Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área IA

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Deparameno de Maemáica Pura e Aplicada MAT6 - Turma D - 6/ Prova da área IA Toal Nome: Gabario Regra Gerai: Não é permiido o uo de calculadora, elefone ou qualquer ouro recuro compuacional ou de comunicação. Trabalhe individualmene e em uo de maerial de conula além do fornecido. Devolva o caderno de queõe preenchido ao final da prova. Regra para a queõe abera: Seja ucino, compleo e claro. Juifique odo procedimeno uado. Indique idenidade maemáica uada, em epecial, ien da abela. Ue noação maemáica coniene. Idenidade: Carão: en(x = eix e ix i enh(x = ex e x (a+b n = j= ( n j a n j b j, co(x = eix +e ix coh(x = ex +e x ( n n! = j j!(n j! en(x+y = en(xco(y+en(yco(x co(x+y = co(xco(y en(xen(y Propriedade: Linearidade L{αf( +βg(} = αl{f(} +βl{g(} Tranformada da derivada 3 Delocameno no eixo 4 Delocameno no eixo 5 Tranformada da inegral 6 Filragem da Dela de Dirac 7 Tranformada da Dela de Dirac Teorema da Convolução 9 Tranformada de funçõe periódica Derivada da ranformada Inegral da ranformada L { f ( } = L{f(} f( L { f ( } = L{f(} f( f ( L { e a f( } = F( a L{u( af( a} = e a F( L{u( a} = e a { } L f(τdτ = F( f(δ( ad = f(a L{δ( a} = e a L{(f g(} = F(G(, onde (f g( = f(τg( τdτ T L{f(} = e T e τ f(τdτ L{f(} = df( d { } f( L = F(ŝŝ Série: x = x n = +x+x +x 3, < x < n= x ( x = e x = n= x n n! nx n = x+x +3x 3 +, < x < n= = +x+ x! + x3 +, < x < 3! ln( +x = ( n xn+ n+, < x < n= arcan(x = ( n xn+ n+, < x < n= en(x = ( n xn+ (n +!, < x < n= co(x = ( n xn (n!, < x < n= enh(x = coh(x = n= n= ( +x m = + x n+ (n+!, < x < x n (n!, < x < n= m(m (m n+ x n, n! < x <, m,,,... Funçõe epeciai: Função Gamma Γ(k = x k e x dx Propriedade da Função Gamma Função de Beel modificada de ordem ν Função de Beel de ordem I ν(x = Γ(k + = kγ(k, k > Γ(n+ = n!, n N m= J (x = ( x m+ν m!γ(m +ν + ( m m= Inegral eno Si( = m! ( x en(x dx x m Inegrai: xe λx dx = eλx λ (λx +C ( x x e λx dx = e λx λ x λ + λ 3 +C x n e λx dx = λ xn e λx n x n e λx dx+c λ xco(λxdx = co(λx+λxen(λx λ +C xen(λxdx = en(λx λxco(λx λ +C

2 Tabela de ranformada de Laplace: F( = L{f(} f( = L {F(} n, (n =,,3,... n (n!, 3, k, (k > k Γ(k a ( a e a e a ( a n, (n =,,3... (n! n e a ( a k, (k > Γ(k k e a ( a( b, (a b a b ( a( b, (a b a b (e a e b (ae a be b +w w en(w +w co(w a a enh(a a coh(a ( a +w w ea en(w a ( a +w ( +w ( +w e a co(w w( co(w w 3(w en(w ( +w w 3(en(w wco(w ( +w w en(w ( +w w (en(w+wco(w ( +a ( +b, ( 4 +4a 4 ( 4 +4a 4 ( 4 a ( 4 a 4 (a b b a (co(a co(b 4a 3[en(acoh(a co(a enh(a] a en(aenh(a a 3(enh(a en(a a (coh(a co(a F( = L{f(} f( = L {F(} a b e a 3(eb +a +b +a ( a 3 ( a k, (k > e (a+b a b I J (a e a (+a k Ik Γ(k a (a e k, (k > J ( k e k co( k e k 3 enh( k 37 e k k, (k > k 3e 4 3 ln( ln( γ, (γ,577 a 39 ln (e b e a b ( +w 4 ln ( co(w ( a 4 ln ( coh(a 4 an ( w en(w 43 co ( Si( ( a anh ( a a anh w ( +w ( e w Onda quadrada {, < < a f( =, a < < a f(+a = f(, > Onda riangular f( = a, < < a +, a < < a a f(+a = f(, > Reificador de meia onda en(w, < < w f( =, w < < w ( f + = f(, > w w ( Reificador de onda complea +w coh w f( = en(w a e a ( e a Onda dene de erra f( = a, < < a f( = f( a, > a

3 Queão (. pono Sabendo que f( = en(, ainale a alernaiva que indicam, repecivamene, L{f(} e L{f (}: an (, an (/, an (/, an (/+, an (, (X an (/, (X an (/, an (, n.d.a. n.d.a. Queão (. pono Conidere a função f( = u( + u( + u( 3. Ainale a alernaiva que indicam, repecivamene, L{f(} e L { f( } : (X e + e + e 3, e +e +3 e 3, e +e +e 3, e +e +3e 3, + e + e + e 3 + e +e +3 e 3 n.d.a. e + e 4 + e 6, (X e +3e +5 e 3 e +4e +9 e 3 e + e 3 +3 e 4 + e 5 + e 6 e +4 e 3 + e 4 + e 5 +9 e 6 e +4e 3 +e 4 +e 5 +9e 6 n.d.a. Queão 3 (. Conidere a função f( = e en(. Ainale a alernaiva que indicam, repecivamene, L{f(} e f(. e en( ( ( + [ e +en( co( ] ( ( + [ e en(+co( ] (X (+( + (X [ e +en( co( ] (+ + [ e en(+co( ] ( + [ e +en( co( ] (+ + [ e en(+co( ] n.d.a. n.d.a.

4 Queão 4 (. Conidere o eguine problema de valor inicial que modela um iema RLC érie com uma fone de enão: Li (+Ri(+ C ( q + i(τdτ = v(, onde i( = 6 é a correne inicial e q( = 6 é a carga inicial no capacior. a (.5 Ainale a alernaiva que indica uma expreão para I(, io é, L{i(}: (X I( = 6+6LC+CV( LC +RC+ I( = 6+6LC+CV( LC +RC+ I( = 6+6LC+CV( LC +RC+ I( = 6+6LC+CV( LC +RC+ I( = 6+6L+V( L +R+/C I( = I( = 6/C +6L+V( L +R+/C 6C +6L+V( L +R+/C I( = 6+6L+V( L +R+/C b (.5 Coniderando R = 6,C =, L = e v( =, ainale a alernaiva que indica uma 3 expreão para i(: (X i( = 6co(e 3 i( = (6co(+3en(e 3 i( = 6co(3e i( = (6co( 6en(e 3 i( = 6coh(e 3 i( = (6co(+3en(3e i( = 6coh(3e i( = (6co( 6en(3e n.d.a. Queão 5 (. Conidere o eguine problema de egunda ordem que modela um iema maamola-amorecedor my (+αy (+κy( = f( Onde f( é a força exerna e a condiçõe iniciai y( e y ( ão nula. Supondo m = 4 e κ =, Ainale a alernaiva que indicam a condição em α para que o iema eja ubamorecido (coluna da equerda e uperamorecido (coluna da direia. (X < α < 4, < α < 4, 4 < α < 4, 4 < α <, α > 4 ou α < 4, α > 4, α < 4, n.d.a. 4 < α < 4, 4 < α <, α > 4 ou α < 4, (X α > 4, α < 4, n.d.a.

5 Queão 6 (.5 Conidere a eguine equação dífero-inegral: com y( =. y (+4 y(τdτ = δ( / a (. pono Calcule a Tranformada de Laplace da equação e obenha Y(. b (. pono Obenha a olução y(. c (.5 pono Eboce o gráfico de y( indicando eixo e valore noávei. Repoa do iem a: SY( +4 Y( S = e Onde e uou a propriedade da derivada, propriedade de inegral e ranformada do Dela de Dirac. Agora, iolamo Y(S: [ Y( + 4 ] = +e Y( [ +4 ] = [ +e ] Y( = [ +e ] +4 { } Repoa do iem b: Como L = co( por ab(4, emo +4 f( = co(+u( /co( = co( u( /co(. Onde e uou a propriedade do delocameno no eixo. Repoa do iem c:. f(

6 Queão 7 (.5 Conidere a função f( cuja ranformada de Laplace é dada por a (. pono Calcule f(. F( = ( +e +e +e 3. +ln(3 b (.5 pono Calcule o valor de f(4 e implifique ua repoa. c (. pono Eboce gráfico de f( incluindo ecala, eixo e deconinuidade. Repoa do iem a: { } Primeiro obervamo que L = e ln(3 = 3 por ab(7. +ln(3 Uando a propriedade do delocameno no eixo, emo que f( = 3 +u( 3 ( +u( 3 ( +u( 33 ( 3 Repoa do iem b: f( = = = = 4 Repoa do iem c: f( ( 3 4 5