VK y (.55) y A escala de comprmeno ende a zero qando aproma-se do escoameno rroaconal eerno. Assm, Mener omo de emprésmo do modelo de BALDWIN e BARTH (990) o se ermo de desrção de rblênca para sbsr a escala de Von Kármán qando y. Generalzando o modelo para m escoameno rdmensonal e nrodzndo nções de amorecmeno para a sbcamada vscosa, resla nalmene (MENTER, 997): D ~ D ~ ~ C ~ ~ D ~ C ~ C 3 ~ ~ mn C3 ~ L VK ~ ~, (.56) A escala de comprmeno de Von Kármán L VK é dada por: L VK (.57) Nas eqações (.56) e (.57) é a magnde do veor da vorcdade. A vscosdade rblhonar sada no ensor de Reynolds e as nções de amorecmeno são dadas por: D ~ (.58) D ~ (.59) ~ / A D e (.60) E, nalmene, as consane são C ~ =0,44, C ~ =,86, C 3 ~ =7, ~ =, A + =3 e a consane de Von Kármán = 0,4.

36 0 No denomnador da Eq. (.57) soma-se m peqeno número (por eemplo, 0-0 ) ao módlo do gradene de vorcdade, de modo qe no escoameno eerno à camada lme, L VK 0. Se a dervação dese modelo or eeada a parr do modelo k- resla, segndo MENTER (997), m ermo levemene modcado para a desrção de ~ : D ~ D ~ ~ C ~ ~ D ~ C ~ C 3 ~ ~ mn C3 ~ L VK ~ ~ ~ ~, (.6) O modelo de ma eqação de Mener apresena reslados crosos. Ulzando a ormlação dervada do modelo k-, ELKHOURY (0) verco dependênca dos reslados em relação ao valor da condção de conorno na correne lvre de ~. Alos valores de ~ como condção de conorno reslam em ecesso de dsão rblena na camada lme. O problema parece ser herdado dreamene do modelo k-. Por oro lado, qando sada a ormlação reslane da dervação a parr do modelo k-, bons reslados são obdos para escoamenos com gradenes adversos de pressão. MENTER (997) obeve óma concordânca com reslados epermenas na smlação do escoameno em m degra. Aparenemene o so na dervação do modelo de ma eqação, da hpóese de Bradshaw dada pela Eq. (.53), mnmzo as decêncas nerenes ao modelo k-. MENTER (997) consdera qe se modelo se compara avoravelmene em relação ao modelo de SPALART e ALLMARAS (994) pelo ao de não ser necessáro deermnar a dsânca de cada nó da malha em relação à parede. De ao, o so da dsânca em relação à parede como escala de comprmeno, como se az no modelo Spalar-Allmaras, é sob ceros aspecos ma desvanagem, pos a deermnação da dsânca em relação à parede para cada nó, em ma malha rdmensonal não-esrrada, é area complea e demanda empo compaconal. Por oro lado, deve-se ressalar qe a escala de comprmeno de Von Kármán, como calclada pela Eq. (.57), resla a própra dsânca y em relação à parede para a camada logarímca: ln y B (.6)

37 Onde * /, y * y / e a velocdade de aro é / * o, com o sendo a ensão na parede. No enano, na sbcamada vscosa, onde y, o cálclo da escala de comprmeno de Von Kármán pela Eq. (.57) resla L VK, o qe é m reslado ndeseável, ma vez qe na sbcamada vscosa se qer ma desrção elevada de rblênca..7 Modelo de Spalar-Allmaras SPALART e ALLMARAS (99),(994) desenvolveram se modelo de ma eqação segndo a dea de BALDWIN e BARTH (990) de lzar ma eqação de ranspore para a própra vscosdade rblhonar. Enqano poserormene MENTER (997) dervo se modelo de ma eqação a parr do modelo k- sando regras smples de cálclo derencal, Spalar e Allmaras chegaram a sa eqação de ranspore apenas por argmenos dmensonas. Para o ermo de desrção de rblênca decdram sar como escala de comprmeno a própra dsânca da parede d obda do modelo de comprmeno de msra de Prandl. Chegaram a ma eqação básca: d c c S c D D w w b b (.63) A parr dessa úlma epressão, calbraram as consanes e nções de amorecmeno para qe ma vscosdade rblhonar ransormada ~ relaconada com vesse ma le de varação lnear enre a parede e a camada logarímca: ~ *d (.64) Dessa calbração resla a eqação de ranspore: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ d c S c c w w b b (.65) Onde a vscosdade rblena sada na hpóese de Bossnesq é:

38 ~ (.66) A prodção de vscosdade rblena é dada por: ~ ~ v d S (.67) E é a magnde da vorcdade dada por: (.68) Com o ensor de roação dendo como: (.69) As nções v, v e w são dadas por: v v c (.70) v v (.7) w w w c g c g (.7) Onde e g são:

39 3 ~ (.73) 6 g r cw r r (.74) O parâmero r é dado por: ~ r ~ (.75) S d Fnalmene, o modelo é echado com as consanes: c,355 c 0,6 c 7, /3 (.76) b 0 b v cb c b c w c 0,3 0,4 w c w (.77) 3 Devem ser adoadas condções de conorno denndo os valores de ~, sendo ~ 0 no à parede. Além de apresenar boa convergênca, segndo WILCOX (993) o modelo Spalar- Allmaras prodz bons reslados ano em regões onde a camada lme poss gradenes de pressão avoráves como adversos. No enano, o modelo de Spalar-Allmaras ornece reslados dsanes dos epermenas para aos planos e crclares.

40 4 Fgra. - Represenação esqemáca de m ao plano lvre. Na Fg. (.) pode-se ver a represenação esqemáca de m ao plano. Dene-se a aa de epansão S ("spreadng rae") de m ao como a coa ransversal do perl de velocdade para a qal a velocdade é gal à meade da velocdade na lnha de cenro, dvdda pela dsânca aé a orgem do ao. Assm, para o perl de velocdades do ao, S=y/ onde y é a coa para a qal a velocdade é gal a U /, sendo U a velocdade para y=0. Reslados epermenas de BRADBURY (965) mosram qe, para m ao plano ncompressível, S = 0,00-0,0, e para m ao crclar, epermenos reslam em S = 0,086-0,095 segndo WYGNANSKI e FIEDLER (969). BARDINA e al (997) obveram em sas smlações sando o modelo de Spalar e Allmaras S = 0,43 para o ao plano e S = 0,53 para o ao crclar. Esses reslados oram mo nerores aos reslados obdos com os modelos k- de LAUNDER e SHARMA (974), k- de WILCOX (988) e k- SST de Mener (994). Mas recenemene STROHER e al (007), smlando m ao crclar sbônco compressível com os modelos v- (DURBIN, 995) e Spalar-Allmaras, ambém chegaram a conclsão qe o modelo Spalar-Allmaras apresena decêncas para esse po de escoameno, predzendo ecessva dsão do ao. Uma eora para o comporameno do modelo de Spalar-Allmaras resde no so da dsânca aé à parede no ermo de desrção de rblênca. À medda em qe d o ermo

41 5 ~ de desrção / d 0 e o modelo predz ma vscosdade rblena ecessva, reslando em ma aa de epansão elevada. O modelo de Spalar-Allmaras em sdo mo bem sceddo em cálclos aerodnâmcos de aeroólos e pers de asa, onde o so da dsânca d como escala de comprmeno reprodz correamene a camada lme. Porém, não se pode esperar qe al denção da escala de comprmeno resle em predções correas para aos lvres dsanes de ma parede. Para essa caegora de escoamenos ora solção deve ser bscada.

42 6 3 O MODELO DE SPALART-ALLMARAS MODIFICADO Para a smlação de aos lvres o modelo de ma eqação de Mener apresena reslados sperores ao modelo de Spalar-Allmaras. Em MENTER (997), verca-se qe para o ao lvre plano esse modelo ornece como reslado ma aa de epansão S = 0,, reslado mo bom qando comparado com o epermeno de BRADBURY (965), onde se verca S = 0,00-0,0. Para o ao lvre crclar, o modelo de ma eqação de Mener ornece ma aa de epansão S = 0,3 enqano os reslados epermenas de WYGNANSKI e FIEDLER (969) ornecem S = 0,086-0,095. Embora o reslado para o ao crclar não sea ão bom qano o reslado para o ao plano, verca-se de qalqer orma qe mesmo para o ao crclar o reslado do modelo de Mener é mo melhor qe o reslado obdo pelo modelo Spalar-Allmaras (S = 0,53). Por oro lado, como vso, o modelo de Mener poss denro da sbcamada vscosa ma ncoerênca na esmava da escala de comprmeno rblena a parr da escala de comprmeno de Von Kármán, qe resla como herança da dervação a parr do modelo k-. Verca-se qe a eqação de ranspore de ~ sada no modelo de Mener, Eq. (.56), pode ser re-escra em ermos de ma escala de comprmeno rblena da segne manera: D ~ ~ ~ ~ ~ C ~ D C ~ D (3.) ~ L Onde é possível denr ma escala de comprmeno rblena L da segne manera: ~ L ma L, L VK (3.) A escala de comprmeno L ~ é consrída a parr dos ermos de desrção proposos por BALDWIN e BARTH (990): L ~ ~ ~ ~ ~ ~ C3 ~ C3 ~ (3.3)

43 7 No denomnador da Eq. (3.3) pode-se somar m número peqeno (0-0 por eemplo), da mesma orma qe se ez com a Eq. (.57), de orma a evar dvsões por zero. Enqano no caso da escala de Von Kármán sso garane qe L VK 0 no escoameno rroaconal, sso az com qe na mesma regão L ~, pos o valor de ~ é o valor da condção de conorno da correne lvre e, sendo norme, emos ~ 0 qando nos apromamos do escoameno eerno. Assm, o modelo de Mener sa a escala de comprmeno de Von Kármán L VK qando pero da parede e na camada logarímca, mdando para L ~ na pare ala da camada lme e na regão eerna. Na regão da correne lvre a desrção de ~ se orna nla, nm comporameno smlar ao do modelo de Spalar-Allmaras qando d. Fnalmene, deve-se noar qe, escra dessa orma, a eqação de ranspore de ~ do modelo de Mener se orna mo smlar à eqação de ranspore do modelo de Spalar- Allmaras. Lembrando qe o modelo de Spalar-Allmaras o calbrado para qe ~ * d, pode-se observar qe o so da escala de comprmeno de Von Kármán não é ncompaível com essa calbração na camada logarímca. De ao, na camada logarímca, o comprmeno de Von Kármán / = d. Porano, srge a dea de sar a escala de comprmeno da Eq. (3.) em conno com a dsânca em relação à parede d para ormar ma nova escala de comprmeno a ser sada no modelo de Spalar-Allmaras. Essa nova escala de comprmeno, qe será chamada de d ~ (em analoga com o qe se az em DES qando a dsânca à parede é comparada com a escala de comprmeno da malha), deve preservar o so da dsânca em relação à parede d na sbcamada vscosa e sar a escala de comprmeno de Von Kármán na camada logarímca. Váras écncas podem ser sadas para azer essa ransção enre as escalas de comprmeno. Convém lembrar qe, no própro modelo de Spalar-Allmaras, a nção v desempenha m processo mporane em azer com qe a vscosdade rblena passe de ~ na camada logarímca para 0 na sbcamada vscosa. Assm, será sada como escala de comprmeno: n n v Lvk ( v ) d, ~ ~ d ma L (3.4)

44 8 Por m processo de enava e erro, conclí-se qe n = 5 é o melhor valor para preservar a lneardade de ~ na camada lme, em odo o percrso da camada logarímca aé a parede. Smlações oram realzadas para o escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão com Re L = 0 7. Na Fg. (3.) pode-se ver os reslados obdos para os pers da vscosdade rblena admensonal ~ ~ / em Re = 50 6 para das smlações, ma sando n = 5 e ora sando n = na Eq. (3.4). O modelo Spalar-Allmaras padrão em sas consanes calbradas para ornecer ~ * y, o sea, ~ y. Pode-se ver qe n = 5 aproma sensvelmene melhor o reslado esperado ~ y do qe n =. Fgra 3. - Pers de vscosdade rblena ~ ~ / em nção de y + obdos para o escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão, na posção Re =50 6, para os valores n = e n = 5 na Eqação (3.4). Com a adoção da escala de comprmeno calclada pela Eq. (3.4), preende-se dmnr a nlênca da dsânca em relação à parede em escoamenos alamene lvres e alamene rblenos como aos. Tal aleração não deve azer derença em regões de camada lme. Assm, o modelo de Spalar-Allmaras ca:

45 9 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ d c S c c w w b b (3.5) Com os parâmeros S ~ e r dados por: ~ ~ ~ v d S (3.6) ~ ~ ~ d S r (3.7)

46 30 4 METODOLOGIA COMPUTACIONAL Uma vez proposa a aleração para o modelo de Spalar-Allmaras (SPALART e ALLMARAS 99, 994) srg a necessdade de mplemená-la em algm códgo compaconal. Aalmene a grande maora dos códgos compaconas sados em CFD azem so do Méodo dos Volmes Fnos. Como reerêncas úes sobre o méodo, emos os rabalhos de PATANKAR (980) e VERSTEEG e MALALASEKERA (007). Nesse méodo, as eqações de ranspore são negradas em volmes de conrole. De orma geral oda eqação de ranspore por ser escra como: S (4.) Nesa úlma eqação, é a grandeza ransporada e é o se coecene de dsão. O ermo S represena a prodção e/o desrção da grandeza. O prmero ermo do lado esqerdo da Eq. (4.) represena a varação local da grandeza, o segndo ermo do lado esqerdo represena o ranspore de por advecção, o prmero ermo do lado dreo represena o ranspore de por dsão e o úlmo ermo é o qe pode ser chamado de ermo one de. A Eq. (4.) pode ser negrada em m volme de conrole, reslando: d d d S d (4.) Fazendo so do eorema de Gass: d S n ds S n ds S d (4.3) Essa úlma eqação pode ser represenada de orma smbólca como:

47 3 d S ds n ds n d S S (4.4) Fgra 4. - Célla genérca para negração da Eqação (4.4). Fgra rerada da págna 75 de JASAK (996). A negração da Eq. (4.4) pode ser realzada sobre m volme (ambém chamado célla) de ormao arbráro, comparlhando sas aces com m céllas vznhas. Na Fg. (4.), rerada da ese de doorameno de JASAK (996), vemos qe a célla de cenrode P comparlha a ace com ma célla vznha N. A Eq. (4.4) ca: P P m m P P P S S n S n (4.5) Se a vazão em massa aravés de ma ace or denda como S n m :

48 3 PP P m m n S S (4.6) m P P Aq srge ma das qesões ndamenas em CFD, a avalação da grandeza nas aces do volme de conrole. Segndo VERSTEEG e MALALASEKERA (007) a nerpolação lnear enre os cenrodes P e N, chamada de méodo das derenças cenradas, provoca nsabldades nmércas. Uma solção, segndo PATANKAR (980), é sar o méodo chamado de nerpolação a monane ("pwnd"). Nesse méodo, consdera-se, na avalação de, o sendo do escoameno aravés da ace. Assm: se m se m 0 0 P N (4.7) Dessa orma, se o escoameno dea a célla, é o própro valor de da célla P. Se o escoameno enra na célla, recebe o valor da célla vznha N. Desaornadamene, embora ao méodo de nerpolação a monane enha ecelenes propredades de esabldade, sabe-se qe raa-se de m méodo com erro de a ordem, segndo PATANKAR (980) casa o enômeno chamado de dsão alsa, dmnndo a precsão dos cálclos e dsspando os gradenes das grandezas do escoameno. Uma solção sada em smlações de méda de escoamenos rblenos sando méda de Reynolds é sar o chamado méodo de nerpolação a monane lnear ("lnear pwnd" o "second order pwnd"), descro em VERSTEEG e MALALASEKERA (007): se m se m N N 0 P P 0 P N (4.8) O méodo de nerpolação a monane lnear é m méodo com erro de a ordem e dmn sbsancalmene a dsão alsa. A avalação do gradene da grandeza az-se necessára para lzar o méodo de nerpolação a monane lnear e para avalar o ermo de ranspore dsvo. Um dos méodos mas smples para sso é sar o própro eorema de Gass:

49 33 S P ds n d (4.9) Logo: m S P S n ds n (4.0) Na Eq. (4.0) a avalação de é ea por nerpolação lnear enre as cenrodes P e N. Fnalmene, o ermo de varação emporal pode ser avalado por város méodos derenes, como o méodo mplíco de Eler: P P m m P P P P P S S n m (4.) Dado qe o méodo mplíco de Eler em erro emporal de ª ordem, pode-se sar em se lgar m méodo mplíco de a ordem, como pode ser vso em JASAK (997): P P m m P P P P P P P S S n m 3 (4.) A dscrezação da Eq. (4.) para cada célla da malha resla em m ssema lnear do po: b a a m P P (4.3) Onde b é o carregameno do ssema lnear. O Méodo dos Volmes Fnos é m méodo de programação e nerpolações mas smples, e por sa lebldade acabo domnando a área de CFD. A maora dos códgos comercas lzam o Méodo dos Volmes Fnos.

50 34 Para mplemenação da modcação no modelo Spalar-Allmaras, ncalmene penso-se em sar m códgo comercal qe permsse a mplemenação de nções dendas pelo sáro. Após algma releão, mdo-se o rmo e decd-se adoar m códgo abero baseado no Méodo dos Volmes Fnos. O códgo escolhdo o o OpenFOAM, da OpenFOAM Fondaon Ld. Parclardades sobre os códgos podem ser enconradas em GREENSHIELDS (05). Como os escoamenos a serem smlados eram permanenes e ncompressíves, opo-se pelo solver especíco smplefoam, qe lza o algormo SIMPLE (Sem-Implc Mehod or Pressre-Lnked Eqaons) de PATANKAR e SPALDING (97) para azer o acoplameno enre pressão e velocdade. O solver smplefoam resolve a eqação de Naver-Sokes para m escoameno rbleno: p e (4.4) Devdo a não-lneardade da eqação de Naver-Sokes e a nareza do algormo SIMPLE, o necessáro sar sb-relaação na solção dos ssemas lneares, de orma qe a cada eração ínhamos: a b m P P (4.5) a P Nesa úlma eqação, é m coecene de sb-relaação dependene da varável resolvda,. O méodo de nerpolação a monane lnear o sado para odas as varáves, o sea, velocdades e vscosdade rblhonar. Assm, pode-se dzer qe as solções enconradas êm erro espacal de ª ordem e esão relavamene lvres de dsão alsa. Os ssemas lneares para resolver velocdades e vscosdade rblena oram resolvdos sando m méodo de Gradene Bcongado com pré-condconador do po Decomposção Incomplea LU. Para resolver o ssema lnear da pressão lzo-se sempre m méodo de MULTIGRID Algébrco. Dealhes podem ser vsos em GREENSHIELDS (05).

51 35 Por ser m códgo abero, o relavamene smples mplemenar modcações no códgo, escro em c++. Cdado eve qe ser omado com os modelos orgnas do OpenFOAM, pos a versão do modelo Spalar-Allmaras mplemenada no códgo não era a versão do modelo padrão de SPALART e ALLMARAS (99, 994). Prmeramene o códgo eve qe ser corrgdo para essa versão padrão. Dado qe odos os escoamenos resolvdos eram bdmensonas, mcrocompadores INTEL I7 com 6GB de memóra RAM e ssema operaconal LINUX oram scenes para rodar odos os casos. Dada a relava smplcdade geomérca, saram-se sempre malhas esrradas de qadrláeros.

52 36 5 RESULTADOS 5. Placa Plana sem Gradene de Pressão Uma vez proposa a aleração do modelo Spalar-Allmaras, orna-se mperavo vercar se essa aleração não em eeos deleéros nas propredades predvas do modelo. Um dos escoamenos mas báscos qe devem ser reprodzdos por qalqer modelo de rblênca é o escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão. Por essa razão serão apresenados agora reslados de smlações para esse escoameno sando ano o modelo Spalar-Allmaras com a modcação proposa qano o modelo Spalar-Allmaras padrão. 5.. Caraceríscas geras do escoameno O perl de velocdades de ma camada lme rblena é bem derene do perl de velocdades de m escoameno lamnar. Como mosrado na gra 5., eraída de ÇENGEL e CIMBALA (05), o perl de velocdade de m escoameno lamnar oalmene desenvolvdo é parabólco. Já a gra 5., ambém eraída de ÇENGEL e CIMBALA (05), mosra qe o perl de velocdade de m escoameno rbleno pode ser dvddo em qaro regões, dependendo da dsânca à parede. Segndo ÇENGEL e CIMBALA (05), a sbcamada vscosa, o lamnar, é ma camada mo na próma à parede onde os eeos vscosos são mas sgncavos. Como a varação de velocdade é mo brsca, nessa regão, o perl de velocdade é pracamene lnear, o qe pode-se observar epermenalmene. A regão segne é a camada amorecedora qe é mo nlencada por eeos vscosos, mas á em-se a presença de eeos rblenos. A segr, em-se a camada de sperposção o camada logarímca, onde começam a preponderar os eeos rblenos. E, por úlmo, em-se a camada eerna rblena, onde os eeos da vscosdade podem ser neglgencados.

53 37 Fgra 5. - Perl de velocdade parabólco de m escoameno lamnar. Fgra eraída e adapada de ÇENGEL e CIMBALA (05), págna 365. Fgra 5. - Perl de velocdades mosrando as regões da camada lme. Fgra eraída e adapada de ÇENGEL e CIMBALA (05), págna 365. Consderando qe a sbcamada vscosa sea mo peqena, ela poss ensões vscosas elevadas amorecendo o movmeno rblhonar o qe az com qe o escoameno nessa regão sea lamnar. Como o perl é lnear, o gradene de velocdade é consane nessa regão e em-se d / dy / y. A ensão de csalhameno o na parede é epressa por: o (5.) y

54 38 Segndo ÇENGEL e CIMBALA (05) a raz qadrada do ermo o / em dmensão de velocdade e é represenada por * o /, sendo chamada de velocdade de csalhameno. Sbsndo esse reslado na Eqação 5., pode-se represenar o perl de velocdade da sbcamada lamnar na orma admensonal como: y * (5.) * Conhecda como le de parede, essa relação é bem concordane com dados epermenas para casos de speríces lsas em qe 0 y * / 5, e dsso resla e espessra da sbcamada vscosa: * sbcamada 5 (5.3) A dsânca e a velocdade admensonalzadas são dadas por: y y * e * (5.4) Desa orma, pode-se escrever a Eqação 5. como: y (5.5) No caso da camada de sperposção (o logarímca) os dados da epermenas da velocdade segem ma lnha rea qando comparados com o logarmo da dsânca à parede. O perl de velocdade é dado por: ln y B (5.6) Essa eqação é conhecda como le logarímca e os valores de (chamada consane de Von Kármán) e B são obdos epermenalmene e apresenados em váras ones da lerara como esando enre 0,40-0,4 e 5,0-5,5, respecvamene.

55 39 A gra 5.3, eraída e modcada de ÇENGEL e CIMBALA (05), mosra, assm, m perl de velocdade nversal do escoameno rbleno qe vale ano para bos como para placas planas, por eemplo. A Eq. (5.5) represena o perl para y + < 5 e a Eq. (5.6) represena o perl para y + > 30. Faz-se so da escala logarímca para melhor vsalzar o perl de velocdades na sbcamada vscosa, qe é normalmene eremamene na. Fgra Gráco mosrando ma comparação da le da parede e os pers de velocdade da le logarímca com dados epermenas para escoameno oalmene desenvolvdo em m bo. Fgra adapada da págna 366 de ÇENGEL e CIMBALA (05).

56 Parâmeros das Smlações para a Placa Plana Ese em az m esdo comparavo enre dados epermenas e os reslados obdos em smlação lzando o modelo Spalar-Allmaras e o Spalar-Allmaras modcado para o escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão. Os pers de velocdade obdos com as smlações oram comparados com o perl de velocdades admensonalzado de SREENIVASAN (989) complado a parr dos epermenos de WIEGHARDT e TILLMAN (95). A Fg. (5.4) apresena as dmensões do domíno e condções de conorno. O domíno se esende de -0,L L na dreção horzonal e 0 y 0,L na dreção vercal, onde L é o comprmeno da placa. O bordo de aaqe da placa se sa em = 0. Uma malha grossera com 0000 céllas e ora malha na com céllas oram lzadas nas smlações, para vercar ndependênca de malha. Observando a Fg. (5.4), em-se qe a placa é precedda, para y = 0 e -0,L 0, por ma regão em qe se consdera m plano de smera o parede com escorregameno, de orma a permr ao escoameno se acomodar qando ange o bordo de aaqe. A placa se sa em y = 0 e 0 L, sendo lzada a condção de não escorregameno e ~ = 0. Para a ronera em = -0,L, 0 y 0,L, consdera-se ma condção de enrada de lo, com ma velocdade U e ma vscosdade rblena ~ = 3. Noe qe sso eqvale a er ma vscosdade rblena = 0,07 por cona da denção da nção v do modelo de Spalar- Allmaras. Nas roneras = L, 0 y 0, e y = 0, L, -0,L L emos ma pressão arbraramene denda como p = 0 norme, de modo a caracerzar gradene nlo de pressão ao longo da placa. A vscosdade cnemáca recebe m valor aproprado para ermos Re L = U L / = 0 7.

57 4 Fgra Geomera e condções de conorno para o escoameno sobre ma placa plana. A gra (5.5) mosra a malha grossera lzada nas smlações. Noe qe as céllas esão concenradas no ao bordo de aaqe e da speríce da placa. Após as smlações, verco-se qe o valor do y + da prmera célla é por vola de 0,73 para a malha na e,9 para a malha grossera. Fgra Imagem da malha grossera mosrando ma maor concenração de céllas no ao bordo de aaqe e à speríce da placa plana Comparação dos reslados nmércos com os epermenas A Fg. (5.6) mosra ma comparação enre o perl de velocdade admensonal dos reslados epermenas e eórcos e os pers obdos na smlação lzando-se ano o modelo Spalar-Allmaras modcado qano o padrão e a malha grossera, para ma posção eaamene no cenro da placa, o sea, Re =50 6. Para a Fg. (5.7) em-se os mesmos reslados repedos para as smlações sando a malha na.

58 4 As smlações oram realzadas ano com o modelo Spalar-Allmaras sando a modcação proposa para a escala de comprmeno qano para o modelo Spalar-Allmaras padrão. Jno com os reslados das smlações esão ploadas as Eqações (5.5) de sbcamada vscosa e (5.6) da camada logarímca, sando = 0,4 e B = 5,0. Esão ambém ploados os reslados epermenas cados em SREENIVASAN (989) complados a parr dos epermenos de WIEGHARDT e TILLMAN (95). Fgra Gráco mosrando ma comparação dos reslados da smlação sando o modelo Spalar-Allmaras modcado para a malha grossera no com os pers de velocdade da sbcamada vscosa, le logarímca, dados epermenas de WIEGHARDT e TILLMAN (95) apd SREENIVASAN (989) e reslados da smlação sando o modelo Spalar-Allmaras padrão.

59 43 Fgra Gráco mosrando ma comparação dos reslados da smlação sando o modelo Spalar-Allmaras modcado para a malha na no com os pers de velocdade da sbcamada vscosa, le logarímca, dados epermenas de WIEGHARDT e TILLMAN (95) apd SREENIVASAN (989) e reslados da smlação sando o modelo Spalar- Allmaras padrão. A Fg. (5.8) mosra ma comparação do coecene de aro no na parece obdo aravés da Eqação (5.7) proposa por Prandl (ver WHITE, 999) com os reslados de smlações sando o modelo Spalar-Allmaras e o modelo Spalar-Allmaras modcado lzando a malha grossera. 0,07 C (5.7) Re / 7 A Fg. (5.9) mosra os mesmos reslados para as smlações lzando a malha na.

60 44 Fgra Gráco mosrando ma comparação do coecene de aro na parede obdo aravés da eqação de Prandl com os reslados do modelo Spalar-Allmaras e do modelo Spalar-Allmaras modcado para smlações com malha grossera. Fgra Gráco mosrando ma comparação do coecene de aro na parede obdo aravés da eqação de Prandl com os reslados do modelo Spalar-Allmaras e do modelo Spalar-Allmaras modcado para smlações com malha na. De ma orma geral, é percepível qe o modelo Spalar-Allmaras modcado prodz reslados mo prómos do modelo Spalar-Allmaras padrão. As smlações ano

61 45 com a malha grossera qano com a malha na prodzram reslados mo prómos aos esperados. 5. Smlações do Escoameno em m Degra com Gradene Adverso de Pressão Uma vez qe o modelo Spalar-Allmaras modcado o consderado valdado para a placa plana sem gradene de pressão, serão apresenados agora reslados de smlações para o escoameno em m degra com gradene adverso de pressão ( aqlo qe em nglês se chama "backward acng sep"). A lógca da escolha desse escoameno para vercar as capacdades predvas do modelo Spalar-Allmaras modcado resla do ao qe gradenes adversos de pressão, devdo ao srgmeno de regões de separação, são ndamenas para a deermnação da perda de carga em escoamenos nernos e do arraso em escoamenos eernos. Logo, é deseável qe m modelo de rblênca enha boas propredades predvas qando empregado na smlação desses escoamenos. Inelzmene, como pode ser vso em RODI e SCHEUERER (986), o modelo de das eqações k- padrão, apesar de sa poplardade, sempre se mosro decene para esse po de problema. Os desenvolvmenos qe reslaram nos rabalhos de WILCOX (988) e MENTER (994) em grande pare oram movados pela bsca de modelos qe reprodzssem as caraceríscas de escoamenos com gradenes adversos de pressão e grandes regões de recrclação. SPALART e ALLMARAS (994) reporaram qe se modelo reprodza bem escoamenos com gradenes de pressão não mo severos, ípcos de aplcações em aeroólos, mas não esperavam reslados anmadores para o degra com m gradene de pressão adverso abrpo. No enano, o sío do laboraóro LANGLEY RESEARCH CENTER (05), da NASA, mosra reslados de smlações para o degra em qe reslados razoáves em comparação com os epermenos de DRIVER e SEEGMILLER (985) oram obdos sando o modelo Spalar-Allmaras padrão. Assm, decd-se esar a modcação proposa do modelo Spalar-Allmaras para o mesmo escoameno.

62 Parâmeros da Smlação A Fg. (5.0) mosra a geomera e as condções de conorno obdas a parr de consla ao sío do LANGLEY RESEARCH CENTER (05). Consdera-se a orgem do ssema de coordenadas no cano neror do degra de alra H. Para = -30H, com H y 9H, emos a regão de enrada do escoameno, onde se esplam ma velocdade U e ma vscosdade rblena ~ = 3. Segem-se, para -30H -0H, em y = H e y = 9H, das regões consderadas como sendo paredes com escorregameno (o planos de smera). Essas das regões servem para acomodar o escoameno qe rá angr os bordos de aaqe das paredes speror e neror qe condzrão o lo aé o degra. Para -0H 50H e y = 9H em-se a parede speror do canal, com condção de não-escorregameno. Para -0H 0 e y = H em-se a prmera pare da parede neror, qe condz o lo aé o degra, com condção de não-escorregameno. Para = 0 e 0 y H em-se o degra, com condção de não-escorregameno. Para 0 50H e y = 0 em-se a segnda pare da parede neror, com condção de não-escorregameno. Para = 50H e 0 y 9H em-se a saída com mposção de ma pressão arbrára p = 0. Fnalmene, a vscosdade cnemáca o esplada de orma qe se enha m número de Reynolds baseado na alra H do degra gal a 36000, o sea, U H / = Foram geradas das malhas para as smlações, ma malha grossera com 4050 céllas e ma malha na com 5780 céllas. Dos reslados das smlações com o modelo Spalar-Allmaras modcado se verco qe em odas as paredes se obeve m valor mámo de y + gal a 0,70 para a malha na e gal a,8 para a malha grossera. A vsa geral da malha grossera pode ser vsa na Fg. (5.). Um dealhe da malha na regão do degra pode ser vso na Fg. (5.).

63 47 Fgra Dmensões e condções de conorno lzadas na smlação para o degra com gradene adverso de pressão. Fgra 5. - Malha grossera lzada na smlação do degra com gradene adverso de pressão. Fgra 5. - Dealhe da malha grossera na regão do degra com gradene adverso de pressão.

64 Comparação dos reslados nmércos com os epermenas A comparação dos reslados epermenas o ea aravés de pers de velocdade para as posções /H =, /H = 4, /H = 6 e /H = 0. Esses pers esão dsponíves no sío de LANGLEY RESEARCH CENTER (05) e apresenam reslados epermenas de DRIVER e SEEGMILLER (985). Os pers apresenam a velocdade admensonalzada por ma velocdade de reerênca U re obda no pono = -4H, y = 5H. Nesse perl a velocdade admensonal /U re esá dada para 0 < y < 3H. Os grácos das Fgs. (5.3), (5.4), (5.5) e (5.6) mosram ma comparação enre o perl de velocdade admensonal dos reslados epermenas e os pers obdos na smlação lzando-se o modelo Spalar-Allmaras e o Spalar-Allmaras modcado com malha grossera. É possível ver a grande concordânca enre os dados epermenas e os obdos aravés do Spalar-Allmaras modcado. Os grácos das Fgs. (5.7), (5.8), (5.9) e (5.0) mosram ma comparação enre o perl de velocdade admensonal dos reslados epermenas e os pers obdos na smlação lzando-se o modelo Spalar-Allmaras e o Spalar-Allmaras modcado com malha na. Os reslados poco derem dos obdos com a malha grossera e mas ma vez é possível ver a grande concordânca enre os dados epermenas e os obdos aravés do Spalar-Allmaras modcado. Noável é qe o modelo modcado apreseno reslados bem melhores qe o modelo Spalar-Allmaras padrão para /H =.

65 49 Fgra 5.3 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha grossera para = H. Fgra 5.4 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985)) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha grossera para = 4H.

66 50 Fgra 5.5 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha grossera para = 6H. Fgra 5.6 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha grossera para = 0H.

67 5 Fgra 5.7 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha na para = H. Fgra 5.8 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha na para = 4H.

68 5 Fgra 5.9 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha na para = 6H. Fgra 5.0 Comparação enre os reslados obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)), os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha na para = 0H.

69 53 Além dos pers de velocdade, oram realzadas comparações sobre o coecene de aro C na parede neror logo após o degra. Na Fg. (5.) pode-se ver a comparação enre epermenos e smlações para a malha grosssera e na Fg. (5.) pode-se ver a comparação enre epermenos e smlações para a malha na. Fgra 5. Comparação enre os reslados do coecene de aro obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)) e os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha grossera.

70 54 Fgra 5. Comparação enre os reslados do coecene de aro obdos epermenalmene (DRIVER and SEEGMILLER (985) apd LANGLEY RESEARCH CENTER (05)) e os obdos com o modelo de Spalar-Allmaras e os obdos com o modelo Spalar-Allmaras modcado com malha na. Verca-se dos reslados da smlação qe o modelo Spalar-Allmaras modcado prodz reslados mo prómos ao modelo Spalar-Allmaras padrão, redndando nma peqena melhora qano ao perl de velocdades no níco da bolha de separação. 5.3 Smlação do escoameno de m ao plano lvre ncompressível Após smlações do escoameno sobre ma placa plana sem gradene de pressão e do escoameno em m degra com gradene adverso de pressão, chego-se à conclsão qe o modelo modcado maném as caraceríscas do modelo Spalar-Allmaras padrão. A smlação do ao vsa ndcar se a modcação proposa na escala de comprmeno rblena resla em algm ganho sgncavo na smlação de aos lvres. Devdo sa grande mporânca em mas áreas da engenhara, o escoameno de aos rblenos êm sdo obeo de mos esdos, ano epermenas como nmércos. As prmeras nvesgações eram lmadas apenas a medções de pressões e velocdades mas maores conhecmenos sobre a esrra dos aos o consegda a parr da dsponblzação dos anemômeros de o qene. Mas arde, aravés da lzação de Anemômeros Laser-

71 55 Doppler (LDA), descobr-se a esênca do lo reverso e mas normações oram obdas sobre as roneras do ao (NAMER, 988). Os pers de velocdade obdos com as smlações oram comparados com o perl de velocdades de BARDINA e al. (997) complado a parr dos epermenos de BRADBURY (965): y/ = [0,000; 0,009; 0,08; 0,06; 0,034; 0,035; 0,044; 0,053; 0,06; 0,06; 0,070; 0,079; 0,088; 0,096; 0,097; 0,06; 0,0; 0,0; 0,4; 0,3; 0,3; 0,3; 0,4; 0,4; 0,50; 0,58; 0,67; 0,69; 0,76; 0,85; 0,88; 0,94; 0,0; 0,; 0,0] U/U = [,000; 0,996; 0,983; 0,96; 0,96; 0,933; 0,898; 0,856; 0,784; 0,809; 0,758; 0,703; 0,646; 0,553; 0,588; 0,59; 0,500; 0,468; 0,47; 0,400; 0,44; 0,358; 0,305; 0,84; 0,56; 0,0; 0,68; 0,74; 0,3; 0,099; 0,084; 0,07; 0,050; 0,033; 0,00] Segndo a Fg. (.), a velocdade U é a velocdade no cenro do ao. A parr dos pers obdos, será possível ober a chamada aa de epansão ("spreadng rae") S do ao, qe corresponde à dsânca y/ para a qal a velocdade do perl é gal à U / Parâmeros da Smlação Na Fg. (5.3) em-se a geomera e condções de conorno para a smlação do ao plano lvre. O orgem do ssema de coordenadas esá no cano neror esqerdo. Para = 0, 0 y 0,5H em-se a orgem do ao de velocdade norme U e ma elevada vscosdade rblena ~ 90. Para y=0, 0 60H em-se m plano de smera. Porano, H é a espessra orgnal do ao.

72 56 Para = 0, 0,5H y 60H em-se ma parede. Para y = 60H, 0 60H e para = 60H, 0 y 60H em-se ma ronera com pressão norme e arbrára p = 0. Nessa ronera o denda ma condção de Nemann para a velocdade. Porém, epermenos nmércos mosraram qe essa ronera não é em oda sa eensão ma ronera de saída de lo. De ao, na ronera y = 60H, 0 60H esem váras céllas em qe o lo penera no domíno. Por sso, lzo-se ma condção de conorno para ~ qe consdera a dreção do lo. Para aces onde o escoameno dea o domíno, so-se ma condção de Nemann para ~. Para aces onde o escoameno enra no domíno, so-se ma condção de Drchle ~ 3, o qe, pela denção da nção v do modelo de Spalar-Allmaras, corresponde a 0, 07. A condção de conorno de ~ 90 vsa ornar o escoameno alamene rbleno e razoavelmene ndependene do número de Reynolds. Opo-se arbraramene por sar m número de Reynolds Re H = U H / = Foram sadas das malhas, ma grossera com 9680 céllas e ora na com céllas. A malha grossera pode ser vsa na Fg. (5.4).

73 57 Fgra Geomera e condções de conorno para a smlação do ao plano lvre. Fgra Malha grossera sada nas smlações do ao plano lvre.