Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área IB

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT68 - Turma C - 6/ Prova da área IB Total Nome: Cartão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas: Seja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente! Propriedades das transformadas de Fourier: considere a notação F() = F{f(t)}.. Linearidade F {αf(t)+βg(t)} = αf {f(t)} +βf {g(t)}. Transformada da derivada Se lim t ± f(t) =, então F { f (t) } = if {f(t)} Se lim f(t) = lim t ± t ± f (t) =, então F { f (t) } = F {f(t)}. Deslocamento no eixo F { e at f(t) } = F( +ia). Deslocamento no eixo t F {f(t a)} = e ia F() { t 5. Transformada da integral Se F() =, então F f(τ)dτ } = F() i 6. Teorema da modulação F {f(t)cos( t)} = F( )+ F( + ) 7. Teorema da Convolução F {(f g)(t)} = F()G(), onde (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dτ (F G)() = F{f(t)g(t)} 8. Conjugação F() = F( ) 9. Inversão temporal F{f( t)} = F( ). Simetria ou dualidade f( ) = F {F(t)}. Mudança de escala F {f(at)} = ( ) a F, a a. Teorema da Parseval f(t) dt = F() d T. Teorema da Parseval f(t) dt = T para Série de Fourier n= Séries e transformadas de Fourier: Forma trigonométrica Forma exponencial Série de Fourier f(t) = a + N [a n cos(t)+b nsen(t)] n= onde = n, T é o período de f(t) T a = T f(t)dt = T/ f(t)dt, T T T/ f(t) = C ne int, n= an ibn onde C n = Transformada de Fourier a n = T f(t)cos(t)dt = T/ f(t)cos(t)dt, T T T/ b n = T f(t)sen(t)dt = T/ f(t)sen(t)dt T T T/ f(t) = (A() cos(t) + B() sen(t)) d, para f(t) real, onde A() = f(t)cos(t)dt e B() = f(t) sen(t)dt f(t) = F()e it d, onde F() = f(t)e it dt

2 Tabela de integrais definidas:. e ax a cos(mx)dx = a +m (a > ). cos(mx). a +x dx = a e ma (a >, m ). e ax sen(mx)dx = m a +m (a > ) xsen(mx) a +x dx = e ma (a, m > ) 5. sen(mx) cos(nx) dx = x, n < m, n = m, (m >, n > ), n > m 6. sen(mx) dx = x, m >, m =, m < 7. e r x dx = r (r > ) 8. e a x m cos(mx)dx = a e a (a > ) 9. xe ax am sen(mx)dx = (a +m ) (a > ). e ax sen(mx)cos(nx)dx = = m(a +m n ) (a +(m n) )(a +(m+n) ) (a > ).. xe ax cos(mx)dx = a m cos(mx) (a +m ) (a > ). x +a dx = 8a e ma (sen(ma)+cos(ma)) sen (mx) x dx = m. erf(x) = x e z dz 5. sen (ax)sen(mx) dx = x, ( < m < a), ( < a = m) 8, ( < a < m) 6. sen(mx) sen(nx) x dx = m, ( < m n) n, ( < n m) 7. x e ax sen(mx)dx = m(a m ) (a +m ) (a > ) 8. x e ax cos(mx)dx = a(a m ) (a +m ) (a > ) 9. cos(mx) (a +x ) dx = (a >, a (+ma)e ma m ). xsen(mx) m (a +x ) dx = a e ma (a >, m > ). x cos(mx) (a +x ) dx = a ( ma)e ma (a >, m ). xe a x sen(mx)dx = m m a e a (a > ) Frequências das notas musicais em Hertz: Nota \ Escala 5 6 Dó 65,,8 6,6 5, 7 9 Dó 69, 8,6 77, 55, 9 7 Ré 7, 6,8 9,7 587, 75 9 Ré 77,78 55,6, 6, 5 89 Mi 8, 6,8 9,6 659, 9 67 Fá 87, 7,6 9, 698, Fá 9,5 85, 7, 7, 8 96 Sol 98, 96, 9, 78, Sol,8 7,7 5, 8,6 66 Lá,,, 88, 76 5 Lá 6,5, 66, 9, Si,5 6,9 9,9 987, Identidades Trigonométricas: cos(x)cos(y) = cos(x+y)+cos(x y) sen(x)sen(y) = cos(x y) cos(x+y) sen(x)cos(y) = sen(x+y)+sen(x y) Integrais: xe λx dx = eλx λ (λx )+C x e λx dx = e λx ( x x n e λx dx = λ xn e λx n λ λ x λ + ) λ +C x n e λx dx+c xcos(λx)dx = cos(λx)+λxsen(λx) λ +C xsen(λx)dx = sen(λx) λxcos(λx) λ +C

3 Questão (. ponto) Assinale as alternativas que melhor representam os diagramas de espectro de amplitude e fase da função f(t) = +cos(t) sen(t) (amplitude na primeira coluna e fase na segunda).

4 Questão (. ponto) Dado o diagrama de espectro de amplitude de uma função periódica f(t), marque as alternativas que representam, ( T respectivamente, o módulo do valor médio e a potência média da função f(t)dt T ) T e f(t) dt. T Valor Médio Potência Média Questão (. ponto) Calcule as transformadas de Fourier das funções f(t) = e t e g(t) = e t cos(t), a >, respectivamente. F{f(t)} F{g(t)} ( ) + + ( +) + ( ) + ( +) + ( ) + + ( +) + ( ) + + ( +) + ( ) + + ( +) + ( ) + + ( +) + Questão (. ponto) Considere o diagrama de espectro de magnitudes de uma função f(t) dado no gráfico abaixo (F{f(t)} = F()). Assinale as alternativas que representam os diagramas de espectro de magnitudes de g(t) = f(t) e h(t) = f (t), respectivamente. F()

5 Assinale as respostas da questão nesta página: G() na coluna à esquerda e H() à direita. G() H() G() H() 6 G() H() G() 6 5 H() H() G()

6 Questão 5 (. ponto) Considere uma aproximação discreta do diagrama de espectro de uma nota tocada por um instrumento musical e representado por uma função periódica f(t): (rad/s) Marque a resposta que indicam as notas que melhor aproximam à do sinal f(t) e à do sinal f( t), respectivamente. [Lembrete: rad/s = Hz]. Nota tocada por f(t) Lá da escala Lá da escala Dó da escala Dó da escala Sol da escala Sol da escala Nota tocada por f( t) Dó da escala Ré da escala Si da escala 6 Mi da escala 5 Mi da escala Mi da escala

7 Questão 6 (. pontos) Considere a função f(t) = sen(t) e responda as questões abaixo. a) (.5) Calcule a frequência e o período fundamental de f(t) b) (.5) Calcule a forma trigonométrica da série de Fourier de f(t) c) (.) Esboce as primeiras raias dos diagramas de espectro da série de Fourier de f(t). Solução: a) Olhando o gráfico abaixo o período e a frequência fundamental ficam claros: T = e =. f(t) t (rad/s) Solução: b) Como f(t) é par, b n =. Assim, calculamos abaixo a e a n. a = T sen(t) dt T = sen(t)dt [ ] cos(t) = = [cos() ] =. Solução: c) Observe que C n = an. Temos a n = T sen(t) cos(t)dt T = sen(t) cos(nt)dt = (sen(t+nt)+sen(t nt))dt [ ] cos(( +n)t) cos(( n)t) = + ( +n) ( n) [ ] cos(( +n)) cos(( n)) = + (+n) ( n) [ ] = ( +n) + ( n) = ( n ). C = ei () C = C = () C = C = 5 () / / 8 8 (rad/s) 8 /5 8 (rad/s)

8 Questão 7 (. pontos) Considere a seguinte equação da onda: u t (x,t) = u x(x,t), < x <, t >, u(x,) = e x, < x <, u t(x,) =, < x <. a) (.) Aplique a transformada de Fourier na equação diferencial para concluir que onde F(k) = F{e x }. F{u(x,t)} = F(k)cos(kt), b) (.) Calcule a transformada inversa usando a expressão do item anterior para concluir que a solução da equação diferencial dada é u(x,t) = (e x+t +e x t ). Solução: a)aplicamos a transformada de Fourier no problema: U t (k,t) = k U(k,t), U(k,) = F{e x }, U t(k,) =, onde U(k, t) = F{u(x, t)}. A solução desta equação diferencial ordinária é U(k,t) = A(k)cos(kt)+B(k)sen(kt). Quando impomos as condições iniciais, temos U(k,) = A(k) = F(k) e U t(k,) = kb(k) =. Logo U(k,t) = F(k)cos(kt). Solução: b) Aplicamos a transformada inversa e usamos a propriedade do deslocamento: u(x,t) = F {F(k)cos(kt)} { = F F(k) eikt +e ikt } = (F { F(k)e ikt} +F { F(k)e ikt}) = (e x+t +e x t ).