UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA. TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma introdução com aplicações.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA FORMAÇÃO DE PROFESSOR TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma inrodução com aplicaçõe. VALMEI ABREU JÚNIOR Florianópoli SC

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA FORMAÇÃO DE PROFESSOR TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma inrodução com aplicaçõe. VALMEI ABREU JÚNIOR Monografia apreenada ao Curo de Pógraduação em Maemáica Formação de Profeore da Univeridade Federal de Sana Caarina, como requiio para obenção do íulo de Epecialia em Maemáica. Orienação: Prof Félix Pedro Quipe Gómez Florianópoli SC ii

3 TERMO DE APROVAÇÃO VALMEI ABREU JÚNIOR TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma inrodução com aplicaçõe. Monografia aprovada pelo Programa de Pó-graduação em Maemáica da Univeridade do Federal de Sana Caarina, pela Comião Julgadora abaixo idenificada. Florianópoli, 7 fevereiro de Preidene: Prof. Félix Pedro Quipe Gómez, Dr. Membro: Prof. Márcio Rodolfo Fernande, Dr. Membro: Prof. Sergio Eduardo Michelin, Dr. iii

4 iv Ao meu Anjo, onde quer que ele eeja.

5 AGRADECIMENTOS A odo que, direa ou indireamene, conribuíram para a realização e divulgação dee rabalho. Meu epecial agradecimeno a odo o Profeore, Tuore e colega da primeira urma de Epecialização em Maemáica Formação de Profeore, da Univeridade do Federal de Sana Caarina, pelo companheirimo e pela dipoição, empre preene, em ajudar. Finalmene, agradeço ao profeor Félix Pedro Quipe Gómez pela orienação e pela amizade, além dio, menção epecial a eu dedicado e profiional rabalho na formaação final dea monografia. v

6 RESUMO Ee rabalho preende abordar uma ranformação epecial do Cálculo Diferencial e Inegral, denominada de Tranformada de Laplace, apreenando, inicialmene, ua definição formal que, para ua deerminação, faz uo da inegral imprópria e de uma condição de exiência. A Tranformada de Laplace é uma ferramena amplamene uilizada em área que envolvem fenômeno fíico, como a engenharia, poi a equaçõe que modelam ee fenômeno ão, com o uo da ranformada, reolvida de forma algébrica e apreenam a vanagem de não er neceário a deerminação de uma olução geral em problema de valor inicial. Aim, coniderando a Tranformada de Laplace, ua propriedade e funçõe que fazem uo do eu conceio, enar-e-á morar a vanagem do uo dee poderoo arifício. Eá evidene que nea monografia não e cobre odo o maerial. Exiem muio reulado mai ofiicado o quai podem er enconrado em rabalho avançado, e não e enconram em noo ecopo por agora. Por exemplo, o conceio de epaço opológico, que foram eviado, aparecem em eágio mai avançado da eoria. Concluindo, muio da eoria do méodo da ranformada de Laplace, a pare que muio eudane preciam conhecer, pode er feia em o méodo avançado. É ee o principal objeivo dea monografia. Palavra Chave: Tranformada de Laplace; Tranformação; Inegrai imprópria. vi

7 LISTA DE FIGURAS Figura. Gráfico da coninuidade do empo... Figura. Gráfico de funçõe deconínua... Figura 3. Gráfico da função f ( x) x +... Figura 4. Gráfico da função g ( x) Figura 5. Gráfico da função ( x) x + x x... h...3 Figura 6. Gráfico da função p( x)...3 x Figura 7. Gráfico da função conínua por inervalo...5 Figura 8. Gráfico da função deconínua...6 Figura 9. Gráfico da função conínua por inervalo...4 Figura. Gráfico da função deconínua...5 Figura. Gráfico de e f ( )...6 Figura. Gráfico da função g ( b)...7 Figura 3. Gráfico da função g ( )...9 Figura 4. Reolução de um PVI por ranformada de Laplace...37 Figura 5. Circuio RC...39 Figura 6. Gráfico da função degrau uniário...4 Figura 7. Repreenação da funçõe f ( ) e ( ) Figura 8. Gráfico da função ( )( ) g...4 H...43 Figura 9. Gráfico da função periódica conane...5 Figura. Gráfico da função periódica linear...5 Figura. Gráfico da função periódica de período p π...5 vii

8 CONTEÚDO. INTRODUÇÃO CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS CONTINUIDADE EM UM INTERVALO FECHADO FUNÇÃO SECCIONALMENTE CONTÍNUA INTEGRAIS IMPRÓPRIAS INTEGRAL IMPRÓPRIA NO INFINITO FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...9. TRANSFORMADA DE LAPLACE..... CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNICIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEGUNDO TEOREMA DO DESLOCAMENTO CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES FUNÇÕES PERIÓDICAS SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS...59 INDÍCE REMISSIVO...59 viii

9 . INTRODUÇÃO O deenvolvimeno da ranformada de Laplace neceia do conhecimeno de algun auno abordado em Cálculo Diferencial e Inegral, amplamene debaido na lieraura indicada. Aim endo, planejamo ee rabalho de forma que eja auouficiene. No primeiro capíulo fazemo uma breve inrodução ao conceio e a propriedade a erem uilizada em fornecer uma demonração rigoroa. No egundo capíulo dicernimo obre a diina forma de funcionameno da ranformada de Laplace, obre funçõe apropriada e, principalmene, ao enar aplicar a ranformada invera, poi para uma abordagem complea eríamo que iniciar por uma definição que conemple o número complexo. Finalmene, no erceiro capíulo aplicamo a ranformada para reolver equaçõe diferenciai ordinária e iema de equaçõe diferenciai ordinária com coeficiene conane. No enano, a eficiência da ranformada de Laplace, no cao de reolução de equaçõe diferenciai, eá no fao de que é poível lidar com ela quando pouem coeficiene variávei... CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS A idéia de coninuidade pode er relacionada, inuiivamene, como o empo, poi ao er repreenado graficamene, não há inerrupçõe em ua linha, já que o empo não pára, ou eja, não há quebra no eu gráfico. Maemaicamene, a coninuidade ambém erá relacionada a funçõe que não apreenam inerrupçõe em eu gráfico. A íulo de iluração, a funçõe repreenada na figura não ão funçõe conínua, poi no gráfico (a) e (b) há uma quebra na repreenação gráfica no pono e no gráfico (c), no pono. Para que uma função eja coniderada conínua em dado inervalo, ea deve aifazer a definição de coninuidade. 9

10 f ( ) Figura. Gráfico da coninuidade do empo Figura. Gráfico de funçõe deconínua DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Uma função f é conínua em um número c e aifaz a eguine condiçõe: i) f ( c) é definida; ii) lim f ( x) exie; iii) f ( x) f ( c) x c lim. Se uma da rê condiçõe apreenada na definição anerior não for aifeia, a função erá dia deconínua em c. x c

11 ILUSTRAÇÕES DE CONTINUIDADE Exemplo. Conidere a função real dada pela eguine lei de formação ( x) x + Verifique a coninuidade em odo eu domínio. f. Solução. A função dada é conínua, reula de aplicar a definição, anerior. De fao, para odo pono c ( ) + ( ) lim f x c f c x c y x Figura 3. Gráfico da função f ( x) x + Exemplo. Verifique e a função dada por ( ) g x x + x x é deconínua para c. Solução. Obervamo que o valor ( ) da definição de coninuidade. g é indefinido, ou eja, g (x) não aifaz a condição (i)

12 y x Figura 4. Gráfico da função g ( x) x + x x Exemplo 3. Conidere a função definida da eguine maneira, ( ) h x More que não é conínua em c. x + x e x x e x Solução. Aplicando a definição de coninuidade, x ( ) h( ) lim h x 3 A figura 5, gráfico da função h ( x), mora ea deigualdade. Exemplo 4. Deermine e a função p( x) é deconínua para c. x Solução. Novamene aplicando a definição, emo que h ( ) e ambém que h( x) exiem. A figura 6, gráfico da função p ( x), mora noa concluão. lim x não

13 y x Figura 5. Gráfico da função h ( x) y x Figura 6. Gráfico da função p( x) x 3

14 .. CONTINUIDADE EM UM INTERVALO FECHADO Seja f uma função definida em um inervalo [ a, b ]. A função f erá conínua em [ a, b ] e é conínua em ( b ) a, e, além dio, ( ) ( ) ( ) ( ) lim f x f a e lim f x f b (.) + x a x b Exemplo. Verifique e a função definida por f ( x) 9 x fechado [ 3,3 ]. é conínua no inervalo Solução. Calculando o doi limie exigido na definição anerior, obemo lim + x 3 f ( x) lim 9 x 9 9 f ( 3) + x 3 lim x 3 f ( x) lim 9 x 9 9 f ( 3) x 3 Aim, f é conínua à direia em 3 e conínua à equerda em 3 e, porano, f é conínua em [ 3,3 ]..3. FUNÇÃO SECCIONALMENTE CONTÍNUA Uma função f :[, ) [ a, b] conido em [, ) pono, o limie laerai ão finio. R é eccionalmene conínua quando, em qualquer inervalo, f em, no máximo, um número fino de deconinuidade e, nee ILUSTRAÇÕES DE FUNÇÕES SECCIONALMENTE CONTÍNUA Exemplo. Quando uma função f é eccionalmene conínua num inervalo fechado? Solução. Uma função é eccionalmene conínua, e em uma infinidade de pono de deconinuidade, ma em cada inervalo [ a, b] conido em [, ) deconinuidade. O eguine gráfico ilura a repoa anerior., ó em um número finio de 4

15 f ( x) x Figura 7. Gráfico da função conínua por inervalo Exemplo. Eboçar o gráfico de uma função f que não eja eccionalmene conínua. Solução. Eboçar o gráfico de uma função f que não eja eccionalmene conínua raa-e de conruir uma função que aifaz o eguine limie, lim f ( ) + ea função.. A figura 8 repreena.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Na avaliação da inegral definida a ( ) f x dx (.) b o limie de inegração a e b ão número reai e e f for conínua em [ a, b ], f ( x) para odo x em [ a, b ], a inegral (.) repreenará a área ob o gráfico de f enre a e b. Há muio cao em que a inegral definida (.) não repreena a área de uma região, poi e f ( x) <, para algum x em [ b ] a,, a inegral definida pode er negaiva ou zero 5

16 Se coniderarmo o limie de inegração infinio, a inegral definida (.) erá denominada INTEGRAL IMPRÓPRIA. f ( x) x Figura 8. Gráfico da função deconínua DEFINIÇÃO DE INTEGRAL IMPRÓPRIA i ) Se f é conínua em [ a, ) a valore reai, enão ( x) dx f ( x) a f lim dx (.3) dede que o limie exia; ii ) Se f é conínua em (,a ], enão a a ( x) dx f ( x) a f lim dx (.4) dede que o limie exia. Se o limie apreenado em (.3) e (.4) exiirem, diz-e que a inegrai imprópria ão CONVERGENTES; o limie é enão o valor da própria inegral imprópria. Se o limie não exiirem, a inegrai erão dia DIVERGENTES. 6

17 ILUSTRAÇÕES DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Exemplo. Calcule a eguine inegral imprópria, Solução. Aplicando definição dx lim x x Como a inegral definida reula em Aplicando limie ao infinio, dx x dx. dx + x x dx lim +. x Porano, como dx, a inegral imprópria é convergene. x Exemplo. Calcular a inegral imprópria e for poível. dx x Solução. Uilizando o eorema fundamenal do cálculo, obemo dx [ ln x] ln. x Aim, pela definição de inegral imprópria eremo, dx limln. x Logo, a inegral imprópria é divergene. A inegral (.) pode er o doi limie de inegração infinio e, para ee cao, a inegral erá avaliada conforme a definição a eguir. 7

18 .5. INTEGRAL IMPRÓPRIA NO INFINITO Seja f conínua para odo x. Se a é um número real arbirário, enão a ( x) dx f ( x) dx + f ( x) f dx (.5) a dede que a inegrai imprópria à direia da igualdade ejam convergene. Se uma da inegrai de (.5) diverge, enão a inegral ( x) divergene, independenemene da ecolha de a. f dx erá dia ILUSTRAÇÃO DE INTEGRAL IMPRÓPRIA. Exemplo. Calcular a eguine inegral imprópria com limie de inegração infinio dada por dx x + Solução. Uilizando a equação (.5) com a, em-e dx dx x x x Em eguida, aplicando a equação (.3), reula dx. dx lim dx lim arcan x + x + x 8 [ ] lim [ arcan arcan] π π. Analogamene, pode-e morar, por meio da equação (.4), que + x π dx. Coneqüenemene, a inegral imprópria é convergene e em o valor π π dx + π + x

19 .6. FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL DEFINICAO DE FUNCAO DE ORDEM EXPONENCIAL. Dizemo que uma função f é de ordem exponencial c e exiem conane c, chamada de abcia de convergência, M > e > odo > T. c T de forma que ( ) Me f para ILUSTRAÇÕES DA DEFINIÇÃO DE ORDEM EXPONENCIAL Exemplo. Conidere a função rigonomérica f ( ) en ( a ) exponencial.. More que é de ordem Solução. Aplicando a definição, emo ( ) en a e para odo. (.6) Pelo memo raciocínio, qualquer função limiada em [, ) é de ordem exponencial. Exemplo. Conidere a função polinomial ( ) n More que é de ordem exponencial. f, para n um número naural fixo. Solução. Aplicando a regra de L Hopial n veze no eguine limie Logo, exie um al que n lim e n e onde n e para odo Exemplo 3. Seja a função exponencial dada por f ( ) e More que ( ) exponencial. f não é de ordem 9

20 Solução. Para qualquer M > e c, e ( c lim lim e ). (.7) c Me M Se exiie al que, para odo ivéemo c, eríamo c e Me e Me, o que é impoível, poi e Me c eá endendo ao infinio.

21 . TRANSFORMADA DE LAPLACE Do Cálculo Diferencial e Inegral, podemo coniderar a diferenciação e a inegração como ranformaçõe, io é, ea operaçõe ranformam uma dada função em oura. Uma ranformação inegral epecial é a ranformada de Laplace, onde a idéia báica conie em coniderar um conjuno de funçõe definida no inervalo [, + ) onde, a cada função f dee conjuno, aociamo uma função F definida no inervalo ( a,+ ), ao qual denominamo Tranformada de Laplace de f, repreenada por F L{ f }. Ea aociação é conruída de al modo que a operaçõe diferenciai com a funçõe f, correpondem a operaçõe algébrica" com a funçõe F. Io poibilia, por exemplo, ranformar cera equaçõe diferenciai em equaçõe algébrica, endo ea a principal aplicação da ranformada de Laplace. Como, em geral, ea equaçõe diferenciai provêm da Fíica, adoamo como a variável no inervalo [, + ) e como a variável no inervalo ( a,+ ) { f ( ) } F( ) L.. Aim, conideramo DEFINIÇÃO. Seja f :[, ) R. Defini-e como ranformada de Laplace de f como endo a função F al que F ( ) e f ( ) d { f ( ) } L, (.) dede que a inegral imprópria convirja. Exemplo. Conidere a eguine função definida por, ( ) a ranformada de Laplace. f e. Enconre a ua Solução. Pela definição e a equação (.), emo que: Se F a ( a) ( ) e e d e a, a inegral imprópria reume-e em: d. (.)

22 ou eja, erá divergene. ( ) lim T T lim lim ( ) (.3) F d d T T T T Se a, emo: F T ( a ) ( a ) ( ) e d e lim d (.4) T lim T a ( a) T ( a) ( e ) lim e T a T ( ), e > a a, e < a. (.5) Porano, a inegral ó erá convergene e Aim, concluímo que: > a e, nee cao, converge para. a { e a } L, e > a. (.6) a Exemplo. Conidere a função rigonomérica, ( ) co( a) ranformada de Laplace. f. Enconre a ua Solução. Pela definição e equação (.), emo que: T ( ) e co( a) d lim e co ( a) T F d. (.7) Uilizando méodo de inegração por pare, reula: T T F ( ) lim ( e en ( a) ) e en ( a) d, a T + > a a (.8)

23 T T lim e co( a) e co( a) d T a a a Aim endo, emo F a + a a a a ( ) F ( ) + a F Iolando F ( ), obemo, a ( ) ( ) F a a + + a a Aim, concluímo que { co( a) } L. + a.. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA T Como L { f ( ) } é definida pela inegral imprópria ( ) e f d lim e f ( ) claro que nem oda função f :[, ) T Laplace. No mínimo, é neceário que e f ( ) T d, fica R erá, neceariamene, uma ranformada de d exia para odo T > e, além dio, que o limie indicado eja finio. O eorema da exiência dá condição uficiene para que uma função enha ranformada de Laplace. No enano, ane de enunciá-lo, vejamo alguma definiçõe para ua compreenão. DEFINIÇÃO. A função f :[, ) inervalo [ a, b] conido em [, ) e, nee pono, o limie laerai ão finio. R é eccionalmene conínua quando, em qualquer, f em, no máximo, um número fino de deconinuidade Exemplo. Conidere a função dene quadrado. Dicua a ua naureza uilizando o eguine gráfico. 3

24 f ( x) x Figura 9. Gráfico da função conínua por inervalo Solução. A função f é eccionalmene conínua, poi em uma infinidade de pono de deconinuidade, ma em cada inervalo [ a, b] conido em [, ) deconinuidade., ó em um número finio de Exemplo. Dicua a naureza da função repreenada pela figura. Solução. A função f não é eccionalmene conínua, poi, ( ) lim f + Obervação: Se f ( ) for conínua em [, ), enão erá eccionalmene conínua. 4

25 f ( x) Figura. Gráfico da função deconínua x CONDIÇÕES DE DIRICHLET DEFINIÇÃO. Dizemo que f :[, ) eccionalmene conínua em [, ) e é de ordem exponencial. R aifaz à condiçõe de Dirichle quando é ILUSTRAÇÃO. A funçõe conane, n, n, en, co ( a), enh ( a), coh ( a), en( ) a e, ( a) ão exemplo de funçõe que aifazem à condiçõe de Dirichle., TEOREMA. Se f :[, ) R aifaz à condiçõe de Dirichle, com abcia de convergência c, enão f em uma ranformada de Laplace F definida para > c. Prova. Como f é eccionalmene conínua em [, ) b definida e f ( ) d exie., enão para qualquer b >, a inegral 5

26 b Deve er morado que e f ( ) f ( ) b lim d é finio. Aim, como f é de ordem exponencial com abcia de convergência c, exiem, c e > f Me, M ai que ( ) c empre que. Como o inervalo de inegração pode er ubdividido, ou eja, b b ( ) d h( ) d h( ) h + g Conidere ( ) ( ) b b e f ( ) d abaixo da curva de e f ( ) d b, baa morar que e f ( ) b lim d é finio. f, para odo e conínua. Fixando > c e coniderando, g ( b) erá crecene quando b ambém o for, poi ( b), conforme figura. g repreena a área b Figura. Gráfico de e f ( ) Por ouro lado, como ( ) c f Me, para odo, emo que: Porano, No enano, f b c ( c ) ( ) e Me e Me g. (.9) ( ) ( ) b b c b e f ( ) d Me M c e ( c ) Me < c c b c. (.) M c e ( ) ( ) ( ) ( ) k e, (.) 6

27 endo k uma conane poiiva para odo b. Enão, g ( b) é crecene e eu valore nunca ulrapaam k. g ( b) k b Figura. Gráfico da função g ( b) Aim, quando b, g ( b), por er crecene, erá um limie e ee erá finio, podendo er menor ou igual a k, io é, g( b) lim é finio. b.. LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Se f e g aifazem à condiçõe de Dirichle, podemo verificar que f + g e cf, onde c é uma conane qualquer, ambém aifazem e, nee cao, { f g} L{ f } L{ g} L + + (.) { cf } cl{ f } L (.3) Demonração. Suponha que f e g aifazem à condiçõe de Dirichle e c eja uma conane qualquer, enão pela equação (.), emo: L { f ( ) + g( ) } e [ f ( ) g( ) ] + d 7

28 Para a egunda propriedade, eremo f ( ) d + e g( ) L { f ( ) } + L{ g( ) } e d. { c f ( ) } e cf ( ) d c e f ( ) d c f ( ) { } L L. O que demonra que a ranformada de Laplace é uma ranformação linear. Exemplo. Funçõe Hiperbólica a a Uma vez que coh ( a) ( e e a a + ) e enh ( a) ( e e ) (.5) e da linearidade da ranformada de Laplace, que: obemo, da equação L a a { coh a} [ L{ e } + L{ e }] + a + a a (.4) Por ouro lado, fazendo o memo, obemo L L L a a { enh ( a )} { e } { e } a a a + a (.5) { } Exemplo. Calcular a eguine ranformada enh ( a) Solução. Como a funçõe hiperbólica ão dada por, enão enh, a a ( a) ( e e ) L. Logo, a a a a ( ) ( ) enh a e e e + e. (.6) 4 L L 4 { } ( a enh a a e + e ) 8

29 4 a a [ L{ e } + L{ e } L{ } ] + 4 a + a. (.7).3. UNICIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sabe-e, da equação (.5), que L { e }, para >. No enano, deve er analiada a eguine perguna: exie oura função além de ( ) f e, definida para, que enha a mema ranformada, para >? É fácil verificar que im, poi, por exemplo: ( ) g e e e e (.8) g ( ) e Figura 3. Gráfico da função g ( ) Como a inegral de uma função não e alera e for mudado o valor de um número finio de pono (Kreyzig, [4]), 9

30 { g( ) } e g( ) L d (.9) e e d L { e }, > (.) Aim, ee exemplo mora que a perguna Qual a função que poui ranformada de Laplace igual a f e? em uma infinidade de repoa como, por exemplo: omando ( ) e modificando eu valore em um número finio de pono. No enano, há oura função compleamene diferene de urge do eorema da unicidade. e que poui ranformada? A repoa a ea perguna TEOREMA DA UNICIDADE ( ) g( ) Se a funçõe f ( ) e ( ) f, no pono em que ea funçõe ão conínua. g pouem a mema ranformada de Laplace, enão O eorema da unicidade permie que eja falado na Tranformada Invera de Laplace, repreenada por { e } i ) L ; L. Por exemplo, a expreão L e ignifica que: ii ) qualquer oura função g ( ) que poui ranformada igual a é igual a exceo, no máximo, em um número finio de pono em cada inervalo [ a, b] conido em [, + ). e Fica claro enão que, dada F ( ), calcular { F( ) } f ( ) al que { f ( ) } F( ) L ignifica calcular uma função L e, por ea ranformação, e em a idéia de oda a oura. 3

31 APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Exemplo. Calcular a ranformada invera da função, ( ) F Solução. Aplicando a operaçõe de ranformada da funçõe obemo, L + e + en + ( ).4. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propriedade. Primeiro Teorema do Delocameno Se L { f ( ) } F( ), enão { e a f ( ) } F( a) L. (.) Demonração. Aplicando definição de Tranformada de Laplace, Exemplo. Como L { en } L L a ( a) { ( )} a ( ) ( ) e f e e f d e f d ( a) F., enão + { e en} ( ) + Propriedade. Derivada da Tranformada. (.) Se L { f ( ) } F( ), enão {- f ( ) } F' ( ) L. (.3) Prova. Aplicando definição de ranformada de Laplace 3

32 Exemplo. Como, { en } e f F ( ) e f ( ) d F '( ) d ( ) { } ( ) f ( ) d ( ) e L - f L e coniderando a equação (.3), reula que: + L { en } +. (.4) + ( ) Corolário: A derivada n-éima da função F, é dada pela formula, n { ( )} ( ) n ( n ) ( ) L f F, n N Exemplo. Deermine a função cuja ranformada de Laplace é ( ). Solução. Oberva-e que Logo, pela equação (.3), reula: d d ( ) e L{ e }. L e. (.5) ( ) Exemplo. Deermine a função cuja ranformada de Laplace é Solução. Oberva-e que ( ) F 4 ( + 4) 4 ( + 4) d d Logo, pela equação (.3), reula: { } e en ( ) L. 4 ( + 4) ( ) L en. (.6) 5 Exemplo 3. Deermine a ranformada de Laplace, { e } L. Solução. Para uma função como ea, a ranformada pode er deerminada por rê méodo diferene: a) Aplicando direamene a definição da ranformada de Laplace, ou eja, 3

33 L 5 { } e e cujo deenvolvimeno reula em ( ) 5 e 5. b) Uilizado a equação (.) do Primeiro Teorema do Delocameno, coniderando a 5 e f ( ). Como, reula que d L { }, (.7) 5 { e } L. ( 5) c) Na equação (.5) foi morado que { e a } obém-e: 5 { e } F( ) L, e > a. Coniderando a 5, reula: a L. 5 Uilizando a equação (.3) da Derivada da Tranformada e eu repecivo corolário, 5 { e } F ( ) d L 5. d ( 5) Porano, na rê forma abordada, foi obido o memo reulado logo, pode er concluído que 5 { e } L. (.8) ( 5) { } Exemplo 4. Deerminar a ranformada de Laplace. e co( ) L. Solução. Seja ( ) f co. Enconre a ua ranformada de Laplace L co d + d + 4 d d { } 4 ( + 4). (.9) Pela equação (.) do Primeiro Teorema de Delocameno, adoando a, reula: 33

34 { } ( + ) e co 4 L. (.3) [( + ) ] L. + + Exemplo 5. Deerminar f ( ) abendo que { f ( )} F( ) Solução. Aplicando a propriedade aociaiva no numerador e denominador ( ) F ( + ) + ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) Reconhecendo a oma, correpondem a eguine ranformada: Porano, ( ) f F ( ) L e ( ) + L e 3 { co 3 } { en ( 3 )} e co 3 + en3. (.3) 3 Exemplo 6. Deerminar f ( ) abendo que { f ( )} F( ) 5 L Solução. Manipulando algebricamene o denominador, eremo Logo, e F ( ) 5 4 ( ) F 4 ( + 5) ( ) ( ), enão 5 e en ( ) f Propriedade 3. Tranformada da Derivada Se L { f ( ) } F( ), enão { f ( ) } F( ) f ( ) L. (.3) PROVA. Uilizando a definição da ranformada de Laplace, equação (.), reula que: { f ( ) } e f ( ) L d. 34

35 Para reolução da inegral imprópria ua-e o méodo de inegração por pare, coniderando Logo, u e ; f ( )d dv, enão: L du e d e f ( ) v. { ( )} [ ] ( ) e e ( ) + f u v v du f f d ( ) ( ) ( ) ( ) f + e f d F f (.33) COROLÁRIO. A ranformada da egunda derivada de uma função admiível é dada pela eguine expreão: { f ( ) } F( ) f ( ) f ( ) L. PROVA. Pela equação (6.3), L { f ( ) } L{ f ( ) } f ( ) [ F( ) f ( ) ] f ( ) ( ) f ( ) f ( ). F Obervação. O corolário acima pode er generalizado para a derivada n-éima de uma função que aifaz a condiçõe de Dirichle (Kreyzig [4]). Aim, ( n) n n n { } ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) L f L f f f f. (.34) Propriedade 4. Tranformada de Laplace da Inegral Se a função f ( ) poui ranformada de Laplace, enão { f ( r) dr} L{ f ( ) }; > L. (.35) Exemplo. Seja a eguine ranformada, 35

36 Deermine a função f ( ). L { f ( ) }. ( + w ) Solução. Pela ranformada invera de Laplace reula L enw. (.36) + w w Pela equação (.35), egue que: L en ( wr ) dr ( co w ) + w w w (.37) Novamene, pela equação (6.5), reula: L ( w ) en ( co wr ) dr + w w w w Porano, en w w w ( ) f (.38) e Exemplo. Ue a ranformada de Laplace da inegral para calcular { e } L. x Solução. Como x e dx e e +, pela equação (.35), reula L { e e + } L{ e }. (.39) Uando a linearidade da ranformada de Laplace, equação (.), 36

37 Logo, Aim, e Porano, { e } L{ e e + } L{ e } L{ e } + L{ } L { e } + { e } L. L ( ) { e } + + ( ) 3 L. (.4).5. TRANSFORMADA DE LAPLACE E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A ranformada de Laplace é coniderada um poderoo méodo de reolução de EDO lineare e de eu repecivo problema de valor inicial (PVI) no campo da engenharia, poi permie uma paagem do cálculo para álgebra, endo ee de mai fácil reolução. Além dio, permie que a olução eja enconrada de forma direa, em que eja neceária a obenção de uma olução geral e, para o cao de um PVI, não é neceário reolver a EDO homogênea correpondene (Kreyzig [4]). O proceo de olução conie em rê eapa, conforme equema abaixo: Problema de Valor Inicial (PVI) Problema Algébrico (PA) Reolução do PA por méodo Algébrico Solução do PVI Figura 4. Reolução de um PVI por ranformada de Laplace Exemplo. Reolver o PVI dado por Solução. Adoando equação, reula: dy d y, { y } Y dy y ; y( ) d +. L e aplicando a ranformada em ambo o membro da 37

38 { y + y} L{ } L. (.4) Pela linearidade da ranformada de Laplace, em-e: { y } + L{ y} L{ } L. (.4) Enão, onde Aplicando a equação (.3) da Tranformada da derivada, enconra-e: Y ( ) y( ) + Y ( ) ( + ) Y( ) + Iolando a variável da ranformada, Y ( ) +. (.43) + y + ( ) { Y ( ) } ( + ) L L + L, + ( + ) L e. (.44) reula em: Aim, Para deerminar L ( + ), pode er uilizado o méodo de fraçõe parciai, o que + ( + ) +. (.45) L + + e ( + ) + (.46) Porano, y ( ) e + + e e +. (.47) 38

39 Exemplo. Ue a ranformada de Laplace para reolver a EDO y + 4 y + 4y com a y. condiçõe iniciai y ( ) e ( ) 6 Solução. Fazendo o uo da ranformada de Laplace para a EDO y + 4 y + 4y, reula: Logo, Deenvolvendo, L { y } + 4 L{ y } + 4L{ y} { y} y( ) y ( ) + 4L{ y} 4y( ) + 4L{ y} L. (.48) Subiuindo a condiçõe iniciai e agrupando o ermo emelhane, enconra-e: ( ) L { y} Iolando a ranformada, obemo L { y} ( ) ( ) ( + ) { e } { e - L } L ( ) ( ) ( ) y e e y e. (.49) Exemplo 3. Conidere o circuio elérico RC com eu repecivo componene ilurado no eguine gráfico, I() C E R Figura 5. Circuio RC Pela Lei de Kirchoff, pode er coniderado que: Se ( ) RI + C ( ) I( u) du E( ) E vol, R ohm,, (.5) C Farad, deermine a correne ( ) I para.

40 Solução. Da equação (.5) e do dado apreenado no enunciado, reula a equação ranformada ou L + L { I( ) } L I( ) { } L{ } { } 4 3 Logo, + 4 L { I( ) }. (.5) 3 ( )( + ) L { I ( ) } (.5) 3 + Aplicando a ranformada invera de Laplace na equação (.5), enconra-e: ( ) I. (.53).6. SEGUNDO TEOREMA DO DESLOCAMENTO Em engenharia, freqüenemene, aparecem funçõe que podem ear ligada ou deligada, como o cao de uma volagem aplicada a um circuio que pode er deligada apó um período. Nee cao, define-e uma função epecial que repreenará al iuação, denominada função degrau uniário, H a ( ), ou função de Heaviide (Zill, 3, []). H a ( ) e a e > a. (.54) Pode-e ober a ranformada de Laplace da função degrau uniário coniderando: Aim, L { a ( )} ( ) lim a e lim A A H e H d e d e d a e A A a a e L { Ha( ) }, >. (.55) 4

41 H a ( ).. a. 3. Figura 6. Gráfico da função degrau uniário. Sejam f e g funçõe, onde f eá definida obre o inervalo delocando-e o gráfico de f "a" unidade à direia, io é: ( ) g e < e f ( a) e a. < e g é obida (.56) f ( ) g ( ) a Figura 7. Repreenação da funçõe f ( ) e g ( ) 4

42 Por exemplo: e a, enão o valor de g em 7 erá o valor de f em 5. Aim, O faor ( ) ( ) H ( ) f ( a) g a. (.57) H a anula g para < a e, mudando o argumeno de para a, faz com que f e deloque "a" unidade à direia. Como a função g ( ) apreenada na equação (8.4) é obida de ( ) f de uma maneira imple, é de e eperar que a ranformada de g ( ) eja obida da ranformada de ( ) uma maneira ambém imple. f de Parindo da idéia expoa aneriormene, o egundo eorema do delocameno pode er enunciado conforme apreenado a eguir. SEGUNDO TEOREMA DO DESLOCAMENTO Seja F( ) L{ f ( ) }, enão a { H ( ) f ( a) } e F( ) L. (.58) a APLICAÇÕES e Exemplo. Deermine a função cuja ranformada de Laplace é. Solução. Pela Analie da ranformada acima, reula que L{ } do egundo eorema do delocameno, enconra-e a função procurada, ou eja, O gráfico 8 repreena a função delocada.. Logo, da equação (.58) e { H( )( ) } L. (.59) Exemplo. Qual é a função cuja ranformada de Laplace é 3 e? 3 Solução. Oberva-e que: ( ). Como, pela equação (.5), 4

43 e, pela equação (.), L ( ) ( ) { enh } L { e enh }, enão, pelo egundo eorema do delocameno, reula que: 3 e 3 L { H3 ( ) e enh ( 3) }. (.6) 3 H ( ) Figura 8. Gráfico da função H ( )( ) ; ; < Exemplo 3. Seja f ( ) Ache { }. Solução. A função f ( ) pode er ecria como: L em fazer o uo de inegraçõe. ( ) [ H ( ) H ( ) H ( ) f ]. 43

44 Logo, pela equação (.3), e L { f ( ) } F( ) d L { f ( ) } F( ). d Aim,, enão: { } + { f ( ) } { } H ( ) L L L d e d e e e e + (.6).7. CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES MOTIVAÇÕES PARA A CONVOLUÇÃO Conidere o problema de valor inicial com coeficiene conane, PVI Seja Y( ) L{ y( ) } e F( ) L{ f ( ) } membro da equação, em-e que: ( ); ( ) ; ( ) ay + by + cy f y y y y. Tomando a ranformada de Laplace de ambo o o que implica em, [ Y( ) y y ] + b[ Y( ) y ] + cy( ) F( ) a Y ( ) ( ) a + b a F y y + +. (.6) a + b + c a + b + c a + b + c a + b a + b + c a a + b + c - Sejam y( ) L e ( ) L. Adoando ( ) y e y, vê-e que ( ) y ( ) ; ( ) y. De maneira análoga, adoando ( ) y f, y é a olução da equação homogênea com condiçõe iniciai f, y e da equação homogênea com condiçõe iniciai y ( ) ; y ( ) y vê-e que ( ) y é a olução. Io implica que: 44

45 ( ) - F ϕ ( ) L (.63) a + b + c é uma olução paricular da equação não-homogênea com condiçõe iniciai ϕ ( ) ; ϕ ( ) função. O problema reume-e enão, em deerminar ( ) F a + b + c percebe-e que: ( ) ( ) L ( ) F. Analiando a a + b+ c F y L { f ( ) } L. (.64) a + b+ c a Seria óimo e ϕ ( ) foe a reulane do produo enre ( ) verdadeiro. qual, f e y ( ) a, enreano io não é A maneira de dua funçõe erem combinada para formar uma nova função denomina-e convolução de f com g. {( f g)( ) } L{ f ( ) } L{ g( ) } f g na L (.65) DEFINIÇÃO DE CONVOLUÇÃO Dada a funçõe f ( ) e g ( ). Denomina-e convolução de f ( ) e g ( ) noação padrão f g, a inegral, repreenada pela ( f g)( ) f ( u) g( u) du (.66) APLICAÇÕES DA CONVOLUÇÃO Se f ( ) en e ( ) g e, enão: ( )( ) ( ) en e u. (.67) f g u du 45

46 PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO Propriedade. (Comuaividade) f g g f (.68) Propriedade. (Aociaividade) ( f g) h f ( g h) (.69) Propriedade 3. (Diribuividade) ( f g) h f h + g h + (.7) Propriedade 4. (Elemeno nulo da convolução) f f (.7) APLICAÇÕES DAS PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO Exemplo. Calcular a convolução da eguine funçõe f ( ) com ( ) g. Solução. Pela equação (.68), ( )( ) ( )( ) f g g f u du 3 3 u (.7) 3 3 TEOREMA DA CONVOLUÇÃO Sejam a ranformada L { f ( ) } F( ) e L { g ( ) } G( ), enão: ou { f ( ) g( ) } L{ f ( ) } L{ g( ) } F( ) G( ) L (.73) { F( ) G( ) } f ( ) g( ) L. 46

47 APLICAÇÕES DO TEOREMA DA CONVOLUÇÃO Exemplo. Deermine a eguine ranformada Solução. Conidere a eguine relação, L ( ) +. L en L L ( + ) ( + ) en co co u du u (.74) Exemplo. Deermine, uando convolução, a ranformada invera de Solução. Oberva-e que L{ } a en + a e L { a} ( a ) +. Logo, pelo eorema da convolução, reula: en a a co a L ( u) en au du ( + a ) (.75) a Exemplo 3. Calcule a ranformada invera de Laplace de { ( + + ) } Solução. Oberva-e que { ( + + ) } L ( + + ). e, ambém, que: { } ; L { e en } ( ) ( ). Logo, pela equação (.73) do eorema de convolução, reula: L u e enu du ( + + ) e ( co + en ) (.76) 47

48 Exemplo 4. Calcule a eguine ranformada ( ) L por convolução. Solução. Sabe-e que. Sejam F ( ) G( ) ( ) ( )( ) ( ), enão: e Aim, ( ) g( ) e f L L { F( ) G( ) } f ( ) g( ). ( ) f ( ) g( ) f ( u) g( u) du u ( u) e e du e du e (.77) Exemplo 5. (Aplicação da convolução à reolução de equaçõe diferenciai) Reolva o problema de valor inicial com coeficiene conane, PVI y + y h( x) ; y ( ), ( ) y não endo neceário epecificar h ( x). y, Solução. Tomando a ranformada em ambo o lado da equação diferencial, reula: { y } L{ y } + L{ y} L{ h( x) } F( ) L agrupando Aplicando a ranformada em cada uma da oma, { y} y( ) y ( ) L{ y} + y( ) + L{ y} F( ) L ( + ) L{ y} F( ). Iolando a ranformada, eremo { y} F( ) ( ) L. Sabe-e, pela equação (.4), que L - ( ) x xe. Logo, 48

49 - F { } ( ) L y xe h( x) ( ) x x e h( x ) d. (.78).8. FUNÇÕES PERIÓDICAS TEOREMA. (ranformada de Laplace de funçõe periódica) Se f é uma função periódica de período p, enão p ( ) { ( )} e f d L f. (.79) p e Demonração. Sabe e que a ranformada de Laplace de f ( ) é dada pela equação (.), ou eja, { f ( ) } e f ( ) L d. Como, por hipóee, f ( ) é uma função periódica de período p, enão a equação (.) pode er ecria da eguine forma: ( ) p p n + p { f ( ) } e f ( ) d + e f ( ) d + + e f ( ) L d +. (.8) p np Fazendo x + np e omando a ( n +) éima inegral da érie acima, obém-e: ( n + ) p p ( x + np) e f ( ) d e f ( x np) + np dx Logo, e np p e x f ( x) dx. (.8) L p p p x p x np x ( f ) e f ( x) dx + e e f ( x) dx + + e e f ( x) dx + p p p x [ + e + e + ] e f ( x) dx. (.8) é p e p p np Como a oma da érie geomérica [ + e + e + + e + ] vol., 994, [6]), egue enão que: p ( ) { ( )} e f d L f. p e (Leihold, 49

50 APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA EM FUNÇÕES PERIÓDICAS Exemplo. Calcule a ranformada de Laplace da função repreenada pelo gráfico abaixo. f ( ) Figura 9. Gráfico da função periódica conane Solução. Pela análie gráfica, verifica-e que a função ( ) f é periódica e poui período p. Aim, fazendo uo do eorema da ranformada de funçõe periódica, equação (.79), reula: L { ( ) } e ( ) f f e d e d e e e + e ( ) ( ) (.83) Exemplo. Calcule a ranformada de Laplace da função repreenada pelo gráfico abaixo. 5

51 f ( ) Figura. Gráfico da função periódica linear Solução. Pela análie gráfica, verifica-e que a função f ( ) é periódica e poui período p. Aim, fazendo uo do eorema da ranformada de funçõe periódica, reula: ( ) e f d e d L { f ( ) } (.84) e e Uilizando o méodo de inegração por pare para reolver a inegral definida apreenada na equação (.84), coniderando em-e: u du d e dv e d v e, L { f ( )} e e d ( e + ) e e e ( e ) e e e e ( ) (.85) Exemplo 3. Deerminar L { f ( ) } F( ) e ( ) inervalo x, ( ) < π f pode er definida analiicamene por; f é periódica de período p π, e no 5

52 ( ) f π π π < π. Solução. Graficamene, a função é dada por: (.86) f ( ) Figura. Gráfico da função periódica de período p π Pelo eorema da ranformada de funçõe periódica, equação (.), enconre-e que: π ( ) { ( )} e f d L f. (.87) π e Pela propriedade da inegral definida (Leihold, vol., 994, [6]), reula: π e f π π ( ) d e d + e ( π )d π π π π ( e e + ) ( e ) (.88) Decorre enão, da equação (.), que: 5

53 53 ( ) { } ( ) e e f π π L ( ) ( )( ) e e e e e π π π π π + + (.89)

54 3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MOTIVAÇÃO Exiem iuaçõe em que há neceidade de reolver imulaneamene equaçõe que envolvem vária funçõe e a ua derivada. Suponha, por exemplo, que doi anque conêm liro de uma olução de cera ubância química, com Kg de ubância química no primeiro anque e Kg de ubância química no egundo. Em um dado inane, água começa a enrar no primeiro anque a uma axa de liro por minuo; a miura formada enra no egundo anque a uma axa de liro por minuo e ai, ambém, a uma axa de liro por minuo. Deermine a fórmula para a quanidade de ubância química exiene em cada anque no empo. Para a deerminação da fórmula que repreenam a quanidade de ubância química exiene em cada anque no empo, ejam x ( ) e ( ) primeiro e egundo anque, repecivamene. Enão, x a quanidade no dx d dx d x x x (3.) já que a axa de variação da quanidade de ubância química num anque deve er igual a axa com a qual ela enra, meno a axa com a qual ai. A condiçõe iniciai apreenada no problema ão: x ( ) ; ( ) x. (3.) Aplicando a condiçõe iniciai na primeira equação do iema, reula: 5 ( ) e x. (3.3) Subiuindo a equação (3.3) na egunda equação do iema (3.), em-e: dx d que é uma equação dependene omene de x ( ). 5 + x e (3.4) 5 5 A olução da equação (3.4), que aifaz a egunda condição inicial de (3.), é: 54

55 5 5 Aim, x ( ) e e x ( ) + e 5 x( ) + e. (3.5) 5 ão a oluçõe do iema coniderado e, 5 porano, a fórmula que deerminam a quanidade de ubância química exiene em cada anque no empo. 3.. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES A ranformada de Laplace ambém pode er uada para a reolução de iema de equaçõe diferenciai lineare com coeficiene conane. O méodo é aplicado de forma análoga ao que vem endo apreenado, com uma única diferença: ao invé de reolver apena uma equação algébrica linear, deve er reolvido um iema de equaçõe algébrica lineare. Para exemplificar o expoo acima, conidere o eguine iema de equaçõe diferenciai: y + z z + 4y (3.6) ( ) z( ) y ; Sejam L { y( ) } Y( ) e { z( )} Z( ) L. Aplicando a ranformada de Laplace na equaçõe do iema (3.6), em-e: { y + z} L{ } L (3.7) { z + 4 y} L. (3.8) Pela linearidade da ranformada, equação (.), e a ranformada da derivada equação (.3), reula: ou Y Z + ( ) Z ( ) ( ) Y ( ) (3.9) 55

56 Y + + ( ) Z ( ) ( ) Z ( ) 4Y +. (3.) A olução do conjuno de equaçõe lineare (3.) é: ( ) Y ; Z ( ) 4 4 ( ) ( ) (3.) Expandindo a oluçõe acima por fraçõe parciai, Y ( ) e (3.) 7 3 Z ( ) Coniderando a ranformada invera, Também L L e + e ( ) { Y ( ) } y ( ) { ( )} 4 4 z L Z L + e + e Porano, a olução do iema (3.6) é: y( ) + e + e ; z ( ) e + e

57 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS A Tranformada de Laplace morou-e de fácil uilização, poi em problema mai complexo, como o obido em equaçõe diferenciai por inermédio de modelagen, pode-e converer a equação diferencial em um problema algébrico, cuja reoluçõe ão maemaicamene mai imple, logo devemo fazer uo da ranformada invera para ober a olução deejada. A idéia principal do exo foi apreenar a Tranformada de Laplace de uma forma práica, em a preocupação com o rigor da demonraçõe da definiçõe, da propriedade e do eorema, principalmene a de ober a invera baeada omene na propriedade da ranformação por er uma aplicação injeora. A oura caraceríica a deacar, é o fao de que a ranformada é muio melhor que ouro méodo radicionai na reolução de equaçõe diferencia ordinária, quando ela pouem coeficiene variávei. O exemplo e modelo apreenado iveram o caráer didáico e moivador para apreenar uma pequena mora do poder aplicaivo dee méodo de ranformação. A funçõe aplicada, principalmene, em engenharia, como a de Heaviide, demonram a implicidade e praicidade da adoção dee méodo, o que veio a incenivar a elaboração dee rabalho. 57

58 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C. Equaçõe diferenciai elemenare e problema de valore de conorno. Tradução Anonio Carlo Campo de Carvalho, Carlo Albero Aragão de Carvalho. 3ª ed. Rio de Janeiro: Guanabara Doi, 985. [] GUIDORIZZI, Hamilon Luiz. Um curo de cálculo. Vol.. 5 ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 8. [3] HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo: Um curo Moderno e Sua Aplicaçõe. 6ª Ed. Tradução de Pedro P. de Lima-e-Silva. Revião Técnica de Valéria de Magalhãe Iório. Rio de Janeiro: LTC, 999. [4] KREYSZIG, Erwin. Maemáica uperior para engenharia, Vol. e. Tradução Luí Anônio Fajardo Pone; Revião écnica Ricardo Nicolau Naer Kuory, Lui Machado. Rio de Janeiro: LTC, 9. [5] LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geomeria Analíica. Vol.. 3ª edição. São Paulo: Ediora Harbra, 994. [6] LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geomeria Analíica. Vol.. 3ª edição. São Paulo: Ediora Harbra, 994. [7] STEWART, Jame. Cálculo. Vol. Reimpreão da 6ª edição. Vário Traduore. São Paulo: Cengage Learning, 9. [8] SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com Geomeria Analíica. Tradução Alfredo Alve de Faria, com a colaboração de Vera Regina L. F. Flore e Marcio Quinão Moreno. Revião Técnica Anonio Perence Júnior. ª ed. São Paulo: Makron Book do Brail Ediora Lda [9] SCHIFF, Joel L. The Laplace ranform: heory and applicaion. New York: Springer-Verlog, 999. [] SIMMONS, George F. Cálculo com Geomeria Analíica. Vol.. Tradução de Seiji Hariki. Revião Técnica de Rodney Carlo Baanezi & Silvio de Alencaro Pregnolao. São Paulo: Pearon Educaion do Brail, 988. [] ZILL, Denni G. Equaçõe diferenciai com aplicaçõe em modelagem. Tradução Cyro de Carvalho Paarra; revião écnica Anônio Luiz Pereira. São Paulo: Pioneira Thomon Learning, 3. 58

59 . ANEXOS INDÍCE REMISSIVO aociaiva propriedade, 34 conjuno equaçõe,, 56 coninuidade conínua, 9,,, convolução função, 45, 46, 47, 48 derivada ranformada, 3, 35, 38, 55 Delocameno eorema, 3, 33 Dirichle condiçõe, 5, 7 divergene, 8 exiência eorema, 3 exponencial ordem, 9 função polinomial, 9 Heaviide função, 4, 57 hiperbólica funçõe, 8 imprópria, 6 infinio, inegração por pare, inegral, 5, 6, 7, 8,,, 3, 5, 9, 35, 36, 45, 49, 5, 5 invera ranformada, 3, 36, 4, 47 Laplace ranformada, limie, 7 eccionalmene conínua, 4, 5, 3, 4, 5 iema equaçõe, 55 ranformação, unicidade eorema, 3 uniário degrau, 4, 4 59