Campus de Ilha Solteira

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1 Campus de Ilha Soleira - CAPÍTULO 5 - BALANÇO O INTEGRAL DE ASSA Disciplina: Fenômenos de Transpores I Professor: Tsunao asumoo

2 Equação da coninuidade Aplicação do conceio de conservação de massa a uma região de ineresse qualquer e não num sisema. Conservação da massa Volume de Conrole: porção definida do espaço onde se dá o escoameno, com quanidade de massa que pode variar. Sisema: parcela definida e consane de massa. Variação da assa assa que enra assa que sai m e s

3 Taxa de enrada em relação ao empo fluxo Exemplo: Reservaório com fluxos diferenes de enrada e saída de massa. O reservaório consiui enão o Volume de Conrole. Ao final de um inervalo de empo, haverá uma variação da massa armazenada: Fe m e s Ae m As Fs e Fe s Fs

4 Exemplo: Gerenciameno de reservaórios de geração de energia. Necessidade de maner um conínuo conrole do volume represado, para enfrenar as épocas sem chuvas, conrolar as cheias e ober um rendimeno óimo de urbinas. Logicamene é impossível colear a água dos rios na enrada e na saída para deerminar seu volume, mas há meios de saber as vazões (fluxos de volume) deerminando, por exemplo, as velocidades. Para esses casos o problema fica ligado a um inervalo de empo: m e s Os ermos do segundo membro são quanidades de massa por unidade de empo, ou Fluxos de assa.

5 Quando as velocidades não variam no empo, o balanço é fornecido pelas equações: m Fe Fs ρq e ρq s m ρ e V e A e ρ s V s A s No caso de fluxos variáveis, é necessário usar um valor insanâneo, obido pelo limie da variação da massa quando ende a zero. dm d F e F s A axa de variação da massa é igual ao saldo dos fluxos de enrada e saída

6 No exemplo da usina hidrelérica e em muios casos da práica a massa específica não varia. Esse é o caso dos chamados escoamenos incompressíveis. Para ρ consane, o balanço de massas fica equivalene a um balanço de volumes: m ρ Vol Vol ρ Q e Q s Q e ρq s A axa de variação do volume é igual à diferença de vazões de enrada e saída Quando os valores da vazão variam no empo, pode-se usar o mesmo raciocínio, mas escrevendo a fórmula com valores insanâneos. dvol d V e A e V s A s

7 Nesse caso, cada pequeno inervalo de empo raz uma variação diferencial no volume. A variação oal num dado empo finio é o somaório das variações diferenciais ao longo do inervalo de empo considerado. Vol Vol ( Q Q ) δ ; n ( o)/ δ o n n i i 1 i 1 e s A aproximação orna-se mais fina à medida que decresce o inervalo de empo considerado. A equação só é oalmene exaa no limie, para δ 0 em-se enão:

8 Vol o lim 0 Vol i i 1 0 dvol Vol ( Q 0 e Q s ) d A variação de volume é a inegral no empo do balanço de fluxos Se for conveniene lidar com a massa, a equação fica: m ρq e e d 0 0 ρq s s d

9 isuras homogêneas balanço de grandeza exensiva N Normalmene a água em escoameno não é pura N N N N F F e s Ne, N, s as os Fluxos responsáveis pelas quanidades Ne e Ns da grandeza exensiva dependem do fluxo de massa e das concenrações. Pode-se dizer enão que: F η F N η ρ Q Ne, e e e e e e F η F N η ρq N, s s s s s s s N ( ηρ Q) ( ηρ Q e ) s

10 Exemplo 1: Considere um recipiene com 100 liros de água à emperaura de 20 C, recebendo 1 L/s de água a 80 C e com uma vazão de saída de 1L/s a 20 C. Calcule a variação da quanidade de calor armazenada em um minuo e a emperaura na caixa ao final dese período. Fe Ae As Fs Dados: ρ(80 C) 971,8 kg/m 3 ρ(20 C) 998,2 kg/m 3 c 4,180 kj/kg C

11 Exemplo 1: SOLUÇÃO: A grandeza exensiva considerada é a quanidade de calor: N m.c.(t-t0). A variação da quanidade de calor no período é dada por: N N Final N Inicial N( + ) N( ) as ambém pode-se expressar a variação por meio dos Fluxos: N N enrou N saiu Enreano, os fluxos podem ser expressos em função dos fluxos de massa, F N ηρva; η c( T T0) FN ρc( T T0 F e F s ) VA

12 Subsiuindo os valores numéricos em-se: N N e s N kg kj o l m 971, 8( ) 4, 18( ) 80( C)( 1 ) 0, 001( ) 60( s) kJ 3 o m kgc s l kg kj o l m 9982, ( ) 418, ( ) 20( C) 1( ) 0001, ( ) 60( s) kj 3 o m kgc s l kj Conhecendo a quanidade de calor aduzida, o cálculo da variação da emperaura depende da quanidade de massa no reservaório. A massa final é obida pelo balanço de massas: m m m m ( F F ) m e s ( 9718, x0001, 9982, x000160, ) 1584, kg m m + m 98416, kg f i e s 3 3

13 14491kJ N mc T T kj 98, 416kg418, o kg C 352, Porano, a emperaura ao final de um minuo será de: 55,2 C A solução pariu da premissa que a água no reservaório permanece a 20 C durane odo o empo. Evidenemene a resposa carrega cero erro, derivado dessa hipóese. Enreano, o erro ende a diminuir com o inervalo de empo considerado no cálculo. o C

14 Exemplo 2: Resolver novamene o exemplo anerior, supondo fluxo de saída 0,5L/s, e adoando um inervalo de empo de 20s. Os demais dados permanecem consanes. SOLUÇÃO: A massa final do reservaório será diferene. Inicialmene, porano, é preciso calcular a variação da massa na caixa: m m A variação da quanidade de calor armazenada é calculada como no exemplo anerior: N m Fim m Ini ( D e ) ( ρq (971,8 0, ,2 0,0005)20 9,45kg D Ne Ns s e e ρq kj s s )

15 Essa quanidade de calor, acrescenada à massa final da caixa, permie calcular o acréscimo de emperaura: T (0,1m 3 998, kj kg + 9,45 3 m kg )4,18 k kg J o C 12,4 o C Porano, manidos os fluxos por 20 segundos, a emperaura da caixa será de 32,4 C, e a massa armazenada será de 109,3 kg.

16 EEquação inegral do balanço de massa Num escoameno, um sisema pode mudar de forma, acompanhando o escoameno, mas sempre coném a mesma massa. Um volume de conrole usualmene é fixo, podendo variar a massa em seu inerior. Volume de Conrole L.C. Superfície de Conrole Todas as equações de balanços usam como base um volume de conrole.

17 LEBRANDO QUE... VOLUE DE CONTROLE SISTEA Região fixa no espaço. A massa sempre pode mudar, pois o conceio é ligado a uma porção definida do espaço. Quanidade definida de massa. Num escoameno, um sisema pode mudar de forma, mas sempre coném a mesma massa.

18 Balanço Imaginar volume de conrole (V.C) com fluxos que enram e saem por várias seções de enrada e saída. Ex: Problema de reservaório com odas as enradas em uma só seção e odas as saídas ambém em uma só. Área Laeral F,e Área de Enrada V.C. Área de Saída F,s

19 Balanço Sabe-se que o balanço de massa pode ser expresso por: F, E F, S Também,que os fluxos podem ser expressos pela inegral visa aneriormene. as, para subsiuir sem erro na equação do balanço, é necessário esudar o sinal algébrico oculo que a inegral possui.

20 Vol o lim 0 Vol i i 1 0 dvol Vol ( Q 0 e Q s ) d A variação de volume é a inegral no empo do balanço de fluxos Se for conveniene lidar com a massa, a equação fica: m ρq e e d 0 0 ρq s s d

21 Balanço Sabe-se que o balanço de massa pode ser expresso por: F, E F, S Também,que os fluxos podem ser expressos pela inegral visa aneriormene. as, para subsiuir sem erro na equação do balanço, é necessário esudar o sinal algébrico oculo que a inegral possui. O sinal é conseqüência do produo escalar da velocidade e área, devido à convenção de senido para o veor normal. Veja o esquema a seguir:

22 O sinal é conseqüência do produo escalar da velocidade e área, devido à convenção de senido para o veor normal. Veja o esquema a seguir: Áreas de Enrada Sinal negaivo Superfície de Conrole L.C. da V V Áreas Laerais Valor nulo da Ouro resulado ineressane da inegral deve-se ao fao de que ao longo da superfície de conrole exisem apenas áreas de enrada, de saída ou áreas laerais. Uma área laeral é aquela onde não há fluxo de enrada ou saída. V da Áreas de Saída Sinal posiivo

23 Nesses casos, como a superfície é impermeável, o veor velocidade sempre fica perpendicular ao veor área, fazendo com que o produo escalar seja nulo. Com as propriedades da inegral, pode-se escrever enão que: F V da, E ρ. AE onde os limies AE e AS nas inegrais referem-se às áreas de enrada e saída, respecivamene. Uilizando enão a noação geral de fluxos de enrada e saída a idéia física do balanço fica: ρ V. da ρ V da AE AS F F 43., E F V da, S ρ. AS, S

24 Pode-se agora levar as inegrais para o segundo membro, e ambém acrescenar um ermo nulo, sem alerar o balanço: ρv. da F + ρv. da + ρv AS AL F. da AE 43 NULO, E, S + T 0 Somando-se odos os limies de inegração numa mesma inegral, pode-se escrever: Válida se os Fluxos ρv. da+ 0 permanecerem AE+ AS+ AL consanes durane o SC empo considerado

25 Inegral feia com valores insanâneos da velocidade. Se a velocidade variar com o empo, o balanço feio deixa de ser válido. Para que a idéia fique exaa é preciso pensar na variação de massa que ocorre em um empo muio pequeno. Somene nesse caso o fluxo insanâneo é igual ao médio, mesmo nos regimes ransienes. Escrevendo enão o balanço para o caso do limie de 0, em-se: Valores insanâneos. d Vale para ρv da + 0 ransienes SC d

26 Equacionameno do ermo d / d Cálculo da massa conida no V.C. (massa específica uniforme ao longo de odo o volume) ρvol onde Vol é o volume oal Enreano, é possível num caso geral que a massa específica varie ao longo do V.C.. Basa, por exemplo, que varie a emperaura do fluido. Cada pono do fluido em ρ diferene. COO AVALIAR A ASSA???

27 Uma aproximação razoável para a massa nesse caso pode ser obida se dividir o volume oal em vários pequenos volumes Vol. A massa fica enão: n ρ Vol Quano menor o Vol, melhor a aproximação! i 1 Esse processo, no limie, leva à massa como resulado de uma inegração. A inegral corresponde ao somaório das massa de infinios volumes diferenciais dvol: lim( n i 1 i ρ i Vol i ) ρdvol O limie de inegração V.C. indica que o somaório deve incluir odo o volume de conrole. VC

28 Equação final Colocando odas as considerações em conjuno, chega-se à equação geral do balanço de massa, em sua forma inegral: ρ. da + ρdvol SC VC V 0 BALANÇO GLOBAL DE ASSA! O segundo membro do balanço global de massa pode ser considerado como uma declaração válida, em relação à massa, para qualquer sisema, da seguine forma:

29 d d SISTEA 0 O primeiro ermo seria essa relação, ou seja, a variação da massa no empo, numa forma válida para um Volume de Conrole. A equação abaixo deriva direamene da definição de Cálculo, com significando a massa do Volume de Conrole, e o índice, o empo em que ela é considerada. VC lim 0 +

30 Relação Sisema Volume de Conrole Imagine um escoameno, visualizado esquemaicamene na figura por meio de suas linhas de correne. Exise um Volume de Conrole qualquer, que coném inicialmene em seu inerior uma massa que consiui o Sisema sob análise: empo empo + (a) (b) Sisema deslocou-se V.C. Sisema V.C. permanece fixo Decorrido um cero inervalo de empo, o Sisema erá se deslocado devido ao escoameno, enquano que o V.C. permanece fixo no espaço.

31 [ ] S ( + 2) [ ] ) 1 S + ( d d S lim 0 [ ] [ ] S + S ( lim ) 2 + ( 1 + ) 2 O volume 1 corresponde ao volume de fluido que enrou pela área de enrada do V.C. devido ao escoameno. Assim, pare da massa do sisema que anes esava no V.C. foi afasada pelo fluxo que enra no V.C. 1 F, E

32 Da mesma forma, ao acompanhar o escoameno, o sisema eve pare de sua massa aravessando a área de saída, consiuindo o volume 3. Porano, o fluxo de massa na saída do V.C. pode ser usado para calcular a massa 3. 3 F, S Esses resulados serão usados para simplificar o limie da úlima equação, após um rearranjo de ermos para separar 1 e 3.

33 : BALANÇO INTEGRAL DE ASSA d d S lim 0 ( 2 ) + ( 2 ) d d S lim 0 ( 2 ) + ( 2 ) + ( F,S F, E ) É fácil perceber que o ermo com os fluxos não depende do limie considerado. Assim, a derivada da massa no sisema fica com dois ermos, sendo que apenas um é um limie para 0: d d S lim 0 ( 2 ) + ( 2 ) + F F,S,E

34 O próximo passo é verificar que quano menor o empo, menor é o volume que vai enrar e sair do V.C. devido ao escoameno. Iso implica que no limie o volume 2 ende para o próprio Volume de Conrole, de forma que é possível escrever a Relação Sisema - Volume de Conrole para a massa da seguine forma: d d S + F S VC F,, E RELAÇÃO SISTEA - VOLUE DE CONTROLE Com ela, uma lei que valia apenas para uma quanidade fixa de assa passa a ser válida ambém para uma deerminada Região do Espaço!

35 EXERCÍCIOS 1. Na operação de uma hidrelérica ocorreram durane um dia as seguines vazões médias: Qrio m 3 /s, Qurbinas 600 m 3 /s. Qual a variação de volume armazenado no período de 24 horas? 2. Uma hidrelérica em um lago alimenado por dois afluenes, e 6 urbinas. As vazões afluenes observadas no dia foram de Q1 600 m3/s e Q2 120 m3/s. Cada urbina operou com vazão de 100 m3/s, mas 2 urbinas ficaram ligadas apenas 6 horas. Qual a variação do volume do lago?

36 EXERCÍCIOS 3. Em um período de cheias uma hidrelérica operou com as seguines vazões afluenes: Rio A: Q m 3 /s; Rio B: Q2 700 m 3 /s. As vazões efluenes são fluxos urbinados para produção de energia e fluxos veridos, que escoam pelos veredores. A usina possui 8 máquinas e 6 veredores de superfície. A configuração de operação foi a seguine: Vazão urbinada - 4 máquinas com 100 m 3 /s durane 24 horas ; 2 máquinas com 180 m 3 /s durane 2 horas; Vazão verida - 6 veredores operando coninuamene com 200 m 3 /s cada um. Calcule a variação do volume armazenado em 24 horas.

37 EXERCÍCIOS 4. A figura mosra um esquema de chaminé de equilíbrio. As chaminés de equilíbrio são uilizadas na práica para aenuar as variações de pressão que podem ocorrer durane ransienes em ubulações de alimenação de bombas e urbinas. No insane considerado, a velocidade no ubo de alimenação da urbina é 0,5m/s a monane da chaminé e de 2,5m/s a jusane da mesma. Calcule a vazão fornecida e a velocidade insanânea de abaixameno do nível d'água na chaminé. Reservaório Chaminé D 3m D 1m Turbina

38 EXERCÍCIOS 5. Um anque cilíndrico possui uma área de base igual a 1m2. A água escoa por um orifício de 50 mm de diâmero, segundo a figura. A vazão que escoa em m 3 /s é dada por Q 2,7Ah a) Calcular o nível da água apos 1 minuo. b) Quano empo leva para escoar 2 m 3 do anque? c) Repeir o iem (a) 5,0m usando inegração. numérica, com 20s. d) Repeir o iem (a) usando solução numérica, com 5s. e) Quano empo leva para escoar 1 m 3 do anque?

39 EXERCÍCIOS 6. Para ober permissão legal para operar, uma indúsria compromeeu-se a lançar no máximo 4 L/s de efluenes com uma concenração máxima de cianeos igual a 4 mg/l. Uma associação de defesa ambienal desconfia do cumprimeno da lei pela indúsria, mas uma comissão de visoria formada para invesigar o problema não foi bem recebida pela empresa. Em conseqüência, você foi consulado para reunir dados para amparar uma ação legal conra a indúsria. Sua equipe fez medições da seção e velocidade do rio a monane da indúsria suspeia, e das concenrações de cianeo acima e a jusane do pono de lançameno, obendo os seguines dados: ONTANTE: V 0,6m/s, A 6,3m 2, JUSANTE : C CN 0,0031mg/L C CN 0,0000mg/L Deerminar se há base legal para processar a indúsria.

40 EXERCÍCIOS 7. Um meio para deerminar a vazão de rios consise na injeção de subsâncias raçadoras, como sais ou coranes. Numa deerminação de vazão em um córrego foram lançados 2L/s de água com uma concenração de corane fluorescene igual a 5g/L. Numa seção a jusane, após a complea misura do raçador, reirou-se uma amosra da água, obendo-se uma concenração de corane de 0,2g/L. Qual a vazão do córrego?

41 EXERCÍCIOS 8. Uma represa forma um reservaório de 5x107m 3 de capacidade. O lago recebe a conribuição de dois rios, com as seguines vazões e concenrações médias de sedimenos: Rio A: Q 12 m 3 /s; Rio B: Q 3 m 3 /s; C sedimenos 10g/L. C sedimenos 18g/L. Sabendo que na saída a concenração de sedimenos é 2g/L, e que a massa específica dos sedimenos é ρ sed 2,65 g/cm 3, deerminar qual o empo de vida esimado para o reservaório.

42 EXERCÍCIOS 9. O duo da figura em seção ransversal quadrada com 0,1m de lado e descarrega água por quaro fendas de 0,01m por 1m localizadas em nas faces laerais de uma derivação. Sabendo que o regime é permanene, que o duo da derivação é fechado em sua exremidade inferior e com base nas velocidades nas faces dadas na figura, pede-se: Seção a b 0.1m 0.1m Va 8 m/s Vb Velocidades: V1 V2 4-2Z V3 V4 2 - Z 1.0m Z V3 V2 V1 Y 0.01m a) vazões nas faces 1 e 3. b) módulo e senido da velocidade média na seção b X V4