Transformada de Laplace. Um Livro Colaborativo

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1 Tranformada de Laplace Um Livro Colaboraivo 7 de junho de 8

2 Organizadore Eequia Sauer - UFRGS Fabio Souo de Azevedo - UFRGS Irene Maria Foneca Srauch - UFRGS ii

3 Licença Ee rabalho eá licenciado ob a Licença Creaive Common Aribuição- ComparilhaIgual 3. Não Adapada. Para ver uma cópia dea licença, iii

4 Noa do organizadore Eamo ecrevendo ee livro de forma colaboraiva dede e, recenemene, decidimo por abrir a colaboraçõe exerna. Noo objeivo é produzir um maerial didáico em nível de graduação de excelene qualidade e de aceo livre pela colaboração enre profeore e aluno de univeridade, iniuo de educação e demai inereado na análie, eudo e aplicação da ranformada inegrai no mai divero ramo da ciência e da ecnologia. O uceo do projeo depende da colaboração! Edie você memo o livro, dê ugeõe ou no avie de erro e impreciõe. Toda a colaboração é bem vinda. Saiba mai viiando o ie oficial do projeo: hp:// Nada dio earia compleo em uma licença apropriada à colaboração. Por io, ecolhemo diponibilizar o maerial do livro ob licença Creaive Common Aribuição-Com Ou eja, você pode copiar, rediribuir, alerar e conruir um novo maerial para qualquer uo, incluive comercial. Leia a licença para maiore informaçõe. Deejamo-lhe óima colaboraçõe! iv

5 Prefácio Ee livro buca abordar o ópico de um curo moderno de ranformada de Laplace oferecido a eudane de maemáica, fíica, engenharia e ouro. A ênfae é colocada na formulação e reolução de problema e inerpreação de reulado. Eudam-e a propriedade da ranformada de Laplace e eu uo na reolução de equaçõe diferenciai. Evia-e empre que poível o uo de conhecimeno de variável compleza. Preupõe-e que o eudane domine conhecimeno e habilidade ípica deenvolvida em curo de graduação de cálculo, álgebra linear e equaçõe diferenciai. v

6 Sumário Organizadore Licença Noa do organizadore Prefácio ii iii iv v Inrodução Tranformada de Laplace 4. Definição de ranformada de Laplace Condição de exiência da ranformada de Laplace A ranformada invera de Laplace A propriedade de linearidade e a ranformada da derivada 5 3. Linearidade da ranformada de Laplace A ranformada de Laplace da derivada de uma função Aplicação da ranformada de Laplace para reolver problema de valor inicial 3.4 Méodo da fraçõe parciai para calcular ranformada invera A propriedade de ranlação e da ranformada da inegral 6 4. Propriedade de ranlação no eixo Aplicação: Ocilador Harmônico A função de Heaviide Propriedade do delocameno no eixo A propriedade da ranformada de Laplace da inegral de uma função Aplicação: circuio RC a um pulo de ampliude V A função Dela de Dirac e a propriedade da convolução A função Dela de Dirac Dela de Dirac como derivada diribucional da função Heaviide 5 vi

7 SUMÁRIO vii 5. Aplicação: circuio RLC Aplicação: cálculo da deflexão em viga ujeia a carga concenrada Aplicação: meabolimo de uma medicação Problema na origem Propriedade da convolução Funçõe epeciai e equaçõe com coeficiene variávei 7 6. Tranformada de Laplace de Funçõe Epeciai Tranformada de Laplace de funçõe periódica Série de poência Tranformada de Laplace invera de funçõe envolvendo expanão em érie de poênci 6.3. Tranformada de Laplace de funçõe envolvendo expanão em érie de poência A derivada da ranformada de Laplace Equaçõe diferenciai com coeficiene não conane Propriedade da inegral da ranformada de Laplace Propriedade do Valor Inicial e Final Exercício Siema de equaçõe diferenciai ordinária Tranformada de Laplace para reolver iema Aplicação: circuio de dua malha Aplicação: duplo maa mola Aplicação: reação química A Tabela de propriedade, ranformada e érie 8 A. Tabela de Tranformada de Laplace A. Tabela de propriedade da ranformada de Laplace A.3 Tabela de érie de poência Repoa do Exercício 5 Referência Bibliográfica 3 Colaboradore 3 Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

8 Capíulo Inrodução A modelagem de muio problema enconrado na fíica, química e engenharia ai como maa-mola, ou circuio em érie, envolve funçõe deconínua. Um exemplo dio é uma função do ipo chave liga/deliga, que é zero o início do fenômeno, depoi obe inananeamene a um valor conane durane algum empo e, finalmene, zero novamene. Méodo analíico para reolver equaçõe diferenciai, como faor inegrane, eparação de variávei, coeficiene a deerminar e variação de parâmero, funcionam bem quando a funçõe e envolvida ão conínua. O méodo que vamo inroduzir aqui, chamado de ranformada de Laplace, reolve ee ipo de problema. Eencialmene, a ranformada de Laplace é uma ranformação imilar a derivação ou inegração, poi leva função em oura função. Alem dio, ea ranformação leva a derivada de uma função em produo da função original. Io ignifica que ea ranformação leva uma equação diferencial a uma nova equação em ermo da função ranformada que é algébrica e pode er reolvida facilmene. Uma vez que a ranformada de Laplace é conhecida, emo que calcular a ranformada invera para ober a olução do problema ( [] and []). Para curar ea diciplina o eudane deve conhecer écnica báica eudada em diciplina como Cálculo Diferencial e Inegral e Equaçõe Diferenciai. Nee enido, propomo algun exercício reviando alguma écnica úei. Exercício E... Ue a expreõe coh x ex +e x, enh x ex e x, co x eix +e ix e en x eix e ix para calcular a eguine inegrai: i a) en ()e d b) co(w)e d

9 Tranformada de Laplace c) en (w)e d d) co (w)e d e) enh ()e d f) coh()e d E... Calcule o valor da inegral en (w)e d (.) como uma função de w e abendo que e w ão conane reai poiiva. E..3. Calcule o valor da inegral a e d (.) como uma função de a e abendo que a e ão conane reai poiiva. E..4. More que e x < enão a) k x k x b) k kx k x ( x) E..5. Ue o reulado anerior para reolver o eguine omaório a) k e k b) k ( ) k e k c) k ke k onde é uma conane real poiiva. E..6. inegrai: Ue a écnica de inegração por pare para realizar a eguine a) e d b) e d Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

10 3 E..7. Calcule a inegral I ecrevendo-o como o omaório en (π) e d (.3) k+ I ( ) k en (π)e d. (.4) k k Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

11 Capíulo Tranformada de Laplace. Definição de ranformada de Laplace Definição... Seja f() uma função definida no reai não negaivo. Quando a inegral L{f()} f()e d (.) for convergene, ela erá chamada de ranformada de Laplace da função f(). A ranformada de Laplace L{f()} de uma função f() é uma função da variável. A noação uual nee conexo é lera minúcula para a função e lera maiúcula para a ranformada: L{f()} F(), L{g()} G(), L{h()} H(). No próximo exemplo, vamo aplicar a definição para calcular a ranformada de Laplace de alguma funçõe. Exemplo... Vamo calcular a ranformada de Laplace da função f() : e a O limie lim a L{} lim a e d a e d e a lim. a ó exie e >. Porano, L{}, >. 4

12 .. DEFINIÇÃO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 Exemplo... A ranformada de Laplace da função f() é calculada fazendo inegração por pare: L{} e d e e + ( e ) e d. onde a noação e ( indica lim e a). Oberve que, e >, a primeira parcela do lado direio é zero e a egunda é L{}, io é, a L{} L{}, >. d. onde uamo o reulado do exemplo... Exemplo..3. Para calcular a ranformada de Laplace da função f() n uamo a ideia inroduzida no exemplo.. e ecrevemo-a em ermo da ranformada de n. Oberve primeiro a ranformada de e 3 L{ } e d e L{ 3 } 3 e d 3 e 3 ( e e d L{} ( 3 e e d 3 L{ } 3 ) d. 3, > ) d. 3! 3, > 4 Agora já podemo inuir qual eria a expreão para a ranformada de n : L{ n } n! n+, >. (.) Ea expreão pode er formalmene demonrada pelo méodo de indução maemáica (ver exercício..5). Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

13 6 Tranformada de Laplace Exemplo..4. A ranformada de Laplace da função f() e a pode er obida por inegração direa: L{e a } e (+a) + a e a e d e (+a) d + a, + a > Exemplo..5. A ranformada de Laplace da função f() en (w) pode er obida inegrando por pare dua veze: L{en (w)} en (w)e d en (w)e (w co(w)) ( e ) d w co(w)e d w ( co(w)e ( w en (w)) ( ) e ) d w ( w ) en (w)e d w w L{en (w)}. Oberve que obemo uma equação para L{en (w)}: Reolvemo ea equação e obemo io é, L{en (w)} w w L{en (w)}. (.3) L{en (w)} L{en (w)} ( + w ) w, (.4) w + w, >. (.5) Exemplo..6. Vamo agora calcular a ranformada de Laplace L{f()} de uma função f() deconínua definida por pare:, 4 f() (.6) 5, > 4. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

14 .. DEFINIÇÃO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 Aqui uamo a eguine propriedade de inegral: b a f()d x a f()d + b x f()d. Porano, L{f()} 4 4 5e f()e d f()e d + e d e 4 f()e d 5e d Exercício E... Calcule a ranforma de Laplace da função f() co(w) uando a definição. E... Calcule a ranforma de Laplace da função f() definida por pare: f(), 3, 3 5,, > 5. (.7) E..3. Ue a definição de ranformada de Laplace para calcular a ranformada da funçõe dada no gráfico abaixo: a) f() b) f() c) f() k k k c c c c+b Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

15 8 Tranformada de Laplace d) f() e) f() k k c c c E..4. Ue a definição de ranformada de Laplace para calcular a ranformada da funçõe dada a eguir: a) f() a, < b) f(), < 3, > 3 c) f() a, a > d) f() co(w) e) f() coh(a) f) f() e g) f() e +4 E..5. (Princípio da Indução) More que L{ n } n! eguindo o eguine pao: n+ a) More que a fórmula é válida para n,, e 3. b) More que L{ n } (n )! é válida, enão L{ n } n! ambém o é. n n+ De fao, baaria morar para n. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

16 .. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 9. Condição de exiência da ranformada de Laplace A inegral que define a ranformada de Laplace nem empre converge e, nee cao, dizemo que a função não poui ranformada de Laplace. A funçõe f() e e f() ão algun exemplo de funçõe que não pouem ranformada de Laplace. Nea eção, vamo inroduzir uma família de funçõe que pouem ranformada de Laplace. Nee conexo, vamo coniderar a funçõe que ão conínua por pare, ou eja, aquela que poui um número finio de deconinuidade. Definição... Dizemo que uma função f() é de ordem exponencial c e exiem conane c, M > e T > al que f() Me c para odo > T. Exemplo... A funçõe f(), g() en (), h() e ão de ordem exponencial, poi e, >, (.8) A figura. ilura o crecimeno de f, g e h 5 co() e, >, (.9) e e, >. (.) 3 e e 5co() 3 3 e e Figura.: Teorema... Se f() é inegrável em cada inervalo [a,b] [, ) e de ordem exponencial c, enão a ranformada de Laplace de f() exie para > c. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

17 Tranformada de Laplace Demonração. Como a função f() é de ordem exponencial c, enão exiem conane c, M > e T > al que f() Me c para odo > T. Aim, e ˆT é maior ou igual a T, a ranformada de Laplace pode er ecria como a eguine oma: L{f()} f()e d ˆT f()e d + ˆT f()e d. (.) A primeira parcela do lado direio é a inegral do produo de dua funçõe inegrávei no inervalo [, ˆT], logo, eá bem definido. Agora, como ˆT T, podemo eimar f()e d f() e d Me c e d ˆT M ˆT ˆT e ( c) d ˆT M c e ( c) ˆT M c e ( c) ˆT, > c. M Como lim ˆT c e ( c) ˆT, a inegral f()e d converge para odo > c, ou eja, a ranformada de Laplace exie nee domínio. Obervação... O eorema.. apreena condiçõe uficiene para exiência da ranformada de Laplace, ea condiçõe não ão, no enano, neceária. Por exemplo, a função f() ln() não é conínua na origem, equer é limiada quando +, ma admie uma Tranformada de Laplace. Teorema... (Comporameno no infinio) Se a ranformada de Laplace de uma função limiada f() exie, F() L{f()}, enão Demonração. Por definição, Fazendo u, emo: F() F() lim F(). (.) f()e d. (.3) f ( u ) e u du. (.4) Uando o fao que f é limiada, exie M al que f() < M e, aim, F() M Porano, F() quando, o que implica e u du M. (.5) lim F(). (.6) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

18 .3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Exercício E... Idenifique quai funçõe ão inegrávei por pare em [, ) e de ordem exponencial, io é, e enquadram na hipóee do eorema... a) f() e 3. b) f() e 5 co(). c) f(). d) f() ln(). e) f(). f) f() 5 +. g) f() e. h) f() e., 3 i) f(), 3 5,, > 5..3 A ranformada invera de Laplace Se F() L{f()} é a ranformada de Laplace de f(), enão dizemo que f() L {F()} é a ranformada invera de Laplace da função F(). Ea definição ó faz enido e a ranformação definida no conjuno de funçõe que pouem ranformada de Laplace for "bijeora", ou eja, cada função f() eá relacionada a uma única ranformada F(). É fácil obervar que dua funçõe iguai a parir de pouem a mema ranformada de Laplace. Porém, e dua ranformada ão iguai para >, por exemplo, F() G(), enão f()e d g()e d (.7) ou eja, (f() g())e d (.8) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

19 Tranformada de Laplace para cada >. Ma, o fao dea inegral er nula, não ignifica que a função f() g() é nula. Tome como exemplo a função, < 3, h(), 3, (.9), > 3, que não é nula, ma a inegral h()e d >. (.) No enano, a função f() g() não pode er diferene de zero em um conjuno muio grande. Baa omar como exemplo uma função que não e anula em um inervalo pequeno:, < ǫ, h() (.), ǫ para < ǫ <<. Por menor que eja ǫ, a inegral (.) não e anula para >. Exie um conceio que diz que dua funçõe h () e h () ão iguai quae-empre em [a,b] e b h () h () d. (.) a Oberve que o módulo no conceio é imporane, poi podemo omar uma função diferene de zero em inervalo grande e com inegral zero, por exemplo,, <, h 3 (), <,. (.3),, Oberve que a inegral (.) deverá er zero para odo >, o que compena a fala do módulo. Por exemplo, a inegral (.) aplicada a função (.3) não é zero: h 3 ()e d ǫ e e d ǫ e ǫ e ǫ ǫ ǫ ǫ e ǫ e d + e ǫ, >. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

20 .3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 3 Uando ee conceio, e dua ranformada de Laplace ão iguai, a repeciva invera ão iguai quae-empre. Nee enido, uma função que poui ranformada de Laplace eá conida numa clae de funçõe que pouem a mema ranformada de Laplace. Se olharmo cada clae de funçõe como um elemeno de um conjuno, enão a ranformada de Laplace é "bijeora". Io ignifica que a ranformada invera eá bem definida, memo que não ecrevemo uma forma inegral fechada para ela. Uma forma inegral fechada para a ranformada invera de Laplace aparecerá nauralmene na eoria de ranformada de Fourier. Aqui emo a abela. da ranformada de Laplace que calculamo na eção. e ua repeciva invera. Oberve que cada função da egunda coluna repreena uma clae de funçõe iguai quae-empre. A abela A. e A. do apêndice A. eão mai complea. A abela de ranformada ão úei quando eamo reolvendo uma equação diferencial, poi na práica, conulamo uma abela para calcular a invera. Exemplo.3.. Para calcular a ranformada invera da função F() +, fixamo a na quara linha da abela. e obemo { } L en () (.4) + Exemplo.3.. Da mema forma, para calcular a ranformada invera da função F() 3, fixamo n 3 na erceira linha da abela. e obemo Exercício { } L 9 3 9!. (.5) E.3.. Ue a abela A. para calcular a ranformada Invera de Laplace da funçõe: a) F() +4 b) F() 4 c) F() 9 d) F() e) F() ( ++)(+) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

21 4 Tranformada de Laplace F() L{f()} f() L {F()} n, (n,,3,...) n (n )! w w + en (w) + a e a Tabela.: Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

22 Capíulo 3 A propriedade de linearidade e a ranformada da derivada 3. Linearidade da ranformada de Laplace Teorema 3... (Propriedade da linearidade) A ranformada de Laplace é uma ranformação linear, io é, L {αf() + βg()} αl {f()} + βl {g()} (3.) empre que cada uma da ranformada exiirem. Demonração. Io vem direo da propriedade de linearidade da inegral: L {αf() + βg()} α (αf() + βg()) e d αf()e d + f()e d + β αl {f()} + βl {g()}. βg()e d g()e d Exemplo 3... A ranformada de Laplace da função f() en (w) já foi calculada no exemplo..5. Agora vamo calcular novamene uando o reulado do exemplo..4 e a linearidade da ranformada de Laplace. Primeiro recordamo a fórmula de Euler para ecrever exponenciai complexa em ermo de eno e coeno: e iw co(w) + i en (w) ou e iw co(w) i en (w). 5

23 6 Tranformada de Laplace A dua expreõe podem er reolvida em ermo do eno e do coeno para ober en (w) co(w) eiw e iw i eiw + e iw (3.) (3.3) Agora podemo calcular a ranformada de Laplace do eno uando a expreão (3.). L{en (w)} L { e iw e iw } i i L { e iw} i L { e iw} ( i iw ) + iw ( ) + iw ( iw) i ( iw)( + iw) ( ) iw i + w w + w Exemplo 3... A ranformada de Laplace da função f() enh (w) pode er calculada uando o reulado do exemplo..4 e a expreõe em ermo de exponenciai: enh (a) coh(a) ea e a (3.4) ea + e a. (3.5) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

24 3.. LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 Aplicamo a propriedade 3.. a expreão (3.4) e emo: { e a e a } L{enh (a)} L L { e a} L { e a} ( a ) + a ( ) + a ( a) ( a)( + a) ( ) a a a a Exemplo Vamo calcular a ranformada de Laplace da função f() w en (w) uando propriedade de linearidade 3.. e o exemplo 3..: L{w en (w)} wl {} L {en (w)} w w + w w( + w ) w ( + w ) w( + w ) w ( + w ) w 3 ( + w ) Obervação 3... A ranformada invera de Laplace ambém é uma ranformação linear, io é, L {αf() + βg()} αf() + βg(). (3.6) Ee reulado é conequência da propriedade de linearidade 3..: L {αf() + βg()} L {αl{f()} + βl{g()}} L {L {αf() + βg()}} αf() + βg(). Exemplo Vamo calcular a ranformada invera de Laplace da função F() + 4 uando propriedade de linearidade 3.6 e a abela.: { L + 4 } { } { } { } L + 4L L + 4 e Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

25 8 Tranformada de Laplace Exercício E 3... Ue a propriedade de linearidade 3.. para calcular a ranformada de Laplace da eguinefunçõe a) f() 8 + en (5) b) f() 3 ( ) c) f() ( 3) 3 d) f() co() f) f() en () 3 g) f() coh() 3 h) f() co(w). i) f() e a e b. j) f() coh(a). k) f() co(w). E 3... Ue a linearidade da ranformada invera para calcular a ranformada invera de Laplace da eguine funçõe a) F() 8 +4 b) F() ( 4 + ( 4) E Reolva o eguine ien ) a) Ue a definição para morar que L{e z } z, z C. b) Ue a fórmula do iem a) para concluir que L{e (a+ib) } a + ib ( a) + b (3.7) c) Ue a fórmula de Euler e o iem b) para concluir que L{e a a co(b)} ( a) + b (3.8) e L{e a b en (b)} ( a) + b (3.9) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

26 3.. A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 9 3. A ranformada de Laplace da derivada de uma função Teorema 3... (Propriedade da ranformada da derivada) Se f() é conínua e de ordem exponencial e f () é conínua por pare para, enão L{f ()} L{f()} f(). (3.) Demonração. Primeiro conidere f() e f () conínua no reai não negaivo. Uando inegração por pare na definição de ranformada de Laplace, emo L{f ()} e f ()d e f() ( e )f()d f() + f() + L{f()} e f()d Se f () for conínua por pare, enão eparamo a inegrai em oma de al forma que f () eja conínua em cada parcela. Aplicamo inegração por pare em cada parcela e obemo o reulado deejado. Conidere f() e f () conínua e f () conínua por pare. Enão podemo aplicar a expreão 3. dua veze e ober: L{f ()} L{f ()} f () (L{f()} f()) f () L{f()} f() f (). (3.) Analogamene, e f(), f (),, f (n ) () ão conínua e f (n) () é conínua por pare, enão L{f (n) ()} n L{f()} n f() n f () f (n ) (). (3.) Vamo uar a propriedade 3.. da ranformada da derivada para calcular ranformada de Laplace. Exemplo 3... Vamo calcular a ranformada de f() co() uando a propriedade 3... Oberve a derivada: f() co(), f () en () e f () co(). (3.3) Logo, f () f(). (3.4) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

27 Tranformada de Laplace Aplicamo a ranformada de Laplace e uamo a propriedade 3..: F() f() f () F(). (3.5) Uamo o fao que f() co() e f () en () e obemo ou eja, F() F(), (3.6) F() que confere com o iem 4 da abela A.. +, (3.7) Exemplo 3... Agora, vamo calcular a ranformada de g() co() uando a propriedade 3.. da ranformada da derivada. Oberve a derivada: g () en () + co() (3.8) e ou eja, g () co() en () en (), (3.9) g () g() en (). (3.) Aplicamo a ranformada de Laplace e uamo a propriedade 3..: G() g() g () G() L{en ()}. (3.) Uamo o fao que g() co(), g () en () + co() e L{en ()} + e obemo G() G() +, (3.) io é, G() ( + ), (3.3) Exercício E 3... Dado f() coh(a), abemo que f () f(), f() coh() e f () a enh (). Ue ea informaçõe e a propriedade da ranformada da derivada para calcular L{f()}. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

28 3.3. APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E 3... Ue a propriedade da ranformada da derivada para calcular a ranformada da eguine funçõe: a) f() b) f() Aplicação da ranformada de Laplace para reolver problema de valor inicial A propriedade da ranformada da derivada 3.., junamene com a propriedade da linearidade 3.., ão imporane para reolver problema de valor inicial. A ideia é aplicar a ranformada de Laplace à equação diferencial e, uando a condiçõe iniciai ecrevemo uma equação algébrica para ranformada de Laplace da olução, que é chamada de equação ubidiária. Em eguida, reolvemo a equação algébrica e calculamo a ranformada invera para ober a olução do problema. Por exemplo, conidere o problema de valor inicial de egunda ordem y () + ay () + by() f() y() y y () y com a, b, y e y conane. A aplicação da ranformada de Laplace no dá L{y ()} + al{y ()} + bl{y()} L{f()}. (3.4) Uando a propriedade 3.., obemo a eguine equação ubidiária L{y()} y() y () + al{y()} ay() + bl{y()} L{f()} (3.5) ou eja, Y () F() + y + y + ay ( + a + b) (3.6) onde L{y()} Y () e L{f()} F(). A olução do problema de valor inicial é y() L {Y ()}. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

29 Tranformada de Laplace Exemplo Vamo reolver o problema de valor inicial y () + y() y() y () Primeiro aplicamo a ranformada de Laplace na equação diferencial: Em eguida, uamo a equação 3. para ober F{y ()} + F{y()} F{} (3.7) L{y()} y() y () + F{y()} F{}. (3.8) Agora, uamo a noação L{y()} Y () e o fao que F{} para ecrever Y () y() y () + Y (). (3.9) Obemo a equação ubidiária quando ubiuímo y() e y () : Y () + Y (). (3.3) O próximo pao é reolver a equação algébrica para Y () Y () ( + ) + +, (3.3) io é, Y () ( + ) + ( + ) + ( + ). (3.3) A olução do problema de valor inicial pode er ecria como { } { } { } y() L + L + L. ( + ) ( + ) ( + ) (3.33) Obemo a ranformada invera olhando a abela A. do apêndice A., ien, 4 e 3: { } L en (), ( + ) w no iem da abela A., (3.34) { } L co(), ( + ) w no iem 4 da abela A. (3.35) e { } L en (), ( + ) w no iem 3 da abela A. (3.36) Combinando a propriedade da linearidade 3.., emo: y() en () + co() + en () + co() en () (3.37) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

30 3.3. APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 3 E Reolva o eguine problema de valor inicial y () + y () + y() e y() y () Exercício E Reolva o eguine problema de valor inicial a) b) y + y, y() 3 y + 3y e, y() c) d) e) f) y + 5y + 6y, y(), y () y + y + y e, y(), y () y + y co(), y() 3, y () 4 y + 7y + y e 3, y() 3.5, y () Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

31 4 Tranformada de Laplace 3.4 Méodo da fraçõe parciai para calcular ranformada invera Suponha que P (x) e Q(x) ão polinômio ai que o grau de P é menor que o grau de Q. O polinômio Q(x) pode er faorado em polinômio de grau um e doi: Q(x) (a x+b ) l (a n x+b n ) ln (c x +d x+e ) p (c m x +d m x+e m ) pm. (3.38) Com io, podemo enconrar conane A,,..., A n,l l n, B,,..., B m,p p n C,,..., C m,p p n ai que: e P (x) Q(x) + l k p k ln A,k (a x + b ) + + l k k A n,k (a n x + b n ) ln k pm B,k x + C,k (c x + d x + e ) + + p k k B m,k x + C m,k (c m x + d m x + e m ) pm k. Ee méodo é uado para calcular inegrai de funçõe racionai e ranformada invera de Laplace. Exemplo Para calcular a ranformada invera de Laplace da função racional F() uamo o méodo de fraçõe parciai, ou eja, enconramo ( )( 5) A, B e C que aifazem F() ( )( + ) A + B + C + A( + ) + (B + C)( ) ( )( + ) (A + C) + (B C) + A B. ( )( + ) Obemo o iema A + C B C A B que em olução B C e A. Logo, F() ( + ). (3.39) + Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

32 3.4. MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS PARA CALCULAR TRANSFORMADAS INVERSAS 5 Ecrevendo em uma forma conveniene, emo A ranformada invera é F() f() ( + ). (3.4) + ( e co() en () ). (3.4) E Calcule a ranformada invera de Laplace da função F() 3 ( 3)( + ). (3.4) Exercício E Realize a expanão em fraçõe parciai da eguine funçõe racionai F() e calcule a repeciva ranformada invera f() L {F()}. a) F() b) F() + (+) 3 c) F() (+) 3 d) F() 5 5 (+)( ) 3 e) F() 3 ( 3)( +) f) F() ++3 ( ++)( ++5) g) F() ( ) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

33 Capíulo 4 A propriedade de ranlação e da ranformada da inegral 4. Propriedade de ranlação no eixo Nea eção vamo calcular a ranformada invera do delocameno F( a) abendo a ranformada invera de F(). Teorema 4... (Propriedade da ranlação no eixo ) Se F() é a ranformada de Laplace de f() definida para >, enão e a f() é a ranformada invera de F( a), io é L { e a f() } F( a), > + a (4.) ou L {F( a)} e a f(), > + a. (4.) Demonração. É direo da aplicação da definição da ranformada de Laplace F( a): F( a) f()e ( a) d f()e a e d L { e a f() } Agora vamo calcular alguma ranformada de Laplace uando a propriedade

34 4.. PROPRIEDADE DE TRANSLAÇÃO NO EIXO S 7 Exemplo 4... Para calcular a ranformada de Laplace de f() e a, que é o iem 8 da abela A., uamo o iem da mema abela, e a propriedade de ranlação 4.. com f() : L { e a } F( a) L{} F(), (4.3) ( a), > a (4.4) Exemplo 4... Vamo provar o iem 5 da abela A., { } L 4a 3(en (a) coh(a) co(a) enh (a)) 4 + 4a, 4 (4.5) uando o ien 3 e 4 da abela A.: { } L a en (a) + a, (4.6) e L {co(a)} + a. (4.7) De fao, { } L 4a 3 (en (a) coh(a) co(a) enh (a)) { ( L 4a 3 en (a) ea + e a co(a) ea e a )} { ( ) } L 8a 3 e a (en (a) co(a)) + e a (en (a) + co(a)) 8a 3 [ 8a 3 8a 3 {( } { )}] e a (en (a) co(a)) + L e a (en (a) + co(a)) L [ ] a ( a) + a a ( a) + a + a ( + a) + a + + a ( + a) + a [ 8a 3 ] (( a) + a ) (( + a) + a ) 4 + 4a 4 Exemplo Vamo calcular a ranformada de Laplace de f() e coh() uando a propriedade 4.. e a abela A.. Primeiro oberve o iem 6 da abela com a : L{coh()} F(). (4.8) 4 Agora ue a propriedade da ranlação no eixo L { e coh() } F( + ) +, > (4.9) ( + ) 4 Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

35 8 Tranformada de Laplace Exemplo a) Agora vamo uar a propriedade 4.. e o iem 5 da abela A. para calcular a ranformada invera de Laplace da função F(). Primeiro ecrevemo 3 F() numa forma conveniene: F() 3 ( ) 3 ( ) 4. (4.) { } Oberve no iem 6 da abela que L enh () G() e, ambém, 4 pela propriedade da ranlação no eixo dada na equação (4.) Exercício L {F()} L {G( )} e enh (). (4.) E 4... Ue a propriedade 4.. e a abela A. e A. para calcular a eguine ranformada de Laplace { } a) L (n )! n e a (uando o iem 3 da abela) { } b) L w en (w)ea (uando o iem 3 da abela) E 4... Ue a propriedade 4.. e a abela A. e A. para calcular a eguine ranformada de Laplace a) L {enh () co()} b) L { (4 + )e } E Enconre f() dado que F() uando a abela e a propriedade a) F() (+) + b) F() ( +5)( +) E Ue a propriedade 4.. e propriedade 4.4. para calcular a ranformada invera de Laplace F() e ( ) + 5. (4.) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

36 4.. APLICAÇÃO: OSCILADOR HARMÔNICO 9 E Uilize a propriedade do delocameno no eixo para enconrar a ranformada de Laplace de: a) e 3 b) e en 4 c) e 4 coh(5) d) e (3 co(6) 5 en (6)) 4. Aplicação: Ocilador Harmônico Uma mola eláica com uma exremidade fixada prende um corpo de maa m na oura exremidade (veja figura (4.)). Conidere que o corpo eeja ujeio a uma força de ario proporcional a velocidade com conane de amorecimeno γ e a que mola obedeça a lei de Hooke com conane k. Seja y() o delocameno y() Figura 4.: do corpo da ua poição de equilíbrio eáico em função do empo. A equação do movimeno é obida a parir da egunda lei de Newon: ma i f i, (4.3) onde a y () é a aceleração e i f i repreena a oma de oda a força. No cao raado aqui, exiem apena rê força, a aber: i) a força da mola, que é proporcional ao decocameno (lei de Hooke), com conane de proporcionalidade k, f ky(), Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

37 3 Tranformada de Laplace ii) a força de ario, que é proporcional a velocidade, com conane de amorecimeno γ, f γy (), e iii) a força exerna, f 3 () f() Logo, my () f + f + f 3 ky() γy () + f(), (4.4) ou eja, a equação para o delocameno y() é dada por my () + γy () + ky() f(). (4.5) O modelo fica compleo quando impomo a condiçõe iniciai y() y e y () y. Agora, vamo uar o méodo da ranformada de Laplace para reolver a equação. Aplicamo a ranformada de Laplace na equação (4.5) e obemo: ml{y ()} + γl{y ()} + kl{y()} L{f()}. (4.6) Aplicamo a propriedade 3.. e obemo m L{y()} my() my ()+γl{y()} γy()+kl{y()} L{f()}. (4.7) Impomo a condiçõe iniciai para ober a eguine equação ubidiária: m Y () my my + γy () γy + ky () F(), (4.8) onde F() L{f()} e Y () L{y()}. Reolvemo a equação para Y (): Y () F() + my + my + γy. (4.9) m + γ + k A olução do problema pode er repreenado por y() L {Y ()}. O iema maa mola pode er claificado da eguine forma: i) Ocilador harmonico forçado: quando a força exerna não é nula. ii) Ocilador harmônico livre: quando não há força exerna, ou eja, f(), o que implica em F(). Nee cao Y () my + my + γy. (4.) m + γ + k iii) Ocilador harmônico ubamorecido: quando γ < 4mk. No cao F(), emo: Y () my + my + γy m + γ + k my + my + γy m ( ) + γ, (4.) m γ + k 4m onde γ + k >. Olhando o ien 3 e 4 da abela de ranformada A. 4m e combinando com a propriedade 4.., concluímo que a oluçõe ão eno e coeno muliplicado por exponenciai. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

38 4.. APLICAÇÃO: OSCILADOR HARMÔNICO 3 iv) Ocilador harmônico uperamorecido: quando γ > 4mk. No cao F(), emo: Y () my + my + γy m + γ + k my + my + γy m ( ) + γ, (4.) m γ + k 4m onde γ + k <. Olhando o ien 5 e 6 da abela de ranformada 4m A. e combinando com a propriedade 4.., concluímo que a oluçõe ão eno e coeno hiperbólico muliplicado por exponenciai, ou eja, oma de exponenciai pura (lembre-e que enh (a) e a e a e coh(a) e a + e a ). v) Ocilador harmônico criicamene amorecido: quando γ 4mk. No cao F(), emo: Y () my + my + γy m + γ + k my + my + γy m ( ) + γ, (4.3) m Olhando para o iem 3 da abela de ranformada A. e combinando com a propriedade 4.., concluímo que a oluçõe ão polinômio muliplicado por exponenciai. vi) Ocilador harmônico não amorecido: quando γ. No cao F(), emo: Y () my + my m + k y + y + k, (4.4) m Olhando o iem 3 e 4 da abela de ranformada A. concluímo que a oluçõe ão eno e coeno puro. Para ilurar, omemo um cao ubamorecido, por exemplo, γ, m e k 5, ujeio à condiçõe iniciai y e y. A função Y () oma a forma: Y () (4.5) A ranformada invera no leva a olução do problema: { } y() L. (4.6) Para calcular a invera olhamo o ien 3 e 4 da abela A. e ecrevemo numa forma conveniene ( + ) ( + ) + 4 ( + ) + 4. (4.7) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

39 3 Tranformada de Laplace Uamo a propriedade 3.. para concluir o reulado { } y() L + { } ( + ) + L ( + ) + e co() e en (). Para idenificar a ampliude e a fae, ecrevemo a expreão em ermo de exponencial veze coeno: e ( co() en () ) Ae co(+δ) Ae (co() co(δ) en () en (δ)). Io é verdade e A co(δ) A en (δ) ou eja, A e δ é uma fae no primeiro quadrane onde (4.8) (4.9) co(δ) 5 5 5, (4.3) o que implica em δ, rad 6,57. Porano, 5 y() e co( +,463648). (4.3) A figura 4. ilura o gráfico de y(). Exercício E 4... Conidere um ocilador harmônico modelado pelo problema de egunda ordem abaixo. my () + γy () + ky() y() y y () y onde m 3 Kg, γ 4 Kg/, y m, y m/ e k é uma conane poiiva. Enconre a faixa onde k pode aumir valore para que o iema fique uperamorecido. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

40 4.. APLICAÇÃO: OSCILADOR HARMÔNICO 33 y() 5 e 5 e Figura 4.: E 4... Ue a ranformada de Laplace para reolver o eguine problema de valor inicial a) b) y + 5y + 6y e, y(), y () y + 5y + 6y 6u( 3), y(), y () E (Reonância) Conidere o ocilador harmônico não amorecido com Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

41 34 Tranformada de Laplace ermo forçane decrio pelo problema de valor inicial dado por: my () + ky() F() y() y (), (4.3) onde F() F en ( k m ). Ue o méodo de ranformada de Laplace para calcular a olução, obervando que a frequência de ocilação naural do iema coincide com a frequência do ermo forçane. E Conidere o ocilador harmônico amorecido com ermo forçane F() (u( ) u( )) decrio pelo problema de valor inicial y () + 3y () + y() F() y() y () Ue o méodo de ranformada de Laplace para calcular a olução.. (4.33) E Conidere o eguine problema de egunda ordem que modela um iema maa-mola-amorecedor my () + αy () + κy() f() Onde f() é a força exerna e a condiçõe iniciai y() e y () ão nula. Supondo m 4 e κ, reponda à alernaiva a eguir: a) Enconre o conjuno de valore α para que o iema eja amorecido. b) Enconre o conjuno de valore α para que o iema eja ub-amorecido. c) Enconre o conjuno de valore α para que o iema eja criicamene amorecido. d) Enconre o conjuno de valore α para que o iema eja uperamorecido. e) Enconre a repoa y() do iema criicamene amorecido quando f() δ( ). Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

42 4.3. A FUNÇÃO DE HEAVISIDE A função de Heaviide A função de Heaviide ou função degrau uniário é nula para argumeno negaivo e vale para argumeno poiivo. Quando o argumeno é zero a função não precia ear definida (ou pode-e definir qualquer valor, dependendo do conexo, por exemplo /). Oberve que ea é uma função conínua por pare:, < u(), >. (4.34) A função de Heaviide com deconinuidade em a é da forma, < a u( a), > a. (4.35) A figura 4.3 apreena o gráfico de u() e u( a) para a >. Oberve que a u() u( a) a Figura 4.3: repreenação gráfica em a não eá com o rigor maemáico para funçõe, poi deveria ear eboçado bolinha abera indicando que em a a função não eá definida. Ee ipo de repreenação gráfico é uado no conexo de ranformada de Laplace. Quando realmene for neceário definir um ranição em, omae uma aproximação linear e conínua para a função de Heaviide, chamada de função rampa:, < ǫ g ǫ () +, ǫ ǫ (4.36) ǫ, > ǫ, para ǫ <<. A figura 4.4 ilura o gráfico de g ǫ () para ǫ /. A função de Heaviide é o limie de g ǫ () e : lim g ǫ () u(),. (4.37) ǫ Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

43 36 Tranformada de Laplace u() Figura 4.4: Uma função imporane em aplicaçõe é a função pulo, definida por: f p (), < a, a < < b, > b., (4.38) com a < b A figura 4.5 apreena uma repreenação gráfica para a função pulo. A u() a b Figura 4.5: função pulo normalmene é repreenada em ermo da diferença de dua funçõe de Heaviide: f p () u( a) u( b), a < b. (4.39) A função pulo geralmene indica uma chave liga-deliga. Por exemplo, o produo f p ()f() ignifica que f eava deligada para < a, f foi ligada em a e deligada em b. Analogamene, o produo u( a)f() indica que a função foi ligada em a. Oberve o gráfico de u( ) en () na figura 4.6. Exemplo Repreenar algebricamene em ermo da função de Heaviide a função dada no gráfico da figura 4.7. Oberve que podemo repreenar f() da Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

44 4.3. A FUNÇÃO DE HEAVISIDE 37 u( )en() Figura 4.6: Gráfico da função u( ) en (). f() Figura 4.7: eguine forma: f(), <, < < 3 3, 3 < < 5, > 5. (4.4) Para repreenar em ermo da função de Heaviide, olhe para o gráfico penando em doi pulo: (u( ) u( 3)) e 3(u( 3) u( 5)). A oma dele é a função deejada: f() (u( ) u( 3)) 3(u( 3) u( 5)). (4.4) A ranformada de Laplace da função de Heaviide é obida direo da definição. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

45 38 Tranformada de Laplace Primeiro conidere a : Se a <, enão L{u( a)} a u( a)e d e d e a e a. (4.4) L{u( a)} L{}. (4.43) Exercício E Eboce o gráfico da função f() (u() u( π)) en (). E Ecreva uma expreão em ermo da função de Heaviide para a função dada no gráfico 4.8. f() Figura 4.8: E Eboce o gráfico da eguine funçõe: a) ( π)u( π) b) u( ) c) (en )u( π) d) f() u( ) + 3u( 3) 4u( 5) e) f() u() + ( )u( ) + (6 )u( ) + ( 6)u( 6) f) f() [u() + u( )] Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

46 4.3. A FUNÇÃO DE HEAVISIDE 39 g) f() u( ) [ u( )] E Ecreva uma expreão para cada função em ermo da função de Heaviide. a) f() b) f() c) f() d) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

47 4 Tranformada de Laplace 4 f() Propriedade do delocameno no eixo Teorema (Propriedade do delocameno no eixo ) Se F() é a ranformada de f(), enão f( a)u( a) é a ranformada invera de e a F(), io é L {u( a)f( a)} e a F(), a > (4.44) ou L { e a F() } u( a)f( a), a >. (4.45) Demonração. Aplicamo a definição da ranformada de Laplace e obemo: L {u( a)f( a)} a a u( a)f( a)e d u( a)f( a)e d + f( a)e d, a u( a)f( a)e d poi u( a) é zero no inervalo [,a) e um no inervalo (a, ). Depoi uamo a mudança de variável v a na úlima inegral: a f( a)e d f(v)e (v+a) dv e a f(v)e v dv. Logo, L {u( a)f( a)} e a L {f()} e a F(). (4.46) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

48 4.4. PROPRIEDADE DO DESLOCAMENTO NO EIXO T 4 Oberve que omando f() na propriedade 4.4., emo: L {u( a)} e a, a > (4.47) que coincide com a fórmula calculada na equação (4.4). Quando a na equação (4.47), recaímo no iem da abela A.. Exemplo Aplicando direamene a propriedade 4.4. e uando que L{ } 3, calculamo a ranformada invera de Laplace de e 3 3 : L { e 3 3 } u( 3)( 3). (4.48) Exemplo Vamo calcular a ranformada invera de Laplace da função Primeiro calculamo a ranformada de F() e ( + ). (4.49) (+) uando a propriedade 4.. { } L e enh (). (4.5) ( + ) Depoi uamo a propriedade 4.4. para concluir { } { } L e u( )L ( + ) ( + ) Exercício u( )e ( ) enh ( ). (4.5) E Ue a propriedade 4.4., calcule a ranformada invera de Laplace e eboce um gráfico para cada iem: a) G() e +4 b) G() e 3e 3 E Calcule a ranformada de Laplace para cada iem do exercício E Calcule a ranformada de Laplace para cada iem do exercício Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

49 4 Tranformada de Laplace E Ue o ien c) e d) do exercício e a propriedade da ranlação no eixo para calcular a ranformada de Laplace da eguine funçõe: a) f() b) 4 f() E Ue a propriedade de ranlação e a abela de ranformada para calcular a ranformada invera de Laplace da função F(): a) F() b) F() c) F() e 4 4 ( + 5)( + ) e d) F() ( 3)( ) e) F() e Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

50 4.4. PROPRIEDADE DO DESLOCAMENTO NO EIXO T 43 f) F() ( + 5)( + ) e 3 E Eboce o gráfico e calcule a ranformada de Laplace da eguine funçõe: a) f() u( ) b) f() u( ) E More que: a) L{coh(a) en (a)} a( + a ) 4 + 4a 4 b) L{enh (a) co(a)} a( a ) 4 + 4a 4 c) L{enh (a) en (a)} a 4 + 4a 4 A parir dea, more que { } L 4 + 4a 4 [coh(a) en (a) enh (a) co(a)]. (4.5) 4a3 E Enconre a ranformada invera da funçõe F() abaixo: a) b) c) d) nπ ( + ) + n π ( + 3) a: E Enconre g() e faça um eboço de eu gráfico, endo L{g()} igual a) e e 4 Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

51 44 Tranformada de Laplace b) e a c) e π + 4 d) e π + + e) e + e 3e 3 + 6e A propriedade da ranformada de Laplace da inegral de uma função Teorema (Propriedade da ranformada da inegral) Se F() é a ranformada de Laplace de uma função conínua por pare f(), enão f(τ)dτ é a ranformada invera de F(), io é { } L f(τ)dτ F(), (4.53) ou { } L F() f(τ)dτ. (4.54) Demonração. Seja g() f(τ)dτ. Enão g () f(). Aplicamo a propriedade da ranformada da derivada 3.. e emo: L{g ()} L{g()} g(). (4.55) Uando o fao que g(), emo { } L f(τ)dτ L {g()} L{g ()} L{f()} F(). Ea propriedade erá úil na aplicação de um circuio RC dicuido na eção 4.6. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

52 4.6. APLICAÇÃO: CIRCUITO RC A UM PULSO DE AMPLITUDE V.45 Exercício E Ue a propriedade da ranformada da inegral para calcular f() abendo que L{f} é: a) b) c) π Aplicação: circuio RC a um pulo de ampliude V. Conidere o circuio Reior/Capacior repreenado na figura 4.9 com uma enão V () aplicada do ipo pulo, V () V (u( a) u( b)). (4.56) ou eja, o circuio eava em repouo aé a e foi aplicada a enão V enre a e b. O modelo para a correne i() obedece a lei de Kirchoff: V R C Figura 4.9: Ri() + q() V (), (4.57) C Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

53 46 Tranformada de Laplace onde q() é a carga no capacior, q() é a enão no capacior de capaciância C C e Ri() é a enão no reior de reiência R. Uando o fao que q() i(τ)dτ, obemo uma equação inegral para i(): Ri() + C i(τ)dτ V (u( a) u( b)). (4.58) Para reolver ee problema de valor incial, aplicamo a ranformada de Laplace na equação acima e uamo a propriedade 4.5.: L {i()} + RC L {i()} V ( e a e b), (4.59) R ou eja, obemo a eguine equação ubidiária: onde I() L {i()}. Logo, I() + RC I() V ( e a e b), (4.6) R I() V ( C e a e b) V ( e a RC + R + e b). (4.6) RC O iem 7 da abela de ranformada A. no dá L { } d e d. Tome d RC e obemo { } L + e RC. (4.6) RC Agora, uamo a propriedade 4.4. do delocameno no eixo para calcular a função correne: i() { L V R V [ R V R V R + RC { } L + e a RC [ u( a)e ( a) RC ( e a e b)} { L + ] u( b)e ( b) RC [ ] a b u( a)e RC u( b)e RC e RC. }] e b RC Olhando numa noação de função definida por pare, podemo ecrecer, < a i() Ae RC, a < < b, (A B) e RC, > b, (4.63) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

54 4.6. APLICAÇÃO: CIRCUITO RC A UM PULSO DE AMPLITUDE V.47 onde A V R e a RC e B V R e b RC. (4.64) Oberve que A >, B > e A < B, ou eja, para > b a correne é negaiva e e aproxima exponencialmene de zero. Ea é a chamada correne de decarga. A figura 4. apreena um gráfico da correne quando a.5, b, R Ω, C F e V 3V. Para ober a carga no capacior uamo q() i(τ)dτ e obemo a eguine expreão:, < a ( ) q() CV e a CR, a < < b, (4.65) ( ) CV e b CR e a CR, > b, A figura 4. apreena um gráfico da carga quando a.5, b, R Ω, C F e V 3V. Oberve a coniência com o gráfico da figura i() Figura 4.: Exercício E Ue a equaçõe (4.57) i() dq() para ober uma equação diferencial d ordinária para a carga q(). Depoi reolva-o uando ranformada de Laplace e obenha a olução (4.65). Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

55 48 Tranformada de Laplace 3 q() Figura 4.: Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

56 Capíulo 5 A função Dela de Dirac e a propriedade da convolução 5. A função Dela de Dirac Muio fenômeno fíico exigem a repreenação de uma força muio grande em um inervalo de empo muio pequeno, por exemplo: um circuio elérico recebe uma força eleromoriz grande em um curo inervalo de empo. um iema maa-mola é aingido por uma marelo. uma bola de fuebol parada recebe um chue, ou eja, uma força quae inanânea, que a coloca em movimeno. um avião é aingido por um raio. Para repreenar ea força, vamo omar a função pulo uniário em um curo inervalo de empo [ ǫ,ǫ] em orno da origem, io é, um pulo com inegral uniária:, < ǫ δ ǫ () (u( + ǫ) u( ǫ)) ǫ, ǫ < < ǫ (5.) ǫ, > ǫ. Um pulo uniário em orno de a é repreenado por, < a ǫ δ ǫ ( a) (u( (a ǫ)) u( (a + ǫ))) ǫ, a ǫ < < a + ǫ ǫ, > a + ǫ. (5.) 49

57 5 Tranformada de Laplace Oberve que δ ǫ( a) para qualquer ǫ >. A figura 5. apreena o gráfico de δ ǫ ( a) para a > e ǫ, ǫ, ǫ, ǫ e ǫ. A função 4 8 que repreena uma grande força inanânea é chamada de função impulo ou função Dela de Dirac e pode er definida pelo limie da funçõe pulo: δ( a) lim ǫ δ ǫ ( a). (5.3) Ee limie não pode er inerpreado ponualmene, io é, como o limie uual de funçõe reai, ma apena no conexo de uma inegral, como veremo. A figura 5. apreena o gráfico de δ ǫ ( a) quando ǫ diminui e uma repreenação gráfica para δ( a). δ ǫ ( a), a e ǫ δ ǫ ( a), a e ǫ δ ǫ ( a), a e ǫ 4 a a a δ ǫ ( a), a e ǫ δ ǫ ( a), a e ǫ 8 δ( a), a a a a Figura 5.: Obervação 5... A função dela de Dirac pode er definida como limie de oura equência de funçõe com propriedade análoga a equência de pulo. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

58 5.. A FUNÇÃO DELTA DE DIRAC 5 Por exemplo, podemo definir δ() como limie da funçõe f ǫ () ǫ π e ǫ (5.4) A função Impulo é zero em odo pono, exceo em a:, a δ( a), a (5.5) e δ( a)d (5.6) A função Dela de Dirac deve er empre compreendida como o limie de funçõe reai no conexo de uma inegração, io conduz à chamada propriedade da filragem, que define oalmene a Dela da Dirac: Se f() for um função conínua em orno de a, enão Para chegar a ea concluão, definimo F() a δ( a)f()d δ( a)f()d f(a). (5.7) lim ε + ε f()d ε ε F(ε) F( ε) ε F () f(a). f(τ)dτ e calculamo: δ ε ( a)f()d 5.. Dela de Dirac como derivada diribucional da função Heaviide Na equação (5.) definimo a função Dela de Dirac como δ( a) lim (u( (a ǫ)) u( (a + ǫ))). (5.8) ǫ ǫ Por ouro lado, uamo a definição de derivada para ecrever lim ǫ ǫ (u(( a) + ǫ)) u(( a) ǫ))) d u( a) (5.9) d Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

59 5 Tranformada de Laplace ou eja, δ( a) d u( a). (5.) d Oberve que a funçõe de Heaviide e de Dirac não ão funçõe no enido do cálculo diferencial e inegral. Nauralmene, a derivada acima ambém vale omene num enido generalizado, ma é coerene quando olhamo a função de Heaviide como limie de funçõe rampa (ver figura 4.4), poi na origem a derivada ende ao infinio. A ranformada de Laplace de função Dela de Dirac é obido pela propriedade da filragem dada na equação (5.7): Exercício L{δ( a)} E 5... Enconre a) L { u( ) + δ( ) } b) L { (co )(ln )δ( π) } c) L { δ( )e } δ( a)e d e a. (5.) E 5... Conidere a funçõe f ε () e g ε () dada por < ε, ε f ε () ε ε, ε < ε, ε, ε < ε g ε () ε, ε < < ε, > ε onde ε é um parâmero poiivo. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

60 5.. APLICAÇÃO: CIRCUITO RLC 53 a) Eboce ob o memo plano careiano o gráfico da função f ε para ε, ε e ε 4. Faça o memo em ouro plano careiano para a função g ε(). Lembre de indicar o eixo e pono noávei (ex. pono de zero e máximo) b) Calcule a ranformada de Laplace, F ε () L {f ε ()} e G ε () L {g ε ()}. Aqui ε é um parâmero poiivo genérico. c) Eude o comporameno da funçõe f ε (), g ε (), F ε () e G ε () no limie ε +. Dicua o reulado obido analiando a função no domínio empo e no domínio frequência (). Qual a relação que e oberva enre f ε () e g ε () e enre ua ranformada de Laplace? 5. Aplicação: circuio RLC Conidere o circuio Reior/Capacior/Induor repreenado na figura 5. com uma enão V () aplicada do ipo pulo, V () V (u( a) u( b)). (5.) O modelo para a correne i() obedece a lei de Kirchoff: V R C L Figura 5.: Li () + Ri() + C q() V (u( a) u( b)), (5.3) onde q() é a carga no capacior, q() é a enão no capacior de capaciância C C, Ri() é a enão no reior de reiência R e Li () é a enão no induor Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

61 54 Tranformada de Laplace de induância L. Conidere a condiçõe iniciai i() e q(). Dado que i(), derivamo a equação (5.3) para ober a eguine equação diferencial: dq() d Li () + Ri () + C i() V (δ( a) δ( b)), (5.4) onde uamo que a derivada da função de Heaviide é a função dela de Dirac. A condiçõe iniciai para a equação (5.4) ão i () e i(). Com o objeivo de reolver a problema de valor inicial, aplicamo a ranformada de Laplace para ober a equação ubidiária que em olução onde L I() + RI() + C I() V ( e a e b), I() V ( e a e b) L + R + C ( V e a e b) ( L ( ) + R L) R L + LC V e a e b ( ) L ( ) + R L + η + R L + η η ( ) R LC. (5.5) L Vamo exemplificar o cao ubamorecido, uperamorecido e criicamene amorecido omando V V, a e b 5: Cao ubamorecido (η > ): ecolhemo o cao onde L H, C F e R Ω. Nee cao [ e I() ( + ) + 9 e 5 ] ( + ). (5.6) + 9 Logo, i() 3 ( u( )e ( ) en (3( )) u( 5)e ( 5) en (3( 5)) ). O gráfico da correne é apreenado na figura 5.3. (5.7) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

62 5.. APLICAÇÃO: CIRCUITO RLC 55 3 i() Figura 5.3: Cao uperamorecido (η < ): ecolhemo o cao onde L H, C F e R 4Ω. Nee cao [ e I() ( + ) 3 e 5 ] ( + ). (5.8) 3 Logo, i() ( u( ) e ( ) 3 5 ( ) u( ) e ( 3 )( ) e ( 3+)( ) ( ) u( 5) e ( 3 )( 5) e ( 3+)( 5) 3 O gráfico da correne é apreenado na figura 5.4. enh ( 3( ) ) u( 5) e ( 5) 3 enh ( 3( 5) ) ) Cao criicamene amorecido (η ): ecolhemo o cao onde L H, C F e R Ω. Nee cao [ e ] I() ( + ) e 5 ( + ). (5.9) Logo, i() ( u( )e ( ) ( ) u( 5)e ( 5) ( 5) ). (5.) O gráfico da correne é apreenado na figura 5.5. Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

63 56 Tranformada de Laplace 5 i() Figura 5.4: i() Figura 5.5: Exercício E 5... Um capacior de capaciância C eá inicialmene carregado de forma que eu poencial eja V. A parir de, o capacior e decarrega aravé de um reior de reiência R (veja figura 5.6). Ue o méodo da ranformada de Laplace para enconrar a carga q() no capacior. E 5... Dado o circuio LC da figura 5.7, enconre a correne i() e faça Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

64 5.. APLICAÇÃO: CIRCUITO RLC 57 V R C Figura 5.6: eu gráfico, aumindo L H, C F, correne inicial nula, carga inicial no capacior nula e V () u() u( a). V L C Figura 5.7: E Dado o circuio RLC da figura 5.8, enconre a correne i(), aumindo que a correne e a carga iniciai ejam nula e que R Ω, L H, C / F e, e (,) V (), e > (5.) E Dada a equação do movimeno de um ocilador harmônico imple (OHS) ky() γy () + f my (), (5.) Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br

65 58 Tranformada de Laplace V R C L Figura 5.8: calcule a repoa y() dee ocilador ujeio a força exerna f do ipo dado abaixo. Conidere m, k, γ 3, y() e y ()., e [,] a) f(), cao conrário b) f() δ( ) E Conidere um OHS não amorecido, io é, γ na equação diferencial aociada (5.). Suponha que ee ocilador eá ujeio a uma força exerna dada por f F en ( k/m ). a) Ue o méodo da ranformada de Laplace para calcular a ocilaçõe forçada y(), abendo que y() e y (). b) Como e compora o gráfico dea ocilaçõe? Que fenômeno fíico você idenifica? E A equação do movimeno de um OHS não amorecido ujeio a ocilaçõe forçada pode er ecria como y () + ω y() r(), onde ω k m e r() f() m. (5.3) a) Pelo méodo da ranformada de Laplace, enconre Y () L {y()}. b) Com o auxílio do Teorema da Convolução, enconre y() (em ermo de R L{r}). Licença CC-BY-SA-3.. Conao: reama@ufrg.br