MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS. Função de transferência Resposta transiente

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1 MODELOS DE SISTEMS DINÂMICOS Função de ranferência epoa raniene

2 Função de Tranferência Deenvolveremo a função de ranferência de um iema de primeira ordem coniderando o comporameno não eacionário de um ermômero de mercúrio com bulbo de vidro x emperaura do meio Seção ranveral do ermômero y eiência da película Mercúrio Parede de vidro Conidere que o ermômero eá localizado em uma correne de fluido cuja emperaura x varia com o empo. O problema conie em calcular a repoa ou variação com empo da leiura y do ermômero para uma variação paricular de x.

3 doaremo a análie concenrada com a eguine hipóee:. Toda a reiência à ranferência de calor e concenra na película que envolve o bulbo (io é, a reiência oferecida pelo vidro e pelo mercúrio é deprezível).. Toda a capacidade érmica e concenra no mercúrio. 3. Em qualquer inane o mercúrio apreena uma emperaura uniforme. 4. parede de vidro que coném o mercúrio não e expande nem e conrai durane a repoa raniene. 5. O ermômero e enconra inicialmene em eado eacionário. 6. No empo zero o ermômero erá ubmeido a uma mudança na emperaura do meio x ( )

4 plicando a equação de conervação da energia: Taxa de enrada de energia Taxa de aída de energia Taxa de acumulação de energia x ( x y) y dy h mc () d ne de reolver ea equação por ranformada de Laplace, inroduziremo VIÁVEIS DESVIO Em regime permanene: h ( x y ) < () O ubcrio indica que a variável eá em eu valor de regime permanene

5 h ( x y ) < equação () eabelece que x y, io é, a leiura do ermômero é igual à emperaura verdadeira do banho Subraindo a equação da equação h [( x x ) ( y y )] mc d ( y y ) d (3) Se definirmo a VIÁVEIS DESVIO como endo a diferença enre a variávei e eu valore eacionário X Y x y x y dy h ( X Y ) mc (4) d

6 ( X Y ) h mc dy d Se fizermo: mc h (4) X Y Tranformada de Laplace dy d (5) X ( ) Y ( ) Y ( ) (6) earranjando Y ( ) () X (7)

7 ( ) () Y X (7) O parâmero échamado conane de empo do iema e em dimenão de empo O membro direio da eq. 7 é chamado de função de ranferência do iema G() Função de ranferência () G Y X ( ) () ranformada de Laplace do devio da SÍD ranformada de Laplace do devio da ENTD

8 . evendo a eapa que conduziram à eq. 7, pode-e obervar que a inrodução da variávei devio ane da aplicação da ranformada de Laplace à equação diferencial dá origem a uma função de ranferência independene da condiçõe iniciai, poi o valore iniciai de X e Y ão nulo.. Em engenharia de conrole, inerea-no primordialmene o devio da variávei do iema de eu valore eacionário. 3. O uo da variávei devio é, dee modo, naural e, ao memo empo, conveniene. relação funcional conida em uma função de ranferência é geralmene repreenada em diagrama de bloco X () Y () X () Y () G ()

9 epoa Traniene Função perurbação: x() Função degrau x < x ( ) u( ) x X () (8) Combinando a eq. 7 e 8 () () Y X (7) Y () Y () ( ) (9)

10 () ( ) Y (9) Expandindo a eq. 9 em fraçõe parciai () ()( ) Y C C C C C ) ( C C C C C C C C

11 Y () Tranformada invera de Laplace y () e y () e () y. y() a e a

12 Exercício Um ermômero que apreena uma conane de empo de, min enconra-e a uma emperaura eacionária de 3 C. No empo, o ermômero é colocado em um banho manido a 4 C. Deerminar o empo neceário para que a emperaura lida pelo ermômero eja 38 C.

13 lim b epoa Traniene ( ) ( ) Função perurbação: Função impulo x δ x x() b b () δ ( ) X ( ) () x < x b x > b ( ) () Y X Combinando a eq. 7 e Y () x( ) b ()

14 Y () equação pode er exprea como: Y () Tranformada invera de Laplace y (). y() () y () e

15 epoa Traniene Função perurbação: Função rampa x() x < Combinando a eq. 7 e x ( ) x X () () ( ) () Y X Y () Y () ( ) (3)

16 Y () Y () ( ) equação 3 pode er exprea como: ( ) Tranformada invera de Laplace y() e ( ) y y() 5 y() y() ( ) y (3) y e () 5

17 Exemplo fíico de iema de primeira ordem q i () Nível de líquido h() ρ conane V h q o ( ) Equação de conervação da maa m& m& i e () ρ q () ρ q i q o () q () d m d d ( ρv ) d d h o [] d i

18 vazão volumérica q o e relaciona com a reiência e alura h pela relação linear: h q o [] Combinando a eq. e, e fazendo q i ( ) q h d h q [3] d Em regime permanene a equação 3 fica q h Subraindo a eq. 4 da eq. 3 ( q q ) ( h h ) d( h h ) d [4] [5]

19 ( q q ) ( h h ) d( h h ) Definindo a variávei devio Q q h q h Tranformada de Laplace ( ) Q () () d Q d d Com o uo de variávei devio, (), e a ranformada é implemene () equação 7 pode er reecria como: ( ) () Q onde [5] d d [6] [7] [8]

20 Para uma variação na forma de degrau uniário na vazão de enrada () > < Q Q() plicando na equação 8 Tranformada Laplace () () plicando a ranformada invera a a e a h ( ) () ) ( e. () h y () ( )

21 Circuio C Conervação da carga elérica C V ( ) v c v() v ( ) vc ( ) () - i d vc v ( ) i( ) () ( ) i C v () d C d vc d ( ) () C d v d v v (3) C C

22 C d v d v v (3) C C Em regime permanene a equação 3 fica: vc v Subraindo a equação 4 da 3 C d ( v v ) C d C ( v v ) ( v v ) C C (4) (5) Variávei devio: C d V d V v v V C v C v V V (6) C C C S

23 C d V d V V (6) C C Tranformada de Laplace CV ( ) V ( ) V ( ) C C Com: C V C ( ) () V

24 Nível de líquido q i () h ( ) q ( ) h () q ( ) q Equação de Conervação da Maa d V d V q i q q q d d h h q V h V h h

25 Para o reervaório : h h d h d q i Em regime permanene d h h h q i d i h q h Subraindo: - d ( h h ) d Inroduzindo a variávei devio: ( h h ) ( h h ) ( ) h h h h Q i qi qi q i q i e d d Q i (a)

26 Para o reervaório : h h h d h d Em regime permanene Subraindo: - d Inroduzindo a variávei devio: ( h h ) h h h h d h h h d h h ( ) ( ) h h h h d e d d (b)

27 d d Q i d d plicando a ranformada de Laplace ( ) ( ) ( ) ( ) Q i () () () () () ( ) Q i () ( ) () () ( ) Q i

28 eolvendo para /Q : Q i Q () () ( ) i () () ( ) Exemplo de olução com valore numérico:, 5 m min, 8 ( m ) 3 m min Q i (),4 m, 4 Q i () 3 < >

29 Q i (),5,5 () 3 (),5,5 3,4 (),3,6 ( 3 ) Expandindo em fraçõe parciai (),3,6,6,367,68,568, ( 3 ) 38 Tranformada invera de Laplace,68,38 (),6,367 e, e h 568

30 Q i (),5 () 3 (),5 3,4 () Expandindo em fraçõe parciai Q i (),3,3 ( 3 ),3,5,35, () ( ), Tranformada invera de Laplace,68,38 ( ),3,5 e, e h 35

31 ,68,38 ( ),6,367 e, e h 568,68,38 ( ),3,5 e, e h h ( ).5 h() h().4.3 h ( ) , 6

32 Exemplo fíico de iema de egunda ordem c k m F i () x F k F c F k k x m F c c F i () dx d m a Fe F e F i ( ) Fc Fk m d x d c dx d k x F i () ()

33 No regime permanene quando < m. c. k x F () () Subraindo a equação da equação : m d ( x x ) d( x x ) d c d k ( x x ) F () F () i (3) VIÁVEIS DESVIO X x x F ( ) F ( ) F ( ) i d X d X m c k X d d F () (4)

34 Freqüência angular naural ω n k m azão de amorecimeno ζ Enrada do iema E () m k d X d c k d X d X F( ) k c mk F( ) k (4) ω n d X d ζ d X ω d n X E() (5)

35 Tranformada de Laplace ( ) ( ) () () E X X X n n ω ζ ω (6) ( )( ) ( ) n n n E X ω ω ζω ( ) () ( ) n n n E X ω ζω ω

36 Exemplo: E() x m, 7 kg k,75 c,48 N. 3 m N m 3 N k,75 ω m n 34, 86 z m,7kg,48 N. c ζ m mk,7kg.,75 3 N m,6

37 Enrada degrau () > < 7,5 N F () ( ) m m N N k F E,,75 7,5 3 () E, () > <, m E () ( ) n n n b X ω ζω ω () ( ) 34,86.,6.34,86,.34,86 X () ( ),93, X

38 X (), (,93 ) Expandindo em fraçõe parciai: X (), (,55 34,8i )(,55 34,8i ) X () B (,55 34,8i ) (,55 34,8i ) C X (), i (,55 34,8i ) (,55 34,8i ) 5 i x Tranformada invera de Laplace: () 3 (,55 34,8i) 5 (,55 34,8i), 5 e 8 ie K 3 (,55 34,8i) 5 (,55 34,8i) 5 e 8 ie

39 x x () 3 (,55 34,8i) 5 (,55 34,8i), 5 e 8 ie K 3 (,55 34,8i) 5 (,55 34,8i) () (,55), e x 5 ( ) (,55), e 5 3 e e 8 ie ( 34,8i) 5 ( 34,8i) ie K ( ) ( ) 34,8i 5 34,8i e 8 ie [ ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )] 3 34,8i 34,8i 5 34,8i 34,8i 5 e e 8 i e e Idenidade de Euler: coθ enθ e e iθ iθ e e i iθ iθ e e ( 34,8i) ( 34,8i) e ( 34,8i) ( 34,8i) e co34,8 i en 34,8

40 x () (,55), e (,co( 34,8 ),6 en( 34,8 ) ) x [ ] ( ) (,55), e ( co( 34,8 ),6 en( 34,8 ) ) x ()

41 x [ ] ( ) (,55), e ( co( 34,8 ),6 en( 34,8 ) ) plicando a idenidade rigonomérica: onde: p co qen r en r p q ( Φ) an Φ p q x [ ] () (,55), e en( 34,8,555) epoa de um iema de a ordem a uma enrada degrau x ( ) () ( ) ζω b e en ω ζ Φ n ζ n Mahcad Documen

42 Enrada Impulo F () 7,5 N < > ( ) F 7,5N E(), m 3 k,75 N m E (),m < > E( ),

43 X () ω n ( ζω ω ) n n E() E(), ωn 34, 86 z ζ, 6 X (),,93 Tranformada invera de Laplace x( ),35 ( ) e,55 en( 34,8 )

44 x( ),35 ( ) e,55 en( 34,8 ) x (). Mahcad Documen.3.4 epoa de um iema de a ordem a uma enrada impulo bω θ e n ζ ( ) ( ζω ) en ω ζ n n

45 Enrada ampa () > <. 7,5 N F () () m m N N k F E.,,75. 7,5 3 (), E () > <,. E

46 X () ω n ( ζω ω ) n n E() x( ), E () ωn 34, 86 z ζ, 6 X (),,93 ( ) Tranformada invera de Laplace (,55 ) co( 34,8 ) 6 6,. 9 9 e K,9 4 e (,55 ) en( 34,8 )

47 x( ) (,55 ) co( 34,8 ) 6 6,. 9 9 e K,9 4 e (,55 ) en( 34,8 ).9 x () y() Mahcad Documen