ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ó Þ Ú Ó ÕÙ Ë ÙØ Ö ÁÖ Ò Å Ö ÓÒ ËØÖ Ù Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼½

Transcrição

1 ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ó Þ Ú Ó ÕÙ Ë ÙØ Ö ÁÖ Ò Å Ö ÓÒ ËØÖ Ù Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼½

2 ¾

3 Ä Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ð Ò Ó ÔÓÖ Ù ÙØÓÖ Ó Ð Ò ØÖ Ù Ó¹ ÓÑÔ ÖØ Ð Á Ù Ð º¼ ÆÓ ÔØ ¹Ë º¼µ

4

5 ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ½º½ Ü Ö Ó Ê Ú Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¾º½ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÓÒ Ó Ü Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ½ º½ Ä Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÔÐ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð º º º º º º º º º ¾¼ º Å ØÓ Ó Ö Ô Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ Ö Ð ¾ º½ ÈÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÒÓ ÜÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÔÐ Ó Ç Ð ÓÖ À ÖÑÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙÒÓ À Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÈÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÜÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÙÒÓ º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ Ó ÖÙ ØÓ Ê ÙÑ ÔÙÐ Ó ÑÔÐ ØÙ V º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒÓ ÐØ Ö ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ º½ ÙÒÓ ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÐØ Ö ÓÑÓ Ö Ú ØÖ Ù ÓÒ Ð ÙÒÓ À Ú º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÐ Ó ÖÙ ØÓ ÊÄ ÙÑ ÔÙÐ Ó ÑÔÐ ØÙ V º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ Ó ÐÙÐÓ ÜÓ Ñ Ú Ù Ø Ö ÓÒ ÒØÖ º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ Ó Ñ Ø ÓÐ ÑÓ ÙÑ Ñ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒ Ô ÕÙ ÓÑ Ó ÒØ Ú Ö Ú º½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒ Ô Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ë Ö ÔÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ñ Ö ÔÓØ Ò º¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ñ Ö ÔÓØ Ò º º º º Ö Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÕÙ Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÖ ÒØ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼

6 ÇÆÌ Ç º ÈÖÓÔÖ Ó Î ÐÓÖ ÁÒ Ð Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ø Ñ ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ò Ö º½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÐ Ó ÖÙ ØÓ Ù Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÔÐ Ó ÙÔÐÓ Ñ ÑÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÔÐ Ó Ö Ó ÕÙ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ð ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö º½ Ì Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ì Ð ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ì Ð Ö ÔÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê ÔÓ Ø Ó Ü Ö Ó

7 Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ÑÓ Ð Ñ ÑÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒØÖ Ó Ò ÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ø ÓÑÓ Ñ ¹ÑÓÐ ÓÙ ÖÙ ØÓ Ñ Ö ÒÚÓÐÚ ÙÒ ÓÒØ ÒÙ º ÍÑ Ü ÑÔÐÓ Ó ÙÑ ÙÒÓ Ó Ø ÔÓ Ú Ð» Ð ÕÙ Þ ÖÓ Ó Ò Ó Ó ÒÑ ÒÓ ÔÓ Ó Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ ÒØ Ð ÙÑ Ø ÑÔÓ Ò ÐÑ ÒØ Þ ÖÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ º Å ØÓ Ó Ò Ð Ø Ó Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÑÓ ØÓÖ ÒØ Ö ÒØ Ô Ö Ó Ú Ö Ú Ó ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ú Ö Ó Ô ÖÑ ØÖÓ ÙÒ ÓÒ Ñ Ñ ÕÙ Ò Ó ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ó ÓÒØ ÒÙ º Ç Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ú ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÕÙ Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö ÓÐÚ Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Ò ÐÑ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ñ Ð Ö Ö Ú Ó ÓÙ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ð Ú ÙÒÓ Ñ ÓÙØÖ ÙÒÓº Ð Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ú Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ Ñ ÔÖÓ ÙØÓ ÙÒÓ ÓÖ Ò Ðº Á Ó Ò ÕÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ú ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð ÙÑ ÒÓÚ ÕÙ Ó Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÕÙ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ÓÐÚ ÐÑ ÒØ º ÍÑ Ú Þ ÕÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÓÒ Ø ÑÓ ÕÙ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ô Ö Ó Ø Ö ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ò ½ µº È Ö ÙÖ Ö ÔÐ Ò Ó ØÙ ÒØ Ú ÓÒ Ö Ø Ò ØÙ Ñ ÔÐ Ò ÓÑÓ ÐÙÐÓ Ö Ò Ð ÁÒØ Ö Ð ÕÙ Ö Ò º Æ ÒØ Ó ÔÖÓÔÓÑÓ Ð ÙÒ Ü Ö Ó Ö Ú Ò Ó Ð ÙÑ Ø Ò Ø º ½º½ Ü Ö Ó Ê Ú Ó Ü Ö Ó ½º½ Í ÜÔÖ cohx ex +e x enhx ex e x cox eix +e ix enx eix e ix i Ô Ö ÐÙÐ Ö Ù ÒØ ÒØ Ö µ en()e d µ co(w)e d µ en (w)e d µ co (w)e d µ enh()e d µ coh()e d Ü Ö Ó ½º¾ ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ ÒØ Ö Ð en(w)e d ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ w Ò Ó ÕÙ w Ó ÓÒ Ø ÒØ Ö ÔÓ Ø Ú º

8 È ÌÍÄÇ ½º ÁÆÌÊÇ Í Ç Ü Ö Ó ½º ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ ÒØ Ö Ð a e d ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ a Ò Ó ÕÙ a Ó ÓÒ Ø ÒØ Ö ÔÓ Ø Ú º Ü Ö Ó ½º ÅÓ ØÖ ÕÙ x < ÒØÓ µ k xk x µ k kxk x ( x) Ü Ö Ó ½º Í Ó Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ù ÒØ ÓÑ Ø Ö Ó µ k e k µ k ( )k e k µ k ke k ÓÒ ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð ÔÓ Ø Ú º Ü Ö Ó ½º Í Ø Ò ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ô Ö Ö Ð Þ Ö Ù ÒØ ÒØ Ö µ e d µ e d Ü Ö Ó ½º ÐÙÐ ÒØ Ö Ð I en(π) e d Ö Ú Ò Ó¹Ó ÓÑÓ Ó ÓÑ Ø Ö Ó k+ I ( ) k en(π)e d. k k

9 Ô ØÙÐÓ ¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ¾º½ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ò Ó ½º Ë f() ÙÑ ÙÒÓ Ò ÒÓ Ö ÒÓ Ò Ø ÚÓ º ÉÙ Ò Ó ÒØ Ö Ð L{f()} f()e d ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ö Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f()º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ L{f()} ÙÑ ÙÒÓ f() ÙÑ ÙÒÓ Ú Ö Ú Ð º ÒÓØ Ó Ù Ù Ð Ò Ø ÓÒØ ÜØÓ Ð ØÖ Ñ Ò ÙÐ Ô Ö ÙÒÓ Ð ØÖ Ñ ÙÐ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ L{f()} F() L{g()} G() L{h()} H()º ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ Ú ÑÓ ÔÐ Ö Ò Ó Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ð ÙÑ ÙÒ º Ü ÑÔÐÓ ½º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() L{} lim a lim a e d a e d e a. Ç Ð Ñ Ø e a lim a Ü Ø > º ÈÓÖØ ÒØÓ L{}, >. Ü ÑÔÐÓ ¾º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() ÐÙÐ Þ Ò Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ L{} e d e e + ( e e d. ) d.

10 ½¼ È ÌÍÄÇ ¾º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ ÓÒ ÒÓØ Ó e Ò lim ( e a) a º Ç ÖÚ ÕÙ > ÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ð Ó Ð Ó Ö ØÓ Þ ÖÓ ÙÒ L{} ØÓ L{} L{}, >. ÓÒ Ù ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ½º Ü ÑÔÐÓ º È Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() n Ù ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ¾ Ö Ú ÑÓ ¹ Ñ Ø ÖÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ n º Ç ÖÚ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÖ Ò ÓÖÑ 3 L{ } e d e L{ 3 } 3 e d 3 e 3 ( e e d L{} e d 3 L{ } 3 ) d. 3, > ) ( 3 e d. 3 3! 4, > ÓÖ ÔÓ ÑÓ ÒØÙ Ö ÕÙ Ð Ö ÜÔÖ Ó Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ n L{ n } n! n+, >. ÜÔÖ Ó ÔÓ Ö ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ò ÙÓ Ñ Ø Ñ Ø Ú Ö Ü Ö Ó ¾º µº Ü ÑÔÐÓ º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() e a ÔÓ Ö Ó Ø ÔÓÖ ÒØ Ö Ó Ö Ø L{e a } e (+a) +a e a e d e (+a) d +a, +a > Ü ÑÔÐÓ º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() en(w) ÔÓ Ö Ó Ø ÒØ Ö Ò Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ù Ú Þ L{en(w)} en(w)e d en(w)e (wco(w)) ( e ) d w co(w)e d w ( co(w)e ( wen(w)) ( e ) ) d w ( w ) en(w)e d w w L{en(w)}.

11 ¾º¾º ÇÆ Á Ç ÁËÌ Æ Á ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ ½½ Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö L{en(w)} L{en(w)} w w L{en(w)}. Ê ÓÐÚ ÑÓ ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ ) L{en(w)} (+ w w, ØÓ L{en(w)} w +w, >. Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÓÖ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ L{f()} ÙÑ ÙÒÓ f() ÓÒØ ÒÙ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ {, 4 f() 5, > 4. b ÕÙ Ù ÑÓ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö Ð a f()d x a f()d+ b x L{f()} 4 4 5e f()e d f()e d+ e d e 4 f()e d 5e d f()dº ÈÓÖØ ÒØÓ ÈÖÓ Ð Ñ ½º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() co(w) Ù Ò Ó Ò Óº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() Ò ÔÓÖ Ô ÖØ, 3 f(), 3 5,, > 5. ¾º¾ ÓÒ Ó Ü Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒØ Ö Ð ÕÙ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ò Ñ ÑÔÖ ÓÒÚ Ö Ò Ó Þ ÑÓ ÕÙ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º ÙÒ f() e f() Ó Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ ÙÒ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ù Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º Æ Ó Ú ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÙÑ Ñ Ð ÙÒ ÕÙ ÔÓ Ù Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º Æ Ø ÓÒØ ÜØÓ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÙÒ ÕÙ Ó ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÙ ÕÙ Ð ÕÙ ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÓÒØ ÒÙ º Ò Ó ¾º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÙÒÓ f() ÓÖ Ñ ÜÔÓÒ Ò Ð c Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ c M > T > Ø Ð ÕÙ f() Me c Ô Ö ØÓ Ó > T º Ü ÑÔÐÓ º ÙÒ f() g() en() h() e Ó ÓÖ Ñ ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÓ ÙÖ ¾º½ ÐÙ ØÖ Ó Ö Ñ ÒØÓ f g h e, >, 5co() e, >, e e, >.

12 ½¾ È ÌÍÄÇ ¾º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ 3 e e 5co() 3 3 e e ÙÖ ¾º½ Ì ÓÖ Ñ ½º Ë f() ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [, ) ÓÖ Ñ ÜÔÓÒ Ò Ð c ÒØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ f() Ü Ø Ô Ö > cº ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÑÓ ÙÒÓ f() ÓÖ Ñ ÜÔÓÒ Ò Ð c ÒØÓ Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ c M > T > Ø Ð ÕÙ f() Me c Ô Ö ØÓ Ó > T º Ñ ˆT Ñ ÓÖ ÓÙ Ù Ð T ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ Ù ÒØ ÓÑ L{f()} f()e d ˆT f()e d+ ˆT f()e d. ÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ð Ó Ð Ó Ö ØÓ ÙÑ ÒØ Ö Ð Ò ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÐÓ Ó Ø Ñ Ò Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ˆT º ÓÖ ÓÑÓ ˆT T ÔÓ ÑÓ Ø Ñ Ö f()e d f() e d Me c e d ˆT M ˆT ˆT e ( c) d M ˆT c e ( c) ˆT M c e ( c)ˆt, > c. M ÓÑÓ limˆt e ( c)ˆt c ÒØ Ö Ð f()e d ÓÒÚ Ö Ô Ö ØÓ Ó > c ÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ü Ø Ò Ø ÓÑ Ò Óº Ç ÖÚ Ó ½º Ç Ø ÓÖ Ñ ½ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ü Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ ÒØ ÒØÓ Ò Ö º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÒÓ f() ln() ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÖ Ñ ÕÙ Ö Ð Ñ Ø ÕÙ Ò Ó + Ñ Ñ Ø ÙÑ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º Ì ÓÖ Ñ ¾º ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÒÓ Ò Ò ØÓµ Ë ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ ÙÒÓ Ð Ñ Ø f() Ü Ø F() L{f()} ÒØÓ lim F(). ÑÓÒ ØÖ Óº ÈÓÖ Ò Ó Þ Ò Ó u Ø ÑÓ F() F() f()e d. f ( u ) e u du.

13 ¾º º ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÎ ÊË Ä ÈÄ ½ Í Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ f Ð Ñ Ø Ü Ø M Ø Ð ÕÙ f() < M Ñ F() M e u du M. ÈÓÖØ ÒØÓ F() ÕÙ Ò Ó Ó ÕÙ ÑÔÐ lim F(). ¾º ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ Ë F() L{f()} ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ f() ÒØÓ Þ ÑÓ ÕÙ f() L {F()} ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓF()º Ò Ó Þ ÒØ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ ÕÙ ÔÓ Ù Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÓÖ ØÓÖ ÓÙ ÙÒÓ f() Ø Ö Ð ÓÒ ÙÑ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ F()º Ð Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ù ÙÒ Ù Ô ÖØ Ö ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º ÈÓÖ Ñ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ù Ô Ö > ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ F() G() ÒØÓ ÓÙ f()e d g()e d (f() g())e d Ô Ö > º Å Ó ØÓ ÒØ Ö Ð Ö ÒÙÐ ÒÓ Ò ÕÙ ÙÒÓ f() g() ÒÙÐ º ÌÓÑ ÓÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÙÒÓ, < 3, h(), 3,, > 3, ÕÙ ÒÓ ÒÙÐ Ñ ÒØ Ö Ð h()e d >. ¾º½µ ÆÓ ÒØ ÒØÓ ÙÒÓ f() g() ÒÓ ÔÓ Ö Ö ÒØ Þ ÖÓ Ñ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÑÙ ØÓ Ö Ò º Ø ØÓÑ Ö ÓÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÒÓ ÒÙÐ Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ô ÕÙ ÒÓ h() {, < ǫ,, ǫ Ô Ö < ǫ << º ÈÓÖ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ǫ ÒØ Ö Ð ¾º½µ ÒÓ ÒÙÐ Ô Ö > º Ü Ø ÙÑ ÓÒ ØÓ ÕÙ Þ ÕÙ Ù ÙÒ h () h () Ó Ù ÕÙ ¹ ÑÔÖ Ñ [a,b] b a h () h () d. Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ñ ÙÐÓ ÒÓ ÓÒ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ö ÒØ Þ ÖÓ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ò ÓÑ ÒØ Ö Ð Þ ÖÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ, <, h 3 (), <,,,. ¾º¾µ

14 ½ È ÌÍÄÇ ¾º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ F() L{f()} f() L {F()} n, (n,,3,...) n (n )! F() L{f()} f() L {F()} a a + +a en(a) e a Ì Ð ¾º½ Ç ÖÚ ÕÙ ÒØ Ö Ð ¾º½µ Ú Ö Ö Þ ÖÓ Ô Ö ØÓ Ó > Ó ÕÙ ÓÑÔ Ò ÐØ Ó Ñ ÙÐÓº Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö Ð ¾º½µ ÔÐ ÙÒÓ ¾º¾µ ÒÓ Þ ÖÓ ÈÓÖ h 3 ()e d ǫ e e d ǫ e ǫ e ǫ ǫ ǫ ǫ e ǫ e d + e ǫ, >. Í Ò Ó ÓÒ ØÓ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ó Ù Ö Ô Ø Ú ÒÚ Ö Ó Ù ÕÙ ¹ ÑÔÖ º Æ ÒØ Ó ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÔÓ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø ÓÒØ ÒÙÑ Ð ÙÒ ÕÙ ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º Ë ÓÐ ÖÑÓ Ð ÙÒ ÓÑÓ ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÒØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ØÓÖ º Á Ó Ò ÕÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ø Ñ Ò Ñ ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ö Ú ÑÓ ÙÑ ÓÖÑ ÒØ Ö Ð Ô Ö Ð º ÍÑ ÓÖÑ ÒØ Ö Ð Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ Ô Ö Ö Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ò Ø ÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº ÜÓ Ù Ô ÕÙ Ò Ø Ð ¾º½ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÕÙ ÐÙÐ ÑÓ Ò Ó ¾º½ Ù Ö Ô Ø Ú ÒÚ Ö º Ç ÖÚ ÕÙ ÙÒÓ ÙÒ ÓÐÙÒ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ð ÙÒ Ù ÕÙ ¹ ÑÔÖ º Ø Ð º½ º¾ Ó Ô Ò º½ ØÓ Ñ ÓÑÔÐ Ø º Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ø ÑÓ Ö ÓÐÚ Ò Ó ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð ÔÓ Ò ÔÖ Ø ÓÒ ÙÐØ ÑÓ ÙÑ Ø Ð Ô Ö ÐÙÐ Ö ÒÚ Ö º Ü ÑÔÐÓ º È Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÙÒÓ F() + Ü ÑÓ a Ò ÕÙ ÖØ Ð Ò Ø Ð ¾º½ Ó Ø ÑÓ { } L + en() Ü ÑÔÐÓ º Ñ Ñ ÓÖÑ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÙÒÓ F() Ü ÑÓ n 3 3 Ò Ø Ö Ö Ð Ò Ø Ð ¾º½ Ó Ø ÑÓ { } L 3 9 9!. ¾º Ü Ö Ó Ü Ö Ó ¾º½ Í Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ ÒÓ Ö Ó ÜÓ

15 ¾º º Ê ÁÇË ½ a) f() b) f() c) f() k k k c c c c+b d) f() e) f() k k c c c Ü Ö Ó ¾º¾ Í Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ Ù Ö µ f() a, < µ f(), < 3, > 3 µ f() a µ f() co(w) µ f() coh(a) µ f() e µ f() e +4 Ü Ö Ó ¾º ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ ÙÓµ ÅÓ ØÖ ÕÙ L{ n } n! Ù Ò Ó Ó Ù ÒØ Ô Ó n+ µ ÅÓ ØÖ ÕÙ ÖÑÙÐ Ú Ð Ô Ö n,, 3º ½ µ ÅÓ ØÖ ÕÙ L{ n } (n )! n Ú Ð ÒØÓ L{ n } n! Ø Ñ Ñ Ó º n+ Ü Ö Ó ¾º Í Ø Ð º½ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÁÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒ µ F() +4 µ F() 4 ½ ØÓ Ø Ö ÑÓ ØÖ Ö Ô Ö n º

16 ½ È ÌÍÄÇ ¾º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ µ F() 9 µ F() µ F() ( ++)(+)

17 Ô ØÙÐÓ ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú º½ Ä Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÈÖÓÔÖ ½º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö ØÓ L{αf()+βg()} αl{f()}+βl{g()} º½µ ÑÔÖ ÕÙ ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ü Ø Ö Ñº ÑÓÒ ØÖ Óº Á Ó Ú Ñ Ö ØÓ ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ÒØ Ö Ð L{αf()+βg()} α (αf()+βg())e d αf()e d+ f()e d+β αl{f()}+βl{g()}. βg()e d g()e d Ü ÑÔÐÓ ½¼º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() en(w) Ó ÐÙÐ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ º ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ÒÓÚ Ñ ÒØ Ù Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º ÈÖ Ñ ÖÓ Ö ÓÖ ÑÓ ÖÑÙÐ ÙÐ Ö Ô Ö Ö Ú Ö ÜÔÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü Ñ Ø ÖÑÓ ÒÓ Ó ÒÓ e iw e iw co(w)+ien(w) ÓÙ co(w) ien(w). Ù ÜÔÖ ÔÓ Ñ Ö Ö ÓÐÚ Ñ Ø ÖÑÓ Ó ÒÓ Ó Ó ÒÓ Ô Ö Ó Ø Ö en(w) eiw e iw i co(w) eiw +e iw º¾µ º µ ½

18 ½ È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ ÄÁÆ ÊÁ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÊÁÎ ÓÖ ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ó ÒÓ Ù Ò Ó ÜÔÖ Ó º¾µº { e iw e iw } L{en(w)} L i i L{ e iw} i L{ e iw} ( i iw ) +iw ( ) +iw ( iw) i ( iw)(+iw) ( ) iw i +w w +w ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() co(w) Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò ¹ Ö ½º ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() e a e b Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò ¹ Ö ½º Ü ÑÔÐÓ ½½º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() enh(w) ÔÓ Ö ÐÙÐ Ù Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ÜÔÖ Ñ Ø ÖÑÓ ÜÔÓÒ Ò ÔÐ ÑÓ ÔÖÓÔÖ ½ ÜÔÖ Ó º µ Ø ÑÓ { e a e a } L{enh(a)} L enh(a) ea e a º µ coh(a) ea +e a. º µ L{ e a} L{ e a} ( a ) +a ( ) +a ( a) ( a)(+a) ( ) a a a a Ü ÑÔÐÓ ½¾º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() w en(w) Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ½ Ó Ü ÑÔÐÓ ½¼ L{w en(w)} wl{} L{en(w)} w w +w w( +w ) w ( +w ) w( +w ) w ( +w ) w 3 ( +w )

19 º¾º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ ÊÁÎ ÍÅ ÍÆ Ç ½ ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() coh(a) Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò ¹ Ö ½º ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ f() co(w) Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ½º Ç ÖÚ Ó ¾º ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ Ø Ñ Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö ØÓ L {αf()+βg()} αf()+βg(). º µ Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ÕÙ Ò ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ½ L {αf()+βg()} L {αl{f()}+βl{g()}} L {L{αf()+βg()}} αf()+βg(). Ü ÑÔÐÓ ½ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓ F() + 4 Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö º Ø Ð ¾º½ } L { + 4 L { +4 e { { }+4L } L } º¾ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÈÖÓÔÖ ¾º Ë f() ÓÒØ ÒÙ ÓÖ Ñ ÜÔÓÒ Ò Ð f () ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ Ô Ö ÒØÓ L{f ()} L{f()} f(). ÑÓÒ ØÖ Óº ÈÖ Ñ ÖÓ ÓÒ Ö f() f () ÓÒØ ÒÙ ÒÓ Ö ÒÓ Ò Ø ÚÓ º Ô ÖØ Ò Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø ÑÓ º µ Í Ò Ó ÒØ Ö Ó ÔÓÖ L{f ()} e f ()d e f() ( e )f()d f()+ f()+l{f()} e f()d Ë f () ÓÖ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÒØÓ Ô Ö ÑÓ ÒØ Ö Ñ ÓÑ Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ f () ÓÒØ ÒÙ Ñ Ô Ö Ð º ÔÐ ÑÓ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ Ô ÖØ Ñ Ô Ö Ð Ó Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Óº ÓÒ Ö f() f () ÓÒØ ÒÙ f () ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ º ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö ÜÔÖ Ó º Ù Ú Þ Ó Ø Ö L{f ()} L{f ()} f () (L{f()} f()) f () L{f()} f() f (). º µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ f(), f (),,f (n ) () Ó ÓÒØ ÒÙ f (n) () ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÒØÓ L{f (n) ()} n L{f()} n f() n f () f (n ) (). º µ Î ÑÓ Ù Ö ÔÖÓÔÖ ¾ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º

20 ¾¼ È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ ÄÁÆ ÊÁ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÊÁÎ Ü ÑÔÐÓ ½ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ f() co() Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ¾º Ç ÖÚ Ö Ú f() co(), f () en() f () co(). ÄÓ Ó f () f(). ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ ¾ F() f() f () F(). Í ÑÓ Ó ØÓ ÕÙ f() co() f () en() Ó Ø ÑÓ F() F(), ÓÙ F() +, ÕÙ ÓÒ Ö ÓÑ Ó Ø Ñ ½ Ø Ð º½º Ü ÑÔÐÓ ½ º ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ g() co() Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ¾ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ö Ú º Ç ÖÚ Ö Ú g () en()+co() ÓÙ g () co() en() en(), g () g() en(). ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ ¾ G() g() g () G() L{en()}. Í ÑÓ Ó ØÓ ÕÙ g() co() g () en()+co() L{en()} + Ó Ø ÑÓ G() G() +, ØÓ G() ( +), º ÔÐ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ¾ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ½ Ó ÑÔÓÖØ Ò¹ Ø Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ðº ÔÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ù Ò Ó ÓÒ Ò Ö Ú ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó Ð Ö Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÓÐÙÓ ÕÙ Ñ ÕÙ Ó Ù Ö º Ñ Ù Ö ÓÐÚ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ö ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÒÚ Ö Ô Ö Ó Ø Ö ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÙÒ ÓÖ Ñ y ()+ay ()+by() f() y() y y () y

21 º º ÈÄÁ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ È Ê Ê ËÇÄÎ Ê ÈÊÇ Ä Å Ë Î ÄÇÊ ÁÆÁ Á ľ½ ÓÑ a b y y ÓÒ Ø ÒØ º ÔÐ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒÓ L{y ()}+al{y ()}+bl{y()} L{f()}. Í Ò Ó ÔÖÓÔÖ ¾ Ó Ø ÑÓ Ù ÒØ ÕÙ Ó Ù Ö ÓÙ L{y()} y() y ()+al{y()} ay()+bl{y()} L{f()} Y() F()+y +y +ay ( +a+b) ÓÒ L{y()} Y() L{f()} F()º ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð y() L {Y()}º Ü ÑÔÐÓ ½ º Î ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð y ()+y() y() y () ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ò ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ñ Ù Ù ÑÓ ÕÙ Ó º Ô Ö Ó Ø Ö F{y ()}+F{y()} F{} L{y()} y() y ()+F{y()} F{}. ÓÖ Ù ÑÓ ÒÓØ Ó L{y()} Y() Ó ØÓ ÕÙ F{} Ô Ö Ö Ú Ö Y() y() y ()+Y(). Ç Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ù Ö ÕÙ Ò Ó Ù Ø ØÙ ÑÓ y() y () Y() +Y(). Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ô Ó Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Ó Ð Ö Ô Ö Y() ØÓ Y() Y() ( + ) ++, ( +) + ( +) + ( +). ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ { } { { y() L ( +L }+L +) ( +) ( +) Ç Ø ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÓÐ Ò Ó Ø Ð º½ Ó Ô Ò º½ Ø Ò ¾¼ ½ ½ { } L ( en(), +) w ÒÓ Ø Ñ ¾¼ Ø Ð º½, { } L ( co(), +) w ÒÓ Ø Ñ ½ Ø Ð º½ { } L ( en(), +) w ÒÓ Ø Ñ ½ Ø Ð º½ ÓÑ Ò Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ð Ò Ö ½ Ø ÑÓ y() en()+co()+en() +co() en() }.

22 ¾¾ È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ ÄÁÆ ÊÁ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÊÁÎ ÈÖÓ Ð Ñ º Ê ÓÐÚ Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð y ()+y ()+y() e y() y () º Å ØÓ Ó Ö Ô Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö¹ ËÙÔÓÒ ÕÙ P(x) Q(x) Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ø ÕÙ Ó Ö Ù P Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó Ö Ù Qº Ç ÔÓÐ ÒÑ Ó Q(x) ÔÓ Ö ØÓÖ Ó Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ÙÑ Ó Q(x) (a x+b ) l (a n x+b n ) ln (c x +d x+e ) p (c m x +d m x+e m ) pm. ÓÑ Ó ÔÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö ÓÒ Ø ÒØ A,,...,A n,l l n B,,...,B m,p p n C,,...,C m,p p n Ø ÕÙ P(x) Q(x) + l k p k ln A,k (a x+b ) l k + + k A n,k (a n x+b n ) ln k pm B,k x+c,k (c x +d x+e ) p k + + k B m,k x+c m,k (c m x +d m x+e m ) pm k. Ñ ØÓ Ó Ù Ó Ô Ö ÐÙÐ Ö ÒØ Ö ÙÒ Ö ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ º Ü ÑÔÐÓ ½ º È Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓ Ö ÓÒ Ð F() ( )( 5) Ù ÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ô Ö ÓÙ ÒÓÒØÖ ÑÓ A B C ÕÙ Ø Þ Ñ Ç Ø ÑÓ Ó Ø Ñ F() ( )( +) ÕÙ Ø Ñ ÓÐÙÓ B C A º ÄÓ Ó F() A + B +C + A( +)+(B +C)( ) ( )( +) (A+C)+(B C)+A B ( )(. +) A+C B C A B ( + ). + Ö Ú Ò Ó Ñ ÙÑ ÓÖÑ ÓÒÚ Ò ÒØ Ø ÑÓ F() ( + ). + ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö f() ( e co() en() ). ÈÖÓ Ð Ñ º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓ F() 3 ( 3)( +).

23 º º Ê ÁÇË ¾ º Ü Ö Ó Ü Ö Ó º½ Í Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù ÒØ ÙÒ µ f() 8+en(5) µ f() 3 ( ) µ f() ( 3) 3 µ f() co() µ f() en() 3 µ f() coh() 3 Ü Ö Ó º¾ Í Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ Ù ÒØ ÙÒ µ F() 8 +4 ( µ F() 4 + ( 4) ) Ü Ö Ó º Ê ÓÐÚ Ó Ù ÒØ Ø Ò µ Í Ò Ó Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ L{e z } z z Cº µ Í ÖÑÙÐ Ó Ø Ñ µ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ L{e (a+ib) } a+ib ( a) +b µ Í ÖÑÙÐ ÙÐ Ö Ó Ø Ñ µ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ L{e a co(b)} a ( a) +b L{e a en(b)} b ( a) +b Ü Ö Ó º Ê ÓÐÚ Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð µ { y +y, y() 3 µ µ { y +3y e, y() y +5y +6y, y(), y ()

24 ¾ È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ ÄÁÆ ÊÁ ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÊÁÎ µ µ µ y +y +y e, y(), y () y +y co(), y() 3, y () 4 y +7y +y e 3, y() 3.5, y () Ü Ö Ó º Í ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ù ÒØ ÙÒ a) f() b) f() 3 4 Ü Ö Ó º Ê Ð Þ ÜÔ Ò Ó Ñ Ö Ô Ö Ù ÒØ ÙÒ Ö ÓÒ F() ÐÙÐ Ö Ô Ø Ú ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö f() L {F()}º µ F() µ F() + (+) 3 µ F() (+) 3 µ F() 5 5 (+)( ) 3 µ F() 3 ( 3)( +) µ F() ++3 ( ++)( ++5) µ F() ( )

25 Ô ØÙÐÓ ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ Ö Ð º½ ÈÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÒÓ ÜÓ Æ Ó Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ F( a) Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö F()º ÈÖÓÔÖ º Ë F() ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ f() ÒØÓ e a f() ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö F( a) ØÓ L { e a f() } F( a), > a º½µ ÓÙ L {F( a)} e a f(), > a. º¾µ ÑÓÒ ØÖ Óº Ö ØÓ ÔÐ Ó Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ F( a) F( a) f()e ( a) d f()e a e d L { e a f() } ÓÖ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ º Ü ÑÔÐÓ ½ º È Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ f() e a ÕÙ Ó Ø Ñ Ø Ð º½ Ù ÑÓ Ó Ø Ñ ¾ Ñ Ñ Ø Ð ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÓÑ f() L{} F(), L { e a } F( a) ( a), Ü ÑÔÐÓ ½ º Î ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ó Ø Ñ ¾ Ø Ð º¾ { } L 4a 3(en(a)coh(a) co(a)enh(a)) > a 4 +4a 4, Ù Ò Ó Ó Ø Ò ½ ½ Ø Ð º½ { } L a en(a) +a, ¾

26 ¾ È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä ØÓ { } L 4a 3(en(a)coh(a) co(a)enh(a)) L{co(a)} +a. { )} L (en(a) ea +e a co(a) ea e a 4a 3 { ( L e a (en(a) co(a))+e a (en(a)+co(a)) ) } 8a 3 [ {( L e a (en(a) co(a)) } +L { e a (en(a)+co(a)) )}] 8a 3 8a 3 [ [ 8a a 4 a ( a) +a a ( a) +a + a (+a) +a + 8a 3 (( a) +a )((+a) +a ) ] +a (+a) +a ] ÈÖÓ Ð Ñ º Í ÔÖÓÔÖ Ø Ð º½ º¾ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ù ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ { } µ L (n )! n e a Ù Ò Ó Ó Ø Ñ Ø Ð µ { } µ L w en(w)ea Ù Ò Ó Ó Ø Ñ ½ Ø Ð µ Ü ÑÔÐÓ ¾¼º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ f() e coh() Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ø Ð º½º ÈÖ Ñ ÖÓ Ó ÖÚ Ó Ø Ñ ½ Ø Ð ÓÑ a L{coh()} 4 F(). ÓÖ Ù ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÒÓ ÜÓ L { e coh() } F(+) + (+), > º µ 4 ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Í ÔÖÓÔÖ Ø Ð º½ º¾ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ù ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ µ L{enh()co()} µ L { (4+ )e } Ü ÑÔÐÓ ¾½º µ ÓÖ Ú ÑÓ Ù Ö ÔÖÓÔÖ Ó Ø Ñ ½ Ø Ð º½ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓ F() 3 º ÈÖ Ñ ÖÓ Ö Ú ÑÓ F() ÒÙÑ ÓÖÑ ÓÒÚ Ò ÒØ F() 3 ( ) 3 ( ) 4. { } Ç ÖÚ ÒÓ Ø Ñ ½ Ø Ð ÕÙ L enh() G() Ø Ñ Ñ Ô Ð ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó 4 ÒÓ ÜÓ Ò ÕÙ Ó º¾µ L {F()} L {G( )} e enh(). ÈÖÓ Ð Ñ ½½º ÒÓÒØÖ f() Ó ÕÙ F() Ù Ò Ó Ø Ð ÔÖÓÔÖ µ F() (+) + µ F() ( +5)( +)

27 º¾º ÈÄÁ Ç ÇË ÁÄ ÇÊ À ÊÅ ÆÁ Ç ¾ º¾ ÔÐ Ó Ç Ð ÓÖ À ÖÑÒ Ó ÍÑ ÑÓÐ Ð Ø ÓÑ ÙÑ ÜØÖ Ñ Ü ÔÖ Ò ÙÑ ÓÖÔÓ Ñ m Ò ÓÙØÖ ÜØÖ Ñ Ú ÙÖ º½µµº ÓÒ ÕÙ Ó ÓÖÔÓ Ø Ù ØÓ ÙÑ ÓÖ ØÖ ØÓ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ú ÐÓ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ÑÓÖØ Ñ ÒØÓ γ ÕÙ ÑÓÐ Ó Ð ÀÓÓ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ kº y() ÙÖ º½ Ë y() Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ Ó ÓÖÔÓ Ù ÔÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ø Ø Ó Ñ ÙÒÓ Ó Ø ÑÔÓ º ÕÙ Ó Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ø Ô ÖØ Ö ÙÒ Ð Æ ÛØÓÒ ma i f i, ÓÒ a y () Ð Ö Ó i f i Ö ÔÖ ÒØ ÓÑ ØÓ ÓÖ º ÆÓ Ó ØÖ Ø Ó ÕÙ Ü Ø Ñ Ô Ò ØÖ ÓÖ Ö µ ÓÖ ÑÓÐ ÕÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ó Ó Ñ ÒØÓ Ð ÀÓÓ µ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð k f ky() µ ÓÖ ØÖ ØÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ú ÐÓ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ÑÓÖØ Ñ ÒØÓ γ f γy () µ ÓÖ ÜØ ÖÒ f 3 () f() ÄÓ Ó my () f +f +f 3 ky() γy ()+f(), ÓÙ ÕÙ Ó Ô Ö Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ y() ÔÓÖ my ()+γy ()+ky() f(). º µ Ç ÑÓ ÐÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÕÙ Ò Ó ÑÔÓÑÓ ÓÒ Ò y() y y () y º ÓÖ Ú ÑÓ Ù Ö Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Óº ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ä ÔÐ Ò ÕÙ Ó º µ Ó Ø ÑÓ ÔÐ ÑÓ ÔÖÓÔÖ ¾ Ó Ø ÑÓ ml{y ()}+γl{y ()}+kl{y()} L{f()}. m L{y()} my() my ()+γl{y()} γy()+kl{y()} L{f()}. ÁÑÔÓÑÓ ÓÒ Ò Ô Ö Ó Ø Ö Ù ÒØ ÕÙ Ó Ù Ö m Y() my my +γy() γy +ky() F(), ÓÒ F() L{f()} Y() L{y()}º Ê ÓÐÚ ÑÓ ÕÙ Ó Ô Ö Y() Y() F()+my +my +γy m. +γ+k ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ y() L {Y()}º Ç Ø Ñ Ñ ÑÓÐ ÔÓ Ö Ð Ó Ù ÒØ ÓÖÑ

28 ¾ È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä µ Ç Ð ÓÖ ÖÑÓÒ Ó ÓÖ Ó ÕÙ Ò Ó ÓÖ ÜØ ÖÒ ÒÓ ÒÙÐ º µ Ç Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó Ð ÚÖ ÕÙ Ò Ó ÒÓ ÓÖ ÜØ ÖÒ ÓÙ f() Ó ÕÙ ÑÔÐ Ñ F() º Æ Ó Y() my +my +γy m. +γ+k µ Ç Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó Ù ÑÓÖØ Ó ÕÙ Ò Ó γ < 4mkº ÆÓ Ó F() Ø ÑÓ Y() my +my +γy m +γ+k my +my +γy m ( + γ ) m γ 4m +k, ÓÒ γ 4m + k > º ÇÐ Ò Ó Ó Ø Ò ½ ½ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ º½ ÓÑ Ò Ò Ó ÓÑ ÔÖÓÔÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÓÐÙ Ó Ó ÒÓ Ó ÒÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ ÜÔÓÒ Ò º Úµ Ç Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó ÙÔ Ö ÑÓÖØ Ó ÕÙ Ò Ó γ > 4mkº ÆÓ Ó F() Ø ÑÓ Y() my +my +γy m +γ+k my +my +γy m ( + γ ) m γ 4m +k, ÓÒ γ 4m + k < º ÇÐ Ò Ó Ó Ø Ò ½ ½ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ º½ ÓÑ Ò Ò Ó ÓÑ ÔÖÓÔÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÓÐÙ Ó Ó ÒÓ Ó ÒÓ Ô Ö Ð Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ ÜÔÓÒ Ò ÓÙ ÓÑ ÜÔÓÒ Ò ÔÙÖ Ð Ñ Ö ¹ ÕÙ enh(a) e a e a coh(a) e a +e a µº Úµ Ç Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó Ö Ø Ñ ÒØ ÑÓÖØ Ó ÕÙ Ò Ó γ 4mkº ÆÓ Ó F() Ø ÑÓ Y() my +my +γy m +γ+k my +my +γy m ( + γ ), m ÇÐ Ò Ó Ô Ö Ó Ø Ñ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ º½ ÓÑ Ò Ò Ó ÓÑ ÔÖÓÔÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÓÐÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ ÜÔÓÒ Ò º Ú µ Ç Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó ÒÓ ÑÓÖØ Ó ÕÙ Ò Ó γ º ÆÓ Ó F() Ø ÑÓ Y() my +my m +k y +y + k, m ÇÐ Ò Ó Ó Ø Ñ ½ ½ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ º½ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÓÐÙ Ó ÒÓ Ó ÒÓ ÔÙÖÓ º È Ö ÐÙ ØÖ Ö ØÓÑ ÑÓ ÙÑ Ó Ù ÑÓÖØ Ó ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ γ m k 5 Ù ØÓ ÓÒ Ò y y º ÙÒÓ Y() ØÓÑ ÓÖÑ Y() ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÒÓ Ð Ú ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ++5. { } y() L. ++5 È Ö ÐÙÐ Ö ÒÚ Ö ÓÐ ÑÓ Ó Ø Ò ½ ½ Ø Ð º½ Ö Ú ÑÓ ++5 (+) +4 + (+) +4 (+) ÒÙÑ ÓÖÑ ÓÒÚ Ò ÒØ

29 º º ÍÆ Ç À ÎÁËÁ ¾ Í ÑÓ ÔÖÓÔÖ ½ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó { y() L + } { } (+) + L (+) + e co() e en(). È Ö ÒØ Ö ÑÔÐ ØÙ Ö Ú ÑÓ ÜÔÖ Ó Ñ Ø ÖÑÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ú Þ Ó ÒÓ e ( co() en() ) Ae co(+δ) Ae (co()co(δ) en()en(δ)). Á Ó Ú Ö Aco(δ) Aen(δ) ÓÙ δ ÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ö ÒØ ÓÒ A co(δ) 5 5 5, Ó ÕÙ ÑÔÐ Ñ δ, Ö 6,57 º ÈÓÖØ ÒØÓ y() 5 e co(+,463648). ÙÖ º¾ ÐÙ ØÖ Ó Ö Ó y()º º ÙÒÓ À Ú ÙÒÓ À Ú ÓÙ ÙÒÓ Ö Ù ÙÒ Ø Ö Ó ÒÙÐ Ô Ö Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ø ÚÓ Ú Ð ½ Ô Ö Ö Ù¹ Ñ ÒØÓ ÔÓ Ø ÚÓº ÉÙ Ò Ó Ó Ö ÙÑ ÒØÓ Þ ÖÓ ÙÒÓ ÒÓ ÔÖ Ø Ö Ò ÓÙ ÔÓ ¹ Ò Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖ Ô Ò Ò Ó Ó ÓÒØ ÜØÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ /µº Ç ÖÚ ÕÙ Ø ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ u() {, <, >. º µ ÙÒÓ À Ú ÓÑ ÓÒØ ÒÙ Ñ a ÓÖÑ u( a) {, < a, > a. º µ ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó u() u( a) Ô Ö a > º Ç ÖÚ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ñ a ÒÓ Ø ÓÑ Ó Ö ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ô Ö ÙÒ ÔÓ Ú Ö Ø Ö Ó Ó ÓÐ Ò ÖØ Ò Ò Ó ÕÙ Ñ a ÙÒÓ ÒÓ Ø Ò º Ø ÔÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó Ù Ó ÒÓ ÓÒØ ÜØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º ÉÙ Ò Ó Ö ÐÑ ÒØ ÓÖ Ò Ö Ó Ò Ö ÙÑ ØÖ Ò Ó Ñ ØÓÑ ¹ ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð Ò Ö ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ÙÒÓ À Ú Ñ ÙÒÓ Ö ÑÔ, < ǫ g ǫ () ǫ +, ǫ ǫ, > ǫ, Ô Ö ǫ << º ÙÖ º ÐÙ ØÖ Ó Ö Ó g ǫ () Ô Ö ǫ /º

30 ¼ È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä y() 5 e 5 e ÙÖ º¾ u() u( a) a ÙÖ º u() ÙÖ º ÙÒÓ À Ú Ó Ð Ñ Ø g ǫ () lim g ǫ() u(),. ǫ

31 º º ÍÆ Ç À ÎÁËÁ ½ ÍÑ ÙÒÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ ÔÐ ÙÒÓ ÔÙÐ Ó Ò ÔÓÖ, < a f p (), a < < b, > b., º µ ÓÑ a < b ÙÖ º ÔÖ ÒØ ÙÑ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ô Ö ÙÒÓ ÔÙÐ Óº ÙÒÓ ÔÙÐ Ó ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ u() a b ÙÖ º Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ø ÖÑÓ Ö Ò Ù ÙÒÓ À Ú f p () u( a) u( b), a < b. ÙÒÓ ÔÙÐ Ó Ö ÐÑ ÒØ Ò ÙÑ Ú Ð ¹ Ð º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ f p ()f() Ò ÕÙ f Ø Ú Ð Ô Ö < a f Ó Ð Ñ a Ð Ñ bº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ó ÔÖÓ ÙØÓ u( a)f() Ò ÕÙ ÙÒÓ Ó Ð Ñ aº Ç ÖÚ Ó Ö Ó u( )en() Ò ÙÖ º º u( )en() ÙÖ º Ö Ó ÙÒÓ u( )en()º Ü ÑÔÐÓ ¾¾º Ê ÔÖ ÒØ Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒÓ À Ú ÙÒÓ ÒÓ Ö Ó ÙÖ º º Ç ÖÚ ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö f() Ù ÒØ ÓÖÑ, <, < < 3 f() º µ 3, 3 < < 5, > 5. È Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒÓ À Ú ÓÐ Ô Ö Ó Ö Ó Ô Ò Ò Ó Ñ Ó ÔÙÐ Ó (u( ) u( 3)) 3(u( 3) u( 5))º ÓÑ Ð ÙÒÓ f() (u( ) u( 3)) 3(u( 3) u( 5)). ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ f() (u() u( π))en()º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ú ÙÑ ÜÔÖ Ó Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒÓ À Ú Ô Ö ÙÒÓ ÒÓ Ö Ó º º

32 ¾ È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä f() ÙÖ º f() ÙÖ º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ À Ú Ó Ø Ö ØÓ Ò Óº ÈÖ Ñ ÖÓ ÓÒ Ö a L{u( a)} a u( a)e d e d e a e a. º µ Ë a < ÒØÓ L{u( a)} L{}. º ÈÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÜÓ ÈÖÓÔÖ º Ë F() ØÖ Ò ÓÖÑ f() ÒØÓ f( a)u( a) ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö e a F() ØÓ L{u( a)f( a)} e a F(), a > º½¼µ ÓÙ L { e a F() } u( a)f( a), a >. º½½µ

33 º º ÈÊÇÈÊÁ Ç ËÄÇ Å ÆÌÇ ÆÇ Á Ç T ÑÓÒ ØÖ Óº ÔÐ ÑÓ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ó Ø ÑÓ L{u( a)f( a)} a a u( a)f( a)e d u( a)f( a)e d+ f( a)e d, a u( a)f( a)e d ÔÓ u( a) Þ ÖÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ[,a) ÙÑ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ(a, )º ÔÓ Ù ÑÓ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ðv a Ò ÐØ Ñ ÒØ Ö Ð a f( a)e d f(v)e (v+a) dv e a f(v)e v dv. ÄÓ Ó L{u( a)f( a)} e a L{f()} e a F(). Ç ÖÚ ÕÙ ØÓÑ Ò Ó f() Ò ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓ L{u( a)} e a, a > º½¾µ ÕÙ Ó Ò ÓÑ ÖÑÙÐ ÐÙÐ Ò ÕÙ Ó º µº ÉÙ Ò Ó a Ò ÕÙ Ó º½¾µ Ö ÑÓ ÒÓ Ø Ñ ½ Ø Ð º½º Ü ÑÔÐÓ ¾ º ÔÐ Ò Ó Ö Ø Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ Ù Ò Ó ÕÙ L{ } 3 ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ e 3 3 L { e 3 3 } u( 3)( 3). ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Í ÔÖÓÔÖ ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ Ó ÙÑ Ö Ó Ô Ö Ø Ñ µ G() e +4 µ G() e 3e 3 Ü ÑÔÐÓ ¾ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓ ÈÖ Ñ ÖÓ ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ F() e (+). (+) Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ { } L (+) e enh(). ÔÓ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö { } { } L e (+) u( )L (+) u( )e ( ) enh( ). ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Í ÔÖÓÔÖ ÔÖÓÔÖ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ F() e ( ) +5.

34 È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä º ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÙÒÓ ÈÖÓÔÖ º Ë F() ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ f() ÒØÓ f(τ)dτ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö F() ØÓ { } L f(τ)dτ F(), º½ µ ÓÙ L { F() } f(τ)dτ. º½ µ ÑÓÒ ØÖ Óº Ë g() f(τ)dτº ÒØÓ g () f()º ÔÐ ÑÓ ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú ¾ Ø ÑÓ L{g ()} L{g()} g(). Í Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ g() Ø ÑÓ { } L f(τ)dτ L{g()} L{g ()} L{f()} F(). ÔÖÓÔÖ Ö Ø Ð Ò ÔÐ Ó ÙÑ ÖÙ ØÓ Ê ÙØ Ó Ò Ó º º º ÔÐ Ó ÖÙ ØÓ Ê ÙÑ ÔÙÐ Ó ÑÔÐ ØÙ V º ÓÒ Ö Ó ÖÙ ØÓ Ê ØÓÖ» Ô ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º ÓÑ ÙÑ Ø Ò Ó V() ÔÐ Ó Ø ÔÓ ÔÙÐ Ó V() V (u( a) u( b)). ÓÙ Ó ÖÙ ØÓ Ø Ú Ñ Ö ÔÓÙ Ó Ø a Ó ÔÐ Ø Ò Ó V ÒØÖ a bº Ç ÑÓ ÐÓ Ô Ö ÓÖÖ ÒØ i() Ó Ð Ã Ö Ó Ri()+ q() V(), C º½ µ ÓÒ q() Ö ÒÓ Ô ØÓÖ Cq() Ø Ò Ó ÒÓ Ô ØÓÖ Ô ØÒ C Ri() Ø Ò Ó ÒÓ Ö ØÓÖ Ö Ø Ò Rº Í Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ q() i(τ)dτ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó ÒØ Ö Ð Ô Ö i() Ri()+ C i(τ)dτ V (u( a) u( b)). È Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ò ÕÙ Ó Ñ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ L{i()}+ RC L{i()} V ( e a e b), R ÓÙ Ó Ø ÑÓ Ù ÒØ ÕÙ Ó Ù Ö I()+ RC I() V ( e a e b), R

35 º º ÈÄÁ Ç ÁÊ ÍÁÌÇ Ê ÍÅ ÈÍÄËÇ ÅÈÄÁÌÍ V º V R C ÙÖ º ÓÒ I() L{i()}º ÄÓ Ó I() V C ( e a e b) V RC+ R + RC Ç Ø Ñ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ º½ ÒÓ L { d } { } L + e RC. RC ( e a e b). e d º ÌÓÑ d RC Ó Ø ÑÓ ÓÖ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÜÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö ÙÒÓ ÓÖÖ ÒØ { i() L V R V [ R V R V R + RC { L + RC [u( a)e ( a) RC ( e a e b)} } { e a L + u( b)e ( b) RC [ u( a)e a RC u( b)e b RC ] ] e RC. ÇÐ Ò Ó ÒÙÑ ÒÓØ Ó ÙÒÓ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÓ ÑÓ Ö Ö ÓÒ, < a i() Ae RC, a < < b, (A B)e RC, > b, A V R e a RC B V R e b RC. RC e b }] Ç ÖÚ ÕÙ A > B > A < B ÓÙ Ô Ö > b ÓÖÖ ÒØ Ò Ø Ú ÔÖÓÜ Ñ ÜÔÓÒ Ò ÐÑ ÒØ Þ ÖÓº Ñ ÓÖÖ ÒØ Ö º ÙÖ º½¼ ÔÖ ÒØ ÙÑ Ö Ó ÓÖÖ ÒØ ÕÙ Ò Ó a.5 b R Ω C V 3V º ÓÖ Ú ÑÓ Ó Ø Ö Ó ÑÓ ÐÓ Ô Ö Ö q()º ÎÓÐØ ÑÓ ÕÙ Ó º½ µ Ù ÑÓ i() dq() d Rq ()+ C q() V (u( a) u( b)).

36 È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä 3 i() ÙÖ º½¼ q() ÙÖ º½½ Ç Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ù Ö ÔÐ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ R(Q() q())+ C Q() V ( e a e b). ÓÒ Q() L{q()}º ÓÑÓ Ó ÒÑ ÒÓ Ø Ú Ñ Ö ÔÓÙ Ó ÒÓ Ò Ó q() º ÓÐÙÓ ÕÙ Ó Ù Ö C V ( Q() e a e b) V RC+ R ( ) ( + e a e b). CR Ç Ø Ñ ½½ Ø Ð º½ ÒÓ { } L ( d )( d ) d d ( e d e d). ÓÐÓ ÑÓ d d CR { } L ( ) + CR ( ) CR e CR.

37 º º Ê ÁÇË ÓÖ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÒÓ ÜÓ Ó Ø ÑÓ q() CV (u( a) ) )) ( e a CR u( b) ( e b CR. ÇÐ Ò Ó ÒÙÑ ÒÓØ Ó ÙÒÓ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÓ ÑÓ Ö Ö, ( ) < a q() CV e a CR, a < < b, ( ) CV e b CR e a CR, > b, ÙÖ º½½ ÔÖ ÒØ ÙÑ Ö Ó Ö ÕÙ Ò Ó a.5 b R Ω C V 3V º Ç ÖÚ ÓÒ Ø Ò ÓÑ Ó Ö Ó ÙÖ º½¼º º Ü Ö Ó Ü Ö Ó º½ Ó Ó Ö Ó Ù ÒØ ÙÒ µ ( π)u( π) µ u( ) µ (en)u( π) µ f() u( )+3u( 3) 4u( 5) µ f() u()+( )u( )+(6 )u( )+( 6)u( 6) Ü Ö Ó º¾ ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ø Ñ Ó Ü Ö Ó º½º Ü Ö Ó º Ö Ú ÙÑ ÜÔÖ Ó Ô Ö ÙÒÓ Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒÓ À Ú º f() µ

38 È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä f() µ f() µ f() 4 3 µ Ü Ö Ó º ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ø Ñ Ó Ü Ö Ó º º Ü Ö Ó º µ Í Ó Ø Ò µ µ Ó Ü Ö Ó º ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÒÓ ÜÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù ÒØ ÙÒ f()

39 º º Ê ÁÇË f() 4 3 µ Ü Ö Ó º ÍØ Ð Þ ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÜÓ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ µ e 3 µ e en4 µ e 4 coh(5) µ e (3co(6) 5en(6)) Ü Ö Ó º Í ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ ÙÒÓ F() µ F() µ F() ++5 µ F() e 4 4 ( +5)( +) e µ F() ( 3)( ) µ F() µ F() ++5 e ( +5)( +) e 3 Ü Ö Ó º ÒÓÒØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÙÒ F() ÜÓ µ µ µ nπ (+) +n π (+3)

40 ¼ È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä µ Ü Ö Ó º Í ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð µ µ y +5y +6y e, y(), y () y +5y +6y 6u( 3), y(), y () Ü Ö Ó º½¼ Ó Ó Ö Ó ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù ÒØ ÙÒ µ f() u( ) µ f() u( ) Ü Ö Ó º½½ ÅÓ ØÖ ÕÙ µ L{coh(a)en(a)} a( +a ) 4 +4a 4 µ L{enh(a)co(a)} a( a ) 4 +4a 4 µ L{enh(a)en(a)} a 4 +4a 4 Ô ÖØ Ö Ø ÑÓ ØÖ ÕÙ { } L 4 +4a 4 4a 3 [coh(a)en(a) enh(a)co(a)]. Ü Ö Ó º½¾ Ê ÓÒÒ µ ÓÒ Ö Ó Ó Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó ÒÓ ÑÓÖØ Ó ÓÑ Ø ÖÑÓ ÓÖ ÒØ ( F() F en ) k m Ö ØÓ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð my ()+ky() F() y() y () Í Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö ÐÙÐ Ö ÓÐÙÓ Ó ÖÚ Ò Ó ÕÙ Ö ÕÙ Ò Ó Ð Ó Ò ØÙÖ Ð Ó Ø Ñ Ó Ò ÓÑ Ö ÕÙ Ò Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ ÒØ º Ü Ö Ó º½ ÓÒ Ö Ó Ó Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó ÑÓÖØ Ó ÓÑ Ø ÖÑÓ ÓÖ ÒØ F() (u( ). u( )) Ö ØÓ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð y ()+3y ()+y() F() y() y (). Í Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö ÐÙÐ Ö ÓÐÙÓº

41 º º Ê ÁÇË ½ Ü Ö Ó º½ Í ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ Ö Ð Ô Ö ÐÙÐ Ö f() Ò Ó ÕÙ L{f} µ µ µ π 4 + Ü Ö Ó º½ ÒÓÒØÖ g() ÙÑ ÓÓ Ù Ö Ó Ò Ó L{g()} Ù Ð µ e e 4 µ e a µ µ e π +4 e π ++ µ e +e 3e 3 +6e 6

42 ¾ È ÌÍÄÇ º Ë ÈÊÇÈÊÁ Ë ÌÊ ÆËÄ Ç ÌÊ ÆË ÇÊÅ ÁÆÌ Ê Ä

43 Ô ØÙÐÓ ÙÒÓ ÐØ Ö ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ º½ ÙÒÓ ÐØ Ö ÅÙ ØÓ ÒÑ ÒÓ Ó Ü Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÙÑ ÓÖ ÑÙ ØÓ Ö Ò Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ ÑÙ ØÓ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Ö ÙÑ ÓÖ Ð ØÖÓÑÓØÖ Þ Ö Ò Ñ ÙÑ ÙÖØÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓº ÙÑ Ø Ñ Ñ ¹ÑÓÐ Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÖØ ÐÓº ÙÑ ÓÐ ÙØ ÓÐ Ô Ö Ö ÙÑ ÙØ ÓÙ ÙÑ ÓÖ ÕÙ Ò Ø ÒØÒ ÕÙ ÓÐÓ Ñ ÑÓÚ Ñ ÒØÓº ÙÑ Ú Ó Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Óº È Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÖ Ú ÑÓ ØÓÑ Ö ÙÒÓ ÔÙÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó Ñ ÙÑ ÙÖØÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÑÔÓ [ ǫ,ǫ] Ñ ØÓÖÒÓ ÓÖ Ñ ØÓ ÙÑ ÔÙÐ Ó ÓÑ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø Ö δ ǫ (), < ǫ ǫ (u(+ǫ) u( ǫ)) ǫ, ǫ < < ǫ, > ǫ. ÍÑ ÔÙÐ Ó ÙÒ Ø Ö Ó Ñ ØÓÖÒÓ a Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ δ ǫ ( a), < a ǫ ǫ (u( (a ǫ)) u( (a+ǫ))) ǫ, a ǫ < < a+ǫ, > a+ǫ. º½µ Ç ÖÚ ÕÙ δ ǫ( a) Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ǫ > º ÙÖ º½ ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó δ ǫ ( a) Ô Ö a > ǫ ǫ ǫ 4 ǫ 8 ǫ º ÙÒÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ö Ò ÓÖ Ò Ø ÒØÒ Ñ ÙÒÓ ÑÔÙÐ Ó ÓÙ ÙÒÓ ÐØ Ö ÔÓ Ö Ò Ô ÐÓ Ð Ñ Ø ÙÒ ÔÙÐ Ó δ( a) lim ǫ δ ǫ ( a). Ø Ð Ñ Ø ÒÓ ÔÓ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÔÓÒØÙ ÐÑ ÒØ ØÓ ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ù Ù Ð ÙÒ Ö Ñ Ô Ò ÒÓ ÓÒØ ÜØÓ ÙÑ ÒØ Ö Ð ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ º ÙÖ º½ ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó δ ǫ ( a) ÕÙ Ò Ó ǫ Ñ ÒÙ ÙÑ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ô Ö δ( a)º

44 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç δ ǫ ( a) a ǫ δ ǫ ( a) a ǫ δ ǫ ( a) a ǫ 4 a a a δ ǫ ( a) a ǫ δ ǫ ( a) a ǫ 8 δ( a) a a a a ÙÖ º½ Ç ÖÚ Ó º ÙÒÓ ÐØ Ö ÔÓ Ö Ò ÓÑÓ Ð Ñ Ø ÓÙØÖ ÕÙ Ò ÙÒ ÓÑ ÔÖÓÔÖ Ò ÐÓ ÕÙ Ò ÔÙÐ Ó º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö δ() ÓÑÓ Ð Ñ Ø ÙÒ f ǫ () ǫ π e ǫ ÙÒÓ ÁÑÔÙÐ Ó Þ ÖÓ Ñ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ü ØÓ Ñ a {, a δ( a), a δ( a)d ÙÒÓ ÐØ Ö Ú Ö ÑÔÖ ÓÑÔÖ Ò ÓÑÓ Ó Ð Ñ Ø ÙÒ Ö ÒÓ ÓÒØ ÜØÓ ÙÑ ÒØ Ö Ó ØÓ ÓÒ ÙÞ Ñ ÔÖÓÔÖ ÐØÖ Ñ ÕÙ Ò ØÓØ ÐÑ ÒØ ÐØ Ö Ë f() ÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓÖÒÓ a ÒØÓ δ( a)f()d f(a). º¾µ

45 º¾º ÈÄÁ Ç ÁÊ ÍÁÌÇ ÊÄ ÍÅ ÈÍÄËÇ ÅÈÄÁÌÍ V º È Ö Ö Ø ÓÒÐÙ Ó Ò ÑÓ F() a º½º½ δ( a)f()d lim f(τ)dτ ÐÙÐ ÑÓ ε ε + ε ε f()d F(ε) F( ε) ε F () f(a). δ ε ( a)f()d ÐØ Ö ÓÑÓ Ö Ú ØÖ Ù ÓÒ Ð ÙÒÓ À Ú Æ ÕÙ Ó º½µ Ò ÑÓ ÙÒÓ ÐØ Ö ÓÑÓ δ( a) lim ǫ ǫ (u( (a ǫ)) u( (a+ǫ))). ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ù ÑÓ Ò Ó Ö Ú Ô Ö Ö Ú Ö ÓÙ lim ǫ ǫ (u(( a)+ǫ)) u(( a) ǫ))) d d u( a) δ( a) d d u( a). Ç ÖÚ ÕÙ ÙÒ À Ú Ö ÒÓ Ó ÙÒ ÒÓ ÒØ Ó Ó ÐÙÐÓ Ö Ò Ð ÒØ Ö Ðº Æ ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ö Ú Ñ Ø Ñ Ñ Ú Ð ÓÑ ÒØ ÒÙÑ ÒØ Ó Ò Ö Ð Þ Ó Ñ Ó Ö ÒØ ÕÙ Ò Ó ÓÐ ÑÓ ÙÒÓ À Ú ÓÑÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ö ÑÔ Ú Ö ÙÖ º µ ÔÓ Ò ÓÖ Ñ Ö Ú Ø Ò Ó Ò Ò ØÓº ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒÓ ÐØ Ö Ó Ø Ó Ô Ð ÔÖÓÔÖ ÐØÖ Ñ Ò ÕÙ Ó º¾µ L{δ( a)} δ( a)e d e a. ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ê ÓÐÚ Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð y y +δ( ) y() y () º¾ ÔÐ Ó ÖÙ ØÓ ÊÄ ÙÑ ÔÙÐ Ó ÑÔÐ ØÙ V º ÓÒ Ö Ó ÖÙ ØÓ Ê ØÓÖ» Ô ØÓÖ»ÁÒ ÙØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º¾ ÓÑ ÙÑ Ø Ò Ó V() ÔÐ Ó Ø ÔÓ ÔÙÐ Ó V() V (u( a) u( b)). º µ Ç ÑÓ ÐÓ Ô Ö ÓÖÖ ÒØ i() Ó Ð Ã Ö Ó Li ()+Ri()+ C q() V (u( a) u( b)), º µ ÓÒ q() Ö ÒÓ Ô ØÓÖ Cq() Ø Ò Ó ÒÓ Ô ØÓÖ Ô ØÒ C Ri() Ø Ò Ó ÒÓ Ö ØÓÖ Ö Ø Ò R Li () Ø Ò Ó ÒÓ Ò ÙØÓÖ Ò ÙØÒ Lº ÓÒ Ö ÓÒ Ò i() q() º Ó ÕÙ dq() d i() Ö Ú ÑÓ ÕÙ Ó º µ Ô Ö Ó Ø Ö Ù ÒØ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Li ()+Ri ()+ C i() V (δ( a) δ( b)), º µ

46 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç V R C L ÙÖ º¾ ÓÒ Ù ÑÓ ÕÙ Ö Ú ÙÒÓ À Ú ÙÒÓ ÐØ Ö º ÓÒ Ò Ô Ö ÕÙ Ó º µ Ó i () i() º ÓÑ Ó Ó Ø ÚÓ Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ó Ø Ö ÕÙ Ó Ù Ö ÕÙ Ø Ñ ÓÐÙÓ ÓÒ L I()+RI()+ C I() V ( e a e b), I() V ( e a e b) L +R+ C ( V e a e b) ( L + R ( L) R ) L + LC [ V L e a ( ) + R L +η η ( ) R LC. L e b ( + R L ) +η ] Î ÑÓ Ü ÑÔÐ Ö Ó Ó Ù ÑÓÖØ Ó ÙÔ Ö ÑÓÖØ Ó Ö Ø Ñ ÒØ ÑÓÖØ Ó ØÓÑ Ò Ó V V a b 5 Ó Ù ÑÓÖØ Ó η > µ ÓÐ ÑÓ Ó Ó ÓÒ L À C R Ωº Æ Ó [ ] e I() (+) +9 e 5 (+). +9 ÄÓ Ó i() 3 ( ) u( )e ( ) en(3( )) u( 5)e ( 5) en(3( 5)). Ç Ö Ó ÓÖÖ ÒØ ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º º Ó ÙÔ Ö ÑÓÖØ Ó η < µ ÓÐ ÑÓ Ó Ó ÓÒ L À C R 4Ωº Æ Ó [ ] e I() (+) 3 e 5 (+). 3

47 º¾º ÈÄÁ Ç ÁÊ ÍÁÌÇ ÊÄ ÍÅ ÈÍÄËÇ ÅÈÄÁÌÍ V º 3 i() ÙÖ º ÄÓ Ó ( ( ) i() (u( ) e ( ) enh 3( ) ) u( 5) ) e ( 5) enh 3( 5) ( ) u( ) e ( 3 )( ) e ( 3+)( ) u( 5) (e ) ( 3 )( 5) e ( 3+)( 5) 3 Ç Ö Ó ÓÖÖ ÒØ ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º º 5 i() ÙÖ º

48 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç Ó Ö Ø Ñ ÒØ ÑÓÖØ Ó η µ ÓÐ ÑÓ Ó Ó ÓÒ L À C R Ωº Æ Ó [ ] e I() (+) e 5 (+). ÄÓ Ó ( ) i() u( )e ( ) ( ) u( 5)e ( 5) ( 5). Ç Ö Ó ÓÖÖ ÒØ ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º º i() ÙÖ º º ÔÐ Ó ÐÙÐÓ ÜÓ Ñ Ú Ù Ø Ö ÓÒ¹ ÒØÖ ÓÒ Ö ÙÑ Ú Ð Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ L Ó Ó ÓÖ Ú ÖØ º ÓÐÓ ÑÓ Ó ÜÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð x ÓÑ ÓÖ Ñ ÒÓ ÜØÖ ÑÓ ÕÙ Ö Ú ÔÓÖØ ÒØÓ x L Ó ÓÙØÖÓ ÜØÖ ÑÓº ËÙÔÓÑÓ ÕÙ Ú Ø Ù Ø ÙÑ Ö W(x) ÕÙ ÔÖÓÚÓ ÙÑ ÜÓ Ñ ÔÓÒØÓ x [,L]º ÒØÓ Ô Ö Ô ÕÙ Ò Ü ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÖÚ ØÙÖ k(x) Ô Ð Ú Ö Ó Ò Ø ÒØÒ θ(x) ÓÒ θ(x) Ó Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ó ÜÓ x Ø Ò ÒØ ÓÙ k(x) dθ(x) dx. º µ ÓÑÓ Ô Ö θ(x) Ô ÕÙ ÒÓ an(θ(x)) θ(x) Ø ÑÓ dy(x) dx an(θ(x)) dy(x) dx θ(x), º µ Ö Ú ÑÓ ÕÙ Ó º µ Ù Ø ØÙ ÑÓ Ò ÕÙ Ó º µ Ô Ö Ó Ø Ö d y(x) dx k(x). º µ

49 º º ÈÄÁ Ç ýä ÍÄÇ Ä Ç Å ÎÁ Ë ËÍ ÁÌ Ë Ê Ë ÇÆ ÆÌÊ Ë ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ð ÀÓÓ Ô Ö Ñ Ø Ö ÒÓ k(x) M(x) EI ÓÒ E Ó Ñ ÙÐÓ ÓÙÒ I Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ö Ú M(x) Ó ÑÓÑ ÒØÓ ØÓÖº Ñ Ù Ø ØÙ Ò Ó Ò ÕÙ Ó º µ d y(x) dx M(x) EI. Ú Ö Ó Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ö M(x) ÓÖ Ð Ñ ÒØÓ V(x) Ú Ö Ó ÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ö ÄÓ Ó d M(x) V(x) dx d V(x) W(x). dx d dxm(x) W(x). º½¼µ º µ Ö Ú ÑÓ ÕÙ Ó º µ Ù Ú Þ Ù Ø ØÙ ÑÓ Ò ÕÙ Ó º½¼µ Ô Ö Ó Ø Ö ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹ ÖÒÓÙÐÐ d 4 dx 4y(x) EI W(x). º½½µ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ú Ò Ø ÓÙ y() y () y(l) y (L). Ö Ø ÓÒ ÒØÖ Ò ÔÓ Ó x L 3 Ø Ñ ÒØ Ò P Ò Ó ÑÓ Ð Ô Ð Ù ÒØ ÜÔÖ Ó ( W(x) P δ x L ). 3 ÔÐ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ñ º½½µ Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ L ( δ ( x L 3)) e L 3 Ó Ø ÑÓ 4 Y() 3 y() y () y () y () P EI e L 3 ËÙ Ø ØÙ ÑÓ y() y () y () C y () C ÓÒ C C Ó ÓÒ Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐÑ ÒØ 4 Y() C C P EI e L 3 e L 3 Y() C 3 + C 4 + P EI 4 Ö ÙÔ Ö ÑÓ ÓÐÙÓ Ó ÓÑ Ò Ó x ØÖ Ú ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ä ÔÐ y(x) C! x + C 3! x3 + P EI (x L/3) 3 u(x L/3). 3! ÜÔÖ Ó Ô Ö y(x) ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ ÙÒÓ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ Ò ÓÖÑ y(x) { C! x + C 3! x3, x L 3 (x L/3) 3 L 3!, 3 < x L. C! x + C 3! x3 + P EI È Ö ÐÙÐ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÓÒ Ø ÒØ C C ÐÙÐ ÑÓ y(l) y (L) Ù Ò Ó ÙÒ Ô ÖØ ÙÒÓ y(x) y(l) C L + C 6 L y (L) C L+ C L + 9 P EI L3 P EI L

50 ¼ È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç ÓÐÓ Ò Ó Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð [ L L 3 6 L L ] [ ] [ C 4 8 C P EI L3 P. 9 EI L ] ÁÒÚ ÖØ ÑÓ Ñ ØÖ Þ Ó Ø Ñ Ô Ö Ó Ø Ö ÓÒ Ø ÒØ C C [ ] [ ] C L [ C L 4 L L L 9 P EI L3 P EI L ], Ó ÕÙ Ö ÙÐØ Ñ C 4PL 7EI C P 7EI º ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ y(x) ÕÙ Ò Ó L 5 P EI º x y(x) ÙÖ º º ÔÐ Ó Ñ Ø ÓÐ ÑÓ ÙÑ Ñ Ó ÙÖ ÒØ ÙÑ Ô Ö Ó Ó ÓÒ ÙÑÓ ÙÑ Ñ Ó ÓÒ ÒØÖ Ó Ù ØÒ Ò Ö Ò ÓÖÖ ÒØ Ò Ù Ò ÚÓÐÙ ÙÒ Ó ÙÑ ÑÓ ÐÓ ÑÔÐ Ù ÒØ ÓÖÑ ÆÓ Ó Ù Ò Ó Ò Ú Ö Ó ÓÒ ÒØÖ Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÒØÖ Óº Ç ÓÖ Ò ÑÓ Ñ Ø ÓÐ Þ Ó Ñ Ñ ÒØÓ ÓÑ ÙÑ Ø Ü τº Ó Ñ Ñ ÒØÓ Ó Ð Ö ÒØÖ Ò ÓÖÖ ÒØ Ò Ù Ò Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ ÓÑÓ Ò ¹ Ñ ÒØ º Ç ÑÓ ÐÓ ÕÙ Ö Ú ÒÑ ÒÓ c ()+ c() x(), > τ ÓÒ c() ÓÒ ÒØÖ Ó x() Ö ÔÖ ÒØ Ó Ñ Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÑÔÓ º Ñ Ö Ð Ó Ò ÒÓ Ó Ò Ó ØÓÑ Ô Ö Ó Ñ ÒØ º Ë c ÓÒ ÒØÖ Ó Ñ Ò ØÖ Ò Ø ÒØ Ò Ñ ÒØ Ô Ö Ó Ó T ÒØÓ x() c (δ()+δ( T)+δ( T)+δ( 3T)+ ) ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ c() ÓÙ Ò ÐÑ ÒØ ÒÓ Ú Ù ØÒ ÒÓ ÓÖ Ò ÑÓ Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö c()º ÓÑ ÑÓ ÔÐ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ C()+ τ C() c ( +e T +e T +e 3T + ) ( c e T ) n. n ÒÓÒØÖ ÑÓ C() ( c + τ ) ( e T ) n. n

51 º º ÈÊÇ Ä Å Ë Æ ÇÊÁ Å ½ ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÜÓ º ( ) c() c e τ +e T τ u( T)+e T τ u( T)+e 3T τ u( 3T)+ ( c e τ +e T T 3T τ u( T)+e τ u( T)+e τ u( 3T)+ ) Ç Ö Ó ÓÒ ÒØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º Ù Ò Ó c τ T º Ç ÐØÓ Ñ c() ÙÖ º ÓÒØ ÒÙ Ü Ø Ñ ÒØ c ÔÓ Ó Ð Ñ Ø Ð Ø Ö Ó ( lim c() lim c e τ nt nt ( c e nt τ (c (e nt τ +e (n )T τ ( +e T T (n )T τ +e τ + +e τ ( +e T T (n )T τ +e τ + +e τ +e (n )T τ )) + +e T τ )) )) lim nt + c() ( lim c e τ nt ( + c e nt τ ( +e T T τ +e τ + +e (n )T τ ( +e T T (n )T τ +e τ + +e τ (c (e nt τ +e (n )T τ +e nt τ )) +e nt τ )) +e (n )T τ + +e T τ + )), ÕÙ ÔÓ Ù Ñ Ö Ò Ù Ð c º Ç ÖÚ ÕÙ ÕÙ Ò Ó ÐÙÐ ÑÓ Ó Ð Ñ Ø lim + c() Ó Ø ÑÓ c( + ) c Ú ÐÓÖ Ö ÒØ ÓÒ Ó Ò Ð ÕÙ c() º Ô Ö Ô Ö Ö ØÖ Ò Ó ÒÓ Ø ÖÖ Óº ÌÙ Ó ÓÒ ÕÙ Ò ÔÖ Ò Ó Ö Ñ ÕÙ ÔÖÓ ÙÞ ÙÑ ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÖ Ñº Ø ÙÒØÓ Ö ÙØ Ó Ò Ó º º º ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÓÖ Ñ È Ö ÒØ Ò Ö Ñ Ð ÓÖ ÒÑ ÒÓ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÑ ÔÓÙÓ Ñ ÑÔÐ Ó Ô ÐÓ Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð { y ()+y() δ() ÌÓÑ Ò Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø ÑÓ y() Y() y()+y() ÓÙ Y() + Ó ÕÙ ÑÔÐ y() e.

52 ¾ È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ y() ÓÙ ÓÒ Ó Ò Ð ÒÓ Ø Ø º È Ö ÒØ Ò ÖÑÓ Ó ÕÙ Ø ÓÒØ Ò Ó Ú ÑÓ Ð Ñ Ö Ö ÕÙ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÔÖÓ ÙÞ ÓÐÙÓ Ô Ö > ÒØ ÖÔÖ Ø Ö y() ÓÑÓ y() u()e. Ø ÓÖÑ y() ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÓ Ø Ò Óº ØÓ Ô Ö ÓÑÔÖ Ò Ö ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ú ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÜ Ð Ö ÓÐÓ Ò Ó ÒÓ ÐÙ Ö ÙÒÓ ÐØ Ö ÙÑ ÙÒÓ ÔÙÐ Ó { y ()+y() u() u( ε) ε y() ÓÒ ε ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ô ÕÙ Ò º Ë ÑÓ ÕÙ Ó Ø ÖÑÓ u() u( ε) ε ÓÒÚ Ö Ô Ö δ() ÕÙ Ò Ó ε +º ÔÐ Ò Ó ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ö ÓÐÚ Ò Ó Ô Ö Y() Ø ÑÓ ÓÙ Y() e ε (+) ε y() e ε ( ) e ε, + ε u() u( ε) e ( ε). ε Ø ÓÐÙÓ ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ,, y() e ε, < ε, e ε ε e, ε. È Ö ε > Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ù ÒØ ÔÖÓÜ Ñ Ó e ! Ñ Ø ÑÓ y(),, ε, < ε, e, ε. ÇÙ Ü Ø ÙÑ Ô ÕÙ Ò Ö Ó ØÖ Ò Ó ÒØÖ ε ÓÒ ÓÐÙÓ y() Ó Ö Ô Ñ ÒØ º Ç Ö Ó ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º ÑÓ ØÖ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ y() Ô Ö ε. ε. ε.5 Ñ ÞÙÐ Ú ÖÑ Ð Ó Ú Ö Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÓÑÓ ÓÐÙÓ Ð Ñ Ø e u() Ñ ÔÖ ØÓº º ÈÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ Ù ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ Ñ [, ] ÓÒÚÓÐÙÓ f g ÒÓØ ÔÓÖ f g Ò Ô Ð ÒØ Ö Ð (f g)() f(τ)g( τ)dτ. º½¾µ

53 º º ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç ÙÖ º Ü ÑÔÐÓ ¾ º f() e g() co() Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö f g (f g)() e τ co( τ)dτ eτ (co( τ) en( τ)) ( e co()+en() ). ÓÒ Ù ÑÓ ÕÙ e τ co( τ)dτ eτ (co( τ) en( τ))+ ÓÒ Ø ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÅÓ ØÖ ÕÙ f g g f º ÈÖÓÔÖ º Ë F() L{f()} G() L{g()} ÒØÓ ÓÙ L{(f g)()} F()G(). L {F()G()} (f g)(). º½ µ º½ µ ÑÓÒ ØÖ Óº È ÖØ ÑÓ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ ÄÓ Ó F() L{f()} G() L{g(τ)} f()e d g(τ)e τ dτ. F()G() f()e d f() g(τ)e τ dτ g(τ)e (+τ) dτd Å ÒØ ÑÓ ÜÓ Þ ÑÓ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð v +τ Ô Ö Ó Ø Ö F()G() f() g(v )e v dvd

54 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç ÓÖ Ú ÑÓ ÑÙ Ö ÓÖ Ñ ÒØ Ö Ó Ò Ö Ó ÕÙ Ñ Ø Ò Ö ÓÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ö ÒØ Ñ Ú Þ Ú Ö Ö v Ñ [, ] ÔÓ Ñ [, ] ÔÖ Ñ ÖÓ Ú ÑÓ Ú Ö Ö Ñ [,v] ÔÓ v Ñ [, ] ÓÙ F()G() v f()g(v )e v ddv ( v ) f()g(v )d e v dv L{f g} (f g)e v dv Ü ÑÔÐÓ ¾ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ( )( +) º ÈÖ Ñ ÖÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÜÔÖ Ó ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ Ù ÙÒ Ø Ð ÓÒ L { } e L { + ( )( +) +, } co()º Í Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ Ø ÑÓ { } L + e τ co( τ)dτ. ÓÒÚÓÐÙÓ Ñ Ó ÐÙÐ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ¾ ÐÓ Ó { } L ( e co()+en() ). + ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ ÔÓ Ö Ø Ð Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ ÒØ Ö ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ ÒÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓº Ü ÑÔÐÓ ¾ º Î ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ù ÒØ ÕÙ Ó ÒØ Ö Ð y() 4+9 y(τ)( τ)dτ. ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ ÓÒÚÓÐÙÓ ÓÑ f() y() g() Ô Ö Ó Ø Ö ÓÙ L{y()} 4 +9L{y()}L{} Y() 4 +9Y(). ÄÓ Ó ÈÓÖØ ÒØÓ Y() y() 4coh(3) ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ê ÓÐÚ Ù ÒØ ÕÙ Ó ÒØ Ö Ð y() + y(τ)en( τ)dτ

55 º º Ê ÁÇË º Ü Ö Ó Ü Ö Ó º½ ÓÒ Ö ÙÒ f ε () g ε () ÔÓÖ f ε () g ε () ε, < ε ε ε, ε < ε, ε ε, < ε ε, ε < < ε, > ε ÓÒ ε ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ ÔÓ Ø ÚÓº µ Ó Ó Ó Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ó Ö Ó ÙÒÓ f ε Ô Ö ε ε ε 4 º Ó Ñ ÑÓ Ñ ÓÙØÖÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ô Ö ÙÒÓ g ε ()º Ä Ñ Ö Ò Ö Ó ÜÓ ÔÓÒØÓ ÒÓØ Ú Üº ÔÓÒØÓ Þ ÖÓ Ñ Ü ÑÓµ µ ÐÙÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ F ε () L{f ε ()} G ε () L{g ε ()}º ÕÙ ε ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ö Óº µ ØÙ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒ f ε () g ε () F ε () G ε () ÒÓ Ð Ñ Ø ε +º ÙØ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò Ó ÙÒÓ ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ø ÑÔÓ ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ö ÕÙ Ò µº ÉÙ Ð Ö Ð Ó ÕÙ Ó ÖÚ ÒØÖ f ε () g ε () ÒØÖ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ü Ö Ó º¾ ÍÑ Ô ØÓÖ Ô ØÒ C Ø Ò ÐÑ ÒØ ÖÖ Ó ÓÖÑ ÕÙ Ù ÔÓØ Ò Ð V º Ô ÖØ Ö Ó Ô ØÓÖ ÖÖ ØÖ Ú ÙÑ Ö ØÓÖ Ö Ø Ò R Ú ÙÖ º µº Í Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ö q() ÒÓ Ô ØÓÖº V R C ÙÖ º Ü Ö Ó º Ó Ó ÖÙ ØÓ Ä ÙÖ º½¼ ÒÓÒØÖ ÓÖÖ ÒØ i() Ù Ö Ó ÙÑ Ò Ó L À C ÓÖÖ ÒØ Ò Ð ÒÙÐ Ö Ò Ð ÒÓ Ô ØÓÖ ÒÙÐ V() u() u( a)º

56 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç V L C ÙÖ º½¼ Ü Ö Ó º Ó Ó ÖÙ ØÓ ÊÄ ÙÖ º½½ ÒÓÒØÖ ÓÖÖ ÒØ i() ÙÑ Ò Ó ÕÙ ÓÖÖ ÒØ Ö Ò Ñ ÒÙÐ ÕÙ R Ω L À C / {, (,) V(), > V R C L ÙÖ º½½ Ü Ö Ó º ÕÙ Ó Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ð ÓÖ ÖÑÒ Ó ÑÔÐ ÇÀ˵ ky() γy ()+f my (), º½ µ ÐÙÐ Ö ÔÓ Ø y() Ø Ó Ð ÓÖ Ù ØÓ ÓÖ ÜØ ÖÒ f Ó Ø ÔÓ Ó ÜÓº ÓÒ Ö m k γ 3 y() y () º {, [,] µ f(), Ó ÓÒØÖ Ö Ó µ f() δ( )

57 º º Ê ÁÇË Ü Ö Ó º ÓÒ Ö ÙÑ ÇÀË ÒÓ ÑÓÖØ Ó ØÓ γ Ò ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ó ( k/m ) º½ µº ËÙÔÓÒ ÕÙ Ø Ó Ð ÓÖ Ø Ù ØÓ ÙÑ ÓÖ ÜØ ÖÒ ÔÓÖ f F en º µ Í Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ó Ð ÓÖ y() Ò Ó ÕÙ y() y () º µ ÓÑÓ ÓÑÔÓÖØ Ó Ö Ó Ø Ó Ð ÉÙ ÒÑ ÒÓ Ó ÚÓ ÒØ Ü Ö Ó º ÒÓÒØÖ ÔÓÖ ÒØ Ö Ó µ µ e µ co(ω) µ e k e k Ü Ö Ó º Ö ÓÐÙÓ Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð µ µ µ { y +y +y δ( π) y(), y () { y +3y +y δ( 5) u( ) y(), y () / { y +y δ( π) y(), y () Ü Ö Ó º ÂÙ Ø ÕÙ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ ÓÔ Ö Ó ÓÒÚÓÐÙÓ µ f g g f µ (f g) h f (g h) µ f (g +h) f g +f h µ (δ f)() f() Ù Ó Ô Ö ÒÓ ÓÒ ÙÒ Ö Ú Ö Ú ÒØ Ö Ó ÕÙ Ô Ö ÖÓ ÒÓ Ø Ñ µº Ü Ö Ó º½¼ ÕÙ Ó Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÇÀË ÒÓ ÑÓÖØ Ó Ù ØÓ Ó Ð ÓÖ ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ y ()+ω y() r(), ÓÒ ω k m µ È ÐÓ Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒÓÒØÖ Y() L{y()}º r() f() m. µ ÓÑ Ó ÙÜ Ð Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÒÚÓÐÙÓ ÒÓÒØÖ y() Ñ Ø ÖÑÓ R L{r}µº Ü Ö Ó º½½ Í Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÒÚÓÐÙÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö ( ) L (+)(. +)

58 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÄÌ ÁÊ ÈÊÇÈÊÁ ÇÆÎÇÄÍ Ç Ü Ö Ó º½¾ Í Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÒÚÓÐÙÓ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ù ÒØ ÕÙ ÒØ Ö µ y() + µ y() y(τ) dτ y(τ)( τ) dτ µ y() e e e τ y(τ) dτ µ y() enh+ (+τ)y( τ) dτ Ü Ö Ó º½ ÒÓÒØÖ µ L { u( )+ δ( ) } µ L { (co)(ln)δ( ) } µ L { δ( )e }

59 Ô ØÙÐÓ ÙÒ Ô ÕÙ ÓÑ Ó ÒØ Ú Ö Ú Æ Ô ØÙÐÓ ÙØ Ö ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÙÒ Ô Ø ÓÑÓ ÙÒÓ Ð ÙÒÓ Ñ ÙÒ Ë ÒÓ ÁÒØ Ö Óº Ì Ñ Ñ ÒÚÓÐÚ Ö ÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ Ô Þ Ö ÓÐÚ Ö Ð ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò ÓÑ Ó ÒØ ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º È Ö Ò Ö Ù Ú ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ö Ó Ø Ñ Ø Ð º½ ÒÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓº Ü ÑÔÐÓ ¾ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒ Ó k ÔÓÖ L{ k } k e d. Þ ÑÓ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð x Ô Ö Ó Ø Ö L{ k x k } k e xdx k x k e x dx. ÙÒÓ ÕÙ Ô Ö Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ó k ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ ÒÓ Ô Ò Ñ ÙÒÓ Ñ ÒÓØ ÔÓÖ Γ(k)º ÈÓÖØ ÒØÓ ÑÓÒ ØÖ ÑÓ Ó Ø Ñ µ Ø Ð º½ ÓÒ Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ø Ñ Ø Ð L{ k } Γ(k) k, k >, Γ(k) e x x k dx. L{ n } (n )! n, n N. Á Ó ÒÓ Ò ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ó Ø Ò Ñ ÓÒ Ø ÒØ Γ(n + ) n! n Nº ØÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ÖÚ ÕÙ k (n+) N Ø ÑÓ ÓÑÓ Ø ÑÓ Γ(n+) ÄÓ Ó Γ(n+) n! n Nº e x x n dx [ e x x n] ( e x )nx n dx n Γ() e x dx [ e x], Γ(), Γ(3)!, Γ(4) 3Γ(3) 3! 3!, e x x n dx nγ(n).

60 ¼ È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ÉÍ Ë ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë Î ÊÁýÎ ÁË Ü ÑÔÐÓ ¾ º Ç Ø Ò Ø Ð Ó Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ø Ñ Γ ( ) L{ } Γ ( ) 3 L{ }. 3 Ø ÐÙÐ Ö Ó Ú ÐÓÖ Γ ( ) Γ ( 3 ) Ô Ö ÓÑÔÐ Ø Ö ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÑ ÑÓ ÓÑ Γ ( ) Γ ( ) e x x dx Þ Ò Ó ÑÙ Ò Ú Ö Ú x Ó Ø ÑÓ dx d ÍØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò Ä ÓÙÚ ÐÐ Ò ÑÓ Γ ( ) I e d e d e x x dx. ÄÓ Ó I e x dx e y dy e (x +y ) dxdy ÐØ Ñ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÒØ Ö Ð ÙÔÐ ÕÙ ÔÓ Ö ÐÙÐ Ñ ÓÓÖ Ò ÔÓÐ Ö Þ Ò Ó r x +y dxdy rdrdθ I π e r rdrdθ π [ e r ] π 4 Ñ Γ ( ) I π 4 I π e d I π. ÓÖ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÙÒÓ Ñ ÕÙ Γ(k +) kγ(k) Ø ÑÓ ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ø Ò Ø Ð Ó Ú Ð Ó Γ ( ) 3 ( ) π Γ. L{ } π L{ π }. 3

61 º½º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ ÍÆ Ë È ÊÁ Á Ë ½ º½ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒ Ô Ö Æ Ø Ó ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÙÑ ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒ Ô Ö ÐÙÐ Ö ¹ ÑÓ Ð ÙÑ Ð º ÈÖÓÔÖ º Ë f() ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ Ô Ö Ô Ö Ó Ó T º ÒØÓ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÓÖÑ T L{f()} e T f()e d. ÑÓÒ ØÖ Óº ÔÐ ÑÓ Ò Ó Ô Ö ÑÓ ÒØ Ö Ð ÒÓ Ô Ö Ó Ó ÙÒÓ f() Ô Ö Ó Ø Ö L{f()} T n f()e d T f()e d+ (n+)t nt T f()e d. 4T f()e d+ f()e d+ 3T Þ ÑÓ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð τ nt Ó Ø ÑÓ T L{f()} f(τ +nt)e (τ+nt) dτ n T e nt f(τ +nt)e τ dτ. Í Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ ÙÒÓ Ô Ö ÓÙ f(τ) f(τ +nt) Ø ÑÓ L{f()} n T e nt f(τ)e τ dτ n T T f(τ)e τ dτ [ f(τ)e τ dτ e T T ÓÒ Ù ÑÓ ÓÑ ÙÑ Ö ÓÑ ØÖ Ö ÞÓ e T º [ n ( e T ) ] n e T f(τ)e τ dτ, Ü ÑÔÐÓ ¼º Ç ÖÚ Ó ÐÙÐÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒÓ f() co(w) Ò Ó ÕÙ co(w)e d e (wen(w) co(w)) +w + ÓÒ Ø ÒØ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ] L{co(w)} e π w e π w e π w +w. π w co(w)e d [ e (wen(w) co(w)) e π w +w +w ]π w

62 ¾ È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ÉÍ Ë ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë Î ÊÁýÎ ÁË Ü ÑÔÐÓ ½º ÙÒÓ f() ÔÖ ÒØ ÒÓ Ö Ó ÙÖ º½ Ñ ÓÒ ÕÙ Ö Ô Ö Ó Ó aº f() a a 3a 4a 5a 6a ÙÖ º½ ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÐÓ Ò Ó T a L{f()} e a e a e a a f()e d ( a a e d a ( e a +e a ) ( e a )(+e a ) e a +e a. ) e d ( ( e a ) ) ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ e a ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÜÔÖ Ó Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒ Ô Ö Ð L{f()} e a e a e a +e a enh ( a coh ( a ) ) anh ( a Ü ÑÔÐÓ ¾º ÙÒÓ g() ÔÖ ÒØ ÒÓ Ö Ó ÙÖ º¾ Ñ ÓÒ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ó aº g() ) ). a 4a 6a ÙÖ º¾ È Ö ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ó ÖÚ ÕÙ

63 º½º ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ ÍÆ Ë È ÊÁ Á Ë µ ÙÒÓ g() Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º¾ Ø Ñ ÓÑÓ Ö Ú ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ö º ØÓ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,a] Ö Ú a ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a,a] Ö Ú a º Ô ÖÓ Ö Ô Ø Ô Ö Ó Ñ ÒØ º ÄÓ Ó Ö Ú ÓÒ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÓÒ ÕÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ a º µ ÔÖÓÔÖ ¾ ÒÓ L{g()} L{g ()}+ g(). ÄÓ Ó L{ÓÒ ØÖ Ò ÙÐ Ö} a L{ÓÒ ÕÙ Ö }+ ÓÒ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò ÓÖ Ñµ, ÔÓÖØ ÒØÓ Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ ÓÒ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ú Ð Þ ÖÓ Ò ÓÖ Ñ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ½ Ø ÑÓ L{g()} ( a ) a anh ( a ) a anh. Ü ÑÔÐÓ º ÙÒÓ h() ÔÓÖ { en(w), < < π h() w π, w < < π w,, h ( ) + π w h() Ñ Ö Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ô Ö Ó Ó π w º ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ h()º h() π w π w 3π w 4π w 5π w 6π w ÙÖ º ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÑ T π w L{f()} e π w e π w e π w π w π w f()e d en(w)e d [ e (en(w)+wco(w)) +w ( e π w )(+e π w ) w +w e π w w(+e π w ) +w ] π w Ü ÑÔÐÓ º ÙÒÓ p() ÔÓÖ p() en(w) Ñ Ö Ø ÓÖ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô Ö Ó Ó π w º ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ p()º

64 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ÉÍ Ë ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë Î ÊÁýÎ ÁË p() π w π w 3π w 4π w 5π w 6π w ÙÖ º ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÑ T π w L{p()} e π w e π w Ü ÑÔÐÓ º ÙÒÓ q() ÔÓÖ { q() π w en(w)e d [ e (en(w)+wco(w)) +w w(+e π w ) e π w +w w e π w +e π w +w e π w e π w w ( π ) +w coh w a, q(+a) q(), < a Ñ ÓÒ ÒØ ÖÖ Ô Ö Ó Ó T aº ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ q()º q() ] π w a a 3a 4a 5a 6a ÙÖ º ÐÙÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÓÑ T a L{q()} e a e a a a a e d [ e (+) ] a e a (+a) e a a ( e a e a ) a) e a a a e a ( e a ).

65 º¾º Ë ÊÁ Ë ÈÇÌ Æ Á Ë º¾ º¾º½ Ë Ö ÔÓØ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ñ ¹ Ö ÔÓØ Ò Ñ Ð ÙÑ ØÙ ÓÒÚ Ò ÒØ ÜÔ Ò Ö Ñ Ö ÔÓØ Ò ÙÑ Ø ÖÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ù ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö º Î ÑÓ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ º Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÙÒÓ F() (+)( e ) Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ e +e +e +e 3 +. ÔÓÖØ ÒØÓ Ø ÑÓ F() [ +e +e +e 3 + ] + { } ÓÑÓ Ô ÐÓ Ø Ñ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ L e. + ÔÐ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÜÓ Ø ÑÓ f() e +u( )e ( ) +u( )e ( ) +u( 3)e ( 3) +. Ç Ö Ó Ø ÙÒÓ ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º º f() ÙÖ º Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÙÒÓ F() e ( e ) e 3 Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ ÓÖ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ g() L { e ( e ) e 3 +e 3 +e 6 +e 9 +. } ÒØÓ { } { g() L e ( e ) ( e L e +e ) } L { e e +e 3 Ø ÓÖÑ Ô Ð ÔÖÓÔÖ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ Ñ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö } u( )( )+u( )(4 )+u( 3)( 4) f() g()+u( 3)g( 3)+u( 6)g( 6)+u( 9)g( 9)+ g()+g( 3)+g( 6)+g( 9)+ g( 3k) k

66 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ÉÍ Ë ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë Î ÊÁýÎ ÁË Ó ÕÙ ÑÔÐ f() g( 3k) [u( 3k)( 3k)+u( 3k)(4 +6k)+u( 3 3k)( 4 6k)] k k Ç Ö Ó Ø ÙÒÓ ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º º f() ÙÖ º º¾º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ñ Ö ÔÓØ Ò Æ Ø Ó Ú ÑÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ù Ò Ó Ö ÔÓØ Ò ÙÒ Ð Ò Ö ØÖ Ò ÓÖÑ º Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÐÙÐ Ö L{J (a)} Ø Ñ ½ Ø Ð º¾µ ÓÒ J (a) ÙÒÓ Ð ÓÖ Ñ Þ ÖÓ ÔÓÖ J (a) ( ) a + (!) ( ) 4 a (3!) ( ) 6 a +. ÔÐ Ò Ó Ó Ø Ñ Ø Ð º½ Ø ÑÓ ( a ) L { L{J (a)} L{} } + ( a )! 3 + ( a (!) [ ( a ) + 3! ( a ( a ) 4L { 4 } (!) ( a ) 6L { 6 } (3!) + ) 4 4! 5 ( a ) 6 6! (3!) 7 + ) ! ( a ) 6 + ] Ö Ñ Ø ÔÖ ÒØ ÒÓ Ø Ñ ½¼ Ø Ð º ÓÒ Ù ÑÓ m x ( a ) º ÄÓ Ó L{J (a)} ( ( ) a + ) Ü ÑÔÐÓ º ÆÓÚ Ñ ÒØ Ù ÑÓ Ö ÔÓØ Ò Ô Ö ÐÙÐ Ö L{J ( k)} k > Ø Ñ Ø Ð

67 º º ÊÁÎ ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ º¾µº ÔÐ Ò Ó Ó Ø Ñ Ø Ð º½ Ø ÑÓ { L J ( ( } k) L k ) ( + (!) ) 4 ( k (3!) L{} kl{}+ k (!) L{ } k3 (3!) L{ 3} + k k + k! (!) 3 k3 3! (3!) 4 + [ ( ) k + ( ) k ( ) 3 k + ]! 3! [ ( + k ) + ( k ) + ( ] k 3 +! 3! ) Ö Ñ Ø ÔÖ ÒØ ÒÓ Ø Ñ Ø Ð º ÓÒ Ù ÑÓ x k º ÄÓ Ó { L J ( } k) e k ) 6 + ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Í Ó Ñ ØÓ Ó Ö ÔÓØ Ò ÔÖÓÔÖ ÙÒÓ Γ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ { } co( ) π L e. º Ö Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÈÖÓÔÖ º Ë F() L{f()} ÒØÓ d F() L{f()}. d º½µ ÑÓÒ ØÖ Óº Í Ò Ó Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø ÑÓ d d F() d d f()e d f() d d L{f()}. ( e ) d f()( )e d f()e d Ü ÑÔÐÓ ¼º È Ö ÐÙÐ Ö L{co(w)} Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ L{co(w)} d d L{co(w)} d ( ) d +w +w ( +w ) w ( +w )

68 È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ÉÍ Ë ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë Î ÊÁýÎ ÁË ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º ÐÙÐ L{ en(w)} Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ º º ÕÙ Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ ÔÖÓÔÖ Ö Ú ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ø Ñ ÙÑ ÔÐ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÓÐÙÓ ÕÙ Ö Ò ÓÑ Ó ÒØ Ú Ö Ú º Ü ÑÔÐÓ ½º Î ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð y ()+y ()+9y() y() 5 y (). ÓÑ ÑÓ ÔÐ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ò ÕÙ Ó Ö Ò Ð ÔÓ ÔÐ ÑÓ ÔÖÓÔÖ L{y ()}+L{y ()}+9L{y()}. d d L{y ()}+L{y ()} 9 d L{y()}. d Ñ Ù ÔÐ ÑÓ ÔÖÓÔÖ ¾ Ô Ö Ó Ø Ö Ù ÒØ ÕÙ Ó Ù Ö d d ( Y() 5 ) +Y() 5 9 d Y(), d ÓÒ Ù ÑÓ ÕÙ y() 5 y () Y() L{y()}º ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ñ ÑÔÐ Ô Ö Y() ÓÖ Ö ÓÐÚ ÑÓ Ö Ú Ó Ø ÑÓ ÙÑ Y () Y()+Y() 9Y (), ÓÙ Y () Y() +9. ÄÓ Ó ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÒØ Ö Óº ÒØÓ ln(y()) ln( +9)+C, Y() K( +9) K +9, ÓÒ K e C º È ÐÓ Ø Ñ ½ Ø Ð º½ Ø ÑÓ y() KJ (3). ÓÑÓ J () Ù ÑÓ ÕÙ y() 5 Ô Ö Ó Ø Ö K 5º ÈÓÖØ ÒØÓ y() 5J (3). Ç ÖÚ ÕÙ ÓÐÙÓ Ø Þ y () ÔÓÖ Ñ ÓÒ Ó ÒÓ Ò Ö º ØÓ Ü Ø ÙÑ ÓÐÙÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ö ÔÓØ Ò º

69 º º ÉÍ Ë Á Ê Æ Á ÁË ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë ÆÇ ÇÆËÌ ÆÌ Ë Ü ÑÔÐÓ ¾º Î ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Ó Ä Ù ÖÖ ÔÓÖ y ()+( )y ()+y(), ÓÑ ÓÒ Ò y() y () º ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ò ÕÙ Ó L{y ()}+L{y ()} L{y ()}+L{y()}. ÔÓ Ù ÑÓ ÔÖÓÔÖ ÓÒØ ÒÙ ÑÓ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ¾ Ô Ö Ó Ø Ö d d L{y ()}+L{y ()}+ d d L{y ()}+L{y()}. d ( Y() y() y () ) +Y() y()+ d (Y() y())+y(), d d ÓÒ Y() L{y()}º ÔÐ Ò Ó Ö Ú ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ô Ö Y() ÓÙ ÄÓ Ó Y () Y()+y()+Y ()+Y()+Y() y()+y(). Y () ( + ) +Y()( +3). Y () Y() 3 ( ). Í ÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ó Ú Ö Ú Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ø ÑÓ 3 ln(y()) ( ) d+c ÓÒ C ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÒØ Ö Óº ÒØ Ö Ú Ó Ð Ó Ö ØÓ ÔÓ Ö Ó Ø Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ö Ô Ö Á Ó ÒÓ ÓÙ 3+ ( ) 3. ( ) ( ) ln(y()) 3ln()+ln +C ln +C Y() K ( ) 3 K 3 K + K ÓÒ K e C º ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÓÖÒ ÙÑ ÜÔÖ Ó Ô Ö y() ( ) y() K +. Í Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ y() Ø ÑÓ K y() +. Ç ÖÚ ÕÙ Ô Ö ÓÒ Ó Ô Ö Ö Ú Ö Ø Ø ØÓ y (), ÒÓ Ù ÑÓ ¹ Ô Ö ÐÙÐ Ö ÓÐÙÓº ØÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ù ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ò ÓÖ Ñ ÕÙ ÒÓ Ô Ö¹ Ô Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ º ÓÐÙÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ö ÔÓØ Ò º 3

70 ¼ È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË ÉÍ Ë ÇÅ Ç Á Á ÆÌ Ë Î ÊÁýÎ ÁË º ÈÖÓÔÖ ÒØ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÈÖÓÔÖ º Ë F() ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ f() Ó Ð Ñ Ø f() lim + Ü Ø ÒØÓ { } f() F(v)dv L. º¾µ ÑÓÒ ØÖ Óº Í ÑÓ Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ô Ö Ö Ú Ö F(v)dv ( f() ) f()e v d dv ( ) e v dv d [ e v f() f() e d { } f() L. Ç ÖÚ ÕÙ ÐØ Ñ Ù Ð Ú Ð ÔÓ Ó ØÓ Ó Ð Ñ Ø lim f() + ÒØ Ö Ú Ð Ô ÖØÓ ÓÖ Ñ ÔÓÖØ ÒØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ Ü Ø º ] d Ü Ø Ö Ö ÒØ ÕÙ f() Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ó Ø Ñ ¾ Ø Ð º¾ { L ( e b e a) } a b. π 3 È Ö Ó Ú ÑÓ Ù Ö Ó Ø Ñ Ö { } L. º µ π ÔÐ ÑÓ ÔÖÓÔÖ ØÖ Ò Ð Ó ÒÓ ÜÓ Ò ÕÙ Ó º µ Ô Ö Ó Ø Ö { } L e a π a. Ò ÐÑ ÒØ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÑÓ { L ( e b e a) } π 3 L { ( e b )} e a π π ( )dv v b v a ( ) (v b) (v a) (v b) +(v a) dv a b.

71 º º ÈÊÇÈÊÁ ÁÆÌ Ê Ä ÌÊ ÆË ÇÊÅ Ä ÈÄ ½ Ç ÖÚ ÕÙ ÕÙ Ù ÑÓ Ó Ù ÒØ Ð Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ ( v ) lim b v a v lim v ( v b v a )( v b+ v a ) ( v b+ v a ) ((v b) (v a)) lim ( ) v v b+ v a (a b) lim ( ) v v b+ v a. Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ó Ø Ñ Ø Ð º¾ { L ( e b e a)} ) a ln(. b È Ö Ó Ú ÑÓ Ù Ö Ó Ø Ñ Ö L { e a} a. Í Ò Ó ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÑÓ { ( L e b e a)} ( v b ) dv v a (ln(v b) ln(v a)) (ln( a) ln( b)) ( ) a ln b Æ Ô Ò ÐØ Ñ Ù Ð Ù ÑÓ Ó Ù ÒØ Ð Ñ Ø ÒÓ Ò Ò ØÓ lim v (ln(v b) ln(v a)) lim ( ln v ln ln(). lim v ( ) v b v a ( )) v b v a Ç ÖÚ ÕÙ ØÖÓ Ó Ð Ñ Ø ÓÑ Ó ÐÓ Ö ØÑÓ ÔÓ Ú Ð Ú ØÓ ÕÙ ln(x) ÓÒØ ÒÙ Ô Ö x > º Ü ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ó Ø Ñ ¼ Ø Ð º¾ { } L ( co(w)) ln ( +w ). È Ö Ó Ú ÑÓ Ù ÑÓ Ó ØÓ ÕÙ L( co(w)) +w.