CONTROLE LINEAR I. Parte A Sistemas Contínuos no Tempo PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO PROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA

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1 CONTROLE LINEAR I Pare A Siema Conínuo no Tempo PROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃO PROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA -03-

2 AGRADECIMENTOS O auore deejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma arde de verão decidiu digiar oda apoila de forma volunária e com o prazer de proporcionar uma leiura agradável ao demai aluno. Muio obrigado Pierre!

3 Índice - Inrodução 5. - Claificação e linearização de Siema 0..- Siema Lineare 0..- Linearização Linearização Envolvendo Equaçõe Diferenciai Linearização Exaa por Realimenação 6. 3-Tranformada de Laplace revião Definição 8. Tabela de Tranformada de Laplace Propriedade da Tranformada de Laplace Tranformada Invera Reolução de Equaçõe Diferenciai Lineare e Invariane no Tempo Função de Tranferência Definição Função de Tranferência de Circuio com A.O Função de Tranferência do A.O. Inegrador Simulação com o MATLAB Função de Tranferência de um Siema Roacional Mecânico Função de Tranferência de um Moor de Correne Conínua CC Diagrama de Bloco O Deecor de Erro Função de Tranferência de Malha Fechada Manipulação no Diagrama de Bloco Alguma Regra Úei 69. Tabela da Principai Regra para Redução de Diagrama de Bloco Simplificação de Diagrama de Bloco com o MATLAB 77.

4 6- Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal Eabilidade de Siema Dinâmico O Conceio de Eabilidade O Criério de Eabilidade de Rouh-Hurwiz Eabilidade Relaiva Exemplo Compleo de Projeo Repoa Traniória de Siema de a e a ordem Inrodução Repoa Traniória de Siema de a ordem devido a enrada degrau Exemplo Cao Genérico Repoa Traniória de iema de a ordem devido a uma enrada degrau Exemplo Cao Genérico 9. Variação de P.O. em função de Repoa Traniória X Localização do Polo no Plano Repoa ao Degrau de Siema de Ordem Superior Repoa Traniório Uando o MATLAB Índice de Deempenho ITA, ISE, IAE Erro de Regime regime permanene Inrodução Exemplo de Erro de Regime Erro de Regime 4. Tabela de Erro de Regime Senibilidade de Siema de Conrole a Variação de Parâmero Inrodução Generalização 5. 3

5 - Sinai de Perurbação ou ruído em Siema de Conrole 55. -Méodo do Lugar da Raíze Roo-Locu 6. APÊNDICE A Laboraório Curo e Lia de Exercício do MATLAB 06. APÊNDICE B Laboraório Inrodução à Robóica. APÊNDICE C Laboraório 3 Conrole de Moor CC 6. APÊNDICE D Laboraório 4 Repoa Traniória de Siema Dinâmico e Erro de Regime Permanene 30. APÊNDICE E Bibliografia Báica e Criério de Avaliação 38. APÊNDICE F Algun Arigo Cienífico Publicado pelo Profeore Marcelo C. M. Teixeira e Edvaldo Aunção 39. 4

6 -Inrodução A engenharia diz repeio ao conhecimeno e ao conrole de maeriai e força da naureza para o benefício da humanidade. Dizem repeio ao engenheiro de iema de conrole o conhecimeno e conrole de egmeno à ua vola, chamado de iema, com a finalidade de doar a ociedade de produo úei e econômico. O objeivo duplo de conhecimeno e conrole ão complemenare, uma vez que o conrole efeivo de iema requer que o iema ejam compreendido e modelado. Além dio, a engenharia de conrole deve coniderar muia veze o conrole de iema mal conhecido, como iema de proceo químico. O preene deafio ao engenheiro de conrole é a modelagem e o conrole de iema moderno, complexo e inerligado, como iema de conrole de ráfego, proceo químico, iema robóico e auomação indurial e conrola-lo em benefício da ociedade. Um iema de conrole é uma inerconexão de componene formando uma configuração de iema que produzirá uma repoa deejada do iema. A bae para análie de um iema é formada pelo fundameno fornecido pela eoria do iema lineare, que upõe uma relação de caua e efeio para o componene de um iema. Apreenamo a eguir uma definição de iema. Siema: é qualquer coia que inerage com o meio ambiene, recebendo dee informaçõe ou açõe chamada enrada ou exciaçõe e reagindo obre ele dando uma repoa ou aída. Io eá ineizado na figura abaixo: u y diferencial. Geralmene, u e y ão relacionado maemaicamene aravé de uma equação Exemplo de iema: i um avião cuja enrada é o combuível e a aída é eu 5

7 delocameno, iiuma caldeira cuja enrada ão ar e combuível e a aída é a emperaura da água, iii um auomóvel cuja enrada é o ângulo do acelerador e a aída é a velocidade do auomóvel, iv o rareador olar cuja enrada é a poição relaiva do ol e a aída é a poição angular da placa converora de energia olar. O modelo maemáico de um iema é muio imporane fundamenal para o projeo de conrole auomáico. O modelo de um iema é a relação enre a enrada u e a aída y do iema. O modelo pode er obido uando-e lei fíica, por exemplo, lei de Newon, lei de Kirchoff, ec. Ou enão uando-e meodologia experimenai, com por exemplo repoa raniória, repoa em frequência ec. Conrole de um iema ignifica como agir obre um iema de modo a ober um reulado arbirariamene epecificado. Um fundameno báico da eoria de conrole é o uo da realimenação. Aravé de exemplo, iremo inroduzir o conceio de realimenação. o Exemplo: Conidere o eguine problema no qual o homem deeja aquecer o inerior de um prédio, endo em via que a emperaura exerna é 0ºC. Para io ele dipõe de um aquecedor e um ermômero para leiura da emperaura inerna da ala. O objeivo de conrole é maner a emperaura da ala em T =ºC, memo na ocorrência de algun eveno: abrir a pora, deligar o fogão ec. E que ele poa dormir. AR FRIO AR QUENTE AQUECEDOR SALA TERMÔMETRO 0V CHAVE T = 0 C A TEMPERATURA AMBIENTE TS TEMPERATURA DA SALA a eraégia: o homem fecha a chave e enão vai dormir. O iema de conrole pode er equemaizado no eguine diagrama: 6

8 Nee cao emo que o iema de conrole é uma conexão érie de rê ouro iema: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Ea configuração é chamada de iema de malha abera. O reulado é que a emperaura da ala irá crecer indefinidamene e o aquecedor eiver uperdimenionado e T >>ºC. Ea eraégia falhou. Nee cao: a eraégia: o homem lê o ermômero e ua a eguine áica: Se T ºC ele liga a chave Se T >ºC ele deliga a chave Nee cao eremo: Nee cao o homem não erá ala emperaura, ea eraégia é melhor que a º porém, o homem não dormirá. O diagrama de bloco dee iema de conrole é: 7

9 3 a eraégia: conrole auomáico uando um bimeal. O bimeal é compoo de doi meai com coeficiene de dilaação érmica diferene. O diagrama de bloco dee iema de conrole é: Noe que ee é um iema de malha fechada. Ea é a melhor áica, poi o homem poderá dormir e a emperaura da ala erá manida em T ºC. Faor de uceo: a decião é omada apó a comparação enre o que queremo e o realmene emo, ou eja, exie realimenação. Nee cao foi uado um iema de malha 8

10 fechada. O equema genérico de um iema de malha fechada é: o Exemplo: iema de conrole biológico, coniindo de um er humano que ena apanhar um objeo. i. ii. iii. O iema de malha abera em a eguine vanagen: Simple conrução; Mai barao que a malha fechada; Conveniene quando a aída é de difícil aceo ou economicamene não diponível. E er a eguine devanagen: i. Diúrbio e variaçõe na calibração acarream erro e a aída pode er diferene da deejada; ii. Para maner a qualidade na aída é neceária uma recalibração periódica; iii. Inviável para iema inávei 9

11 -Claificação e Linearização de Siema A equaçõe diferenciai do movimeno do principai proceo uilizado em iema de conrole ão não lineare. Tano análie quano projeo de iema de conrole ão mai imple para iema lineare do que para iema não lineare. Linearização é o proceo de enconrar um modelo linear que eja uma boa aproximação do iema não linear em queão. A mai de 00 ano, Lyapunov provou que e o modelo linear, obido aravé de proceo de linearização de um modelo não linear, é válido em uma região em orno do pono de operação e e é eável, enão exie uma região conendo o pono de operação na qual o iema não linear é eável. Enão, para projear um iema de conrole para um iema não linear, pode-e eguramene ober uma aproximação linear dee modelo, em orno do pono de operação, e enão projear um conrolador uando a eoria de conrole linear, e uá-lo para conrolar o iema não linear que e oberá um iema eável na vizinhança do pono de equilíbrio ou pono de operação. Técnica moderna de projeo de conroladore Fuzzy uando LMI para iema não lineare permiem que o iema rabalhe em orno de vário pono de operação e ainda garane-e não apena a eabilidade do iema não linear conrolado ma ambém o eu deempenho emporal. Ane de apreenar o proceo de linearização, e faz neceário eudar o princípio da uperpoição úil na claificação de um iema, verifica-e e um iema é ou não iema linear..-siema Lineare Seja o iema abaixo, com condiçõe iniciai nula, I.C.=0, em um iema fíico io equivale a dizer que o iema não poui energia armazenada em =0 o iema eará em repouo. Suponha que a enrada u= u gera a aída y=y e que a enrada u=u gera a aída y=y, ou eja: 0

12 Definição: um iema é dio linear em ermo da ua exciação u enrada e ua repoa aída e o princípio de uperpoição for repeiado pelo iema. Princípio de Superpoição Se a enrada u= u gera a aída y=y, e a enrada u=u gera a aída y=y e e aplicarmo no iema uma combinação linear da enrada u e u, ou eja, u=u +u a aída y erá a mema combinação linear da aída y e y, ou eja, y=y +y, e. Dea forma, para verificar e um iema é linear aplica-e o Princípio da Superpoição. Exemplo : Verifique e o iema y=au é linear ou não. Uma inerpreação gráfica dee iema é: Sol: Para verificar e o iema é linear, uilizaremo o princípio da uperpoição, upondo a exiência de dua enrada diina, u= u e u=u, e em eguida aplicando a

13 eguine combinação linear: u= u +u, no iema y=au: Para u em-e y =a u Para u em-e y =a u Para u= u +u em-e y=a[u +u ] Ainda, y= au +au 3 Subiuindo e em 3 em-e: y= y + y Porano o princípio da uperpoição foi repeiado, logo o iema em queão é linear. Exemplo : verifique e o iema dado por y= a u+b é linear ou não., a0 e b0 Graficamene: Sol.:

14 u y = a u +b enão u y = a u +b enão e u u y y b a b a u = u +u y=a[u +u ]+b 3 Subiuindo e em 3 em-e: y a y b y b a a b ainda, y= y + y +b erá igual a y= y + y e e omene e b=0 ou --=0 =- Ma no enunciado foi upoo que b0. A expreão =- reringe o valore de e e para que eja linear é neceário que y= y + y, e, porano não é linear. Reumo: do exemplo e conclui-e que: Exemplo 3: More que o iema chamado inegrador elerônico é linear. a aída é igual à inegral da enrada Ob.: O circuio elerônico que implemena o inegrador uiliza um amplificador operacional A.O. é dado abaixo: 3

15 Sol.: u = u y f 0 u d u= u y f 0 u d da inegral: u= u +u y [ u u ] d ou ainda, devido a propriedade lineare f y u d 0 f Subiuindo e em 3 em-e y= y + y logo, o iema é linear. 0 u d Exercício:. O iema y= u é linear?. O iema 3. O iema d y u d y co u, que é um derivador, é linear? é linear? 4. O iema y, u0 é linear? u 5. O iema y u é linear? 6. O iema y 5 du u d d f 0 é linear? 7. O iema y u é linear? 8. O iema y é linear? u 9. O iema que é um conrolador indurial conhecido como conrolador PID é o eguine: 4

16 5 f d u d du u y Ele é linear? Exemplo 4: O iema dinâmico de ineree nee curo podem er expreo por equaçõe diferenciai da forma: 0 0 n i j m j j i i u b y a Demonrar para inegrador:. y u RC endo que: y i denoa a i-éima derivada de y u j denoa a j-éima derivada de u Demonre que ee iema é linear. Sol.: Suponha que para a enrada u= u a olução de proporciona y=y e que para u= u y= y, aim em-e: u n i m j j j i i u b y a 0 0 u n i m j j j i i u b y a 0 0 Para u= u +u, como e ão conane enão u j = u j +u j, enão: ] [ 0 0 u u b y a j n i m j j j i i ou ainda, u b u b y a j m j j n i m j j j i i n i i i y a 0 n i i i y a 0

17 6 logo y a y a y a j m j i n i m j j i i i ou ] [ 0 0 y y a y a j n i m j j i i i de onde conclui-e que y i = y i + y i logo o iema é linear. Ob.: Se a i e b j, em, ão conane, para i=,,..., n e j=,,..., m; enão o iema é dio linear e invariane no empo SLIT. Se a i e b j, em, variam com o empo, i=,,..., m; enão o iema é dio linear variane no empo SLVT. Exemplo:. SLIT: conidere a efera de um leviador magnéico, cuja ação da força da gravidade enha ido quae compenada pela força magnéica oriunda de uma bobina principal. Nee cao eme: Sendo F a força reulane: força magnéica meno força da gravidade. Adoando u=f, de em-e n i l j j j i i u b y a 0 0 para n= e l=0 emo Porano ee é um SLIT. u m y

18 . SLVT: conidere o exemplo do foguee lançador de nave epacial. O combuível é conumido durane o percuro e, porano a maa oal do iema varia ao longo do empo. Seja u r a força reulane, ou eja: u f f f r g a 3 Subiuindo e 3 em emo: u r d d d m. v m. v m. v d d d ou ainda, Exercício: Decreva 5 iema que ejam SLIT e 5 que ejam SLVT. Não e equeça de morar qual é a enrada do iema e qual é a aída. Exercício: Suponha que o iema de delocameno de um rem de merô eja linear. Sabendo-e que o rem e move uilizando energia elérica, enre uma eação e a próxima ele é SLIT ou SLVT? E enre a dua eaçõe exrema da linha?.-linearização Na engenharia de conrole, uma operação normal do iema pode er em orno do 7

19 pono de equilíbrio, e o inai podem er coniderado pequeno inai em orno do equilíbrio. Enreano, e o iema operar em orno de um pono de equilíbrio e e o inai envolvido forem pequeno, enão é poível aproximar o iema não linear por um iema linear. Ee iema linear é equivalene ao iema não linear coniderado denro de um conjuno limiado de operaçõe. O proceo de linearização apreenado a eguir em como bae o deenvolvimeno da função não linear em uma érie de Taylor em orno de um pono de operação e a reenção omene do ermo linear. A linearização de um iema não linear upõe que o iema operará próximo de um pono de operação P.O., ambém chamado de pono de equilíbrio. Conidere que o iema: opera próximo ao pono de operação P.O.: Expandindo y=fx em uma érie de Taylor em orno dee pono, eremo: y f x f x P f x f x x x. O. o x x o x x! P. O. P. O. endo: P.O.=x o,y o, que é o pono de operação do iema. A upoição de que o iema não linear irá operar em orno do P.O., implica que x ficará próximo de x o, logo x-x o erá pequeno e quando elevado a, 3,... erá menor ainda, porano: x xo! 0, Subiuindo em em-e: x xo 3! 3 0, 8

20 ou y f x f x x x x P. O. o P. O. que é um iema linear vide exemplo Inerpreação geomérica Se ivermo uma função de vária variávei: y f x, x,, xn e P. O. x0, x0,, x, y no o a expanão em érie de Taylor deprezando-e poência maiore que é dada por: ou ainda, y m x mx m n x n que é um iema linear 9

21 Ob.: Se o cálculo de y o, m, m,..., m n não for poível de er realizado devido à ocorrência de divião por zero, diz-e que o iema não é linearizável em orno do P.O. em queão. Exemplo: Linearize a função que correponde ao momeno orque que a maa m faz com relação ao pono P do pêndulo imple abaixo. Linearizar em orno do pono de operação = 0. O momeno é: I=F.r, endo r=len e F=mg Logo I=mglen enão g=mglen Noe que g é não linear, poi = en = en e = + en + en +en é não linear Nee cao, o pono de operação é =0. Expandindo na érie de Taylor, emo: ma, g g g g mglen0 0 0 e 0

22 g mgl co e logo, ubiuindo e 3 em em-e: g 0 mgl co0 mgl 3 g=mgl que é um modelo linear. A figura a eguir mora que para 4 4 o iema linearizado é uma boa aproximação do iema não linear. Ee gráfico for feio com a uilização do MATLAB. PROGRAMA EM MATLAB ea=[-pi:0.03:pi*.0]; ea=[-0.96:0.:0.98]; gea=inea; linear=ea; %axe ploea,gea,'k',ea,linear,'k',... [-4 4],[0 0],'k',[0 0],[- ],'k',... [-pi/4 -pi/4],[ ],'-.',[pi/4 pi/4],[0.88 -],'-.' grid

23 Exercício: Repia o exemplo anerior para que g=0,co, e o. Ue o MATLAB para deenhar o gráfico da função não linear e a linearizada. Exemplo: Linearize a função Pi=ri em orno do P.O. : i o =A.

24 R=00 Sol.: ma, Faça o gráfico inerpreação geomérica P P P i i i o o i i o P i ri i e P i i o r. P io r. r logo P=r+ri- ou P-r=ri- ou P=ri ma r=00 P=00i P i Inerpreação geomérica: Exercício: Uma área ecnológica de grande imporância aualmene ão a pequia para o deenvolvimeno de micro e macro iema. A eoria de conrole é fundamenal para o eu avanço ecnológico. Conidere o micro leviador dado na figura abaixo. O auador é conruído de PZT com um imã permanene na pona. A bola é de maerial ferromagnéico e em 3

25 diância de mm. Na figura a força de aração é dada por: k f x x endo k=4,98x0-8 N/m. Linearize o iema no pono de operação x o =mm, conidere como aída de ineree yx=fx. É poível linearizar ee iema em orno do pono x o =0mm? Exercício: Linearize a funçõe abaixo em orno P.O: x o =. ayx=5x+ b y x 3 x cyx=x 3.3-Linearização Envolvendo Equaçõe Diferenciai. No méodo de linearização morado, a funçõe não envolvem funçõe diferenciai nee cao, é neceário calcular o pono de operação do iema que é um pono de equilíbrio P.E., que é obido upondo que o iema eeja em equilíbrio e, porano não eá variando ao longo do empo, ou eja, oda a derivada ão nula. Depoi, expande-e o iema em função da variávei e ua derivada: g x, x g g x x g x x x PE P. E. PE x P. E. P. E. 4

26 5 Exemplo: upondo o eguine iema não-linear: endo x x y que é não-linear. Linearize em orno do pono de equilíbrio P.E.. Sol.: É neceário primeiramene deerminar o P.E., para io upõe-e oda derivada nula: 0 y em-e: 0=x E -x E 0 Y e 0 X ou 0 Y e X E E E E Nee cao, 0, x x y y x g O modelo linear é:, PE E P PE E P E P x x x g y y y g g y x g ou eja, adoando-e P.E.: X E = eremo: 0,, y x g poi x y x y y x g

27 OBS. No pono de equilíbrio, o iema permanece nele e colocado nele derivada nula e oda a variávei ão conane..4-linearização Exaa por Realimenação Linearização por realimenação é obida ubraindo-e o ermo não lineare da equaçõe do iema e adicionando-o ao conrole. Exemplo: Conidere o pêndulo que poui o orque de enrada T c conrole agindo no eixo de roação T C mgl en I endo I momeno de inércia em orno do eixo, nee cao: I=ml. Suponha que o ângulo poa er medido, projee T c al que o iema enha linearização exaa. Sol.: A equação diferencial é: ml +mglen=t c Se ecolher o orque T c como, T c =mglen+u e ubiuindo em em-e: que é um iema linear ml =u 3 O equema é: 6

28 A equação 3 é linear, não imporando quão grande o ângulo o eja. A realimenação proporciona um orque T c baeado na medida de al que o iema realimenado eja linear. Exercício: Linearize o eguine iema na forma exaa 7

29 3-Tranformada de Laplace revião A capacidade de ober aproximaçõe lineare de iema fíico permie ao projeia de iema de conrole o uo de Tranforma de Laplace. O méodo da ranformada de Laplace ubiui a olução mai difícil de equaçõe diferenciai pela olução mai fácil de equaçõe algébrica Como o iema de conrole ão alamene complexo e largamene inerconecado, o uo da Tranformada de Laplace permie a manipulação de equaçõe algébrica ao invé de equaçõe diferenciai. Enão o iema dinâmico ão modelado por equaçõe diferenciai, primeiramene aplica-e a Tranformada de Laplace, depoi projea-e o conrolador no domínio e finalmene implana-e o conrolador e analia-e o reulado obido no domínio do empo. OBS.: Nee curo a maioria da ranformada L{.} e L - {.} erão uilizada direamene da abela. 3.-Definição: a ranformada de Laplace da Função f é dada por: L f f e d F 0 endo que o é uma variável complexa que não depende de, =+jw. Exemplo: Uma função que erá muio uilizada nee curo é a função degrau. Iremo calcular ua Tranformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechameno da chave S no circuio abaixo: 8

30 OBS.: É upoo que o capaciore eão decarregado e o induore em correne nula no inane inicial =0. A enão v é do ipo degrau de ampliude A, poi 0, 0 v= A, 0 endo que a chave é fechada no inane =0, graficamene: Aplicando-e a Tranformada de Laplace v em-e 0 V=L{v}= v e d Subiuindo-e em em-e V 0 Ae e d A 0 A lim e e 0 V A A abela a eguir mora na linha a ranformada de Laplace de degrau uniário A=:L{}=/ 9

31 Pare de Tranformada de Laplace f F Impulo uniário Degrau uniário l n n! n! 8 n n a e n,,3,... n,,3,... n n! n a e e a n a e n,,3,... n,,3,... en co enh coh a a 4 e a b 5 e e b a b a 6 be ae b a ab a b a b 7 be ae a a a n n! n a a a b a b a b 30

32 a a a a a e a 8 e ae e e n e a a en co n en n n n e co n en n n a a a a a n nn n n n A regra e 3 ão válida para 0< <. Ea abela reúne a principai ranformada uilizada nee curo. Noe que genericamene F é a razão enre doi polinômio: n F d m n bm a n m n 3.. Propriedade da Tranformada de Laplace Suponha que L{f}=F. L{f +f }=F +F Linearidade... b... a. L Prova: L{f +f }= 0 0 d f F f 0 d [ f f ] e d f e d f e d F F Prova: d d L f f e d 0 e df 0 d d 0 3

33 Inegrando por pare, emo: Lembree: b a vdu u v b a b a udv logo 0 e v e dv e d du df u f df f e f e d 0 f e f e f e d f 0 F 3. L d d Prova: f F f 0 d d f 0 L d d f L d d d d f PROP. L d d f d d f 0 = PROP. F f 0 d d f 0 F f 0 d d f 0 4. L d d n n f n F n nk k d d k k f 0 Ob.: foi vio na abela da ranformada de Laplace que genericamene F é compoo pela divião de doi polinômio em, ou eja: Exemplo: n F d n F d A raíze do numerador ão chamada de zero e a raíze do denominador ão chamada de polo. 3

34 Nee exemplo emo: z P 5. Teorema do valor final + T.V.F. Se o polo de F pouem pare real negaiva, ou eja, Re{p i }<0,enão: lim f 0 lim F Ob.: mai adiane nee curo, veremo que um iema que em odo o polo com pare real negaiva, é dio eável. Exemplo: Sabendo que L{f}=F= de valor de regime permanene. Sol.: Nee cao, F, deermine o valor de f que poui apena um pólo:p =-. Como P <0, pode-e aplicar o T.V.F.: lim f lim F lim 0 0 ambém chamado logo f Para imple verificação, egundo a abela na pg. 30, linha 4, em-e: f e f L - e que é o memo reulado obido aplicando-e o T.V.F. Ob.: o T.V.F. permie ober o valor de regime de um iema endo-e apena a ua ranformada de Laplace F, em a neceidade do conhecimeno da função emporal f. Ou eja, o T.V.F. é úil para deerminar o valor de regime de f, conhecendo-e apena F. Exemplo: f=en 33

35 f Noe que + f não em um único valor. Segundo a abela: L{f}= Para.F=, linha 0, o polo ão P, =±j Logo Re{P, P }=0 e não pode-e aplicar o T.V.F. Se erroneamene aplicarmo o T.V.F. eremo: lim f lim F lim 0 0 0, porém, a enóide não ende a zero quando +. O erro foi aplicar o T.V.F. endo que o polo não ão negaivo pare real. Exemplo: Deerminar a ranformada de Laplace da função impulo,. Uma ideia de enrada impuliva é o choque do aco de baeball com a bola, o choque em uma grande inenidade e curíima duração. 0 p / 0 A função é dada por: e p / 0 d Graficamene 34

36 A função impulo é o cao limie da função pulo de área uniária: Nee cao a área é A= a a e lim a 0 Sol.: L{}= 0 e - nee inervalo é. logo 0 0 e d e d 0d e d 0 0 0, para 0 - <<0 + em-e que L{}= 0 0 d Vide linha da abela, p.30 Exercício: Calcule a ranformada de Laplace de um inal u de conrole ípico de um iema auomáico digial, ou eja conrole por compuador. Exercício: Seja Exercício: Seja F, qual é o valor de f? F, é poível aplicar o eorema do valor final?

37 3.3-Tranformada Invera A ideia é enconrar uilizando a expanão de funçõe em fraçõe parciai e enão uilizar a abela para enconrar f. Seja: P F Q endo que P e Q ão polinômio e grau Q graup. Polinômio Q é da forma: Q n a n... a n, endo a i, i={,,..., n} que pode er expreo na forma: Q... n n endo: i, i=,,..., n a raíze de Q. ºCao: Se o polinômio do denominador: Q... n n pouir omene raíze diina ou eja, i j, i,j=,,...,n, ij enão fazemo a expanão: endo: k i =+ i. F, i=,,..., n i P k k kn F... Q n 36

38 37 Exemplo: F, deermine f. Sol.: Nee cao, P=5+3 e Q=+++3 emo: 3 3 k k k Q P F e k i =+ i i F logo k k k enão F Finalmene, uando a linha 6 da abela, em-e: L - {F}=-e - +7e - -6e -3, 0 ºCao: Se o polinômio do denominador:... n n Q pouir raíze não diina, ou eja, e a raiz i iver muliplicidade r, eremo: n n i i r i r i i i k k A A A k k Q N F endo:

39 38 i r i r F A i r i r F d d A i r i r r F d d r A! Exemplo: Se 3 F, deermine f. Sol.: a raiz =- em muliplicidade r=3, logo, 3 3 A A A k k F nee cao: F k 3 0 F k Façamo: F G enão, 3 G A ; G d d A ma d d G d d

40 logo A 0 A 3! d d 3 G enão que é obida derivando-e A d d 3 finalmene: F 3 Segundo a linha, 6 e 8 da abela P.6 em-e: *função degrau uniário Exercício: Dado f F * e, calcule f. e e, 0 3ºCao: Se o polinômio do denominador em raíze complexa diina. Vamo ilurar o méodo aravé de um exemplo. Exemplo: Deermine a L - {.} de F= Sol.: Nee cao, a raíze do denominador ão: 0 3 raíze complexa conjugada,3 j Nee cao é mai inereane uar a componene relaivo á raíze complexa, na forma polinomial, ou eja: F C C C3 39

41 40 Já abemo calcular C : 0 C Para que eja aifeia é neceário que: 3 C C ou ainda: 3 C C, logo C e C C C enão C =- e C 3 =- Aim: F ou 4 3 F Que da linha 0 e da abela P. 7 emo: en e e f co Imporane: Se em algum do cao aneriore, com Q P F, com grau Q=grau P enão faça primeiro a divião: e depoi proceda a expanão em fraçõe parciai de Q R.

42 Exemplo: Deermine f e F= Sol.: Nee cao, P= e Q=+ e logo grau P= e grau Q=, enão é neceário fazer: F L{F}=-e - Ob.: e grau Q=grauP enão aparecerá empre uma componene impuliva em f. O gráfico de f do exemplo anerior é: 4

43 Expanão em Fraçõe parciai uando o MATLAB O exemplo abaixo foi reirado do Ogaa 4ºed.: Conidere a eguine função Para ea função O comando 3 B A 6 6 num = [ 5 3 6] den = [ 6 6] [r,p,k] = reiduenum,den apreena o eguine reulado: [r,p,k]=reiduenum,den r= -6,0000-4,0000 3,0000 p= -3, ,0000 k= Ea é a repreenação em MATLAB da eguine expanão em parciai de B/A: 3 B A Para enconrar L - {.} baa uar a abela. Para iema que enham polo com muliplicidade, deve-e obervar a equência de r e p no MATLAB. 4

44 Expanda a eguine B/A em fraçõe parciai com MATLAB: B 3 3 A Para ea função, emo: O comando num = [0 3] den = [ 3 3 ] [r,p,k]=reiduenum,den apreena o reulado morado adiane. É a repreenação em MATLAB da eguine expreão em fraçõe parciai de B/A: B 0 A 3 num = [0 3]; den = [ 3 3 ]; [r,p,k] = reiduenum,den r =,0000 0,0000,0000 p = -,0000 -,0000 -,0000 k = 0 Noe que o ermo direio k é zero. Para ober a função original B/A a parir de r, p e k, inira o eguine programa no compuador: num,den = reiduer,p,k; prinynum,den, 43

45 Aim, o compuador apreenará o num/den, como e egue: num/den= ^ 3 ^3 3^ 3 Exemplo para iema com polo complexo. Seja: F >>num=[]; >>den=[ 0]; >>[r,p,k]=reiduenum,den, polo complexo. r= i i reíduo complexo p= i i k= >>[num,den]=reiduer,p,k >> >>priynum,den, num/den=.04e 06^.04e 06 ^3 ^ ^3 ^ 0,5 0,88 i 0,5 0,88i F 0,5 0,8660i 0,5 0,8660i F 3.4-Reolução de Equaçõe Diferenciai Lineare e Invariane no Tempo Conidere o circuio abaixo 44

46 A enão obre o capacior é v c. Suponha que o capacior eeja decarregado inicialmene, ou eja: v 0 ou v c c Suponha que a chave eja fechada em =0, ou eja que é a função degrau e L{v}= A. Deermine o comporameno da enão no capacior, v c, ao fechar a chave. Sol.: para o capacior em-e: q=cv c ou ou dq d Segundo a enõe na malha em-e: dv C d v=ri+v c dvc i C d c Aim: 45

47 enão L{v}=RCL A RC dv c d +L{v c } V v 0 V C c C A RC V C V C A RC ou ainda: A RC k k V C RC RC k V C 0 A k VC RC RC A A A V C RC Graficamene, egundo a linha e 6 da abela, pg. 30 L - A A RC A Ae RC A e RC Exercício: Deermine a evolução emporal de v c e i no circuio: 46

48 R=R=Ω C=0-3 F A chave é fechada em =0 e v c =0v Exercício: Deermine a evolução emporal de v c e i no circuio: R=Ω C=0-3 F L=0,H Suponha que não enha energia armazenada no circuio ane da chave e fechar, ou eja, v c =0 e i=0. Aplique o T.V.F. para deerminar o valore de regime. Exercício: Reolva a eguine equação diferencial: x 3x x u endo: x0 x0 x0 0 e u=

49 4-Função de Tranferência 4. Definição A função de ranferência de um iema de equaçõe diferenciai lineare invariane no empo é definida como a relação da Tranformada de Laplace da aída função repoa para a ranformada de Laplace da enrada função exciação ob a hipóee de que oda a condiçõe iniciai ão nula. em-e: Y=G.U Exemplo: Conidere o conrole do aélie da figura a eguir, endo que a enrada conroladora é o orque T da urbina. A aída que deeja-e conrolar é a poição angular do aélie. Admia que a velocidade de roação e a poição angular ão nula em =0, ou eja: 0 =0 rad/ e 0=0 rad C.I. nula. Cenro de Maa L F θ Referência 48

50 Nee cao, o orque é: T=L.F. Aplicando a egunda lei de Newon ao preene iema e obervando que não há nenhum ario no ambiene do aélie emo: ou Momeno Aceleração orque de Angular Inércia d T J d endo que J é o momeno de inércia do aélie. Noo objeivo é enconrar a função de ranferência que relaciona a enrada T com a aída. Para io, aplicamo a ranformada de Laplace em : L{T}=JL d d T= J 0 T J T J 0 G T Equemaicamene em-e: logo, G= J que é a função de ranferência do aélie. Genericamene a função de ranferência é definida como a relação enre a aída e a enrada do iema, ou eja: 49

51 equemaicamene, G T J Ob.: Noe que a enrada uilizada foi T e é qualquer genérico. Dea forma G não depende da enrada. O conceio de função de ranferência erá muio úil nee curo, com ela analiaremo e projearemo iema de conrole auomáico. Exercício: Deermine a função de ranferência do circuio: endo v e a enrada e v c a aída. Não e equeça: C.I. nula. Generalização Moraremo, a eguir, uma generalização do conceio de função de ranferência. Conidere um iema linear invariane no empo SLIT: Y y e d 0 Suponha que u=0 para <0 e que a condiçõe iniciai ão nula: n y m y0= y e u 0 u 0... u 0 0 O iema é decrio pela equação diferencial: a y a o n n m y... an y y bou b u... bm u Ob.: Já provamo no capiulo exemplo 4 que ee iema dinâmico é linear. Se a i e b i ão conane, enão é SLIT. Aplicando a Tranformada de Laplace em emo: 50

52 a Y a o Y y0... b U u0... b m Y n n m U y0... y n n u0... u n o b U o Como: y 0 y 0... n y 0 0 e u=0 para <0 logo oda a derivada de u ão nula para <0, a equação orna-e n m aoy ay... Y bou bu... bm U ainda: n Y ao a... U bo b... bm m 3 Porém a função de ranferência é a relação enre a aída e a enrada do iema, para deerminá-la iolamo Y U em 3: Y bo b... bm n U a a... Equemaicamene emo: o m G função de ranferência genérica em-e: Y=G.U Oberve que a F.T. genérica é uma razão enre doi polinômio genérico. Ob.:. G independe do valor da enrada, é uma caraceríica do iema.. Se u= impulo uniário, emo U= logo Y G. U G. Y G Porano, a repoa Y ao impulo de um iema é maemaicamene igual à função de ranferência G do iema. 3. A F.T. relaciona a enrada e a aída do iema de uma forma geral. Como ober a Função de ranferência 5

53 A- Experimenalmene- a meodologia experimenal erá abordada no laboraório. B- Teoricamene- deve-e eguir o eguine pao: - Ecreva a equação diferencial do iema, uilizando a lei fíica, mecânica, circuio elérico, ec. - Aplique a ranformada de Laplace na equação enconrada, coniderando oda a C.I. nula. 3- Iole a aída da enrada fazendo: Y G U Exemplo: Recene pequia em conrole auomáico eão deenvolvendo o piloo auomáico para auomóvei. O diagrama abaixo mora o enido da açõe da força: força do moor u e força de ario f a. u f a x. x Maa u A enrada do iema é a força u realizada pelo moor e a aída é a poição x do carro. A aída de ineree pode ambém er a velocidade v= x do carro. Suponha que o carro eeja parado em 0, logo, x0= x 0 x0 0 e que o moor eeja em pono moro, ou eja : u=0 para 0. Por implicidade, nó aumiremo que o momeno de inércia da roda ão deprezívei; nee cao, podemo aplicar: F x m. a m. x A força de ario e à força de opõe à força de impulão u, logo: 5

54 u b x m x º Suponha que a aída de ineree é a poição x do carro e que deejamo ober a função de ranferência enre a força do moor e a poição: ou ainda, X? U Aplicando ranformada de Laplace em com C.I. nula: L{.}U-bX=m X X m b U X G U m b POS. U m b G po X º Suponha que a aída de ineree é velocidade v= x do carro: V? U ubiuindo-e v= x em em-e u bv mv mv poi v x L{.} U-bV=mV V[m+b]=U V G U m b VEL. U m b G vel X 53

55 G VEL. - Função de Tranferência que relaciona a velocidade v do carro com a força u do moor. Exemplo: O iema de upenão do auomóvel eá ilurado a eguir: Ee é um modelo que 4 de auomóvel. O cilindro do amorecedor coném ar que paa de um lado para o ouro, quando ocorre um movimeno relaivo. Ele aplica empre uma força de reação, ou eja conrária ao movimeno de ua exremidade. O amorecedor vicoo proporciona fricção vicoa, ou eja, ele e opõe a qualquer movimeno relaivo da dua exremidade, diipando energia na forma de calor. 54

56 Modelo maemáico A força obre a maa m ão: d F a f endo: força da mola; F m =ky-x força do amorecedor: F a =f Sabemo que: y x logo: F y m. a mg-f y x -mg-ky-x=m y Aplicando: Laplace com C.I. nula f Y X ky X m Y Y m f k f k X Y f k G X m f k 55

57 Noe que a irregularidade x da pia é a enrada do iema exciação do iema e o delocameno y da carroceria do carro é a aída repoa 4.-Função de Tranferência de Circuio com Amplificador Operacional A.O. O A.O. em a caraceríica de ala impedância de enrada e baixa de aída. Idealmene, a impedância de enrada é infinia, logo a correne de enrada é nula. A figura abaixo mora o circuio do A.O. na configuração inverora. R e + Como Re+, em-e que a correne i 0A, logo a enão no nó P é igual a 0v, ee nó P é chamado de erra virual. Podemo fazer a eguine equivalência: em-e: e e Ri i R R 0=R i+v v= e R Aplicando L{.}, emo: 56

58 57 E R R V logo G R R E V 4..-Função de Tranferência do A.O. Inegrador O circuio pode enão er colocado na forma de impedância no domínio ver curo de Circuio Elérico: emo: R E I R I E 0. 0 V I C G RC E V E RC V Ea é a função de ranferência do inegrador, ou eja, a aída é igual à inegral da enrada, genericamene:

59 Verificação linha 3 da abela da pg. 30. linha 3 da abela da pg. 30. Ob.: noe que a função de ranferência do inegrador poui no denominador um polinômio de ª. ordem com apena, o que proporciona o polo =0. Nee curo erá muio úil o conceio de que a função de ranferência do inegrador é do ipo: Exercício: Deermine a funçõe de ranferência do circuio abaixo: 58

60 R 4.3-Simulação com o MATLAB O MATLAB é uilizado para imular iema de conrole. O aluno do Grêmio de Engenharia Elérica Giovani e Clarice prepararam um maerial inroduzindo o uo do MATLAB em conrole linear. Na próxima página eá ee maerial. No Apêndice A cona um curo inroduório da uilização do MATLAB. 59

61 MATLAB EM CONTROLE LINEAR O MATLAB poui um oolbox com uma grande diveridade de funçõe apropriada para a análie de iema de conrole. Ea funçõe eão diponívei aravé do comando: help conrol. Para ilurar a uilidade do MATLAB nea análie, uponha que um auomóvel em movimeno pae por diferene obáculo elevaçõe na pia. Abaixo emo apreenado um equema repreenaivo de um modelo para o auomóvel com um amorecedor f e uma mola k: x f k y m f k G a Suponha que o auomóvel pae pela elevação repreenada a eguir: Nee exemplo: m=000, f=500 e k=00 d = 5 cm Ea elevação correponde à enrada do iema e é chamada de enrada degrau. Para obervar a repoa do iema movimeno do iema maa-mola, amorecedor, ou eja, o upoo auomóvel execuemo o eguine programa: %Parâmero do iema m=000; f=500; k=00; %Numerador num=[f,k]; %Denominador den=[m,f,k]; %Tempo de imulação empo=0:0.:30; %Função degrau y=0.5*epnum,den,emp o; %Gráfico ploempo,y,'b' xlabel'tempo[]'; ylabel'y[m]'; 60

62 Aim, podemo viualizar a eguine repoa: b Supondo agora que o auomóvel enconre o eguine obáculo conhecido como função rampa: o d Pode-e verificar a aída do iema [y] poição da maa execuando o eguine programa: %Parâmero do iema num=[500,00]; den=[000,500,00]; %Função rampa veor coluna u=0:.05:.5; u=u'; a=0.5*one,30; a=a'; u=[u;a]; %Tempo de imulação =0::39; [y,x]=limnum,den,u,; %Gráfico plo,y,'b',,u,'r' xlabel'tempo[]'; ylabel'y[m]'; ex8,0.8,'y'; ex3,0.4,'u'; 6

63 Aim como reulado emo: 6

64 4.4-Função de Tranferência de um Siema Roacional Mecânico Ee iema repreena a carga que um moor elérico em em eu eixo. O iema é Sabemo que: logo, orque momeno de inércia aceleração angular T f J Aplicando a ranformada de Laplace, endo C.I. nula, emo: T f J ou ainda, T G J f Exercício:Prove que e a aída de ineree foe a velocidade de roação = a F.T. erá: G T J f 63

65 4.5-Função de Tranferência de um Moor de Correne Conínua Moor CC O moor CC convere energia elérica de correne conínua em energia mecânica de movimeno roaivo, vide Dorf 8ºed, pg. 40. Devido a recuro ai como orque elevado, poibilidade de conrole de velocidade ou poição angular obre uma ampla faixa de valore, porabilidade, caraceríica velocidade-orque bem comporada e adapabilidade a vário ipo de méodo de conrole, o moore ão uado largamene em numeroa aplicaçõe de conrole, incluindo manipuladore robóico, mecanimo de ranpore e fia, acionadore de dico, máquina-ferramena e auadore de eno válvula. correne eaor N F Torque devido à força F F roor Tm B eixo do moor S eaor A função de ranferência do moor CC erá deduzida por meio de uma aproximação linear do moor real, e o efeio de hieree e queda de enõe na ecova, erão deprezado. A enão de conrole é aplicada no campo, v f. Enão nee iema a enrada é v f e a aída a poição angular do eixo. O fluxo no enreferro do moor é proporcional à correne de campo: k i f f O orque deenvolvido pelo moor é admiido como endo proporcional a correne de armadura: Tm k ia kk i. i f f a Como o moor é conrolado pelo campo, i a é uma conane: i a =I a logo: e a 64

66 65 I k T i I k k T f m m f a f i m k m A correne de campo e relaciona com a enão de campo aravé de I L R V f f f f O orque de ario do rolameno é: 3 b T a Sabemo que: 4 J T T Angular Aceleração Inércia de Momeno orque a m Subiuindo e 3 em 4: J b i k f m Aplicando Laplace com C.I. nula: 5 J b I k f m Iolando-e I f em e ubiuindo em 5: J b V L R k f f f m ou ainda, J b L R k J b L R k V f f m f f m f Normalmene, L f é muio pequeno, 0, L f enão, G J b R k V f m f Exercício: Como eria a F.T. do moor CC e a aída de ineree foe = ou eja a velocidade de roação do eixo?

67 5-Diagrama de Bloco O iema dinâmico que abrangem o iema de conrole auomáico ão repreenado maemaicamene por um conjuno de equaçõe diferenciai imulânea. O uo da ranformada de Laplace reduz o problema à olução de um conjuno de equaçõe algébrica lineare. Como o iema de conrole dizem repeio ao conrole de variávei epecífica, io requer a iner-relação enre a variávei conrolada e a variávei de conrole. Ea relação é repreenada pela função de ranferência do ubiema que relaciona a variávei de enrada e de aída vide Dorf, 8º ed.. Ver exemplo da pág. dea apoila. A imporância da relação caua e efeio da função de ranferência é evidenciada pela facilidade de repreenar a relação enre a variávei do iema aravé de diagrama. A repreenação da relaçõe de iema em diagrama de bloco é predominane na engenharia de iema de conrole. O diagrama de bloco de um iema é a repreenação da pare que o coniuem e ua conexõe. O elemeno báico de um diagrama de bloco é a função de ranferência: 5.-O Deecor de Erro A realimenação uiliza o deecor de erro: 5.-Função de Tranferência de Malha Fechada A repreenação em diagrama de bloco permie que iema complexo ejam implificado, faciliando ua análie. 66

68 Configuração báica: O objeivo é deerminar uma função de ranferência que relaciona Y com U. Temo: Y=G.E 3 e E=U-Y 4 Subiuindo 3 em 4 emo: Y=G.[U-Y] ou ainda, Y+GY=G.U ainda: Y[+G]=G.U logo, Y= G U G A enrada U é relacionada com a aída Y aravé da função: G H Y H U G ou eja: 67

69 5.3-Manipulação no Diagrama de Bloco Um diagrama de bloco muio comum em iema de conrole auomáico é: Verifique que ee diagrama repreena o diagrama de conrole de emperaura morado no Capíulo dee curo. Do diagrama acima emo: E=U-HY a e Y=GE b Subiuindo a em b: ou ainda: logo, finalmene: Y=G[U-HY] Y=GU-GHY Y+GHY= GU Y[+GH]=GU G Y U G H Exercício: More que a F.T.M.F. do iema abaixo é: 68

70 69 H G G U Y 5.4-Alguma Regra Úei Verificação: de I em-e U Y GU Y a de II em-e b U U G G Y U G Y como a é equivalene a b, enão I é equivalene a II.

71 Verificação: I Y =GU Y =GU II Y =GU Y =GU emo: Y=U G-U Y=U G-U 70

72 Em Ogaa pode-e enconrar a principai regra para redução de diagrama de bloco: Diagrama de bloco originai Diagrama de bloco equivalene A A-B A-B+C A A+C A-B+C B C C B C C A A-B+C A A-B A-B+C B B 3 A G A G A G G A G G A G A G G G 4 A G A G A G G A A G G G G G 5 A G G A G A G AG +AG A A G +AG G +G 6 A AG AG-B G B A B/G A-B/G G /G AG-B B 7 A B A-B G AG-BG A B G G AG BG AG-BG 8 A G AG AG A G G AG AG 9 A G AG A A G AG /G AG A A-B B 0 A A-B A A-B A-B B B A G G A G A G +AG A G A G AG G /G G +AG A G B A /G G G B G B 3 A G B A G / +G G B G Ob.: Já foi demonrada a regra 3 na página aneriore. 7

73 Exercício: Demonre oda a regra da abela anerior, meno aquela já demonrada nee exo. Exemplo: Deermine a F.T.M.F. de: Sol.: Uando a regra 9 da abela emo: Agrupando o bloco que eão em érie regra 4 da abela em-e: Uando a regra 3 em-e: 7

74 Uando a regra 4: Uando a regra 3: ou ainda, Aplicando novamene a regra 3 emo: 73

75 Exercício: Deermine a função de ranferência de malha fechada de: Repoa: Exemplo: Deermine a F.T.M.F. do circuio abaixo. Suponha R=0 3 Ω e C=0-6 F, com o MATLAB, imule e iema endo v e uma enrada degrau uniário, obendo v. Sol.:. É neceário inroduzir o equacionameno do A.O. na configuração omador: 74

76 75 em-e: R v i R v i R v i e ; ; e i=i +i +i 3 0 Ri v v R i logo v v v R v R v R v R v e e Aplicando a ranformada de Laplace: 3 4 V V V V e Logo o modelo em diagrama de bloco do A.O. omador é :.

77 3. Enão o diagrama de bloco do circuio compleo é: Fazendo aociaçõe érie e depoi uando a regra 3: ou ainda: uilizado. O reulado da imulação eá morado na figura abaixo, bem como o programa 76

78 5.5-Simplificação de Diagrama de Bloco com o MATLAB O MATLAB em alguma funçõe para implificação de diagrama de bloco vide Ogaa. Suponha A aociaçõe ão: num num G, G den den num, den erie num, den, num,den num, den parallel num, den, num,den num, den feedback num, den, num,den a R G G C b R G C G 77

79 c R G C G a iema em cacaa; b iema em paralelo; c iema com realimenação de malha fechada. Por exemplo, conidere: 0 num 5 num G, G 0 den 5 den Um programa que realiza oda a aociaçõe acima é dado a eguir: num=[0 0 0]; den=[ 0]; num=[0 5]; den=[ 5]; [num,den]=erienum,den,num,den; prinynum,den num/den = ^3 + 7 ^ [num,den]=parallelnum,den,num,den; prinynum,den num/den = 5 ^ ^3 + 7 ^ [num,den]=feedbacknum,den,num,den; prinynum,den num/den = ^3 + 7 ^ Para maiore dealhe digie no MATLAB: help feedback 78

80 6-Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal O diagrama de bloco ão adequado para a repreenação da iner-relaçõe enre variávei conrolada e de enrada. Conudo, para um iema com iner-relaçõe razoavelmene complexa, o procedimeno de redução do diagrama de bloco é rabalhoo, vide Dorf 8º ed. Um méodo alernaivo para e deerminar a relação enre variávei de um iema foi deenvolvido por Maon e é baeado em uma repreenação do iema por meio de egmeno de arco. Ee méodo é chamado de diagrama de fluxo de inal e ua vanagem é a diponibilidade de uma fórmula geral para deerminar a função de ranferência equivalene do iema. Conideremo: X i G X ij j endo X i e X j inai e G ij função de ranferência. O diagrama de fluxo de inal de é : Toda variável num diagrama de fluxo de inal é deignada por um nó, e cada função de ranferência por um ramo. Regra da adição Regra de Muliplicação 79

81 Percuro: é um ramo ou equência conínua de ramo que podem er araveado de um inal nó a ouro inal nó. Laço: é um percuro fechado que e origina e ermina em um memo nó de modo que ao longo do percuro nenhum nó eja enconrado dua veze. Laço dijuno: doi laço ão dio dijuno quando não pouem um nó comum. Doi laço que e ocam ão não dijuno e comparilham um ou mai nó comun. Exemplo de conrução de diagrama e fluxo a parir do diagrama de bloco. Conidere o diagrama de bloco abaixo, o diagrama de fluxo equivalene é dado ao lado. Nee cao, enre a enrada R e a aída C emo um único percuro: Também emo um único laço: Como emo apena um laço, não exiem laço dijuno. Ganho do Laço: é o produo do ganho do ramo do laço. No exemplo acima, o ganho do laço é: 80

82 L G H Ganho de Percuro: é o produo do ganho do ramo enconrado araveando-e o percuro. No exemplo acima, o ganho do percuro enre a enrada e a aída é: P G Fórmula de Maon A função de ranferência T ij enre a variável X i e X j de um diagrama de fluxo é dada pela fórmula de Maon: T ij k endo P ijk =k-éimo percuro enre a variável X i e a variável X j. = número oal de percuro enre X i X j =deerminane do diagrama ijk =cofaor do percuro P ijk O omaório é feio para odo o k percuro poívei enre X i e X j. O cofaor ijk é o deerminane com odo o laço que ocam o percuro k removido Dorf 8ºed.. O deerminane é: N MQ, L L L L L L..., P ijk ijk n m q r n m q endo L q é igual ao valor da ranmiância do q-éimo laço. Porano, a regra para calcular em ermo do laço L, L, L 3,..., L N, é Dorf 8º ed. =-oma de odo o ganho de laço diino +oma do produo de ganho de oda a combinaçõe de laço dijuno à -oma do produo de ganho de odo a combinaçõe de laço dijuno 3 à

83 A função de ranferência enre a enrada R e a aída Y é dada ob a forma um ano implificada: T k P k k endo T Y R Exemplo Dorf 8ºed.: Um diagrama do fluxo de inal com doi percuro eá morado a eguir. Um exemplo de iema de conrole com múliplo percuro de inal é o de um robô com divera perna. O doi percuro conecando a enrada R e a aída Y ão: o ganho ão: P =G G G 3 G 4 e P =G 5 G 6 G 7 G 8. Há quaro laço independene diino: 8

84 83 o ganho do laço ão: L =G H, L =G 3 H 3, L 3 =G 6 H 6 e L 4 =G 7 H 7. O laço L e L não ocam L 3 e L 4, logo o deerminane é: =-L +L +L 3 +L 4 + L L 3 +L L 4 +L L 3 +L L 4 poi não há combinaçõe de laço dijuno 3 a 3, ou maiore. O cofaor do deerminane ao longo do percuro P é calculado, a parir de, removendo-e o laço que ocam o percuro, aim L L e L L De modo emelhane, o cofaor para o percuro é fazendo-e L 3 =L 4 =0 em, obendoe: L L Porano a função de ranferência do iema é L L L L L L L L L L L L L L P L L P P P T R Y Subiuindo-e e em 3: ] [ ] [ H G G H H G G H H G H G H G H G H G H G G H H G G H H G G G G G G H G H G G G G T Exercício: More que a função de ranferência enre Y e R do diagrama abaixo é dada por:

85 H G G G H G G G H G G G G G G R Y T Exercício: Deermine a função de ranferência de malha fechada R Y T para o iema abaixo, endo: k =3; k =; k 3 =5: Exercício: Para o iema em diagrama de bloco abaixo, enconre o diagrama de fluxo equivalene e uilize a regra de Maon para deerminar a F.T. enre Y e R: R Y T Diagrama de Bloco Noa: um rabalho inereane deenvolvido pelo aluno Henrique F. Marchei, elérica, foi um programa em MATLAB que realiza a redução do diagrama de fluxo genericamene. No Apêndice F eá uma cópia do arigo que foi publicada na revia americana IEEE Tranacion on Educaion. O aluno rabalhou numa iniciação cienífica ob a orienação do Profeor Marcelo. No memo apêndice em uma verão em poruguê.

86 7-Eabilidade de Siema Dinâmico 7.-O Conceio de Eabilidade Um requiio fundamenal de um iema de conrole é a ua eabilidade. Uma definição, em rigor, de eabilidade é: um iema é dio eável, e ua repoa a qualquer exciação razoável, não air do conrole. Um exemplo de eabilidade é morado na figura abaixo. leme eleron veno Período raniório Regime permanene profundor h=h o h Siema Siema eável inável h=h o endo h a aliude do avião ao longo do empo. Nee exemplo, o avião poui um iema de conrole auomáico de aliude. Ee iema é dio eável, e apó ocorrer uma perurbação do veno, o avião coninuar em uma aliude conane h. Se ele for inável, ua aliude diminuirá indeerminadamene, podendo colidir com a erra. Um ouro exemplo eá morado abaixo. a Eável b Inável Se movermo lenamene o cone, o cone a volará à poição original e o cone b não vai reornar à poição original. Dea forma, o cone a eá na poição eável e o cone b na poição inável. A realimenação de iema é uma écnica que permie eabilizar iema inávei, e uilizada correamene. O exemplo abaixo ilura a uilização da realimenação para eabilizar um iema inável. 85

87 Exemplo: Conidere o circuio abaixo com A.O.: logo, V Ve RC Se v e for um degrau uniário, enão: V e =. e V RC Para ober v aplicando-e ranformada invera de Laplace : L - {V}= L - RC. RC Logo: aurar. Enão o iema é inável, poi a aída crecerá indeerminadamene. Ma o A.O. irá e Realimenando, eremo: 86

88 O diagrama de bloco é: logo, Uando a regra de redução de diagrama de bloco emo: V RC V e RC RC Aplicando a mema enrada degrau anerior emo: V Ve RC RC RC RC L - {V }=L - RC RC LINHA 4Da TABELA. RC RC e RC e RC Logo: 87

89 Concluão : provavelmene ee iema é eável. Concluão : a realimenação pode eabilizar iema inávei dede que eja feia convenienemene. Exercício: Verifique e o iema abaixo é eável ou inável. Noe que ee iema é emelhane ao anerior, a única diferença é que a realimenação não foi feia pela aída do úlimo A.O. e im na aída do inegrador. Ob.: Como ainda não foi eabelecido um criério maemáico para eabilidade de iema, no exemplo aneriore aplicou-e um degrau e e a aída for crecene indeerminadamene empre, o iema é dio inável. Preciamo de um criério iemáico para deerminar a eabilidade ou inabilidade de iema lineare. Definição: Um iema qualquer é eável e e omene e para qualquer enrada limiada a aída correpondene é limiada. Exemplo: Conidere o iema ipo inegrador vio aneriormene abaixo: 88

90 Para ear ua eabilidade, coloquemo uma enrada degrau, que é limiada, e verificaremo e a aída é limiada. i Como para uma enrada limiada, a aída foi ilimiada enão ea iema é inável. Obervaçõe: Ee criério é chamado BIBO Bounded Inpu, Bounded Oupu e é válido para qualquer iema linear ou não. Para verificar e o iema é eável, devemo aplicar oda a enrada limiada e verificar e oda a aída correpondene ão limiada. Um exemplo de iema que aparenemene era eável para alguma enrada, e achava-e que era para oda a enrada limiada é a pone morada abaixo. Ela recebe um veno com al inenidade que começou a ocilar e enão e rompeu. Para ea enrada limiada a aída foi ilimiada rompimeno. 89

91 Pone de Tacoma No eado de Wahingon, no dia 7 de Novembro de 940, a pone upena obre o ereio de Tacoma, apena 4 mee depoi de er ido abera ao ráfego, foi deruída durane um vendaval. A pone apreenava um comprimeno oal de 530 m, com um vão cenral de 850 m. O criério de BIBO eabilidade exige a análie da aída para odo ipo de enrada limiada. Para eviar ee rabalho, pode-e uilizar o eorema dado a eguir. Teorema: Um SLIT é eável e e omene e o módulo da ua repoa ao impulo for inegrável em um inervalo infinio, ou eja: 0 g d A eguir erá demonrada apena a uficiência dee eorema. Prova: e o iema em enrada u, aída y, e repoa impuliva g, enão y g u d upondo que y=0 e u=0 para <0. Se u é limiada, enão exie uma conane M al que u M <+, logo a aída erá limiada por g u d g M d M y g u d g d enão, a aída erá limiada e g d for limiada. 90

92 Exemplo: uilizando o eorema anerior, prove que o inegrador é um iema inável. Sol.: Temo Y U Como U é um impulo: U=, em-e Pelo eorema emo: o inegrador é inável. y d d d Ee procedimeno para deerminar e um iema é eável ou inável ainda é rabalhoo. O corolário morado a eguir implifica em muio a coia. Ane, vamo repreenar, o polo e o zero de uma função de ranferência, no plano-. 4 Exemplo: G 3 j 3 j Corolário: Um SLIT é eável e e omene e odo o polo da função de ranferência do iema iverem pare real negaiva. 9

93 Iluração: para ilurar o corolário, conideremo o exemplo da página 87 à 89, endo que a função de ranferência do iema em realimenação inável é com realimenaçãoeável é G = ranferência é G 3 = colocado no plano-: RC RC G RC e do iema. No exercício da página 88, a função de e é inável. O polo dea funçõe de ranferência eão Ob.: a repoa ao impulo de G e G 3 ão: g L - G L - LINHA 6 RC DA TABELA e RC RC que é limiada: 0 g d M. LINHA 6 g 3 =L - {G 3 }=L - e RCS DA TABELA RC RC 9

94 que ende a - quando ende a +, porano ilimiada. Noe que g = RC e RC endo RC o polo de G, e g 3 =- e RC RC endo RC o polo de G 3. Enão, para um iema que enha polo reai, o coeficiene da exponencial eá direamene ligado ao valor do polo, e polo<0 exponencialmene limiada, iema eável ainda, e polo>0 exponencial ilimiada iema inável. Exemplo: Deermine e o iema abaixo é eável ou inável. G,6 Sol.: O polo ão obido aravé de: +,6+=0 logo: =,6-4=-,44 a Iluração: Vamo verificar a repoa impuliva de G: L - 0,8 {G}= e en 0,8 0,8 linha da abela com n = e ξ=0,8 enão, g= logo: 0, 8 e 0,6 en0,6 93

95 g e -0,8 Senóide en0,6 aenuado ao e -0,8 longo do empo por 0 Como g0 quando +, emo que a inegral de g é limiada, ou eja, y d iema eável. Dee gráfico, percebe-e que a pare real do polo -0,8 proporciona o coneúdo exponencial e -0,8 da repoa e porano é a pare real do polo é quem faz a repoa g decrecer. Exemplo: x Ob.: Ee eudo abordou apena polo reai e complexo conjugado, em muliplicidade de polo. Por moivo de implicidade, o cao de polo múliplo foram omiido nee exo. 94

96 O problema dee eudo é deerminar a raíze de polinômio de ordem maior que. Um criério imple e práico para eudo de eabilidade de Rouh Rouh-Hurwiz. 7.-O criério de Eabilidade de Rouh-Hurwiz A. Hurwiz e E.J. Rouh publicaram independenemene um méodo de inveigar a eabilidade de um iema linear vide Ogaa. O criério de eabilidade de Rouh-Hurwiiz verifica e odo o polo de uma função de ranferência perence ao emiplano equerdo do plano-. Suponha que a função de ranferência é da forma: bo G a o m n b a m n... b... a ºpao: idenifique apena o denominador de G: m n n n D ao a... an a n b a ºpao: verifique e qualquer dea conane a i é igual a zero ou, negaiva na preença de pela meno uma conane poiiva. Se io ocorrer, conclua que o iema é inável e não é neceário execuar o próximo pao. Do conrário, nada pode-e concluir, vá para o 3º pao. 3ºpao: conrua a eguine abela: m n, a o 0 O elemeno a o, a,...,a n ão o coeficiene do denominador D da equação. 95

97 O elemeno b, b, b 3,..., c, c,... e odo o demai ão calculado com a eguine expreõe: 4ºpao: aplique o eguine criério de eabilidade de Rouh-Hurwiz: O número de raíze de D polo de G com pare real maior que zero poiivo é igual ao número de mudança de inal do coeficiene da primeira coluna da abela conruída no 3ºpao. Ob.: e pelo meno um elemeno da ª. coluna for nulo ou e uma linha oda for nula, devee obervar o cao epecial que moraremo mai adiane. Exemplo: Seja G= eude ua eabilidade. Sol.: º pao: D= ºpao: odo coeficiene de D ão poiivo porano nada pode-e concluir. 96

98 3ºpao: Nee cao, o elemeno da ºcoluna ão: Exemplo: Deermine e o iema é eável ou inável: G Sol.: º pao: D= ºpao: exie um coeficiene negaivo na preença de ouro poiivo, logo o iema é inável e não precia ir ao pao eguine Exercício: O piloo auomáico de um avião em a eguine F.T.M.F.: r ,5 303,6 667,4 94 verifique e o iema é eável ou inável. O cálculo do polo de um iema raíze de um polinômio ão fácei para o uuário do MATLAB ou da calculadora cienífica auai. Por exemplo, o polo do exemplo acima 97

99 ão calculado pelo MATLAB com o comando: >>den=[ 3-5]; >>rooden Aparenemene o méodo de Rouh-Hurwiz eria deneceário, porém ele é exremamene úil para projear conroladore, o exemplo a eguir ilura ee fao. Exemplo: Deermine o inervalo de k, ganho do conrolador, para o qual o iema realimenado eja eável. ol.: A F.T.M.F. é dada por: k 6 H k 6 k 6 k Noe que não é poível ober o polo de H uando a calculadora. Uemo o méodo de Rouh-Hurwiz: ºpao: D= k-6+k ºpao: Para que odo o coeficiene ejam poiivo: k-6>0 k>6 e k>0 k>6 aifaz I 3ºpao: 98

100 e Para que elemeno da ª. coluna ejam odo poiivo, é neceário que: 5 k 6 k k 30 k 0 4k 30 0 k k 7,5 4 k>0 III II Logo, para k>7,5 o iema erá eável. Como já foi dio, e iver um zero 0 na primeira coluna de abela ou e uma linha for nula, enão deve-e uar o cao epecial abaixo. CASO ESPECIAL Se o primeiro elemeno de uma linha é zero, e pelo meno um elemeno na mema linha é diferene de zero, enão ubiuiu-e o primeiro elemeno de linha, que é zero, por um pequeno número, que poderá er negaivo ou poiivo, e coninua-e o cálculo da próxima linha da abela. O exemplo abaixo ilura ee cao. Exemplo: Eude a eabilidade de 5 G ºpao: D= ºpao: odo o coeficiene ão poiivo, nada pode-e concluir. 99

101 3ºpao: conrução da abela: nee cao aparece um 0 na coluna e ouro elemeno dea linha ão diferene de 0. More que não é poível calcular o elemeno da linha poi eria neceário dividir por 0. Subiua o 0 por e coninue: para pequeno, 0, em-e a eguine abela: e 0 emo 6 00

102 Se 0 pela equerda, ou eja, <0, emo roca de inai na primeira coluna. Se 0 pela direia, ou eja, >0, emo ambém roca de inai na primeira coluna. Aim, o iema é inável. Exercício: Eude a eabilidade de: 7 G Exercício: Enconre a faixa de k al que o iema abaixo eja eável: Eabilidade de iema com projeo de conrolador dependene de doi parâmero Um conrolador indurial muio uilizado é o conrolador P.I. proporcional e inegral. Nee cao a eabilidade fica dependene de doi parâmero. Um exemplo de projeo ilura o uo do criério de eabilidade de Rouh-Hurwiz para ee cao, e eá morado a eguir. Exemplo: Para o iema conrolado por um conrolador P.I. dado abaixo, enconre a faixa de k p e k i do conrolador al que o iema abaixo eja eável: 0

103 Sol.: A F.T.M.F. é kp ki Y R kp ki kp ki k P k I Y R 3 kp ki 3 k P k I ºpao: D= k p +k i ºpao: para eabilidade é neceário que: K i >0 e +k p >0 k p >- I 3ºpao: 3 3 p i k k 3 k i k k i p coluna: 3 k k 0 ki k p 3 e ki 0 p i II III De I, II e III em-e a região: k p Região que aifaz I, II e III 0 6 k i k p ki 3 - Exercício: Enconre a faixa de k p e k i do conrolador abaixo al que o iema eja eável. 0

104 7.3-Eabilidade Relaiva A eabilidade eudada aé agora nee curo é conhecida como eabilidade abolua poi em-e como referência o lado equerdo do plano-. Um ouro conceio é o conceio de eabilidade relaiva. Pode-e deerminar a margem de egurança que um iema apreena no ocane à ua eabilidade. Por exemplo, no plano- abaixo, pode-e dizer que o polo z e z em menor margem de eabilidade que o polo z e z 3 : Pode-e uar o criério de Rouh para eudar a margem de eabilidade relaiva de um iema, nee cao é neceário uar uma ranlação de eixo imaginário. O eixo acima ão relacionado aravé da eguine equação de ranlação de eixo: ou ainda ' ' Exemplo: Verifique e o iema abaixo em odo o polo à equerda de =-: G

105 Sol.: Nee cao, deve-e realizar a ranlação de eixo abaixo: = - em G: logo, = - em G: A ranlação do eixo imaginário é feia ubiuindo enão, logo, G ' ' 3 9 ' 6 ' 4 G ' ' ' ' 9 ' ' 6' 6 4 G ' 3 ' 6' ' 6 3 ' ' ' ' 6 ee iema é eável, ua eabilidade relaiva engloba o eixo =-. Porano ua margem de eabilidade é >. Ob.: Para deerminar a margem de eabilidade oal de um iema é neceário ir ranladando o eixo imaginário aé o urgimeno de um zero na º coluna da abela de Rouh-Hurwiz, indicando que exie polo obre o eixo imaginário. Ee rabalho pode er eviado, uilizando-e a calculadora cienífica para ober odo o polo do iema ou o MATLAB, a margem de eabilidade erá igual ao módulo da pare real do polo mai próximo ao eixo imaginário, upondo-e que odo o polo ão de iema eável. Exercício: Ue o MATLAB ou a calculadora para deerminar a margem de eabilidade do 04

106 iema : G Exercício: Verifique, uando o criério de Rouh-Hurwiz e o iema abaixo em odo eu polo à equerda de =-. 0, G Exercício: Projee k al que o iema abaixo enha margem de eabilidade maior que Exemplo Compleo de Projeo Exemplo: Dado o leviador magnéico abaixo i V cc x R V x R O diagrama de bloco é: O polo de G ão: -0 P, = 0, logo 05

107 porano o iema é inável. i Verifique e é poível eabilizar o leviador uando realimenação com um do conroladore abaixo: ac=k proporcional b k C o iema realimenado em a forma abaixo: ii Projee o circuio com A.O. que implemene o conrolador C obido no iem i. Sol.: ia F.T.M.F. é: k H 0 k 0 k 0 k ºpao: D= -0+k ºpao: Um do coeficiene do polinômio é igual a zero, ou eja, 0., porano o iema é inável poi k não modifica o valor dee coeficiene. não é poível eabilizar o leviador com um conrolador do ipo C=k. k b Sendo C em-e a F.T.M.F.: 06

108 k 0 H k 0 H 3 ºpao: D= 3 + +k-0+k-0 ºpao: é neceário que k-0>0 k>5 e k-0>0k>0 K 0 I 3ºpao: k k 0 k k k k k 0 k 0 é neceário que k 0 k 0 k 0 0 K 0 0 k 0 e II III De I, II e III, ee conrolador eabiliza o leviador com k>0. Pode-e ecolher k=0, logo ii Para implemenar o conrolador façamo: 0 C 07

109 0 C logo, 0 C 0, que equivale a : O diagrama compleo fica V x O circuio do conrolador é implemenado uilizando A.O: 08

110 ecolhe-e: RC= Finalmene: 0 e a 0 ou LM675 O inai x d, v x e i erão conecado com o leviador morado na figura da página aneriore. Como a correne de aída do A.O é pequena, o inal i de aída do conrolador deverá er um amplificador de correne ane de er conecado na bobina. Oura alernaiva é uar o A.O. endo amplificador LH00 em A da figura acima. Ele é de 60w, com pico de correne de aída de 5A, V cc = 5v e neceia de diipador de calor. Pode uilizar ambém o A.O. de poência LM 675. Exercício: Conidere o rareador olar morado abaixo: 09

111 θ Luz olar D u Amplificador de poência Moor cc LDR enor Verro Ee iema poui o eguine diagrama de bloco: Noe que ee iema é inável, poi P =0 e P =-. Realimene o iema conforme o diagrama abaixo e deermine a faixa de k para que o iema eja eável. Projee o circuio do conrolador uando A.O. Exercício: No iema abaixo, qual a faixa de k que reula em eabilidade? 0

112 Exemplo: O veículo explorador de Mare, Sojaumer, 997, alimenado com energia olar eá morado na figura, vide Dorf 8ª. edição. O veículo pode er conrolado da Terra enviando-lhe comando r. O diagrama de bloco do iema é vide Dorf: Enconre a faixa de k al que o iema eja eável. Ee diagrama de bloco não inclui a preença de ruído. Exercício: Um projeo de uma eação epacial orbial eá morado na figura abaixo. É críico o problema de maner a eação com uma orienação aproximada na direção do ol e da Terra para gerar energia e comunicaçõe. O diagrama de bloco do iema de conrole é dado abaixo:

113 Deermine a faixa de k al que o iema eja eável. Noa: No Apêndice F enconra-e um arigo de Edvaldo e Marcelo obre eabilidade de um micro moor leviador.

114 8-Repoa Traniória de Siema de a e a ordem 8.-Inrodução A indúria moderna eão exigindo, cada vez mai, iema de conrole auomáico com alo deempenho. Por exemplo, no cao de robô uilizado para oldagem em uma fábrica de auomóvei, o proceo da fabricação exige que o robô olde vário pono em um cero período de empo relaivamene curo, epecificado previamene. Para olucionar ee problema de conrole auomáico foram adoado algun índice de deempenho, que permiem a epecificação do comporameno deejado do iema conrolado, para a elaboração de um projeo. Nee capíulo, apreenaremo algun índice de repoa raniória de iema dinâmico em função de parâmero de ua função de ranferência. O índice de deempenho do iema de conrole ão eudado em função da repoa raniória do iema devido a uma enrada degrau. Exemplo de enrada degrau: 8.-Repoa Traniória de Siema de a ordem devido a enrada degrau 8..-Exemplo Um exemplo de iema de a ordem é um anque d agua conrolado por uma boia: 3

115 A axa de variação de alura é proporcional a A-h d d h k A h Nee cao, A é a enrada e h e aída, a função de ranferência erá: H ka kh logo:,c.i. nula em água H k A k Que é um iema de a ordem, poi o polinômio do denominador é de primeira ordem em apena polo. emo: de Laplace: Como a bae da boia é conane, A é conane, logo, A A k H k Aim, a repoa do iema a ea enrada é obida uando-e a ranformada invera A Logo, h H L - L - h A e k A k k 4

116 Segundo o gráfico, e deejar que o reervaório e encha mai rapidamene, devemo aumenar o valor k. Noe que o polo dee iema é: +k=0 =-k, logo para variar a velocidade de enchimeno varia-e o valor do polo de iema. 8..-Cao Genérico O iema de a ordem pode er repreenado pelo iema genérico abaixo: Suponha que ee iema eja eável, ou eja, a>0 poi polo=-a<0. Suponha que u=a, 0 ou eja uma enrada degrau: logo, U A Temo, ak Y G U Y a A abe-e que veja abela pg 30, linha 4: logo: y=l - {Y}=k.A-e -a 5

117 Em ermo práico, conidera-e O empo = a 4 a, o iema já eá em regime permanene. é chamado de conane de empo do iema, imbolizado por : = Logo, para =4 é chamado de empo de eabelecimeno. Noe que o polo de G é P =-a, ou eja, P =, e ainda e é pequeno, o iema enra em regime mai rapidamene que ouro com maior, o diagrama ilura ee fao: a. Im Mai rápido Mai leno P P Re O exemplo abaixo ilura uma meodologia de e medir uma função de ranferência G a parir de ua repoa raniória a uma enrada degrau. Exemplo: Um moor de correne conínua C.C poui a eguine função de ranferência, endo como aída de ineree a velocidade de roação do eixo W: W k. a G V a 6

118 endo V a enão de alimenação do moor C.C. Deeja-e medir experimenalmene a ua função de ranferência a e k. Para io, aplica-e uma enrada degrau de ampliude A=vol, a aída foi regirada pelo ocilocópio digial: Comparando-e ea curva experimenal com a eórica dada na página anerior, em-e ma, A= logo, k=500rpm/v k A 000 ainda, a Finalmene: a 0,5 [ 5000,5 50 G 0,5 0,5 ] Função de ranferência do Moor c.c. 8.3-Repoa Traniória de iema de a ordem devido a uma enrada degrau 8.3.-Exemplo Um exemplo de iema de a ordem iema com polo é o iema de upenão do auomóvel modelo ¼: Noe que ee iema é de a ordem poi G poui polo. Na imulação realizada com o MATLAB, a repoa a enrada degrau foi: 7

119 y [m] Tempo Percebe-e que ea repoa é diferene da repoa do iema de a ordem. Simulou-e novamene, com valor menor do coeficiene f amorecedor, o reulado foi: y [m] Tempo noe que o iema ocilou mai. Para f maior que odo aneriore, o reulado da imulação foi: 8

120 y [m] Tempo Porano, aumenando-e f, o iema ficou mai amorecido. Na práica, epecifica-e como deve er grande a ocilação ou o amorecimeno e enão o projeo do conrolador deverá aender a ea epecificaçõe Cao genérico O iema de a ordem genérico pode er repreenado por: endo: n = frequência naural não-amorecida, n >0 = coeficiene de amorecimeno, >0 O cao de ineree é o cao de ubamorecimeno, endo 0< <. O polo de G ão enconrado fazendo: logo ou ainda, P + n + n =0 =b -4ac=4 n - n 4 n n n, 9

121 P, n n como 0< < <, logo, - >0,porano P, n n j finalmene P j, n n No plano-: egundo o diagrama emo: r Siema Subamorecido n n r n n co r n n arcco Noa: i Para o cao ξ= iema criicamene amorecido o polo ão: P, = n, no plano- : Siema Criicamene Amorecido ii Para o cao > o iema uperamorecido,o polo ão: P, que não em componene imaginário:, n n 0

122 Siema uperamorecido que correponde a doi polo de doi iema de primeira ordem. Nee cao a repoa raniória erá a compoição da repoa de cada iema de primeira ordem calculada eparadamene. iii e ξ=0 iema não amorecido: P, = j n Lembre-e: n é a frequência naural não amorecida. A deduçõe morada a eguir referem-e apena ao cao 0< < iema ubamorecido. A repoa de a uma enrada degrau uniário, U, é: Y G U egundo Ogaa ver abela da pg. 30, emo endo 0< <. Por implicidade, definimo: k n n n n n en n n y k e co n logo, que em a forma: y k e d e n co en d d n d

123 K 0,9K y MS % de K ou % de K ou 5% de K 0,K p e A repoa y acima indica que podemo definir o eguine índice de deempenho: empo de ubida p empo de pico ou inane de pico e empo de eabelecimeno ou de eabilização ou de acomodação ou de aenameno. MSmáximo obre inal ou overhoo O cálculo dee índice ão morado abaixo: a Tempo de pico ou inane de pico p Para deerminar o inane de pico devemo deerminar o inane em que y é máximo, para io achamo d d y 0 : ou ainda: porano d d y k e co d d d d d d e co en e en co 0 e en e en e co 0 d d d d d d e en d en 0 d d d como e 0 para < +, emo: en d en d d d =0

124 ou ainda, porano emo, d en d en d =0 d =0 ou ou ou 3... e =0 pono de mínimo não erve e = d 0 d é o primeiro inane de derivada nula, logo ee é o inane de pico. ma, d = n logo p n b Porcenagem de Overhoo P.O. A porcenagem de overhoo é definida como a porcenagem do máximo obreinal MS em relação ao valor de regime de y: MS P. O.% 00% k lembre-e: y MS K como MS= y P k, eremo: - 0 MS= k k e d co d d d en d d 3

125 MS ke d d ke d logo, P. O.% 00% e 00% k ma, d = n e n enão, P. O.% e n n 00% P. O. e 00, para 0< < Noe que P.O. ó depende de e que quano menor maior o valor de P.O. A figura abaixo mora o gráfico de P.O. x e ambém a repoa ao degrau de G para divero valore de. C R n n n MS: obre-inal máximo Noe que P.O. diminui com o aumeno de, ou eja, quano maior o coeficiene de amorecimeno,, menor é a ocilação da repoa. c Tempo de eabelecimeno e A função y k e co en d d pode er inerpreada como um inal d ocilaório com a ampliude que decrece ao longo do empo: 4

126 y K e % % K e e Prova: vimo em a empo de pico, que o pono de derivada nula : d d y 0 Noe que logo, ocorrem para i ki d, k i =0,,, 3,... e aim, y k e codi end i d e ki é par co di end i d e ki é impar que ão a envolória exponenciai. logo, Para deerminar e, baa fazer: cao uilize a envolória inferior: e e e k y k e ou y k e e k 0,0 0,0 ln 0,0 e ln 0,0 5

127 ou k e e e Porém, e e e 0,0 ln 0,0 ln 0,0 k 0,0 n Logo, e = ln 0,0 4,6 Se deejar %, em-e Se deejar 5%, em-e n n e = e = ln 0,0 3,9 n ln 0,05 3 n n n Noe que aumenando o amorecimeno, o empo de eabelecimeno diminui e. d Tempo de ubida O empo de ubida é dado por:,8 que é uma aproximação coniderando = 0,5, vide Ogaa. Exercício: Se G, Exercício: Repia o exercício anerior para: a G, qual é o valor de: P.O.%, e, p e? n b G Repoa Traniória x Localização do Polo no Plano Como já foi vio, o iema de a ranferência G 8 0,8 4 ordem genérico em a eguine função de kn n n 6

128 com o polo: P, n jn, 0< < que ão o polo de G para o cao ubamorecido. No plano o polo ão repreenado por: co ou arcco n n Im n n Re Como a localização do polo no plano depende de e n, e a epecificaçõe P.O.,, e dependem ambém de e n, podemo relacionar ea epecificaçõe com a localização do polo. a Tempo de ubida:,8 n Por exemplo, =,8 egundo n = e, logo: Para =,8 o polo deverão ear obre o emicírculo. Im - n Re Se,8 n, enão para,8 o polo deverão ear denro dea região: 7

129 região para n,8 - n Im Re - b P.O.=00 e Por exemplo, P.O.=6% =0,5 e n, logo: arcco =arcco0,5=60º que no plano- é repreenado por emirrea. Para P.O.=6%, o polo deverão ear obre a emirrea Im arcco ce Re Se P.O. 6% 0,5,nee cao: arcco 60ºpoi co crece e decrece. Para P.O. 6%, o polo deverão ear denro dea região. Im região para 0,5 PO 6% Re 8

130 c Tempo de eabelecimeno: e = 4,6 n % Por exemplo, e =,6 n =,8, endo n e ambém. Para e =,6 o polo deverão ear obre a rea verical: Im e,6,8 n -,8 Re Se e,6 n,8 Para e,6 o polo deverão ear obre a região Im região para,8 n e,6 -,8 Re Exemplo: Deenhe a região do plano na qual o polo do iema de º ordem deverão ear para aender à eguine epecificaçõe: 0,9, P.O. 6% e e 3. Sol.: eremo: 0,9 n P.O. 6% 0,5 e 3 n,5 A região aifaz odo ee requiio eá morada ao lado. Como o polo P e P eão denro da região enão G aende à epecificaçõe. 3 Im P PO=6% ,5 - Re P - e 0,9 9

131 Ob.: No próximo capíulo eudaremo uma maneira de modificar a poição P e P do polo uilizando a realimenação. Io erá vio no lugar da raíze roo locu que é uma écnica de projeo. Exercício: Deenhe a região do plano na qual o polo do iema de egunda ordem deverão ear para aender a eguine epecificaçõe: a,, P.O. 0% e e 4. b,, P.O. 0% e e 6. c 4, P.O. 5% e e 4. d 0,9, 0% P.O. 0% e e 4. Como um reumo geral, o plano odo pode er equemaizado na eguine forma: y y y y y y y y y y Ob.: Ea ão repoa à enrada impulo. Exemplo: Um braço mecânico deve air de x=0 em =0, ear na proximidade de x=50cm em =, parar criério % em x=50cm em =3 e não ebarrar no parafuo. O iema conrolado deverá er a eguine eruura: 30

132 Solução: a repoa raniória do iema deverá er o formao acima. Nee cao, a epecificaçõe de projeo deverão er: P.O.< % 0,6 50,8 n 0,9 rad / n e 3 4,6 n 3 %,5 n Exercício: Deenhe no plano- a região que aifaz a oda a reriçõe de deempenho dado no exemplo acima Repoa ao Degrau de Siema de Ordem Superior O polo de uma G ou ão reai ou pare complexo conjugado, enão, uma função de ranferência com número de polo maior que é: Y G U q j P j k m i r k k i k k 3

133 e o polo forem diino e a enrada ipo degrau uniário, a repoa erá: Y=G. expandida em funçõe parciai: que a Y q k j a j P j r k b C k k k k k k k k k a ordem a ordem Percebe-e que a repoa Y é compoa de repoa de a ordem e a ordem. A curva de repoa de um iema eável de ordem uperior é a oma de cero número de curva exponenciai a ordem e curva enoidai amorecida a ordem. Aim, pequena ocilaçõe ão uperpoa em ocilaçõe maiore ou obre a curva exponenciai: y y y y y Percebe-e que à veze a repoa exponencial prevalece obre a ocilaória ou vicevera. Io indica que a repoa de algun polo podem er mai ignificaiva que ouro, a ee fao damo o nome de dominância de polo. A dominância de polo é deerminada pela relação da pare reai do polo e do valore do reíduo que dependem do zero e polo. Se a relaçõe da pare reai excedem cinco, e não há zero na vizinhança, enão o polo de malha fechada mai pero do eixo j dominarão no deempenho da repoa raniória porque ee polo correpondem a ermo de repoa raniória que decaem lenamene. 3

134 pólo dominane Im pólo dominane Im Re y Re b b 5a e em um zero próximo do pólo -6, logo o pólo complexo ão dominane a b b>5a => pólo dominane ão o complexo conjugado a pólo dominane -6 -, - O zero eão muio próximo do pólo complexo, enão o pólo -6 é dominane Im, - -, Re y -,5 - não exie dominância y Im 0,5-0,5 - Re Exemplo: emo: logo: 5 G 5, enrada degrau: 5 5 y G y e 4 referene ao polo - e 4 5, 0 referene ao polo -5 graficamene: 33

135 Noe que o polo ão: Ob.: Como o projeo do conroladore empre erão a epecificaçõe P.O.,, e, reirada da repoa de a ordem, deverá empre er obervado a exiência de dominância de polo. 8.4-Repoa Traniória Uando o MATLAB O programa abaixo mora como a repoa ao degrau uando o MATLAB vide Ogaa: Seja Y G U O programa abaixo aplica uma enrada degrau uniário no iema: % Repoa ao degrau uniário %*****Digie o numerador e o denominador da função de ranferência******** num=[0 0 5]; den[ 4 5]; %****Digie o eguine comando de repoa ao degrau****** epnum,den %*****Digie o comando para inerir a grade e o íulo do gráfico******* grid ile Repoa ao Degrau de G=5/^+4+5 Na ela gráfica eremo: 34

136 Para uma enrada ipo rampa ua-e o comando lim. Por exemplo, para ober a repoa do iema para uma enrada rampa, cuja função de ranferência do iema e: Y G U uiliza-e o eguine programa vide Ogaa: % Repoa à Rampa num=[0 0 ]; den=[ ]; =0:0.:8; r=; y=limnum,den,r,; plo r, -,,y, o grid ile Repoa à Rampa Uniária Obida com o Uo do Comando Iim xlabel ylabel Enrada e Saída do Siema ex.,4.65, Enrada em Rampa Uniária ex4.5,.0, Saída 35

137 8.5- Índice de Deempenho ITAE, ISE, IAE Além do índice de epecificaçõe P.O., e, e p, em-e ouro índice baeado na inegral da variável em queão. U índice de deempenho é uma medida quaniaiva do deempenho de um iema e ecolhido de modo que a ênfae eja dada à epecificaçõe Dorf 8ª. ed. Um índice de deempenho adequado é a inegral do quadrado de erro, ISE Inegral of he Square of he Error: endo: ISE T 0 e d Segundo Dorf, ee criério dicrimina iema exceivamene uperamorecido de 36

138 iema exceivamene ubamorecido. De um modo genérico, o cálculo dea inegral é ilurado na figura eguine, exraída do livro do Dorf. Vide Dorf, 8ª edição Ouro criério de deempenho é o IAE Inegral of he Abolue magniude of he Error: T IAE e d 0 Para reduzir a conribuição de grande erro iniciai no valor da inegral e aumenar a conribuição para empo maiore, em-e: O peo emporal para o ISE é: ITAE ITSE e d T 0 T 0 e d Em Dorf, 8ª. ed., é morado um exemplo de uo dee índice de deempenho, repeido a eguir. Exemplo: Conidere o iema abaixo: 37

139 cuja função de ranferência de malha fechada é: G Em Dorf, foram calculado odo o índice de deempenho, em função do valor de ξ e eá reproduzido a eguir calculada para uma enrada degrau: Mora que o valor óimo de ξ que minimiza o ITAE é ξ=0,6. Para maiore dealhe, vide Dorf, 8ª. ed. 38

140 9- Erro de Regime regime permanene 9.-Inrodução O objeivo dee capíulo é eudar a relação da precião de iema de conrole com o parâmero do iema. Será analiado o erro enre a enrada do iema e a aída, verificando como diminuí-lo ou orná-lo nulo. A eguir moraremo doi exemplo de enrada muio uilizada em conrole e o erro da aída em relação a ela. Ee erro ão empre omado apó er ocorrido odo o raniório, ou eja, ão erro de regime regime permanene. 9.-Exemplo de Erro de Regime Permanene O braço mecânico abaixo em a função de colocar C.I. obre a placa de circuio impreo e não deve er erro no poicionameno. u x 0 e u x O diagrama de bloco erá: Noe que u é uma enrada ipo degrau. Ee é um exemplo de iema que deve er pequeno erro de regime permanene para uma enrada ipo degrau. 39

141 A anena rareadora de aélie em o objeivo de e poicionar ornando muio pequeno o erro enre eu ângulo e o ângulo do aélie. O aélie realiza um movimeno com velocidade conane, por exemplo: =0,0rad/. Dea forma, o ângulo varia em função do empo: d 0,0 0,0 d logo: 0 d 0,0d 0 0,0 0, De onde percebe-e que é uma rampa. O diagrama de bloco do iema poicionador é: O rareameno pode er ilurado no gráfico abaixo, onde a aída a ena er igual a, ou eja: e= - a =0 quando +. 40

142 Ee é um exemplo de iema que deve er pequeno erro de regime permanene para uma enrada ipo rampa. A eguir moraremo alguma condiçõe neceária de D e G para que ea epecificaçõe de erro de regime permanene ejam aendida. 9.3-Erro de Regime Permanene No doi exemplo aneriore, o iema de conrole é do ipo: Para deerminar o erro de regime permanene para uma deerminada enrada, decreveremo o erro E em função de U uilizando a regra de diagrama de bloco: E U Y ma, logo, ou Y D. G. E E=U - DGE E+DGE=U E[+DG]=U E U D G Para deerminar o erro no regime permanene +,aplica-e o eorema do valor final T.V.F. na expreão acima: e+ = lim E 0 4

143 4 Porém, o polo de E deverão er pare real menor que zero. Oberve que a F.T.M.F. do diagrama é: G D G D U Y que poui o memo polo de U E, porano pode-e aplicar o T.V.F. e for verificado que o iema realimenado é eável e a enrada do ipo degrau. Nee cao: lim lim 0 0 U e U G D E e Vamo analiar e+ para rê ipo de enrada: degrau, rampa e parábola. aenrada degrau Nee cao, A U Subiuindo em, em-e A G D e lim 0 enão, 3 lim lim 0 0 G D A G D A e Sabemo que, genericamene, DG é uma razão enre doi polinômio de variável, ou eja: 4 n j m i i Pj z G D a Se DG não pouir polo na origem, ou eja, P j 0, j=,,..., n, enão: 5 lim 0 P k G D Subiuindo 5 em 3 emo: 6 0 k P A e Porano o erro de regime permanene não erá nulo

144 Inerpreação: u e y A e p A k endo k 0 lim D G p a Se DG pouir um polo na origem, ou eja, P =0, enão D G. m i n j z Pj i, z i e P j 0 7 Ob.: é upoo que ambém não exia nenhum zero na origem do plano. Nee cao, emo: lim D G 0 8 ubiuindo 8 em 3 emo A e 0 9 Inerpreação: u e y porano, o erro de regime erá nulo. e 0 Exercício: More que e DG iver doi ou mai polo na origem, o erro de regime ambém erá nulo. Suponha que não em zero na origem e que a enrada é do ipo degrau. 43

145 b Enrada rampa Nee cao, Subiuindo 0 em, em-e A U 0 e lim D G 0 Para oda a deduçõe morada a eguir, upõe-e que DG não enha zero na origem do plano-, ou eja, z i 0 em 4. b Se DG não pouir polo na origem, ou eja, P j 0, j=,,..., n em 4 enão o denominador de DG não cancelará o que reou no denominador de. Aim não pode-e aplicar o T.V.F. poi A E A A D G D G que poui um polo inável: =0. Para enconrar e+ expande-e E em fraçõe parciai: Nee cao L - A E D G H A A A A, que é uma rampa logo, e+ para +. Inerpreação: u e y u e y Para eudar o cao eguine, vamo implificar : e lim A lim D G 0 D G 0 A 44

146 A e lim D G 0 b Se DG pouir um polo na origem, ou eja: P =0, enão Nee cao emo: D G. m i n j z Pj lim D G k 0 i V, z i e P j 0 3 Subiuindo 3 em : A e 0 k V Inerpreação: o erro de regime permanene não erá nulo e nem infinio. u e y u y v e endo k A k 0 v lim D G b3 Se DG pouir doi polo na origem, ou eja: P =0 e P =0, enão: m zi i D G n, z i e P j 0 Pj j3 Nee cao emo; lim D G 0 5 Subiuindo 5 em : 45

147 A e 0 Inerpreação: o erro de regime permanene erá nulo. u e y 0 e u y Exercício: More que e D.G iver 3 ou mai polo na origem do plano-, o erro de regime ambém erá nulo para uma enrada rampa. c Enrada ipo parábola: Deduzir em caa... Ee reulado podem er reumido na abela abaixo: endo: k p = lim DG, k v = lim DG e k a = lim DG Ob.: Foi upoo que DG não poui zero na origem do plano-. Cao DG enha zero na origem, enão efeuar primeiramene o poível cancelameno com o polo de 46

148 DG na origem e enão depoi aplicar a abela acima. Ob.: Inicialmene, foi upoo que o iema foe eável para que e pudee aplicar o T.V.F., porano ea abela ó é válida e o iema de malha fechada for eável. Ob3.: Foi upoo que o iema realimenado ivee realimenação uniária, enor com ganho uniário. Se io não ocorrer, a abela acima não é válida. Exemplo: O iema de conrole da anena rareadora de aélie é: endo: G, quano polo na origem o conrolador D deverá pouir para que o J B erro de regime permanene enre a e eja nulo para uma enrada ipo rampa? Sol.: Segundo a abela anerior, o erro de regime erá nulo para uma enrada ipo rampa e o número de polo de DG na origem for igual a, no mínimo. Temo: Percebe-e que D deverá er um polo na origem para que o erro de regime eja nulo. Exercício: O iema de conrole do braço mecânico da linha de monagem de circuio impreo é: 47

149 adeermine a faixa de k para que eja eável. b Ee iema em erro de regime permanene nulo para enrada degrau? c Calcule o valor de k para que o erro em regime permanene para enrada rampa eja menor que mm, uponha: Ob.: não há neceidade que o erro eja nulo para enrada rampa. d Uilize o MATLAB para verificar o reulado do ien a, b,c, imulando o iema. Exercício: Para o iema abaixo calcule o erro de regime permanene para enrada degrau uniário e para enrada rampa de inclinação uniária A=. Exercício: Para o iema abaixo, deermine o erro de regime permanene para uma enrada degrau uniário e para rampa uniária A=. Exercício: Projee D al que o iema abaixo enha erro de regime permanene nulo para enrada degrau e eja eável: 48

150 Ee é o conrole de poição do veículo explorador de Mare Pág.. 49

151 0-Senibilidade de Siema de Conrole a Variação de Parâmero 0.-Inrodução Uma vanagem de uar realimenação em iema de conrole é reduzir a enibilidade do iema em relação a variaçõe de parâmero e diúrbio indeejávei. Ea variaçõe podem er reulane da aleração da emperaura, umidade preão, carga, envelhecimeno, ec. Vamo analiar a variação do valor de regime quando ocorrer uma variação no parâmero do iema. Primeiramene analiaremo o valor de regime da aída de um iema em realimenação. Suponha que o iema eja o eguine: endo U uma enrada degrau uniário: U= T.V.F. para enconrar o valor de regime permanene: y lim y lim 0 0 y. Como G é eável, podemo aplicar o Suponha que ocorreu uma variação de 0% no valor do polo, devido à variação de uma reiência elérica, por exemplo: Como ainda é eável, emo: A variação percenual de y é: y lim y lim 0 0,, 0,909 50

152 y y 0,909 y % 00% 00% 9,09% y Porano, uma variação de 0% no valor do polo, cauou uma variação de 9,09% em y+. Supondo agora que ee memo iema enha ido realimenado: A F.T.M.F. é: Como o iema é eável, eremo: 0 Y 0 U 0 Se ocorrer uma variação de 0% no polo: 0 0 y lim 0,909 0 A F.T.M.F. é Que é eável, logo 0 Y, U 0, 0, 0 0 y lim 0,, 0,9009 A variação percenual de y+ é: 5

153 y % y y 0,909 0, % 00% 0,9% y 0,909 Porano, no iema realimenado, uma variação de 0% no valor do polo cauou uma variação de 0,9% no valor de regime da aída y+, enquano para ea mema variação do polo cauou uma variação de 9,09% em y+ para o iema em a realimenação. Dea forma, conclui-e que a realimenação diminui a enibilidade de iema de conrole. Ob.: Noe que e ee iema ivee um polo na origem, não eria variação de y+ regime permanene e ocorree variação no valor do polo, no iema realimenado, dado que a enrada é um degrau. Exercício: Conidere o iema abaixo: Suponha uma enrada degrau, deermine a variação percenual de y+ e o polo variar de - para -,5 5% e o zero de -0 para -5 50%. 0.-Generalização Conidere o iema de conrole abaixo: nee cao, a F.T.M.F. é: Y G T R G H Definição: A enibilidade do iema é definida pela relação enre a variação percenual na função de ranferência do iema T pela relação percenual da função de ranferência 5

154 do proceo cenral da função de ranferência do proceo G, ou eja, a enibilidade é definida como: No limie para pequena variaçõe, a equação acima orna-e: vide Dorf., 8ºed.. T G S G T T G ou S G T Noe que a enibilidade do iema é a relação de malha fechada enre a mudança na função de ranferência do proceo ou parâmero para uma pequena mudança incremenal vide Dorf., 8ºed.. Exemplo: Conidere o iema dado na figura anerior. Obenha a expreão genérica de enibilidade da F.T.M.F. T em relação à variação de parâmero no proceo G. ol.: Nee cao eremo: ma, S T G GH G G GH GH S T G T G Noa: Para er pequena enibilidade, faz-e GH grande. G T Exemplo: Repia o exemplo anerior coniderando que a variação de parâmero e deu no enor H e não na plana de proceo G. ol.: Nee cao emo: S T H T H H T ma, T H G G H GH GH logo, S T H G GH H G GH GH GH 53

155 Noa: Quando GH é grande, a enibilidade T S H e aproxima da unidade 00%, enão variaçõe em H enor afeam direamene a repoa da aída. Porano, é imporane uilizar enore de realimenação que não irão variar com mudança ambienai. Um iema que em pequena variação na aída devido a eu parâmero da plana é dio er um iema robuo. Exercício: Dado o iema abaixo, calcule a enibilidade da função de ranferência de malha fechada, devido a variação no parâmero da plana, ou eja, calcule T S G. valor de T S G? Reponda, k deve er grande ou pequeno para e er robuez, ou eja, baixo 54

156 -Sinai de Perurbação ou ruído em Siema de Conrole Um inal de perurbação é um inal de enrada indeejável que afea a aída do iema Dorf. 8ºEd.. Muio iema de conrole ão ubmeido a inai de perurbação exerno que fazem com que o iema forneça uma aída inexaa. Por exemplo, o A.O. pouem ruído inerene gerado no inerior do circuio inegrado ou do raniore; a anena de radar ão ubmeida à rajada de veno ec. O iema de conrole com realimenação podem reduzir o efeio de perurbação ou ruído indeejávei. Exemplo: Conidere a anena rareadora de aélie abaixo: veno T v T m T a Nee cao, em-e preene na anena o orque do moor T m que aciona o giro da anena, o orque de ario T a do eixo da anena e o orque devido à ação do veno T v na pare uperior da anena. Seja J o momeno de inércia da anena em orno ao eixo e B o coeficiene de ario emo: Nee cao: orque J T T T J m a v ma, B, logo T a T B T J m Aplicando-e a Tranformada de Laplace, upondo C.I. nula, em-e: T B T J m v v 55

157 ainda, T T J m v B ou [ Tm Tv ] J B O diagrama de bloco que repreena ee iema é: Nee cao, o orque do veno é chamado de diúrbio, poi ele arapalha o conrole da poição angular da anena realizada pelo orque do moor T m. O iema de conrole com realimenação é: Noe que agora o iema em dua enrada, que é a referência deejado e T v que é o diúrbio provindo do veno indeejável. A função de ranferência enre a aída e a dua enrada e T v é: T T J B m v ma, ubiuindo em em-e: T m =k - 56

158 ou [J+B]+k=k -T v, enão: k T v J B k Tv k J B k J B Enão, ee iema em dua funçõe de ranferência, uma de para e oura de T v para ou eja: =G +G T v endo G G k J B k J B k No projeo do conrolador k, para que a perurbação T v influencie o mínimo poível na aída, faz k uficienemene grande e ainda, deve garanir a eabilidade do iema. Para que rareie, endo uma enrada rampa, deeja-e que o erro de regime eja o menor poível. Uando-e a abela do capíulo 9 Pg. 47, em-e: e, poi o iema de malha abera em apena um polo na origem, endo A K v k v lim D G lim k 0 0 J B k B logo: A B e k Aim, para que o erro de regime eja pequeno, k em que er uficienemene grande. Logo, k com valor grande é adequado nee iema para rejeiar o diúrbio e er erro de regime pequeno. Vamo analiar robuez enibilidade. A relação enre e pode er obida 57

159 fazendo T v =0, no diagrama de bloco anerior: A enibilidade T S G nee cao é dada pela equação do capíulo 0: endo k G J B e H=,logo S T G S T G k J B GH k J B J B Para T v e a enibilidade S T G é calculada fazendo =0 no diagrama de bloco: Aim, endo S T G GH G J B e H k emo, S T G k J B J B J B k T T Aim, quano maior for k menor erão a enibilidade S e S logo melhor erá a robuez do iema devido à variaçõe paramérica da plana anena G. Enão, grande valor de k diminuirá erro de regime permanene, irá rejeiar a influência do diúrbio e melhorar a robuez do iema realimenado. Baa verificar e o iema é G G 58

160 eável: nee cao analiamo o denominador de G e G que é k D J B k J B ºpao: D=J +B+k ºpao: como J e B ão poiivo enão é neceário que: k>0 3ºpao: J K B 0 0 k k>0 Logo, baa que k eja poiivo para a eabilidade. O projeo do conrolador para rejeição do ruído ou perurbação pode er feio upondo que o diúrbio eja do ipo degrau e enão analia-e o valor de regime permanene de aída, y+. Suponha que o veno eja uma enrada ipo degrau: Enão, G T G v No regime permanene: T v lim 0 T B k, logo k deve er grande. k Exemplo: Foi conruído um únel ob o Canal da Macha, ligando a Inglaerra à França Dorf, ºed.. Dua máquina perfurarize foram uada, aindo amba da exremidade do canal, indo em direção ao cenro, um oal de 3,5 milha. Para ober a precião neceária para o enconro dela no meio do únel foi monado um iema de orienação a laer, um modelo do conrole da máquina é dado a eguir: 59

161 endo D o efeio de carga obre a máquina, que é um diúrbio. Nee cao em-e k Y R k D k Para projear k al que ocorra rejeição do diúrbio D fez-e R=0 em e D uma enrada ipo degrau: Y k Aim, o valor de regime permanene da aída é: y lim Y lim 0 0 k y k enão é neceário que k eja grande para que a aída y+ eja pequeno, rejeiando a perurbação. É neceário ambém que o iema ++k enha raíze do lado equerdo do plano: ºpao: D= ++k ºpao: k>0 3ºpao: k Porano é neceário que k> k k>0 Em Dorf. ºed., eleciona-e k=0 para uma boa rejeição de ruído D Perurbação. Exercício: Conidere o veículo explorador de Mare dado no capíulo 8. O modelo do iema coniderando-e perurbaçõe no eu delocameno, ai como pedra, é 60

162 Projee k al que o iema eja eável e enha uma boa rejeição do diúrbio D. Exercício: O elecópio Hubble em um iema de poicionameno precio, poi pode focalizar uma moeda e uma diância de 400 milha vide Dorf. 8ºed.. O diagrama do iema de conrole é Projee o amplificador k al que ejam aendido odo o ien baixo: a Seja eável; b PO% 0%, endo R um degrau; c Erro de regime permanene, para R uma enrada rampa, menor poível; d O efeio de uma perurbação D do ipo degrau eja reduzida. Exercício: Suponha que o iema de conrole abaixo ofre ação de diúrbio D. Projee k al que o iema enha a menor influência do diúrbio, em relação à aída Y. E ainda enha erro de regime permanene nulo para enrada degrau em R. 6

163 -Méodo do Lugar da Raíze Roo-Locu. - Inrodução O méodo do lugar da Raíze foi criado por R. Evan em 953. Permie eudar a evolução da raíze de uma equação, quando um parâmero é variado coninuamene. Poibiliando a deerminação dee parâmero de al forma que o iema ainja o comporameno dinâmico deejado. Amba a funçõe de ranferência de iema conínuo e dicreo ão funçõe complexa, ou eja, funçõe que pouem variávei complexa: ou z, repecivamene. Dea forma, a regra do méodo do lugar da raíze ão a mema para o doi iema, erá morada aqui uma inrodução dee ópico. O princípio do méodo eá baeado na realimenação morada a eguir: + - Figura Diagrama de Bloco do Siema Realimenado Sendo que deeja-e deerminar a influência do ganho k 0<k<+ obre o polo do iema em malha fechada. A função de ranferência de malha fechada do iema da figura acima é: Y k G U k G H O objeivo do méodo é eabelecer regra imple para raçar o lugar geomérico formado pela raíze de +GH quando k variar de 0 a +, em o conhecimeno explício da raíze de malha fechada. Deeja-e eudar a eguine equação: +kgh=0, para 0<k<+ cuja oluçõe ão o polo de malha fechada do iema da Figura, acima. Exemplo de Siema de Conrole Conidere um acionador de dico rígido morado na figura abaixo, reirado do Dorf 8ª. Ed.. O objeivo do dipoiivo leior do acionador de dico é poicionar o cabeçoe de leiura da rilha de dado armazenado ver Dorf. Deve-e conrolar com precião a poição angular do cabeçoe. Segundo Dorf, o dico gira com uma velocidade enre.800 e 7.00 rpm, e a cabeça voa acima do dico a uma diância menor que 00nm. A epecificação de projeo é que o cabeçoe vá da rilha a para a rilha b em 50m. 6

164 Figura Siema de um acionador de dico rígido. O iema de malha fechada dee iema poicionador do cabeçoe dado em Dorf é dado na figura abaixo: Poição deejada - Conrole Proporcional Ka H enor Moor e cabeçoe G Poição real do cabeçoe Figura 3 Diagrama de bloco do modelo do iema de conrole. Em Dorf, é admiido que o enor poui função de ranferência H= e a função de ranferência do moor e cabeçoe é: km G J b L R endo: J momeno de inércia, b coeficiene de ario vicoo, L induância do moor, R reiência elérica e conane de orque do moor. Em Dorf, conane elérica do moor é deprezada L 0 e ubiuindo o valore de J, B, R e k m, em-e: 5 G 0 k m 63

165 Podemo verificar que a poição do polo de malha fechada do iema realimenado depende do valor de k a. Deejamo eudar o polo de malha fechada quando k a aume o valore k a =0 aé k a +. Vamo deenhar o roo-locu do iema calculando-e a raíze do denominador da função de ranferência de malha fechada FT.M.F., para cada valor de k a. emo ka 5 Y 0 U 5 ka 0 5 ka 0 5k a O polo de malha fechada ão dado por:, k a k a Mona-e a abela: k a ,75-0,5 5-8,66 -,34 0-7,07 -, j7,07-0-j7, j4,4-0-j4,4-0+j -0-j Podemo enão raçar o roo-locu: 64

166 60 60 O lugar geomérico acima é o lugar geomérico da raíze da F.T.M.F., chamado de roolocu. Com ee eudo pode-e deerminar o lugar geomérico que ocupam o polo de malha fechada do iema realimenado, quando k variar de 0 a +. Evan propô um méodo genérico para levanar ee lugare geomérico, baeado em alguma regra imple para monagem do roo-locu. A regra do Roo-Locu Regra O ramo do roo-locu começam no polo de GH, no quai k=0. O ramo erminam no zero de GH, incluive zero no infinio. O número de zero no infinio é igual a: N z =N p -N z 5. onde N p nº de polo de GH N z nº de zero de GH Exemplo: Suponha que no iema da Figura, G e H ão: 5 G e H 5. 4 A raíze de +kgh erão deerminada por: 5 k ou ainda: 65

167 i e k=0, a equação acima ficará: +4+k++5= =0 logo: = =0 e 3 =-4 Noe que ee ão o polo de GH. ii Se k +, para analiar ee inervalo, vamo reecrever a equação 5.4: 4 k Se k +, o lado direio da equação 5.5 e iguala a + e e omene e - pela equerda -5 pela equerda ou - infinio. endo que =- e =-5 ão o zero de GH e - é um zero Nee cao, N p =3 e N z = logo N z =3-= no Regra A regiõe do eixo real à equerda de um número ímpar de polo mai zero de kgh perencem ao roo-locu. Exemplo: para o valore do exemplo anerior eremo O zero ão: z =- e z =-5 O polo ão: P =P =0 e P 3 =-4 k 5 kg H 4 No plano imaginário o polo ão repreenado por X e o zero por O. A aplicação da regra nee cao erá: 66

168 Ea regra é facilmene obida verificando-e a condição de ângulo da equação +kgh=0, que pode er reecria na forma: kg H, k 0 Para que ea equação eja verdadeira, o ângulo deverá er: o Noa: A condição de módulo da equação caraceríica do roo locu é kg H kg H Noa: Na figura acima, GH é avaliada em um pono = o aravé do uo de veore que unem cada polo e cada zero ao pono o em H G. Vamo ilurar com um exemplo numérico: Seja 3 H G 8 e queremo avaliar HG o : o Nee cao: ma o +3 e o +8 ão o veore x e y, repecivamene, morado abaixo: 67

169 8 Logo,. Se ranladarmo x horizonalmene de -3 e y de -8 eremo: O que não muda o ângulo α e β e reula no veore que ligam o zero e polo de GH ao pono o. Noe que o módulo de x e y não mudam com a ranlação ou eja:. Regra 3 Quando k e aproxima de +, o ramo do roo-locu que endem a infinio e ainoam rea com inclinação i o 80, i 0,,,..., N p N n n p z endo n p número de polo de GH n z número de zero de GH k Verificação: Conidere kg H, emo: n p =3 e n z =0. no plano complexo 4 eremo: z x, e y, x x, e y y, 68

170 Fazendo o pono P crecer infiniamene, e para verificar e perence ao roo-locu, vamo reecrever a figura acima: O pono P perencerá ao roo-locu, e Sendo que p, 3, logo: o i 80 i 80 Logo, 3 3 Porém, n p -n z =3 enão: o i 80 n n p z o, i 0,,... Reornando ao exemplo, o ângulo da aínoa erão: i i 60 o, i 0,,... 69

171 Para o o o i 0 60 ; i 80 e i 300 o o o i 60 ; i 80 e i Porém, da relaçõe rigonomérica emo a eguine equivalência: o o o o o 80 80, , 60 Logo: 300 o o 60, 60 3 o e 80 o. Regra 4 O pono de parida da aínoa é o cenro de gravidade C.G. da configuração de polo e zero de GH, ou eja: Logo, Enão: CG pólo n p n z zero Exemplo: Para o iema do exemplo anerior, onde - n p =3 e n z =0; - o polo ão: p =0, p =- e p 3 =-4; - o zero ão: nenhum CG G H 4, eremo : Regra 5 O pono no quai o ramo do roo-locu deixam ou enram o eixo real ão deerminado uilizando-e a eguine relação G H 0 d d No exemplo decrio aneriormene, eremo: 70

172 G H 4 Enão, Logo, d d 3 G H G H d d A oluçõe ão: =-0,4648 e =-,8685 deprezado poi não perence ao roo-locu O roo-locu erá: - Regra 6 Dua raíze deixam ou enram no eixo real com ângulo o 90 Regra 7 O roo-locu é imérico em relação ao eixo real. Io decorre do fao de que a raíze de um polinômio de coeficiene reai ou ão reai ou pare complexo conjugado. Regra 8 para e deerminar o ganho k aociado a um pono p do roo-locu, deve-e uilizar a condição de módulo da equação: kg H 0 Que pode er colocada numa forma mai direa reecrevendo-e a equação acima:. 7

173 Pela condição de módulo emo: kg H k G H como 0<k<+ emo: k G H Para =p eremo: k G H k p G H p Exemplo: Suponha que no iema da fig., a funçõe de ranferência ão: G e H. Calcule o máximo valor de k de al forma que o polo de malha fechada do iema fiquem denro do círculo. Trace o roo-locu do iema para ajudar. Nee cao, eremo: k kg H Temo: polo: p =0 e p = zero: nenhum n p = N z =-0= n z =0 - Ângulo da aínoa:. i n p n z o - CG da aínoa: - Pono de parida: O roo-locu d d CG G H pólo n p n z 0 d d zero

174 k o Veremo mai adiane que um iema dicreo erá eável e a raíze da F.T.M.F. ficar denro do círculo uniário. Io é repeiado e e omene e 0<k<k o. Para deerminar k o, iremo uilizar a regra 8, endo que o pono de cruzameno do roo-locu com o círculo uniário é: Pela regra 8, a condição de módulo é: k o n j m i p p p z i j j 3 0. j 3 Logo, para que o iema dicreo eja eável, é neceário que: 0<k<. Ob: Ee não é o criério de eabilidade para iema conínuo no empo. Regra 9: O ângulo de aída chegada de polo ao zero ão deerminado a parir do condição geral de ângulo. 73

175 Exemplo: Seja k kg H 4 j 4 j Nee cao: N z =3-=, porano eremo aínoa. O eboço inicial do roo-locu é: Precia-e deerminar o ângulo com o qual o roo-locu deixa o polo complexo. Para io, verificamo qual é o ângulo de um pono P próximo a ee polo, fazendo: Pela condição de ângulo, eremo: Se a diância enre p e o polo for nula, ou eja r 0, o ângulo erão: Logo, ubiuindo ee valore na equação de ângulo, eremo: 75,96º - ө - 04,04-90º=i+.80º Para i 0 98,08º, que é ângulo de parida do polo. 74

176 O roo-locu erá: o Exemplo: Suponha que no iema da Fig., enhamo: k 0,5 kg H. Trace o roolocu. Ee iema em doi polo e um zero, é conhecido que nee cao, o roo-locu é um círculo cenrado no zero. Para deerminar o raio baa calcular o pono de parida com a relação: Nee cao, d d G H 0 regra 5 d d 0,5 0,5 Enão: =0,366 S =-,366 O roo-locu erá: 0 0,5 0 0,5 0 75

177 Ee iema em o memo polo que o do exemplo dado na regra 8, mai um zero em - 0,5. Comparando o doi roo-locu do exemplo, percebe-e que a preença do zero arai o roo-locu. No próximo capíulo, erão apreenada a epecificaçõe de um iema de conrole e o principai méodo de projeo de conroladore. Exercício: Trace o roo-locu de cada um do rê iema: i G H 4 ii G H iii G3 H3 4 Conclua que zero araem o R-L e polo repelem o R-L. Regra 0 O pono onde o roo-locu cruza o eixo imaginário é obido fazendo-e =jω na equação caraceríica. k Exemplo: Na Figura, uponha que kg e. 3 3 A equação caraceríica é: +kgh=0 Enão: k k H 3 3 Fazendo =j j 3 +3j +j +k=0 -j 3-3 +j +k=0 j - 3 +k-3 =0-3 =0 i e 0 76

178 k-3 =0 de i emo =0 =0 ou = de ii emo k-3 =0 k=3 - ii iii =0 não é aceio poi ocorre quando k=0 é a olução. Para, o valor de k é obido aravé da expreão iii Vamo raçar o R-L compleo: Polo: P =-; P =-; P 3 =0 Zero: nenhum N p =3; N z =0 N z =3-0=3 Ângulo da aínoa: Pono de ramificação de parida: d d ; Temo: 0 3, kg H k 3 3 k 3 k i 80º i 60º 60º, 60º,80º n n 6 6 CG da aínoa: p z d d 6 0 CG,58 0,4 3 3 pólo zero 0 0 n p n z k 6. 77

179 Pode-e concluir pelo roo-locu que o iema é eável para 0<k<6. O cruzameno do R-L com o eixo imaginário ambém pode er deerminado uando o criério de eabilidade de Rouh, dado no capíulo aneriore. Vide exemplo abaixo. Exemplo: Para o memo exemplo anerior, deermine o valor de k quando o R-L cruze o eixo imaginário uando o criério de Rouh. Sol.: F.T.M.F erá: kg H 3 3 k 3 k 3 3 k kg H k 3 Logo o polinômio caraceríico é: k º k>0 º k 3º Monar abela: k 3 k k 0 6 k 3 k>0 0 k 6 Porano o iema erá eável e 0<k<6, e quando k=6, a raiz da F.T.M.F eará obre o eixo imaginário, quando o R-L cruza o eixo imaginário. 78

180 Regra Se pelo meno doi ramo do Roo-Locu vão para o infinio ou eja e em pelo meno aínoa, enão a oma do polo de malha fechada correpondene a um memo k é uma conane independene de k. Exemplo: No exemplo anerior, calcule odo o polo do iema de malha fechada quando k=6. Deeja-e deerminar a 3ª raiz do R-L, quando k=6 poi a oura dua já abemo:. Nee cao emo 3 aínoa, porano podemo aplicar a regra : pólo pólo k0 k6 0 j j 3 * Exercício: Um iema de conrole eá morado abaixo: a b Eboçar o roo-locu para cada um do iema que enham: C k C k k c C 0 79

181 d k 3 C 0 Ob.: o conrolador não deverá er mai zero que polo, devido a dificuldade de implemenação práica. Exercício: race o roo-locu do eguine iema de conrole Técnica de Projeo de Conroladore uando o Roo-Locu Uma propriedade imporane do Roo-Locu, dada como exercício na pg. 76, é que zero araem a Roo-Locu e polo repelem o Roo-Locu. Enão, uiliza-e ea propriedade para projear conroladore que eabilizem a plana iema de malha fechada a ainda aendam a epecificaçõe de deempenho: PO%, e e erro de regime permanene. Exemplo: Projee um conrolador C, al que o iema abaixo eja eável: º enaiva: propõem-e o conrolador C o mai imple poível, ou eja, C=K, apena um ganho k. Será que exie k, al que, o iema de malha fechada eja eável? Uemo o Roo-Locu para verificar: K C G ; 4 Pono de Parida N p = N z =0 N z =-0= in i a 80 90º 4 0 CG 3 d d 80

182 Não é poível eabilizar o iema com C igual a apena um ganho. º enaiva: arair o Roo-Locu para a região de eabilidade colocando zero no lado equerdo do plano, zero do conrolador. Como o conrolador deve er implemenado, o número de zero não pode er maior que o número de polo. Enão, ugerimo: Enão: K 4 C K 4 G C Polo: p = -00, p =-00, p 3 =, p 4 =4, N p =4 Zero: z =-, z =-4; N z = N z =4-= ain = CG 90º p z N p N z 4 o R-L foi araído para a região de eabilidade É neceário deerminar o valor de k al que o iema eja eável: Uando a regra 0: K j K K=0.05 e =,9 Enão, K>0.05 oluciona o problema, por exemplo, ue K= Não é apena a eabilidade uma neceidade de projeo de iema de conrole, ma ambém, o índice de deempenho eudado no Capíulo 8, PO% e e. Relembrado abaixo, egundo localização no plano- j 8

183 Raíze: G n n 4 n 4n n jn n n para 0, co n n co PO% arcco Índice de deempenho: para enrada degrau e 4, % n PO % 00 e Exemplo: Deeja-e PO% 5% e e. Epecifique a região na qual o polo do iema devem ear no plano-. Ue o criério de % para o empo de eabelecimeno. Sol: e logo 4 n n n 8

184 PO% 5% 0,7 45º logo A dua epecificaçõe ão aifaória na inerecção da regiõe acima, ou eja: Aim, o polo de malha fechada do iema de conrole, para o qual neceia-e de PO% 5% e T e <, deverão ear denro da região acima. o polo do Roo-Locu deverão paar denro dea região e enão ecolher um valor de K al que o polo fiquem denro. Tempo de Subida Como vio no capíulo aneriore, o empo de ubida é dado por: que é uma aproximação coniderando =0,5.,8, n Exemplo: Se,8 logo, a região que aifaz é: n 83

185 Exemplo: Deeja-e 0,9,8 logo: emo:,8,8 n n,8 0,9 n n Exemplo: Projee o conrolador C abaixo al que o iema enha PO% 5% e T e 4, empo de eabelecimeno para criério de %. ol: Primeiramene deenha-e a região do plano- que aifaz oda a epecificaçõe: PO%<5 >0,7 <45º 4 e 4 4 n n n a região que aifaz oda epecificaçõe eá morada na página eguine. Primeira enaiva: uponhamo C=K, emo 84

186 G C K N 4 N z p ain 0 N 90º z CG 0 Temo Noe que o iema de malha fechada erá empre eável. O K min é neceário para que o iema enha pólo complexo conjugado, >0 0<< É neceário deerminar o valor de K al que, para valore menore de K o polo de malha fechada eejam denro da região epecificada, ou eja, K=K máx. Pela figura anerior, para K= K máx, em-e =-+j, poi =45º. Enão:, condição de módulo: G C 0 K máx 4 j K máx j j K 8 máx K min 4 K min 4 4 K 8 Logo pode uar K=6, por exemplo. Enão: C=6 Ob: Não ue o K=K min, poi o iema eá no cao ubamorecido. É neceário que K>K min. 85

187 Uma oura écnica de projeo de conroladore é a écnica de cancelameno de polo e zero odo do lado equerdo do plano, de al forma que o R-L pae denro da região da epecificaçõe. Io é ilurado eguir: Exemplo: O rareador olar, dado no capíulo aneriore, em a eguine eruura de conrole: Projee o conrolador C al que o iema de malha fechada enha, PO%<5% e e <4 criério %. ol: Noe que a região da epecificaçõe ão a mema do exemplo anerior. primeira enaiva: C=K c, emo: 0 k KG C Kc, k Kc.0 0,8 0,8 O roo-locu erá: Noe que o roo-locu não paa denro da região da epecificaçõe, logo não exie K al que a epecificaçõe ejam aendida. Segunda enaiva: iremo cancelar o polo -0,8 da plana com um zero do conrolador C e colocar um polo do conrolador al que o novo R-L pae denro da região da epecificaçõe: Kc 0,8 C 4 Kc 0,8 0 k 0,8 KG C 4 0,8 4 0,8 Nee cao o roo-locu erá, emo:, k=k c.0 86

188 O polo p =0,8 da plana foi cancelado pelo zero z =-0,8 do conrolador Nee cao k máx =8, ma k=k c.0 K cmáx =0,8 k min =4 K cmin =0,4 Temo: 0,7 0,8 C 4 Exercício: Projee um circuio com A.O. Amplificador Operacional que implemene o conrolador projeado acima. Dica, ue o capíulo aneriore dea apoila. Noa Imporane: o cancelameno de polo e zero morado aneriormene não pode ocorrer no lado direio do plano- ou no eixo imaginário. Io e deve ao fao de que o conrolador C projeado nunca poderá er implemenado na práica com um erro nulo. Na práica a implemenação de C não erá ideal. Por exemplo, poderíamo propor o cancelameno de polo e zero para o exemplo da pg. 8, onde Aim, para arair o R-L para o lado equerdo do plano- e colocá-lo denro da região de eabilidade e epecificaçõe, podem propor o imple conrolador, cancelando o polo em p =: K- C 0 87

189 cancelameno de um polo inável da plana com um zero do conrolador ampliação do cancelameno de polo e zero: como não erá poível implemenar z = exaamene, o roo-locu práico erá: Ea pare do roo-locu não irá para o lado equerdo do plano- enão, erá um polo do iema de malha fechada no lado direio do plano- upondo que ocorreu um erro de % na implemenação do zero: z =; práico z =,98 Noa: Ao projear um conrolador, deve-e obervar a dominância do polo que ficam denro da regiõe da epecificaçõe. A dominância de polo já foi eudada nea apoila. No exemplo da página 8, o polo do conrolador foram colocado em -00 e -00, para que o polo mai próximo da origem, de malha fechada, foem dominane. Exercício: O laer podem er uado para perfurar o colo do fêmur na bacia viando a inerção apropriada de uma próee. O uo de laer na cirurgia requer ala precião na repoa de poição e de velocidade. O iema de conrole que ua um manipulador com moor CC é dada abaixo: O ganho K do amplificador deve er projeado de modo que o erro eacionário para uma enrada rampa u=a, A=mm/, eja menor ou igual a 88

190 0,3mm, ainda, er eável, er PO%<0% e e <8 para % de regime. Ue o roolocu e o conceio de polo dominane. Lembre-e que A lim D G 0 para DG com polo na origem Exercício: O iema de conrole de poição angular de um aélie é dado abaixo. Cenro de Maa ubeira F Projee C al que o iema eja eável, endo-e PO%<5% e e <0,. Exercício: No úlimo ano vêm endo uilizado na fábrica muio iema de conrole auomáico para veículo auoguiado. O iema de conrole de um dele é dado abaixo: Mone o roo-locu e deermine um valor adequado para o ganho K de modo que =0,707 da raíze complexa conjugada dominane. Exercício: Um avião a jao de elevado deempenho em iema de conrole dado abaixo: Mone o lugar da raíze e deermine o ganho K de modo que do polo complexo conjugado próximo ao eixo j polo dominane eja o maior poível. Calcular a raíze para ee valor de K e prever a repoa ao degrau do iema qual erão PO% e e?. Ue o MATLAB para ober y para u degrau e compare com o eperado. Exie dominância? Exercício: O diagrama de bloco do iema de conrole da velocidade de um auomóvel auônomo é morado abaixo: 89

191 Para melhorar a repoa do veículo, é neceário projear o conrolador al que o iema de malha fechada não enha overhoo, ou eja, ; e que o empo de ubida eeja enre:. 3,0 6, 0 0,9 Exercício: O iema de conrole de um elevador de carga auomáico é morado abaixo: Projee o conrolador al que o iema enha PO% 0%, empo de ubida aproximadamene 0,5 e erro de regime nulo para enrada degrau. Exercício: Para o iema poicionador do cabeçoe do dico rígido Wincheer do compuadore, dado na figura abaixo, projee o conrolador al que o iema enha empo de ubida de e 8 m overhoo 0%. O MATLAB raça o roo-locu facilmene. Por exemplo, para raçar o roolocu de 90

192 Baa definir o numerador e o denominador de GH: e uar a função rlocu : G H Roo Locu Imaginary Axi >> num=[ ]; >> den=[ 5 6 0]; >> rlocunum,den Real Axi Cao deeja-e ober o valor k para um pono obre a roo-locu, ue a função. rlocfindnum, den e enão poicione o curor obre o roo-locu e preione ener, na ela irá aparecer pono elecionado=-,0509+4,38i an= 0,5775 ee é o valor de k quando o polo for -,0509+4,38i A região que aende a epecificaçõe podem er colocada no roo-locu do MATLAB uando-e a função grid. Digie: Help grid para maiore dealhe. Apó er projeado o conrolador uando MATLAB, o aluno pode imular em eguida o iema para uma enrada degrau ou oura uando a função ep via no capíulo aneriore dea apoila. Exercício: Ue o MATLAB para raçar o roo-locu do iema abaixo, e elecione k al que a repoa ao degrau enha PO%<0% e empo de eabelecimeno menor que 5. 9

193 Simule o iema com k projeado e verifique e realmene ocorreu a dominância, modifique o polo ou zero do conrolador de al forma a ocorrer a dominância. O MATLAB em ainda uma facilidade para projear e raçar o roo-locu chamado rlool, que abre uma janela que raça o roo-locu, repoa degrau, Bode, Nyqui, ec. Digie no MATLAB: rlool. Veja o exemplo na página eguine. Exemplo: Para G H digie no MATLAB: num=[ ]; den=[ 5 6 0]; y=fnum,den; rlooly Irá abrir a janela do rlool, como morado abaixo: Na janela do Roo-Locu, dê um click com o boão direio do moue e elecione: Deign Requiremene New Seling Time ec = 8. Novamene New Porcen Overhoo = 0. Veja que aparece no roo-locu a região que aende ea epecificaçõe. Na figura acima, a repoa ao degrau foi obida uando a ferramena analyi, aravé de uma janela do rlool. 9

194 Conrolador ipo Avanço Lead A figura abaixo mora um circuio com A.O. cuja função de ranferência é dada abaixo: Sendo Eo E i R4C R C 3 RC R C K C T T T R C, T R C e K C R4C R C 3 Se α< Circuio com avanço de fae lead e a raíze no plano- ão: Caraceríica Melhora a repoa raniória Pouca influência na repoa em regime permanene Melhora eabilidade Se α>circuio com arao de fae lag e a raíze no plano- ão: 93

195 o x Caraceríica Melhora a repoa em regime permanene Pouca influência na repoa raniória Piora a eabilidade Demonração do cálculo da função de ranferência do circuio da página anerior. O circuio anerior eá repedido abaixo: Como ee é um circuio com A.O., a função de ranferência de E o para E i é: Claramene que G Da mema forma, Nee cao, Da mema forma, logo, G Z R R 3 Eo G G E 4 Z Z i R Z Z R RC C R R C 94

196 95 C R R C R R R C R C R R G ou ainda, C R C R R C R C R R G C R R C C C G 3 4 C R R C R C C R G G E E i o Enão a função de ranferência dee conrolador é: 3 4 ; ; R C C R K e C R T R C T T T K C C C A eguir erá morada uma écnica de projeo de conrolador em avanço lead. Noa: O conrolador é dio em avanço devido ao fao de Ө Z > Ө P : c.q.d o Ө Z Ө P

197 Sendo C a função de ranferência do conrolador em avanço lead dada aneriormene. Técnica de projeo de Conrolador em Avanço lead - Parindo da epecificaçõe de deempenho PO%, e deermine a localizaçõe deejada do polo dominane no plano-. - Verifique e, uando apena um ganho na malha abera, é poível aifazer a epecificaçõe de projeo, para io ue o roo-locu 3- Se for poível, o projeo eá erminado, do conrário vá para o pao Fixe um pono no plano- = o al que oda a epecificaçõe ejam obedecida PO% e e. Enconre um compenador C na configuração: C conrolador em avanço de al forma que = o perença ao roo-locu dee iema. Para io, deve-e er C G 0 C G o o o C C o e C o G o G G ou o o o ou h G, h 0,,,..., β=conribuição angular do conrolador o Ob.: Dependendo do valor de β, erá neceário uar vária rede em avanço em érie, endo que a defaagem de cada rede é <90º na práica, <56º, α=0,. O problema agora é deerminar α e T de modo que C o = β, endo β a defaagem neceária do conrolador lead, para que o roo-locu pae por = o. Exiem muio valore de α e T que olucionam ee problema. O procedimeno morado a eguir obém o maior valor poível de α de modo que o ganho adicional exigido pelo amplificador k eja o menor poível. h 96

198 a Seja = o o pono deejado que o roo-locu pae: Trace uma rea horizonal ao eixo real paando por = o. b Una o pono o com a origem e race a bieriz do ângulo A o 0, deermine o pono B no eixo real negaivo. A c Deenhe dua rea o C e o D que fazem ângulo B com a bieriz o A inerecçõe de o C e o D com o eixo real negaivo deerminam e deejado, ou eja, o polo e o zero deejado do conrolador. T T 5- Coloque ee conrolador C projeado na malha do iema e imule uando o MATLAB. Se o deempenho não eiver como deejado, deve-e enar ouro conrolador, do conrário pare. Exemplo: Projee o iema de conrole abaixo de modo que o iema de malha fechada enha PO% 7% e empo de eabelecimeno de %, para o polo dominane. 97

199 - A epecificaçõe no plano- ão: PO%=7% ξ=0,5 θ=60º e %=T e = 4 n ξω n = o n - - Verifique e C=k oluciona: kc G k, o roo-locu é: Porano o R-L não paa por o, logo k que oluciona o problema. Ir para pao Uar compenador lead: T C k T Nee cao a defaagem neceária do conrolador erá: h 80º G, h 0,,,... o. ma 0º 3 j 3 j G o logo β=-80º+0, com h=-, β=30º, β>0 empre 98

200 -,9 Aim, T C k T C k,9 5,4 ma: logo Deerminação do ganho G o k : C o e G o,9 C k o 5,4 3 j 3 j k,9 5,4 3 j 8,7 Enão o conrolador erá:,9 C 8,7 5,4 O roo-locu do iema compenado erá: num=8.7*[.9]; den=conv[ 0 ], [ 5.4] rlocunum,den E a repoa ao degrau eá morada na figura eguine, endo que a F.T.M.F. foi obida uando o comando erie e feedback do MATLAB, o programa eá morado abaixo. num=8.7*[.9]; den=[ 5.4]; num=[]; den=[ 0]; [n,d]=erienum,den,num,den; [n,d]=feedbackn,d,[],[]; epn,d R 99

201 .4 Sep Repone From: U. Ampliude To: Y Pólo do iema de malha fechada: -,999 3,4j -3, Time ec. A PO% medida no gráfico é PO% 0%, e o empo de eabilização é e =. Nee cao apena a PO% ficou um pouco maior a epecificada no enunciado do problema. Io deve ao fao que o polo complexo conjugado dominane não apreenarem dominância plena, poi o polo do conrolador eá relaivamene próximo ao polo complexo conjugado, race o roo-locu para verificar io. Técnica de projeo de conrolador em Arao Lag Já foi dado na pg. 94, o circuio do conrolador em arao e abe-e que ua função de ranferência é: G C com K C T T, β > 00

202 e k c erá igual a, K c =, poi aim o conrolador irá influenciar pouco na eabilidade e raniório do iema. Ee conrolador melhora a repoa em regime permanene, diminuindo o erro de regime, manendo a caraceríica da repoa raniória. Inicialmene é upoo que o iema realimenado em boa repoa raniória, porém erro de regime permanene ruim. Fig. Siema realimenado com boa repoa raniória e erro de regime ruim. Enão, inere-e um conrolador G c na malha, como morado a eguir, e deeja-e melhorar o regime permanene em modificar muio o raniório. emo E U Y Y G C G E Fig. Siema com o lag. logo E U G G c O erro de regime permanene é calculado fazendo-e 0 em e G c irá diminuir ee erro de regime e Gc for uficienemene grande. Se apena 0 aumenar k c, poderá irar o roo-locu da dominância. O objeivo de projear o conrolador em arao é aumenar o ganho de malha abera, em modificar muio a poição do polo dominane, que ão reponávei pela repoa raniória. Técnica de Projeo - No iema não compenado, vide fig., deermine o polo dominane e o coeficiene de erro conane de erro em regime permanene para a enrada deejada por exemplo, rampa ou degrau. Vide capíulo aneriore. - Comparando o coeficiene de erro epecificado no enunciado do problema deejado e o obido em, deermine aumeno neceário ao coeficiene de erro do iema de malha abera: coef. do erro deejado coef. de erro do iema em o conrolador em arao 0

203 3- Ecolha um conrolador G c em arao, com polo e zero bem próximo do eixo jω, de modo que para = =polo dominane enha-e: G c Inerpreação T T O compenador compora-e como um ganho uniário em = e, porano não modificará muio o raniório do iema de malha fechada r p r z r r z p G c 0º pouco grau Inerpreação: G c 0º poi z p z p Aim eremo: G c 0º, e no regime permanene: G c 0 T T correção neceária 4- Verifique e o polo dominane do iema compenado, de malha fechada, permanecem próximo ao aneriore. Ue o MATLAB para imular o iema. Exemplo: Projee um conrolador para o iema abaixo de modo que o coeficiene de erro de velocidade eja 5 -, enrada rampa, em modificar enivelmene o eu deempenho raniório. Sol. - Deerminação do polo dominane de F.T.M.F.: 0

204 ,06 Y,06 U,06 0,33 j0,58 0,33 j0,58,33 Aim o polo dominane ão: 0,33, j 0,58 O roo-locu e a repoa ao degrau ão dado abaixo: por: k v A conane de erro de regime permanene para enrada rampa é calculada,06 lim G 0,53 0 Vide abela da pg. 47. Noe que o iema de malha abera em um polo na origem. - k v do iema em conrolador=0,53 - do iema com o conrolador deejado=5 - ^ k k v v 5 0,53 0 veze 3- Ecolhemo β=0. Para que o polo e o zero do conrolador fiquem próximo à origem, ecolhemo T=0, enão polo em -0,0 e zero em -0,, logo: 0, T G c 0,0 T 03

205 Noe que G C 0,33 j0,58 0,33 j0,58 0, 8º 0,33 j0,58 0,0 que não é 0º e G C 0,33 j0,58 0,3 0,3 0,58 0,58,5 0,93 3,5 que não é O roo-locu do iema com ee compenador inerido egundo a fig. e a repoa ao degrau é: G C 4- A imulação do iema para enrada degrau eá morada acima, uou-e o MATALAB. Noe que PO%=37%. Sendo que o iema original inha PO%=7%. Aim, o projeo modificou a repoa raniória. Uma olução é levar o polo e o zero do conrolador mai próximo da origem. Para io adoamo T=00, logo: 00 0,0 ; logo: 0, A repoa ao degrau com ee conrolador na fig. é: G G C C o 0,7º 0 o 0,99 04