MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS O objeivo geral da modelagem maemáica de iema é habiliar o aluno a aplicar méodo cienífico de forma ober um modelo maemáico que decreva o comporameno de um iema fíico, bem como a uilizar equipameno e dipoiivo uuai da área de Engenharia para deerminar e reconhecer a propriedade do modelo dinâmico de parâmero concenrado. A primeira eapa para deenvolver um modelo maemáico conie em aplicar a lei fíica fundamenai de ciência e engenharia. Por exemplo, ao modelar circuio elérico, a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff que ão a lei báica de circuio elérico, erão aplicada inicialmene. Somaremo enõe ao longo de uma malha ou correne em um nó. Ao eudar iema mecânico, uilizaremo a lei de Newon com princípio-guia fundamenai. Somaremo, nee cao, força e orque. Com bae nea equaçõe iremo ober a relação enre a aída e a enrada do iema. APLICAÇÕES DOS MODELOS MATEMÁTICOS O modelo maemáico é uma repreenação maemáica de um proceo real. Modelo maemáico podem auxiliar na análie do proceo e conrole. A aplicaçõe da modelagem na área de conrole ão a eguine: 1. Aprimorar o enendimeno do proceo A imulação do proceo pode er uado para eudar o eu comporameno e explorar a regiõe de operação.. Treinameno de operadore O operadore podem er reinado em vária regiõe de operação do proceo, incluive em iuaçõe de emergência, aravé de imulação onde a inerface é a própria plaaforma de operação. 3. Projeo da eraégia de conrole de um proceo novo O modelo de proceo permiem que e ee divera eraégia de conrole, definindo incluive a inrumenação neceária. Poibilia ambém ear eraégia de conrole mai complexa. MEC-44 Siema de Conrole 7

2 4. Projeo do conrolador Aravé de imulação ou análie direa do modelo dinâmico, podem-e enconrar o parâmero do conrolador ou aé memo verificar e deerminar e o conrolador é aplicável ao cao. 5. Projeo da lei de conrole A écnica moderna de conrole normalmene incluem o modelo do proceo na lei de conrole. Ea écnica ão comumene chamada de conrole prediivo ou conrole baeado em modelo. 6. Oimização do proceo Em muio proceo há a poibilidade de e operar uma plana em condiçõe que maximize o lucro ou minimize o cuo. Nee cao normalmene e uiliza modelo em eado-eacionário. CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS O modelo maemáico podem er claificado em rê ipo, em função da forma como é obido: a ) Modelo eórico - Deenvolvido uando princípio fíico-químico. b ) Modelo empírico - Obido aravé da análie maemáica (eaíica) do proceo a parir de dado da operação. c ) Modelo emi-empírico - É a combinação do modelo eórico e empírico onde algun parâmero fíico-químico ão deerminado a parir do dado da plana. MEC-44 Siema de Conrole 8

3 GRAUS DE LIBERDADE NA MODELAGEM O uo de modelo maemáico para imulação de proceo, deve no fornecer uma única olução de oda a aída em função da enrada, ou eja, o número de variávei deconhecida deve er igual ao número de equaçõe independene do modelo. Uma forma equivalene é dizer que devemo er grau de liberdade zero. Na forma de equação emo: N = N N f v e =0 Onde: Nf - grau de liberdade Nv - número oal de variávei deconhecida (enrada não epecificada) Ne - número de equaçõe independene (diferenciai e algébrica) A análie do grau de liberdade epara o problema de modelagem em rê caegoria: 1. Nf = 0 : Siema exaamene deerminado (exaamene epecificado) O número de variávei dependene na equaçõe é igual ao número de equaçõe, ou eja, o conjuno de equaçõe fornece uma olução única.. Nf > 0 : Siema ubdeerminado (ubepecificado) MEC-44 Siema de Conrole 9

4 O Nv > Ne, ou eja, em mai variávei dependene do que equaçõe. Coneqüenemene, a Ne equaçõe em infinia oluçõe endo que Nf variávei podem er epecificada arbirariamene. O modelo do iema é chamado de ubepecificado. 3. Nf < 0 : Siema obredeerminado (obrepecificado) Tem meno variávei dependene do que equaçõe e coneqüenemene o conjuno de equaçõe não em olução.o modelo do iema é chamado de obrepecificado. Noe que Nf = 0 é o único cao aifaório. Se Nf > 0 enão um cero número de variávei em que er epecificado. Se Nf < 0 enão um conjuno de equaçõe independene adicionai em de er deenvolvida. Eapa da modelagem: 1) Eabelecer a conane ou parâmero conhecido, ai como, dimenõe de equipameno, propriedade fíico-química conane, ec.. ) Idenificar o número de variávei aída (Ne), obido aravé da olução de equaçõe diferenciai do modelo (por inegração uando condiçõe de conorno) e equaçõe algébrica. 3) Idenificar a variávei epecificada, a enrada no modelo.por exemplo: Vazão de carga ou epecificado como variável manipulada numa eraégia de conrole. Noe que não é uma da Nv poi não é enrada ou aída do iema. ESTUDOS DE SISTEMAS Eapa da conrução de modelo Para eudo de iema, êm-e a eguine eapa para ober o modelo dinâmico: Eapa 1: Deenhar o diagrama equemáico do proceo e nomear oda varávei de proceo. MEC-44 Siema de Conrole 30

5 Eapa : Liar oda a hipóee uada no deenvolvimeno do modelo. O modelo deve er o mai imple poível para ober o objeivo da modelagem. Eapa 3 : Deerminar e há oura variável independene que não eja o empo. Se a variável epacial é imporane, é neceário uilizar equaçõe diferenciai parciai. Eapa 4 : Ecrever o balanço dinâmico adequado (balanço global de maa, balanço de componene, balanço de energia, ec.). Eapa 5: Inroduzir equaçõe de equilíbrio, e oura relaçõe algébrica (ermodinâmica, eequiomeria de reação, geomeria de equipameno, ec...). Eapa 6: Idenificar o parâmero do iema (conane). Eapa 7: Idenificar a variávei do modelo. Eapa 8 : Calcular o grau de liberdade. Eapa 9 : Epecificar a Nf enrada para uilizar o grau de liberdade diponívei. Se ea eapa não for realizável, enão reorne à eapa e realize a hipóee do modelo. Eapa 10 : Simplificar a equaçõe do modelo e poível. Por exemplo: Arranjar a variávei dependene no lado equerdo da equaçõe e variávei de enrada no lado direio. MEC-44 Siema de Conrole 31

6 MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS O circuio equivalene à rede elérica com a quai rabalhamo coniem baicamene em rê componene lineare paivo: reiore, capaciore e induore. A Tabela 1 reume o componene e a relaçõe enre enão e correne e enre enão e carga, ob condiçõe iniciai nula. Tabela 1 Relaçõe enão-correne, enão-carga e impedância para capacioer, reiore e induore. Componene Tenão-correne Correne-enão Tenão-carga Impedância Z() = V()/I() Admiância Y() = I()/V() Noa: ν( ) = V (vol), i( ) = A (ampère), q( ) = Q (coulomb), C = F (farad), R = Ω (ohm), G =(mho), L = H (henrie) A equaçõe de um circuio elérico obedecem à lei de Kirchhoff, que eabelecem: A oma algébrica da diferença de poencial ao logo de um circuio fechado é igual a zero. A oma algébrica da correne em uma junção ou nó é igual a zero. A parir dea relaçõe podemo ecrever a equaçõe diferenciai do circuio. Aplica-e, enão, a Tranformada de Laplace da equaçõe e finalmene e oluciona a Função de Tranferência. Exemplo: Ober a função de ranferência relacionando a enão, V C (), no capacior à enão de enrada, V(), da figura 1. Figura 1 - Circuio RLC. MEC-44 Siema de Conrole 3

7 Reolução: Uilizando a lei de Kirchhoff, oberemo a equação diferencial para o circuio. Somando a enõe ao longo da malha, upondo condiçõe iniciai nula, reula a equação ínegro-diferencial. di() 1 L + Ri() + i( τ) dτ = v() d C 0 Fazendo uma mudança de variável, de correne para carga, uando a relação = reula: i () dq ()/ d d q() dq() 1 L + R + q() = v() d d C A parir da relação enão-carga em um capacior da Tabela 1: Subiuindo: q () = Cv() C dvc() dvc() LC + RC + v () () C = v d d Aplicando Laplace: ( ) LC + RC + 1 V () = V() Calculando a função de ranferência, Vc()/ V() : C 1 Vc() = LC V() R L LC MEC-44 Siema de Conrole 33

8 SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO O iema mecânico obdecem à lei fundamenal onde o omaório de oda a força é igual a zero. Io é conhecido como lei de Newon e pode er dio da eguine forma: a oma da força aplicada deve er igual à oma da força de reação. Iniciaremo arbirando um enido poiivo para o movimeno, por exemplo, para direia. Uando o enido ecolhido como poiivo para o movimeno, deenhamo em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, poicionando obre o corpo oda a força que agem obre ele no enido do movimeno ou no enido opoo. Em eguida, uilizamo a lei de Newon para conruir a equação diferencial do movimeno omando a força e igualando a oma a zero. Finalmene, upondo a condiçõe iniciai nula, aplicamo a ranformada de Laplace à equação diferencial, epramo a variávei e chegamo à função de ranferência. A Tabela apreena o elemeno mecânico comun em iema de ranlação como ua relaçõe. Tabela Relaçõe força-velocidade, força-delocameno, e impedância de ranlação de mola, amorecedore e maa. Componene Forçavelocidade Forçadelocameno Impedância Z m ()=F()/X() Mola Amorecedor vicoo Maa Noa: O eguine conjuno de ímbolo e unidade ão uada ao longo dee livro: f ( ) = N (newon), x( ) = m (mero), ν( ) = m/ (mero/egundo), K =N/ m (newon/mero), f ν = N./ m (newon-egundo/ mero), M =kg (quilograma = newon.egundo / mero). MEC-44 Siema de Conrole 34

9 Exemplo Ober a função de ranferência, X()/F(), para o iema da figura abaixo: Reolução: Deenhando o diagrama de corpo livre para o iema propoo e arbirando o enido do movimeno para direa, obemo: Uilizando a Lei de Newon ecrevemo a equação diferencial do movimeno. Aplicando Laplace, d x() dx() M + f () () v + Kx = f d d M X() + f X() + KX() = F() v ( M + f + K) X() = F() v. Reolvendo para ober a função de ranferência, X() 1 G () = = F M + f + k () v MEC-44 Siema de Conrole 35

10 Em iema mecânico, o número neceário de equaçõe de movimeno é igual ao número de movimeno linearmene independene. A independência linear implica que um ono de movimeno em um iema em movimeno pode coninuar a e mover memo e odo o ouro pono forem manido parado. A expreão linearmene independene ambém é conhecida por grau de liberdade. Dea forma podemo ugerir uma pequana equação. [Soma de Impedância]X() = [Soma de força aplicada] Quando uilizando a lei de Newon, omando a força de cada corpo e fazemo a oma igual a zero, o reulado é um iema de equaçõe imulânea do movimeno. Ea equaçõe podem er reolvida em função da variável de aída de ineree a parir da qual e calcula a função de ranferência. Exemplo: Ober a função de ranferência, X ()/F(), para o iema da figura abaixo. Uando o conceio apreenado aneriormene podemo olucionar o exercício por inpeção, ecrevendo a equaçõe de movimeno do iema, em deenhar o diagrama de corpo livre. Soma da impedância Soma da impedância Soma da conecada ao X1() X() = força aplicada enre movimeno em x 1 x 1 e x em x 1 e MEC-44 Siema de Conrole 36

11 Soma da Soma da impedância Soma da impedância X () conecada ao X () = força aplicada 1 enre x 1 e x movimeno em x em x SISTEMAS MECÂNICO EM ROTAÇÃO A equaçõe caracerizando o iema que apreenam movimeno de roação ão emelhane à do iema com ranlação. Ecrever a equaçõe de conjugado é equivalene a ecrever a equaçõe de força, com o ermo de delocameno, velocidade e aceleração coniderada agora como grandeza angulare. O orque ubiui a força e delocameno angular ubiui delocameno. O ermo aociado à Maa é ubiuído por inércia. O conceio de grau de liberdade ambém coninua válido no iema em roação. O número de pono de movimeno que podem er ubmeido a delocameno angulare, enquano e manêm parado odo o demai, é igual ao número de equaçõe de movimeno nceário para decrever o iema. O elemeno relacionado ao movimeno mecânico em roação ão apreenado na Tabela 3. Tabela 3 Relaçõe orque-velocidade angular, orque-delocameno angular, e impedância de roação de mola, amorecedore vicoo e inércia. Noa: O eguine conjuno de ímbolo e unidade ão uada ao longo dee livro: f ( ) = N (newon), x( ) = m (mero), ν( ) = m/ (mero/egundo), K =N/ m (newon/mero), f ν = N./ m (newon-egundo/ mero), M =kg (quilograma = newon.egundo / mero). MEC-44 Siema de Conrole 37

12 Exemplo T() θ Ober a função de ranferência, (), para o iema em roação morado na figura abaixo. O eixo eláico é upeno por meio de mancai em cada uma da exremidade e é ubmeido à orção. Um orque é aplicado à equerda e o delocameno angular é medido à direia. Reolução: Embora a orção ocorra ao longo do eixo, aproximamo o iema admiindo que a orção aua como uma mola concenrada em um pono paricular do eixo, com uma inércia, J 1, à equerda, e uma inércia J à direia. Uando o princípio da uperpoição noamo que o iema apreena doi grau de liberdade. Dea forma podemo olucionar o problema por inpeção, onde: Soma da Impedância Soma da Impedância Soma do orque coneca ao movimeno θ1() θ() = enre θ1 e θ aplicado em θ1 em θ 1 Soma da Impedância Soma da Impedância Soma do orque θ1() + coneca ao movimeno enre θ1 e θ θ () = aplicado em θ em θ Ou ainda uilizando o diagrama de corpo livre para cada um do orque. MEC-44 Siema de Conrole 38

13 Senido Senido Senido Senido Senido Senido E aim obemo a equaçõe do movimeno: 1 1 θ1 θ ( J + D + K) () K () = T() 1() ( ) θ() 0 Kθ + J + D + K = A parir da quai e obém a função de ranferência pedida: θ() K = T() 1 1 ( J + D+ K K = K ( J + D + K) MEC-44 Siema de Conrole 39