Figura 1 Uma imensa nuvem de pássaros [ red-billed queleas] retornam a seu viveiro natural ao pôr do sol, Delta do Okavango, Botswana, África

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1 5. MÉTODO DE ENXAME DE PARTÍCULAS PARTICLE SWARM 5..Analoga Comparamenal: odos por um e um por odos 5..A Tradução Maemáca: o algormo básco 5.3.A Programação do Algormo 5.4.Eemplos Ilusravos 5. MÉTODO DE ENXAME DE PARTÍCULAS 5..Analoga Comporamenal : odos por um e um por odos Fgura Uma mensa nuvem de pássaros [ red-blled queleas] reornam a seu vvero naural ao pôr do sol, Dela do Oavango, Boswana, Árca O méodo de ename de parículas pode ser eplcado de uma orma smples aravés de uma analoga de comporameno socal apresenada por M. Clerc [ The Swarm & The Queen. Towards a Deermnsc and Adapve Parcle Swarm Opmzaon de Maurce Clerc Argo dsponblzado na Inerne na Home Page hp://clerc.maurce.ree.r/pso/]. O auor sugere a segune suação cíca: Suponha que você e alguns amgos esão à busca de um esouro enerrado em uma lha. Cada membro da epedção em um rádo-comuncador-recepor, podendo se comuncar com odos os membros normando-os sobre a suação em que se enconra, bem como ouvr odos os comuncados rocados enre os membros. Assm, cada eplorador sabe a localzação de oda a equpe e esá normado sobre a suação quão prómo esá do enconro do esouro de cada membro. O seu prómo deslocameno será eo undamenado em sua própra eperênca e nos relaos ouvdos em seu rádo. Desa orma, havendo real cooperação e roca de normações enre os membros da equpe, o esouro será achado em um empo bem menor do que se você osse escavar soznho város buracos na lha....em suma, o aspeco cooperavo da busca do esouro podera er como epíeo a amosa rase enconrada no nal do Capíulo 9 do lvro Os Três Mosqueeros de Aleandre Dumas odos por um e um por odos, ese é nosso lema, não é?.

2 Ese mesmo comporameno cooperavo e de roca de normações é enconrado enre váras espéces anmas: em revoadas de pássaros, em cardumes de pees, em enames de abelhas, ec. Censas de derenes áreas enaram modelar eses comporamenos e smulá-los, em parcular Renolds [ Renolds, C.W. 987 Flocs, herds and schools : a dsrbued behavoral model em Compuer Graphcs, 4: 5-34] dscue a rqueza do movmeno de revoadas de pássaros, de manadas de anmas erresres ou de cardumes de pees procurando esabelecer regras báscas do comporameno ndvdual que jusquem o comporameno do grupo. O objevo do rabalho o o desenvolvmeno da anmação, por compuação gráca, do movmeno de cada membro do grupo, esando porano ora do escopo do presene curso. Enreano, a conclusão mas pernene do argo se reere ao ao do movmeno smulado da revoada de pássaros ser o resulado de comporamenos relavamene smples do movmeno de cada um dos ndvíduos pássaros. Um ouro rabalho ponero é o de Heppner & Grenander [ Heppner, F & Grenander, U. 990 A sochasc nonlnear model or coordnaed brds locs em The Ubqu o Chaos Edado por S. Krasner, AAAS Publcaons, Washngon DC] rabalho conjuno enre um bólogo prmero auor! e um maemáco que busca esabelecer as regras que descrevam a perea sncrona do movmeno de um grande número de pássaros ano em suas súbas e bem orquesradas mudanças de dreção, como no seu espalhameno e poseror reagrupameno. O prmero rabalho sobre o algormo de omzação naural denomnado ENXAME DE PARTÍCULAS Parcle swarm em Inglês é o de Eberhar & Kenned [ Kenned, J. & Eberhar, R. 995, - Parcle Swarm Opmzaon em Proceedngs IEEE Inernaonal Conerence on Neural Newors Perh, Ausrála págnas , argo dsponblzado na Inerne na Home Page: hp:// que, movados pelo comporameno gregáro do movmeno de anmas pássaros, pees, abelhas, gado, ec., propuseram um algormo de omzação não deermnísco basane ecene, robuso e de smples mplemenação compuaconal. A radução maemáca do algormo de Eberhar & Kenned é apresenado no prómo em, enendendo-se que o ermo parícula se reere a cada um dos ndvíduos do grupo ermo equvalene a ndvíduo no algormo genéco e o ermo ename se reere ao grupo de ndvíduos. É mporane enazar que nese algormo, de orma dsna do algormo genéco, o ndvíduo a parícula é mando ínegro durane odo o processo, sobrevvendo sem envelhecer aé o nal do procedmeno, a únca modcação sorda pelo ndvíduo é sua localzação no espaço. volar para ENXAME DE PARTÍCULAS 5.. A Tradução Maemáca: o algormo básco No argo de Eberhar & Kenned 995 não se enconra demonsração ormal alguma do algormo proposo pelos auores, o méodo proposo já esá apresenado em sua orma recursva adequada para mplemenação compuaconal. Uma enava de apresenar ese algormo é apresenada nese em, resulando desa nova ormulação uma versão modcada do algormo

3 orgnalmene proposo. 3 A déa undamenal do algormo é o esabelecmeno, em cada passo ou eração, do movmeno de cada uma das parículas do grupo composo por n parículas sendo o valor de n escolhdo pelo usuáro!. Ese movmeno é noreado pela lembrança da posção valor da unção objevo no espaço que a parícula já enconrou em seu movmeno e no conhecmeno da posção já enconrada por odo o grupo. A ulzação da posção ndvdual da parícula pode ser classcada como uma espéce de auoconança ou coloqualmene como o comporameno sou-mas-eu! e a normação da posção do grupo pode ser classcada como um comporameno gregáro do ndvíduo ou coloqualmene como o comporameno mara-va-com-as-ouras!. Para assegurar a esênca de uma cera personaldade em cada ndvíduo se doa cada ndvíduo do grupo de um comporameno dsno e aleaóro em que a ponderação desas duas normações é soreada ao longo do processo, assumndo assm um valor derene para cada uma das parículas e varando ese valor ao longo do processo eravo procurando raduzr uma cera mudança humor do ndvíduo ao longo do empo. Assm, consderando o movmeno da parícula em um plano ou em um espaço b-dmensonal e sua localzação nese espaço caracerzada por suas coordenadas: Parícula posção no plano no passo ou eração :, onde =,,...,n número oal de parículas no ename e =,,...,m número oal de passos; posção da parícula :, e posção já enconrada pelo ename odas as parículas,. global global A Força Morz que movmenará cada uma das parículas será proporconal à dsânca enre a posção aual da parícula e o pono resulane da méda ponderada enre a posção ndvdual da parícula e a posção do ename, so é : global global X X onde e são dos números aleaóros [0,]. Y MELHOR INDIIDUAL ŷ MELHOR GLOBAL O reângulo sombreado na gura acma represena a regão no plano de odos os

4 4 ponos X. Consderando o movmeno de cada parícula análogo ao do movmeno do ssema mecânco carrnho+mola+amorecedor resula no balanço de orças em orma admensonal!: Na dreção : e na dreção : d d d d d d d d X Y esas duas equações derencas são resolvdas no nervalo de empo empo arcal admensonal, que na realdade mede, em sua orma dscrea, as erações do processo :. No níco do nervalo se em: ; d d d ; e d que são os dos componenes do veor velocdade da parícula no níco do nervalo. Os parâmeros e são dos números aleaóros admensonas! [0,]. Reescrevendo as duas equações derencas em ermos dos dos componenes do veor velocdade resula no ssema de equações derencas de prmera ordem: do nervalo: d d d d d d d d Resolvendo numercamene esas equações pelo méodo de Euler eplíco, resula no nal X Y X Y Denndo as varáves : e resula:

5 5,,,,,,,, Y X Agrupando os parâmeros das epressões acma chega-se à orma erava do méodo conorme sugerda por Eberhar & Kenned 995 :,,,,,, global global c c c c para = 0,,..., m-; sugere-se adoar a ponderação decrescene com de orma lnear segundo a epressão: m ncal nal ncal com nal < ncal ; as consanes c e c são valores reas posvos escolhdos pelo usuáro e os parâmeros,, e são valores randômcos ou aleaóros soreados em cada passo do processo eravo. As posções e velocdades ncas das parículas podem ser dendas pelo usuáro ou enão geradas aleaoramene pelo compuador. Uma orma alernava do procedmeno recursvo pode ambém ser obda sendo reerencada a parr dese nsane como algormo modcado de ename de parículas, abrevadamene PSO-modcado, em conraposção ao de Eberhar & Kenned denomnado de PSO-clássco aravés da solução analíca, em cada nervalo de empo, do ssema orgnal de EDO s: 0 0 Y d d d d X d d d d congelando os valores de X e Y em seus valores no níco do nervalo, soreando os valores de e apenas uma vez em e resolvendo o ssema com as condções ncas: Noe que na dscrezação das equações derencas o procedmeno de negração da posção é o Euler mplíco enquano que o das velocdades é o Euler eplíco!

6 6 ; ; e d d d d, resula: Y Y Y Y X X X X sen cos ep sen cos ep sen cos ep sen cos ep onde: e. Esa orma modcada do algormo só necessa além da especcação do número de parículas, do número de erações e dos valores ncas das posções e velocdades das parículas da especcação do parâmero > 0. Ese é a grande vanagem dese méodo modcado no algormo clássco se deve especcar os valores das consanes c, c e de ncal e nal e a maor compledade do algormo é apenas aparene já que o procedmeno recursvo é análogo ao do clássco derndo apenas no cálculo em cada passo dos valores de unções rgonomércas smples seno e coseno e da unção eponencal o que não aumena em nada o cuso compuaconal do códgo. volar para ENXAME DE PARTÍCULAS 5.3. A Programação do Algormo As duas ormas do algormo são, sob o pono de vsa de mplemenação, semelhanes derndo apenas nas epressões maemácas de cálculo da posção e da velocdade de cada parícula ao cabo de cada eração e nas especcações das consanes pernenes. O algormo PSO-clássco para a busca do mámo de uma unção, pode assm ser sumarzado pelo pseudo-códgo abao: Eapa Incal Ieração zero: Enre com n o número de parículas do ename, m o número de erações, especque os valores de nal, ncal, c, c e os valores mínmos e mámos de e de. Gere as condções ncas segundo o procedmeno : para =,..., n aça rnd ; mn mn MAX e Nos procedmenos a unção. rnd gera números aleaóros com dsrbução unorme enre 0zero e.

7 rnd ; mn MAX mn e 7, 0 e, 0 opou-se nese caso para parr com as parículas em repouso!. Faça ; ;, e global ; Eapa a para =,..., n aça, se global enão aça ; e global vole para o níco da Eapa a com o prómo ; se global vole para o níco da Eapa a com o prómo ; m Eapa Ieração Para =,..., m aça ncal nal ncal Eapa -a Para =,...,n aça: rnd ; rnd ; rnd e rnd c,, c global c,, c global, e, MAX aça MAX e 0, mn aça mn e, 0 MAX aça MAX e, 0 mn aça mn e, 0 Calcule, aual

8 aual aça aual, e ; verque a segur se aual global aça global aual 8, global e global ; caso aual global vole ao níco Eapa -a com o prómo se < n, caso conráro [ n] vá para o níco da Eapa com o prómo se < m, caso conráro [ m] vá para a Eapa aual vole ao níco Eapa -a com o prómo se < n, caso conráro [ n] vá para o níco da Eapa com o prómo se < m, caso conráro [ m] vá para a Eapa Eapa O processo eravo ermnou os es valores de e são : global e ŷ global e nese pono o valor da unção é : global FIM O algormo PSO-modcado para a busca do mámo de uma unção, pode assm ser sumarzado pelo pseudo-códgo abao: Eapa Incal Ieração zero: Enre com n o número de parículas do ename, m o número de erações, especque o valor de > 0 e os valores mínmos e mámos de e de. Gere as condções ncas segundo o procedmeno: para =,..., n aça rnd ; mn MAX mn e rnd ; mn MAX mn e repouso!. 0 e 0 opou-se nese caso para parr com as parículas em Faça ; ;, e global ; Eapa a para =,..., n aça, se global enão aça ; e global vole para o níco da Eapa a com o prómo ;

9 9 se global vole para o níco da Eapa a com o prómo ; Eapa 3 Ieração Para =,..., m eecue Eapa -a Eapa -a Para =,...,n aça: rnd ; rnd ; rnd e rnd Calcule : ; X global ; A X ; B A ; ep cos e ep sen X A B A B MAX aça MAX mn aça mn e 0 e 0 a segur calcule : ; Y global C Y ; D C ; g ep cos e g ep sen Y C g D g g C D g MAX aça MAX e 0 mn aça mn e 0 Calcule, aual aual aça aual, e ; verque a segur se global aual global aça global aual, global e ; caso aual global vole ao níco Eapa -a com o prómo se

10 < n, caso conráro [ n] vá para o níco da Eapa com o prómo se < m, caso conráro [ m] vá para a Eapa 0 aual vole ao níco Eapa -a com o prómo se < n, caso conráro [ n] vá para o níco da Eapa com o prómo se < m, caso conráro [ m] vá para a Eapa Eapa 4 O processo eravo ermnou os es valores de e são : global e ŷ global e nese pono o valor da unção é : global. FIM A seleção dos valores dos parâmeros/consanes dos dos algormos é uma area de enava-e-erro, a recomendação que se dá neses casos e para eses pos de algormos é a eecução de um grande número de epermenos numércos. A práca adqurda aravés da mplemenação compuaconal dos algormos e a resolução de eercícos smples é undamenal para se adqurr alguma sensbldade sobre os valores deses parâmeros/consanes. Mesmo assm se deve alerar que não há valores mágcos deses parâmeros/consanes e sempre descone de argos cenícos que sugram de orma caegórca valores parculares deses parâmeros como os es. volar para ENXAME DE PARTÍCULAS 5.4. Eemplos Ilusravos Para enender o sgncado dos parâmeros do méodo, consdere a mesma unção consderada nos algormos genécos, que é a mnmzação de F apresenada abao. F

11 Fgura Espaço de busca da unção ese Observe que esem mínmos locas em -8,834, -,546 e 8,87, sendo ese úlmo o mínmo global. A unção apresena mámos locas em -5,58 e 3,94. Fgura 3 Eremos da unção ese As duas versões do PSO oram mplemenadas compuaconalmene. Abao é mosrada a evolução dos valores ómos da unção e da varável ao longo do procedmeno evoluvo com a orma clássca do algormo endo sdo ulzado os segunes conjuno de parâmeros: ncal =0,9 ; nal =0 ; c =c =; MAX = + e mn = -.Adoando-se uma população de 0dez parículas, um mámo de 0 vne erações e parndo de localzações ncas aleaóras enre e + e do repouso.

12 X n X n omo m Fgura 4 Evolução dos Melhores alores Globas da Função Tese m Fgura 5 Evolução dos Melhores alores Globas da arável Uma anmação desa solução pode ser reproduzda clcando-se no programa Unvarável_PSO_clássco. Abao é mosrada a evolução dos valores ómos da unção e da varável ao longo do procedmeno evoluvo com a orma modcada do algormo endo sdo ulzado os segunes conjuno de parâmeros:=; MAX = + e mn = -.Adoando-se uma população de 0dez parículas, um mámo de 0 vne erações e parndo de localzações ncas aleaóras enre e + e do repouso X n 7.5 X n 9. omo m Fgura 6 Evolução dos Melhores alores Globas da Função Tese m Fgura 7 Evolução dos Melhores alores Globas da arável Uma anmação desa solução pode ser reproduzda clcando-se no programa Unvarável_PSO_modcado.

13 Noem que o desempenho das duas ormas do algormo é dênco, não sendo possível armar qual das duas ormas é mas ecene. 3 O unconameno do algormo de ename de parículas PSO para os ínmos é agora lusrado com a mamzação de uma unção de duas varáves, a chamada Função Alpna que é represenada pela equação :, sen sen no domíno : 0 < <0 e 0 < < 0. Esa unção é mosrada nas duas guras a segur: a Fgura 8 A Função Alpna a Fgura 9 A Função Alpna em Curvas de Nível O mámo global desa unção, na regão consderada, é em = 7,97 onde a unção assume o valor MAXIMO 7, Abao é mosrada a evolução dos valores ómos da unção ao longo do procedmeno evoluvo com a orma clássca do algormo endo sdo ulzado os segunes conjuno de parâmeros: ncal =0,9 ; nal =0 ; c =c =; MAX = MAX = +0 e mn = mn = 0.Adoando-se uma população de 0vne parículas, um mámo de 0 vne erações e parndo de localzações ncas aleaóras [enre 0,0 e 0,0] e do repouso.

14 alor ómo O mo Fgura 0 Evolução dos Melhores alores Globas da Função Alpna Uma anmação desa solução pode ser reproduzda clcando-se no programa Alpna_PSO_Clássco. Abao é mosrada a evolução dos valores ómos da unção ao longo do procedmeno evoluvo com a orma modcada do algormo endo sdo ulzado os segunes conjuno de parâmeros: :=; MAX = MAX = +0 e mn = mn = 0.Adoando-se uma população de 0vne parículas, um mámo de 0 vne erações e parndo de localzações ncas aleaóras [enre 0,0 e 0,0] e do repouso alor ómo Omo m Fgura Evolução dos Melhores alores Globas da Função Alpna Uma anmação desa solução pode ser reproduzda clcando-se no programa Alpna_PSO_Modcado. É mporane novamene enazar que os es valores dos parâmeros/consanes das duas ormas do algormo são muo dependenes do problema parcular que se esá resolvendo e que uma análse da sensbldade da resolução do problema a valores parculares dos

15 5 parâmeros/consanes só pode ser ea após a eecução de um grande número de smulações. Desa manera, recomendamos oremene que sejam eos odos os eercícos da lsa sobre o assuno e que dúvdas sejam radas por E-mal ou durane as sessões do cha-room. volar para ENXAME DE PARTÍCULAS