V - Modelo de onda cinemática

Transcrição

1 Capíulo V - Onda cnemáca V - Modelo de onda cnemáca V. - Euaçõe do modelo de onda cnemáca Como e demonrou no capíulo IV, a euaçõe ue decrevem o modelo de Onda Cnemáca ão a euação da connudade: forma: e a euação da conervação da uandade de movmeno: S (V..) S f (V..) euação da conervação da uandade de movmeno pode er ecra na egune endo: (V..) área da ecção ranveral do ecoameno;, parâmero da euação da onda cnemáca. Com bae na euação de Mannng-Srcler, podem-e rerar a egune relaçõe: U K R S (V..4) K S (V..) P S K P (V..6) P K (V..7) S P (V..8) K S endo: U K R velocdade méda do ecoameno; coefcene de rugodade de Mannng-Srcler; rao hdráulco; Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 9

2 Capíulo V - Onda cnemáca S P declve do perfl longudnal; perímero molhado; caudal. enão poder-e-á nroduzr o parâmero e dado por: P K S (V..9) e: euação V..8 pode er dervada em ordem ao empo, do ue e obém: (V..) (V..) Subundo na euação da connudade, obém-e a euação da onda cnemáca: em ue repreena o caudal de percuro. (V..) V. - Celerdade da onda cnemáca onda cnemáca reula de uma mudança de caudal. m um ncremeno no caudal d pode er ecro como: endo: d d d (V..) dânca medda egundo o perfl longudnal; empo. dvdndo por d obém-e: d d (V..) d d euaçõe V.. e V.. ão dênca e: 6 Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água

3 Capíulo V - Onda cnemáca d d (V..) e Como: d d o ue é euvalene a: (V..4) (V..) (V..6) Comparando a euaçõe V.. e V..6, verfca-e ue: d d d c (V..7) d endo c a celerdade da onda cnemáca. d Um obervador ue e deloue com uma velocdade d verfca ue o caudal aumena um valor gual a Como: d. Se ee obervador vê o caudal conane. d d B d (V..8) a celerdade da onda cnemáca pode er eprea na egune forma: B d d d d d d c (V..9) Da euação V..9 verfca-e ue um acrécmo de caudal leva a um aumeno da celerdade da onda cnemáca, podendo-e fazer a repreenação ualava ndcada na fgura V.., V.. e V.. onde e repreena o hdrograma de enrada e o hdrograma de aída para a uaçõe de (a) não er caudal de percuro ou (b) er caudal de percuro. Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 6

4 Capíulo V - Onda cnemáca (a) (b) L Fgura V.. - Hdrograma de enrada Fgura V.. - Curva caraceríca Fgura V.. - Hdrograma de aída O hdrograma de enrada e de aída ão lgado pela curva caraceríca. euação dea curva é dada por: d c d (V..) no cao parcular de o caudal de percuro er nulo, porano num deermnado roço de canal com propredade conane, e caudal conane, a celerdade da onda cnemáca é conane. Nea uação da euação V.. reula: ( ) c (V..) ou eplcando a varável, reula: c L (V..) V.. Reolução numérca da euação de onda cnemáca Como e demonrou anerormene, o modelo de onda cnemáca é regdo pela euação V..: (V..) O obecvo do méodo numérco é deermnar o caudal para ualuer nane em ualuer poção, reolvendo a euação V... 6 Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água

5 Capíulo V - Onda cnemáca O méodo numérco para a reolução de euaçõe dferenca à dervada parca por dferença fna operam numa grelha, cuo nó repreenam pono dcreo no conínuo epaço-empo. ().. (-)., (-).. (). L Fgura V.. - Grelha numérca dcrezando o plano epaço-empo Nee méodo a euaçõe dferenca à dervada parca ão ecra ob a forma de dferença fna e ranformada em operadore numérco ue operam na grelha acma menconada. Uma função () ualuer pode er ecra com bae na ua dervada pela ére de Talor: ( ) ( )... 6 (V..) ( ) ( )... dferença cenrada é dada por: ( ) ( ) ( ) 6 (V..) (V..4) deprezando o ermo de ordem uperor: ( ) (V..) Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 6

6 Capíulo V - Onda cnemáca a dferença cenrada é dada por: ( ) ( ) cua apromação é de egunda ordem (V..6) dferença progreva é dada por: ( ) ( ) ( ) (V..7) deprezando o ermo de ordem uperor: ( ) vem: ( ) ( ) cua apromação é de prmera ordem. (V..8) (V..9) dferença regreva é dada por: ( ) ( ) ( ) deprezando o ermo de ordem uperor: vem: ( ) ( ) ( ) cua apromação é de prmera ordem. (V..) (V..) (V..) Para a reolução numérca por dferença fna da euação da Onda Cnemáca, ão ulzado do méodo numérco dno. O prmero degnado por méodo lnear é meno robuo e o reulado ão afecado pela relação, podendo urgr acumulação de erro para valore muo alo dea relação. O reulado obdo pelo méodo lnear ão uado como pono de parda para o méodo não lnear. O reulado vndo do méodo não lnear não ão afecado pela 64 Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água

7 Capíulo V - Onda cnemáca Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 6 emava ncal, apena o empo de cálculo é afecado. Pode er omado um vao leue de valore de, em ue eam nroduzdo erro no reulado obdo. L, Smon e Seven, 97 medane uma anále de eabldade, concluíram ue o méodo não lnear para a reolução da euação da onda cnemáca é ncondconalmene eável (referdo em Chow, 988). V.. - Méodo lnear O ermo da euação V...: (V...) podem er ecro na forma de dferença fna por: (V...) (V...) (V...4) (V...) Subundo na euação V..., obém-e: (V...6) J I J I J I J I (V...7) (V...8)

8 Capíulo V - Onda cnemáca Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 66 (V...9) (V...) (V...) euação V... é o operador numérco ue perme deermnar em função de,,,, e. Como e ão conane em oda a grelha. O cauda de percuro e ão prevamene deermnado. m para cada nível de empo ão percorrda oda a poçõe, deermnando o caudal.,. ().. (-). L (-). (). Fgura V... - Operador numérco lnear Ee operador é fácl de mplemenar, ma apreena algun problema de nabldade. Ou ea o reulado obdo varam com o valor da relação. Por o ulzou-e um méodo eplco não lnear, cuo valore de parda ão dado pelo reulado do méodo eplíco lnear apreenado nee pono.

9 Capíulo V - Onda cnemáca Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 67 V.. - Méodo não lnear Como fo vo no pono V., a euação da connudade é: (V...) ea euação pode er ecra ob a forma de dferença fna: (V...) de acordo com a euação V..8: (V...) podem-e ecrever a egune relaçõe: ( ) (V...4) ( ) (V...) em ue, como fo vo anerormene: (V...6) e: S P h (V...7) ubundo na euação V..., obém-e: ( ) ( ) (V...8) ( ) ( ) (V...9) ( ) ( ) (V...)

10 Capíulo V - Onda cnemáca Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 68 Na euação V... a varáve do membro euerdo da euação ão deconhecda, enuano oda a varáve ue aparecem no membro dreo da euação ão conhecda. m pode-e gualar o membro dreo da euação a uma varável C: ( ) C (V...) e defnr uma função f, al ue: ( ) ( ) C f (V...) Preende-e deermnar o valor do caudal ue anule a função ( ) f. Como a função é não lnear, pode-e reolver pelo méodo de Newon - Raphon. O méodo de Newon - Raphon, aplcado ao cao preene baea-e na egune epreão: ( ) ( ) ( ) ( ) f f (V...) dervada da função f em ordem a é dada por: ( ) ( ) f (V...4) O cálculo de repee-e aé ue: ( ) ( ) ( ) ε (V...) f() f() f() Fgura V... - Euema de uma eração do méodo de Newon - Raphon

11 Capíulo V - Onda cnemáca V.4 - Condção de eabldade de Couran condção neceára de eabldade, ue lma o pao de cálculo do méodo eplíco, é dada pela condção de Couran, (Couran e al., 98, em Slva, 996). em ue: c c ncremeno de empo; ncremeno de epaço na drecção do ecoameno; celerdade da onda cnemáca. celerdade da onda cnemáca, como á e vu anerormene é dada por: B d d d d d d c (V.4.) como: P K S (V.4.) e: vem: (V.4.) P K S (V.4.4) De acordo com a fórmula de Mannng-Srcler, o caudal é dado por: ubundo, vem: K R S (V.4.) P K S K R S.4 (V.4.6) mplfcando, obém-e: Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 69

12 Capíulo V - Onda cnemáca Unverdade de Évora - Merado em Engenhara do Solo e da Água 7.4 S R K S K P (V.4.7) Como no modelo deenvolvdo, o ncremeno de empo ão conane, ea condção é verfcada para odo o roço de rede hdrográfca em odo o nane e adopa-e o menor do ncremeno de empo. Na práca conaa-e ea condção é muo conervadora, podendo-e ulzar ncremeno de empo uperore em ue uram erro gnfcavo, memo com o méodo lnear.