Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /2 Prova da área IIA

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma A - 7/ Prova da área IIA Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou qualquer ouro recuro compuacional ou de comunicação. Trabalhe individualmene e em uo de maerial de conula além do fornecido. Devolva o caderno de queõe preenchido ao final da prova. Regra para a queõe abera: Seja ucino, compleo e claro. Juifique odo procedimeno uado. Indique idenidade maemáica uada, em epecial, ien da abela. Ue noação maemáica coniene. Idenidade: Carão: en(x) = eix e ix i enh(x) = ex e x (a+b) n = j= ( n j) a n j b j, co(x) = eix +e ix coh(x) = ex +e x ( n n! = j) j!(n j)! en(x+y) = en(x)co(y)+en(y)co(x) co(x+y) = co(x)co(y) en(x)en(y) Propriedade: Linearidade L{αf() +βg()} = αl{f()} +βl{g()} Tranformada da derivada 3 Delocameno no eixo 4 Delocameno no eixo 5 Tranformada da inegral 6 Filragem da Dela de Dirac 7 Tranformada da Dela de Dirac 8 Teorema da Convolução 9 Tranformada de funçõe periódica Derivada da ranformada Inegral da ranformada L { f () } = L{f()} f() L { f () } = L{f()} f() f () L { e a f() } = F( a) L{u( a)f( a)} = e a F() L{u( a)} = e a { } L f(τ)dτ = F() f()δ( a)d = f(a) L{δ( a)} = e a L{(f g)()} = F()G(), onde (f g)() = f(τ)g( τ)dτ T L{f()} = e T e τ f(τ)dτ L{f()} = df() d { } f() L = F(ŝ)ŝ Série: x = x n = +x+x +x 3, < x < n= x ( x) = e x = n= x n n! nx n = x+x +3x 3 +, < x < n= = +x+ x! + x3 +, < x < 3! ln( +x) = ( ) n xn+ n+, < x < n= arcan(x) = ( ) n xn+ n+, < x < n= en(x) = ( ) n xn+ (n +)!, < x < n= co(x) = ( ) n xn (n)!, < x < n= enh(x) = coh(x) = n= n= ( +x) m = + x n+ (n+)!, < x < x n (n)!, < x < n= m(m ) (m n+) x n, n! < x <, m,,,... Funçõe epeciai: Função Gamma Γ(k) = x k e x dx Propriedade da Função Gamma Função de Beel modificada de ordem ν Função de Beel de ordem I ν(x) = Γ(k +) = kγ(k), k > Γ(n+) = n!, n N m= J (x) = ( x m+ν m!γ(m +ν +) ) ( ) m m= Inegral eno Si() = m! ( x en(x) dx x ) m Inegrai: xe λx dx = eλx λ (λx )+C ( x x e λx dx = e λx λ x λ + ) λ 3 +C x n e λx dx = λ xn e λx n x n e λx dx+c λ xco(λx)dx = co(λx)+λxen(λx) λ +C xen(λx)dx = en(λx) λxco(λx) λ +C

2 Tabela de ranformada de Laplace: F() = L{f()} f() = L {F()} n, (n =,,3,...) n (n )!, 3 π, π k, (k > ) k Γ(k) a ( a) e a e a ( a) n, (n =,,3...) (n )! n e a ( a) k, (k > ) Γ(k) k e a ( a)( b), (a b) a b ( a)( b), (a b) a b (e a e b) (ae a be b) +w w en(w) +w co(w) a a enh(a) a coh(a) ( a) +w w ea en(w) a ( a) +w ( +w ) ( +w ) e a co(w) w( co(w)) w 3(w en(w)) ( +w ) w 3(en(w) wco(w)) ( +w ) w en(w) ( +w ) w (en(w)+wco(w)) ( +a )( +b ), ( 4 +4a 4 ) ( 4 +4a 4 ) ( 4 a ) ( 4 a 4 ) (a b ) b a (co(a) co(b)) 4a 3[en(a)coh(a) co(a) enh(a)] a en(a)enh(a)) a 3(enh(a) en(a)) a (coh(a) co(a)) F() = L{f()} f() = L {F()} a b e a ) π 3(eb +a +b +a ( a) 3 ( a ) k, (k > ) e (a+b) a b I J (a) π e a (+a) π k Ik Γ(k) a (a) e k, (k > ) J ( k) e k co( k) π e k 3 π enh( k) 37 e k k, (k > ) k π 3e 4 38 ln() ln() γ, (γ,577) a 39 ln (e b e a) b ( +w ) 4 ln ( co(w)) ( a ) 4 ln ( coh(a)) 4 an ( w ) en(w) 43 co () Si() ( a ) anh ( a ) a anh w ( +w ) ( e w π ) Onda quadrada {, < < a f() =, a < < a f(+a) = f(), > Onda riangular f() = a, < < a +, a < < a a f(+a) = f(), > Reificador de meia onda en(w), < < π w f() = π, w < < π w ( f + π ) = f(), > w w ( π ) Reificador de onda complea +w coh w f() = en(w) a e a ( e a ) Onda dene de erra f() = a, < < a f() = f( a), > a

3 Queão (.) Conidere um ocilador harmônico modelado pelo problema de egunda ordem abaixo. my ()+γy ()+ky() = y() = y y () = y onde m = 3Kg, γ = 4Kg/, y = m, y = m/ e k é uma conane poiiva. Ainale o gráfico que NÃO pode repreenar a olução dee iema e o iem que apreena a faixa onde k pode aumir valore para que o iema fique uperamorecido. y() y() (X) < k < 4/3, < k 4/3 k > 4/ k 4/3 k 4/3 y() 3 4 y() 3 4 y() (X) 3 4 Queão (. pono) Seja f() = δ( ) e g() = indicam repecivamene L{f()} e L{g()}: e e (X) e 4 ( ) 4e 3 τf(τ)dτ. Ainale a alernaiva que 8 ( ) 3 8e 4 4e 4e 3 (X) 4e

4 Queão 3 (. pono) Conidere a função definida como: {, < f() =, > Marque a alernaiva que correpondem repecivamene a L{f ()} e L{f()}: ( (+)e ) (X) ( (+)e ) 3 (X) ( (+)e ) (+( )e ) 3 ( (+)e ) ( (+)e ) 3 ( ( )e ) 4 ( (+)e ) 3 ( ( )e ) (+( )e ) 3 4 Queão 4 (. pono) Conidere o problema de valor inicial dado por: x ()+x() = δ() x() = x () = Marque a alernaiva que correpondem repecivamene a L{x()} e x(): ( +) u()coh() u()enh() u()co() (X) u() en() ( ) u()(co() en()) (X) u()(coh() enh()) + + Queão 5 (. pono) Marque a alernaiva que correpondem repecivamene a L{u( )} e L{e u( )}: ( ) e e ( ) ( + ) e e + (X) ( + ) e + e e + e (X) e (+) + e( ) +

5 Queão 6 (.5 pono) Conidere um modelo para evolução da concenração de um medicameno adminirado 3 veze de 8 em 8 hora dado por { c () = 4 c()+δ()+δ( 8)+3δ( 6) c() = Ue a écnica da ranformada de Laplace para reolver o problema acima. a) (.) Calcule a ranformada de Laplace C() = L{c()} e a olução c() = L {C()} e preencha o reângulo abaixo: C() = c() = b) (.5) Trace o gráfico da olução c(). Solução: Aplicamo a ranformada de Laplace para ober Subiuímo c() = e iolamo C() para ober C() c() = 4 C()++e 8 +3e 6. C() = +e 8 +3e A ranformada invera é calculada uando o iem 7 da abela e a propriedade da delocameno no eixo : c() = e /4 +u( 8)e ( 8)/4 +3u( 6)e ( 6)/4. c()

6 Queão 7 (.5 pono) Reolva a eguine equação difero-inegral: y ()+5y()+6 y(τ)dτ = u( )e, com y() =. Solução: Aplicamo a ranformada de Laplace para ober Y() y()+5y()+6 Y() = e +, onde uamo a propriedade da ranformada da inegral e a propriedade da ranlação no eixo, repecivamene. Como y() =, emo: io é ( +5+6)Y() = e +, Y() = e (+)( +5+6). Para calcular a ranformada invera, olhamo primeiro para o ermo (+)( +5+6) = Uamo o méodo de fraçõe parciai para ober: (+)(+)(+3). (+)(+)(+3) = (+) (+3). Calculamo a repoa combinando a exponenciai com a propriedade do delocameno no eixo : y() = u( ) ( +e ee ( ) e ( ) 3 ). ee 3( )