1.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. TRANSFORMADA DE LAPLACE Daa de impreão (verão): 5 de janeiro de 5, :38:8 documeno compoo com LATEXε uando L Y X. A Tranformada de Laplace é um méodo de reolução de equaçõe diferenciai e do correpondene problema de valor inicial e de valor de conorno. Ela é imporane para o Conrole Auomáico porque o modelo maemáico do iema fíico que e deeja conrolar ão, em geral, decrio por equaçõe diferenciai. A aplicação da Tranformada de Laplace permie prever o que deve aconecer no fuuro de um iema o que é fundamenal para o conrole dee iema. Em oura palavra, pode-e prever qual erá a repoa de um iema a uma enrada conhecida e io é imporane para: ) elaborar uma enrada que leve o iema a um deerminado eado; e ) imular o comporameno do iema e verificar e a enrada elaborada uriu o efeio deejado; 3) er uma vião geral do comporameno do iema. Exiem dua Tranformada de Laplace:. A Tranformada de Laplace Bilaeral;. A Tranformada de Laplace Unilaeral. O maior ineree é pela Tranformada de Laplace Unilaeral que é largamene empregada no eudo de iema lineare invariane no empo e na reolução de equaçõe diferenciai. O proceo de reolução da equaçõe diferenciai conie de rê eapa principai: a eapa: Um problema difícil é ranformado numa equação imple (equação ubidiária - algébrica). a eapa: Reolve-e a equação ubidiária mediane manipulaçõe puramene algébrica. 3 a eapa: A olução da equação ubidiária é ranformada novamene para e ober a olução do problema dado. Dea maneira, a Tranformada de Laplace reduz o problema de reolução de uma equação diferencial a um problema algébrico. A erceira eapa é faciliada pela abela, cujo papel é análogo ao da abela de inegrai na inegração. (Ea abela ambém ão úei na primeira eapa.) Uma eá incluída no fim do capíulo. O méodo é amplamene uado na Maemáica aplicada à Engenharia, onde poui numeroa aplicaçõe. É paricularmene úil no problema em que a força de propulão (mecânica ou elérica) em deconinuidade: por exemplo, aua apena durane um curo inervalo de empo, ou é periódica ma não é implemene uma função enoidal ou co-enoidal. Oura vanagem é que ele reolve direamene o problema. Realmene, o problema de valor inicial ão reolvido em que e deermine de início uma olução geral. De modo análogo, reolvem-e a equaçõe não-homogênea em neceidade de reolver primeiro a equação homogênea correpondene. Nee capíulo, a Tranformada de Laplace é coniderada ob pono de via práico, ilurando ua uilização em problema imporane de engenharia. Porano ee capíulo é dedicado à aplicação da Tranformada de Laplace à equaçõe diferenciai ordinária 3.Aequaçõe diferenciai parciai ambém podem er raada pela Tranformada de Laplace. Função Gama A função gama de x denoada por Γ(x) é definida como: Γ(x) e x d para x >. (.) Pode-e ainda calcular: Γ(x + ) e x d }{{} dv e d v e u x du x x d e x] Z + x e x d. O primeiro ermo da úlima expreão à direia é nulo, a inegral é Γ(x). Io fornece a relação: Γ(x + )xγ(x). (.) Como Γ() e d, Pierre-Simon Laplace (749-87). São equaçõe que modelam o comporameno de iema dinâmico e por io ão imporane para o Conrole Auomáico. 3 De uma única variável. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

2 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná conclui-e que: Γ() Γ( + ) Γ()! Γ(3) Γ( + ) Γ()! Γ(4) Γ(3 + )3 Γ(3)3!.... Γ(k + ) k! k,,,... (.3) A função gama é uma verão conínua do faorial, io é, ela exie para valore fracionário do argumeno e para o valore ineiro ela é igual ao faorial do valor precedene (Γ(k)(k )!). Noe que a função gama é uma função de número reai: ( ) Z Γ e d e d }{{} λ d λdλ ( ) Z Γ e λ dλ R onde a inegral π x e λ dλ é chamada de função de erro de x, para x ea inegral vale, logo: ( ) Γ π. (.4) Exemplo : calcular a função gama de 3, 5 7/ uando o valor de Γ(, 5) juno com a equação (.): ( ) Γ π ( ) ( 3 Γ Γ + ) ( ) Γ π ( ) ( 5 Γ Γ + 3 ) 3 ( ) 3 Γ 3 3 π π 4 ( ) ( 7 Γ Γ + 5 ) 5 ( ) 5 Γ π π. 4 8 A Figura. ilura o comporameno da função gama. Oberve, no gráfico, algun pono de ineree: Γ()!, Γ()!, Γ(3)!, Γ(4)3! 6eΓ(,5) π, Γ(x) ,5,5,5 3 3,5 4 x Figura.: Função gama de x. Tranformada de Laplace Seja g() uma dada função definida para odo o valore poiivo de. Muliplicando g() por e, onde e é uma conane 4,e inegrando em relação a de zero ao infinio. Enão, e a inegral reulane exie, ela erá uma função de, digamo G(). G() g()e d 4 A conane e é a bae do logarimo nemperiano ou naurai e vale aproximadamene, de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

3 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná A função G() é chamada a Tranformada de Laplace da função original g() e erá repreenada por L {g()}. Aim: G()L {g()} g()e d. (.5) A operação realizada obre g() é chamada Tranformada de Laplace. É comum incluir o zero no inervalo de inegração, io é, quando o limie à direia e à equerda de zero ão diferene, ua-e o valor à equerda para incluir o fao que ocorrem quando. Além dio, a função original g() na equação (.5) é chamada de Tranformada Invera ou, implemene, a invera de G(), e erá repreenada por L {G()}; aim, ecreve-e g()l {G()}. NOTAÇÃO Repreena-e a função original por uma lera minúcula, de modo que G() deigne a ranformada de g(), ey() deigne a ranformada de y(), ec. Exemplo : Seja g() quando >. Deerminar G(). aim, quando Re() >, L {g()} L {} e d e ] ; L {}. A noação na primeira linha à direia é conveniene, ma deve-e dizer uma palavra a repeio dela. O inervalo de inegração em (.5) é infinio. Uma inegral dee ipo é chamada de inegral imprópria e, por definição, é calculada de acordo com a regra: Daí, noa noação ignifica Z T e g()d lim e g()d. T [ e d lim ] T T e lim [ e T + ] e T (Re() > ) Ea noação é uada em odo o exo. Noe, ainda, que e Re() a inegral não exie porque o limie ende a infinio. Por ouro lado, quando Re() > em-e a pare real de poiiva, como σ + j ω, pode-e ecrever e T e (σ+ j ω)t e σt e j ωt e σt (coωt j enωt ). Se T ende à infinio, o valor do co-eno e do eno ão indeerminado, ma limiado no inervalo [, ], ee σt e. Enão dizemo que a inegral ó converge para valore de com pare real poiiva (Re() > ). Ea aparene devanagem pode er removida (veja a Seção..3) ma por hora ela deve er levada em cona na deerminação do domínio da Tranformada de Laplace de uma função. Exemplo 3. Seja g()e a, quando >, onde a é uma conane. Enão, G() e e a d e ( a) d a e ( a)] ; coneqüenemene, quando Re( a) > oure() > Re(a), L {e a } a... Alguma Funçõe Imporane Função Degrau de Heaviide 5 ou Função Degrau Uniário A função degrau uniário é definida por: e u() e < Ea função apreena uma deconinuidade em, uma vez que o valor de u() e modifica inananeamene de para quando, como morado na Figura.. É inereane obervar que e pode criar oura funçõe baeando-e na função degrau uniário. 5 Oliver Heaviide (85-95). 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 3

4 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná u() u( a) u( a) u( b) a a b Figura.: Função Degrau de Heaviide ou Função Degrau Uniário Função Dela de Dirac 6 ou Função Impulo Uniário A função dela de Dirac é definida por: Z + δ() para δ() d Oberve que ela não é definida para. Muio auore dizem que ela ende a infinio quando, definindo aim o limie de δ() quando. Embora io não eja neceário já que não é uado para provar nenhuma propriedade da função, é conveniene para faciliar a viualização. Por io, a função dela é repreenada como uma ea para cima em com comprimeno igual à uma unidade e uma rea obre o eixo do repreenando o valore onde para o quai a função dela é nula, como morado na Figura.3. δ() δ( a) δ( a) δ( b) a a b Figura.3: Função Dela de Dirac ou Função Impulo Uniário Oura forma de definir a função dela de Dirac é aravé da inegral do produo da função dela por uma oura função g(): Z + δ() para (.6) g() δ() d g() (.7) que e juifica pelo fao da função dela não er nula apena na origem, aim apena o valor que g() aume na origem é que influencia o valor da inegral. A função dela pode er via como endo a derivada da função degrau uniário: δ()u () d u() d Noe que em a função u() apreena uma deconinuidade onde a ua derivada não é definida: o limie a equerda quando vale zero enquano o limie a direia quando vale. Como houve um alo para cima a derivada deve ender a infinio em. Exaamene como a função dela de Dirac. A Tranformada de Laplace bilaeral da função dela vale: L {δ()} δ()e d para, δ() e porano e não impora (eá endo muliplicado por zero). Para, e vale. Logo, pela equação (.7): L {δ()} δ() d Porano, a Tranformada de Laplace unilaeral da função dela de Dirac ambém vale porque a função δ() valedeaé, logo ua inegral vale ambém. Em oura palavra, inegrar a função δ() de aé + é equivalene a inegrá-la de aé Paul Adrien Maurice Dirac (9-984). 7 Há uma cera fala de rigor maemáico nea declaração ma, memo aim, o eu reulado é válido. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 4

5 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Deve-e proeguir dea maneira, aplicando a definição da equação.5 para ober a ranformada de uma função apó oura, direamene a parir da definição? A repoa é negaiva. E a razão é que a ranformada de Laplace goza de propriedade gerai úei para ee objeivo. Uma propriedade de grande imporância é que a Tranformada de Laplace é uma operação linear, como o ão ambém a diferenciação e a inegração. io ignifica o eguine:.. Linearidade da Tranformada de Laplace Teorema (Linearidade da Tranformada de Laplace) A Tranformada de Laplace é uma operação linear, io é, para quaiquer funçõe g() eh() cuja Tranformada de Laplace exiem e quaiquer conane a e b, em-e L {ag()+bh()} al {g()} + bl {h()}. DEMONSTRAÇÃO. Por definição, L {ag()+bh()} (ag()+bh())e d a e g() + b e h()d al {g()} + bl {h()} Exemplo 4. Seja 8 g()coha (ea + e a ). Empregando o Teorema e o reulado do Exemplo 3, enconra-e L {coha} L {ea + e a } ( a + ) ; + a io é, quando Re() > Re(a)( ) L {coha} a. Na Tabela. enconra-e uma pequena lia de alguma funçõe elemenare imporane e de ua Tranformada de Laplace. Quando a ranformada da Tabela. ão conhecida, quae oda a ranformada mai uuai podem er obida pelo emprego de algun eorema gerai imple que ão examinado na eçõe eguine. A fórmula 3, 4 e 5 na Tabela. ão cao epeciai da fórmula 6. Ea decorre de 7 e de Γ(n+)n!, da equação (.3), onde n é um ineiro não-negaivo. A fórmula 7 pode er demonrada a parir da definição: L { a } e a d, fazendo x. Enão, d dx. Empregando a equação (.)... ( L { a } e x x ) a dx a+ e x x a Γ(a + ) dx a+ ( > ). A fórmula 8 foi demonrada no Exemplo 3. Para demonrar a fórmula 9 e, faz-e a j ω na fórmula 8. Segue-e L {e jω } jω jω + jω + jω + jω + ω + ω + j ω + ω. Por ouro lado, pelo Teorema, L {e jω } L {coω + j enω} L {coω} + jl {enω}. Igualando a pare real e imaginária dea equaçõe, obém-e a fórmula 9 e. A fórmula foi demonrada no Exemplo 4, e a fórmula pode er demonrada de maneira emelhane. Concluindo ea eção inroduória, cabem alguma conideraçõe obre a exiência da Tranformada de Laplace. Em ermo inuiivo, a iuação éaeguine: para um fixo, a inegral em (.5) exiirá e odo o inegrando e g() ender a zero de modo uficienemene rápido quando, ou eja, pelo meno como uma função exponencial com expoene negaivo. Io moiva a deigualdade (.8) no eorema de exiência ubeqüene. g() não neceia er conínua. Io em imporância práica uma vez que a enrada deconínua (força de propulão) ão exaamene aquela para a quai a Tranformada de Laplace e orna paricularmene úil. baa exigir que g() eja ecionalmene conínua em cada inervalo finio na faixa. Por definição, uma função g() é ecionalmene conínua num inervalo finio a b e g() é definida nee inervalo e al que o inervalo poa er ubdividido em um número finio de inervalo, em cada um do quai g() é conínua e em limie finio quando ende para qualquer pono exremo do inervalo de ubdivião a parir do inerior. Decorre da definição que o alo finio ão a única deconinuidade que uma função ecionalmene conínua pode er; ea ão conhecida por deconinuidade ordinária. A Figura. mora um exemplo. Além dio, eá claro que a clae de funçõe ecionalmene conínua inclui oda função conínua. 8 coh é a função co-eno hiperbólico definida por cohx (ex + e x ) eão relacionada com equação de Euler com a qual é fácil morar que cox (e jx + e jx ) j for implemene uprimida obemo o co-eno e eno hiperbólico, repecivamene.. Exie ambém a função eno hiperbólico definida por enhx (ex e x ). Amba e enx (e jx e jx ). Se nea equaçõe a conane imaginária j 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 5

6 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Tabela.: Alguma Funçõe Elemenare g() e ua ranformada de Laplace L {g()} # g() L {g()} Região de Convergência δ() C 3 u() Re() > Re() > 4 Re() > 5! 3 Re() > 6 n (n ineiro e poiivo) 7 a (a poiivo) n! n+ Re() > Γ(a + ) a+ Re() > 8 e a a Re() > Re(a) 9 co ω en ω + ω Re() > ω + ω Re() > coh a enh a a a a Re() > Re(a) Re() > Re(a) 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 6

7 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná..3 Região de Convergência Para calcular a Tranformada de Laplace pela definição dada pela equação (.5) foi neceário reringir o valore de para que a inegral convirja. Surpreendenemene, no enano, a Tranformada de Laplace da funçõe apreenada é válida memo fora da região de convergência. Io e deve ao Teorema da Exenão Analíica que vem da eoria da variávei complexa. Ee eorema eabelece que, e dua funçõe forem iguai em um comprimeno finio ao longo de qualquer arco em uma região em que amba a funçõe ão analíica 9, enão ela ão iguai em oda a pare na região. Aim, uando qualquer arco (uma rea, o eixo real por exemplo) que enha pare na região de convergência e pare fora dela (ver Figura.4), ou eja, na região onde a inegral não exie, é poível eender a validade do reulado (da ranformada obida) para fora da região de convergência incluindo odo o pono onde a função (a Tranformada de Laplace) é analíica. Im() a arco (rea) na dua regiõe Região de Corvergência Re() a inegral não converge ma memo aim a ranformada exie a inegral converge logo a ranformada exie Figura.4: Plano com região de convergência e exenão da exiência da Tranformada de Laplace Porano, memo que eja neceário reringir o valore de para ornar a inegral da equação (.5) aboluamene convergene, uma vez obida a Tranformada da Laplace pode-e coniderar ea ranformada válida para qualquer valor de com exceção do pólo já que no pólo a ranformada não é analíica. Mai dealhe obre a região de convergência e ua relação com a lei de caua-efeio e a Tranformada Invera de Laplace ão vio na Seção Repreenação Gráfica da Tranformada de Laplace Não é comum repreenar graficamene uma Tranformada de Laplace (que é uma função de ) porque e raa de uma função complexa de uma variável complexa. A repreenação é muio complica e difícil de conruir a meno que e diponha de um ofware para io. Memo aim, é difícil de viualizar e inerprear o gráfico já que é uma repreenação de uma uperfície ridimenional. Além dio, grande pare da informação ou do enimeno obre o comporameno dea funçõe complexa podem er obido de um gráfico muio mai imple para a grande maioria do cao de ineree práico. Conidere como exemplo a Tranformada de Laplace de e que vale + de acordo com Fórmula 8. Como éum número complexo ele poui dua dimenõe independene (pare real e imaginária). O reulado de + ambém é um número complexo e ambém poui dua dimenõe independene. Não é poível repreenar um número complexo com apena uma dimenão e ambém não é poível conruir um gráfico eradimenional para repreenar a pare reai e imaginária do número complexo. Porano deve-e uar algum arifício para reduzir para rê o numero de dimenõe a erem repreenada e uar uma perpeciva. Não é práico reduzir o número de dimenõe da variável independene porque io olhe a repreenação a pono de orná-la em enido. Porano, ó rea reduzir o número de dimenõe da variável independene (da função, ou eja, da ranformada) e rabalhar com doi gráfico. Aim, a pare real e imaginária de ão chamada repecivamene de σ e ω e repreenada no doi eixo horizonai; ela ão a variávei independene ou, e preferir, a pare real e imaginária da variável independene poi σ + j ω. No eixo verical deve-e repreenar o valor numérico da ranformada que varia em função de, ou eja, para cada poição no plano σω exie um número complexo aociado. Pode-e, enão, repreenar a ranformada uando dua perpeciva: uma para a pare real e oura para a pare imaginária de + como morado na Figura.5-a e b. A inerpreação dee gráfico é muio difícil poi deve er feia conjunamene. Uma forma alernaiva mai inuiiva é repreenar a ranformada na forma polar como morado na Figura.5-c e d. Embora a inerpreação ainda enha que er feia de forma conjuna, o gráfico do módulo diz muio do comporameno da função quando a ampliude e o da fae quano ao arao. A queão da fae (arao) depende da inerpreação da ranformada: ) e é uma ranformada de um inal, a fae repreena o arao de cada componene (cada produo enóide-exponencial que compõe o inal); e ) e a ranformada repreena o comporameno de um iema, a fae repreena o arao ofrido por cada inal, ou componene do inal de enrada, dependendo de ua freqüência complexa (pare real ligada ao amorecimeno, pare complexa ligada a freqüência da enóide). Da mema forma, o gráfico do módulo deve er inerpreado de forma diferenciada, conforme 9 Uma função analíica em uma região é uma função cuja derivada de qualquer ordem exiem em qualquer pono dea região. Pólo ão o valore de que anulam o denominador da ranformada. Na verdade ão dua uperfície ridimenionai como é vio mai a frene. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 7

8 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná a naureza da ranformada: ) e é uma ranformada de inal, o módulo repreena ampliude do inal para cada freqüência complexa; e ) e a ranformada repreena o comporameno de um iema, o módulo repreena o ganho pelo qual cada componene do inal de enrada é muliplica para compor o inal de aída. A inerpreação na forma reangular é mai difícil porque a pare real e imaginária da ranformada não ão imple de inerprear, ou melhor, não razem uma informação fácil de inerprear como fae (arao) e módulo (ampliude/ganho). ( ) Re + ( ) Im (a) σ ω (b) σ ω π 4 5 π (c) σ ω 3π 4 π 5π 4 3π 7π 4 π 3 (d) σ ω Figura.5: Gráfico da Tranformada de Laplace de e : (a) pare real, (b) pare imaginária, (c) módulo, (d) fae (em radiano) de + Oberve na Figura.5-d que há uma deconinuidade quando ω paa de negaivo para poiivo quando σ é negaivo. Ee alo de fae deve er inerpreado com cauela: para análie em regime (como a obida com o emprego da Série e Tranformada de Fourier ) o ângulo de fae repreena o arao ou adianameno de inal em relação à referência de empo. Conudo, na análie raniória (principal aplicação da Tranforma de Laplace) o ângulo de fae repreena um valor numérico para conrução do gráfico já que odo o inai ão coniderado nulo para <. Por io, a fae foi repreenada empre com inal negaivo, para dar a impreão de que o inal eá araado em relação ao inal de enrada ou que o iema empre araa o inal. Cao conrário, o iema não eria caual (não obedeceria a lei de caua-efeio). Io é um pouco falho porque um inal com fae de 45 pode ear realmene araado de 35 ou 657, ec. Não e abe o arao em ermo de ângulo de fae porque o inal de aída em geral não é periódico (não e repee), porém, o arao pode er coniderado em ermo emporai, o que é mai ignificaivo. Io diminui um pouco a uilidade da inerpreação do gráfico de fae. O módulo da ranformada ende a infinio quando e próxima de + j por qualquer lado (ver na Figura.5-c). Ee pono correponde ao pólo (valor que anula o denominador) da ranformada. Aim, grande pare do comporameno da função pode er obido apena pela análie do valore de que a anulam o denominador (pólo) e numerador (zero). Na Figura.6-c pode-e noar que o gráfico apreena pico nó pólo ± j cai a zero em porque ee é o valor que anula o numerador da ranformada. A fae, repreenada na Figura.6-d, é baane complexa. A Figura.7 raz uma repreenação alernaiva: ao invé de deenhar um gráfico complicado e rabalhoo, repreena-e apena o pólo e zero da função. A inerpreação da fae é quae impoível de er feia, porém, a inerpreação do módulo é direa: a função ende a infinio (pico) no pólo (marcado com ) e ende a zero, ou eja, ende ao plano σωno zero (marcado com ). A inerpreação cabe a quem eá lendo o gráfico; pode-e imaginar o que ocorre com a função na poximidade do pólo e zero. Eá diponível grauiamene na inerne o ofware f3d no endereço hp:// Ee ofware foi deenvolvido no Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR / Curiiba) pelo aluno de merado Felipe Marcon para ploagem de gráfico de funçõe de ranferência 3. Ele roda em Window e pode er uado para ploar grande Jean-Bapie-Joeph Fourier (768-83). 3 Função de ranferência é a Tranformada de Laplace da repoa ao impulo de um iema quando a energia inicial do iema é nula. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 8

9 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná ( ) Re + ( ) Im (a) σ ω (b) σ ω π 4 3 π 3π 4 π 5π 4 (c) σ ω 3π 7π 4 π (d) σ ω Figura.6: Gráfico da Tranformada de Laplace de co: (a) pare real, (b) pare imaginária, (c) módulo, (d) fae (em radiano) de + Im() pólo zero Re() Figura.7: Gráfico morando o pólo e zero da ranformada de co 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 9

10 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná pare da de Tranformada de Laplace da funçõe em que e em ineree práico. Infelizmene ele ó ploa o módulo da função em 3D ma em a vanagem de gerar um gráfico renderizado de ala qualidade e ploar o pólo e zero bem como a repoa em freqüência. Há ambém a poibilidade de e uar o gnuplo para gerar o gráfico, ma além de um pouco rabalhoo (domínio do ofware) ele produz reulado de pouca qualidade e comparado ao obido com o f3d. O memo ocorre com o ofware maemáico como ocave, Malab e MuPAD...5 Delocameno no Tempo Teorema (Teorema do delocameno no empo) Se uma função g() é delocada no empo de forma que o inane inicial ( ) e orne τ, io é, g( τ), enão a ua Tranformada de Laplace e ornará L {g( τ)} e τ L {g()} e τ G() dede que g() no inervalo ( τ, ) (ou (, τ) e τ for negaivo). DEMONSTRAÇÃO. Por definição, L {g( τ)} g( τ)e d g( τ) u()e d. já que a inegral é calculada de zero à infinio muliplicar o inegrando por u() não alera o valor da inegral. Mudando a variável λ + τ, em-e: L {g( τ)} L {g(λ)} g(λ) u(λ + τ)e (λ+τ) dλ. τ Se g() no inervalo ( τ, ) (ou (, τ) e τ for negaivo) pode-e dizer que g( τ) u()g( τ) u( τ). Ea igualdade é ilurada na Figura.8 para τ >, pode-e morar que o memo é verdade para τ <. Realizando a mudança de variável, ea igualdade ambém ignifica que g(λ) u(λ + τ) g(λ) u(λ). g( τ) g( τ) τ τ τ τ g() u() u( τ) τ τ g( τ) u() g( τ) u( τ) Figura.8: Nulidade de g() no inervalo ( τ, ) implica que g( τ) u() g( τ) u( τ) Dividindo o inervalo de inegração, em-e: Z L {g( τ)} e τ g(λ) u(λ)e λ dλ τ }{{} já que u(λ) g(λ) u(λ)e λ dλ e τ L {g()}. }{{} L {g()} A condição do eorema merece um comenário. Se g( τ) u()g( τ) u( τ) ignifica que g() é nula no inervalo ( τ, ) ou (, τ) cao τ eja negaivo (logo τ é poiivo). Na Figura.9 pode-e ver doi cao no quai a função g() não é nula nee inervalo e, porano o eorema não é aplicável; a área que aparece hachurada na Figura.9-a e b vai alerar o valor da inegral. Ainda, e τ > diz-e que a função g( τ) eá araada em relação à g() e que a função g( + τ) eá adianada porque ocorrem depoi e ane de g(), repecivamene. Se τ < a função g( τ) eá adianada em relação à g() poi io é igual à g( + τ) com τ >. Exemplo 5: Seja h()co(ω ϕ) u( ϕ ω ) é uma função co-eno nula e < ϕ/ω e delocada para o inane inicial ϕ/ω, a Tranformada de Laplace de h() é + L {h()} L {co(ω ϕ)} e ϕ ω L {co(ω)} e ϕ ω + ω. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

11 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná g() g() g() g( τ) τ (a) τ g( + τ) (b) g( τ) τ (c) Figura.9: Delocameno no empo: (a) arao no empo, não é poível aplicar o eorema ; (b) adianameno no empo, não é poível aplicar o eorema ; (c) arao no empo, é poível aplicar o eorema...6 Convolução Teorema 3 (Teorema da Convolução) A Tranformada de Laplace da convolução de dua funçõe no empo é o produo da Tranformada de Laplace da dua funçõe, ou eja, e L {g()} G() e L {h()} H() enão L {g() h()} L {g()}l {h()} G()H() e g() para < eh() para <. DEMONSTRAÇÃO. A convolução de dua funçõe no empo denoada por g() h() é definida como: Z + Z + g() h() g(λ)h( λ) dλ h(λ)g( λ) dλ. Por definição, a Tranformada de Laplace da convolução vale: L {g() h()} g() h()e d g() h() u()e d Z + Z + Z + Z + Z + h(λ)g( λ) dλ u()e d h(λ)g( λ) u()e e (λ λ) dλd h(λ)e λ g( λ) u()e ( λ) dλd h(λ)e λ g( λ) u()e ( λ) d dλ ( h(λ)e λ g( λ) u()e ( λ) d ) dλ. Dizer que g()e < é o memo que g( λ) u()g( λ) u( λ) para λ arbirariamene grande (ver Figura.8 com τ λ ). Aim: Z + ( ) L {g() h()} h(λ)e λ g( λ) u( λ)e ( λ) d dλ. Pode-e, enão, ubiuir λ por ξ e d por dξ já que λ é conane para a inegral mai inerna o que leva à Z + ( ) L {g() h()} h(λ)e λ g(ξ) u(ξ)e ξ dξ dλ Como h() para <, em-e: Z + ( ) L {g() h()} h(λ)e λ g(ξ) u(ξ)e ξ dξ dλ g(ξ) u(ξ)e ξ dξ L {g()}l {h()} G()H(). h(λ)e λ dλ 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

12 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná O Teorema da Convolução é fundamenal para a análie de iema. Um iema linear e invariane no empo pode er repreenado por um inal chamado de repoa ao impulo. A repoa ao impulo de um iema G é uma função do empo g() que é o inal de aída do iema quando é aplicado um impulo uniário (ou dela de Dirac) na enrada do iema. Aim: g()g{δ()}. Se o iema for invariane no empo a repoa ao impulo erá G{δ( τ)} g( τ), ou eja, uma enrada de impulo delocada no empo de um valor τ gera uma aída de repoa ao impulo delocada do memo valor de empo. Lembrado que, pela definição do impulo: Z + x() x(τ)δ( τ) dτ e upondo que a aplicação do inal x() ao iema G produz o inal de aída y(), em-e: y() G{x()} { Z + } G x(τ)δ( τ) dτ. Se o iema for linear a inegral do inal de enrada produzirá a inegral do inal de aída. Ou eja, um inal inegrado é aplicado a enrada é equivalene a aplicar o inal ao iema e inegrar a aída. Coniderando x(τ) dτ o peo do inal δ( τ), em-e: Z + y() x(τ)g{δ( τ)} dτ. Se o iema for invariane no empo: Z + y() x(τ)g( τ) dτ x() g() que é uma inegral de convolução. Aim, a repoa de um iema linear e invariane no empo pode er conhecida para qualquer inal e for conhecida a repoa ao impulo. Uando a Tranformada de Laplace pode-e calcular a ranformada da repoa Y () e for conhecida a ranformada da enrada X() e a ranformada da repoa ao impulo G() do iema. Pode-e, enão, aplicar a ranformada invera (ver Seção.3) para calcular y() em que haja a neceidade de calcular uma inegral de convolução. A grande vanagem é que a ranformada da repoa ao impulo G() do iema, que caraceriza compleamene um iema linear e invariane no empo, pode er obida em a neceidade da obenção da repoa ao impulo no empo e em a neceidade da aplicação da Tranforma de Laplace. Em oura palavra, um iema pode er modelado direamene em. Exemplo 6: uponha que a ranformada da repoa ao impulo do iema G eja G() + 3. Nee iema é aplicando um inal x()co que em por ranformada X(). A ranformada do inal de aída erá: Y ()X()G() + 3 ( + )( + ) 3 ( ) + que é a ranforma de y()3e + 3en 3co 3e + 3 ( en π ) 4 e que foi obida expandindo o produo X()G() em fraçõe parciai e procurando cada ermo na Tabela.. Na Seção.3 ee procedimeno é iemaizado. Lembrando que Y () é um número complexo, é fácil deerminar o eu gráfico levando em cona que o produo de doi número complexo é o produo do módulo e a oma da fae como ilurado na Figura....7 Muliplicação por e a Teorema 4 (Teorema dual do delocameno no empo) Se uma função g() é muliplicada por um faor e a, enão a Tranformada de Laplace do produo erá L {g()e a } G( a) onde G()L {g()}. DEMONSTRAÇÃO. Por definição, L { g()e a} g()e a e d g()e ( a) d. Subiuindo a ξ em-e: L { g()e a} g()e ξ d 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

13 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná X() G() Y () X() G() Y () σ 3 ω σ 3 ω σ 3 ω X() G() Y () π π 4 3π 4 π π π 4 3π 4 π + π π 4 3π 4 π 5π 3π 4 7π 4 π σ 3 ω 5π 3π 4 7π 4 π σ 3 ω 5π 3π 4 7π 4 π σ 3 ω Figura.: Uo do Teorema de Convolução para deerminar o gráfico de ranformada do inal de aída de um iema que é exaamene igual à Tranformada de Laplace com ξ no lugar de, aim: L { g()e a} g()e ξ d G(ξ)G( a). Ou eja, quando a função g()é muliplicada por e a a ranformada L {g()e a } é igual a ranformada de g(), io é, G() L {g()} rocando por a. Ee eorema é de imporância fundamenal para o cálculo da Tranforma Invera de Laplace. Ele ambém é conhecido como propriedade do amorecimeno porque mora que, e a função g() for amorecida por um faor exponencial e a com a >, a ranformada dea função erá delocada para equerda de a unidade. Exemplo 7: calcule a ranformada de g() cohω. Lembrando que cohx ex + e x, em-e: g() cohω ( e ω + e ω) eω + e ω. Pelo eorema 4 e é fácil perceber que e deve calcular a ranformada de /, que vale, e enão ubiuir por ω e + ω para cada um do ermo repecivamene. Aim: L {g()} Exemplo 8: calcule a ranformada invera de G() ( ω) + ( + ω) + ω + ω + ω + ω (( ω)( + ω)) + ω ( ω ). α ( α). Subiuindo α por S, em-e que + ω G() S S + ω que, pela abela., correponde a ranformada de coω. Conudo, pelo eorema 4 deve-e muliplicar a ranformada invera obida da abela por e a onde a α. Logo, a ranformada invera procurada vale:..8 Exiência da Tranformada de Laplace g()l {G()} e α coω. Teorema 5. (Teorema da Exiência da Tranformada de Laplace) Seja g() uma função que é conínua em m inervalo obre qualquer inervalo finio em e aifaz à g() Me γ para qualquer (.8) e para cera conane γ e M. Enão, a Tranformada de Laplace exie para odo Re() > Re(γ). 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 3

14 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná DEMONSTRAÇÃO. Como g() é conínua em inervalo, e g() é inegrável obre qualquer inervalo finio obre o eixo ede (.8), L { f } e g()d e g() d e Me γ d M e ( γ) d M (Re() > Re(γ)) γ Io complea a demonração. A condiçõe do Teorema 5 ão uficiene para a maioria da aplicaçõe, e é imple deerminar e uma função aifaz ou não a uma deigualdade da forma (.8). Por exemplo, aifazem a condição (.8) coh < e, n < n!e (n,,...) para qualquer >, e qualquer função limiada em valor aboluo para odo, al como um eno ou um co-eno de uma variável real. Exemplo de função que não aifaz a uma relação da forma (.8) é a função e, porque, por maiore que ejam ecolhido o número M e γ em (.8) e > Me γ para qualquer >, onde é um número uficienemene grande que depende de M e γ. Noe que a condiçõe no Teorema 5 ão uficiene em lugar de neceária. Por exemplo, a função / é infinia para, ma ua Tranformada de Laplace exie; de fao, de acordo com a definição e endo em via que Γ(/) π, obém-e L { / } e / d e x x / dx Γ ( ) π. Se a Tranformada de Laplace de uma função exie, ela é única. Reciprocamene, pode-e morar que e dua funçõe (amba definida no emi-eixo real poiivo) êm a mema ranformada, ai funçõe não podem diferir enre i em um inervalo de comprimeno poiivo (embora poam er diferene em vário pono iolado). Como io não em imporância na aplicaçõe, pode-e dizer que a invera de uma ranformada é eencialmene única. Em paricular, e dua funçõe conínua êm a mema Tranformada de Laplace, ela ão compleamene idênica. Ee fao é realmene imporane, na práica. Por quê? (Recorde a inrodução ao capíulo)...9 Exercício. Deerminar a Tranformada de Laplace da eguine funçõe. (a) + (d) (g) en(ω + θ) (j) en 4, 5 (b) a + b (c) a + b + c (e) aco (f) e a+b (h) en(ω θ) u( θ/ω) (i) coh 3, 4 (k) e 7 coh (l) e 7 co. Deerminar g() uando a Tabela. e a propriedade via aé agora e L {g()} vale: (T no exercício g é conane). (a) + 9 (b) 3 + π (c) a + a + a 3 3 (d) ( + ) (e) 6 (f) + + (g) (h) (i) nπt T +(nπ) + n π ( + )( + ) (j) (k) 3 4 5/ (l) 3/ 3. Demonrar (.). 4. Ober a fórmula da Tabela. a parir da fórmula Ober a fórmula 8, Tabela., a parir da fórmula e. 6. Deduzir, mediane inegração por pare, a fórmula 9 e da Tabela.. 7. Tendo em via que cohx co( jx) e enhx j en( jx), j, ober a fórmula e da Tabela. a parir da fórmula 9 e. 4 Dica: ue a definição do co-eno hiperbólico; cohx ex + e x. 5 Dica: ue a forma exponencial complexa da função eno; enx e jx e jx. j 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 4

15 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.. Tranformada de Laplace de Derivada e Inegrai Provavelmene, a propriedade mai imporane da Tranformada de Laplace é linearmene (Teorema na eção anerior). A eguir, em ordem de imporância, vem o fao de que, em ermo rudimenare, a derivada de uma função g() correponde implemene à muliplicação por da ranformada G(). Io permie a ubiuição da operaçõe de cálculo por imple operaçõe algébrica na ranformada. Além dio, como a inegração é a operação invera da derivação, é de upor que ela correponda à divião da ranformada por. Ee é realmene o cao. Aim, ea eção cobre o eguine. O Teorema 6 e refere à derivação de g(), o Teorema 7 e refere à exenão à derivada de ordem mai elevada e o Teorema 8 e refere à inegração de g(). São incluído exemplo bem como uma primeira aplicação a uma equação diferencial. Teorema 6 (Derivada de g()) Suponha que g() eja conínua para, aifaça (.8) para deerminado γ e M, e poua uma derivada g () parcialmene conínua obre qualquer inervalo finio iuado em. Enão a Tranformada de Laplace da derivada g () exie, quando > γ e L {g ()} L {g()} g() ( > γ). (.9) DEMONSTRAÇÃO. Conidere em primeiro lugar o cao em que g () é conínua para. Enão, de acordo com a definição e mediane uma inegração por pare: L {g ()} e g ()d [ e g() ] + e g()d Como aifaz (.8), a pare inegrada no úlimo membro é nula no limie uperior, quando > γ, e e reduz a g() no limie inferior. A úlima é implemene L {g()}, ua exiência para > γ endo uma coneqüência do Teorema 5. Aim, fica demonrado que a expreão à direia exie quando > γ e igual a g()+l {g()}. Em coneqüência L {g ()} exie quando > γ, e (.9) é verificada. Quando g () é parcialmene conínua, a demonração é bem emelhane; nee cao, o inervalo de inegração da inegral original deve er dividido em inervalo parciai ai que g () eja conínua em cada um dele. Obervação. Ee eorema pode er eendido a funçõe parcialmene conínua g(), ma em lugar de (.9) obém-e a fórmula (.6) do Problema 7 no fim da preene Seção. Aplicando (.9) à derivada de egunda ordem g (), obém-e: Analogamene, ec. Por indução, obém-e enão a eguine exenão do Teorema 6. Teorema 7 (Derivada de Ordem n Qualquer) L {g ()} L {g ()} g () [L {g()} g()] g () L {g()} g() g () (.) L {g ()} 3 L {g()} g() g () g () (.) Sejam g() e ua derivada g (), g (),...,g (n ) () funçõe conínua para, que aifazem (.8), para cero valore de γ e de M, e eja a derivada g (n) () parcialmene conínua obre qualquer inervalo finio na faixa. Enão, a Tranformada de Laplace de g (n) () exie quando > γ e é dada pela fórmula L {g (n) ()} n L g()} n g() n g()... g (n ) () (.) Exemplo 9. Seja g(). Deerminar L {g()}. Tem-e que g(), g (), g (), g ()el{} L {} /. De (.) vem L {g ()} L {} L {g()} ou L { } 3 Exemplo. Seja g()en. Deerminar L {g}. Tem-e que g(). g ()en co en e (.9) no dá L {en} + 4 L {g()} ou L {en } ( + 4) 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 5

16 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Exemplo. Seja g() en ω. Deerminar L {g()}. Tem-e que g(), g ()enω + ω coω, g (), de modo que, por (.) g ()ωcoω ω } enω {{} ωcoω ω g(), g() L {g ()} ωl {coω} ω L {g()} L {g()} Empregando a fórmula para a Tranformada de Laplace de coω, obém-e: ( + ω )L {g()} ωl {coω} ω + ω Coneqüenemene, o reulado é L { enω} ω ( + ω ) Exemplo. Uma equação diferencial Reolver o problema de valor inicial y + 4y + 3y, y()3, y (). Seja Y() L {y()}, a Tranformada de Laplace da olução y() (deconhecida). Enão, pelo Teorema 6 e 7 e a condiçõe iniciai, L {y ()} Y y()y 3 L {y ()} Y y() y () Y 3. Levando na Tranformada de Laplace da equação diferencial dada, obém-e: Y 3 + 4(Y 3)+3Y Y + 4Y + 3Y A equação da ranformada Y () da função y() deconhecida é chamada equação ubidiária da equação diferencial dada. Em noo exemplo, ela pode er ecria ( + 3)( + )Y Reolvendo algebricamene em relação a Y e uando fraçõe parciai, obém-e: Y ( + 3)( + ) Ma na Tabela. vê-e que { } { } L e 3, L e Uando a linearidade (Teorema ), vê-e que a olução de noo problema é: y() e 3 + 5e. No proceo acima foi admiido que a olução y() deconhecida enha uma ranformada Y() e o Teorema 6 e 7 ejam aplicávei. Uma vez achada a olução, ea hipóee devem er juificada. Praicamene falando, é mai imple e mai naural verificar por ubiuição de y() aifaz a equação dada e a condiçõe iniciai. Ee é o cao. O proceo é reumido na Figura.. A preene eção é concluída com a inegração de g(), a operação invera da derivação; epera-e que ela correponda à divião da ranformada por, uma vez que a divião é a operação invera da muliplicação. Teorema 8 (Inegração de g()) 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 6

17 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná epaço epaço Problema dado y + 4y + 3y y()3 y () L Equação ubidiária Y + 4Y + 3Y Solução do problema dado y() e 3 + 5e L Solução da equação ubidiária Y Figura.: Solução de equaçõe diferenciai uando Tranformada de Laplace Se g() é parcialmene conínua e aifaz a condição (.8), enão { Z } L g(τ) dτ L {g()} ( >, > γ) (.3) DEMONSTRAÇÃO. Suponha que g() eja parcialmene conínua e aifaça a condição (.8), para deerminado γ e M. Evidenemene, e (.8) e verifica para um dado γ negaivo, ambém e verifica para γ poiivo, de modo que pode-e upor γ poiivo. Enão, a inegral Z h() g(τ) dτ é conínua e, empregando (.8), obém-e, h() Z g(τ) dτ M Z e γτ dτ M γ (eγ ) (γ > ) Além dio, h ()g(), exceo no pono em que g() é deconínua. Aim, h () é parcialmene conínua obre qualquer inervalo finio e, de acordo com o Teorema 6. L {g()} L { h () } L {h()} h() (Re() > Re(γ)) Evidenemene, h() 6 e, porano, L {h()} Z L {g()} L { g(τ) dτ} Io complea a demonração. A fórmula (.3) é acompanhada de uma fórmula úil, que e obém ecrevendo L {g()} G(), rocando o doi membro e coniderando a ranformada invera do doi lado. Aim, L { G() } Z g(τ) dτ. (.4) Exemplo 3. Seja L {g()}. Achar g(). Da Tabela., obém-e: ( +ω ) { } L + ω ω enω. Daí e do Teorema 8, decorre que { ( )} L + ω Z enωτdτ ( coω). ω ω Aplicando o Teorema 8 mai uma vez, obém-e a repoa deejada. { ( )} L + ω Z ω ( coωτ)dτ ( ω enω ). ω 6 Inegral de aé de uma função, e exiir, é empre. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 7

18 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.. Valor Inicial e Final de uma Função no Tempo Dada uma função do empo g(), denomina-e de valor inicial o valor que ea função em quando, ou eja, g(). Da mema forma, denomina-e de valor final o valor de g() quando o empo ende a infinio, ou eja, lim g(). Ee doi valore, paricularmene o valor final, ão muio imporane na análie de iema. Se a Tranformada de Laplace de g() for conhecida, é poível calcular o valore inicial e final em o conhecimeno da função no empo. Io é muio úil na análie de iema porque permie deerminar o valor de regime (valor final) de um iema para um dado inal de enrada em a neceidade de conhecer a repoa do iema no empo o que poupa muio rabalho. Também é poível deerminar o ganho de um iema que é o valor final e a enrada do iema for um degrau uniário. Teorema 9 (Valor inicial) Se g() é uma função em deconinuidade na origem, o valor de g() para é dado por: g() lim G() onde G() é a Tranformada de Laplace de g(). DEMONSTRAÇÃO: uando o eorema 6 e a definição da Tranformada de Laplace, em-e que L {g ()} L {g()} g() g ()e d L {g()} g(). Tomando o limie da expreão acima quando, em-e lim g ()e d lim (L {g()} g()) lim L {g()} g() que ende a zero porque e ende a zero quando e a inegral de zero é zero, logo lim L {g()} g() g() lim L {g()} lim G(). Inereane obervar que, e a função g() não for conínua em, ee eorema fornece o limie a direia, io é Teorema (Valor final) lim + g()lim G(). O valor final de g() é dado por: lim g()lim G() onde G() é a Tranformada de Laplace de g(). DEMONSTRAÇÃO: uando o eorema 6 e a definição da Tranformada de Laplace, em-e que L {g ()} L {g()} g() g ()e d L {g()} g(). Tomando o limie da expreão acima quando, em-e: lim Conudo, e ende a um quando, aim lim g ()e d g ()e d lim (L {g()} g()) lim L {g()} g(). g () d g() Cancelando g() no doi lado da equação acima o eorema fica provado. Exemplo 4. Deerminar o valor inicial g() abendo que Aplicando direamene o eorema 9, em-e ] lim g() g()lim L {g()} g(). G() + ω. g() lim G()lim + ω. Ee reulado ambém poderia er obido e foe obervado que g()coω (veja formula.6 na abela.). 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 8

19 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Exemplo 5. Deerminar o valor inicial de u() que é deconínua em. A ranformada de u() é dada por: Aplicando direamene o eorema 9, em-e L {u()}. lim u()lim U()lim +. Noe que, por definição, lim u(). Em oura palavra, u() não em um valor inicial imple porque a função é deconínua em. São enão definido doi valore iniciai: um à equerda de zero e ouro à direia. Nee cao, o eorema 9 ó calcula o valor inicial à direia. Exemplo 6. Deerminar o valor final de g() abendo que Aplicando direamene o eorema, em-e: G() + ω. Ganho de um Siema Linear e Invariane no Tempo lim g()lim G()lim + ω. Na Seção..6 foi eabelecido que o inal de aída de um iema linear e invariane no empo pode er calculado conhecendo-e o inal de enrada e a repoa (inal de aída) do iema ao impulo. A repoa ao impulo caraceriza complemene o iema lineare e invariane no empo. A deerminação da aída envolve o cálculo de uma inegral de convolução ou, pela aplicação do eorema 3, da Tranformada de Laplace (direa e invera). Aim, é poível deerminar a ranformada Y() do inal de aída conhecendo-e a ranformada X() do inal de enrada e a ranformada G() da repoa ao impulo por: Y ()G()X(). O ganho de um iema linear e invariane no empo é definido como valor final da aída quando a enrada é um degrau uniário. Lembrando que a ranformada do degrau uniário vale / (que erá uado como inal de enrada, ou eja, X()/) e uando a lera k para denoar o ganho, pode-e calcular o ganho k por: k lim Y()lim G()X()lim G(). Ee valor é fundamenal para eabelecer o comporameno de um iema em regime permanene, ou eja, um cero empo apó receber uma perurbação. Ee epaço de empo deve er uficienemene grande para o iema e eabilizar (enrar em regime). Siema de conrole endem a er um ganho uniário para anular o chamado erro em regime permanene. Exemplo 7. Deerminar o ganho de um iema cuja ranformada da repoa ao impulo vale: onde ω n e ξ ão conane 7. Aplicando o limie acima ω n G() + ξω n + ω n ω n k lim G()lim + ξω n + ω n.. Tranformada de Laplace de Funçõe Periódica Teorema (Tranformada de funçõe periódica) ω n ω. n Se g() é uma função periódica 8 para > com período T, enão g( + T )g(), ou memo g( + nt)g() para odo n naural. A Tranformada de Laplace de g() pode er calculada inegrando obre apena um único período: L {g()} Z T e T g(λ)e d. (.5) 7 ω n é chamado de freqüência naural e ξ de faor de amorecimeno. 8 Quando e raa de Tranformada Unilaeral de Laplace, a que eá em voga, não impora o valor da função ane de zero; conudo, ela deve er periódica depoi de, io é, deve e repeir exaamene de empo em empo apó o inane. 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 9

20 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná DEMONSTRAÇÃO: por definição a Tranformada de Laplace de g() vale: L {g()} Z T n g()e d Z T g()e d + Z (n+)t nt T g()e d. Z 3T g()e d + g()e d + T Inegrando um ermo da omaória com a mudança de variável λ nt, em-e Z (n+)t Z T Z T Z T g()e d g(λ + nt)e (λ+nt) d e nt g(λ + nt)e λ d e nt g(λ)e λ d. nt Subiuindo novamene λ, L {g()} n ( e nt Z T ) Z T g()e d g()e d n ( e nt ). Já que a inegral não depende de n ela pôde er reirada da omaória. Lembrando que a érie geomérica 9 converge e x <. Subiuindo x e T, obém-e: x n n x e T n( ) n e nt n e T Re() <. Dio e conclui que a ranformada vale Z T L {g()} g()e d ( e nt ) n e T Z T e T g()e d. para Re() < /T. Uando o eorema da exenão analíica pode-e eender a região de convergência para qualquer valor de diferene de zero porque o denominador da equação (.5) é nulo para. Exemplo 8. Deerminar a Tranformada de Laplace da enóide reificada (meia onda) que em um período pode er repreenada por g(): g() enω e < ω π e π ω < π ω T g() T 9 A érie geomérica x n converge e em por oma n x e x < porque a oma do n primeiro ermo S n vale: S n + x + x + + x n que e muliplicada por x fornece que quando ubraída de S n leva à No limie, quando n : Se x <, enão lim n x n e a oma vale xs n x + x + + x n + x n ( x)s n x n S n x xn x. ( ) lim S n lim n n x xn x x x lim n xn. lim S n n x x n. n 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

21 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Como o período vale T π ω, aplicando a equação (.5), obém-e: L {g()} Z T e T g()e d Z π/ω Z π/ω e T enωe d + e d π/ω }{{}}{{} v en ω du e d. Reolvendo por pare, ecolhendo v enω e du e d que leva à dv ω coωd e u e, em-e: L {g()} e T ] π/ω e enω }{{} Z ω T / e T coωe d }{{} v co ω du e d Z π/ω + ω coω e Reolvendo por pare, novamene, ecolhendo v coω e du e d que leva à dv ω enω e u e, em-e: ( ω L {g()} e T coω e ] π/ω Z π/ω ) ω enω e d Aim, Uando a idenidade ω e T ( ( e π/ω + ω ( e T + e π/ω) Z π/ω ω ( e T + e T/) ( ω ) L {g()} ( ( ω ) ) L {g()} + ( + ω ) L {g()} d ) ω ) enωe d ( ω ) ( Z π/ω ) e T enωe d }{{} L {g()} ω ( e T + e T/) + e T/ e T ω L {g()} + e T/ e T ω + ω + x x + x ( x)( + x) x com x e T / x ( e T/) e T obém-e, finalmene: L {g()} ω e T/ + ω ω e π/ω + ω...3 Exercício. Empregando (.5), deduzir: 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

22 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (a) L {en} de L {co} (b) L {enh} de L {coh}. Empregando o Teorema 6 e 7, morar que (a) L { coω} ω ( + ω ) (b) L { coha} + a ( a ) a (c) L { enha} ( a ) (d) L {e a } ( a) a 3. Empregando Exemplo 3 (eendido pela aplicação do Teorema ) e o exercício a, morar que: (a) L { ( + ω ) } (enω ω coω) ω3 (b) L { ( + ω ) } (enω + ω coω) ω 4. Verificar o reulado do Exemplo 3 morando que: L {g()} ( ω ) + ω 5. Deerminar L {co } (a) uilizando o reulado do Exemplo e o Teorema de Piágora ( co + en ) ; (b) pelo méodo empregado no Exemplo ; (c) exprimindo co em ermo de co. 6. Deenvolva o dealhe da demonração do Teorema 6, upondo que f () em alo finio em,,..., m. 7. (Exenão do Teorema 6). Tem ineree práico na aplicaçõe a eguine exenão do Teorema 6. More que e f () é conínua, a meno de uma deconinuidade ordinária (alo finio) em a ( > ), e e a oura condiçõe permanecem a mema que no Teorema 6, enão L {g ()} L {g()} g() [g(a + ) g(a )]e a (.6) g() g(a + ) g(a ) a Figura.: Problema 7 8. Fazer o gráfico da funçõe eguine e, empregando (.6), deerminar ua Tranformada de Laplace. (a) g() quando < <, g() no demai cao. (b) g() quando < <, g() no demai cao. (c) g() quando < <, g() quando < <, g() no demai cao (d) g() quando < <, g() no demai cao 9. Empregando o Teorema 8, deerminar g() e L {g()} valer: 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc.

23 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (a) (b) ( ) ( + 9) (c) (d) ( ) ( + ) (e) (f) ( ) + ( ) + 4 (g) (h) 54 ( 3) π ( π). Reolver o eguine problema de valor inicial por meio da Tranformada de Laplace. (a) y + 9y, y(), y () (b) y + y y, y(), y ()3 (c) y y 3y, y(), y ()7 (d) 4y + y, y(), y () (e) y + y 8y, y(), y ()8. (Equação ubidiária) Morar que a equação ubidiária da equação diferencial y + ω y r() (ω conane) em a olução: Y() y()+y () + ω + R() + ω onde R() é a Tranformada de Laplace de r(). Noar que o primeiro ermo à direia é compleamene deerminado pela condiçõe iniciai dada, ou eja, y()k, y ()k, e o egundo ermo é independene dea condiçõe.. Deermine a Tranforma de Laplace da funçõe periódica para > dada por eu gráfico na Figura.3 na página 3. h() T z() - T y() T T x() T 4 T T g() enω u() T π ω Figura.3: Funçõe periódica para > 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 3

24 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná..4 Tábua de Alguma Tranformada de Laplace A abela a eguir foi criada no inuio de faciliar o cálculo da Tranformada Invera de Laplace. Para uma abela mai complea, com 68 formula, ver a referência [ 3]. # G()L {g()} g()l {G()} δ() 3 u() u() 4 5 n, (n,...) n (n )! u() u() π 6 3/ π u() 7 8 a (a > ) a a Γ(a) u() e a u() 9 ( a) e a u() ( a) n (n,...) ( a) k (k > ) (n )! n e a u() Γ(k) k e a u() ( a)( b) (a b) (a b) (ea e b ) u() 3 ( a)( b) (a b) (a b) (aea be b ) u() 4 + ω enω u() ω 5 + ω coω u() 6 a enha u() a 7 a coha u() 8 ( a) + ω ω ea enω u() 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 4

25 Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná # G()L {g()} g()l {G()} 9 a ( a) + ω e a coω u() ( + ω ) ( + ω ) ( coω) u() ω (ω enω) u() ω 3 4 ( + ω ) (enω ω coω) u() ω3 ( + ω ) enω u() ω ( + ω ) (enω + ω coω) u() ω 5 ( + a )( + b ) (a b ) b (coa cob) u() a a 4 (ena coha coa enha) u() 4a a 4 ena enha u() a 4 a 4 (enha ena) u() a3 4 a 4 (coha coa) u() a a b π 3 (eb e a ) u() + a + b ( ) a b e (a+b)/ Y u() 3 + a J (a) u() 33 ( a) 3/ e a ( + a) u() π ( a ) k (k > ) e k/ π ( ) k / Ik / (a) u() Γ(k) a J ( k) u() 36 e k/ co k u() π 37 3/ ek/ enh k u() πk 38 e k (k > ) k π 3 e k /4 u() 5 de janeiro de 5 Prof. Luí Paulo Lau, Eng. MSc. 5