Modulações digitais. Espaços de sinal e regiões de decisão. Funções ortogonais. Ortogonalização de Gram-Schmidt

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1 Modulaçõe dga Epaço de nal e regõe de decão Funçõe orogona Orogonalzação de Gram-Schmd

2 Uma perpecva geomérca do na e ruído (Koelnkov) Um epaço orogonal de dmenõe é caracerzado por um conjuno de ψ () funçõe lnearmene ndependene, a chamada funçõe-bae, { } Qualquer função arbrára, (), dee epaço pode er gerada aravé de uma combnação lnear da funçõe-bae: ψ j O coefcene ão dado por j j j j K j ( ) ψ j d Kj conane A funçõe-bae devem afazer a condção K j ψ j ψ k d j k j k j, k,,, Se K j o epaço dz-e orogonal Se K j o epaço dz-e oronormado (o n) Exemplo de epaço orogonal com : ψ () Vecor de nal a m a m m m (a m, a m, a m ) ψ () a m ψ () Uma perpecva geomérca do na e ruído

3 Funçõe-bae O nal () é repreenado pelo vecor [ ] O quadrado do comprmeno, ou norma, do vecor é defndo como j,,, M j É o produo nerno do vecor congo própro Correpondênca enre a energa de um nal e a ua repreenação vecoral: Energa: E d (por defnção) E ψ kψ k d j k ψ j ψ k d j k j j j k Ea expreão mplfca-e baane dado que E j j j ) ψ k ψ ( d δ : jk A energa de um nal é gual à norma quadráca do vecor que o repreena Dânca eucldana enre do pono: dk k ( ) [ () ()] k k j kj k d j d d E A energa da dferença de do na é gual à dânca quadráca enre o correpondene pono do epaço Uma perpecva geomérca do na e ruído

4 Funçõe-bae (conn) Correlação enre na: k d k Ângulo enre do vecore: co θ k k k Como ober o elemeno do vecor a parr de ()? ψ () () ψ () () () Analador Como ober () a parr do elemeno do vecor? ψ () ψ () ψ () Σ () Snezador Uma perpecva geomérca do na e ruído 4

5 Exemplo de um conjuno de na arbráro defndo à cua de na orogona O conjuno { ()} não é orogonal porque (exemplo para () e ()): o () () d () () d+ () () d O conjuno { ()} (para er orogonal era de er () j() d j) ψ é orogonal porque ψ() ψ j() d j Podemo exprmr o conjuno não-orogonal { ()},,,, à cua da ψ (), j, forma de onda bae { j } () ψ() ψ () () ψ() + ψ() ( kj ) () ψ() ψ() o o Uma perpecva geomérca do na e ruído 5

6 Como ober a funçõe-bae (orogonalzação de Gram-Schmd) A parr de M na de energa (), repreenado pelo vecore, podemo ober M funçõe-bae ψ () procedendo dea manera: j Ecolhe-e arbraramene um do na Seja ( ) A prmera função-bae é defnda am : ( ) ψ ( ) ( E E ) O prmero elemeno de é, por defnção, d ( ) ψ ( ) Defne-e uma função nerméda g ( ) : g ψ ( ) ( d - energa de ( ) ) 4 Defne-e a egunda função-bae à cua de g ( ) e da ua energa: ψ g g Subundo g ( ) : 5 Connuando d ψ [ ψ ] ψ ( ) E d ψ g jψ j (equação geral de g () ) j 6 Dado g () defne-e 4 g ( ) ψ ( ),,, g d Uma perpecva geomérca do na e ruído 6

7 Como ober a funçõe-bae (orogonalzação de Gram-Schmd) oa: Ea defnção mplca que E ee pono já emo O ouro componene de eão ncluído na função nerméda g ( ) oe-e que g ( ) é orogonal a ψ no nervalo de a : g ψ ( ) d ψ( ) d ψ d Pode confrmar-e que ( ) ψ d e que ψ () ψ () d 4 Ea defnção engloba o cao parculare, nauralmene Por exemplo: Se : g ) ( ) ( Se : g ) ψ ( ) (, como devera er O número de funçõe-bae,, é menor ou gual que o número de na, M: Se o M na forem lnearmene ndependene: M Se não forem lnearmene ndependene, enão < M e a função nerméda g () é nula para > Uma perpecva geomérca do na e ruído 7

8 Orogonalzação de Gram-Schmd: um exemplo () () () 4 () / / / Qual é a bae oronormada para ee conjuno de na? ª função-bae ψ () () E ouro valore ψ () ª função-bae (po ) E () d () d / Por defnção () ψ () d () d Energa de (): E () d () d g () () ψ () ψ () () ψ () ouro valore ψ () E / / ª função-bae () ψ() ψ d () () d g() () ψ() ψ() ouro valore ψ () ψ () g () g () d ouro valore / Uma perpecva geomérca do na e ruído 8

9 Regõe de decão Uma perpecva geomérca do na e ruído 9

10 Regõe de decão Algun exemplo em epaço de nal bdmenonal (modulação 8-QAM) Uma perpecva geomérca do na e ruído