Total. UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /2 Prova da área IIB

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT6 - Turma A - 7/ Prova da área IIB Total Nome: Cartão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas: Seja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente! Propriedades das transformadas de Fourier: considere a notação F() = F{f(t)}.. Linearidade F {αf(t)+βg(t)} = αf {f(t)} +βf {g(t)}. Transformada da derivada Se lim t ± f(t) =, então F { f (t) } = if {f(t)} Se lim f(t) = lim t ± t ± f (t) =, então F { f (t) } = F {f(t)} 3. Deslocamento no eixo F { e at f(t) } = F( +ia) 4. Deslocamento no eixo t F {f(t a)} = e ia F() { t 5. Transformada da integral Se F() =, então F f(τ)dτ } = F() i 6. Teorema da modulação F {f(t)cos( t)} = F( )+ F( + ) 7. Teorema da Convolução F {(f g)(t)} = F()G(), onde (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dτ (F G)() = F{f(t)g(t)}. Conjugação F() = F( ) 9. Inversão temporal F{f( t)} = F( ). Simetria ou dualidade f( ) = F {F(t)}. Mudança de escala F {f(at)} = ( ) a F, a a. Teorema da Parseval f(t) dt = F() d T 3. Teorema da Parseval f(t) dt = C n T para Série de Fourier n= Séries e transformadas de Fourier: Forma trigonométrica Forma exponencial Série de Fourier f(t) = a + N [a n cos( nt)+b nsen( nt)] n= onde n = n, T é o período de f(t) T a = T f(t)dt = T/ f(t)dt, T T T/ f(t) = C ne int, n= an ibn onde C n = Transformada de Fourier a n = T f(t)cos( nt)dt = T/ f(t)cos( nt)dt, T T T/ b n = T f(t)sen( nt)dt = T/ f(t)sen( nt)dt T T T/ f(t) = (A() cos(t) + B() sen(t)) d, para f(t) real, onde A() = f(t)cos(t)dt e B() = f(t) sen(t)dt f(t) = F()e it d, onde F() = f(t)e it dt

2 Tabela de integrais definidas:. e ax a cos(mx)dx = a +m (a > ). cos(mx) 3. a +x dx = a e ma (a >, m ) 4. e ax sen(mx)dx = m a +m (a > ) xsen(mx) a +x dx = e ma (a, m > ) 5. sen(mx) cos(nx) dx = x, n < m 4, n = m, (m >, n > ), n > m 6. sen(mx) dx = x, m >, m =, m < 7. e r x dx = r (r > ). e a x m cos(mx)dx = a e 4a (a > ) 9. xe ax am sen(mx)dx = (a +m ) (a > ). e ax sen(mx)cos(nx)dx = = m(a +m n ) (a +(m n) )(a +(m+n) ) (a > ). 3. xe ax cos(mx)dx = a m cos(mx) (a +m ) (a > ). x 4 +4a 4dx = a 3e ma (sen(ma)+cos(ma)) sen (mx) x dx = m 4. erf(x) = x e z dz 5. sen (ax)sen(mx) dx = x, ( < m < a) 4, ( < a = m), ( < a < m) 6. sen(mx) sen(nx) x dx = m, ( < m n) n, ( < n m) 7. x e ax sen(mx)dx = m(3a m ) (a +m ) 3 (a > ). x e ax cos(mx)dx = a(a 3m ) (a +m ) 3 (a > ) 9. cos(mx) (a +x ) dx = (a >, 4a 3(+ma)e ma m ). xsen(mx) m (a +x ) dx = 4a e ma (a >, m > ). x cos(mx) (a +x ) dx = 4a ( ma)e ma (a >, m ). xe a x sen(mx)dx = m m 4a 3 e 4a (a > ) Frequências das notas musicais em Hertz: Nota \ Escala Dó 65,4 3, 6,6 53, Dó 69,3 3,6 77, 554,4 9 7 Ré 73,4 46, 93,7 57, Ré 77,7 55,6 3, 6, Mi,4 64, 39,6 659, Fá 7,3 74,6 349, 69, Fá 9,5 5, 37, 74, 4 96 Sol 9, 96, 39, 74, Sol 3, 7,7 45,3 3, Lá,, 44,, Lá 6,5 33, 466, 93, Si 3,5 46,9 493,9 97, Identidades Trigonométricas: cos(x)cos(y) = cos(x+y)+cos(x y) sen(x)sen(y) = cos(x y) cos(x+y) sen(x)cos(y) = sen(x+y)+sen(x y) Integrais: xe λx dx = eλx λ (λx )+C x e λx dx = e λx ( x x n e λx dx = λ xn e λx n λ λ x λ + ) λ 3 +C x n e λx dx+c xcos(λx)dx = cos(λx)+λxsen(λx) λ +C xsen(λx)dx = sen(λx) λxcos(λx) λ +C

3 Questão (. ponto) Considere as funções dadas por: f(t) = Considere as representações em séries de Fourier dadas por: { t, < t <,, t =, f(t+) = f(t), t R e g(t) = f(t ) f(t) = g(t) = F ne int, n= G ne int. n= onde n é a frequência fundamental destas funções. Assinale as alternativas corretas. Os valores de F e G são: e (X) e / e / e / e O valor de G 5i 4i 3i i (X) i Questão (. pontos) Considere a função dada por f(t) = cos 4 (t) = a + [a n cos( nt)+b nsen( nt)], onde é a frequência n= fundamental. Assinale as alternativas que indicam a n e b n. a n b n a n =, n. (X) b n =, n. a = 3 4, a =, a =, an =, n >. (X) a = 3 4, a =, a =, an =, n >. a = 3 4, a =, a =, an =, n >. a = 3 4, a =, a =, an =, n >. b = 3 4, b =, b =, bn =, n >. b = 3 4, b =, b =, bn =, n >. b = 3 4, b =, b =, bn =, n >. b = 3 4, b =, b =, bn =, n >. Questão 3 (. ponto) Seja f(t) = e t e F() = F {f(t)} e g(t) := F { if()e i}. Assinale corretamente a alternativa que indica corretamente os valores de g() e de E := F() d. g() (X) e E e (X) e e e 3 e 4

4 Questão 4 (. pontos) Considere as funções dadas por: f(t) = e t g(t) = te t h(t) = cos(t)e t l(t) = tcos(t)e t Assinale as alternativas que indicam F(), G(), H() e L() F() ( +) G() + + ( +) ( +) (X) + H() (X) ( +) + + ( ) + [ ] ( +) + + ( ) + [ ] + ( +) ( ) + (( +) +) + (( ) +) (( +) +) + (( ) +) [ ] (( +) +) + (( ) +) (X) L() 4i ( +) 4i ( +) 4 ( +) 4i ( +) i ( +) ( +) i( +) i( ) (( +) + +) (( ) +) i( +) (( +) +) + i( ) (( ) +) ( +) (( +) +) + ( ) (( ) +) i( +) (( +) +) i( ) (( ) +) i( +) (X) (( +) +) i( ) (( ) +) + (( +) +) + (( ) +) Questão 5 (. pontos) Considere os diagramas de espectro de amplitude e fase de uma função f(t). φ n C n 3 3 n rad/s 3 3 n rad/s Marque as alternativas que indicam, respectivamente, C, C e C 3 e o sinal f(t). C, C e C 3 C =, C = e C 3 =. C = i, C = i e C 3 = i. (X) C = i, C = i e C 3 = i. C =, C = i e C 3 =. f(t) f(t) = +4cos(t) cos(t)+cos(3t). f(t) = +4cos(t) cos(t) +cos(3t). f(t) = +4sen(t)+sen(t) +sen(3t). (X) f(t) = +4sen(t) sen(t) +sen(3t). f(t) = 4sen(t) sen(t)+sen(3t). C = i, C = i e C 3 = i.

5 Questão 6 (. pontos) Um fluido se desloca em um tubo termicamente isolado com velocidade constante v de forma que a evolução da temperatura u(x, t) como uma função da coordenada x e do tempo é descrita pelo seguinte modelo simplificado: u t vu x u xx =. Sabendo que no instante t =, a temperatura foi bruscamente aquecida em uma região muito pequena, de forma que podemos considerar u(x,) = 5δ(x). Use a técnica das transformadas de Fourier para obter a solução desta equação diferencial quando v = m/s. Solução: Aplicamos a transforma de Fourier na variável x, obtemos a seguinte expressão para a equação transformada U t(k,t) v(ik)u(k,t) (ik) U(k,t) = onde foi usada a propriedade da derivada. A condição inicial se torna: U(k,) = 5 δ(x)e ikx = 5 Portanto temos o seguinte problema de valor inicial: cuja solução é U t(k,t) = ( k +ivk)u(k,t) U(k,) = 5 U(k,t) = 5e ( k +ivk)t = 5e ivkt e k t A multiplicação por e ivtk indica um deslocamento no eixo x. Logo precisamos calcular: { } Fx e k t = e kt e ikx dk = e kt cos(ikx)dk = t e x 4t = t e x 4t Portanto u(x,t) = 5 e (x+vt) 4t = 5 e (x+t) 4t t t

6 Questão 7 (. pontos) Sejam f(t) e g(t) funções que possuem transformadas de Fourier e F() = F{f(t)} e G() = F{g(t)}. Os gráficos abaixo apresentam os seus diagramas de espectro de magnitudes. F() G() Esboce o diagrama de magnitudes de h(t) = f(t)cos (3t) e l(t) = h(t) g(t). Solução: Primeiro observamos que h(t) = f(t) +cos(6t) Também, L() = H()G(). = cos(6t) f(t) +. Assim, H() = F() + F( +6)+F( 6). 4 H() L() 3 3