Telecomunicações 2 ( ) Exame de Recurso ( ) Resolução. ψ 1 (t) ψ 2 (t) k 2

Transcrição

1 elecomunicaçõe (5-) Exame de Recuro (--) Reolução. a) a ) Seja b =. Um exemplo (ma não o único!) de funçõe-bae definidora de um epaço oronormado (o. n.) adequado à forma de onda dada é o eguine (o valore de k e k erão calculado abaixo): k ψ () ψ () k / / Ea dua funçõe-bae baam-no para exprimir a forma de onda dada (ver a eguir). O parâmero k e k devem er ai que ψ () e ψ () êm energia uniária: ψ d d k k k () = = = = k = ψ () = = = d kd k k = a ) Ea funçõe-bae ão orogonai, como devem: ψ () ψ () d = (é nulo porque a funçõe não e obrepõem) Repeindo a figura acima emo enão ψ () ψ () / / Facilmene confirmamo que o conjuno dado de quaro forma de onda (),, () é compleamene definido por apena ea dua funçõe-bae (o que mora que ee epaço o. n. em dua dimenõe): () = ψ() + ψ() = () = ψ() + ψ() = () = ψ() ψ() = SAM/

2 () =ψ() ψ() = Podemo ainda verificar que a funçõe-bae apreenada podem er exprea à cua da forma de onda i (): ψ () = [ () () ] (ou () [ () () ] ψ = ) ψ () = [ () + () ] (ou ψ () [ () () ] = + ) a ) Como no baam dua funçõe-bae ee epaço o. n. em dua dimenõe. b) endo em cona o vecore apreenado na alínea anerior a conelação pedida é a eguine: ψ () - ψ () i i i i i= i= c) Energia média: E = PE = P d, em que d i é a diância de cada pono à origem. Como odo o pono eão à mema diância da origem o inai êm a mema energia, ou eja, i i i i i i= i= E = P d = d P = d = ( ) = + = Noe-e que a energia média dea quaro forma de onda afinal não depende da ua probabilidade de ocorrência. Em alernaiva a energia de cada forma de onda poderia er calculada por inegração. Por exemplo: () d= () d+ () d= = + = d) Nea alínea queremo eabelecer a regra de deecção MAP (máxima probabilidade a poeriori), deerminar limiare de decião e deenhar a regiõe de decião correpondene. Em primeiro lugar, como e nem equer ocorrem (porque a ua probabilidade é nula) a eimação é implemene uma decião binária enre e. Em egundo lugar, como e êm a mema ordenada e apena diferem na abcia, e e receber o vecor r baa er em aenção o valor da ua projecção no eixo ψ (poi a projecção no eixo ψ não ajuda a decidir). Io quer dizer que a froneira da dua regiõe de decião é uma linha verical no epaço de inal. Podemo já anecipar que, vio er meno provável que, a linha de eparação e deve iuar no emiplano direio, mai próxima de do que de. SAM/

3 A projecção do vecor recebido no eixo ψ chamemo-lhe r é igual a + n e foi enviado r = + n e foi enviado em que n repreena o ruído gauiano N(, N /). Ou eja, emo dua fdp condicionai N(±, N /): ( r ) N (N(, N /)) fr ( r ) = e π N ( r + ) N (N(-, N /)) fr ( r ) = e π N A regra de decião MAP é P( r ) P( r ). Aplicando-lhe o eorema de Baye, fr ( r ) P( ) fr ( r ) P( ), f ( r ) f ( r ) r r chegamo à conhecida expreão f ( r ) P( ) f ( r ) P( ). r r Deenvolvendo e ubiuindo valore (P( ) = /, P( ) = / e N = ) obemo r r N N ( ) ( + ) e. e. πn πn e ( ) ( + ) r r e. Aplicando logarimo chegamo a r r ( ) ln ( + ) r r r r + ln donde e conclui que, endo ln,7, a regra de decião MAP procurada é ea: ln r,75. O limiar de decião iua-e, poi, na abcia,75, como e mora na figura eguine. Como e die ane, já era de conar que o limiar eivee mai próximo de do que de poi aquele ímbolo é meno provável. ψ () limiar de decião -,75 ψ () SAM/

4 . A repoa impulional (conínua) do filro adapado a v () é c() = kv (-). Para implificar vamo fazer k =. a) O valore da aída do filro adapado ópimo ão ±E, em que E é a energia do ímbolo v (): A d A d z ( ) = E= v ( d ) = = + = A = Subiuindo A pelo eu valor obemo z() = /. Se e ivee ranmiido v () o valor obido eria z() = -/. b) A relação inal-ruído ópima não depende do valor de k e vale Subiuindo valore: ( S N) ( S N) E =. N 8 = = ou, em db, log8 + log log 9 = 9 + 9,5 = 9,5 db., 9 c) A repoa impulional amorada do correpondene filro ranveral (FIR) adapado é c n = v (-n ), em que é o arao inroduzido por cada andar do filro FIR. Nee cao é = /, c = c = c = A e c = A/. Aim, emo o eguine: v ( A c n A / n / No inane ópimo de amoragem ( = ) o filro FIR enconra-e preenchido como e mora na figura eguine, e v () iver ido ranmiido: Filro adapado amorado v A A A A/ / / / A A A A/ / y() z() Nee inane = a aída do filro FIR é igual a A y ( ) = A + A + A + = A. emo de normalizar ee valor muliplicando-o por = /: Porquê? Não é ee filro uma aproximação de um inegrador? Logo SAM/

5 z ( ) = y ( ) = A z ( ) = (porque A= ) Cao e ivee ranmiido v () ober-e-ia o valor imérico, -. Oberíamo o memo reulado e em vez da muliplicação por ivéemo coniderado logo de início coeficiene de valor c n = v (-n ). O erro percenual relaivamene ao valor ideal é =,9%. Se o quiermo baixar emo de aumenar a frequência de amoragem f =, io é, aumenar o número de coeficiene do filro.. A aída yk = xk +,5xk + nk do canal depende do bi de enrada correne x k e do bi anerior, x k. Como ee úlimo repreena o eado do canal ignifica que emo doi eado poívei (+ e -, e x k- = ±). Podemo conruir a abela eguine: Enrada, x k Eado Eado Saída, y k acual, x k - eguine a) De acordo com a abela anerior o valore poívei de y k ão ± e ±. Aim, a conelação pedida é - - ψ () b) reliça do canal: Eado (-) - (-) bi de enrada - (+) - (+) bi de enrada + c) A eimaiva de máxima veroimilhança (ML) vai er obida à cua do algorimo de Vierbi. Para io, na reliça eguine foi colocada a mérica de cada ramo, io é, a diância euclidiana quadráica enre o valor recebido e o valor de aída do canal, bem como a mérica acumulada do percuro obrevivene. Sequência recebida - (-) ML (+) 9 SAM/ 5

6 O percuro de máxima veroimilhança (ML), ainalado a groo, em mérica acumulada. A equência eimada é d) Vamo coniderar o doi canai propoo: d) Canal anerior: yk = xk +,5xk + nk ; enrada: x k = (±, ±) ou eja, quaro pono no epaço bidimenional. O valore poívei de y k em ruído ão k [ ( ), ( ) ] y = ± i ± j, i, j = e (por exemplo: (,), (-,), (-,), (-,-), ec.). São dezaei pono dipoo como na figura eguine: ψ () ψ () d) Canal novo: yk = xk + xk + nk ; enrada: x k = (±, ±). O valore poívei de y k em ruído ão (, ) (, ) (, ) (, ) y k = ± ± ± ± pono pono pono Ao odo ão nove pono que deenham a conelação eguine: pono ψ () - ψ () -. Probabilidade de erro em vária modulaçõe. Eb N a) A probabilidade de bi errado em DPSK e em BFSK não-coerene ão, repecivamene, Pb = e e Eb N Pb = e. Queremo que P b (DPSK) = P b (BFSK)/, io é, E b N Eb N E b Eb E e = e = ln + b ln N N N = Daqui e ira que E b = ln = ln,7 ou, em db, N SAM/

7 Eb N ( db ) = log + log 7 log =, 5 db. 8,5 b) BFSK com deecção coerene neceia de mai db na relação E b /N para e ober a mema probabilidade de bi errado. Porano, e em BPSK e em E b /N = 8 db enão em BFSK é precio que E b /N = db. c) Conelação no pono de coordenada (±,± 5 ) 5 ψ () - ψ () 5 Probabilidade de ímbolo errado: = PP i e = (porque a probabilidade de erro P ei é igual para odo o i i i pono; como e vê, P e não depende da probabilidade de ocorrência do ímbolo). Porano, para calcular P e baa calcular a probabilidade de erro aociada a um do pono. O que faremo é calcular primeiro a probabilidade de decião correca, P c, que é a probabilidade de haver deciõe correca egundo cada eixo (com probabilidade P c I e P c Q ). Como a deciõe ão independene deverá er P = P P : c c c 5 Pc = Pc P I c = Q Q = Q N N = Q Q N N O numeradore da fracçõe da primeira linha repreenam a diância mínima egundo o doi eixo. omando N = fica Pc = Q( ) Q( ). A probabilidade de erro vem enão dada por c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = P = Q Q = = Q + Q Q Q Vamo converer o número e em db para podermo uar o gráfico da função Q: db db Do gráfico iramo enão que Q( ) = 8. e Q( ) = 8. pelo que Q( ) Q( ). ( ) ( ) ( ) ( ) = Q + Q Q Q = =, 88 I Q =. Logo, SAM/ 7

8 5. Modulação QAM. E a) Sabemo que E = ( M ), logo, em -QAM é E E E = =. Ma como 5 E = enão N E E N = =. Subiuindo valore na expreão da probabilidade de ímbolo N errado, P e E = Q, obemo M N ( ) ( ) P e = Q = Q Para conularmo o gráfico da função Q emo primeiro que converer o radicando do eu argumeno em db: db. Para ee valor enconramo no gráfico Q( ) = 8.. Dee modo é P Q( ) e = =. =,. Como, com codificação de Gray, é Pb =, enão Pb =,. log M b) Na conelação de -QAM enconramo rê conjuno de pono, cada um com um deerminado número de vizinho mai próximo (pono à diância mínima): No cano emo quaro pono com vizinho mai próximo; O reane pono exeriore () êm vizinho mai próximo; odo o pono ineriore êm vizinho mai próximo. Aim, o número médio de vizinho mai próximo é igual a 7 N med = ( + + ) = =,5. c) O impulo de coeno elevado ão gerado à axa R ímbolo/ e ocupam a largura de banda B α = ( + α). Apó modulação o inal ocupa a largura de banda B QAM = B α, que não deve er uperior a B = khz: R B B BQAM = ( + α) B R + α,5 R A axa de ímbolo eá relacionada com a axa binária aravé de Rb R =, ou eja, log M Rb B, 5 9 R = log M,5 = =, log M, 5 B R b, M =, Concluímo aim que o valor mínimo de M é : deveremo uar -QAM.. emo o eguine: x = ± Canal AWGN y = x + n y = x + n a) O que vamo er não é propriamene regiõe de decião ma im um mapeameno exaco enre o par (y, y ) e o valor ranmiido de x. De y = x+ n iramo n = y x que, ubiuído na equação de y, no conduz a SAM/ 8

9 ( ) y = x+ n = x+ y x = = y xy + x + x Io ignifica que y é uma função quadráica de y. Como o inal x ó pode omar doi valore, ±, vamo er dua iuaçõe poívei: Se x = + Se x = - y = y y + (curva A na figura eguine) y = y + y (curva B na figura eguine) y 5 B x = - A x = / y - Cada par (y, y ) perence a uma da parábola: e eiver na curva A (exemplo: y =, y = ) ecolhemo x = +, e eiver na oura (exemplo: y =, y = ) ecolhemo x = -. b) Conhecendo o par (y, y ) e dede que y,5 (pono de inerecção da curva) idenificamo inequivocamene a parábola pelo que não há dúvida nenhuma obre o bi x ranmiido; logo, a probabilidade de erro é nula, independenemene do valor de σ. c) Com y =,5 já é diferene poi o par (y, y ) perence à dua curva. Podemo memo aim ecolher o bi mai provável. De faco, e y =,5 emo doi cao conoane x = + ou x = -: Se x = + n = y x =,5 =,5 Se x = - n = y x =,5 + =,5 Ora endo o ruído uma variável gauiana de média nula, o que é que é mai provável, n = -,5 ou n =,5? Claramene n = -,5. Porano, e y =,5 o mai cero é que enha ido ranmiido o bi x = +. Maemaicamene ea decião é omada porque p ( n =,5) > p ( n =,5), onde p n (n) é a função denidade de probabilidade do ruído AWGN. n n SAM/ 9