Sistemas Lineares e Invariantes

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1 Frequency (Hz Hamming aiser Chebyshev isemas Lineares e Invarianes Power pecral Densiy Env B F C1 C2 B F C1 Ground Revolue Body Revolue1 Body1 Power/frequency (db/hz ine Wave Join Acuaor Join ensor1 Revolue Double Pendulum Two coupled planar pendulums wih Revolue Angle graviy and sine wave forcing in he Join ensor upper Revolue join. MIEIC 27/28 isemas lineares e invarianes no empo aula de hoje isemas lineares e invarianes LITs discreos resposa impulsional Convolução discrea Convolução discrea e resposa de LITs LITs conínuos resposa impulsional Convolução conínua Convolução conínua e resposa de LITs LITs 2

2 Convolução de sinais de duração limiada x1 ( sinal de duração enre m 1 e M 1 y ( x1( * x2( sinal de duração enre m 1 +m 2 e M 1 +M 2 x2( sinal de duração enre m 2 e M 2 x 1 ( x 1 ( m 1 M 1 m 1 M 1 τ x 2 ( x 2 ( τ x 2 ( m 2 M 2 M 2 m 2 τ M 2 m 2 τ Limie inferior: Limie superior: m 2 m 1 M 2 M 1 m 1 + m 2 M 1 + M 2 LITs 3 Propriedades da convolução conínua 1. Comuaiva x * x ( x ( * x ( 1( x 1( * x2 ( x1( x2 ( x 1 ( r x2 ( r dr x2( * x1( r τ 2. Disribuiva relaivamene à adição ( x + x ( * x ( x ( * x ( + x ( * x ( ( x ( * x ( ( x ( + x ( 1( x 1( x3( x ( x3( + x1 ( x3( 1 x 1( * x3( + x2 ( * x3( 3. Associaiva ( x * x ( * x ( x ( * ( x ( * x ( 1( Elemeno neuro x ( * δ( δ( * x( δ( * x( δ( x( δ( sse τ δ( x ( LITs 4

3 Inerligação de LITs LITs em série x( y( * h ( 1 : 1 resposa impulsional de 1 x( 1 y( 2 z( 2 : y( z( y( * h2 ( resposa impulsional de 2 x( z( y( * h ( ( x( * h ( * h ( * ( h1 ( * h2 ( z ( resposa impulsional da série de 1 e 2 Resposa impulsional da série é a convolução das resposas impulsionais LITs 5 Inerligação de LITs LITs em paralelo 1 y 1 ( x( y ( * h ( 1 : 1 1 resposa impulsional de 1 x( z( 2 : x( y2( * h2 ( resposa impulsional de 2 y 2 ( 2 z y ( + y ( * h ( + x( * h ( x * ( h ( + h ( ( ( 1 2 x( z( resposa impulsional do paralelo de 1 e 2 Resposa impulsional do paralelo é a soma das resposas impulsionais LITs 6

4 Resposa impulsional de LITs sem memória LIT com resposa impulsional : x( y( * LIT sem memória para cada y( apenas depende de x( x y ( ( se τ LIT sem memória em Kδ( para algum K Exemplos: u( 2 3δ( δ( 2 resposa impulsional de sisema com memória resposa impulsional de sisema sem memória resposa impulsional de sisema com memória LITs 7 Resposa impulsional de LITs causais LIT com resposa impulsional : x( y( * LIT causal para cada y( apenas depende de x(s com s x y ( ( se τ < LIT causal em para < Exemplos: u( 2 3δ( resposa impulsional de sisema causal resposa impulsional de sisema causal δ( + 2 resposa impulsional de sisema não causal LITs 8

5 Resposa impulsional de LITs esáveis LIT com resposa impulsional : x( y( * LIT esável x x( limiado origina y( limiado x( B y ( ( y ( x( B LIT esável em com h ( d < Exemplos: u( 2 u( + 2 u( 3 resposa impulsional de sisema insável resposa impulsional de sisema esável e u( resposa impulsional de sisema esável LITs 9 Resposa ao degrau uniário A resposa de um LIT conínuo a um degrau uniário é ambém designada por resposa indicial e é represenada por s(. u( s( s ( u( * s ( u( s (, u( 1, τ > τ Relações enre resposa indicial e resposa impulsional ds( d LITs 1

6 Propriedades de LITs e resposa impulsional LITs conínuos LITs discreos sisema sem memória Kδ( h[ n] Kδ[ n] sisema causal, < h[ n], n < sisema esável n h ( d < h [ n] < LITs 11 EDO lineares de coeficienes consanes x( y( Equação de ordem N: N d y( a d N d x( b d Exemplos: y ''( + y( y '( + 2y( condições auxiliares são necessárias para definir y( Noa: isema descrio por EDO linear de coeficienes consanes é um LIT causal se as condições iniciais forem nulas N 1 y( N 1 dy( d y( L d d LITs 12

7 Equações às diferenças lineares de coeficienes consanes x[n] y[n] Equação de ordem N: N a y[ n ] N b x[ n ] Exemplos: y [ n] + y[ n 1] x[ n] y[ n] + y[ n 2] x[ n 1] condições auxiliares são necessárias para definir y[n] Noa: isema descrio por equação às diferenças linear de coeficienes consanes é um LIT causal se as condições iniciais forem nulas y[ n 1] y[ n 2] L y[ n N] LITs 13 Cálculo da convolução conínua exercícios Calcule as seguines convoluções: ((1 ( u( u( 1 * ( u( + 2 u( y1( ( u( u( 3 *( 2δ( + 1 δ( 1 y2( y ( u( * u( 3 2 ( e u( * u( y4 ( LITs 14

8 LITs exercícios Um LIT conínuo em a resposa indicial indicada na figura 1 s( a Deermine a resposa impulsional do sisema. b Deermine a saída do sisema quando a enrada é o sinal u(. LITs 15

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