Introdução ao estudo de Circuitos Lineares, Invariantes, Dinâmicos e de Parâmetros Concentrados usando o. Modelo de Estado. Análise de Circuitos

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1 Inrodução ao esudo de ircuios Lineares, Invarianes, Dinâmicos e de Parâmeros oncenrados usando o Modelo de Esado Análise de ircuios ircuios Elecrónicos das Telecomunicações ircuios Lineares e Não-Lineares Teoria dos ircuios por Anónio Joaquim Serralheiro Novembro de 1997

2 1. O MODELO DE ESTADO 1.1 INTRODUÇÃO Na sequência da análise do comporameno emporal de grandezas de ineresse em circuios elécricos lineares, iremos abordar o esudo de circuios comporando elemenos dinâmicos, nomeadamene o condensador, o induor e o ransformador que consideraremos como disposiivos lineares. Em geral, o esudos de circuios envolvendo eses elemenos conempla quer o domínio do empo quer o da frequência. Se o esudo no domínio do empo em, geralmene, como objecivo o comporameno ransiório, já o esudo na frequência em como finalidade o comporameno em regime permanene; aempadamene iremos ver que não em de ser forçosamene assim. O esudo de circuios dinâmicos será de seguida efecuado recorrendo ao modelo de esado que, enre ouras vanagens, permie uma análise mais sisemaizada do seu comporameno e, como al, presa-se ao raameno numérico em compuador digial. Designa-se por modelo de esado um conjuno de equações diferenciais lineares e de coeficienes consanes que relacionam as variáveis de esado com as fones independenes. O modelo de esado apresena, enão, no caso univariável, a seguine forma: Eq.1: d x() = a x() b u() em que x() represena a variável de esado e u() o ermo correspondene à fone independene 1. É comum, na maior pare das siuações, incluir no modelo de esado uma equação adicional a equação de saída e que se desina a relacionar a variável em esudo y() (correne ou ensão elécricas) com a variável de esado e com a fone independene. Esa equação, que não é mais do que a expressão de uma combinação linear na variável de esado e na fone independene, oma a forma: Eq.2: y() = c x() d u() 1 Para facilidade de expressão, uilizaremos «fone independene» para designar o ermo das variáveis independenes que, nos circuios em esudo, corresponde às fones ou geradores de sinal (ensão ou correne) independenes. A. Serralheiro 1

3 em que, como aneriormene, x e u represenam a variável de esado e a fone independene, respecivamene. Recorde-se que, ano a equação 1 como a equação 2, se reporam à exisência de uma única variável de esado, x(). Quando exisam mais do que uma variável de esado, x() passa a designar o vecor de esado, cujos elemenos serão as k-variáveis de esado do circuio: Eq.3: x() = [x 1 (); x 2 (); x 3 ();...; x n ()] T = [x k ()] T : k = 1, 2,..., n Assim, poderemos agora definir variável de esado como sendo um conjuno mínimo de variáveis (sendo, porano, as variáveis de esado linearmene independenes) que permia a deerminação do esado do circuio. Neses ermos, a equação de esado assumirá a forma (caso mulivariável): Eq.4: d x() = A x() B u() em que, como na equação 3, x() é o vecor de esado; A é uma mariz de n 2 elemenos denominada mariz da dinâmica; B é uma mariz de nm elemenos denominada mariz de conrolo e u() um vecor m-dimensional represenando as diversas fones independenes exisenes no circuio, pelo que u() = [u 1 (); u 2 (); u 3 ();...; u m ()] T. A equação de saída será agora (independenemene de y() represenar a variável de saída ou um vecor cujos elemenos são variáveis de saída): Eq.5: y() = x() D u() em que, como na equação 4, x() e u() represenam os vecores de esado e das fones independenes. e D são marizes e/ou vecores conforme y e u são vecores e/ou escalares, respecivamene. 1.2 VARIÁVEIS DE ESTADO E EQUAÇÃO DE ESTADO omo é sabido, a ensão e a correne elécricas no condensador e no induor enconram-se relacionadas aravés de i () = d v () e de v L () = L d i L (), respecivamene. Ao invés das resisências, eses elemenos êm a paricularidade de apresenarem, quer na correne quer na ensão, uma dependência emporal. Poderemos dizer que eses elemenos apresenam «memória». Assim, se, por exemplo, elegermos a ensão aos erminais do condensador e a correne que percorre o induor como variáveis de ineresse, esaremos a uilizar as «memórias» do circuio para caracerizar o seu comporameno. Ao conhecimeno das «memórias» num dado insane de empo daremos a designação de esado. onsequenemene, às variáveis que permiem deerminar ou conhecer o «esado» do circuio, daremos o nome de variáveis de esado. Porano, por variáveis de A. Serralheiro 2

4 esado designaremos um conjuno mínimo de variáveis que permiam, para qualquer insane de empo, a deerminação do esado do circuio. Desa definição resula, forçosamene, que as variáveis de esado são variáveis linearmene independenes. Noe-se ainda que nem só as ensões nos condensadores e/ou as correnes nos induores são elegíveis para variáveis de esado. Quaisquer ouras grandezas no circuio, i. e. ensões ou correnes, poderão, desde que verifiquem a independência linear, ser variáveis de esado. Torna-se, pois, necessário deerminar quanas (e quais) deverão ser as variáveis de esado e para al, classificaremos os circuios com elemenos dinâmicos em duas classes disinas: ircuios Tipo A, definidos por não apresenarem caminhos fechados (loops) de condensadores e/ou fones de ensão e/ou não apresenarem conjunos de core de induores e/ou fones de correne; ircuios Tipo B, definidos como sendo odos aqueles que não perencem à classe anerior. R v - s v v - 2 v- s v v 2 - R 2 - v 3 - v 3 a) b) Figura 1: a) ircuio Tipo B; b) ircuio Tipo B. Vejamos agora em que consise a diferença nas duas classes de circuios e ainda como, em cada caso, deerminar o número de variáveis de esado. Para al, considere-se a figura 1a) onde se represena um circuio dinâmico em que exise um caminho fechado (assinalado pelo racejado) de uma fone de ensão (independene) e rês condensadores. Nese caso, a lei de Kirchhoff das ensões esabelece que Eq.6: v c1 v c2 v c3 - v s = 0 Desa equação se verifica que as ensões aos erminais dos condensadores não podem, em simulâneo, ser variáveis de esado, uma vez que se raa de uma dependência linear em v c1, v c2, v c3 e v s. Porano, se elegermos v c1 e v c2 como variáveis de esado, v c3 deermina-se A. Serralheiro 3

5 imediaamene a parir da equação 6 e assim sucessivamene. oncluímos enão que, nese caso, o número de variáveis de esado (= 2) se ornou igual ao número de componenes dinâmicos (= 3) do circuio subraído do número de dependências lineares (= 1). Aene-se agora na figura 1b) que deriva da figura 1a) pela inclusão de mais dois elemenos, as resisências R1 e R2. O circuio apresena agora duas malhas exra, mas repare-se que a equação 6 se maném válida, pelo que a análise anerior se verifica. Ou seja, do pono de visa das variáveis de esado (e do seu comporameno) não houve qualquer modificação, mesmo raando-se de dois circuios disinos. 1 v - s v - 1 R 2 3 v2 - - v R - v 3 Figura 2: ircuio do Tipo A Siuação disina ocorre agora no circuio da figura 2 que poderá derivar do circuio anerior, figura 1a), pela inclusão de um ramo adicional a resisência R, uma vez que a lei de Kirchhoff das ensões assume agora Eq.7: v c1 v c2 v c3 v R - v s = 0 Ou seja, já não se poderá afirmar que aravés de v c1, v c2 e v s se deerminará v c3, uma vez que resa ober v R o que, por exemplo, poderá ser efecuado aravés de i c1. No enano, como se verifica facilmene, o circuio da figura 2 já não apresena um caminho fechado onde apenas exisam fones de ensão e/ou condensadores. Assim, enquano nos circuios da figura 1 se em que o número de variáveis de esado é inferior ao número de elemenos dinâmicos, já no circuio da figura 2 o número de variáveis de esado é igual ao número de elemenos dinâmicos. Aene-se agora no circuio da figura 3a, onde se represena um circuio que inclui induores e onde se pode siuar um conjuno de core abrangendo apenas a fone de correne e induores: i s i L1 i L2 i L3 i s i L1 i L2 i L3 i R L1 L2 L3 L1 L2 L3 R a) b) A. Serralheiro 4 Figura 3: a) ircuio Tipo B; b) ircuio Tipo A.

6 omo se pode facilmene ver, enconramo-nos numa siuação similar à descria na equação 6. De faco, eremos agora que o somaório das correnes inersepadas pela superfície assinalada na figura 3a se pode escrever como: Eq.8: i s - i L1 - i L2 - i L3 = 0 Novamene se enfrena a siuação em que i L1, i L2 e i L3 não podem ser em simulâneo variáveis de esado, uma vez que são linearmene dependenes (equação 8). Esa dependência é quebrada pela inrodução de um ramo adicional apresenando quer uma resisência quer uma fone de ensão, como se represena na figura 3b. Resumindo, sempre que não haja dependência linear das «variáveis de esado» (circuios do Tipo A) se pode afirmar que o número de componenes do vecor de esado é igual ao número de componenes dinâmicos do circuio. No caso conrário, nos circuios do Tipo B, o número de variáveis de esado vem igual ao número de componenes dinâmicos subraído do número de dependências lineares. 1.3 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ESTADO ASO UNIVARIÁVEL Siuemo-nos, por ora, em circuios do Tipo A que, como já se sabe, não apresenam caminhos fechados de condensadores e/ou fones de ensão e/ou fones de correne e/ou inducâncias. Nesa siuação, o número de variáveis de esado vem igual ao número de elemenos dinâmicos. Uma vez que a equação de esado assume a forma genérica apresenada na equação 1, poderemos fazer a seguine inerpreação: raa-se de uma igualdade enre a derivada da variável de esado com uma combinação linear da própria variável de esado com o ermo correspondene à fone independene, e ainda, a derivada da variável de esado é, caso se rae de um condensador, a correne que o percorre (dividida pela sua capacidade), e a equação de esado assume a forma de uma igualdade enre esa correne e a soma ponderada da ensão aos seus erminais com a fone independene; ou a derivada da variável de esado é, caso se rae de um induor, a ensão aos seus erminais (dividida pela sua induância), e a equação de esado assume a forma de uma igualdade enre esa ensão e a soma ponderada da correne que percorre o induor e a fone independene. A. Serralheiro 5

7 Por uma quesão de facilidade de exposição, suponha-se que exise um único elemeno dinâmico, um condensador, no circuio da figura 4a), formando uma malha com uma fone independene de ensão e uma resisência. Ese circuio, longe de se raar de um caso paricular é, na verdade, uma represenação equivalene de qualquer circuio linear resisivo ligado aos erminais de um condensador circuio equivalene de Thévenin, figura 4b). R v- s v R - i v- ircuio Linear Resisivo v- Figura 4 ircuio R- passa-baixo (1ª ordem). Assuma-se que a variável de esado do circuio da figura 4a) é v c ; pelos moivos acima apresenados, deveremos pois procurar expliciar a correne no condensador i c numa combinação linear de v c e da fone independene v s. Iso é, consideremos na equação 1, v c () = x() e v s () = u(). Dese modo, eremos que o lado esquerdo da equação 1 será dado por d x() = i c. O lado direio daquela equação virá enão dado por a v c b v s, sendo a e b os pesos da combinação linear. Observando a figura 4a) e noando que a correne na resisência é igual a i c enão eremos Eq.9: i c = (v s - v s ) / R = G(v s - v s ) a) b) Daqui se reira que a equação de esado virá dada pela equação seguine, uma vez que da d v c () caracerísica ensão-correne do condensador se em i c = : Eq.10: d v c () = - 1 R v c () 1 R v s () A equação 10 é denominada equação de esado do circuio na forma canónica. onsideremos agora o circuio da figura 5 que coném um induor ligado aos erminais de uma fone independene de correne em paralelo com uma resisência. Novamene se pode considerar o gerador independene em paralelo com a resisência, como sendo o circuio equivalene de Noron de um qualquer circuio linear resisivo com fones independenes, pelo que o não haverá perda de generalidade na exposição que a seguir se apresena. A. Serralheiro 6

8 i s i R i L R v L - L Figura 5 ircuio R-L passa baixo (1ª ordem). Nese caso, comecemos por reparar que a diferença de poencial aos erminais do induor é idênica à diferença de poencial aos erminais da resisência, pelo que eremos a seguine equação: Eq.11: v L = v R = R (i s - i L ) Recordando que v L =L d i L, imediaamene se obém a equação de esado (na forma canónica) para o circuio R-L da figura 5: Eq.12: d i L () = - R L i L () R L i s () Resumindo, poderemos enão verificar que o processo de obenção da equação de esado, em circuios do ipo A com um único elemeno dinâmico, passa por: escolha da variável de esado adequada, ou seja: v c quando o elemeno dinâmico for um condensador; i L quando o elemeno dinâmico for uma bobina. expliciação da combinação linear da variável de esado e da(s) fone(s) independene(s) na: i c quando o elemeno dinâmico for um condensador; v L quando o elemeno dinâmico for um induor ASO MULTIVARIÁVEL Aene-se na figura 6 onde se represena um circuio conendo dois elemenos dinâmicos: um condensador e uma bobina. À semelhança do processo seguido para os circuios do Tipo A de 1ª ordem (exisência de um elemeno dinâmico), procuremos expressar a correne no condensador como uma combinação linear da(s) variável(eis) de esado e da fone independene e ainda a diferença de poencial aos erminais da bobina numa oura combinação linear da(s) variável(eis) de esado e da fone independene. Assim eremos que a correne i c, por aplicação da lei de Kirchhoff de equilíbrio das correnes ao nó A será dada por i c = v R R - i L e, por sua vez, por A. Serralheiro 7

9 aplicação da lei de Kirchhoff de equilíbrio das ensões na malha da esquerda, v R = v s v c. onjugando esas duas equações, e reordenando os ermos eremos a equação seguine: Eq.13: i c = - v c R - i L v s R Recordando a caracerísica ensão-correne do condensador, imediaamene se obém: Eq.14: d v c () = - 1 R v c () - 1 i L () 1 R v s () i R R v- s v R - i v - v L - L i L Figura 6 ircuio RL de 2ª ordem (Tipo A). Procedendo ipsis verbis para o ouro elemeno dinâmico, eremos v L = v c. Noe-se novamene a preocupação de colocar no lado direio desa úlima equação e ambém da equação 13 apenas variáveis de esado e fone(s) indepenene(s). Usando a caracerísica ensão-correne da bobina, ficaremos com: Eq.15: d i L () = 1 L v c () Agrupando as equações 14 e 15 poderemos ober, usando uma noação maricial, a equação seguine: Eq.16: d v c () = i L () - 1 R 1 L v c () i L () 1 R 0 v s () endo-se usando a seguine noação: d v c () i L () = d v c () d i L (). Por comparação das equações 16 e 4 poderemos observar as seguines igualdades: vecor de esado x() = v c () i L () A. Serralheiro 8

10 mariz da dinâmica: A = - 1 R 1 L vecor 2 de conrolo: B = 1. R 0 onsiderando que a saída do circuio corresponde à ensão v c, a equação de saída assumirá a forma indicada na equação 17: Eq.17: y() = [1 0] v c () 0 v s () i L () 1.4 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ESTADO EXISTÊNIA E UNIIDADE DA SOLUÇÃO. SOLUÇÃO POR INTEGRAÇÃO DIRETA, ASO UNIVARIÁVEL. omo é do conhecimeno das Análises Maemáicas, uma equação diferencial linear de coeficienes consanes, submeida a uma condição froneira, apresena uma solução, solução esa que é única. Na maioria das siuações de ineresse práico, ineressa deerminar o comporameno do circuio a parir do insane em que o mesmo é «ligado» 3. Ese insane será considerado, por ora, o insane = 0. Procuremos enão a solução para > 0 da equação de esado que caraceriza o circuio. onvém relembrar que a variável de esado deverá ser conínua em por forma a garanir uma derivada finia. Seja, enão, x 0 a condição froneira que a solução x() da equação de esado d x() = a x() b u() em de verificar em = 0. Reescreva-se a equação 1 : d x() exp(-a): - a x() = b u() e mulipliquemos ambos os membros por Eq.18: d x() e -a - a x() e -a = b u() e -a 2 Uma vez que o circuio apenas coném um gerador independene, B é um vecor, se bem que no caso geral se rae de uma mariz. 3 Ou seja, a parir do insane em que os geradores de sinal (ensão ou correne) são acivados. A. Serralheiro 9

11 Repare-se que o lado esquerdo da igualdade corresponde efecivamene à derivada emporal de x() e -a, iso é: d x() e-a = b u() e -a. Inegre-se a equação anerior desde 0 (insane inicial) aé ao insane de empo acual : 0 d x(τ) e -aτ dτ = b dτ 0 eremos finalmene na equação seguine: Eq.19: x() = x(0) e a b e a u(τ) e -aτ dτ 0 u(τ) e -aτ dτ. Daqui resula x() e -a x(0) = b u(τ) e -aτ dτ, pelo que 0 a solução x() da equação de esado e que «passa» no pono x 0 = x(0) em = 0. Se bem que a equação 19 nos permia ober x(), o seu ineresse práico é reduzido uma vez que, para os geradores de ensão/correne de uso correne, se pode uilizar um méodo expedio baseado nas soluções homogénea e paricular para fones exponenciais complexas. A íulo exemplificaivo, suponha-se que u() = e s para > 0. A variável s é, no caso geral uma variável complexa (s ), iso é, s = σ j ω, sendo σ, ω 3. Logo, subsiuindo u() equação 19, e por manipulação elemenar, eremos Eq.20: x() =[x(0) - b s - a ] ea b s - a es Ese resulado pode ser obido, como veremos nos parágrafos seguines, aravés de um méodo expedio que será ambém uilizado para o caso mulivariável. Ese méodo baseia-se na deerminação das soluções homogéneas e paricular. De faco, a solução da equação de esado (equação 20) pode ser decomposa nas suas componenes homogénea e paricular: Eq.21: x() = x h () x p () SOLUÇÃO HOMOGÉNEA onsidere-se a equação de esado homogénea para o caso univariável, obida a parir da equação de esado na forma canónica por anulameno do ermo independene: Eq.22: d x() = a x() A. Serralheiro 10

12 e designemos por x h () a sua solução homogénea. Assuma-se que x h () = k e λ, λ, verifica a equação 22, pelo que subsiuindo x() por x h (), eremos kλ e λ = k a e λ. Uma vez que não esamos ineressados na solução rivial (k = 0), poderemos concluir que λ = a. Assim, a solução homogénea é: Eq.23: x h () = k e a sendo k uma consane a deerminar poseriormene. A consane λ denomina-se frequência naural e, ao seu inverso, 1 = τ, consane de empo do λ circuio e, como veremos, desempenha um papel fundamenal na resposa do circuio. No caso mulivariável, a equação homogénea assumirá a forma da equação 24, em que x() é agora o vecor de esado e A a mariz da dinâmica: Eq.24: d x() = A x() Assuma-se que x h () = K e λ é (uma) solução da equação homogénea, al como já efecuámos no caso univariável. laro que K não será agora uma consane, mas anes um vecor K = [k 1, k 2,..., k n ] T. Assim sendo, x h () erá que saisfazer a equação 24, pelo que eremos, Eq.25: λ K e λ = A K e λ λ k 1 k 2... k n e λ - a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn k 1 k 2... k n e λ = 0 Designando I a mariz idenidade, é sabido que K I = K pelo que a equação 25 omará agora a forma: Eq.26: [λ I A ] K e λ = 0 Ese é um problema bem conhecido em Álgebra Linear que em solução não-nula no vecor K sse o deerminane da mariz [λ I A ] for nulo, iso é: Eq.27: de [λ I A ] = 0 A. Serralheiro 11

13 A equação 27 é denominada equação caracerísica e da sua resolução se obêm os valores próprios da mariz A: λ 1, λ 2,..., λ n que, por facilidade de exposição, admiimos serem odos disinos, i.e. a solução da equação 27 não em raízes múliplas, logo λ i λ j, para i, j = 1, 2,..., n. Uma vez deerminados os valores próprios da mariz A, da equação 26 se deerminam os respecivos vecores próprios K (i) para i = 1, 2,..., n. Seja, enão, x h () = K e λ, para λ = λ i, i {1, 2,..., n} uma solução da equação 24 e que designaremos por x (i) h () uma vez que diz respeio ao valor próprio λi. Uma combinação linear das n-soluções homogéneas da equação de esado homogénea (equação 24) é ambém solução da mesma equação homogénea. Finalmene, a solução homogénea da equação de esado será, caso odas os valores próprios de A sejam disinos, Eq.28: x h () = i=1 n n x (i) h () xh () = K (i) e λ i i = 1 É sabido que os vecores próprios K (i) associados aos respecivos valores próprios λ i só serão compleamene deerminados uma vez obida a solução paricular e imposas as condições iniciais. Esa quesão será, oporunamene, exemplificada SOLUÇÃO PARTIULAR A deerminação da solução paricular fica faciliada se pudermos uilizar exponenciais complexas nos ermos independenes, iso é: u() = U e s. A consane U represena a ampliude da fone (evenualmene U, e nese caso eremos que a solução x() 3 para ser anes x() ) e s a frequência complexa do gerador, s = σ j ω. Dese modo, u() = Ue σ e jω ou, ainda, u() = Ue σ [cos(ω) j sen(ω)]. Suponha-se que, no caso univariável, a solução paricular para a variável de esado x() é, à semelhança do efecuado para a solução homogénea, x p () = X e s. Enão, forçando x p () na equação de esado (equação 1), eremos Eq.29: s X e s = a X e s b U e s s X e s - a X e s = b U e s Donde resula que a ampliude X da solução paricular x p () é A. Serralheiro 12

14 Eq.30: X = (s a) -1 b U e, finalmene, Eq.31: x p () = X e s x p ()= (s a) -1 b U e s A solução paricular é, analisando a equação 31, a própria enrada (facor U e s ) muliplicada pelo facor (s a) -1 b que, sendo um complexo, a vai modificar em ampliude e fase aravés, respecivamene, do seu módulo (s a) -1 b e do seu argumeno {(s a) -1 b}, em que {z} indica o argumeno do complexo z, iso é, {z} = arcg Im{z} Re{z}. Recordando que a saída do circuio é y() = c x() d u() (equação 2), poderemos verificar que, considerando apenas a solução paricular 4 da equação de esado para a enrada u() = U e s, se em Eq.32: y() = [ c (s a) -1 b d] U e s y() = Y e s Resumindo, o quociene enre a ampliude da saída Y e a da exciação U represena uma função de ransferência G(s) que é, precisamene o facor c(s a) -1 b d: Eq.33: G(s) = Y U = c (s a)-1 b d e que permie deerminar de um modo expedio a saída do circuio, conhecida a sua enrada. O conceio de função de ransferência pode ser visualizado mais facilmene aravés da figura 7: Modelo de Esado b dx() x() x() u() U(s) d A y() Y(s) Figura 7 Diagrama de Blocos ilusrando o conceio de Função de Transferência 4 raa-se, nese caso, de ignorar o denominado regime naural (solução homogénea). A. Serralheiro 13

15 No caso mulivariável eremos um procedimeno análogo, iso é, sendo a enrada u() = U e s, sabemos agora que a solução paricular para o vecor de esado x() é x p () = X e s em que X é um vecor de n-elemenos X = [X 1, X 2,..., X n ] T. Forçando x p () na equação de esado (equação 4), eremos: Eq.34: s X e s = A X e s B U e s s X e s - A X e s = B U e s s I X e s - A X e s = B U e s pelo que a ampliude X da solução paricular é: Eq.35: X = (si A) -1 BU E, finalmene, a solução paricular vem agora, Eq.36: x p () = X e s x p ()= (si A) -1 B U e s A inerpreação dese resulado é, em udo, similar à apresenada para o caso univariável, pelo que não será aqui repeida. Para erminar, a(s) saída(s) do circuio é(são) obida(s) a parir da equação 5 e da equação 36, endo-se o resulado seguine: Eq.37: y() = [ (si A) -1 B D] U e s y() = Y e s Traando-se de um circuio com uma saída única e com uma única enrada, a função de ransferência é dada por Eq.38: G(s) = Y U = (si A)-1 B D EXITAÇÃO EXPONENIAL OMPLEXA omo se acabou de verificar, a uilização de exciações exponenciais complexas é vanajosa na deerminação da solução da equação de esado, quer se rae do caso univariável, quer do caso mulivariável. De faco, a solução obida encerra um resulado primordial para os circuios lineares: as funções sinusoidais são funções próprias deses sisemas; iso é «enrando» um seno/cosseno com uma dada frequência, «sai» o mesmo 5 seno/cosseno, mas com uma ampliude e fase modificadas pelo circuio. A equação de saída (caso univariável, equação 2) y() = c x() d u() assume, para uma enrada exponencial complexa u() = U e s a que, por sua vez, corresponde uma solução paricular 5 Enenda-se com a mesma frequência! A. Serralheiro 14

16 x p () = X e s, a forma y() = c (X d U) e s y() = Y e s. Ou seja, qualquer variável de ineresse no circuio (ensão ou correne) passa a ser uma exponencial complexa com a mesma frequência da enrada, mas com uma ampliude (complexa) deerminável pela função de ransferência. Daqui se vê a imporância do uso dese ipo de funções na análise de circuios lineares. No enano, põe-se a quesão de saber como uilizar o formalismo apresenado quando os geradores de ensão ou correne (as exciações do circuio) são os de ineresse práico. A função de Heaviside, h() = 0 < 0 1 > 0, é paricularmene úil para represenar geradores cuja saída muda de esado num dado insane de empo, por exemplo, ao serem acivados. Uma vez que a solução paricular é deerminada após a acivação dos geradores (fones de ensão ou de correne), a função de Heaviside que designaremos de escalão uniário 6 é, para > 0, represenada pela função u() = U e s, fazendo U = 1 e s = 0. Na figura seguine, exemplifica-se a ligação de uma baeria de 12V a um dado circuio (figura 8a) em = 0 aravés de um gerador independene de ensão conínua, caracerizado por 12 u() (figura 8b). 12V = 0 ircuio Elécrico - 12 u() ircuio Elécrico a) b) Figura 8 Exemplo de aplicação da Função de Heaviside ou escalão uniário. Por sua vez, a fórmula de Euler permie-nos relacionar as exciações sinusoidais com a exponencial complexa, e jθ = cos(θ) j sen(θ). Assim, eremos, cos(ω) = Re{e jω } = e jω e -jω 2 e sen(ω) = Im{e jω } = e jω - e -jω. Nese caso, eremos cos(ω) = Re{U e 2j s } em que U = 1 e s = jω. De igual modo, para a função seno eremos sen(ω) = Im{U e s } em que U = 1 e s = jω. Na figura 9 apresenam-se várias represenações da função exponencial complexa e jω. 6 A função escalão uniário será represenada por u() em vez de h(). A. Serralheiro 15

17 Im Re Figura 9 Exponencial complexa e jω : a) Re{e jω } versus ; b) Im{e jω } versus ; c) plano complexo, Im versus Re. No exemplo anerior, fez-se s = jω, no enano, a variável s pode er ambém uma pare real, ficando s = σ jω e, nese caso, u() = U e s = U e σ e jω. Assim, a função u() presa-se nauralmene à represenação de sinusoides amorecidas. Para al considere-se que Re{s} = σ < 0, e aene-se na figura 10. No caso de preendermos represenar exponenciais crescenes, faremos σ > 0 em u() = U e s = U e σ e jω, represenano-se na figura 11 o exemplo correspondene Resumindo, as exponenciais complexas apresenam as seguines vanagens: permiem a deerminação expedia da solução paricular da equação de esado; permiem represenar uma classe alargada de sinais uilizados na análise de circuios. A. Serralheiro 16

18 Im Re Figura 10 Exponencial complexa: a) Re{e s } versus ; b) Im{e s } versus ; c) plano complexo, Im versus Re. Im Re Figura 11 Exponencial complexa: a) Re{e s } versus ; b) Im{e s } versus ; c) plano complexo, Im versus Re. A. Serralheiro 17

19 1.4.5 SOLUÇÃO TOTAL E IMPOSIÇÃO DE ONDIÇÕES INIIAIS A solução da equação de esado, foi obida aneriormene pelo méodo da inegração direca (equação 19). onudo, demonsra-se que essa mesma solução é composa por dois ermos, a solução homogéna e a solução paricular, iso é x() = x h () x p (). Esas soluções já foram, oporunamene, apresenadas. Fala agora, deerminar a consane k da solução homogénea (caso univariável) ou os vecores próprios K(i) associados aos respecivos valores próprios λ i (frequências naurais do circuio). Analisemos por ora unicamene o caso univariável, remeendo para os exemplos o caso mulivariável. Seja, enão x 0 a condição inicial a verificar pela solução x() em = 0. Teremos, enão, recordando as equações 21, 23 e 31: x() = x h () x p () = k e a (s a) -1 b U e s A variável de esado em de ser uma função conínua,, pelo que a sua derivada é uma função limiada, por forma a que a equação de esado faça senido. Assim sendo, eremos que na origem do empo se verifica: x(0 - ) = x(0 ) = x 0. Pelo que, forçando agora x() a verificar a condição inicial eremos, x 0 = k (s a ) -1 b U, e que nos permie deerminar a consane k (ampliude da solução homogénea): Eq.39: k = x 0 - (s a ) -1 b U Eq.40: x() = x h () x p () = k e a (s a) -1 b U e s x() = [x 0 - (s a ) -1 b U]e a (s a) -1 b U e s A íulo de curiosidade, compare-se o resulado obido na equação 40 com o da equação REGIMES TRANSITÓRIO, FORÇADO E NATURAL A íulo de exemplo, considere-se o circuio da figura 12 em que se represena um circuio R- passa-baixo, e que já foi alvo de esudo: v- s R v R - i v- A. Serralheiro 18 Figura 12 ircuio R- passa-baixo. A correspondene equação de esado para ese circuio é a já apresenada na equação 10:

20 Eq.41: d v c () = - 1 R v c () 1 R v s () Suponha-se que o condensador esava inicialmene descarregado, iso é que v c (0 - ) = 0 e ainda que a fone independene excia o circuio com um escalão uniário, iso é, v s () = 0 < 0 1 > 0. À equação de esado (equação 41) corresponderá, para > 0, uma solução v c () que se pode ober direcamene a parir da equação 40 fazendo: x() = v c () x 0 = v c (0 - ) = 0 s = 0 U = 1 a = - 1 R b = 1 R Assim, er-se-á para v c () a solução Eq.42: v c () = (1 - e - 1 R ) u() que se represena na figura 13c). Nas figura 13a) e 13b), apresenam-se, respecivamene, as soluções homogénea e paricular de v c (). Figura 13 Soluções homogénea (a), paricular (b) e oal (c), τ =100ms. A. Serralheiro 19

21 O facor R = τ é denominado consane de empo do circuio e condiciona a variação emporal de v c (); para valores de τ pequenos, a ensão aos erminais do condensador ende mais rapidamene para a solução paricular, correspondendo a uma menor duração da resposa homogénea 7. Inversamene, a valores elevados da consane de empo τ corresponderá uma maior duração da resposa homogénea. Na figura 14 comparam-se diferenes resposas do circuio R para, respecivamene, τ = 250ms; τ = 100ms; τ = 40 ms: Figura 14 Efeio da consane de empo τ = R na rapidez da resposa. Noe-se que, depois de decorridas algumas consanes de empo, v c () é aproximadamene dada pela sua solução paricular, o que corresponde a dizer que a solução homogénea é praicamene nula; de faco, para > 5τ, e - /τ < 0,0067. É, pois, possível idenificar duas zonas de caracerísicas disinas na resposa do circuio: 0 < < 5τ, em que a saída evolui desde a condição inicial aé cerca da solução final; > 5τ, em que a saída se maném consane. A primeira, é denominada de regime ransiório e a segunda de regime forçado. Assim, o regime ransiório corresponde ao inervalo de empo em que a resposa homogénea influencia significaivamene a resposa do circuio e o regime forçado obre-se-á quando a resposa do circuio se idenifica com a solução paricular. 7 Na realidade, a duração da resposa homogénea é infinia, uma vez que exp(-/r) só se anula para =. onudo, e para efeios práicos, diremos que a solução homogénea se anula quando a sua ampliude for desprezável face a ouras grandezas. A. Serralheiro 20

22 O comporameno dese circuio pode ser descrio da seguine forma: inicialmene o condensador esá descarregado, iso é, v c (0 - ) = 0; em = 0, é aplicada uma fone escalão uniário. Uma vez que a variável de esado é conínua, a ensão aos erminais do condensador será nula, e a correne na resisência (é igual à correne no condensador) será máxima. O condensador começa enão a carregar-se; para > 0, a carga do condensador vai aumenando, o que corresponde a uma elevação da ensão v c () aos seus erminais. omo a diferença de poencial aos erminais da resisência vai sendo cada vez menor (v s consane e v c a aumenar), a correne de carga do condensador vai diminuindo aé se anular para infinio, ficando o condensador compleamene carregado, v c ( ) = 1 (ampliude do gerador). Na figura 15 apresenam-se as ensão e correne no condensador, para melhor ilusração da carga do condensador. Figura 15 Tensão (a) e correne (b) no condensador no circuio R passa-baixo (R = 10kΩ, = 10µF). Repare-se que, fazendo = τ na equação 42 se em: v c (τ) = 1 - e -1 = 0,632 i c (τ) = e -1 = 0,368 Ou seja, ao fim de uma consane de empo, a ensão aos erminais do condensador ainge 63,2% do seu valor final enquano que a correne de carga se reduziu a 36,8% do seu valor inicial. É imporane referir que, ao invés dos circuios resisivos que, na ausência de exciação, apresenam uma saída rivial, os circuios conendo elemenos dinâmicos apresenam uma resposa não A. Serralheiro 21

23 nula quando sujeios a condições iniciais diferenes de zero e que denominaremos de resposa naural. Para verificar ese faco, basa considerar a equação de esado com u() 0 (equação homogénea), a que corresponde apenas a solução homogénea, x h (). Seja x 0 a condição inicial (carga inicial do condensador, por exemplo). Neses ermos, a solução da equação de esado será, para 0, Eq.43: x() = x 0 e a u() R i v = 0 s v- Figura 16 ircuio R com exciação nula. Paricularizando para o circuio R que emos vindo a analisar, faça-se enão v s () = 0, como se indica na figura 16. Esando o condensador inicialmene carregado, v c (0 - ), a resisência R vai permiir que as cargas armazenadas nas placas se aniquilem gradualmene, anulando a ensão v c. De faco, fazendo na equação 43: x() = v c () x 0 = v c (0 - ) = 1 (suponha-se uma carga inicial de oulomb) a = - 1 R (por análise do circuio 8 ) obém-se a solução da equação de esado para > 0, fazendo τ = 1 R, Eq.44: v c () = e -/τ que corresponde à descarga do condensador aravés da resisência, figura 17: 8 Noe-se que v c = - R i c e recordando que i c = d v c A. Serralheiro 22, eremos enão d v c = - 1 R v c.

24 Poderemos, enão, concluir que: Figura 17 Descarga do condensador, regime naural. o regime naural é condicionado pela opologia do circuio (resisência equivalene do circuio com geradores independenes anulados aos erminais do elemeno dinâmico, condensador ou bobina) e depende direcamene da carga inicial do condensador (circuio R) ou da correne inicial na bobina (circuio RL); o regime forçado apenas é condicionado pela opologia do circuio e pelos geradores de sinal e não depende das condições iniciais; o regime ransiório depende do regime forçado e do regime naural. As análises apresenadas apenas conemplam o circuio R (passa-baixo), no enano, o esudo de ouros circuios (por exemplo, com resisências e induância, RL) pode ser efecuado por um processo em udo semelhane, iso é: idenificação da variável de esado; obenção da equação de esado do circuio na forma canónica (equação 1 ou 4); obenção da equação de saída (equação 2 ou 5); represenação das exciações aravés de exponenciais complexas; solução da equação de esado (equação 40 ou equação 28 adicionada à 36); obenção da variável de saída (equação 32 ou 37). A. Serralheiro 23

25 1.6 ESTUDO DO OMPORTAMENTO DE IRUITOS DINÂMIOS DE 1ª ORDEM, EXEMPLOS DE APLIAÇÃO O objecivo dese parágrafo é o de apresenar vários exemplos da resposa de circuios lineares conendo um único elemeno dinâmico a várias funções de enrada, a saber, ao escalão uniário e à sinusoide (com várias frequências), e conemplando diferenes condições iniciais R PASSA-BAIXO: ENTRADA ESALÃO UNITÁRIO Na figura 18 apresena-se o circuio R passa-baixo já analisado aneriormene e, como já ivémos oporunidade de verificar, sendo v c () a variável de saída dese circuio, eremos para > 0: Eq.45: v c () = (1 k e - 1 R ) u() v- s R v R - i v- Figura 18 R passa-baixo Para os exemplos que apresenaremos consideraram-se os seguines valores: R = 1kΩ e = 1µF Enrada escalão uniário;.i. nula, v c (0 - ) = 0 Figura 19 Resposa ao escalão uniário, v c (0 - ) = 0 ( em ms). Sendo a condição inicial v c (0 - ) = 0, deermine-se k na equação 45, forçando v c () a passar em 0 para = 0, donde resula k = -1: Eq.46: v c () = (1 - e - 1 R ) u() A. Serralheiro 24

26 Nese circuio, o condensador carregar-se-á gradualmene aé aingir a ensão do gerador aravés da resisência R que imporá a máxima correne de carga, i c (0) = 1 R Enrada escalão uniário;.i. uniária, v c (0 - ) = 1 Nese caso, a consane k será nula, pelo que, Eq.47: v c () = u() Ou seja, sendo a condição inicial igual à solução paricular em = 0, a solução homogénea é nula não havendo, por isso, regime ransiório. Nese circuio, al faco corresponde a dizer que, se o condensador se enconrar inicialmene carregado com 1V, e, uma vez que a ensão do gerador independene de ensão é ambém de 1V, a diferença de poencial aos erminais da resisência permanecerá nula, pelo que não haverá correne no circuio. Ou seja, o condensador nem é carregado (como sucedia na secção ) nem se descarrega, pelo que a ensão aos seus erminais permanecerá consane, figura 20: Figura 20 Resposa ao escalão uniário, v c (0 - ) = 1 ( em ms) Enrada escalão uniário; v c (0 - ) = - 1 Uma vez que a condição inicial é v c (0 - ) = -1 e sendo a solução paricular v cp () =1, obém-se para a ensão aos erminais do condensador, Eq.48: v c () = (1-2 e - 1 R ) u() omo se pode observar da figura 21, o condensador ir-se-á carregar desde uma ensão de 1V aé aingir a ensão do gerador independene, ou seja, nese caso, 1V. A. Serralheiro 25

27 Figura 21 Resposa ao escalão uniário, v c (0 - ) = -1 ( em ms) Enrada escalão uniário; v c (0 - ) = 2 Nese caso, sendo v c (0 - ) = 2 e manendo-se a solução paricular v c () =1, a consane k vem igual a 1, pelo que se obém para a ensão aos erminais do condensador, Eq.49: v c () = (1 e - 1 R ) u() omo se pode observar da figura 22, o condensador ir-se-á descarregar desde uma ensão de 2V aé aingir a solução paricular (1V). Figura 22 Resposa ao escalão uniário, v c (0 - ) = 2 ( em ms) R PASSA-BAIXO: ENTRADA SINUSOIDAL Seja v s () = cos(ω) u(), sendo u() o escalão uniário, no circuio da figura 18. Sabendo que cos(ω) = Re{e s } com s = jω, põe-se agora o problema de como uilizar o formalismo apresenado na secção (iso é, a solução paricular para exciações exponenciais complexas) para deerminar a solução paricular e, consequenemene, a solução oal para a ensão v c () aos erminais do condensador. A. Serralheiro 26

28 Para al, e sabendo que se raa de um circuio linear, poderemos referir o uso da sobreposição linear de fones. Uma vez que cos(ω) = 1 2 [ es e -s ] com s = j ω, podemos enender v s () como sendo composa por dois geradores disinos, iso é, v s () = 1 2 [ v(1) s () v(2) s ()] em que v(1) s () = e jω e v (2) s () = e-jω. Relembrando que para uma exciação exponencial complexa e s se em uma solução paricular da equação de esado x p () = X e s = (s a) -1 b U e s (equação 31) e, uma vez que s = jω, eremos Eq.50: x p () = X e jω = (jω a) -1 b U e jω Se a exciação for afecada de um facor de escala endo-se, agora, 1 2 es, imediaamene se verá a parir da equação 50 que a solução paricular será 1 2 X e jω = 1 2 (jω a)-1 b U e jω. De igual forma, poderemos verificar que, se a frequência da exciação for de -ω em vez de ω, a solução paricular será dada por (-jω a) -1 b U e -jω ; o que não é mais do que omar o conjugado da solução paricular apresenada na equação 50. Sendo o circuio linear, a uma combinação linear das exciações, iso é, 1 2 [ v(1) s () v(2) s ()], corresponderá idênica combinação linear das resposas a cada uma das exciações omadas individualmene, ou seja, a solução paricular será dada por 1 2 [ X e jω X * e -jω ]. Ese resulado é equivalene a se er para a solução paricular a pare real da solução já apresenada na equação 50, Re{ X e jω }. Se a enrada do circuio for sen(ω) em vez de cos(ω), uilizando mais uma vez a sobreposição de fones, é possível verificar que a solução paricular será Im{ X e jω }. Eses resulados podem ser resumidos na abela A: A. Serralheiro 27

29 TABELA A PROPRIEDADES DA SOLUÇÃO PARTIULAR PARA EXITAÇÕES EXPONENIAIS OMPLEXAS Exciação v s () Solução Paricular x p () e s e jω X e s = (s a) -1 b U e s X e jω = (jω a) -1 b U e jω [e jω ] * X * e -jω = [ (jω a) -1 b U e jω ] * k e jω e s 1 e s 2 k X e s = k (s a) -1 b U e s X 1 e s 1 X 2 e s 2 = (s 1 a) -1 b Ue s 1 (s 2 a) -1 b U e s 2 cos(ω) = Re{e jω } Re{X e jω } = Re{(jω a) -1 b U e jω } sen(ω) = Im{e jω } Im{X e jω } = Im{(jω a) -1 b U e jω } Seja, enão v s () = cos(ω) u() e, como se acabou de ver, v cp () = Re{(jω a) -1 b U e jω }, sendo a = - 1 R, b = 1 R, U = 1. Teremos agora, v R cp () = Re{ 1 1 (ωr) 2 R e- arcg(ωr) e jω } e, finalmene, Eq.51: v cp () = 1 cos(ω arcg(ωr)) 1 (ωr) 2 Vemos, assim, que, v c () é uma «réplica» da exciação cos(ω), mas com uma ampliude modificada pelo facor 1 1 e com uma desfasagem (araso) de arcg(ωr); quer a 1 (ωr) 2 ampliude da saída, quer a desfasagem dependem da frequência ω da exciação. A solução oal para a ensão aos erminais do condensador é v ch () v cp (), ou seja, a soma das soluções homogénea e paricular: Eq.52: v c () = k e - R 1 cos(ω arcg(ωr)). 1 (ωr) 2 A. Serralheiro 28

30 Sendo v c (0 - ) a condição inicial imposa pelo condensador, eremos finalmene para a solução oal para v c () a equação 53, Eq.53: v c () = [v c (0 - ) (ωr) 2 cos(-arcg(ωr))]e - R 1 cos(ω arcg(ωr)) 1 (ωr) 2 que se pode ober da equação 52 fazendo = 0. Vejamos alguns casos pariculares dese resulado, nomeadamene: enrada sinusoidal, ω << 1/τ = 1/R condições iniciais nulas: v c (0 - ) = 0 condição inicial uniária: v c (0 - ) = 1 condição inicial: v c (0 - ) = 2 enrada sinusoidal, ω = 1/τ condições iniciais nulas: v c (0 - ) = 0 enrada sinusoidal, ω >> 1/τ condição inicial nula: v c (0 - ) = 0 condição inicial uniária: v c (0 - ) = Exciação sinusoidal com ω << 1 τ ;.I. nula, v c (0- ) = 0 Uma vez que a condição inicial é nula e que a frequência da exciação é muio menor do que a consane de empo do circuio, eremos Eq.54: v c () [ - e - R cos(ω ) ] u() Na figura 23 apresena-se a ensão no condensador v c () considerando, como aneriormene, no circuio da figura 18, R = 1kΩ, = 1µF, correspondendo a τ = 1ms. Figura 23 Resposa ao cosseno, ω = 10 2 rad/s, v c (0 - ) = 0. A. Serralheiro 29

31 Exciação sinusoidal com ω << 1 τ ;.I. uniária, v c (0- ) = 1 Teremos, uma vez que a condição inicial é uniária, e que a frequência da exciação é muio menor do que a consane de empo do circuio, Eq.55: v c () = cos(ω ) u() Na figura 24 apresena-se a ensão no condensador v c (). Figura 24 Resposa ao cosseno, ω = 10 2 rad/s, v c (0 - ) = 1. Noe-se que, nese caso, o regime ransiório não ocorre, uma vez que a condição inicial iguala a solução paricular para = Exciação sinusoidal com ω << 1 τ ; v c (0- ) = 2 Nese caso, eremos o seguine resulado para a ensão aos erminais do condensador: Eq.56: v c () = [ e - R cos(ω ) ] u() Figura 25 Resposa ao cosseno, ω = 10 4 rad/s, v c (0 - ) = 2. A. Serralheiro 30

32 Exciação sinusoidal com ω = 1 τ ; v c (0- ) = 0 Nese caso, frequência do gerador ω = 1 e condição inicial nula, eremos o seguine resulado τ para a ensão aos erminais do condensador: Eq.57: v c () = [ e - R 1 2 cos(ω - π 4 )] u() Figura 25 Resposa ao cosseno, ω = 10 3 rad/s, v c (0 - ) = 0. ompare-se ese resulado com o da figura 23: imediaamene se observa uma menor ampliude para o regime forçado, sendo nese caso de 1 0,707 enquano que, aneriormene, era uniária Exciação sinusoidal com ω >> 1 τ ; v c (0- ) = 0 Nese caso, como a frequência do gerador é basane elevada, virá na equação 53, ωr >> 1, pelo que eremos o seguine resulado para a ensão aos erminais do condensador: Eq.58: v c () = [ cos (arcg(ωr)) e R ωr ωr cos(ω -arcg(ωr)) ] u() Assim, a ampliude do regime forçado (solução paricular) será basane reduzida com o aumeno da frequência do gerador, donde a designação de circuio passa-baixo (iso é, «passam» as baixas frequências). Na figura 26 apresena-se v c () para uma frequência de rad/s e uma condição inicial nula. A. Serralheiro 31

33 Figura 26 Resposa ao cosseno, ω = rad/s, v c (0 - ) = 0 ( em ms) Exciação sinusoidal com ω >> 1 τ ; v c (0- ) = 1 Nese caso, como a frequência do gerador é basane elevada, virá na equação 53, ωr >> 1, pelo que eremos o seguine resulado para a ensão aos erminais do condensador: Eq.59: v c () = [ cos (arcg(ωr)) e R ωr ωr cos(ω -arcg(ωr)) ] u() omo se viu em , a ampliude do regime forçado (solução paricular) será basane reduzida com o aumeno da frequência do gerador, donde a designação de circuio passa-baixo (iso é, «passam» as baixas frequências). Na figura 27 apresena-se v c () para uma frequência de rad/s e uma condição inicial uniária. Observe-se a diminua ampliude da solução paricular face à ampliude da solução homogénea, consequência de uma frequência elevada no gerador de ensão. Figura 26 Resposa ao cosseno, ω = rad/s, v c (0 - ) = 1 ( em ms). A. Serralheiro 32

34 1.6.3 IRUITO R PASSA-ALTO onsideremos o circuio da figura 27; raa-se da mesma opologia do circuio R passa-baixo, rocando as posições relaivas da resisência e do condensador. Neses ermos, a equação de esado será a mesma, iso é: Eq.60: d v c () = - 1 R v c () 1 R v s () enquano que a equação de saída (equação 2) será agora: Eq.61: v o () = v s () - v c () Basicamene, em vez de se omar a ensão aos erminais do condensador como saída do circuio, esaremos a considerar que esa passou a ser a ensão aos erminais da resisência. Assim, orna-se desnecessário ober uma nova solução para a variável de esado, uma vez que a única diferença para o circuio R passa-baixo reside na equação de saída. i v- s v - R v 0 - Figura 27 ircuio R Passa-Alo Enrada Escalão Uniário;.I. nula, v c (0 - ) = 0 Teremos que a ensão de saída do circuio é agora: Eq.62: v o () = e - 1 R u() e que se represena na figura 28, supondo que R = 1kΩ e = 1µF. Noe-se que, sendo a saída a ensão aos erminais da resisência, eremos ambém uma indicação da correne de carga/descarga do condensador uma vez que i c = v o R. A. Serralheiro 33

35 Figura 28 Resposa ao escalão uniário para o circuio R passa-alo, condições iniciais nulas ( em ms) Exciação sinusoidal com ω << 1 τ ; v c (0- ) = 0 Eq.63: Parindo da equações 60, obém-se para a saída, usando as equações 53 e 61: v o () = [cos(ω) (ωr) 2 cos(-arcg(ωr)) e - R 1 cos(ω arcg(ωr))] u() 1 (ωr) 2 Figura 29 Resposa ao cosseno, condição inicial nula e ω = 10 2 rad/s Exciação sinusoidal com ω = 1 τ ; v c (0- ) = 0 Nese caso, a saída será dada por: Eq.64: v o () = [cos(ω) e - R 1 2 cos(ω - π 4 )] u() Na figura 30 enconra-se represenada a ensão de saída para o circuio R passa-alo; noe-se a maior ampliude da resposa forçada em relação à obida quando ω << 1 τ : A. Serralheiro 34

36 Figura 30 - Resposa ao cosseno, condição inicial nula e ω = 10 3 rad/s Exciação sinusoidal com ω >> 1 τ ; v c (0- ) = 0 Nese caso, eremos para a saída: Eq.65: v o () [cos(ω)] u() Na figura 31 represena-se a ensão de saída: Figura 31 - Resposa ao cosseno, condição inicial nula e ω = rad/s ( em ms) IRUITO R-L PASSA-BAIXO onsidere-se agora o circuio da figura 32, onde se represena um induor de coeficiene de auoinduância L. Nese circuio, a saída é a ensão aos erminais da resisência. A equação de esado é: Eq.66: d i L () = - R L i L () 1 L v s () e Eq.67: v o () = R i L () A. Serralheiro 35

37 a correspondene equação de saída. i L L v- s v L - v R - R i R Figura 32 ircuio RL passa-baixo. Noe-se, nese caso, o seguine: a idenidade formal enre as equações 66 e 41 (respeiane ao circuio R passabaixo). Assim, a correne na bobina i L «desempenha» o papel da ensão no condensador; a equação de saída consiui uma «mudança de escala» na variável de esado (resula do produo de i L pela resisência R). Assim sendo, orna-se desnecessário apresenar o comporameno dese circuio nas exciações escalão uniário e sinusoidal, remeendo o seu esudo para o circuio R passa-baixo endo, conudo, o cuidado de subsiuir R por L na consane de empo. R IRUITO R-L PASSA-ALTO Na figura 33 apresena-se um circuio RL passa alo, em que a ensão de saída é obida aos erminais da bobina: i R R v - R i L v- s v L - L Figura 32 ircuio RL passa-alo. A equação de esado é: Eq.68: d i L () = - R L i L () 1 L v s () sendo a equação de saída, A. Serralheiro 36

38 Eq.69: v o () = v s () - R i L () Tendo em aenção que: a idenidade formal enre as equações 68 e 60 e as equações 69 e 61 (respeiane ao circuio R passa-alo). Assim, a correne na bobina i L «desempenha» o papel da ensão no condensador; a equação de saída consiui uma «mudança de escala» na variável de esado (resula do produo de i L pela resisência R). Assim sendo, orna-se desnecessário apresenar o comporameno dese circuio nas exciações escalão uniário e sinusoidal, remeendo o seu esudo para o circuio R passa-alo endo, conudo, o cuidado de subsiuir R por L na consane de empo. R 1.7 IRUITOS DE 2ª ORDEM (ASO MULTIVARIÁVEL) Os circuios com 2 elemenos dinâmicos (ipo A) serão, à semelhança do sucedido para os de 1ª ordem, classificados de acordo com as suas caracerísicas na frequência. onudo, enquano que, de um modo geral, se poderá fazer a seguine analogia circuio passa-baixo circuio inegrador circuio passa-alo circuio diferenciador enre o comporameno nos domínios do empo e da frequência para circuios de 1ª ordem, já nos de 2ª ordem, será mais difícil observar al correspondência. Regresssaremos a ese assuno nos parágrafos dedicados ao esudo da resposa em frequência. Iremos, de seguida, analisar um circuio de 2ª ordem, RL passa-baixo, às exciações escalão uniário e sinusoidal e apenas será considerado o caso correspondene a condições iniciais nulas IRUITO RL PASSA-BAIXO Analisaremos como exemplo de um circuio do ipo passa-baixo de 2ª ordem o circuio RL da figura 33, a que corresponderão as seguines equações de esado e de saída: Eq.70: d v c () = i L () 0-1 L 1 - R L v c () i L () 0 1 L v s () Eq.71: y() = [1 0] v c () 0 v s () i L () A. Serralheiro 37

39 O processo de obenção das equações 70 e 71 foi descrio em e, nese caso, omando a saída do circuio aos erminais do condensador, y() represenará a variável de saída. R L i L v- s v - R v - L i v- Figura 33 ircuio RL passa-baixo Enrada Escalão Uniário;.I. nula, v c (0 - ) = 0 Sabendo que a equação de esado em duas soluções homogénea e paricular comecemos por deerminar esa úlima: x p () = X e s = (si A) -1 B U e s em que, à semelhança do habiual, x() designa o vecor de esado ou seja, x() = [v c () i L ()] T. omo, para > 0 a exciação é consane e uniária eremos U = 1 e s = 0, pelo que x p () = X = ( A) -1 B em que A = resulando em: 0-1 L 1 - R L, B =. 0 1 L Eq.72: v c () i L () p = x p () = 1 0 A inerpreação dese resulado (equação 72) é imediaa uma vez que, em regime esacionário, o condensador comporar-se-á como um circuio abero e a bobina como um curo-circuio, pelo que haverá uma correne i L () = 0 e aos erminais do condensador eremos a diferença de poencial de 1Vol imposa pelo gerador de ensão. A deerminação da solução homogénea passa, como é sabido (equação 28), pela resolução da equação caracerísica (equação 27), resulando nos valores e vecores próprios da mariz A: Eq.73: de [λ I A ] = 0 No caso em quesão, a equação 73 resula em: Eq.74: λ 2 R L λ 1 L = 0 A. Serralheiro 38