Resumindo e concluindo

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1 Reumndo e conclundo eleexo de bolo e de razer por caa, uavemene, uavemene Conelaçõe no Epaço (em modulaçõe dga) Sílvo A. Abrane Deparameno de Engenhara Elecroécnca e de Compuadore Faculdade de Engenhara, Unverdade do Poro Poro, Porugal am@fe.up.p Janero de 9 Coneúdo. Funçõe-bae, epaço de nal e conelaçõe..... Correpondênca enre energa e norma quadráca..... Dânca eucldana enre do pono Modulaçõe dga Modulação de amplude (ASK) Modulação de fae (MPSK) Cao parcular: BPSK Modulação mulânea de fae e amplude (M-QAM) Modulação de frequênca (MFSK) Cao parcular: BFSK Oura conelaçõe.... Funçõe-bae, epaço de nal e conelaçõe Um epaço orogonal de N dmenõe é caracerzado por um conjuno de N funçõe lnearmene ndependene, a chamada funçõe-bae, { ψ j () }. A funçõe-bae devem afazer a condção, defnda no nervalo de empo K j j k ψ j() ψk() d j k jk,,,, N () onde K é uma conane. Quando K o epaço de nal dz-e oronormado (o.n.), enão j j dz-e, mplemene, orogonal. A Eq. () dz-no que a funçõe-bae ão orogona enre, ψ j() ψ k() d, para j k, e dz-no ambém que num epaço o.n. cada função-bae pou uma energa unára, ψ j () d. Conderemo M funçõe arbrára (), com M de uma combnação lnear da funçõe-bae { ψ j () } N. Qualquer dela pode er obda aravé, dea manera,

2 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga N () ψ (),,, M, () j j j endo o coefcene j dado por () ψ () d (3) j j K j A fgura egune lura a Eq. ()e (3) grafcamene para um epaço o.n.: ψ () ψ (). N ψ () ψ N (). Σ () () ψ N (). ( ). ( ). N Daqu para a frene vamo conderar apena epaço de nal oronormado ( K ). Formemo um vecor-coluna de N elemeno, que degnaremo por, com o coefcene j : j N Num epaço de nal de 3 dmenõe oberíamo uma fgura como ea: ψ 3 () 3 Vecor de nal ψ () ψ () 3 O quadrado do comprmeno, ou norma, do vecor é defndo, nauralmene, por N j j. Por oura palavra, a norma quadráca de é gual ao produo nerno do vecor congo própro.

3 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga Exemplo : Epaço orogonal rdmenonal Conderemo o oo na da fgura. () () 3 () () () 6 () 7 () 8 () Uando a equaçõe anerore é fácl conclur que no epaço de nal o.n. defndo pela ψ () (), ψ () () ψ () () o vecore correpondene ao na funçõe-bae e 3 êm a coordenada do vérce de um cubo de area unára, como e mora ψ 5 8 ψ ψ Exemplo : Funçõe nuoda Conderemo a egune quaro nuóde de gual amplude e frequênca, fae φ dferene e duração lmada ao nervalo : E () co( π fc φ) ouro nane com φ π φ 3π φ 3π φ3 π Suponhamo que a funçõe-bae do epaço o.n. ão dua: ψ () coπ fc ouro nane ψ () enπ fc ouro nane Como é a conelação daquela quaro nuóde? Ora deenvolvamo a expreão E () co( π fc φ ): 3

4 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga E E E ( ) co( π f c φ) co π f c coφ + en π f c enφ ( φ) ψ ( ) E co ( ) + E en φ ψ ( ) Já eamo a ver que E coφ e E enφ, ou a conelação de quaro pono egune: E coφ E enφ, a que correponde ψ 5º E ψ 3 Qual é a energa de qualquer do na nuoda no nervalo? É gual à ua poênca veze o nervalo de empo, claro: ( E) E () d E. E a que dânca eão o pono da conelação da orgem do exo? Eão odo a E, como vemo. Parece, porano, que a energa de um nal é gual ao quadrado da dânca do eu pono à orgem De faco é empre am, como e mora a egur... Correpondênca enre energa e norma quadráca Sabemo que, por defnção, a energa do nal () no nervalo E () d. Ora, endo em cona a Eq. () obemo ucevamene é dada por N N E () d jψ j() kψk() d j k N N j k ψ j ψk j k () () d Segundo a Eq. () o negral é nulo e j k e gual a num epaço o.n. e j k. Enão concluímo que E N j. j Ea é uma concluão muo mporane: A energa de um nal é gual à norma quadráca do vecor que o repreena. Idênco procedmeno no conduzra à egune expreõe:

5 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga (correlação enre na) (coefcene de correlação) () k() d k k ρ () () co k d θ k EE k k Na expreão precedene θ k é o ângulo enre vecore. Noe-e que normalmene é ma fácl uar o vecore do que o na para calcular o coefcene de correlação ρ... Dânca eucldana enre do pono Imagnemo do pono repreenado pelo vecore e k. A dânca quadráca enre ele ambém chamada dânca eucldana quadráca é gual a N ( ) [ () ()] k k j kj k j d d. O que repreena o negral da expreão? Repreena a energa, E d, do nal-dferença () (). Enão d E. Obvemo nova concluão mporane: k k d A energa da dferença de do na é gual à dânca quadráca enre o correpondene pono do epaço oronormado. Com ea concluão va-e ornando aparene que é ma mple rabalhar com pono e vecore do que com a forma de onda orgna.. Modulaçõe dga A modulaçõe dga ão degnada por gla em nglê: Amplude: Fae: Frequênca: Fae/amplude: ASK ( Amplude Shf-Keyng ) PSK ( Phae Shf-Keyng ) FSK ( Frequency Shf-Keyng ) QAM ( Quadraure Amplude Modulaon ) Ao conráro do que ucede na modulaçõe analógca, o nal modulador numa modulação dgal é um nal dcreo, ou eja, é um nal que, em cada nervalo de empo (de ímbolo), oma apena um de M valore poíve. O nal modulador é, am, uma equênca de valore m, número! exraído de um alfabeo de amanho M. Ea equênca de valore, ou ímbolo, é obda a parr de uma equênca orgnal de b: e agruparmo o b do a do obemo ímbolo com quaro valore poíve que, por exemplo, podem repreenar frequênca, como aqu: Bnáro Decmal Frequênca e o agruparmo rê a rê obemo ímbolo com oo valore poíve que, por exemplo, podem er ângulo, como aqu: Bnáro Decmal Fae 9º 8º 8º 5º 35º 9º 7º º 5

6 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga e am por dane (é claro que e não agruparmo o b emo do valore apena), ou eja, e agruparmo o b k a k obemo ímbolo de um alfabeo de M k valore. Porano, conoane e rae de modulação de amplude, fae ou frequênca am a equênca bnára é mapeada numa equênca numerada de M amplude { a }, fae { φ } ou frequênca { f }, repecvamene, como e equemaza na fgura egune: Sequênca bnára Sequênca de ímbolo Snal modulado Mapeador Modulador Sequênca bnára B Numerador Inero Número abela {a } Forma de onda Modulador ASK ASK Sequênca bnára Numerador abela {φ } Modulador PSK PSK Sequênca bnára Numerador abela {f } Modulador FSK FSK Sequênca bnára Numerador abela {a,φ } Modulador QAM QAM Vale a pena realçar ea dea: É a equênca de ímbolo que va modular a onda poradora, não a equênca de b orgnal. Vamo conderar que cada ímbolo dura egundo, nervalo de empo que eá relaconado com o nervalo de b b aravé de kb, nauralmene. A equênca de ímbolo va fazer varar uma ou ma caraceríca da onda poradora, que é empre uma onda nuodal de ala frequênca (à frequênca chamemo f c ). Qualquer que eja a modulação uada, abemo que em cada nervalo de egundo a caraceríca da poradora que ranpora a nformação correponde a um cero ímbolo. Do de ouro modo, em cada nervalo de egundo a amplude, a fae ou a frequênca oma um do M valore poíve, como na fgura egune para 8ASK. Por exemplo, com M 8 e FSK (ou eja, 8FSK) a poradora pode aumr uma de 8 frequênca poíve em cada nervalo de ímbolo Poradora não-modulada Poradora modulada em amplude Como emo M forma de onda dferene em cada egundo podemo exprm-la à cua de N M funçõe-bae, que uporemo empre nuoda, de duração lmada ao memo egundo e de energa unára o que quer dzer que o epaço de nal é oronormado. A correpondene conelaçõe erão empre, é claro, M pono. Abrevando: 6

7 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga Em ASK o epaço de nal é undmenonal (ó precamo de uma função-bae). Em MPSK e em QAM o epaço de nal é bdmenonal, excepo e e raar de PSK bnára, onde o epaço é undmenonal. Em MFSK o epaço de nal em M dmenõe (precamo de M funçõe-bae). ASK, BPSK N MPSK, QAM, BFSK M MFSK Em eguda vamo paar em reva cada modulação no que dz repeo à funçõe-bae, forma de onda e conelaçõe. Reumndo e conclundo.. Modulação de amplude (ASK) Funçõe-bae (uma): ψ() coπ fc,. Forma de onda: () a Eψ(),, com a ±, ± 3, Coordenada do pono da conelação: a E. Conelação undmenonal: 3 E E E 3 E ψ ().. Modulação de fae (MPSK) Funçõe-bae (dua): ψ() coπ fc ψ() enπ fc Forma de onda: E E π ( ) co( π f c φ) co π f c M ( φ) ψ ( ) E co ( ) + Een φ ψ( ) Coordenada do pono da conelação: E coφ. Eenφ,,, M São pono numa crcunferênca de rao E cenrada na orgem. 7

8 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga Conelação bdmenonal (do exemplo): QPSK 8PSK com ruído Em quadraura Em quadraura Em fae Em fae Fg. Conelaçõe de QPSK e 8PSK. Exemplo 3: Mapeameno em QPSK Na fgura egune é apreenada a conelação de QPSK com do mapeameno b-ímbolo. O mapeameno exeror mapeameno de Gray é preferível ao mapeameno naural po mnmza a probabldade de b errado. Mapeameno neror: naural Mapeameno exeror: Gray 3... Cao parcular: BPSK Funçõe-bae (uma): ψ() coπ fc, b (não equecer que agora b ) Eb Forma de onda: () ± co π fc ± Ebψ(), b. b Coordenada do do pono da conelação: ± E b. Conelação undmenonal: b E b E b ψ () Ee é um ópco que poderá er abordado nouro eleexo. 8

9 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga.3. Modulação mulânea de fae e amplude (M-QAM) Funçõe-bae (dua): ψ() coπ fc ψ() enπ fc São a mema funçõe-bae de MPSK. Forma de onda: E E () a coπ fc+ benπ f c a Eψ() + b Eψ() a e b êm valore ndependene ±, ± 3,, ± ( L ), com L M, e E é meade da energa do pono ma próxmo da orgem do exo. Coordenada do pono da conelação: a E a ±, ± 3, b E (pono numa grelha quadrada) b, 3, ± ± Conelação bdmenonal (do exemplo): 5 6 QAM 6 QAM Modulação de frequênca (MFSK) Funçõe-bae (M): ψ() coπ f,,,, M E Forma de onda: () co π f Eψ(),,,, M (com f f ) + 9

10 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga Coordenada do pono da conelação: E (elemeno não-nulo na poção ) Conelação: M-dmenonal. Cada pono eá uado num do M exo à dânca orgem. E da... Cao parcular: BFSK Funçõe-bae (dua): ψ () coπ f b ψ () coπ f b Forma de onda: Eb () co π f Ebψ() Coordenada do pono da conelação: E b b b E b (não equecer que agora ) b, b (com f f Δ f b ) Conelação bdmenonal: ψ () BFSK E b E b ψ ().5. Oura conelaçõe A conelaçõe que vmo aé agora não ão a únca que podemo uar. É cero que apreenam uma geomera regular ma em cao parculare pode er nereane ou aé convenene ulzar oura. Um exemplo é apreenado na fgura egune. ψ E E ψ Relavamene à conelação 8PSK que e obera e odo o pono eveem na crcunferênca racejada podemo aponar uma vanagem e um nconvenene. A vanagem é que, eando o quaro pono do cano ma afaado do ouro, a probabldade do decor e enganar no ímbolo é maor. A devanagem é que, pelo memo movo aponado ao pono do

11 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga cano, ee pouem uma maor energa e com o elevam a energa méda do nal, o que não é, normalmene, deejável. E oura conelaçõe, para ermnar: 5º 3. Epílogo O nal modulado aravea o canal e chega ao recepor, que ena emar a equênca de ímbolo envada. Como fazê-lo? Por exemplo, uando deecção coerene, ou eja, aquela que obrga o recepor a conhecer a frequênca e a fae do nal recebdo. O recepor coerene dpõe de um ou ma correlaconadore como o da fgura egune: Snal recebdo ψ () r () () + n () ψ N () ˆ z zn ψ z r() () d Decor Emava da equênca bnára ranmda N M z N Sem ruído a aída do negradore no ucevo nane de amoragem apreenam-no a coordenada do pono da conelação: z z z z N N Com ruído já não obemo ee pono ma m nuven de pono à ua vola, como na Fg. (porquê à ua vola? Porque como o valor médo do ruído é nulo, o valore médo da aída acabam por er o pono da conelação).

12 Epaço de nal e conelaçõe em modulaçõe dga A perguna que fca é: como emar o ímbolo a parr do nal recebdo r()? Ou doura manera: como emar o ímbolo a parr do vecor recebdo z? Obervemo a fgura egune. Se recebermo o vecor z analado que pono da conelação devemo ecolher? O pono? Por ear ma pero de z? E e o ímbolo não forem equprováve, connuaremo a ecolher o pono? A repoa fcam para ouro exo z 3