Complementos de Análise Matemática

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1 Insiuo Poliécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Ficha práica n o 4 - Transformadas de Laplace Equações e Sisemas de Equações Diferenciais. Em cada uma das alíneas seguines, deermine Lf()}., 0 < <,, 0 < <, f() = f() =,.,. (c) f() = e +7 (d) f() = e 4 2. Deermine Lf()} para cada uma das funções f. f() = 2 4 f() = (c) f() = ( + ) 3 (d) f() = e sinh 3. A função gama define-se por meio do inegral Mosre que Γ(α) = 0 L α } = α e d, α > o. Γ(α + ) s α+, α >. 4. Nas alíneas seguines, use o resulado do exercício anerior para deerminar Lf()}. f() = /2 f() = /2 5. Nas alíneas seguines, deermine a ransformada inversa, usando ransformadas inversas de ouras funções. L L (s+) 3 s 3 } s 4 } (c) L s s 2 +2s 3 (d) L s 2 (s 2 +4) } (e) L s (f) L 2s+4 (s 2 +4)(s+2) (s 2)(s 2 +4s+3) 6. A ransformada inversa de Laplace pode não ser única. Calcule Lf()} para, 0,, 2 f() = 3, =. 4, = 2 Página de 5 - Ficha n o 4

2 7. Nas alíneas seguines deermine F (s) ou f(), consoane o indicado. Le 0 } Le sin 3} (c) L(e + e 2 ) 2 } (d) Le sin 2 } (e) L s s 2 +4s+5 } (f) L s (s+) } 2 (g) L ( )U( )} (h) L cos 2U( π)} (i) L e s s(s+) } (j) L2 sinh } (k) Le 2 sin 6} (l) L s (s 2 +) 2 8. Nas alíneas seguines escreva as funções dadas em ermos da função de passo uniário. Deermine a ransformada de Laplace de cada função. 2, 0 < 3 0, 0 < f() = f() = 2, 3 2,, 0 < 4, 0 < 2 (c) f() = f() = 0, 4 < 5 0, 2, 5 9. Nas alíneas seguines, calcule a ransformada de Laplace indicada. } } L 0 e τ cos τdτ L 0 τe τ dτ (c) L } 0 sin τdτ (d) L 3} (e) L 2 4} (f) L e e cos } 0. Nas alíneas seguines, use a igualdade f g = L F (s)g(s)} para deerminar f() L s(s+) L (s+)(s+2) (c) L s (s 2 +4) 2 }. Mosre que se f() é seccionalmene conínua e periódica de período T, enão L f()} = e st T 0 e s f()d. Deermine a ransformada de Laplace das seguines funções periódicas. (i) f() = sin (ii) f() = cos (iii) f é definida em cada inervalo [n, n + [, n IN 0, por f() = n. 2. Prove a propriedade comuaiva do inegral de convolução f g = g f. 3. Prove a propriedade disribuiva do inegral de convolução f (g + h) = f g + f h. 4. Se F (s) = Lf()}, mosre que L f() cosh a} = [F (s a) + F (s + a)]. 2 Página 2 de 5 - Ficha n o 4

3 5. Use o resulado do exercício anerior para deerminar Lsin k cosh a}. 6. Nas alíneas seguines, use a ransformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeia às condições iniciais indicadas. Se possível, escreva f em ermos de funções de passo uniário. d y =, y(0) = 0 y + 4y = e 4, y(0) = 2 (c) y + 5y + 4y = 0, y(0) =, y (0) = 0 (d) y 6y + 9y =, y(0) = 0, y (0) = (e) y 4y + 4y = 3 e 2, y(0) = 0, y (0) = 0 (f) y + y = sin, y(0) =, y (0) = (g) y y = e cos, y(0) = 0, y (0) = 0 (h) 2y + 3y 3y 2y = e, y(0) = 0, y (0) = 0, y (0) = (i) y (4) y = 0, y(0) =, y (0) = 0, y (0) =, y (0) = 0 0, 0 < (j) y + y = f(), onde f() =, y(0) = 0 5,, 0 < (k) y + 2y = f(), onde f() =, y(0) = 0 0, (l) y + 4y = f(), onde f() = sin U( 2π), y(0) =, y (0) = 0 7. Use a ransformada de Laplace para resolver as seguines equações inegrais. f() + o ( τ)f(τ)dτ = f() = e + o τf( τ)dτ 8. Recorde que a equação para a correne i() num circuio em série conendo uma auo-indução e uma resisência é L di + Ri = E(), d onde E() é a volagem aplicada. Use a ransformada de Laplace para deerminar a correne i() quando i(0) = 0, L =, R = 0 e E() = sin, 0 < 3π 2 0, 3π 2 9. Recorde que quando um circuio em série coném uma auo-indução, uma resisência, e um condensador, a equação diferencial para a carga insanânea q() no condensador é dada por L d2 q d 2 + Rdq d + C q = E(). Deermine a carga q() se L =, R = 20, C = 0.0, E() = 20 sin 0, q(0) = 0. Qual a correne i(), supondo i(0) = 0? Página 3 de 5 - Ficha n o 4

4 20. Resolva as seguines problemas de valor inicial. y 3y = δ( 2), y(0) = 0 y + y = δ( 2π), y(0) = 0, y (0) = (c) y + y = δ( π/2) + δ( 3π/2), y(0) = 0, y (0) = 0 (d) y + 2y = δ( ), y(0) = 0, y (0) = 2. Resolva os seguines sisemas de equações diferenciais. d = 2x y d = x d = y + d = x (c) (D 2 + 5)x 2y = 0 2x + (D 2 + 2)y = 0 (d) d 2 d 2 y d 2 = 4y + e = 4x e 22. Use a ransformada de Laplace para resolver os seguines sisemas de equações diferenciais: d = x + y d = 2x, x(0) = 0, y(0) = d = x 2y d = 5x y, x(0) =, y(0) = 2 (c) 2 d + d + d d 2x = 3x 3y = 2, x(0) = 0, y(0) = 0 (d) d 2 + x y = 0 d 2 y d 2 + y x = 0, x(0) = 0, x (0) = 2 y(0) = 0, y (0) = (e) d 2 d 2 + d2 y d 2 = 2 d2 y d 2 = 4, x(0) = 8, x (0) = 0 y(0) = 0, y (0) = 0 (f) d d + 3y = 0 d 2 + 3y = e, x(0) = 0, x (0) = 2 y(0) = Considere o sisema de equações diferenciais seguine que descreve as correnes i () e i 2 () numa rede elécrica conendo uma resisência, um induor e um condensador: L di RC di 2 d + Ri 2 = E() d + i 2 i = 0. Resolva ese sisema supondo E = 60, L = R = 50, C = 0 4, e que i e i 2 são inicialmene zero. 24. O sisema de equações diferenciais seguine descreve as correnes i () e i 2 () numa rede elécrica. Resolva o sisema para R = 5, L = 0.0, L 2 = 0.025, E = 00, i (0) = 0 e i 2 (0) = 0. di L di L 2 2 d + Ri + Ri 2 = E() d + Ri + Ri 2 = E(). Página 4 de 5 - Ficha n o 4

5 25. Deermine a solução geral de cada um dos seguines sisemas de equações diferenciais d = 2x + 3y d = 2x + y (c) X = (e) X (d) X = d = x + 2y d = 4x + 3y (f) X = d = 4x + y + z d = x + 5y z dz d = y 3z ( X ) X (g) X = ( 2 2 ) X (h) d = x + y z d = 2y dz d = y z Página 5 de 5 - Ficha n o 4