Introdução à Decomposição de Dantzig-Wolfe. Manuel António Matos

Transcrição

1 Inrodução à Decompoição de Danzig-Wolfe Manuel Anónio Mao FEUP 994

2 índice. Inrodução Noação Decrição geral Deenvolvimeno Algorimo Noação Solução báica inicial Cálculo do vecor de preço Cálculo do cuo reduzido Opimalidade (variável a enrar na bae) Admiibilidade (variável a air da bae) Pivoação Nova ieração Melhoria da eficiência...8 Exemplo iluraivo...9

3 . Inrodução Ea noa foram elaborada na equência de oliciaçõe de colaboração em diciplina de merado, a propóio da aplicação da decompoição de Danzig-Wolfe, e reumem, porano, o pono fundamenai focado nea apreenaçõe. O exo em, em conequência, carácer inroduório e pedagógico, recomendando-e ao leior inereado a conula a manuai mai compleo, para complemeno da informação que aqui pode colher. No enano, a decrição do méodo é complea, permiindo a implemenação do algorimo. Aendendo ao carácer do exo, pare-e do princípio que o leior eá familiarizado com o conceio de programação linear, nomeadamene o algorimo revio do Simplex. O exo apreena a moivação e deenvolvimeno do méodo, e decreve o algorimo correpondene, uando uma noação eencialmene maricial. Finalmene, é apreenado um pequeno exemplo numérico, para iluração da aplicação do méodo. 2. Noação Uilizar-e-ão lera maiúcula para deignar marize e conuno (A, B ) e lera minúcula carregada (x, b 3 ) para deignar vecore, correpondendo a lera minúcula imple a variávei, conane e elemeno de vecore ou marize. Há marize que ão ubmarize de oura (p.ex. A = [A A 2... A ]), vecore que ão coluna de marize e vecore que ão ub-vecore de ouro (p.ex. x = [x x 2... x ] ). Normalmene a noação é clara no conexo, nomeadamene devido à dimenõe envolvida e à fore ligação concepual com o algorimo do Simplex. A noação e o equema geral da expreõe eguem de pero Muragh, B.A., Advanced Linear Programming, McGraw-Hill, Decrição geral A decompoição de Danzig-Wolfe aplica-e a problema de programação linear de grande dimenõe, em que a mariz do coeficiene ecnológico em eruura bloco- -angular. O méodo procura aproveiar a eruura epecial da mariz para reduzir a dimenão da bae, criando um problema equivalene com grande redução no número de reriçõe (e porano na dimenão da bae). No enano, a ua caraceríica mai relevane é um equema de geração implícia de coluna não-báica no problema equivalene, indipenável para ornar poível a reolução.

4 P: Problema original (bloco-angular) [ ]. x max c c 2 " c u: A A 2 " A B B2 # B. x x 2 $ x = b 0 b b 2 $ b!! x 0 Ee problema correpondem a iema (ou organizaçõe) em que enidade relaivamene auónoma (B.x = b ) e relacionam aravé de uma geão comum (max c.x) e reriçõe de ligação (A.x = b 0 ). Se for m a dimenão (número de reriçõe) de cada bloco (=..), e endo m 0 o número de reriçõe da marize A, a dimenão do problema erá m 0 +Σm. Ea dimenão da bae do problema original pode er, porano, muio elevada, o que, conugado com a obervação da eruura da mariz de coeficiene, leva à enaiva de, aproveiando a egunda, diminuir a primeira. 4. Deenvolvimeno A ideia bae do méodo de decompoição aena na conhecida propriedade que permie repreenar oda a oluçõe de um domínio convexo limiado como combinação linear convexa do eu pono exremo. Aim, a reriçõe própria de cada ubproblema vão er ubiuída pela enumeração da ua oluçõe exrema, havendo ó que incluir reriçõe de convexidade no muliplicadore uilizado. Parindo do conuno E do r pono exremo de B.x = b : E! = x r { " x " x } () Se exiirem oluçõe não-limiada, anbém é poível ea repreenação. Ee ópico, no enano, não erá raado nee exo. 2

5 em-e r x r com λ = e λ 0 (2) = = x = λ Uando a expreão (2), é poível reecrever a função obecivo do problema original: c x = c = = r. λ x = λ c.x (3) = = r = ( ) ou, fazendo u = c. x e noando que e raa de um valor conane, c x = = = r = u λ (4) De modo análogo, podem reecrever-e a reriçõe de ligação, a parir de: A = r x = A. λ x = λ A.x (5) = = = r = ( ) Fazendo p = A.x (conane!), pode enão ecrever-e: = r = p λ = b 0 (6) Apó ea ranformaçõe, verifica-e que, upondo conhecida a oluçõe exrema do ubproblema: - A expreão (4) é equivalene à função obecivo do problema original; - A expreão (6) ubiui a reriçõe de ligação; - A reriçõe B.x = b do ubproblema podem er ignorada, uma vez que a expreão (2) garane a admiibilidade em relação a cada um dele; - É neceário acrecenar a reriçõe (2) obre o λ, em cada um do ubproblema. Com a ranformaçõe indicada, obém-e um problema equivalene ao problema original, ma definido em ermo do λ, que é habiualmene deignado por Problema Mere, por conrapoição à exiência de ubproblema. A formulação do novo problema é apreenada a eguir. 3

6 P2: Problema Mere max u: = r = u λ = r = p λ = b 0 r λ = =.. = λ 0 =.., =..r Por er eclarecedora quano à forma dee novo problema, apreena-e a eguir a expreão maricial da reriçõe de igualdade de P2: 2 r p p " p " " p 2 p " r p " " λ 2 λ $ r λ 2 r " p p " p $ b 0 λ 2 λ $ $ = " r λ $ " $ λ 2 λ $ r λ No novo problema, vária coia mudaram em relação ao problema original: - A variávei ão o λ. A reolução do problema mere dá o valore ópimo do λ, podendo ober-e o correpondene valore da variávei originai x com recuro à expreão (2) e à oluçõe exrema do ubproblema (recorda-e que e upueram conhecida); - A bae em dimenão m 0 +. Em problema de grande dimenão (o único que ineream a ee méodo), io coniui uma redução dráica. Por 4

7 exemplo: endo 0 ubproblema com 50 reriçõe, paa-e, no ubproblema, de 500 para 0 reriçõe (manêm-e a reriçõe de ligação); - O problema mere em Σr coluna. Ee número é incomporável, obreudo endo em cona que é neceário gerar previamene oda a oluçõe exrema de odo o ubproblema. O úlimo apeco é definiivo, ou ea, não e uificaria fazer a ranformação para um problema mai rabalhoo que o original. Surge a33qui a ideia fundamenal do méodo de decompoição de Danzig-Wolfe: a coluna do problema mere vão endo gerada ó quando ão neceária (para enrar na bae). É ea mecânica que e decreve na ecção eguine. 5. Algorimo 5.. Noação A decrição do algorimo baeia-e na forma revia do Simplex, recorrendo-e à noação indicada a eguir: B c B c N d N n mariz Bae do Problema Mere vecor de Coeficiene da variávei báica vecor de Coeficiene da variávei não-báica vecor de Cuo reduzido mariz de coeficiene da variávei não báica coluna de N correpondene à variável não-báica λ n! = p 0 $ $ 0 linha 5.2. Solução báica inicial Conrução emelhane à do problema normai, recorrendo a variávei auxiliare e variávei arificiai. 5

8 5.3. Cálculo do vecor de preço O vecor de preço v calcula-e com a expreão eguine, endo de noar que, para a variávei báica λ, o coeficiene c B ão o u correpondene:!! v = c B.B = [ v 0 v v 2 " v ] (7) 5.4. Cálculo do cuo reduzido Em princípio, er-e-ia que dipor, nee pono, de oda a coluna correpondene a variávei não-báica, o que, como e die, ornaria deinereane a aplicação da decompoição. Na verdade, o cálculo do cuo reduzido eria que er feio com: d = v.n c N (8) endo, para cada elemeno de d d = v 0.p + v u (9) Subiuindo, virá d = v 0.A.x + v c. x (0) ou, finalmene, d = c v ( 0.A ).x + v () 5.5. Opimalidade (variável a enrar na bae) É imporane noar o ignificado da expreão anerior, abendo-e que e procura o menor cuo reduzido, para eleccionar a variável a enrar na bae. Na verdade, em cada ubproblema, procura-e a olução exrema x que minimize o valor da expreão (). Io correponde, em cada ubproblema, a reolver um problema de programação linear em que () é a função obecivo (podendo excluir-e v, que não afeca a minimização): P3: Subproblema min ( c v 0.A ).x u: B.x = b x 0 6

9 Deignando por x a olução ópima de P3, o cuo reduzido mínimo correpondene ao ubproblema é dado por: d = c ( v 0.A ).x + v (2) Repeindo o proceo para odo o ubproblema, deermina-e enão o cuo reduzido mínimo: d q = min min d { {} } = min { d } (3) No cao de d q 0, a olução é ópima, e pode reconruir-e a olução ópima do problema original, recorrendo à expreão (2) e à oluçõe exrema do ubproblema que eão na bae. No cao conrário, a variável a enrar na bae é λ q, devendo regiar-e a olução exrema correpondene x q = x (olução ópima do ubproblema ). Repare-e que, em odo o proceo, não foi neceário gerar expliciamene mai do que oluçõe exrema do ubproblema (uma por cada um) Admiibilidade (variável a air da bae) A coluna não-báica correpondene à variável λ q é dada por: a q = B.n q = B.!! p q 0 $ $ 0 q A.x 0 = B. $ $ 0 (4) Repare-e que ó inervêm no cálculo primeira m 0 coluna de B -, para além da coluna. Uma vez calculado a q, a elecção da variável a air da bae faz-e como no Simplex, ou ea: ( B.b) min i ( a i i q >0 a q = B.b) p p p x B ai da bae (5) a q Claro que, no cao de p não exiir, o problema mere (e, porano, o problema original) não é limiado, erminando o proceo. 7

10 5.7. Pivoação A aleraçõe de B - e em B -.b ão realizada da mema forma que no algorimo normal do Simplex. O coeficiene da nova variável báica na função obecivo, por ua vez, é calculado aravé de: c p B ( novo)= u q = c q.x (6) 5.8. Nova ieração O proceo recomeça com novo cálculo do vecor de preço (pono 5.3). 6. Melhoria da eficiência A reolução do ubproblema é a pare mai peada do proceo decrio na ecção anerior. No enano, é poível diminuir baane o empo de execução, noando que, em muio cao, a olução ópima de algun ubproblema não muda (ou exige apena mai uma ieração) enre dua ieraçõe uceiva do problema mere. O uo de procedimeno de pó-opimização revela-e aqui baane úil. Uma oura hipóee conie na aleração da eraégia de elecção da variávei a enrar na bae, ecolhendo, não o cuo reduzido mínimo, ma o primeiro cuo reduzido negaivo. O número oal de ieraçõe do problema mere pode aumenar, ma diminui o número médio de ubproblema a reolver por ieração. Finalmene, pode noar-e que a eruura da mariz do coeficiene do problema mere permie a aplicação de écnica de GUB (Generalized Upper Bounding), que exploram o faco de que, em cada ubproblema, pelo meno uma variável λ erá de ear na bae para a olução er admiível (cf. eruura da mariz do coeficiene de P2). Em concluão, orna-e evidene que a uilização da decompoição implica grande cuidado na implemenação compuacional, dada a dimenõe envolvida no problema reai em que ee procedimeno e orna inereane. A eficiência global, nomeadamene em relação ao empo de execução, implica normalmene a ecria de muia linha de código, que permiam aproveiar oda a paricularidade favorávei da eruura do problema. 8

11 Exemplo iluraivo Ee pequeno problema não neceiaria, obviamene, de reolução por decompoição. Reolve-e apena pelo ineree iluraivo que em a ua dimenão reduzida. Por erem muio imple, não e apreenam a reoluçõe do ubproblema, ma apena a formulação e reulado. max z = 3x + x 2 + 2x 3 + x 4 u: x + 3x 2 + 4x 3 + 2x x + x 2 0 2x 3 + x 4 5 3x 3 + 2x 4 8 x 0 Idenificam-e claramene doi ubproblema e uma rerição de ligação. A rerição de ligação obriga a incluir uma variável auxiliar x 5, que fica na bae inicial. Criam-e ambém dua variávei arificiai a e a 2 para a reriçõe de igualdade do λ de cada ubproblema no problema mere, que ficam ambém na bae inicial, com cuo -M. b = [20 ] x B = [x 5 a a 2 ] c B = [0 -M -M] B = B - = I v = [0 -M -M] Valore iniciai para o arranque do algorimo. No cao do problema mere, apena e expliciam o ermo independene e a bae. Subproblema max [3 0].x u [3 ].x = [0] O primeiro ubproblema foi aumenado com a variável auxiliar x 6, ficando porano x =[x x 2 x 6 ] x = [0/3 0 0] d = -0-M Subproblema 2 max [2 0 0].x 2 20 u 320.x 2 = 5 8 O egundo ubproblema foi aumenado com a variávei auxiliare x 7 e x 8, ficando x 2 =[x 3 x 4 x 7 x 8 ] x 2 = [ ] d 2 = -2-M 9

12 Enra na bae Como d 2, correpondendo a x 2 = [ ] λ 2 Sai da bae 24 a q = 0, min { 20 24,, 20 }= 24 Sai a primeira variável báica (x 5 ) <d e d 2 <0, enra na bae a variável correpondene à olução ópima do ubproblema [ ]. 3 0 Repare-e que 4200 = [ 24] e B=I Nova bae B = B.b = x B = [λ 2 a a 2 ] c B = [2 -M -M] v = [(2+M)/24 -M -M] Noe-e que [ ]. 3 = 2 0 Subproblema max [(60-M)/24 (M-4)/8 0].x u [3 ].x = [0] x = [0 0 0] d = -M Subproblema 2 max [-M/6 -M/2 0 0].x 2 20 u 320.x 2 = 5 8 x 2 = [ ] d 2 = -M Enra na bae Como d =d2 <0, pode enrar na bae qualquer λ, correpondendo a x = [0 0 0] da variávei. Opou-e pela do ubproblema. 0

13 Sai da bae 0 a q =, min {, 0, }= Sai a egunda variável báica (a ) Nova bae B - não e alera x B = [λ 2 λ a 2 ] c B = [2 0 -M] v = [(2+M)/24 0 -M] Subproblema A função obecivo não e alera O ópimo é o memo A variável correpondene á eá na bae Subproblema 2 A função obecivo não e alera O ópimo é o memo x 2 = [ ] d 2 = -M Repare-e que, embora o valor da função obecivo do ubproblema ea o memo, é neceário recalcular d 2, poi v2 foi recalculado (embora o valor não e alerae) Enra na bae Como ó d 2 2, correpondendo a x 2 2 = [ ] λ 2 <0, enra na bae a variável correpondene à olução ópima do ubproblema 2. Sai da bae 0 a q = 0, min {,, /6 Sai a erceira variável báica (a 2 ) }= /6 Nee pono, a olução á é viável, poi aíram da bae a dua variávei arificiai.

14 Nova bae B - não e alera x B = [λ 2 c B = [2 0 0] v = [/2 0 0] λ λ 2 2 ] Subproblema max [5/2 -/2 0].x u [3 ].x = [0] x = [0/3 0 0] d = -25/3 Subproblema 2 max [ ].x 2 d 2 = 0 Nee cao, não é neceário reolver, poi o reulado é rivial. Enra na bae Como ó d λ 2, correpondendo a x 2 = [0/3 0 0] <0, enra na bae a variável correpondene à olução ópima do ubproblema. Sai da bae 0 72 a q =, min { 5/6 0 0/72,, }= 72 Sai a egunda variável báica (λ ) Nova bae B = B.b = x B = [λ 2 λ 2 λ 2 2 ] c B = [2 0 0] v = [/2 25/3 0] 2

15 Subproblema A função obecivo não e alera O ópimo é o memo A variável correpondene á eá na bae Subproblema 2 max [ ].x 2 d 2 = 0 Nee cao, não é neceário reolver, poi o reulado é rivial. Solução ópima! [x x 2 x 6 ] = λ 2.x 2 = [0/3 0 0] [x 3 x 4 x 7 x 8 ] = λ 2.x 2 +λ x 2 [x 5 ]=[0] = [25/6 0 20/3 /2] Uma vez que d e d2 ão não-negaivo, aingiu- -e o ópimo do Problema Mere e, porano, do problema original. A olução ópima dee é reconruída a parir da oluçõe báica do ubproblema. O valor ópimo da função obecivo pode er obido no problema mere ou no problema original. x * = [0/3 0 25/6 0] z * = 55/3 3