Física Geral I - F Aula 14 Conservação do Momento Angular; Rolamento. 2º semestre, 2012

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1 Físca Geral - F -18 Aula 14 Conservação do Momento Angular; Rolamento º semestre, 01

2 Cnemátca de Rotação Varáves Rotaconas Deslocamento angular: Δθ( t) θ( t+δt) θ( t) z Velocdade angular méda Δ ω θ Δt θ y Velocdade angular nstantânea x Δθ dθ ω lm nˆ nˆ Δ t 0 Δt dt Aceleração angular méda Aceleração angular nstantânea Δ α ω Δt α lm Δt 0 Δω Δt dω dt

3 Cnemátca de Rotação Relação com as varáves lneares Posção: s rθ Velocdade: v ω r α ẑ ω r a N a t v Aceleração: a t a N dω dr a r + ω dt dt a a t N α rα rvˆ ω v ω ( ω r) ω r rˆ xˆ x θ s z θ y ŷ 3

4 Rotação em torno de um exo fxo Tabela de analogas Rotação em torno de um exo fxo Movmento de translação energa cnétca equlíbro a le de Newton a le de Newton momento conservação potênca 1 ω 1 K mv F 0 K R τ 0 τ α F ma τ ( ext) d dt ω f Pτω dp F dt p mv p p f PFv 4

5 Momento Angular r p O momento angular de uma partícula de momento em relação ao ponto O é: p (Note que a partícula não precsa estar grando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto). d dt d dt ( r p) r F τ Para um sstema de partículas, Para um corpo rígdo em torno de um exo fxo, Se τ / τ ext 0 τ ext d dt ω, então o momento angular é constante no tempo! 5

6 Conservação do momento angular No sstema homem halteres: só há forças nternas e, portanto: ( z) ω constante ω f ω f ω ω f f Com a aproxmação dos halteres ( f < ) a velocdade angular do sstema aumenta. 6

7 Conservação do momento angular O mesmo prncípo se aplca na patnação artístca: ( z) ω constante ω f ω f 7

8 Exemplo Dados ω bc 1, kg.m ; tot 6,8 kg.m e 3,9 rot/s Queremos calcular a velocdade angular fnal ω do sstema após o menno nverter o exo de rotação da roda de bccleta (ver fgura) Momento angular ncal do sstema roda de bccleta-menno (+ banco) bc bc ω O menno nverte o exo de rotação da roda de bccleta bc 8

9 Exemplo Momento angular fnal do sstema: f bc + men Conservação do momento angular (pos só há forças nternas no sstema) men f men men ω tot bc ω bc tot ω ω 1,4 rot/s 9

10 Conservação do momento angular No caso da mergulhadora da fgura ao lado o segue um movmento parabólco. Nenhum torque externo atua sobre ela em relação a um exo que passa pelo ; então no referencal do : d dt r F mr g 0 e o momento angular da nadadora é constante durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode aumentar sua velocdade angular em torno do exo que passa pelo, às custas da redução do momento de nérca em relação a este exo. 0 Mg M g 10

11 Movmento de um corpo rígdo O tpo mas geral de movmento de um CR é uma combnação de uma translação com uma rotação. 11

12 Rolamento (sem deslzamento) Ø O deslocamento do centro de massa e a rotação estão vnculados: Ø s é o deslocamento do centro de massa do objeto Ø θ é o deslocamento angular do objeto em torno de um exo que passa pelo do sstema. v R θ s srθ A velocdade do é dada por: ds dθ v R R ω dt dt 1

13 Rolamento (sem deslzamento) Decomposção do rolamento em rotação + translação Translação pura Rotação pura Translação + Rotação v v ω R v + v v 0 v v v ω R v0 v v Rω v v rω (acma do centro) rω (abaxo do centro) O ponto de contato está sempre em repouso. 13

14 Rolamento (sem deslzamento) Fotografa de uma roda em rolamento v v Fgura da esquerda: o rolamento sem deslzamento pode ser descrto como uma rotação pura com a mesma velocdade angular ω em torno de um exo que sempre passa pelo ponto P de contacto (exo nstantâneo de rotação). De fato: v0 v R v P ω R ω Fgura da dreta: os raos de cma estão menos nítdos que os de baxo porque estão se movendo mas depressa. 14

15 Energa cnétca de rolamento Encarando o rolamento sem deslzamento como uma rotação pura em torno do exo nstantâneo: 1 K P ω Mas P + M R (teorema dos exos paralelos) Então: 1 1 K ω + M R ω v 1 1 K ω + M v sto é, a energa cnétca do corpo rígdo é a soma da energa cnétca de rotação em torno do v0 com a energa cnétca assocada ao movmento de translação do. v 15

16 Exemplo O ô-ô Torque externo relatvo ao quando o ô-ô desce: Tr α Dnâmca lnear (exo orentado para baxo) Mg T Ma Condção de rolamento: Mg T Mr 1+ v ω r a α r e a r T 1+ g Mr r Mg T 16

17 Exemplo Note que se o ô-ô sobe, o torque muda de snal Tr α T r Por outro lado, o fo se enrola e a condção de rolamento também muda de snal v ωr a α r Mg Ao fnal, as equações não mudam! T r α Ma Mg T a r Mg T Mr 1+ e a r T 1+ g Mr 17

18 Exemplo Podemos anda resolver o mesmo problema usando a conservação de energa: 1 1 Mv + ω M gz A condção de rolamento é gz Mg v ω r v ± ± az 1+ M r Snal (+) para a descda e ( ) para a subda. Equação de Torrcell com aceleração constante dada por g a 1+ M ρ Z r T 18

19 Rolamento (sem deslzamento) Atrto no rolamento F a ω ω τ Mg Transforma energa cnétca de translação em rotação ω Transforma energa cnétca de rotação em translação ω ττ Corpo rolando ladera abaxo devdo ao própro peso. Mg g Roda de um carro grando. M F a F a 19

20 Exemplo Rolamento sobre um plano nclnado Na dreção y: Na dreção x: N Mg cos θ 0 Mgsen θ F a Ma v Torque relatvo ao : F ar α y N Condção de rolamento sem deslzamento: a Rα Mk Momento de nérca: ( k é o rao de gração) x F a Mgcosθ Mg v v Mgsenθ 0

21 Exemplo Rolamento sobre um plano nclnado gsnθ a 1+ MR Se 1+ 3/ R 7/5 Temos anda: F a anel clndro esfera Mgsenθ µ N µ Mgcosθ e e + MR + MR tgθ µ e tg θ r y x F a Mgcosθ Mg v Mgsenθ Ângulo máxmo (lmar) para que haja rolamento sem deslzamento N 1

22 Precessão do momento angular Se a roda tem uma velocdade angular ω grande, seu exo gra em torno do exo z, como veremos ( movmento de precessão). O torque da força peso é: τ r Mg τ ( é perpendcular ao exo e ao momento d angular da roda. Como τ, segue que d é dt perpendcular a Então o módulo de não vara, e o que muda é apenas a sua dreção.

23 Precessão do momento angular Roda Temos: d τdt Mgrdt d dϕ ωdϕ e da fgura: d Mgrdt d ϕ ω Velocdade angular de precessão: d ϕ Ω dt Mgr ω Note que este resultado também é váldo quando o exo do groscópo (roda) faz um ângulo dferente de zero com a horzontal (ver exemplo do pão, a segur) d f 3

24 Groscópo 4

25 Precessão do momento angular Pão Módulo do torque da força peso: θ τ Mgr senθ e fundamental da dnâmca das rotações: Δ τ Δt Da fgura temos: Δ Mgr senθ Δt Mg N τ Δ senθ Δϕ ω senθ Δϕ Mgrsenθ Δt ω senθ Δϕ Velocdade angular de precessão: Ω d ϕ dt Mgr ω Δϕ 5

26 Precessão do momento angular O centro de massa do pão executa movmento crcular com uma aceleração centrípeta θ a c Ω rsenθ A força de atrto pão-pso é a responsável por esta aceleração Mg N F a τ F a MΩ rsenθ Como g senθ µ Ω r F a µ Mg para que a ponta do pão fque fxa e haja apenas movmento de rotação! Δϕ 6

27 Um groscópo N Mg 7

28 Precessão do momento angular Como a Terra é um esferóde oblato (achatado nos polos), a ua e o Sol provocam forças como as mostradas abaxo e em anos o exo de rotação sofre precessão de meo período, como na fgura. 8

29 FM! 9