6.1: Transformada de Laplace

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "6.1: Transformada de Laplace"

Transcrição

1 6.: Tranformada de Laplace Muio problema práico da engenharia envolvem iema mecânico ou elérico ob ação de força deconínua ou de impulo. Para ee ipo de problema, o méodo vio em Equaçõe Diferenciai I, ão difícei de erem aplicado. Nee capíulo, uaremo a ranformada de Laplace para deenvolver um ouro méodo para reolver uma EDO. Tranformada Inegrai: Dada uma função conhecida K(,), Tranformada Inegrai de uma função f é uma função da forma F () α β K (, ) f ( )d, α< β

2 A Tranformada de Laplace Seja f uma função definida para 0 e que f aifaz cera condiçõe que veremo mai adiane. A Tranformada de Laplace de f é definida por L { f ( )}F ( ) 0 e f ( )d onde, a função K(,) e - é chamada de núcleo da ranformada. Como a oluçõe da EDO lineare com coeficiene conane ão baeada na função exponencial, a ranformada de Laplace é paricularmene úil para ea equaçõe. Noe que a Tranformada de Laplace é definida por uma inegral imprópria, porano emo que eudar ua convergência. Vamo rever algun exemplo de inegrai imprópria e funçõe conínua por pare.

3 Exemplo Conidere a eguine inegral imprópria. 0 e d Noe que para 0 a inegral acima é divergene. Enão vamo upor 0. Podemo calcular ea inegral da eguine forma: 0 e b dlim 0 e d lim b b Aim, podemo concluir que: e b 0 lim b (e b ) Converge: 0 e d, e < 0; e Diverge: 0 e d, e 0.

4 Dada a inegral imprópria Uando inegração por pare Exemplo 0 cod 0 cod lim b b 0 cod lim b in b 0 b 0 in d lim b lim b [ ] b b in co 0 [ bin b ( cob ) ] 0 Ee limie é divergene, porano a inegral original é divergene.

5 Função Conínua por Pare Uma função f é conínua por pare em um inervalo [a, b] e ee inervalo pode er paricionado por um número finio de pono, a 0 < < < n b al que () f é conínua em cada ( k, k ) () lim f ( ) <, k0,,n k (3) lim f ( ) <, k,,n k Em oura palavra, f é conínua por pare em [a, b], e ela é conínua nee inervalo exceo por um número finio de alo.

6 Exemplo 3 Conidere a eguine função f definida por pare: f ( ){, 0 3, < < 3 Pela definição de f e pelo eu gráfico abaixo, vemo que f é conínua por pare em [0, 3].

7 Exemplo 4 Conidere a eguine função f definida por pare: f ( ){, 0 ( ), < 4, < 3 Pela definição de f e pelo eu gráfico abaixo, vemo que f não é conínua por pare em [0, 3].

8 Teorema 6.. Suponha que f é uma função com a eguine propriedade: () f é conínua por pare em [0, b] para odo b > 0. () f() Ke a quando M, onde a, K, M ão conane, com K, M > 0. Enão a Tranformada de Laplace de f exie para > a. L { f ( )}F ( ) 0 e f ( )d (finio) Ob. Funçõe, f, que aifaz a condição () acima é dia de ordem exponencial quando. Ea condição é uficiene ma não neceária para a exiência da Tranformada de Laplace. Veja o eguine exemplo, ambo não ão de ordem exponencial. ), não exie a Tranformada de Laplace f ( ) e ), exie a Tranformada de Laplace f ( ) e co( e )

9 Exemplo 5 Seja f () para 0. Enão a Tranformada de Laplace F() de f é: L { } 0 e d b lim 0 e d b lim b e, > 0 0 b Aim, L { }, > 0.

10 Exemplo 6 Seja f () e a para 0. Enão a Tranformada de Laplace F() de f é: L { e a } 0 e e a d lim b lim b 0 b e ( a ) d ( a) e a a, > a 0 b Aim, L { e a } a, > 0.

11 Exemplo 7 Seja f () in(a) para 0. Uando inegração por pare dua veze, a Tranformada de Laplace F() de f é enconrada como e egue: F( ) L { in( a) } lim b a a a a a a ( e lim b lim ( e b F( ) co a) / a b 0 e 0 e in ad b 0 co a in a) / a F( ) a b 0 b 0 e a a a lim b b 0, 0 co a e b e in a > 0 in ad

12 A Linearidade da Tranformada de Laplace Vamo upor que para a funçõe f e g, exiam a ua Tranformada de Laplace para > a e > a, repecivamene. Enão, para maior que o máximo enre a e a, a Tranformada de Laplace de c f () c g() exie. Io é, L { c f ( ) c g ( ) } 0 e [c f ( ) c g ( )] d é finio logo L { c f ( ) c g( ) } c e f ( ) d c 0 c L { f ( ) } c L{ g( ) } 0 e g( ) d

13 Exemplo 8 Seja f () 5e - - 3in(4) para 0. Enão pela linearidade da Tranformada de Laplace, e uando o reulado aneriore do exemplo(6 e 7), a Tranformada de Laplace F() de f é: F( ) L{ f L 5 ( )} { 5e 3in(4) } { L e } 3L{ in(4) } 5, > 0 6

14 6.: Reolvendo Problema de Valor Inicial A Tranformada de Laplace em ee nome devido ao maemáico frane Laplace, que eudou ea ranformada em 78. A écnica decria aqui foi deenvolvida primeiramene por Oliver Heaviide (850-95), um engenheiro elérico ingle. A Tranformada de Laplace erá uada para reolver PVI de EDO lineare com coeficiene conane. A uilidade da Tranformada de Laplace nee conexo reide no fao de que a ranformada de f ' eá relacionada de maneira imple com à ranformada de f, ea relação é dada pelo Teorema 6.. que veremo a eguir.

15 Teorema 6.. Suponha que f é uma função que aifaz a eguine condiçõe: () f é conínua e f ' é conínua por pare em [0, b] para odo b > 0. () f() Ke a quando M, para conane a, K, M com K, M > 0. Enão a Tranformada de Laplace f ' exie para > a, além dio L { f ' ( )}L { f ( )} f (0 ) Prof (ídeia): Supondo, f e f ' conínua em [0, b], nó emo b lim 0 e b f ' ( )d lim [ e f ( ) b b 0 0 ()e b lim [ e b b f (b) f (0) 0 e b f ( )d ] f ( )d] Sem Perda de Generalidade(SPG), para f ' conínua por pare em [0, b], obemo o memo reulado.

16 A Tranformada de Laplace f ' Porano e f e f ' aifazem a hipoee do Teorema 6.., enão L { f ' ( )}L { f ( )} f (0 ) Agora upondo f ' e f '' aifazendo a condiçõe epecificada para f e f ', repequiivamene, do Teorema 6... Nó obemo enão L { f ' ' ( )}L { f ' ( )} f ' (0) [L { f ( )} f (0)] f ' (0) L { f ( )}f (0) f ' (0) Analogamene, podemo ober uma expreão para L{f (n) }, dede que f e ua derivada aifação condiçõe imilare do eorema 6... Ee reulado é vio no Corolário 6..

17 Corolário 6.. Suponha que f é uma função com a eguine propriedade: () f, f ', f '',, f (n-) ão conínua, e f (n) conínua por pare, em [0, b] para odo b > 0. () f() Ke a, f '() Ke a,, f (n-) () Ke a para M, e conane a, K, M, com K, M > 0. Enão a Tranformada de Laplace f (n) exie para > a, e é dada por L { f ( n) ( )} n L { f ( )} n f (0 ) n f ' (0 ) f (n) (0) f ( n ) (0)

18 Exemplo : ( de 4) Conidere o PVI y ' ' 5 y ' 6y0, y (0), y ' (0)3 Fazendo: y( )e r r 5r 60 (r )(r 3)0 Tem-e r - e r -3, e a olução é: y ( )c e c e 3 Uandoa Condiçõe Iniciai: c c c 3c 3 c 9, c 7 Porano, y( )9 e 7 e 3 Agora vamo reolver o Pvi uando a Tranformada de Laplace.

19 y ' ' 5 y ' 6y0, y (0), y ' (0)3 Exemplo :O MeodoTranformada de Laplace ( de 4) Aumindo que o PVI em uma olução φ e que φ'() e φ''() aifazem a condiçõe do Corolário 6... Enão e onde Fazendo Y() L{y}, nó emo Subiuindo a condiçõe iniciai, no obemo Aim L { y '' 5 y ' 6y} L{ y ' ' } 5L{y ' } 6L{ y}l {0}0 [ L {y }y(0 ) y ' (0 )] 5 [L {y } y (0) ] 6L {y}0 ( 5 6) Y ( )( 5) y(0 ) y ' (0 )0 ( 5 6) Y ( )( 5)30 L {y}y ( ) 3 ( 3) ( )

20 Exemplo : Fração Parcial (3 de 4) Fazendo a decompoição da fração parcial, Y() é reecria como: 3 ( 3)( ) A ( 3) B ( ) 3A ( ) B ( 3) 3( A B ) (A 3B) A B, A 3B3 A7, B9 Porano L {y}y ( ) 7 ( 3) 9 ( )

21 Da eção 6.: Porano Exemplo : Solução (4 de 4) L { e a }F () 0 e e a d 0 e ( a ) d a, > a Y () 7 ( 3) 9 ( ) 7L{e3 } 9L {e }, >, Reecrevendo Y() L{y}, obemo pela linearidade L {y}l {7e 3 9 e } e aim chegamo a olução do PVI y( )7e 3 9e

22 O Méodo Geral da Tranformada de Laplace Conidere uma EDO de coeficiene conane a y '' b y ' cy f ( ) Auma que ea equação em uma olução y φ(), e que φ'() e φ''() aifazem a condiçõe do Corolário 6... Enão L {a y ' ' b y ' cy}al {y ' ' } bl {y ' } cl {y} L{ f ( )} Faça Y() L{y} e F() L{ f }, enão a [ L{y}y(0) y ' (0)] b [ L{y} y(0 )] cl {y}f () (a b c ) Y ( )(a b) y(0)a y ' (0 )F ( ) Y () ( a b) y(0 ) a y' (0) a b c F () a b c

23 Problema Algébrico Aim a EDO foi ranformada na equação algébrica abaixo Y () (a b ) y (0) a y' (0 ) a b c F () a b c porano devemo enconrar y φ() al que L{φ()} Y(). Noe que não neceiamo reolver a equação homogênea e a não homogênea eparadamene, nem emo um pao a mai em que uamo a condiçõe iniciai para deerminar o coeficiene da olução geral.

24 Polinômio Caraceríico Uando a Tranformada de Laplace, no PVI Obemo a y '' b y ' cy f ( ), Y () (a b ) y(0) a y' (0 ) a b c y (0 ) y 0, y ' (0) y 0 ' F () a b c O polinômio do denominador é o polinômio caraceríico aociado à equação diferencial. A expanão em fraçõe parciai de Y() uado para deerminar φ obriga-no a enconrar a raíze da equação caraceríica. Equaçõe de ordem uperior, io pode er muio difícil, epecialmene e a raíze ão irracionai ou complexa.

25 Problema Invero A principal dificuldade em uar o méodo da ranformada de Laplace é deerminar a função y φ() al que L{φ()} Y(). Ee é um problema invero, em que enamo enconrar φ al que φ() L - {Y()}. Exie uma fórmula geral para enconrar L -, ma requer conhecimeno da eoria da funçõe complexa de uma variável, e nó não conideraremo aqui. Pode er morado que e f é conínua com L{f()} F(), enão f é a única função conínua com f () L - {F()}. Tabela podem er conruída, onde podemo enconrar muia da funçõe que erão raada aqui. No noo exo emo a abela 6..

26 Linearidade da Tranformada Invera Frequenemene a Tranformada de Laplace F() pode er expreada como F ()F () F ( ) F n ( ) Seja f ( )L {F ( )},, f n ( ) L {F n ( )} Enão a função f ( ) f ( ) f ( ) f n ( ) erá a Tranformada de Laplace F(), dede que L eja linear. Por reulado de unicidade, não exie oura função conínua f que em a mema ranformada F(). Aim L - é um operador linear com f ( ) L {F ( )}L {F ( )} L {F n ( )}

27

28 Exemplo Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Y () ( ) Uando a Tabela 6.., L {Y ()} L { } L { } () Aim y( )

29 Exemplo 3 Enconrar a invera da Tranformada Y () 3 de Laplace da função. 5 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Y () ( 5) Uando a Tabela 6.., L {Y ()} L { 3 } { 5 5} 3L 3 e5 Aim y( )3 e 5

30 Exemplo 4 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 6 4 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Aim Y () 6 4 3! 4 L {Y ()} L { 3! 4 } y( ) 3 3

31 Exemplo 5 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 8 3 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Y () 8 3 ( 8!)(! ) 4 (! ) 3 3 Aim L {Y ()} L { 4 (! 3 )} y( )4 4L{! } 3 4

32 Exemplo 6 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 4 9 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Y () [ ] 9 [ 3 3 9] L {Y ()}4L { 9} 3 L{ 3 9} 4 co3 3 in 3 Aim y( )4 co3 3 in 3

33 Exemplo 7 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 4 9 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Aim Y () [ ] 9 [ 3 3 9] { L {Y ()}4L 9} L{ 3 3 9} 4 coh3 inh 3 3 y( )4 coh3 inh 3 3

34 Exemplo 8 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 0 ( ) 3 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Y () 0 ( ) 3 0 [! 3]! ( ) 5 [! 3] ( ) Aim L {Y ()}5L {! ( ) 3} 5 e y( )5 e

35 Exemplo 9 Para a função Y() abaixo, no enconramo y() L - {Y()} uando um expanão em fraçõe parciai, como egue. Y () 3 3 ( 4)( 3) A 4 B 3 3 A( 3) B( 4 ) 3 ( A B) ( 4B3A) A B3, 4B3A A/7, B0/7 Y () 7 [ 4 ] 0 7 [ 3 ] y( ) 7 e4 0 7 e3

36 Exemplo 0 Para a função Y() abaixo, enconramo y() L - {Y()} compleando quadrado no denominador e reorganizando o numerador, como egue. Uando a Tabela 6.., obemo y( )4 e 3 co e 3 in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( Y

37 Exemplo : PVI ( de ) Conidere o PVI y ' ' 8 y ' 5 y0, y (0)0, y ' (0 )6 Aplicando a ranformada de Laplace na equação diferencial, e aumindo que a condiçõe do Corolário 6.. ão aifeia, emo [ L {y}y(0 ) y ' (0 )]8 [L {y} y(0) ] 5 L{y}0 Fazendo Y() L{y}, emo ( 8 5) Y ( )( 8) y(0) y ' (0)0 Subiuindo a condiçõe iniciai, obém-e Aim ( 8 5) Y ( )60 6 L {y}y ( ) 8 5

38 Exemplo : Solução ( de ) Compleando quadrado, em-e Y () ( 8 6) 9 Aim Y () [ 3 ] (4) 9 Uando a Tabela 6.., obemo L {Y ( )} e 4 in 3 Porano noa olução do PVI é y( ) e 4 in 3

39 Exemplo : Ploblema não Homogêneo ( de ) Conidere o PVI y ' ' yin, y (0), y ' (0) Aplicando a ranformada de Laplace na equação diferencial, e aumindo que a condiçõe do Corolário 6.. ão aifeia, emo [ L {y}y(0 ) y ' (0 )] L {y} /( 4 ) Fazendo Y() L{y}, emo ( ) Y ( )y(0 ) y ' (0 ) /( 4) Subiuindo a condiçõe iniciai, obém-e Aim ( ) Y ( ) /( 4) Y () ( )( 4)

40 Exemplo : Solução ( de ) Uando fraçõe parciai, Enão Y () ( )( 4) A B C D ( A B)( 4) ( C D)( ) ( A C) 3 ( B D) (4A C) (4B D) Reolvendo, obemo A, B 5/3, C 0, e D -/3. Enão Y () 5/3 /3 4 Onde y( ) co 5 3 in 3 in

41 6.3: Função Degrau Alguma da mai inereane aplicaçõe elemenare do méodo da Tranformada de Laplace ocorre em olução de equaçõe lineare deconínua ou como funçõe de força de impulo. Nea eção, aumiremo que oda a funçõe aqui coniderada ão conínua por pare e de ordem exponencial, e que exie ua Tranformada de Laplace, para uficienemene grande.

42 Definição da função degrau Seja c 0. A função degrau uniário, ou função Heaviide, é definido por u c ( ){ 0, < c, c Um degrau negaivo pode er repreenado por y( )u c ( ){, < c 0, c

43 Eborçando o gráfico de h( )u π ( )u π ( ), 0 Lembre que u c () é definido por u c ( ){ 0, < c, c Aim h( ){ 0, 0 < π, π < π 0 π < Exemplo e porano o gráfico h() é um pulo reangular.

44 Tranformada de Laplace da Função Degrau A ranformada de Laplace de u c () é { } e e e e d e d e d u e u L c c b b b c b b c b c c c lim lim lim ) ( ) ( 0

45 Funçõe Tranladada Dada uma função f () definida para 0, nó vamo coniderar a função ranladada na relação: g() u c () f ( - c): 0, < c g( ){ f (c), c Aim g repreena uma ranlação de f a uma diância c na direção poiiva de. Na figura abaixo, o gráfico de f é o da equerda e o gráfico de g é o da direia.

46 Exemplo O eborço do gráfico g ( ) f ()u ( ), where f ( ), 0. Como u c () é definido por u c ( ){ 0, < c, c Aim 0, 0 < g ( ){( ), e porano o gráfico de g() é uma parábola delocada.

47 Teorema 6.3. Se F() L{f ()} exie para > a 0, e e c > 0, enão L { u c ( ) f (c)}e c L { f ( )}e c F ( ) Reciprocamene, e f () L - {F()}, enão u c ( ) f (c ) L { e c F ( )} Aim a ranlação de f () a uma diancia c poiiva na direção de correponde por uma muliplicação de F() por e -c.

48 Teorema 6.3.: Ideia da prova Nó preciamo morar que Uando a definição da Tranformada de Laplace, nó emo L { u c ( ) f (c)}e c F () { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 F e du u f e e du u f e d c f e d c f u e c f u L c u c c u c u c c c

49 Exemplo 3 Enconrar a Tranformada de Laplace de 0, 0 < f ( ){(), Noe que f ( )() u ( ) Aim L { f ( )}L {u ( )( ) }e L { } e 3

50 Exemplo 4 Enconrar L{ f ()}, onde f é Noe que f () in() u π/4 () co( - π/4), e f ( ){ in, 0 < π /4 in co(π / 4), π /4 { } { } { } { } { } co in 4) / )co( ( in ) ( 4 / 4 / 4 / 4 / e e L e L u L L f L π π π π π

51 Exemplo 5 Enconrar L - {F()}, onde Solução: F () 3 e7 4 ( ) ) ( 6 3! 6 3! 3 ) ( u e L L e L L f

52 Teorema 6.3. Se F() L{f ()} exie para > a 0, e e c é uma conane, enão L { e c f ( )}F ( c ), > a c Reciprocamene, e f () L - {F()}, enão Aim muliplicar f () por e c reula em ranladar F() a uma diancia c na direção poiiva de, e reciprocamene. Ideia da prova: e c f ( ) L {F ( c)} L { e c f ( )} 0 e e c f ( )d 0 e ( c ) f ( )d F (c)

53 Exemplo 4 Enconrar a Tranformada Invera de Para reolver, primeiramene complearemo quadrado: G( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 4 Dede que { f ( ) L {F ( )}L 4} co () egue que G( ) 5 L {G( )}L {F ( )}e f ( )e co ()

54 6.4: Equaçõe Diferenciai com Forçameno Deconínuo. Nea eção eudaremo cao de PVI no qual a função de força é deconínua. a y '' b y ' cyg( ), y (0) y 0, y ' (0) y 0 '

55 Exemplo : PVI ( de ) Enconrar a olução do PVI y '' y ' yg ( ), y(0)0, y ' (0)0 onde, 5 < 0 g ( )u 5 ( )u 0 ( ){ 0, 0 <5 and 0} Ee problema repreena a carga em um capacior em um circuio elérico onde a volagem é um pulo uniário em [5,0). Pode repreenar, ambém, a repoa de um ocilador amorecido ob a ação de uma força g().

56 Aumindo a condiçõe do Corolário 6.. ão aifeia. Enão L {y ' ' } L{y ' } L {y} L {u 5 ( )} L{u 0 ( )} ou Fazendo Y() L{y}, y ' ' y ' yu 5 ( )u 0 ( ), y(0)0, y ' (0 )0 Exemplo : Tranformada de Laplace ( de ) [ L {y} y(0) y ' (0)] [L {y} y(0 )] L{y} e5 e 0 ( ) Y ( )( ) y (0 ) y ' (0)(e 5 e 0 )/ Subiuindo a condiçõe iniciai, obemo Aim ( ) Y ( )(e 5 e 0 )/ Y () (e5 e 0 ) ( )

57 Exemplo : Faorando Y() (3 de ) Temo onde Y () (e5 e 0 ) ( ) (e5 e 0 )H ( ) H ( ) ( ) Se omarmo h() L - {H()}, enão yφ( )u 5 ( )h(5)u 0 ( )h(0) pelo Teorema 6.3..

58 Exemplo : Fraçõe Parciai (4 de) Reecrevendo H(), como. H ( ) ( ) A B C Ea expanão em fraçõe parciai produz a equaçõe (A B) ( A C ) A A/, B, C / Aim H ( ) / /

59 Fazendo a cona, Exemplo : Compleando quadrado (5 de ) ( ) ( ) ( ) 5/6 4 / 4 / 4 / / 5/6 4 / / / 5/6 /6 / / / / / / / / ) ( H

60 Exemplo : Solução (6 de ) Aim H ( ) / / ( / 4) / 4 ( / 4) 5/6 ( / 4) ( / 4) 5/6 5 ( / 4) 5 / 4 5/6 e onde h( )L {H ( )} e/ 4 co( 5 4 ) 5 e/4 in( 5 4 ) Para h() como dado acima, e do noo reulado já deerminado em função de h(), a olução do PVI é enão φ( )u 5 ( )h(5)u 0 ( )h(0)

61 Exemplo : Gráfico da Solução (7 de ) Aim a olução do PVI é φ( )u 5 ( )h(5)u 0 ( )h ( 0), onde h( ) e/4 co ( 5/ 4) 5 e/4 in ( 5 /4 ) E o gráfico dea olução é dado abaixo.

62 Exemplo : Compoição do PVI (8 de ) A olução original do PVI pode er via como a compoição de rê PVI eparado: ' 0 < 5: y ' y ' ' y 0, y (0 )0, y (0 )0 5< < 0: y '' y ' y, y (5 )0, y ' (5 )0 ' > 0: y ' 3 y ' ' ' 3 y 3 0, y 3 (0 ) y (0 ), y 3 (0 ) y (0 )

63 Exemplo : Primeiro PVI (9 de ) Conidere o primeiro PVI y ' ' y ' y 0, y (0)0, y ' (0)0; 0 < 5 Do pono de via fíico, o iema eá inicialmene em repouo, e uma vez que não exie nenhuma força exerna, ele permanece em repouo. Aim a olução ob o inervalo [0, 5) é y 0, e io pode er verificado analiicamene.

64 Exemplo : Segundo PVI (0 de ) Conidere o egundo PVI y ' ' y ' y, y (5)0, y ' Uando méodo do Capíulo 3, a olução é (5)0; 5< < 0 y c e /4 co( 5 /4) c e /4 in ( 5 /4 ) / Fiicamene, o iema reponde como a oma de uma conane (à repoa a função conane força) e uma ocilação amorecida, durane o inervalo de empo (5, 0).

65 Exemplo : Terceiro PVI ( de ) Conidere o erceiro PVI ' y ' 3 y ' 3 y 3 0, y 3 ( 0) y (0), y ' ' 3 (0) y (0); > 0 Uando o méodo do Capíulo 3, a olução é y 3 c e /4 co ( 5/ 4) c e /4 in ( 5 /4) Fiicamene, já que não há força exerna, a repoa é uma ocilação amorecida obre y 0, para > 0.

66 Exemplo : Suavidade da Solução ( de ) Noa Solução é φ( )u 5 ( )h (5)u 0 ( )h(0) Podemo morar que φ e φ' ão conínua em 5 e 0, e φ'' em um alo de / em 5 e um alo de / em 0: lim φ ' ' ( )0, lim φ ' ' ( )/ 5 5 lim φ ' ' ( ).007, lim φ '' ( ) Aim, o alo no ermo de força g() nee pono é equilibrado por um alo no ermo, y'', de maior ordem da EDO.

67 Suavidade da Solução Geral Conidere uma EDO de egunda ordem linear y ' ' p( ) y ' q( ) yg ( ) onde p e q ão conínua em algum inervalo (a, b) ma g é omene conínua por pare. Se y ψ() é uma olução, enão ψ e ψ ' ão conínua em (a, b) ma ψ '' em alo de deconinuidade no memo pono da g. Analogamene para equaçõe de ordem n, onde a derivada da olução de ordem n erá alo de deconinuidade no memo pono da função força g(), ma a olução e ua derivada de ordem menor que n erão conínua obre (a, b).

68 Enconrar a olução do PVI y '' 4yg( ), y(0 )0, y ' (0)0 onde g ( )u 5 ( ) 5 5 Exemplo : PVI ( de ) u 0 ( ) <5 {0, } (5)/5 5 <0, 0 O gráfico da função força g() é dado ao lado, e é conhecido como rampa de carga.

69 Aumindo que ea EDO poui olução y φ() e que φ'() e φ''() aifaz a condiçõe do Corolário 6... Enão ou y ' ' 4yu 5 ( ) 5 5 u 0 0 ( ), y( 0)0, y ' (0 )0 5 Exemplo : Tranformada de Laplace ( de ) L {y '' } 4L {y}[ L {u 5 ( )(5)}]/5[ L {u 0 ( )(0)}]/5 [ L {y}y(0 ) y ' (0 )] 4L{y} e5 e 0 Fazendo Y() L{y}, e ubiuindo a condiçõe inicial, 5 Aim ( 4 ) Y ( )(e 5 e 0 )/5 Y () (e5 e 0 ) 5 ( 4)

70 Exemplo : Faorando Y() (3 de ) Temo onde Y () (e5 e 0 ) 5 ( 4) e5 e 0 5 H ( ) ( 4) H ( ) Tomando h() L - {H()}, enão yφ( ) 5 [ u 5 ( )h( 5)u 0 ( )h(0 )] pelo Teorema 6.3..

71 Exemplo : Fraçõe Parciai (4 de ) Reecrevendo H(), como. H ( ) ( 4) A B C D 4 Ea expanão em fraçõe parciai produz a equaçõe Aim ( A C ) 3 ( B D ) 4 A 4B A0, B/4, C0, D /4 H ( ) /4 /4 4

72 Exemplo : Solução (5 de ) h( )L {H ( )} 4 8 in ( ) yφ( ) 5 [ u 5 ( )h ( 5)u 0 ( )h(0)] Aim e onde Para h() como dado acima, e do noo reulado já deerminado em função de h(), a olução do PVI é enão / 4 / ) ( H

73 Exemplo : Gráfico da Solução (6 de ) Aim a olução do PVI é φ( ) 5 [ u 5 ( )h(5)u 0 ( )h(0)], onde h( ) 4 8 in () E o gráfico dea olução é dado abaixo.

74 Exemplo : Compoição em PVI (7 de ) A olução original do PVI pode er via como a compoição de rê PVI eparado: ' 0 < 5 : y ' 4y 0, y (0 )0, y ' (0 )0 ' 5< < 0: y ' ' 4y (5)/5, y (5 )0, y (5)0 ' > 0 : y ' ' ' 3 4y 3, y 3 (0) y (0 ), y 3 (0) y (0 )

75 Exemplo : Primeiro PVI (8 de ) Conidere o primeiro PVI y ' ' 4y 0, y (0 )0, y ' (0 )0 ; 0 < 5 Do pono de via fíico, o iema eá inicialmene em repouo, e uma vez que não exie nenhuma força exerna, ele permanece em repouo. Aim a olução ob o inervalo [0, 5) é y 0, e io pode er verificado analiicamene. Veja gráfico abaixo.

76 Exemplo : Segundo PVI (9 de ) Conidere o egundo PVI y ' ' 4y ( 5)/5, y (5 )0, y ' (5 )0 ; 5< < 0 Uando méodo do Capíulo 3, a olução é da forma y c co () c in () /0/4 Aim a olução é uma ocilação obre a rea ( 5)/0, ob o inervalo de de empo (5, 0).

77 Exemplo : Terceiro PVI (0 de ) Conidere o erceiro PVI ' y ' ' 3 4y 3, y 3 (0) y (0 ), y 3 (0) y ' (0); > 0 Uando méodo do capíulo 3, a olução é da forma y 3 c co () c in () / 4 Aim a olução é uma ocilação obre y /4, para > 0.

78 Exemplo : Ampliude ( de ) Porano a olução do PVI é yφ( ) 5 [ u 5 ( )h( 5)u 0 ( )h(0 )], h( ) 4 8 Para enconrar a ampliude ocilaória do eado eácionário, devemo localizar um pono de máximo ou mínimo para > 0. Reolvendo y' 0, o primeiro máximo é (0.64, 0.979). Aim a ampliude da ocilação é aprox in ( )

79 Exemplo : Suavidade da Solução ( de ) Noa olução é yφ( ) 5 [ u 5 ( )h ( 5)u 0 ( )h(0)], h( ) 4 in ( ) 8 Nee exemplo, a função força g é conínua ma g' é deconínua em 5 e 0. Segue que φ e ua primeria e egunda derivada ão conínua em oda pare, ma φ''' poui deconinuidade em 5 e 0 que ão o memo pono de deconinuidade de g' em 5 e 0.

80 6.5: Função Impulo Em alguma aplicaçõe, é neceário raar fenômeno de naureza impuliva. Por exemplo, um circuio elérico ou iema mecânico ujeio a uma volagem ou força g() de grande magniude que agem em um período curo de empo 0. Tai problema levam a equação diferencial da forma ay '' by ' cyg ( ), onde g ( ){ K, 0 τ<< 0 τ 0, cao conrário } e τ>0 é pequeno e K > 0 grande.

81 Medindo Impulo Em um iema mecânico, onde g() é uma força, o oal de impulo dea força é medida pela inegral I (τ ) 0 τ g ( )d 0 τ g ( )d Noe que e g() em a forma g ( ){ c, 0 τ<< 0 τ 0, cao conrário } Enão I (τ ) 0 τ g ( )d 0 τ g ( )d τ c, τ> 0 Em paricular, e c /(τ), enão I(τ) (independene de τ ).

82 Função Impulo Uniário Suponha a função força d τ () enha a forma Enão como já vimo, I(τ). Queremo que d τ () aja em inervalo de empo cada vez mai curo (i.e., τ 0). Veja gráfico. Noe que d τ () fica mai alo e mai ereio com τ 0. Aim para 0, emo d τ ( ){ /τ, τ<<τ } 0, cao conrário lim d τ ( )0, e lim τ 0 τ 0 I ( τ )

83 Aim para 0, emo Função Dela de Dirac lim d τ ( )0, e lim τ 0 τ 0 A Função impulo uniário δ é definida com a propriedade δ ( )0 para 0, e δ( )d A função impulo uniário é um exemplo de uma função generalizada e é uualmene chamada de a função dela de Dirac. Em geral, para um impulo uniário em um pono arbirário 0, δ ( 0 )0 para 0, e δ( 0 )d I ( τ )

84 Tranformada de Laplace de δ ( de ) A ranformada de Laplace de δ é definida por e aim L { δ( 0 ) } lim τ 0 L { d τ ( 0 ) }, 0 > 0 L {δ( 0 )}lim 0 e d τ ( 0 )dlim τ 0 τ 0 e lim τ 0 τ 0 τ e 0 lim τ 0 τ e 0[ lim τ 0 0 τ lim τ 0 [ eτ e τ ] e coh(τ ) ] e τ [ e ( 0 0[ 0 lim τ 0 τ ) e ( 0 τ ) ] inh (τ ) ] τ τ 0 τ 0 τ e d

85 Tranformada de Laplace de δ ( de ) Aim a Tranformada de Laplace de δ é L 0 { δ )} e, > 0 ( 0 0 Para a Tranformada de Laplace de δ em 0 0, ome limie da eguine forma: L {δ( )} lim L {d τ ( 0 )}lim e τ 0 0 Por exemplo, quando 0 0, emo L{δ( -0)} e -0.

86 Produo de Funçõe Conínua por δ O produo da função dela e uma função conínua f pode er inegrável, uando o eorema do valor médio para inegrai: Aim δ(0 ) f ( )d f ( 0 ) [ ] ) ( *) ( lim ) * (where *) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( f f f d f d f d d f < < τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ δ

87 Conidere a olução do PVI Exemplo : PVI ( de 3) y ' ' y ' yδ(7 ), y(0)0, y ' (0 )0 Enão L {y ' ' } L{y ' } L {y} L {δ(7)} Seja Y() L{y}, [ Y ( )y (0) y ' ( 0)] [Y ( ) y(0)] Y( )e 7 Subiuindo a condiçõe iniciai, obemo ou ( ) Y ( )e 7 e7 Y ()

88 No emo Exemplo : Solução ( de 3) e7 Y () A expanão em fraçõe parcial de Y() no dá Y () e7 5[ e porano 5 /4 ] ( /4) 5 /6 y( ) 5 u 7 ( )e (7)/4 in 5 4 ( 7)

89 Exemplo : Comenário da Solução (3 of 3) Como a condiçõe iniciai em 0 ão homogênea e não exie exciação exerna aé 7, não há repoa no inervalo (0, 7). O impulo em 7 produz uma ocilação que decai, ma perie indefinidamene. A Repoa é conínua em 7, apear da ingularidade do ermo não homogêneo. No enano y' em uma deconinuidade em alo nee pono 7, y'' em uma deconinuidade infinia ai. Aim ingularidade da função força é balanceada por uma ingularidade correpondene com em y''.

90 6.6: A Convolução Alguma veze é poível ecrever a Tranformada de Laplace H() como H() F()G(), onde F() e G() ão a ranformada de funçõe conhecida f e g, repecivamene. Nee cao podemo eperar que H() eja a ranformada do produo de f e g. Io é, H() F()G() L{f }L{g} L{f g}? Veremo a eguir um exemplo que mora que ea igualdade não é verdadeira, a ranformada de Laplace não comua com a muliplicação uual. Nea eção eudaremo a convolução de f e g, o qual pode er vio como um produo generalizado, e para o qual a Tranformada de Laplace faz comuar.

91 Exemplo Sejam f () e g() in(). Calculando a Tranformada de Laplace de f e g Aim L { f ( )}L { }, L { g( ) } L { in } L { f ( ) g( )}L { in } e L { f ( ) } L { g ( ) } ( ) Porano para ea funçõe não vale a igualdade L { f ( ) g( )} L { f ( ) } L { g ( ) }

92 Teorema 6.6. Suponham F() L{f ()} e G() L{g()} amba exiem para > a 0. Enão H() F()G() L{h()} para > a, onde h() 0 f( τ)g(τ)dτ 0 f ( τ ) g( τ ) dτ A função h() é chamada como a convolução de f e g e a inegral acima ão conhecida como inegrai de convolução. Noe que a igualdade da dua inegrai de convolução pode er obida fazendo a ubiuição u - τ. A inegral de convolução é uma definição de um produo generalizado e pode er ecrio como h() ( f *g)(). f*g g*f (comuaividade) f*(gg) f*g f*g (diribuividade) (f*g)*h) f*(g*h) (aociaividade) Ainda emo, f*00*f0 ; (f*)() f() e pode er que f*f <0.

93 Teorema 6.6. Ideia da prova { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 h L d d g f e d d g f e dd f g e u d f e d g du u f e d g d g e du u f e G F u u τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

94 Exemplo Enconre a Tranformada de Laplace da função h abaixo. h ( ) 0 (τ )in d τ Solução: Noe que f () e g() in, com F ()L { f ( )} L { } G( ) L {g ( )}L {in } 4 Aim pelo Teorema 6.6., L {h ( )} H ( ) F ( )G () ( 4)

95 Exemplo 3: Enconre a Tranformada Invera ( de ) Enconre Tranformada de Laplace invera de H(), abaixo. H ( ) ( ) Solução: Seja F() / e G() /( - ), com f ( ) L {F ( )} g ( )L {G( )}e Aim pelo Teorema 6.6., L {H ( )}h( ) 0 (τ )e τ dτ

96 Exemplo 3: Solução h() ( de ) Podemo implemene inegrar para h(), como egue. [ ] [ ] ) ( ) ( e e e e e e e d e e e d e d e d e h τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

97 Exemplo 4: PVI ( de 4) Enconre a olução do PVI y ' ' 4yg ( ), y( 0)3, y ' (0) Solução: ou L {y '' } 4L {y}l {g( )} [ L {y}y(0 ) y ' (0 )] 4L{y}G( ) Seja Y() L{y}, e ubiuindo a condiçõe iniciai, ( 4 ) Y ( )3 G () Aim Y () 3 G( ) 4 4

98 Temo Aim Noeque e g() é dado, enão a inegral de convolução pode er calculada. y( )3co in 0 in (τ )g (τ )dτ Exemplo 4: Solução ( de 4) ) ( ) ( 4 3 ) ( G G Y

99 y ' ' 4yg ( ), Exemplo 4: Solução da Tranformada Laplace (3 de 4) Lembrem que a Tranformada de Laplace da olução y é Y () 3 G( ) Φ( ) Ψ ( ) 4 4 Noe Φ () depende omene do iema de coeficiene e da condiçõe iniciai, enquano Ψ () depende omene do iema de coeficiene e da função força g(). Ma, φ() L - {Φ ()} reolve o PVI homogêneo y ' ' 4y0, y(0)3, y ' (0 ) y( 0)3, y ' (0) enquano ψ() L - {Ψ ()} reolve o PVI não homogêneo y ' ' 4yg ( ), y( 0)0, y ' (0 )0

100 Exemplo 4: Função de Tranferência (4 de 4) Examinando Ψ () mai de pero, Ψ () G () H ()G( ), onde H ( ) 4 4 A função H() éconhecida como a função de ranferência, e depende omene do iema de coeficiene. A função G() depende omene da exciação exerna g() aplicada no iema. Se G(), enão g() δ() e por io h() L - {H()} reolve olve o PVI não homogêneo y ' ' 4yδ( ), y(0)0, y ' (0 )0 Aim h() é a repoa do iema para um impulo uniário aplicado em 0, e por io h() é chamada de repoa ao impulo do iema.

101 Problema de enrada-aída (Inpu-Oupu) ( de 3) Conidere o PVI geral a y '' b y ' cyg( ), y(0) y 0, y ' (0) y 0 ' Ee PVI é ambém chamado de um Problema inpu-oupu. O coeficiene a, b, c decreve propriedade fíica de um iema, e g() é um inpu do iema. O valore y 0 e y 0 ' decreve o eado inicial, e a olução y é o oupu no empo. Uando a Tranformada de Laplace, obemo a [ Y ()y(0) y ' (0)] b [Y ( ) y(0 )] cy ()G ( ) ou Y () (a b ) y 0 a y ' 0 a b c G( ) Φ() Ψ ( ) a b c

102 Solução da Tranformada de Laplace ( de 3) Temo Y () (a b) y 0 a y ' 0 a b c a y '' b y ' cyg ( ), y(0 ) y 0, y ' (0 ) y 0 ' Como ane, Φ () depende omene do iema de coeficiene e da condiçõe inicial, enquano Ψ () depende omene do iema de coeficiene e da função força g(). Ma, φ() L - {Φ ()} reolve o PVI homogêneo a y '' b y ' cy0, y(0 ) y 0, y ' ' (0) y 0 Enquano ψ() L - {Ψ ()} reolve o PVI não homogêneo a y '' b y ' cyg ( ), y(0 )0, y ' (0 )0 G( ) Φ() Ψ ( ) a b c

103 Função de Tranferência (3 de 3) Examinando Ψ () mai de pero, Ψ () G () a bc H ()G( ), onde H ( ) a bc Como ane, H() é a função de ranferência, e depende omene do iema de coeficiene, enquano G() depende omene da exciação exerna g() aplicada no iema. Aim e G(), enão g() δ() e por io h() L - {H()} reolve o PVI não homogêneo a y '' b y ' cyδ( ), y(0)0, y ' (0)0 Aim h() é a repoa do iema para um impulo uniário aplicado em 0, e por io h() é chamada a repoa ao impulo do iema, com ψ ( ) L {H ( )G ()} 0 h(τ ) g ( τ )dτ

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4-018.1 EXAME FINAL Nome Legível Turma RG CPF Repoa em juificaiva ou com fórmula prona

Leia mais

TRANSFORMADA DE LAPLACE Conceitos e exemplos

TRANSFORMADA DE LAPLACE Conceitos e exemplos TRANSFORMADA DE LAPLACE Conceio e exemplo Diciplina MR7 A finalidade dea apoila é dar o conceio da ranformada de Laplace, eu uo na olução de problema e por fim um aprendizado do méodo de reoluçõe. Muia

Leia mais

2. senh(x) = ex e x. 3. cos(t) = eit +e it. 4. sen(t) = eit e it 5. cos(2t) = cos 2 (t) sen 2 (t) 6. sen(2t) = 2sen(t)cos(t) 7.

2. senh(x) = ex e x. 3. cos(t) = eit +e it. 4. sen(t) = eit e it 5. cos(2t) = cos 2 (t) sen 2 (t) 6. sen(2t) = 2sen(t)cos(t) 7. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma D - / Segunda avaliação - Grupo 3 4 Toal Nome: Carão: Regra a obervar: Seja ucino porém compleo. Juifique odo procedimeno

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /2 Prova da área IIA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /2 Prova da área IIA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma A - 7/ Prova da área IIA - 5 6 7 Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou

Leia mais

Transformada de Laplace. Um Livro Colaborativo

Transformada de Laplace. Um Livro Colaborativo Tranformada de Laplace Um Livro Colaboraivo 7 de junho de 8 Organizadore Eequia Sauer - UFRGS Fabio Souo de Azevedo - UFRGS Irene Maria Foneca Srauch - UFRGS ii Licença Ee rabalho eá licenciado ob a Licença

Leia mais

MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS. Função de transferência Resposta transiente

MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS. Função de transferência Resposta transiente MODELOS DE SISTEMS DINÂMICOS Função de ranferência epoa raniene Função de Tranferência Deenvolveremo a função de ranferência de um iema de primeira ordem coniderando o comporameno não eacionário de um

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA. TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma introdução com aplicações.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA. TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma introdução com aplicações. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA FORMAÇÃO DE PROFESSOR TRANSFORMADA DE LAPLACE: uma inrodução

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma C - 7/ Prova da área IIA - 5 6 7 Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Univeridade Salvador UNIFACS Curo de Engenharia Método Matemático Aplicado / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ila Rebouça Freire A Tranformada de Laplace Texto 0: A Tranformada Invera. A Derivada da

Leia mais

Tabela 1 Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers, resistores e indutores.

Tabela 1 Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers, resistores e indutores. Modelagem Maemáica MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS O circuio equivalene à rede elérica com a quai rabalhamo coniem baicamene em rê componene lineare paivo: reiore, capaciore e induore. A Tabela

Leia mais

1 Transformada de Laplace de u c (t)

1 Transformada de Laplace de u c (t) Tranformada de Laplace - Função de Heaviide Prof ETGalante Equaçõe diferenciai ob ação de funçõe decontínua aparecem com frequência na análie do uxo de corrente em circuito elétrico ou na vibraçõe de itema

Leia mais

1.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Revião de Tranformada de Laplace - Cenro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. TRANSFORMADA DE LAPLACE Daa de impreão (verão): 5 de janeiro de 5, :38:8 documeno compoo com LATEXε uando L Y X. A Tranformada

Leia mais

TENSÕES E CORRENTES TRANSITÓRIAS E TRANSFORMADA LAPLACE

TENSÕES E CORRENTES TRANSITÓRIAS E TRANSFORMADA LAPLACE TNSÕS CONTS TANSTÓAS TANSFOMADA D APAC PNCPAS SNAS NÃO SNODAS Degrau de ampliude - É um inal que vale vol para < e vale vol, conane, para >. Ver fig. -a. v (a) (b) v Fig. A fig. -b mora um exemplo da geração

Leia mais

CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE

CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE Eduardo obo uoa Cabral CONTROABIIDADE E OBSERVABIIDADE. oiação Em um iema na forma do epaço do eado podem exiir dinâmica que não ão ia pela aída do iema ou não ão influenciada pela enrada do iema. Se penarmo

Leia mais

Análise Matemática IV

Análise Matemática IV Análie Maemáica IV Problema para a Aula Práica Semana. Calcule a ranformada de Laplace e a regiõe de convergência da funçõe definida em 0 pela expreõe eguine: a f = cha b f = ena Reolução: a Aendendo a

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área IA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área IA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma A - 6/ Prova da área IA - 6 7 8 Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou qualquer ouro recuro

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma C - 8/ Prova da área IIA - 5 6 7 Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou

Leia mais

Física Geral Nos problemas abaixo, considere g = 9,8 m/s 2 e, salvo indicação em contrário, dê as suas respostas em unidades SI.

Física Geral Nos problemas abaixo, considere g = 9,8 m/s 2 e, salvo indicação em contrário, dê as suas respostas em unidades SI. Fíica Geral 21048 Inruçõe para elaboração dee e-fólio Documeno de exo,.doc,.pdf ou.ps; fone 11 ou 12; epaçameno livre; máximo 6 página. Pode incluir deenho, vária core e pode incluive junar elemeno ao

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área IA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área IA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT6 - Turma D - 6/ Prova da área IA - 5 6 7 Toal Nome: Gabario Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone

Leia mais

SEPS Sinais. s ( nt ) Os sinais podem ser: Amplitude não quantificada Amplitude quantificada. Contínuo em t. Sinais analógicos

SEPS Sinais. s ( nt ) Os sinais podem ser: Amplitude não quantificada Amplitude quantificada. Contínuo em t. Sinais analógicos SEPS Sinai () O inai podem er: Conínuo em Ampliude não quanificada Ampliude quanificada Sinai analógico Dicreo em Conínuo Ampliude não quanificada Ampliude quanificada Dicreo Sinai digiai () q( ) quanificação

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IIA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma C - 7/ Prova da área IIA - 5 6 7 Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou

Leia mais

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

CONCEITOS FUNDAMENTAIS Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III- &$3Ì78/,,, CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3.- INTODUÇÃO Inicialmene nee capíulo, euda-e o conceio de função de ranferência, o qual é a bae da eoria

Leia mais

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área IIA

Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área IIA UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT68 - Turma D - 8/ Prova da área IIA - 5 6 7 Toal Nome: Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou

Leia mais

Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace ranformada de Laplace Definição e exemplo Recorde-e a definição de integral impróprio de ª epécie: Definição: Seja f uma função real ou complexa definida no intervaloa, e integrável em cada ubintervalo

Leia mais

Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009 INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA

Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009 INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA Caderno de Prova CONTROLE DE PROCESSOS Edial Nº. 0/009-DIPE 0 de maio de 009 INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA Ue apena canea eferográfica azul ou prea. Ecreva o eu nome compleo e o número do eu documeno

Leia mais

SCC Laboratório de Algoritmos Avançados. Grafos: Fluxo Máximo. Fluxo Máximo. Fluxo Máximo. Fluxo Máximo 6/2/2009 5:33 PM

SCC Laboratório de Algoritmos Avançados. Grafos: Fluxo Máximo. Fluxo Máximo. Fluxo Máximo. Fluxo Máximo 6/2/2009 5:33 PM SCC-2 - Laboraório de Algorimo Avançado Grafo: Fluxo Máximo Guavo Baia Fluxo Máximo Podemo inerprear um grafo orienado como um fluxo em rede: Exie uma origem que produz um maerial em uma axa fixa; E um

Leia mais

Seção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem

Seção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem Seção 5: Equações Lineares de 1 a Ordem Definição. Uma EDO de 1 a ordem é dia linear se for da forma y + fx y = gx. 1 A EDO linear de 1 a ordem é uma equação do 1 o grau em y e em y. Qualquer dependência

Leia mais

Lista 4 Prof. Diego Marcon

Lista 4 Prof. Diego Marcon Lita 4 Prof. Diego Marcon Método Aplicado de Matemática I 6 de Junho de 07 Lita de exercício referente ao retante da primeira área da noa diciplina: Exponencial de matrize Tranformada de Laplace Delocamento

Leia mais

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace Sinai e Sitema - Tranformada de Laplace A Tranformada de Laplace é uma importante ferramenta para a reolução de equaçõe diferenciai. Também é muito útil na repreentação e análie de itema. É uma tranformação

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Universidade Federal do Rio de Janeiro Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuios Eléricos I EEL42 Coneúdo 8 - Inrodução aos Circuios Lineares e Invarianes...1 8.1 - Algumas definições e propriedades gerais...1 8.2 - Relação enre exciação

Leia mais

TRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 18 LIVRO DO NILSON)

TRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 18 LIVRO DO NILSON) TRANSFORMADA DE FOURIER NOTAS DE AULA (CAP. 8 LIVRO DO NILSON). CONSIDERAÇÕES INICIAIS SÉRIES DE FOURIER: descrevem funções periódicas no domínio da freqüência (ampliude e fase). TRANSFORMADA DE FOURIER:

Leia mais

3 Revisão Teórica dos principais modelos de previsão

3 Revisão Teórica dos principais modelos de previsão Revião Teórica do principai modelo de previão 18 3 Revião Teórica do principai modelo de previão Denre o divero méodo e modelo de previão eine, enconramo aqui o modelo univariado e o modelo com variávei

Leia mais

1.Equações do Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos

1.Equações do Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos 3.Equaçõe do Modelo de Eado de Siema Lineare Conínuo Objecivo: Morar que há um conjuno diverificado de iema que podem er modelado aravé da equaçõe de eado. 4 Eemplo: Supenão magnéica imple u y Um modelo

Leia mais

TRANSFORMADA DE LAPLACE. Revisão de alguns: Conceitos Definições Propriedades Aplicações

TRANSFORMADA DE LAPLACE. Revisão de alguns: Conceitos Definições Propriedades Aplicações TRANSFORMADA DE LAPLACE Revião de algun: Conceito Deiniçõe Propriedade Aplicaçõe Introdução A Tranormada de Laplace é um método de tranormar equaçõe dierenciai em equaçõe algébrica mai acilmente olucionávei

Leia mais

Circuitos Elétricos I EEL420

Circuitos Elétricos I EEL420 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuios Eléricos I EEL420 Coneúdo 1 - Circuios de primeira ordem...1 1.1 - Equação diferencial ordinária de primeira ordem...1 1.1.1 - Caso linear, homogênea, com

Leia mais

Função de Transferência

Função de Transferência Diciplina: TEQ0- CONTROLE DE PROCESSOS Função de Tranferência Prof a Ninoka Bojorge Deparameno de Engenharia Química e de Peróleo UFF Sumário Função de Tranferência. Inrodução Definição Vanagen Propriedade

Leia mais

Aula 7 de FT II. Prof. Gerônimo

Aula 7 de FT II. Prof. Gerônimo Aula 7 de FT II Prof. Gerônimo Condução Traniene Quando energia érmica é adicionada ou removida de um corpo (volume de conrole), eu eado não pode er conane e, aim, a emperaura do corpo variará em geral

Leia mais

1. O movimento uniforme de uma partícula tem sua função horária representada no diagrama a seguir: e (m) t (s)

1. O movimento uniforme de uma partícula tem sua função horária representada no diagrama a seguir: e (m) t (s) . O moimeno uniforme de uma parícula em ua função horária repreenada no diagrama a eguir: e (m) - 6 7 - Deerminar: a) o epaço inicial e a elocidade ecalar; a função horária do epaço.. É dado o gráfico

Leia mais

Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009

Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009 Caderno de Prova CONTROLE DE PROCESSOS Edial Nº. /9-DIPE de maio de 9 INSTRUÇÕES ERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA Ue apena canea eferográfica azul ou prea. Ecreva o eu nome compleo e o número do eu documeno

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1

Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1 Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química COQ 79 ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA 5: Represenações Enrada-Saída e o Domínio Transformado; Transformada de

Leia mais

8.6 A corrente de deslocamento e as equações de Maxwell

8.6 A corrente de deslocamento e as equações de Maxwell 8.6 A correne de delocameno e a equaçõe de Maxwell Michael Faraday decobriu uma da dua lei báica que regem o fenômeno não eacionário do eleromagneimo. Nela aparece uma derivada emporal do campo magnéico.

Leia mais

Sistemas de Controle I

Sistemas de Controle I 4. Repoa o Domíio do Tempo Pólo, Zero e Repoa do Siema: Defiiçõe Siema de Corole I Repoa do iema: oma da repoa forçada repoa aural. Repoa forçada é ambém chamada de repoa eacioária ou olução paricular;.

Leia mais

Circuitos Elétricos II

Circuitos Elétricos II Univeridade Federal do ABC Eng. de Intrumentação, Automação e Robótica Circuito Elétrico II Joé Azcue, Prof. Dr. Tranformada invera de Laplace Definição Funçõe racionai Expanão em fraçõe parciai Teorema

Leia mais

1 s. Propriedades da transformada de Laplace A seguir apresentam-se algumas propriedades importantes da transformada de Laplace:

1 s. Propriedades da transformada de Laplace A seguir apresentam-se algumas propriedades importantes da transformada de Laplace: Secção 6 Tranformada de aplace (Farlow: Capítulo 5) Definição Tranformada de aplace A tranformada de aplace é, baicamente, um operador matemático que tranforma uma função numa outra Ea operação é definida

Leia mais

Telecomunicações 2 ( ) Exame de Recurso ( ) Resolução. ψ 1 (t) ψ 2 (t) k 2

Telecomunicações 2 ( ) Exame de Recurso ( ) Resolução. ψ 1 (t) ψ 2 (t) k 2 elecomunicaçõe (5-) Exame de Recuro (--) Reolução. a) a ) Seja b =. Um exemplo (ma não o único!) de funçõe-bae definidora de um epaço oronormado (o. n.) adequado à forma de onda dada é o eguine (o valore

Leia mais

Conidere uma rampa plana, inclinada de um ângulo em relação à horizonal, no início da qual enconra-e um carrinho. Ele enão recebe uma pancada que o fa

Conidere uma rampa plana, inclinada de um ângulo em relação à horizonal, no início da qual enconra-e um carrinho. Ele enão recebe uma pancada que o fa Onda acúica ão onda de compreenão, ou eja, propagam-e em meio compreívei. Quando uma barra meálica é golpeada em ua exremidade, uma onda longiudinal propaga-e por ela com velocidade v p. A grandeza E é

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte I. Nono Ano do Ensino Fundamental

Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte I. Nono Ano do Ensino Fundamental Maerial Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulo e Teorema de Tale Teorema de Tale - are I Nono no do Enino Fundamenal rof. Marcelo Mende de Oliveira rof. nonio aminha M. Neo oral da OME 1 Razão de

Leia mais

Questões básicas sobre o M.U.V. Função horária dos espaços:

Questões básicas sobre o M.U.V. Função horária dos espaços: Queõe báica obre o MUV Função horária do epaço: (MUV) (MU) Um foguee é lançado ericalmene a parir do repouo com aceleração ecalar conane, em módulo, igual a 6, m/, qual é a diância por ele percorrida apó

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte I. Nono Ano do Ensino Fundamental

Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte I. Nono Ano do Ensino Fundamental Maerial Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulo e Teorema de Tale Teorema de Tale - are I Nono no do Enino Fundamenal rof. Marcelo Mende de Oliveira rof. nonio aminha M. Neo 1 Razão de egmeno ara organizar

Leia mais

Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares

Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares Reginaldo J. Sanos Deparameno de Maemáica-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais hp://www.ma.ufmg.br/~regi 26 de seembro de 21 2 Análogo ao

Leia mais

Teoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares

Teoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares Teoremas Básicos de Equações a Diferenças Lineares (Chiang e Wainwrigh Capíulos 17 e 18) Caracerização Geral de Equações a diferenças Lineares: Seja a seguine especificação geral de uma equação a diferença

Leia mais

SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES

SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES 8//7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES Teorema: Considere o seguine sisema de k equações a diferenças lineares de primeira ordem, homogêneo: x a x a x... a x k k x a x a x... a x k k x a x a x...

Leia mais

Notas de aula - profa Marlene - função logarítmica 1

Notas de aula - profa Marlene - função logarítmica 1 Noas de aula - profa Marlene - função logarímica Inrodução U - eparameno de Maemáica Aplicada (GMA) NOTAS E AULA - CÁLCULO APLICAO I - PROESSORA MARLENE unção Logarímica e unção Eponencial No Ensino Médio

Leia mais

4a. Lista de Exercícios

4a. Lista de Exercícios UFPR - Universidade Federal do Paraná Deparameno de Maemáica Prof. José Carlos Eidam CM4 - Cálculo I - Turma C - / 4a. Lisa de Eercícios Inegrais impróprias. Decida quais inegrais impróprias abaio são

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - ESCOLA NORMAL SUPERIOR Disciplina: Equações Diferenciais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - ESCOLA NORMAL SUPERIOR Disciplina: Equações Diferenciais Repota: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - ESCOLA NORMAL SUPERIOR Diciplina: Equaçõe Diferenciai Profeora: Geraldine Silveira Lima Eercício Livro: Jame Stewart Eercício 9.1 1. Motre que y 1 é uma olução

Leia mais

Aplica-se a transformada de Fourier nas duas equações: EDP e condição inicial. A transformada da EDP é: = ( ik 1)û(k,t) û(k,t) = A(k)e ( ik 1)t

Aplica-se a transformada de Fourier nas duas equações: EDP e condição inicial. A transformada da EDP é: = ( ik 1)û(k,t) û(k,t) = A(k)e ( ik 1)t TEA13: Matemática Aplicada II - Engenharia Ambiental - UFPR Gabarito P (1) (4. ponto) Reolva a equação diferencial e condição inicial uando Tranformada de Fourier: Solução da Quetão 1: u x + u t + u =,

Leia mais

2 Caracterização de Canal

2 Caracterização de Canal Caraceriação de Canal Um grande problema que reringe a expanão da rede móei é o deanecimeno que afea o deempeno da mema. O uo de mobilidade no aceo a inerne banda larga como propõe WiMAX impõe a neceidade

Leia mais

Complementos de Análise Matemática

Complementos de Análise Matemática Insiuo Poliécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Ficha práica n o 4 - Transformadas de Laplace Equações e Sisemas de Equações Diferenciais. Em cada uma das alíneas seguines, deermine Lf()}., 0

Leia mais

Aplicações à Teoria da Confiabilidade

Aplicações à Teoria da Confiabilidade Aplicações à Teoria da ESQUEMA DO CAPÍTULO 11.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 11.2 A LEI DE FALHA NORMAL 11.3 A LEI DE FALHA EXPONENCIAL 11.4 A LEI DE FALHA EXPONENCIAL E A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 11.5 A LEI

Leia mais

Introdução aos Sinais

Introdução aos Sinais UNIVASF Análise de Sinais e Sisemas Inrodução aos Sinais Prof. Rodrigo Ramos godoga@gmail.com Classificação de Sinais Sinais Sinais geralmene ransporam informações a respeio do esado ou do comporameno

Leia mais

8 Equações de Estado

8 Equações de Estado J. A. M. Felippe de Souza 8 Equaçõe de Etado 8 Equaçõe de Etado 8. Repreentação por Variávei de Etado Exemplo 4 Exemplo 8. 4 Exemplo 8. 6 Exemplo 8. 6 Exemplo 8.4 8 Matriz na forma companheira Exemplo

Leia mais

Aula 7 Resposta no domínio do tempo - Sistemas de segunda ordem

Aula 7 Resposta no domínio do tempo - Sistemas de segunda ordem FUNDAMENTOS DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Aula 7 Repota no domínio do tempo - Sitema de egunda ordem Prof. Marcio Kimpara Univeridade Federal de Mato Groo do Sul Sitema de primeira ordem Prof. Marcio Kimpara

Leia mais

CAPÍTULO 10 DERIVADAS DIRECIONAIS

CAPÍTULO 10 DERIVADAS DIRECIONAIS CAPÍTULO 0 DERIVADAS DIRECIONAIS 0. Inrodução Dada uma função f : Dom(f) R n R X = (x, x,..., x n ) f(x) = f(x, x,..., x n ), vimos que a derivada parcial de f com respeio à variável x i no pono X 0, (X

Leia mais

PARTE 12 DERIVADAS DIRECIONAIS

PARTE 12 DERIVADAS DIRECIONAIS PARTE DERIVADAS DIRECIONAIS. Inrodução Dada uma função f : Dom(f) R n R X = (x, x,..., x n ) f(x) = f(x, x,..., x n ), vimos que a derivada parcial de f com respeio à variável x i no pono X 0, (X 0 ),

Leia mais

3. TRANSFORMADA DE LAPLACE. Prof. JOSÉ RODRIGO DE OLIVEIRA

3. TRANSFORMADA DE LAPLACE. Prof. JOSÉ RODRIGO DE OLIVEIRA 3 TRNSFORMD DE LPLCE Prof JOSÉ RODRIGO DE OLIVEIR CONCEITOS BÁSICOS Númro complxo: ond α β prncm ao nº rai Módulo fa d um númro complxo Torma d Eulr: b a an a co co n n Prof Joé Rodrigo CONCEITOS BÁSICOS

Leia mais

Controle de Sistemas. Desempenho de Sistemas de Controle. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas

Controle de Sistemas. Desempenho de Sistemas de Controle. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas Controle de Sitema Deempenho de Sitema de Controle Renato Dourado Maia Univeridade Etadual de Monte Claro Engenharia de Sitema Repota Tranitória de Sitema de Ordem Superior A repota ao degrau de um itema

Leia mais

Modelos Não-Lineares

Modelos Não-Lineares Modelos ão-lineares O modelo malhusiano prevê que o crescimeno populacional é exponencial. Enreano, essa predição não pode ser válida por um empo muio longo. As funções exponenciais crescem muio rapidamene

Leia mais

yy + (y ) 2 = 0 Demonstração. Note que esta EDO não possui a variável independente e assim faremos a mudança de variável

yy + (y ) 2 = 0 Demonstração. Note que esta EDO não possui a variável independente e assim faremos a mudança de variável UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4-018.1 1A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - PARTE Nome Legível Turma RG CPF Resposas sem

Leia mais

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferencias lineares com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma

A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferencias lineares com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma Introdução A tranformada de Laplace pode er uada para reolver equaçõe diferencia lineare com coeficiente contante, ou eja, equaçõe da forma ay + by + cy = ft), para a, b, c R Para io, a equação diferencial

Leia mais

Antes de mais nada, é importante notar que isso nem sempre faz sentido do ponto de vista biológico.

Antes de mais nada, é importante notar que isso nem sempre faz sentido do ponto de vista biológico. O modelo malusiano para empo conínuo: uma inrodução não rigorosa ao cálculo A dinâmica de populações ambém pode ser modelada usando-se empo conínuo, o que é mais realisa para populações que se reproduzem

Leia mais

Condução de calor numa barra semi-infinita

Condução de calor numa barra semi-infinita Univeridade de São Paulo Ecola de Engenharia de Lorena Departamento de Engenharia de Materiai Condução de calor numa barra emi-infinita Prof. Luiz T. F. Eleno Ecola de Engenharia de Lorena da Univeridade

Leia mais

Representação de Sistemas Dinâmicos Parte I

Representação de Sistemas Dinâmicos Parte I Univeridade Eadual do Oee do Paraná Programa de Pó-graduação em Engenharia de Siema Dinâmico e Energéico Tema da Aula: Rereenação de Siema Dinâmico Pare I Prof. Dr. Carlo Henrique Faria do Sano Eruura

Leia mais

Capítulo Cálculo com funções vetoriais

Capítulo Cálculo com funções vetoriais Cálculo - Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais - versão 0/009 Capíulo 6 - Cálculo com funções veoriais 6 - Limies 63 - Significado geomérico da derivada 6 - Derivadas 64 - Regras de derivação Uiliaremos

Leia mais

Modulação de Amplitude de Pulso e Quantização

Modulação de Amplitude de Pulso e Quantização UnB - FT ENE Modulação de Ampliude de ulo e Quanização Inrodução A modulação por código de pulo em inglê, pule-code modulaion CM é a écnica báica de digialização de um inal analógico ou de converão analógico

Leia mais

ENGF93 Análise de Processos e Sistemas I

ENGF93 Análise de Processos e Sistemas I ENGF93 Análise de Processos e Sisemas I Prof a. Karen Pones Revisão: 3 de agoso 4 Sinais e Sisemas Tamanho do sinal Ampliude do sinal varia com o empo, logo a medida de seu amanho deve considerar ampliude

Leia mais

Função de Transferência Processos de Primeira e Segunda Ordem

Função de Transferência Processos de Primeira e Segunda Ordem Diciplina: TEQ0- CONTROLE DE PROCESSOS Função de Tranferência Proceo de Primeira e Segunda Ordem Prof a Ninoka Bojorge Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Sumário Função de Tranferência.

Leia mais

Transformada inversa de Laplace

Transformada inversa de Laplace Sinai e Siema - 6 Tranformada invera de Laplace Já foi ará apreenada a expreão que define a ranformada invera de Laplace. Ee inegral pode er de reolução complicada. Exiem méodo expedio de ober a ranformada

Leia mais

3. Representaç ão de Fourier dos Sinais

3. Representaç ão de Fourier dos Sinais Sinais e Sisemas - 3. Represenaç ão de Fourier dos Sinais Nese capíulo consideramos a represenação dos sinais como uma soma pesada de exponenciais complexas. Dese modo faz-se uma passagem do domínio do

Leia mais

2.5 Impulsos e Transformadas no Limite

2.5 Impulsos e Transformadas no Limite .5 Impulsos e Transformadas no Limie Propriedades do Impulso Uniário O impulso uniário ou função dela de Dirac δ não é uma função no senido maemáico esrio. Ela perence a uma classe especial conhecida como

Leia mais

2.6 - Conceitos de Correlação para Sinais Periódicos

2.6 - Conceitos de Correlação para Sinais Periódicos .6 - Conceios de Correlação para Sinais Periódicos O objeivo é o de comparar dois sinais x () e x () na variável empo! Exemplo : Considere os dados mosrados abaixo y 0 x Deseja-se ober a relação enre x

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II - Tagus Park 1o. Semestre 2015/2016 1o. Teste 07/Novembro/2015 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS. x y 2 x 2 +y 2 (b) lim

Cálculo Diferencial e Integral II - Tagus Park 1o. Semestre 2015/2016 1o. Teste 07/Novembro/2015 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS. x y 2 x 2 +y 2 (b) lim Cálculo Diferencial e Inegral II - Tagus Park o. Semesre 5/6 o. Tese 7/Novembro/5 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS RESOLUÇÃO..5+.5 vals.) Calcule ou mosre que não eise: a) a) + b) + + 4 + + Como, não eise.

Leia mais

4.1 Aproximação por Bode

4.1 Aproximação por Bode 4. Aproximação por Bode é poível atender a epecificaçõe de algun filtro a partir do traçado do diagrama de Bode (termo de ª e ª orden) Exemplo 4.) Aproximar um filtro paa-baixa que atifaça a epecificaçõe

Leia mais

v t Unidade de Medida: Como a aceleração é dada pela razão entre velocidade e tempo, dividi-se também suas unidades de medida.

v t Unidade de Medida: Como a aceleração é dada pela razão entre velocidade e tempo, dividi-se também suas unidades de medida. Diciplina de Fíica Aplicada A / Curo de Tecnólogo em Geão Ambienal Profeora M. Valéria Epíndola Lea. Aceleração Média Já imo que quando eamo andando de carro em muio momeno é neceário reduzir a elocidade,

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Equações Diferenciais Ordinárias Lineares 67 Noções gerais Equações diferenciais são equações que envolvem uma função incógnia e suas derivadas, além de variáveis independenes Aravés de equações diferenciais

Leia mais

Aula 05 Transformadas de Laplace

Aula 05 Transformadas de Laplace Aula 05 Transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número

Leia mais

Aula 05 Transformadas de Laplace

Aula 05 Transformadas de Laplace Aula 05 Transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número

Leia mais

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 1 2 quadrimestre 2011

EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 1 2 quadrimestre 2011 EN67 Transformadas em Sinais e Sisemas Lineares Lisa de Exercícios Suplemenares quadrimesre Figura Convolução (LATHI, 998) (N) (HAYKIN; VEEN,, p 79) O pulso rapezoidal x( ) da figura a seguir é aplicado

Leia mais

Sistemas Lineares e Invariantes

Sistemas Lineares e Invariantes 6 8 - - - -6-8 -3-3 Frequency (Hz) Hamming aiser Chebyshev Sisemas Lineares e Invarianes Power Specral Densiy Env B F CS1 CS B F CS1 Ground Revolue Body Revolue1 Body1 Power/frequency (db/hz) Sine Wave

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ Anotaçõe obre omatório 3 Rodrigo Carlo Silva de Lima Univeridade Federal Fluminene - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com Sumário Somatório 3. Outra propriedade de omatório...................... 3.. Delta

Leia mais

Análise Energética para Sistemas Abertos (Volumes de Controles)

Análise Energética para Sistemas Abertos (Volumes de Controles) UTFPR Termodinâmica 1 Análie Energéica para Siema Abero (Volume de Conrole) Princípio de Termodinâmica para Engenharia Capíulo 4 Análie Traniene Pare V Operação Traniene É a operação na qual a propriedade

Leia mais

Cinemática unidimensional

Cinemática unidimensional 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 1 0.1 Problemas correspondenes ao Capíulo 2 Cinemáica unidimensional 1. A conclusão de Zeca esá errada. Podemos verificar isso mesmo anes de fazer qualquer cálculo,

Leia mais

Capítulo 2: Conceitos Fundamentais sobre Circuitos Elétricos

Capítulo 2: Conceitos Fundamentais sobre Circuitos Elétricos SETOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA TE041 Circuios Eléricos I Prof. Ewaldo L. M. Mehl Capíulo 2: Conceios Fundamenais sobre Circuios Eléricos 2.1. CARGA ELÉTRICA E CORRENTE ELÉTRICA

Leia mais

Exemplo 1: Determine se os sistemas abaixo possuem o seu inverso. Em caso afirmativo, determine o sistema inverso. = dt

Exemplo 1: Determine se os sistemas abaixo possuem o seu inverso. Em caso afirmativo, determine o sistema inverso. = dt FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MONTES CLAROS FACIT QUARTO PERÍODO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DISCIPLINA: SINAIS E SISTEMAS PROFESSOR: RENATO DOURADO MAIA EXEMPLOS RESOLVIDOS AULA : SINAIS

Leia mais

CINEMÁTICA ESCALAR. AULAS 1 a 3 I) CONCEITOS BÁSICOS II) DEFINIÇÕES III) CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS IV) MOVIMENTO UNIFORME.

CINEMÁTICA ESCALAR. AULAS 1 a 3 I) CONCEITOS BÁSICOS II) DEFINIÇÕES III) CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS IV) MOVIMENTO UNIFORME. 1 www.curoanglo.com.br Treinameno para Olimpíada de Fíica 1 ª- / ª- é r i e E M AULAS 1 a 3 CINEMÁTICA ESCALAR I) CONCEITOS BÁSICOS Moimeno/ repouo Trajeória Localização: epaço () empo () II) DEFINIÇÕES

Leia mais

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

CONCEITOS FUNDAMENTAIS CONCEIOS FUNDAMENAIS. INRODUÇÃO Para podermos progredir num deerminado campo é necessário, além de falar uma linguagem comum, que os conceios enham o mesmo significado para quem expõe e para quem usa a

Leia mais

5.1 Objectivos. Caracterizar os métodos de detecção de valor eficaz.

5.1 Objectivos. Caracterizar os métodos de detecção de valor eficaz. 5. PRINCÍPIOS DE MEDIÇÃO DE CORRENE, ENSÃO, POÊNCIA E ENERGIA 5. Objecivos Caracerizar os méodos de deecção de valor eficaz. Caracerizar os méodos de medição de poência e energia em correne conínua, correne

Leia mais

Movimento unidimensional. Prof. DSc. Anderson Cortines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL

Movimento unidimensional. Prof. DSc. Anderson Cortines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL Movimeno unidimensional Prof. DSc. Anderson Corines IFF campus Cabo Frio MECÂNICA GERAL 218.1 Objeivos Ter uma noção inicial sobre: Referencial Movimeno e repouso Pono maerial e corpo exenso Posição Diferença

Leia mais