Resolução 2 o Trabalho de Análise Matemática I ETI/LEI (02 de Dezembro de 2010)

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1 Resolução o Trabalho de Análise Matemática I ETI/LEI ( de Dezembro de ) Diana A. Mendes a). Z ( + e ) d Z Z µ () d + (e ) d +(e ) µ + e e +e +e b). µ Z d Z µ d Z µ +( +) d (arctan ( +)) arctan arctan c). Z µ d + Z Z Z µ d ( + ) µ Z µ d + d + µ d Z µ + (ln ) µ ln + ln ln ln 5 + ln ln ln 5 d

2 C.A. (função racional própria) ( + ) A + B + C A + A + B + C + ( + ) (A + B)+C + A ( + ) A + B C A B C A Portanto temos a seguinte decomposição em fracções simples d). Z 9 4 C.A. ( + ) + + µ d + +ln ln 4 4 ln7+ln P {z } Substituição: t t t P t t P t t t P t + P t t t +P t (t ) (t +) P +P P (t +)+P t t t t +t +ln t t +t +ln t + +ln

3 Z 4/ /4 Subst: e). µ d ln + + 4/ + /4 r ln r ln ln ln 4 C.A. P {z + } tant cos t t arctan f). Z π/ µ P tan t + P cos t r sin t cos t + cos t P r µ cos t P P cos cos t t cos t cos t ln cos t +tant ln + tan (arctan ) cos (arctan ) ln + + ( cos ) d ( sin +cos) π/ π sin π +cosπ sin cos π/ C.A. Pcos {z } sin P sin sin +cos ½ ½ u partes cos u sin v v

4 a). Z d (t +)dt + ( + ) + d b). d d Z sin cos e t dt e sin cos (e cos )( sin ) e sin cos + e cos sin a). + y 5 Representação gráfica: y +(recta que passa em,y e,y ) y 5 (parábola que em ± 5 e yy em y 5) Pontos de intersecção entre os dois gráficos: e - 5 y + y y 5 4

5 Cálculo da área: A Z µ 5 ( +) Z d + d + Ã µ + ( ) ( )! +( ) 9 b). y, y Representação gráfica: y (eio dos ) y (cúbica que em e ± e yy em y ) y y Cálculo da área: A Z Z d + d µ 4 4 µ µ 4 µ

6 4a). Z π/ cos sin d {z } integral impróprio em π/ lim ε π/ Z ε Z ε cos sin d lim cos ( sin ) / d ε π/ Ã ( sin ε! ³ )/ lim lim sin ε ε π/ / ε π/ ³ lim sin ε + sin ε π/ ³ lim sin ε + (pois sin (π/) ) ε π/ Integral impróprio convergente 4b). Z + + d {z } integral de limite infinito ± Z lim ε lim ε Z + + d + + d Z d + lim + ε ε + arctan ε + lim Z ε + d ε + (arctan ε ) lim (arctan arctan ε)+ lim (arctan ε arctan ) ε ε + lim ( arctan ε)+ lim (arctan ε ) ε ε + π/+π/ π Integral de limite infinito convergente 6

7 5a). y ln, Comprimento de linha: Z q Z s L +(y ) µ Z r + d + d d Z Ã d +ln! µ +ln ³ +ln '.9785 Subst: C.A. + P {z } tant cos t t arctan P Ã tan t + tan t! cos t P cos t tan t cos P t P sin t +cos t sin t cos t P sin t cos t + P cos t sin t cos t P sin t sin t cos t + P cos P t cos t sin t cos t sin t cos t sin t P sin t (cos t) + P sin t (cos t) +ln sin t cot t cos t +ln sin t cot t cos (arctan ) +ln cot (arctan ) sin (arctan ) + + +ln 7

8 L 5b). Comprimento de linha: Z Z q +(y ) d Ãr! + d {z } integral impróprio em y, s µ + d Z Ãr! + lim d ε ε Z Z Ãr! + d µ µ lim ln ++ ε + p ( + +) ε Ã lim + ε ln +! µ ε ++ ε ln + p ε (ε +) ε + ε {z } {z } Ã + ln +! '.956 Portanto o integral impróprio é convergente e o comprimento de linha é.956 8

9 Subst: C.A. r + P {z } r + t t t (t ) µ Pt t t (t ) P (t ) µ /4 P t + /4 (t ) + /4 t + + /4 (t +) µ P /4 t + P /4 (t ) + P /4 t + + P /4 (t +) µ 4 P t + 4 P (t ) 4 P t + + P (t +) 4 µ 4 ln t 4(t ) 4 ln t + 4(t +) r + ln + Ãr! r + ln + + Ãr! + + µ ln ++ + p ( +) + C.A.: função racional própria 9

10 t (t ) t (t ) (t +) A t + B (t ) + C t + + D (t +) A (t ) (t +) + B (t +) + C (t +)(t ) + D (t ) (t ) (t +) t (A + C)+t (A + B C + D)+t ( A +B C D) +(B A + C + D) (t ) (t +) A + C A + B C + D A B + C +D A + B + C + D A /4 B /4 C /4 D /4 portanto temos a seguinte decomposição em fracções simples t (t ) (t +) /4 t + /4 (t ) + /4 t + + /4 (t +) (fim C.A.) (fim C.A.) 6a). d dy + y equação diferencial ( a ordem) de variáveis separadas d dy + y + d Z Z y dy + d y dy ln y ln + + c, c R (solução geral) 6b). + y (+y) + dy d (+y) + dy (+y) d equação diferencial ( a ordem) de variáveis separadas

11 ( + y) 6c). Z Z ( + y) dy ( + ) d ( + y) dy Z ( + y) dy arctan + c, c R arctan + c, c R (solução geral) y y 4 cos y y cos ( + ) d (dividimos por ) e temos uma equação diferencial linear de a ordem Substituição: y uv Derivada: dy d du d v + udv d Obtem-se: du d v + udv d uv cos Pôr u em evidência: µ du dv d v + u d v cos dv d v du d v cos ( ) equações dif. de variáveis separadas. Resolvemos a primeira: dv d v dv d v v dv d Z Z v dv d ln v ln ln v ln v

12 Resolvemos a segunda equação dif. du d v cos du d cos du d cos du cos d Z Z du cos d u Z cos d {z } Pa cos asin a u sin ( )+c Portanto a solução geral é µ y uv sin + c, c R 6d). (cos cos y) dy d siny + y sin (cos cos y) dy (siny + y sin ) d (sin y + y sin ) d +( cos + cos y) dy {z } {z } M(,y) N(,y) Verificar se é uma equação diferencial eacta (total) M y N M y (siny + y sin ) y cosy +sin N ( cos + cos y) sin +cosy como M y N, conclui-se que a equação dada é eacta. Procuramos uma solução geral de forma F (, y) c, c R onde F M (, y) siny + y sin () F N (, y) cos + cos y () y

13 Integrar () em relação a variável Z Z F d (sin y + y sin ) d F (, y) sin y y cos + h (y) () Derivar () em ordem a variável y F y F y {z} N(,y) ( sin y y cos + h (y)) y cos y cos + dh dy N (, y) cos y cos + dh dy cos + cos y cos y cos + dh dy dh dy Como dh h (y) c, c R (determinamos a epressão da função dy h(y)). Logo a solução geral é de forma (substituindo h (y) em ()): 6e). F (, y) sin y y cos + c sin y y cos c, c R ( +) dy d y 4 + dy d y dy d y + ( +) + dy d y + equação diferencial linear de primeira ordem Substituição: y uv

14 Derivada: Obtem-se: Pôr u em evidência: dy d du d v + udv d du d v + udv d uv + µ du dv d v + u d v + dv d v + du d v equações dif. de variáveis separadas. Resolvemos a primeira: dv d v + dv d v + v dv Z Z + d v dv ln v ln + v + + d Resolvemos a segunda equação dif. du d v du d ( +) du d Z Z du + d du + d Z u d u + {z } racional imprópria (dividir) + Z µ + + d u + ln + + c Portanto a solução geral é y uv µ + ln + + c ( +), c R 4

15 6f). µy + y d + 4 y dy µy + y d +4 ydy 4 (y) dy µy + y d equação diferencial de variáveis separáveis y y + dy µ y 4 d y 4 + y Z µ y Z dy y d Z 8 dy 4 d 8y Z y 4 + dy 4 d 8 ln y 4 + ln + c, c R (solução geral) 4 6g). + dy + y + + d y + + d + + dy {z } {z } M(,y) N(,y) como Verificar se é uma equação diferencial eacta (total) M y N M y (y + + ) y N (+ ) M y 6 N, conclui-se que a equação dada não é eacta. Verificar a eistência de um factor integrante de tipo μ μ (), isto é M y N N (, y) + + 5

16 como a epressão calculada só depende de, temos confirmada a eistência de um factor integrante de tipo μ μ (). Determinar a epressão do factor integrante: M dμ d μ y N N (, y) dμ d μ µ + µ Z Z µ μ dμ d + μ dμ d + ln μ ln + μ + (factor integrante) Multiplicar a equação diferencial dada pelo factor integrante: y + + d + + dy {z } {z } M(,y) N(,y) µ µ y d + dy + + {z } {z } M (,y) N (,y) Verificar se a nova equação é eacta M y N M y N µ y y + µ Como a nova equação diferencial é eacta, procuramos uma solução geral de forma F (, y) c, c R onde F M (, y) y + + () + F y N (, y) + () 6

17 Integrar () em relação a variável Z Z µ F y + d + d + Z µ Z µ y Z µ F (, y) d + d + d + h (y) F (, y) y Z µ + + d h (y) + {z } C.A. F (, y) y h (y) F (, y) y h (y) () C.A. µ P + {z } Subst: tan t, sec t P µ tan t +tan t sin t P cos t cos t cos t P sin t cos 4 t P sin t sin t P sin t ( cos t) cos 4 t cos 4 t P sin t sin t cos t cos 4 t P sin t cos 4 t P sin t cos t cos 4 t cos t P sin t cos 4 t P sin t cos t P sin t (cos t) 4 P sin t (cos t) (cos t) (cos t) + cos t cos t cos (arctan ) cos (arctan )

18 Derivar () em ordem a variável y F y F y {z} N(,y) µ y h (y) y + + dh dy N (, y) + + dh dy dh dy dh dy Como dh h (y) c, c R (determinamos a epressão da função dy h(y)). Substituindo h(y) em () obtem-se a solução geral da eq. dif., isto é F (, y) y h (y) F (, y) y c y c, c R 7a). ½ y + y e y() Problema com valores iniciais, onde y + y e y + y e é uma equação diferencial linear de a ordem. Substituição: y uv 8

19 Derivada: Obtem-se: Pôr u em evidência: dy d du d v + udv d du d v + udv d + uv e µ du dv d v + u d + v e dv d + v du d v e equações dif. de variáveis separadas. Resolvemos a primeira: dv d + v dv d v v dv d Z Z v dv d ln v ln ln v ln v Resolvemos a segunda equação dif. du d v e du µ e d du d e Z Z du e d du e d u e + c u e + c Portanto a solução geral é y uv (e + c) µ, c R Solução particular para a condição inicial: y(), isto é, substituir na solução geral: y e ou seja µ y (e + c) e + c c e 9

20 logo obtem-se a seguinte solução particular: µ y (e e) 7b). ½ y y (y 4 +)cos y() Problema com valores iniciais onde y y y 4 + cos y dy d y 4 + cos é uma equação diferencial de variáveis separadas Z y y Z dy cosd y 4 + y 4 + dy cos d Z 4y Z 4 y 4 + dy cos d 4 ln y 4 + sin + c (solução geral) Para obter a solução particular fazemos y e, isto é 4 ln y 4 + sin + c 4 ln 4 + sin+c c, logo temos a solução particular 4 ln y 4 + sin 8a). y 4y +4y equação diferencial (de segunda ordem) linear, de coeficientes constantes e homogénea Equação característica: k 4k +4

21 Raizes da equação característica: k raiz real dupla (duas raizes reais iguais) Então y () e k e e y () e k e eportantoasolução geral é dada por y () c y ()+c y () c e + c e, c,c R 8b). y 6y +8y equação diferencial (de segunda ordem) linear, de coeficientes constantes e não-homogénea. Equação homogénea associada Equação característica: y 6y +8y k 6k +8 Raizes da equação característica: k,k 4 ( raizes reais diferentes). Então y () e k e e y () e k e 4 eportantoasolução geral da eq. homogénea é dada por y GH () c y ()+c y () c e + c e 4, c,c R A solução geral da eq. não-homogénea é de forma y () y GH ()+y P () onde ainda falta determinar a solução particular y P () c () e + c () e 4 (onde c () e c () vão ser determinados pelo método de variação das constantes)

22 Formar o sistema c () y ()+c () y () c () y ()+c () y () c () c () e c ()e + c ()4e 4 c () e + c () e 4 c ()e + c ()4e 4 c () c () e c () e 4 ( c () e c () e 4 Para obter c () e c () temos que primitivar c () e c () c () Pc () P µ e Pe 4 P e 4 e c () Pc () P e 4 Pe 4 8 P 4e 4 8 e 4 Logo a solução geral da equação não-homogénea é dada por y () y GH ()+y P () µ µ c e + c e e e + 8 e 4 {z } {z } c () c () c e + c e c e + c e e 4 8c). y y y sin() equação diferencial (de segunda ordem) linear, de coeficientes constantes e não-homogénea.

23 Equação homogénea associada Equação característica: y y y k k Raizes da equação característica: k,k ( raizes reais diferentes). Então y () e k e e y () e k e e portanto a solução geral da eq. homogénea é dada por y GH () c y ()+c y () c e + c e, c,c R A solução geral da eq. não-homogénea é de forma y () y GH ()+y P () onde ainda falta determinar a solução particular y P () c () e + c () e (onde c () e c () vão ser determinados pelo método de variação das constantes) Formar o sistema ( c () y ()+c () y () c () y ()+c () y () sin() ( c () e + c () e c ()e c () e sin() ( c () c () e c ()e c () e sin() ( c () c () e c () e sin () ( c () e sin () c () e sin ()

24 Para obter c () e c () temos que primitivar c () e c () c () Pc () P e sin () Pe sin () resolver Pe sin () ½ u e Partes: v sin() Pe sin () e sin () P ½ u e v cos() µ e cos() e sin ()+ + P e cos () {z } ½ ½ u e u Partes: e v cos() v sin() e sin () e cos () P µµ e ( sin()) e sin () e cos () P e sin () fechar o ciclo Pe sin () e sin () e cos () P e sin () Pe sin () e sin () e cos () Pe sin () 4 e sin () 4 e cos () portanto c () Pe sin () µ 4 e sin () 4 e cos () 6 e sin () 6 e cos () 4

25 µ c () Pc () P e sin () Pe sin () ½ ½ u Partes: e u e v sin() v cos() Pe sin () e sin () P (e cos()) e sin () P (e cos ()) Partes: ½ u e v cos() {z ½ } u e v sin() e sin () e cos () P (e ( sin())) e sin () e cos ()+4P (e sin ()) fechar o ciclo Pe sin () e sin () e cos ()+4P (e sin ()) Pe sin () e sin () e cos () Pe sin () (e sin () e cos ()) portanto c () Pe sin () µ (e sin () e cos ()) 9 (e sin () e cos ()) Logo a solução geral da equação não-homogénea é dada por y () y GH ()+y P () µ c e + c e + 6 e sin () 6 e cos () e + {z } c () µ + 9 (e sin () e cos ()) {z } c () c e + c e 6 sin () 6 cos ()+ 9 sin () 4 cos () 9 c e + c e 8 cos ()+ sin () 8 5 e

26 9a). y +y +y, y () y () Aplicar a transformada de Laplace a equação diferencial dada: L [y +y +y] L [] L [y ]+L [y ]+L [y] L [] s L [y] sy () {z} y () {z } s F (s)+sf (s)+f (s) s F (s) s (s +s +) F (s) /4 + / s s + s + + /4 s + +sl [y] y () +F (s) {z} s Aplicar Transformada Inversa para a última epressão /4 y () L + / s s + s + + /4 s + /4 / /4 y () L + L + L + L s s s + s + y () 4 e + e + e 4 e portanto temos a seguinte solução particular y () e 4 e C.A. Método dos coeficientes indeterminados (para a decomposição em 6

27 fracções simples) logo s (s +s +) s (s +s +) s (s +)(s +) A s + B s + C s + + D s + s (A + C + D)+s (A + B +C + D)+ +s (A +B)+B /4 s s (s +)(s +) A + C + D A + B +C + D A +B B + / s + s + + /4 s +. A /4 B / C D /4 9b). y + y sin, y () Aplicar a transformada de Laplace a equação diferencial dada: L [y + y] L [sin ] L [y ]+L[y] L [sin ] sl [y] y () + F (s) {z} +s sf (s)+f (s) F (s)(s +) +s +s F (s) (s +)(s +) F (s) s + + s + s + 7

28 Aplicar Transformada Inversa para a última epressão y () L s + + s + s + y () L + L s + s + s + y () e cos + sin portanto temos a seguinte solução particular y () e cos + sin 8