Função de Transferência

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1 Diciplina: TEQ0- CONTROLE DE PROCESSOS Função de Tranferência Prof a Ninoka Bojorge Deparameno de Engenharia Química e de Peróleo UFF Sumário Função de Tranferência. Inrodução Definição Vanagen Propriedade Ganho da Função de Tranferência Exemplo de Enrada. Função de ranferência de Primeira Ordem 3. Repoa de Unidade de Proceo de Inegração 4. Repoa de Siema de Segunda Ordem

2 Tranformada de Laplace Técnica de Expanão Parcial Relembrando Cao I: Todo o polo, pi ão diino e real α ( + i p i N( D( ( p i L - f ( p p α e + α e α n e p n Tranformada de Laplace Técnica de Expanão Parcial Relembrando Cao II: Alguma raíze ão repeido ( i d r α r i i! ( i d ( + p N( D( p ( i 0,.., r- L - f ( α e p + α e p α r ( r! r e p

3 Tranformada de Laplace Técnica de Expanão Parcial Relembrando Cao III: Alguma raíze ão complexa Cada faore repeido devem er eparado em primeiro lugar. Logo, α( + b + βω ( + b α ( + b + ω ( + b + ω ω + β ( + b + ω L - : onde: f ( b d /, ω d0 d / 4 α c β ( c α / ω, 0 b b αe coω + β e b enω Função de Tranferência 6 A dinâmica de proceo em como objeivo avaliar o comporameno do proceo durane variaçõe na ua enrada (alimenação ou carga do proceo. Vária plana induriai ão bem repreenada por funçõe de ranferência (modelo maemáico de primeira ou egunda ordem. O inai podem er repreenado uilizando: Variávei conínua ou dicrea. A funçõe de ranferência aravé da ranformada de Laplace e ranformada z.

4 Função de Tranferência 7 Uma função de ranferência é um modelo maemáico que aravé de um cociene que relaciona a repoa de um iema (Y( a uma inal de enrada ou exciação (U(. Por definição uma função de ranferência e pode deerminar egundo a expreão: onde: G ( é a função de ranferência (ambém denoada como H ( ; Y ( é a ranformada de Laplace da repoa do proceo e U ( é a ranformada de Laplace da inal de enrada ao proceo. Função de Tranferência A função de ranferencia de um iema: 8 Se ua exenivamene na análie e projeo de iema lineai invariane no empo. É um modelo maemáico do iema, no enido de que exprea a equação diferencial que relaciona a variável de aída com repeio à variávei de enrada. É uma propriedade do iema, compleamene independene do inal de enrada. Relaciona a variávei de enrada e de aída, ma não proporciona informação obre a eruura fíica do iema.

5 Função de Tranferência A função de ranferência de um iema: Pode definir-e ambém como a ranformada de Laplace da repoa ao impulo do iema. Se a função de ranferência de um iema é conhecida, pode eudar-e o comporameno do iema para diferene funçõe de enrada. 9 Enrada VM U( ou X( Perurbaçõe PROCESSO G( Saída VP Y( G ( Y ( U ( Função de Tranferência 0 Para enconrar a função de ranferência, vamo : Enconrar o pono de operação (ou de equilíbrio, Se o iema não for linear, enão e vai linearizar em orno ao pono de equilíbrio, 3 Inroduzir variávei de devio, 4 Aplicar ranformada de Laplace e reolver para a aída, 5 Aplicar a ranformada Invera de Laplace e recuperar a variávei originai da variávei de devio.

6 Função de Tranferência A FT é uma expreão algébrica para a relação dinâmica enre a enrada e a aída do modelo de proceo Exemplo: ranformando: dy 5 + 4y u; y(0 d eja ^ d y ^ ^ 5L + 4L y L u d [ Y ( y( 0 ] + 4Y ( U ( 5 ^ y y e u u 4 ^ U( Função de ranferência /fu G Y( ( Y ( U ( Y ( U ( ( (.5 + G( Vanagen da Função de Tranferência Uma vez conhecida a FT, a repoa de aída para vária enrada pode er obido facilmene. y( L [ Y ( ] L [ G( U ( ] L [ G( ] L [ U ( ] Siema inerligado podem er analiada facilmene. Por álgebra de diagrama de bloco; u - G G G 3 y Y ( U ( G ( G( + G ( G ( G 3 ( Analiar facilmene o comporameno qualiaivo de um proceo, al como a eabilidade, velocidade de repoa, ocilação, ec. Ao inpecionar "polo" e "zero" Polo: oda raíze aifazendo, D ( 0 Zero: oda raíze aifazendo, N ( 0

7 Propriedade da Função de Tranferência Propriedade Adiiva Y ( Y ( + Y G ( x ( ( + G ( x ( x ( x ( G G y ( y( y ( 3 Propriedade Muliplicaiva X 3 ( G G ( X ( ( [ G ( x ( ] G ( G ( X ( x ( G x ( G x 3 ( Realizabilidade fíica - Em uma função de ranferência, a ordem do numerador (m é maior do que a ordem do denominador (n é chamada: "fiicamene irrealizável" - A ordem da derivada para a enrada for mai elevada do que a da aída. (requer fuuro valore de enrada para correne de aída Tipo de Enrada Degrau: ocorre uma variação abrupa da enrada. Pode er execuada na práica. Por exemplo, uma variação degrau em uma vazão volumérica pode er obida pela aberura bruca de uma válvula. Impulo: é uma variação abrupa da enrada, enreano de curíima duração (inanânea. Perurbação ideal. 4 Pulo: é uma variação na enrada, de duração finia (inanânea. Pode er execuada na práica. Uilizada em idenificação de iema. Rampa: a enrada varia linearmene com o empo. X M ( h X X RP( ( exp( w X R ( impule ( a

8 Ganho do proceo 5 Ganho em eado eacionário: A relação enre a mudança finai na enrada e aída. ( y( y(0 Ganho K u ( u (0 ( Para uma mudança degrau uniário na enrada, o ganho é a mudança na aída, Ganho não podem er definido: por exemplo, proceo de inegração e proceo com ocilação conane na aída A parir do eorema do valor final, para uma variação degrau na enrada com condição inicial de zero em e: K y( lim Y ( lim G( limg( A repoa para a mema função de ranferência para um impulo na enrada, erá Y ( G( U ( G( L δ ( ( G( Função de Tranferência 6 Modelo do Proceo Qualquer decrição de um proceo pode er coniderada como eu modelo; Em ermo de propóio de conrole, o modelo deve coner informaçõe que permiam predizer a conequência da mudança da condiçõe operacionai do proceo; Um modelo pode er dede uma decrição maemáica ou aé qualiaiva do comporameno de um proceo.

9 Modelo de Proceo 7 Uma da écnica mai imple para modelar a dinâmica do ecoameno de líquido em ubo e anque é aravé da aociação com circuio elérico: Reiência Fluídica reiência elérica Capaciância Fluídica capaciância elérica 3 Variação de Preão enão elérica 4 Fluxo correne elérica Modelo de Proceo 8 Reiência fluídica é a reiência a paagem de líquido aravé de um ubo ou rerição endo definida por R variação de preão variação de fluxo Q Q Q Q Q P P > P P A relação enre a variação de preão e a variação de fluxo difere para ecoameno laminare e urbuleno

10 Modelo Modelo Proceo de Proceo 9 Reiência fluídica ambém definida em ermo da diferencia de alura de coluna de água em anque acoplado, poi a preão na aída do anque é proporcional a alura da coluna de líquido. Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF Modelo de Proceo 0 Por implicidade uporemo que a diferença de preão é cauada pela diferença da coluna de líquido no doi anque. Dea forma, pode-e redefinir a reiência pela relação: R dh dq Quando o ecoameno é laminar, a relação em regime permanene enre H e Q é linear: dh R, Q KH R dq onde K é um coeficiene em m / que depende da dimenõe da ubulação. K

11 Função de Tranferência de Primeira Ordem - Modelo de Primeira Ordem h( u( q i A Equema de um anque de fluxo por gravidade R q qi : vazão volumérica de enrada; q : vazão volumérica de aída; A : área de eção ranveral do anque; ρ : denidade do líquido; R : reiência à paagem do fluxo de aída devido à força de ario na ubulação de aída; h : nível de líquido no anque (variável de aída do proceo, aquela que emo o ineree em conrolar. Aplicando Lei de Conervação e de relaçõe coniuiva: dh( qi (. ρ i ( q(. ρ( Aρ( d q( h( R ( ( Função de Tranferência de Primeira Ordem - Modelo de Primeira Ordem... con. Sub. ( em ( e reordenando: u( q i dh ( h ( A ρ ( +. ρ ( qi (. ρi ( d R h( A R q dh( RA d + h( Rq ( i Equema de um anque de fluxo por gravidade L R h( qi ( + R. A. L - h( Rq i ( e / Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF

12 Função de Tranferência de Primeira Ordem 3 - Modelo de Primeira Ordem... con. u( q i h ( Rq i ( e / h( A R q h( Equema de um anque de fluxo por gravidade Repoa a degrau para um iema de ª ordem Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF Função de Tranferência de Primeira Ordem 4 - Forma Geral de uma Função de Tranferência de Primeira Ordem Y ( K X ( + (5. onde K é o ganho eáico o proceo e é a conane de empo. Enconrar Y( e y( para alguma enrada paricular X(?. Repoa degrau. M X ( (5. K M Y ( + (5.3 y( KM ( exp( Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF (5.4 Repoa ao Degrau

13 Repoa de iema de ª ordem a enrada degrau y/km e -/ 0 0 0,63 0, , , ,9933 Uma caraceríica de iema de primeira ordem é que não reponde inananeamene a uma úbia mudança na ua enrada e depoi de um inervalo de empo igual à conane de empo do proceo (, a repoa do proceo é apena 63,% da variação oal. Teoricamene, o reulado do proceo nunca ainge o novo valor do eado eacionário, uma aproximação do novo valor obém-e quando é igual a 3-5 veze a conane de empo do proceo.. Repoa Rampa a X ( (5.5 Ka Ka Ka Ka Y ( + ( + + Propriedade inereane para grande valore de empo ( >>. y ( Ka (exp( + ka y( Ka ( (5.7 (5.8 Ka A C B Ka + 0 A Figura repoa Rampa - Comparação de enrada e aída Apó um período inicial raniório, a enrada Rampa produz uma aída rampa com inclinação igual a Ka, ma delocada no empo, pela ce de empo do proceo,.

14 3. Repoa Senoidal Aω X ( (5.9 + ω ( KAω KA ω ω ω Y (5.0 + ( ( + ω + ω ω + ω Por idenidade rigonomérica. KA y( ω + [ ω exp( ω co( ω + in( ω ] (5. onde: KAω KA y( exp( + in( ω + ω + ω + φ (5. - Por idenidade rigonomérica onde: a in φ an ( ω θ + bcoθ a + b in( θ + φ φ an ( b a (5.3 Forma Geral de uma Função de Tranferência de Primeira Ordem 8 Obervaçõe: Em ambo (5. e (5., qdo o ermo exponencial, ende para zero e fica como uma repoa pura enoidal. Repoa de Frequência! (erá dicuida em unidade poeriore. y( KA ω + Fae lag u ( y ( φ (ω ω 3 A Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF ω Proceo Repoa ípica enoidal 3 ω

15 5.3 Repoa de Unidade de Proceo de Inegração O que é um proceo de inegração? Proceo de inegração em um faor (/ em ua função de ranferência. - Em malha abera o proceo é inável (não-auo-regulação. Um proceo que não pode chegar a um novo eado de equilíbrio quando é ujeio a mudança degrau na enrada é chamado de proceo em malha abera inável ou Proceo não-auo-regulaório". Qual iema é um proceo de inegração? (a u( (b q i u( q i h( q h( q Siema de nível de líquido com uma bomba (a ou válvula (b. 9 Repoa: (a é o proceo de inegração! A vazão do efluene em (b aumena auomaicamene e o nível aumena. Porano, e a vazão do afluene é maior, enão o nível vai aumenar, e a vazão do efluene ambém aumenará. Se a vazão de efluene aumena ambém a vazão afluene aumenou de modo que o nível irá convergir. Siema de nível de líquido com uma válvula é um proceo eável (ou auo- regulaório. Ma, no iema (a, independenemene do nível, a vazão do efluene é conane devido à bomba. Aim, e a vazão do afluene é maior que a vazão do efluene o nível empre aumenará, e vice-vera. ou eja, a diferença enre a vazão do afluene e a vazão de efluene é inegrado ao proceo de aída (o nível. Siema de nível de líquido com uma bomba é um proceo inável (ou não-auo-regulaório. 30

16 Exemplo (para o cao A dh A d q i q onde q é independene do h AH ( Qi ( Q ( H ( S Qi ( Q( A A (5.4 (5.5 (5.6 u( Proceo de Inegração q i h( Figura Siema de Nível de Liquido com um bomba A q Repoa de Siema de Segunda Ordem. Definição de iema de egunda ordem Um iema de egunda ordem é aquele cuja aída y( é decria pela olução de uma equação diferencial de egunda ordem. d y dy a + a + ao y d d bu( 5.7 onde u( é a enrada (ou função forçada. Sea 0 é diferene de zero, a equação anerior e ecreverá: d y dy + ξ d d + y K P u ( 5.8 3

17 5.4 Repoa de Siema de Segunda Ordem...con. d y dy + ξ + d d a a y K a, ξ a P u ( 5.8 b a onde: e K P o o o a equação (5.8 é a forma normal de um iema de egunda ordem, onde ξ K p : período de ocilação normal do iema, : faor de amorecimeno : ganho eacionário, ou ganho imple do iema. A função de ranferência padrão de um iema de egundo ordem: G ( y u ( K P ( + ξ Repoa de Siema de Segunda Ordem...con. A função de ranferência de egunda ordem pode urgir fiicamene. Doi proceo de a - ordem conecado em érie. G( Y ( X ( KK ( + ( + K ( + ( + (5.0 U( K U + ( K Y( + + Figura Doi iema de primeira ordem em érie reula num iema de egunda ordem. O modelo do proceo: equação diferencial de egunda ordem G ( y u ( K P ( + ξ

18 5.4 Repoa de Siema de Segunda Ordem Siema de doi anque em érie 35 Trê ubcao imporane. Denominador de eq.(5.9: + + ( + ( + Raíze ; ( (5. (5.3 < 0 4 ; iema de egunda ordem inável que eria uma repoa em limie para qualquer enrada. 36

19 Repoa da FT ª ordem para enrada ipo Degrau M X (, Y ( ( Cao a > KM + + (5.4, raíze ão reai e diina: Sobreamorecida y( KM{ exp( [coh( y( KM[ ( + exp( ] Cao b. + inh(, raíze dupla : Criicamene amorecida (5.6 ]} (5.5 Cao c., raíze complexa: Subamorecida 0 < y( KM{ exp( [co( + KM{ ψ onde an ( exp( in( in( + ψ } ]} (5.7 (a (b Figura - Repoa de proceo de egunda ordem para perurbação Degrau (a obreamorecida e criicamene amorecida (b ubamorecida Obervação Repoa que exibem ocilação e overhoo ( y KM > ão obida apena para valore de inferiore a hum. Valore grande de reula uma repoa lena. Repoa mai rápida, em overhoo é obida para o cao de amorecimeno críico.

20 Uma érie de ermo que decrevem a dinâmica do proceo ubamorecido.. Tempo de elevação ( r é o empo a aída proceo leva a primeira aingir o valor de eado eacionário de novo.. Tempo do º pico ( P é o empo neceário para a aída para aingir o eu valor máximo em primeiro lugar. 3. Tempo de aenameno ( é definido como o empo neceário para aingir a aída do proceo e permanecem denro de uma banda cuja largura é ± 5% da aleração oal em y. 4. Overhoo. OS a b DR c 5. Tempo de Decaimeno a Repoa caraceríica do deempenho de um proceo da -ordem a um Degrau. DR ( OS exp( π 6. Período (P é o empo enre doi pico uceivo da repoa. Tempo de ubida. r ( π ψ (5.36 Q exp( in( + ψ in( + ψ 0 Tempo do ro pico p π (5.37 [ Qdy d 0] Overhoo. OS exp( π [ Qa y( p b KM (5.38 exp( π ]

21 Razão de decaimeno DR ( OS exp( π [ Qc y( 3π b KM exp( 3π ] π Período de ocilação P Funçõe de Tranferência comun 4 KGanho Ganho; conane de empo; faor de amorecimeno; D empo moro Enrada U( VM ou X( PROCESSO G( Saída VC Y( Y ( G ( U ( VC VM Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF

22 Funçõe de Tranferência comun 43 KGanho Ganho; conane de empo; faor de amorecimeno; D empo moro Siema de primeira ordem Siema de egunda ordem VC( VM VC( VM K ( + K ( + + Primeira ordem mai empo moro Segunda ordem mai empo moro VC( VM VC( K e VM + ( ( K e + + D D Profa. Ninoka Bojorge - TEQ/UFF