Sequências e Séries. Capítulo Exercícios

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Fernanda Lage
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1 Capítulo Sequências e Séries Exercícios Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência a n } n= assumindo que o padrão dos primeiros termos continua (a), 4, 8, 6, } (b), 4, 6, 8, } (c), 7,, 7, } (d) 4, 9, 3 6, 4 5, } (e), 3, 4 9, 8 7, } (f) 5,, 5,, } Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir, encontre o limite (a) a n = n(n ) (b) a n = n+ 3n (c) a n = 3+5n n+n (d) a n = (e) a n = (f) a n = n + n n 3 n+ n + n (g) a n = ( )n+ n +n (h) a n = ( )n n 3 n +n+ (i) a n = cos(n/) (j) a n = cos(/n) (k) a n = (n )! (n+)! (l) a n = arctan(n) (m) a n = en +e n e n (n) a n = ln(n) ln(n) (o) a n = n e n (p) a n = n cos(πn) (q) a n = cos (n) n (r) a n = ln(n + ) ln(n) (s) a n = n sen(/n) (t) a n = n n (u) a n = ( + n )/n (v) a n = sen(n) + n (w) a n = n! n (x) a n = ( 3)n n! 3 Prove que lim n ( + n) n = e 4 Determine o valor da constante c tal que 53 k k= = (+c) k 5 Determine o valor de k= en π n 6 Prove que k= k diverge

2 CAPÍTULO SEQUÊNCIAS E SÉRIES 7 Determine os valores de p R para os quais k= n p converge 8 Estude a convergência da série k= a n nos seguintes casos: (a) a n = sen(n) 4 n (b) a n = 4n (n +3) (c) a n = ( )n ln(n) (d) a n = cos(n) n (e) a n = n +n+ 3 n + (f) a n = n! n! (g) a n = n n (h) a n = 7n+ n6 n (i) a n = n+ n+ (j) a n = n3n n+ (k) a n = n n n! (l) a n = n e /n (m) a n = n ln n n+ n (n) a n = ( ) n+ (o) a n = ln n n 7/6 (p) a n = n(ln n)n n 4 +4 n n 3 + (q) a n = n +3n 5+n 5 (r) a n = (n)! n n! (s) a n = n +3 n (n+) (t) a n = n +6 n 3 n +3 n (u) a n = ( )n+ n n+ ( (v) a n = (w) a n = n n+ ) n ( )n n ln n (x) a n = n n4 n

3 Capítulo Transformada de Laplace Dada a função f : [, ) R denotamos por F (s) (ou Lf(t)}) a transformada de Laplace definida pela integral F (s) = f(t)e st dt, para todo s onde a integral existir Lembre das seguintes transformadas que foram calculadas em aula Tabela de Transformadas de Laplace f(t) L(f) e at s a, s > a t n para n =,, sin at, cos at sinh at, cosh at a s + a, a s a, n!, s > sn+ s s + a, s > s s a, s > a U(t a) e as s, s > δ(t a) e as Por outra parte, o produto de convolução (o simplesmente, convolução) entre duas funções f, g : [, ) R é definido como (f g)(t) = t f(t τ)g(τ)dτ O produto de convolução é comutativo, associativo e distributivo Além disso, tem como elemento neutro a função delta de Dirac (isto é, (f δ)(t) = f(t)) Lembre das seguintes propriedades estudadas em aula (i) Laf(t) + bg(t)} = af (s) + bg(s) (ii) Lf(at)} = a F ( s a ) (iii) Lf (t)} = sf (s) f() (iv) L t F (s) f(u)du} = s 3

4 4 (v) Ltf(t)} = F (s) (vi) Le at f(t)} = F (s a) (vii) LU(t a)f(t a)} = e as F (s) (viii) L(f g)(t)} = F (s)g(s) CAPÍTULO TRANSFORMADA DE LAPLACE (ix) Lf(t)/t} = F (u)du, se lim s t f(t)/t existir (x) Lf(t)} = e st T e st f(t)dt para f de período T > (xi) Lδ(t a)} = e as Note que cada transformada calculada e propriedade enunciada acima, corresponde ao cálculo de uma transformada inversa ou a uma propriedade da tranformada inversa de Laplace Por exemplo, L a } t s + a = sen at e L F (s)/s} = f(u)du Exercícios Usando a definição de transformada de Laplace, calcule Lt / } Dica: Use que e x dx = π Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções: (a) f(t) = e 3t cos(t) (b) f(t) = cos (at), a R (c) f(t) = sen(5t) cos(t) (d) f(t) = t sen t (e) f(t) = t 3 e t (f) f(t) = te at cos(bt), a, b R 3 Determine a transformada de Laplace de f(t) = t 5/ Dica: use o exercicio 4 Determine a transformada de Laplace das seguintes funções: (a) f(t) = sen t t (b) f(t) = cos(at) t (c) f(t) = eat e at t 5 Ache a transformada de Laplace das seguintes funções periódicas definidas em [, ): se k t < k +, k N, (a) f(t) = se k + t < (k + ), k N t k se k t < k +, k N, (b) f(t) = t (k + ) se k + t < (k + ), k N 6 Calcule a transformada inversa de Laplace para as seguintes funções: (a) F (s) = (s ) (b) F (s) = 7 (s ) 3 + (s+) 4 (c) F (s) = s (s+) (s +) (d) F (s) = e πs s +6 (e) F (s) = arctan(4/s) (f) F (s) = (s +) 7 Usando a transformada de Laplace, determine a solução geral das seguintes equações em [, ):

5 EXERCÍCIOS 5 (a) y + y = e t (b) y + 4y + 3y = 8 Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial em [, ) (a) (b) (c) (d) (e) (f) y + 4y + 4y = e t, y() =, y () = y + 4y + 3y =, y() =, y () = y + 6y 7y =, y() =, y () = y y y = t, y() =, y () = y (iv) k 4 y =, y() =, y () =, y () =, y () = y y + 5y =, y() =, y () = (g) (h) (i) (j) (k) (l) y 9y = 5e t, y() =, y () = y 5y + 6y = 3e 3t, y() =, y () = y + 4y = 9t, y() =, y () = 7 y + y = cos t, y() =, y () = y 4y = senh t, y() =, y () =, y () = y + y y = 5e t sen(t), y() =, y () = 9 Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial onde se aplica uma força exterior dada pela função g(t): y + 4y = g(t), (a) y() = 3, y () =, se t < 4, g(t) = se t 4 y + y = g(t), (b) y() =, y () =, se t < 3, g(t) = 3t 7 se t 3, y + y + y = g(t), (c) y() =, y () = se t < 3, g(t) = (t 3) se t 3, (d) (e) (f) y + y = g(t), y() =, y () =, g(t) = δ(t π) y + 4y + 3y = g(t), y() =, y () =, g(t) = δ(t π) + δ(t 3π) y + y + y = g(t), y() =, y () =, g(t) = δ(t 3π) cos t Determine a solução das seguintes equações integro-diferencias com valor inicial: y (t) + y(t) + t y(u)du = sen t, y (t) = sen t + t y(t u) cos u du, (a) (b) y() = y() = Use o produto de convolução para achar as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções:

6 6 CAPÍTULO TRANSFORMADA DE LAPLACE (a) F (s) = s (s+)(s +4) (b) F (s) = (s+) (s +4) Exprima a solução dos seguintes problemas de valor inicial em termos do produto de convolução (a) (b) y + y + y = sen(αt), y() =, y () = y + y + 5 4y = U(t π), y() =, y () = (c) y + 3y + y = cos(αt), y() =, y () =

7 Capítulo 3 Sistemas de Equações Lineares 3 Exercicios 7

8 8 CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 3 Encontre a solução geral dos seguintes sistemas de equações diferenciais: 3 (a) X 3 4 (t) = X(t) (f) X (t) = X(t) 4 3 (b) X (t) = X(t) 3 4 (g) X (t) = X(t) (c) X (t) = 4 X(t) (h) X 3 5 (t) = X(t) (d) X (t) = X(t) (i) X 8 6 (t) = X(t) 3 3 (e) X (t) = X(t) (j) X (t) = X(t) 3 Resolva os seguinte problemas de valor inicial: ( (a) X (t) = X(t) ; X() = 3 ) ( 3/ 3 (b) X (t) = X(t) ; X() = 3/ ) (c) X (t) = 4 X(t) ; X() = (d) X (t) = 5/ 5/ X(t) ; X() = 3 5/

9 Respostas Soluções do Capítulo (a) a n = n (b) a n = n (c) a n = 5(n ) + (d) a n = ( )n (n+) (e) a n = ( /3) n (f) a n = 5 ( )n + ( )n+ (a) Diverge (g) Converge a (m) Converge a (s) Converge a (b) Converge a /3 (h) Diverge (n) Converge a (t) Diverge (c) Converge a 5 (i) Diverge (o) Converge a (u) Converge a (d) Converge a (j) Converge a (p) Diverge (v) Converge a (e) Converge a (k) Converge a (q) Converge a (w) Diverge (f) Diverge (l) Converge a π/ (r) Converge a (x) Converge a 4 c = 7/ 5 c = 7/ 6 Verifique que n 7 p (, ) k= k + n para todo n N ou use o critério da integral 8 (f), (h), (i), (j), (l), (m), (p), (r), (v) divergem Todas as outras convergem Soluções do Capítulo Lt / } = π s, s > (a) F (s) = s 3 (s 3) +4, s > 3 (b) F (s) = s a s(s +4a ), s > ( ) (c) F (s) = 7 s s +9, s > (d) F (s) = 6s (s +) 3, s > (e) F (s) = 6 (s+) 4, s > (f) F (s) = (s a) b [(s a) +b ], s > a 3 F (s) = 5 8 π s 3 s, s > 5 (a) Lf(t)} = e s s(+e s ), s > (b) Lf(t)} = (+s)e s s ( e s ), s > 9

10 CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 4 (a) F (s) = π arctan s, s > (b) F (s) = ln s +a s, s > (c) F (s) = ln s+a, s > a s a 6 (a) f(t) = te t (b) f(t) = 7 t e t + e t senh(t) (c) f(t) = te t + sen t (d) f(t) = (e) f(t) = t sen(4t), t < π, 4 sen(4t), t π (f) f(t) = sen t t cos t 7 (a) y(t) = c e t + 3 et (b) y(t) = c e 3t + c e t 8 (a) y(t) = e t e t (b) y(t) = e t e 3t (c) y(t) = cos( 6t) (d) y(t) = 4 t 3 e t + et (e) y(t) = 4 ekt + 4 e kt + cos(kt) (f) y(t) = et sen(t) (g) y(t) = + 3 e9t + 5 e t (h) y(t) = 3te 3t 3e 3t + 3e t (i) y(t) = 9 4 t sen(t) (j) y(t) = sen t + t sen t (k) y(t) = 4 3 cosh t + cosh(t) (l) y(t) = 3 et 3 e t + 4 e t cos(t) 3 4 e t sen(t) 9 (a) y(t) = cos(t) sin(t) + 4 [cos((t 4)) ] U(t 4) ( cos t), se t < 3, (b) y(t) = 3t 7 cos t 3 sen(t 3), se t 3, (c) y(t) = te t + [(t 5) + e 3 t (t )] U(t 3) (d) y(t) = sen(t)[ + U(t π)] (e) y(t) = e t cos(3t) + 3 e t sen(3t) + 3 e (t π) sen(3(t π)) U(t π) + 3 e (t 3π) sen(3(t 3π)) U(t 3π) (f) y(t) = e 3π t sen t U(t 3π) + e t cos(t) (a) y(t) = 3 te t + e t + sen t (b) y(t) = t (a) f(t) = t e (t τ) cos(τ)dτ (b) f(t) = t (t τ)e (t τ) sen(τ)dτ (a) y(t) = t e (t τ) sen(t τ) sen(ατ)dτ (b) y(t) = e t/ cos t e t/ sen t + t e (t τ)/ sen(t τ)[ U(τ π)]dτ (c) y(t) = e t e t + t [e (t τ) e (t τ) ] cos(ατ)dτ

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