f (x) dx = 2 cos (xξ) f (x) dx R.

Transcrição

1 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/TMA Os exercícios a seguir foram selecionados do livro do G Folland e do D Figueiredo F X, exy indica o exercício Y do capítulo X do livro do Folland e D X, exy indica o exercício Y do capítulo X do livro do Djairo Nos exercícios abaixo denotaremos a transformada de Fourier por F f ou por ˆf Exercício {D 6, ex Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:, se x a i u a x =, para uma constante a >, se x > a { x ii fx = a, se x a, se x > a iii fx = { e a x e iv fx = ax, se x >, para uma constante a >, se x a v fx = e ax, para uma constante a > Respostas: i senaξ ξ ii cosaξ iii iv aξ a a +ξ a+iξ v π a e ξ 4a Exercício D 6, ex3 Encontre uma função f : R C tal que ˆf = f, ou seja, tal que f seja igual a sua transformada de Fourier Lembre-se dos exemplos dados em sala de aula Resposta: Na verdade, o enunciado deveria ter sido ˆf = πf Ele foi retirado do Djairo que coloca uma convenção diferente para F Uma função que satisfaz esta relação é f x = e x Exercício 3 D 6, ex4 Mostre que se f : R C é uma função par, ou seja, fx = f x, então a sua transformada de Fourier ˆf é uma função que assume apenas valores reais, ou seja, ˆf ξ R para todo ξ R Devemos assumir também que f x R para todo x R Faltou esta hipótese no enunciado Com a hipótese acima, basta observar que ˆ F f ξ = e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ + e ixξ f x dx = cos xξ f x dx R e ixξ f x dx = Exercício 4 D 6, ex5 Mostre que se f : R C é uma função ímpar, ou seja, fx = f x, então a sua transformada de Fourier ˆf é uma função que assume apenas valores imaginários puros, ou seja, ˆf ξ é um imaginário puro para todo ξ R Devemos assumir também que f x R para todo x R Faltou esta hipótese no enunciado Com a hipótese acima, basta observar que ˆ F f ξ = e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx =

2 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx e ixξ e ixξ f x dx = i sen xξ f x dx Como sen xξ f x dx R, concluímos que F f ξ é um imaginário puro Exercício 5 D 6, ex6 Seja f : [, [ C uma função em L R Dena i A transformada cosseno de Fourier ii A transformada seno de Fourier F c f ξ = F s f ξ = Mostre que se estendermos f como um função par, temos cos xξ f x dx sen xξ f x dx F c f = F f Mostre que se estendermos f como uma função ímpar, temos Se f é a extensão par de f, então F f ξ = F s f = i F f ˆ e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ + e ixξ f x dx = cos xξ f x dx = F c f ξ Se f é a extensão ímpar de f, então ˆ F f ξ = e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx + e ixξ f x dx = e ixξ f x dx e ixξ f x dx = e ixξ e ixξ f x dx = i sen xξ f x dx = if s f ξ Exercício 6 D 6, ex7 Seja F a transformada de Fourier Mostre que: i F f x ξ = F f ξ ii F f x ξ = F f ξ iii F f x a ξ = af f aξ, a > iv F f x b ξ = e ibξ F f ξ, b R v F f x e icx ξ = F f ξ + c, c R i ii iii F F f ξ = F e ix ξ f x dx = e ixξ f x dx = e ixξ f x dx = F f x ξ f x ξ = e ixξ f xdx = e ixξ f x dx = e ix ξ f x dx = F f ξ x f ξ = e i x a ξ f x dx = e i x a ξ f a x a a a a dx = e iyξ f ay ady = af f aξ

3 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 3 iv F f x b ξ = v F f x e icx ξ = e ixξ f x b dx = e ixξ icx f x dx = e iy+bξ f y dy = e ibξ e iyξ f y dy = e ibξ F f ξ e ixξ+c f x dx = F f ξ + c Exercício 7 D 6, ex8 Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo: i e x 3 ii e x+ iii f tal que f =, f x =, se x e f é uma função seccionalmente linear o gráco de f será um triângulo com centro em Respostas: i e 3iξ e ξ ii Vemos que iii Vemos que e ixξ e x+ dx = e iy ξ e 4y dy = e i ξ e ixξ f x dx = ˆ e ixξ x dx + e ixξ e 4x+ dx = π e iyξ e 4y dy = ˆ 3 4 ei ξ ξ 6 e ixξ 3 x dx Exercício 8 D 6, ex9 Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo: i e a x coscx ii e ax sencx Respostas: i a a + a +ξ c a +ξ+c ii i π a ξ c e 4a π a ξ+c e 4a Exercício 9 D 33, ex [ Mostre que ] i F f x cos cx = ˆf ξ c + ˆf ξ + c [ ] ii F f x sen cx = i ˆf ξ c ˆf ξ + c i ii F f x cos cx = [ˆ e ixξ c f x dx + F f x sen cx = [ˆ i e ixξ c f x dx e ixξ cos cx f x dx = e ixξ eicx + e icx f x dx = ] e ixξ+c f x dx = [ ] ˆf ξ c + ˆf ξ + c e ixξ sen cx f x dx = e ixξ eicx e icx f x dx = i ] e ixξ+c f x dx = [ ] ˆf ξ c ˆf ξ + c i Exercício D 35, ex3 Seja f : R C uma função linear tal que f e f pertencem a L R e tal que lim x ± f x = Mostre que F f ξ = iξf f ξ Dica: Integre por partes Basta observar que F f ξ = e ixξ f x dx = e ixξ f x iξ e ixξ f x dx = iξf f ξ d e ixξ f x dx = dx

4 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 4 Exercício D 35, ex34 Seja f : R C uma função de classe L R tal que f x dx = Mostre que ˆ x F f t dt ξ = F f ξ iξ ˆ x F f t dt ξ = e ixξ ˆ x f t dt iξ e ixξ ˆ x ˆ x f t dt dx = e ixξ f t dt dx = e ixξ iξ f x dx = e ixξ f x dx = F f ξ iξ iξ Exercício D 35, ex37 Mostre que se f L R for contínua, então i F F f x = πf x ii F 4 f x = π f x Exercício 3 D 35, ex36 Ache um exemplo de função f : R C que seja L R de classe C, ou seja, innitamente diferenciável, mas que F f não seja diferenciável em todos os pontos Dica: Pense nos exemplos dados em sala de aula Resposta: Um possível exemplo é f x = +x, em que ˆf ξ = πe ξ não é diferenciável em ξ = Exercício 4 F 7, ex4 Seja fx = e x e gx = e x Calcule f g Dica: Complete quadrados e use que dx = e x π f g x = e x +xt t t dt = e 3 x 3 f x t g t dt = e x 3t +xt dt = [ ˆ e x 3 t 3 x 9 x] dt = e 3 x e 3s 3ds = e 3 x 3 e x t e t dt = e x 3t 3 xt dt = e 3t 3 x dt = e w dw = Exercício 5 F 7, ex5 Seja f t x = 4πt e x 4t Mostre que ft f s = f t+s Feito em sala de aula Exercício 6 F 4, ex Seja f : R C a função dada por {, se x f x =, se x > π 3 e 3 x e i Calcule f f e f f f ii Seja f ɛ x = ɛ f x ɛ e gx = x 3 x Calcule f ɛ g e mostre que lim ɛ f ɛ g = g diretamente Solução: i x +, x f f x = x, x, de outra forma f f f x = x + 3, 3 x 3 x, x 3 x, x 3, de outra forma ii f ɛ g x = x 3 + 8ɛ x

5 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 5 Exercício 7 F 74, ex Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno: i F s e ii F c e iii F c + x e iv F s xe ξ i ii iii iv ξ +k k ξ +k +ξ é a solução para k = ξ +ξ Exercício 8 F 74, ex Resolva a equação do calor para t t, x = k u t, x, x R, t > u, x = fx, x R f x = { T, x a, x > a { û t t, ξ = kξ û t, ξ, ξ R, t > û, ξ = ˆfξ, ξ R û t, ξ = ˆf ξ e kξt u t, x = F ˆf ξ e kξ t = F ˆf ξ F e kξ t = ˆ e x y 4kt f y dy = ˆ T T e x y 4kt f y dy Exercício 9 D 43, ex5 Use a transformada de Fourier para resolver o problema: t t, x = k u t, x + g t, x, x R, t > u, x = fx, x R Vamos achar a solução de t t, x = k u t, x + g t, x, x R, t > u, x =, x R { û t t, ξ = kξ û t, ξ + ĝ t, ξ, ξ R, t > û, ξ =, ξ R u t, x = F û t, ξ = e kξ t sĝ s, ξ ds = F e kξ t s F ĝ s, ξ ds = e kξ t sĝ s, ξ ds Logo a solução nal usando princípio da superposição é u t, x = ˆ 4πk t s F e kξ t sĝ s, ξ ds = ˆ 4πk t s e x y 4kt s g s, y dy ds + e x y 4kt s g s, y dy ds e x y 4kt f y dy

6 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 6 Exercício D 43, ex6 Use a transformada de Fourier para resolver o problema: t t, x = k u t, x + bu t, x, x R, t > u, x = fx, x R { û t t, ξ = kξ û t, ξ + bû t, ξ, ξ R, t > û, ξ = ˆfξ, ξ R û t, ξ = ˆf ξ e kξ +bt u t, x = F ˆf ξ e kξ t e bt = e bt F ˆf ξ F e kξ t = ebt Exercício D 43, ex7 Use a transformada de Fourier para resolver o problema: { u t t, x = c u t, x + h t, x, x R, t > u, x = u t, x =, x R { û t t, ξ = c ξ û t, ξ + ĥ t, ξ, ξ R, t > û, ξ = û t, ξ =, ξ R û t, ξ = u t, x = F sen cξ t s cξ em que χ a x = sen cξ t s F cξ {, se x a, se x > a F ĥ s, ξ sen cξ t s ĥ s, ξ ds cξ ĥ s, ξ ds = ds = sen cξ t s F cξ e x y 4kt f y dy ĥ s, ξ ds = c χ ct s x y h s, y dy ds,