1.Equações do Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos

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1 3.Equaçõe do Modelo de Eado de Siema Lineare Conínuo Objecivo: Morar que há um conjuno diverificado de iema que podem er modelado aravé da equaçõe de eado.

2 4 Eemplo: Supenão magnéica imple u y Um modelo para o movimeno da upenão magnéica é obido a parir da lei de Newon: d d y m força aplicada

3 5 d d y m força aplicada A força aplicada ão o peo P e a força elecromagéica. Admie-e que ea e decompõe em dua parcela, uma que compena o peo e a oura que é proporcional ao inal u. Admiindo m e a conane de proporcionalidade enre u e a força igual a, vem o modelo implificado O modelo é decrio por uma equação diferencial de ª ordem. d d y u

4 6 Não é urpreendene que a upenão magnéica eja decria por uma equação diferencial de egunda ordem. De faco, para conhecermo o movimeno da efera preciamo de dua variávei: A ua poição e a ua velocidade. Io ugere que o modelo da upenão eja decrio por dua equaçõe diferenciai de primeira ordem, nea variávei, em vez de uma única equação diferencial de egunda ordem.

5 7 Tomem-e como variávei a poição e a velocidade y y Com ea variávei, a efera pode er decria pelo eguine iema de dua equaçõe diferenciai de primeira ordem: d d d d u

6 8 O iema de dua equaçõe diferenciai de primeira ordem d d d é equivalene à equação diferencial de ª ordem Em ambo o cao devem er epecificada dua condiçõe iniciai. d d d y u u

7 9 Podemo decrever o iema de equaçõe diferenciai u d d d d na forma maricial equivalene u y que coniui o modelo de eado da efera, endo o vecor o eado do iema.

8 Forma padrão do modelo de eado da upenão magnéica u y Definam-e a marize A B C D O modelo de eado ecreve-e na forma padrão bu A Du C y Em odo o cao que vamo coniderar D iema com mai pólo que zero.

9 O epaço de eado da upenão magnéica A vanagem de coniderarmo o modelo de eado é podermo imaginar a ua evolução em ermo geomérico no epaço da variávei. A ee epaço chama-e epaço de eado.

10 A evolução da variávei de eado pode er penada como rajecória no epaço. Por eemplo, e o eado da efera eiver no pono A do epaço de eado, ele vai inicialmene alerar-e no enido da ea:

11 3 Eemplo: Circuio elécrico R v R v v d dv C R v v i d dv C u

12 4 R v R v v d dv C R v v i d dv C u Definindo: R C R C R C C R C R A C B C D u i u v v v y O modelo de eado do circuio pode ecrever-e na forma padrão: Du C y Bu A

13 5 Servomoor DC com conrolo pela armadura Binário do moor: T K' i Sendo o fluo criado pelo circuio de campo conane, T Ki Tenão ao erminai do róor e K b

14 6 Circuio do róor do moor: L di d R i e u Movimeno do róor do moor: J d d T

15 7 Tomem-e como variávei de eado do moor: i obêm-e a equaçõe de eado, omando como aída a velocidade : u L L R L K J K J b y Se quiéemo modelar a poição, neceiaríamo de uma variável de eado adicional.

16 8 Modelo de eado cao geral Equação de eado eq. diferencial, relaciona a enrada u com o eado : A Bu Condição inicial no eado Equação de aída eq. algébrica, relaciona o eado com a aída y : y C Du Dimenõe: n m p R, u R, y R An n Bn m Cp n Dp m Normalmene iremo coniderar D, m, p.

17 9 Diagrama de bloco do modelo de eado

18 Ecolha da variávei de eado A variávei de eado coniuem um conjuno de variávei que, dada condiçõe iniciai, podem er conhecida para qualquer inane fuuro, por inegração da equaçõe de eado. A variávei de eado eão muia veze aociada ao elemeno que armazenam energia por eemplo, na ecolha feia para o moor DC, ma io não é neceariamene aim, embora a energia poa er uma ajuda imporane para eabelecer o modelo de eado e projecar o conrolo. A variávei de eado não ão única, nem êm de er em número mínimo. Ee pono erão dicuido poeriormene.

19 Plano de eado Para um iema com dua variávei de eado, o epaço de eado reduz-e a um plano, denominado plano de eado. Eemplo d d d d com condição inicial. A olução no empo e a correpondene órbia no epaço plano de eado moram-e na figura eguine.

20 .5 Repoa no empo Trajecória correpondene no plano de eado

21 3.Converão enre o modelo de eado e a função de ranferência Objecivo: Apó eudar ee módulo, o aluno deverá er capaz de ober a marize que definem o modelo de eado dada uma função de ranferência e vice-vera.

22 4 Obenção da função de ranferência a parir do modelo de eado A bu y C Tome-e a ranformada de Laplace com condiçõe iniciai nula: X AX bu X TL U TL u Y CX Daqui vem I A X bu X I A bu ou eja Y C I A b U

23 5 Y C I A b U A função de ranferência vem poi dada por G C I A b Dado que I A adj I de I A A a função de ranferência ecreve-e G C adj I de I A b A

24 6 Noa obre Álgebra Linear Adjuna de uma mariz A adjuna de uma mariz m M é dada por ij adj M M T ij em que M ij é o co-facor do elemeno m ij, ou eja, é dada pelo deerminane da mariz que e obém eliminando a linha i e a coluna j, muliplicado por i j. Eemplo: a adj c b d d c b a

25 7 Adjuna de uma mariz Eemplo M T M adj Para verificar o reulado, oberve-e que de I M M adj M Referência: G. Srang, Linear Algebra and i Applicaion, ª ed., p 7.

26 8 Pólo e zero G C adj I de I A b A O pólo ão a raíze do polinómio caraceríico da mariz A, dado por O zero ão a raíze do polinómio de I A C adj I A b

27 9 Função de ranferência a parir do modelo de eado Eemplo 6 5 A b C A I A I G

28 3 Obenção do modelo de eado Siema em zero Dada a função de ranferência apena com pólo: G 3 a b a a Preende-e ober um modelo de eado que a repreene. Repare-e que ee modelo de eado não é único. Vamo começar por inroduzir um ipo de variávei de eado denominada variávei de fae, em que o vecor de eado é dado pela aída e pela ua n primeira derivada. Nee eemplo, n 3. 3

29 3 Obenção da equação diferencial: 3 3 a a a b G 3 3 b U a Y Y a Y a Y Daqui vem a equação diferencial: 3 b u y a y a y a y

30 3 3 b u y a y a y a y Variávei de eado aída e derivada aé à ordem n : 3 y y y A equação diferencial ecreve-e b u a a a

31 33 O modelo de eado fica: b u a a a ou, em ermo mariciai: u b a a a 3 y

32 34 A mariz da dinâmica a 3 a a em uma eruura com propriedade uficienemene imporane para merecer um nome. Diz-e na forma companheira. Conie numa idenidade de ordem n no cano uperior direio, endo ao lado uma coluna de zero e em baio uma linha com o coeficiene do polinómio caraceríico da mariz denominador da função de ranferência.

33 35 Noa obre Álgebra Linear Polinómio Caraceríico de uma mariz O polinómio caraceríico de uma mariz quadrada A é dado por de I A Para marize na forma companheira o polinómio caraceríico pode er ecrio por inpecção. Poeriormene ver-e-á que a raíze do polinómio caraceríico, denominada valore próprio da mariz, êm uma imporane inerpreação geomérica. Já vimo que correpondem ao pólo da função de ranferência, pelo que deerminam a repoa no empo do iema.

34 36 G Siema com zero 3 a b b a a 3 Se aplicarmo a écnica anerior, urge uma derivada da enrada, o que caua uma dificuldade. Uma poibilidade há mai! é parir o iema no zero e no pólo, omando como variávei de eado a aída do bloco do pólo e a ua dua primeira derivada.

35 37 Tem-e o diagrama de bloco: 3 a a a 3 X U b b Y A equação da dinâmica manem-e. A equação de aída é alerada: y b b b b y b b

36 38 3.Mudança de Coordenada Objecivo: Dado um modelo de eado e uma ranformação linear da variávei de eado, calcular a equaçõe do modelo de eado na nova coordenada.

37 39 Tranformação de coordenada no modelo de eado Conidere o modelo de eado com equaçõe A bu y C É feia uma ranformação de coordenada z T em que T é uma mariz quadrada inverível. Qual o modelo de eado verificado pelo vecor z? Sugeão: Derive z T

38 4 z T Derivando: z T Uando o modelo de eado de : z T A bu Uando a ranformação invera z TAT z Tbu y C CT

39 4 Tranformação de coordenada no modelo de eado Dado o modelo de eado com equaçõe A bu y C é feia uma ranformação de coordenada z T em que T é uma mariz quadrada inverível. Na nova coordenada a equaçõe de eado ão z z u y H E TAT H CT

40 4 4.A equação homogénea Objecivo: Apreenar a eruura da olução da equação homogénea.

41 43 A equação A equação homogénea A denomina-e equação homogénea. A olução dea equação deempenha um papel fundamenal na olução da equação de eado. A eruura da olução depende do valore próprio e do vecore próprio da mariz da dinâmica, A.

42 44 Inerpreação da olução da equação no epaço de eado Equação homogénea: A Aproimando a derivada por diferença finia: k h h kh A equação pode aproimar-e pela equação de diferença k h kh h A kh

43 45 k h kh h A kh ha h hah h

44 46 k h kh h A kh No epaço de eado, a olução pode aim er inerpreada do eguine modo: Começamo com uma condição inicial no inane k. Para ober o novo pono no inane k h omamo ao vecor um vecor um vecor proporcional a A mai eacamene ha. Obém-e h ha. um pono O proceo é em eguida ierado.

45 Em cada pono do epaço de eado a função A define um vecor campo de vecore que indica qual a direcção eguida nee pono pela olução da equação diferencial. O campo de vecore pode er raçado no MATLAB com a função quiver.

46 v B B v A A v Parindo do pono, a olução avança localmene na direcção v A. Em cada pono a rajecória é angene ao campo de vecore nee pono.

47 Se começarmo com oura condição inicial, obemo uma oura rajecória. A figura mora dua rajecória gerada a parir de dua condiçõe iniciai dfiferene

48 Começando de vária condiçõe iniciai há infinia! obém-e o chamado rerao de fae do iema, que aqui e mora obrepoo ao campo de vecore que define a equação diferencial.

49 5 Noa obre álgebra linear: Valore próprio e vecore próprio Dada uma mariz A quadrada n n, o vecore próprio v i aifazem Av i v em que i é o correpondene valor próprio. Há, no máimo, n vecore próprio linearmene independene ma pode haver meno. Ao vecore próprio ambém e dá o nomde vecore modo. i i

50 5 Como Deerminação do vecore próprio e do valore próprio Av i v i i o vecore próprio aifazem o iema de equaçõe algébrico A I v i Para que ee iema enha oluçõe não riviai v i, ele em de er i indeerminado, pelo que o valore próprio i devem aifazer a equação polinomial: de A I i

51 53 Para calcular o valore próprio e o vecore próprio de uma mariz quadrada n n deve poi proceder-e do eguine modo: A a Calcular o valore próprio reolvendo a equação polinomial: de A I b Para cada um do valore próprio i ober o valore próprio i correpondene reolvendo o iema A I v i i Como ee iema é indeerminado, a ua olução é obida a meno de uma conane de normalização, que pode er ecolhida como fôr conveniene.

52 54 Cálculo do valore e vecore próprio Eemplo 4 A 5 3 Polinómio caraceríico da mariz: A I de A I O valore próprio ão a raíze dee polinómio:

53 55 Vecore próprio: 5 5v, A I v v, A olução é qualquer múliplo de v 5v, A I v 5v, A olução é qualquer múliplo de v 5

54 56 Diagonalização de marize Hipóee: A mariz A em n vecore próprio linearmene independene. Mariz modal a coluna ão o vecore próprio: M v n v Mariz diagonal do valore próprio diag n,, Aenção: Nem oda a marize verificam ea hipóee.

55 57 Como, para cada par vecor próprio/valor próprio vem Av i AM v i i M ou eja, a mariz A admie a eguine decompoição: A MM Tem-e ainda, muliplicando à direia por M e à equerda por M : M AM

56 58 Solução da equação homogénea por diagonalização Válida quando a mariz da dinâmica em n vecore próprio linearmene independene. A Faz-e uma ranformação de variávei aociada à mariz modal: z M ou Mz Na coordenada z a dinâmica fica z M M A M AMz z Ou eja, a componene de z ficam deacoplada, pelo que a equaçõe podem er reolvida eparadamene!

57 59 z z Ea equação maricial correponde ao iema de equaçõe diferenciai: z z z n nz Como a equaçõe eão eparada, podem er reolvida eparadamene: n z z n k e k n e n O k i ão conane que dependem da condiçõe iniciai

58 6 Eruura da repoa na coordenada : n e k e k v v Mz ou eja: n n n e v k k v e A cada um do ermo i i e v dá-e o nome de modo do iema. A repoa do iema é uma combinação linear do modo em que o coeficiene dcependem da condiçõe iniciai.

59 6 Eemplo A repoa no empo do iema homogéneo A com A 5 8 é da forma ver eemplo anerior obre valore e vecore próprio: e k e k 5

60 6 Deerminação da conane k e k a parir da condiçõe iniciai: Para : k k Ee iema pode er ecrio na forma k k, 3 k k

61 63 5.A mariz de ranição Objecivo: A olução da equação homogénea como uma ranformação do eado aociada à mariz de ranição. Principai propriedade da mariz de ranição

62 64 A érie de Peano-Baker e a mariz de ranição A Tem por olução, em que a mariz,, denominada mariz de ranição, é dada pela érie que converge uniformemene e que define a mariz eponencial: A 3, e I A A A! 3! 3

63 65 Cálculo da mariz de ranição com a Tranformada de Laplace A Tomando ranformada de Laplace: X AX I A X X I A Concluão: I A TL, TL I A

64 66 Eemplo: Cálculo da mariz de ranição pela ranformada de Laplace Conidere um iema cuja mariz da dinâmica é dada por 4 A Deermine a mariz de ranição recorrendo à ranformada de Laplace. Solução:, A I TL 4 A I 3 de A I

65 A I B A 3 3 A 4 B e e B A 4 A 4 B e e 3 4 e e 3

66 68 e e e e e e e e , Fim do eemplo

67 69 Cálculo da mariz de ranição a parir da eponencial de A 3, I A A A! 3! 3 Ea érie é reconhecida como a érie da eponencial de uma mariz. Aim:, e A Repare-e que, Aenção: Ea propriedade aplicam-e apena a iema invariane no empo, em que a mariz A é conane.

68 7 Equação diferencial verificada pela mariz de ranição A mariz de ranição verifica d d, A,, Ea propriedade ão conequência de I, e da unicidade da olução da equação homogénea com condiçõe iniciai dada.

69 7 Inveribilidade da mariz de ranição Teorema de Abel-Jacobi-Liouville cao paricular: de A ra e e em que o raço de A, repreenado por ra, é a oma do elemeno da diagonal. Daqui conclui-e que a mariz de ranição é empre inverível poi o eu deerminane nunca e anula.

70 7 Semigrupo,,,,,,,,

71 73 Demonração da propriedade de emigrupo, Por ouro lado,,,, Aim:,,, Como ea igualdade e verifica :,,,

72 74 Invera da mariz de ranição,,, R Demonração: A mariz invera, eie empre Teorema de Abel-Jacobi-Liouville.,,, Conequência: Reveribilidade no empo, I Podemo recuperar a condição inicial a parir do eado acual. Nem empre é válida para iema dicreo!

73 75 A mariz de ranição Coninuidade, é uma função conínua em e. Demonração: Omiida. É uma conequência do eorema de eiência e unicidade de olução de quaçõe diferenciai.

74 76 Mudança de Coordenada Dado o SLIT repreenado pelo modelo de eado: A em que a mariz de ranição é, A, A, Faz-e uma mudança de coordenada: z T em que T é uma mariz conane e inverível. Qual é a mariz de ranição no novo iema de coordenada?

75 77 z T Derivando z T TA TAT z Qual a mariz de ranição aociada a TAT? Chamemo-lhe TAT z T T A, T A, T z Concluão: T T TAT A

76 78 Frequência naurai numa ranformação de coordenada Conidere o SLIT repreenado pelo modelo de eado: A Faz-e uma mudança de coordenada: z T em que T é uma mariz conane e inverível. More que realizaçõe de eado emelhane êm a mema frequência naurai valore próprio da mariz da dinâmica. Sugeão: Calcule o valore próprio da mariz da dinâmica na coordenada z.

77 79 Na nova coordenada a dinâmica é z TAT z O polinómio caraceríico de de I de Tde I TAT TAT é Ade T de T I A T de Tde I de I A A de T

78 8 Cálculo de A e por diagonalização Cao em que há n vecore próprio linearmene independene Sendo A A enão e Havendo n vecore próprio linearmene independene, a mariz modal M é inverível. n v v diag,, n M A MM Mudança de coordenada: Mz z M M A M AMz z

79 8 Na coordenada z: z z Sendo diagonal, é fácil omar a érie que define a ua eponencial: e I! e e n Mz Me z Me M e A Me M

80 8 A M AM Tranformação de coordenada? Trivial e A e A Tranformação Me M e

81 83 O doi diagrama ão equivalene e a mariz A iver n vecore próprio linearmene independene

82 84 Eemplo Cálculo da mariz de ranição por diagonalização Dada a mariz da dinâmica 4 A deermine a correpondene mariz de ranição por diagonalização., M Me e A A

83 85 Polinómio caraceríico da mariz A: de I A O valore próprio ão a raíze do polinómio caraceríico: Cálculo do vecore próprio: 3 4 v v Como a careceríica dea mariz é para,, apena e conidera uma da equaçõe: i i i i v v

84 86 i i v v Faça-e a normalização i v Vecore próprio: v v Mariz modal: M 4 M

85 A e e e e e e M Me e A e e e e e e e e e Fim do eemplo

86 88 6.Siema não homogéneo Objecivo: Cálculo da repoa no empo de um SLIT não homogéneo decrio pelo modelo de eado.

87 89 Siema não homogéneo cao conínuo No cao de iema não homogéneo a olução obém-e da olução da equação homogénea endo em cona a enrada e recorrendo ao Princípio de Sobrepoição. Sendo o iema decrio pela equação de eado A bu a evolução emporal do eado vem dado por e A A e bu d Regime Regime forçado

88 9 7.Modelo de eado de iema dicreo Objecivo: Eudo muio abreviado da repoa no empo de iema dicreo repreenado pelo modelo de eado.

89 9 Equação homogénea iema dicreo k A k k Uma vez mai o eado no inane k eá relacionado com o eado no inane k k por um operador maricial linear mariz de ranição de eado: k k k A k

90 9 Não inveribilidade da mariz de ranição no cao dicreo Uma diferença com conequência do cao dicreo em relação ao conínuo é que, no cao dicreo, a mariz de ranição pode não er inverível ao conrário do iema conínuo em que a mariz de ranição é empre inverível. Se a mariz A fôr ingular a ua poência ambém o erão. Io ognifica que há iema dicreo para o quai, abendo o eado no inane k, não podemo inferir qual a condição inicial de onde ele pariu, ao conrário do iema conínuo em que io é empre poível.

91 93 Solução da equação não homogénea cao dicreo k A k k k k j A bu j jk Regime livre Regime forçado Com condiçõe iniciai nula: k A k bu A k bu bu k Ee reulado pode er facilmene demonrado aravé do Princípio de Sobrepoição.

92 94 Conhecida a equência de enrada e a condição inicial do eado, a epreõe aneriore permiem calcular o eado no final do inervalo de empo quer em empo conínuo, quer dicreo. Pode nauralmene penar-e no problema invero. Ee erá eudado poeriormene.

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