CAPÍTULO 5: CISALHAMENTO
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- Marcela de Oliveira Alencastre
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1 Curo de Engenaria Civil Univeridade Eadual de Maringá Cenro de Tecnologia Deparameno de Engenaria Civil CAPÍTULO 5: CSALHAMENTO 5. Tenõe de Cialameno em iga o Flexão Hipóee Báica: a) A enõe de cialameno τ ão admiida paralela à força de cialameno, porano paralela a. ) A enõe τ não variam ao longo da largura da eção, e im na alura. < 4 c) A enõe normai σ não ficam afeada pela deformaçõe provocada pela enõe de cialameno.
2 5. Tenõe de Cialameno em iga o Flexão Analiando o elemeno, vemo que exiem enõe de cialameno orionai agindo enre a camada orionai. Para ±/, enão τ 0, poi não exiem força de cialameno na uperfície da arra. 5. Fórmula de Cialameno em uma iga É mai fácil deerminar a enõe de cialameno orionai agindo enre camada da viga.
3 5. Fórmula de Cialameno em uma iga Modelo de cálculo: σ M σ ( M + dm) 5. Fórmula de Cialameno em uma iga A face uperior da arra eá livre de enõe de cialameno. A face de aixo é umeida a enõe de cialameno τ.
4 5. Fórmula de Cialameno em uma iga Analiando o equilírio na direção x do elemeno mp m p, vemo que como σ σ, é neceário a enão τ para equilirar. A enõe vericai no plano mp e m p não eão endo coniderada, poi iremo analiar apena o equilírio na direção x. Diagrama de corpo livre do elemeno mp m p : M F σ da da F σ da ( M + dm) onde varia de aé /. da 5. Fórmula de Cialameno em uma iga Faendo o equilírio do elemeno na direção x: F F + F F 0 F F F ( ) M + dm M dm da da dm F da da
5 5. Fórmula de Cialameno em uma iga F amém pode er via em função da enão τ: F τ.. dx, onde (. dx) é a área da pare inferior do elemeno. Logo: τ dx onde : dm dx dm da M da τ dm dx força de cialamen o em relação a lina neura. da Momeno Eáico da área omreada 5. Fórmula de Cialameno em uma iga Com ea noação emo: M τ Fórmula de Cialameno Oervaçõe:, e ão conane em uma eção. M varia com a diância. Na fórmula de cialameno raamo odo o elemeno como valore poiivo, poi aemo que a enão τ aua na mema direção da força de cialameno.
6 5.. Diriuição da Tenõe de Cialameno na Seção Reangular ( ) d da M 4 8 M 4 M τ 4 τ 5.. Diriuição da Tenõe de Cialameno na Seção Reangular ariação quadráica com a diância. 4 τ A máx 8 0 para τ 0 para τ
7 5.. Tenõe de Cialameno na Seção Circular Não podemo aumir que a enõe de cialameno agem paralelamene ao eixo. Em um pono m na uperfície, a enão deve agir de forma angene. A enõe de cialameno na Lina Neura, onde a enõe ão máxima, podem er aumida como: paralela a e inenidade conane ao longo da largura. τ 5.. Tenõe de Cialameno na Seção Circular Logo, na Lina Neura podemo uar a fórmula de cialameno: máx M τ máx 4 r π πr 4r r M A 4 π r Onde: 4 π r 4 r r r 4 π τ máx 4 A
8 5.. Tenõe de Cialameno na Seção Circular Para eção circular vaada: M 4 4 π ( r r ) 4 ( r r ) r r ( ) τ máx M 4 r A + r r + r r + r 5. Fórmula de Cialameno em uma iga Exemplo : De acordo com a viga de madeira morada, deermine o máximo valor para P e a enão admiível na flexão é σ adm MPa (para ração e compreão) e a enão admiível para cialameno orional é τ adm,mpa. Deconidere o peo próprio. P P 50mm 0,5m 0,5m 00mm
9 Exemplo a) Diagrama de Eforço nerno: P A C D B A C D B D.E.C. P 0,5P D.M.F. Cialameno reco AC e DB Flexão Máxima reco CD Exemplo ) Caraceríica geomérica: 0 5 W 75cm 6 6 A cm c) Carga Máxima: σ τ máx máx M máx σ adm M máx σ adm W W máx Aτ adm τ adm máx A
10 Exemplo P flexão σ adm W 0, ,5 6 6 P flexão 8, 5KN P cial. Aτ adm 500 P cial KN 4, Fórmula de Cialameno em uma iga Exemplo : Dimenionar uma eção circular para a eruura morada aaixo, de modo que não ejam ulrapaada a eguine enõe: 0kN m A 40kN/m 4m σ Rup B σ Rup.( T ) 70MPa; C. S. 7.( C ) 56MPa; C. S. 8 τ adm, MPa
11 Exemplo a) Tenõe admiívei: σ σ T ) adm( T ) 0 Rup.( σ C. S MPa Rup.( C ) adm ( C ) 7 σ C. S. MPa ) Seçõe críica: 95 R A 5kN R B 65 kn 0 D.E.C. A C B 65 Exemplo Treco AC : ( ) x x 0 x 4, 75 m Seçõe críica: A e C M A 0 60KN. m ( 6 4,75) ( 6 4,75) M C ,8KN. m
12 Exemplo c) Tenõe Normai Máxima: Seção A: M r σ A adm(c) 0 r π r 4 M A r σ σ Como σ σ, verificar para menor σ adm : r 0, m C C r Exemplo d) Tenão de Cialameno Máxima: 4 A máx τ máx τ adm π r, 0 r 0, 8m 6 Logo, r 0, m r cm
13 5. Tenõe de Cialameno em Alma de iga com Flange Mea ou Flange Alma Mea ou Flange A enõe de cialameno no flange da viga auam em ama a direçõe, vericai e orionai. 5. Tenõe de Cialameno em Alma de iga com Flange A enõe de cialameno na alma de viga de flange largo ão vericai e ão maiore que a enõe no flange. Devido a complexidade da diriuição da enõe de cialameno no flange, iremo coniderar apena a enõe agindo na alma da viga.
14 5.. Tenão de Cialameno na Alma amo deerminar a enão de cialameno na lina ef. M τ onde e M é da área omreada 5.. Tenão de Cialameno na Alma Momeno Eáico da área omreada. A + A + ( ) ( ) A A M + +
15 5.. Tenão de Cialameno na Alma Logo: ( ) ( ) [ ] 4 8 M + τ ( ) ( ) + onde: 5.. Tenõe de Cialameno Máxima e Mínima τ máx ocorre na Lina Neura, 0. τ mín ocorre no enconro alma-flange, ± /. Logo: [ ] [ ] 8 8 mín máx + τ τ
16 5.. Força de Cialameno na Alma A alma reie a maior pare da força de cialameno e o flange ão uperponívei por uma pequena parcela. alma ( τ + τ ) máx mín 5. Tenõe de Cialameno em Alma de iga com Flange Exemplo : Conidere a viga em alanço com eção ranveral em T. Pede-e para deerminar a enão de cialameno máxima, e a enão de cialameno a cm da orda uperior da viga, na eção de engaameno. 5cm 50kN 45cm 5cm m 5cm
17 Exemplo a) Cenróide e Momeno de nércia: 5cm 45cm 5cm 5cm x A 8, 57 cm A 4 ( + A d ) 8845, 4cm ' i i Exemplo ) Diagrama de Eforço Corane: 50kN + D.E.C. máx 50kN
18 Exemplo c) Tenão de Cialameno Máxima: M τ M,4 A M 469,6cm ( 5,4 ) 5cm 5cm 45cm 5cm τ máx , , ,79 MPa Exemplo d) Tenão a cm de orda uperior: 5cm M M A 448,9 cm (,4,5 ) ( 5 ) cm 45cm 5cm 5cm τ máx , , ,5MPa
19 5. Tenõe de Cialameno em Alma de iga com Flange Exemplo 4: Deerminar a maior carga q (kn/m) que a viga repreenada aaixo upora, aendo-e que σ adm 0MPa, τ adm,5mpa e a m. A aq aq q aq B C D a a a a E 5 0cm 5 5 0cm 5 Exemplo 4 a) Cenróide e Momeno de nércia: x 0cm 5cm (ex.) (in.) ,cm 4
20 Exemplo 4 ) Eforço inerno máximo: R B 4,5q e R D,5q,5q q + 0,5q + M B A B C D E - q 4 q 8 q + 7q q 4 q M C,5q Seçõe críica: B, C e D. - M D Logo: M máx 4 q, 5 q máx Exemplo 4 c) erificação da σ adm : σ M e σ σ adm 0 MPa 4 q 5 0 8, q 6,9kN / m
21 Exemplo 4 d) erificação da τ adm : 5 0 M M e M i cm τ máx M,5 q máx , 0 τ adm,5 0 6 q,4 kn / m Logo: q 6,kN / m 5.4 Fluxo de Cialameno F dm da
22 5.4 Fluxo de Cialameno Fluxo de Cialameno (f) é a força de cialameno orional por unidade de diância ao longo do eixo longiudinal da viga. f F dm da dx dx onde: dm dx f da M M 5.4 Fluxo de Cialameno Área uiliada para o cálculo do momeno eáico:
23 5.4 Fluxo de Cialameno Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é conruída com dua áua de 40x80mm, que ervem como flange para dua alma de compenado de 5mm de epeura. A alura oal da viga é de 80mm. O compenado é preo ao flange por parafuo cuja força de cialameno admiível de F800N cada. Se a força de cialameno é de 0,5kN, deermine o máximo epaçameno permiível S do parafuo. Exemplo 5 a) Cenróide e Momeno de nércia: x 05mm 40mm (ex.) , 0 (in.) mm
24 Exemplo 5 ) Fluxo de Cialameno: M f F M A flange d f ( ) mm 0, f 4,N / mm 6 64, 0 Exemplo 5 c) Epaçameno do parafuo: Força admiível F800N parafuo por comprimeno S F Logo: F F 800 f S S f 4, S 46, 6mm
25 5.5 Carregameno Aimérico em Barra de Parede Fina. Cenro de Cialameno. Carga no plano de imeria P e M P x M σ x e τ M 5.5 Carregameno Aimérico em Barra de Parede Fina. Cenro de Cialameno. Carga fora do plano de imeria P e M P x M σ x
26 5.5 Carregameno Aimérico em Barra de Parede Fina. Cenro de Cialameno. A enõe de cialameno não podem er M deerminada pela equação τ, poi a eção não em plano de imeria verical. Ea arra irá ofrer flexão e orção o ação da carga P. 5.5 Carregameno Aimérico em Barra de Parede Fina. Cenro de Cialameno. Se a arra flexionar em orção, poderíamo uar a fórmula de cialameno já conecida. Para io, a carga P em que er aplicada em um pono epecífico da eção ranveral, conecido como Cenro de Cialameno (S). O cenro de cialameno eá em um eixo de imeria. Enão, em eçõe duplamene imérica o Cenro de Cialameno (S) e o Cenróide (C) coincidem.
27 5.5. Fluxo de Cialameno em Elemeno de Parede Fina Conidere uma viga de eção ranveral arirária, cuja lina de cenro eja a curva mm, e a carga P age paralela ao eixo aravé do Cenro de Cialameno (S). onde e ão eixo cenroidai Fluxo de Cialameno em Elemeno de Parede Fina A enõe normai podem er oida pela fórmula de flexão: M σ x
28 5.5. Fluxo de Cialameno em Elemeno de Parede Fina A enõe de cialameno no elemeno acd ão oida pelo equilírio da força: F F F 0 onde: F σx da 0 0 M σx da da 0 0 F τ dx F M da 5.5. Fluxo de Cialameno em Elemeno de Parede Fina Aim, oemo: M τ onde: M M dx M dx dm dx 0 da, que é paralela a e poiiva em enido de P. Logo: τ M ( ) Fórmula de Cialameno
29 5.5. Fluxo de Cialameno em Elemeno de Parede Fina A enõe de cialameno eão direcionada ao longo da lina de cenro da eção, paralela à orda. τ é conane aravé a epeura da parede. O fluxo de cialameno (f) é igual ao produo da enão τ pela epeura. f τ M ( ) 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Seção C ou Canal: O Cenro de Cialameno eá localiado no eixo de imeria (eixo ).
30 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Baeado na fórmula de cialameno, a enõe de cialameno variam linearmene no flange e paraolicamene na alma Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina A enão de cialameno que aua em um elemeno de eção ranveral de área da.d produ a força M f τ df τ. da ou df f. d, e. d da
31 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina A reulane da força que age no flange AB e DE é a força orional F ; A enõe que auam na alma BD vão er como reulane uma força igual à força corane na eção: d B A F B A F f d D f d B D E 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina A força F provocam um momeno em relação ao cenróide de M F., onde é a diância enre a lina de cenro da mea. Ee momeno que é reponável pela reiência da eção à orção. Para eliminar o efeio dee momeno, a força corane deve er delocada para a equerda de uma diância e, de modo que: F e F ( mea ) ( ) e mea
32 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Onde conclui-e que não vai ocorrer orção na arra e a força P for aplicada em um pono diane e da lina cenral da alma BD. A ineração da lina de ação com o eixo de imeria, repreena o Cenro de Cialameno da eção (S) Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina No cao da força P er inclinada, aca-e a componene P e P auando no pono S. P P P
33 , 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Seçõe que não pouem nenum plano de imeria: Seção Canoneira: A carga P aua perpendicularmene ao eixo principal Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Força elemenar: df f d df d endo f M
34 , 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Força Reulane: F A F F f d S A f d B S F B 5.5. Cenro de Cialameno de Seçõe Aera e Parede Fina Como a reulane F e F paam pelo pono S, deduimo que a força corane da eção deve paar por S amém. O Cenro de Cialameno é enão o vérice da eção, poi a força não provocará orção, independene da ua direção.
35 Exemplo 6: Deerminar o Cenro de Cialameno S do perfil canal, de epeura uniforme e dimenõe: 00mm, 50mm e mm., ( ) ( ) M f f Fluxo de Cialameno: 5.5 Carregameno Aimérico em Barra de Parede Fina. Cenro de Cialameno. A B D E Exemplo 6 Força Reulane no flange AB:, d d f F B A 0 0 F 4 0
36 Cenro de Cialameno:, F e 4 4 flange alma + ( ) + + Exemplo 6 ( ) Cenro de Cialameno:, ( ) e e + 6 Exemplo 6
37 , 5.5 Carregameno Aimérico em Barra de Parede Fina. Cenro de Cialameno. Exemplo 7: Deerminar, para o perfil canal, a diriuição de enõe de cialameno cauada por uma força corane verical de 800kN de inenidade,, aplicada no Cenro de Cialameno S. 00mm, 50mm, mm, e 40mm. B A D E Exemplo 7 Tenão no flange AB: M τ M Diriuição Linear
38 ,, Exemplo 7 Tenão em B: τ B ( 6 + ) ( 6 + ) ( ) τ B , 0,00 0,5 ( 6 0, + 0,5 ),4 MPa Exemplo 7 Tenõe de Cialameno na Alma BD: (Paraólica) M τ M ( )
39 ,, Exemplo 7 Tenõe de Cialameno na Alma BD: (Paraólica) τ máx τ máx ,00 0,5 ( 4+ ) ( 6+ ) ( 4 0, + 0,5 ) ( 6 0, + 0,5 ) ( 4+ ) ( 6+ ),956 MPa Aplicaçõe Exercício : Uma viga caixão quadrada é feia de dua pranca de 0 x 80mm e dua pranca de 0 x 0mm pregada enre i, como mora a figura. Saendo que o epaçameno enre o prego é 0mm e que a força corane verical na viga é 00N, deermine (a) a força corane em cada prego, () a enão de cialameno máxima na viga.
40 Aplicaçõe Exercício : Para a viga e carregameno morado, deermine a largura mínima neceária, aendo que, para o ipo de madeira uada, σ adm MPa e τ adm 85kPa., Aplicaçõe Exercício : A viga morada na figura foi feia colandoe vária áua. Saendo que a viga eá ujeia a uma força corane de 5,5kN, deermine a enão de, cialameno na juna colada (a) em A, () em B.
41 Aplicaçõe Exercício 4: ária áua ão colada para forma a viga caixão morada na figura. Saendo que a viga eá ujeia a uma força corane verical de kn,, deermine a enão de cialameno na juna colada (a) em A, () em B.
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