Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½

Transcrição

1 Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½

2

3 ÓÒØ ÒØ ½ ¾ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ÆÌ Ë Ê ÁÇÆ ÁË ÁÆ ÁÎ ÍÇ ÅÈÊ Ë ¹ Å Æ Ç ÊÌ ÇÆËÌÊÍ Ç Ç Å Ê Ç ½ ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄÁÆ Ê ÈÊÇ Ê Å Ç ÄÁƹ Ê ¾º½ ÒØÖÓ ÙÓ ØÖÙØÙÖ Ó Ó Ô Ó Ó Ô Ó ÙÐ ÒÓ Ò Ñ Ò E n º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖÓ Ö Ñ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ÒØÖÓ ÙÓ ÓÒ ØÖÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ ÓÒ Ø Ò ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º º º ¾º ÈÖÓ Ö Ñ Ó ÒÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ Ñ Ü Ñ Þ Ó»Ñ Ò Ñ Þ Ó Ù Ú Ö Ú ÓÑ Ö ¹ ØÖ Ó Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ Ñ Ü Ñ Þ Ó¹Ñ Ò Ñ Þ Ó ÓÑ Ù Ð ÓÑÓ Ö ¹ ØÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º º Ü ÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Á ÄÁÇ Ê Á º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 Ú ÇÆÌ ÆÌË

5 ÔØ Ö ½ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ÆÌ Ë Ê ÁÇÆ ÁË ÁÆ ÁÎ ÍÇ ÅÈÊ Ë Å Æ Ç ÊÌ ÇÆËÌÊÍ Ç Ç Å Ê Ç ÁÆÌÊÇ Í Ç ÇË Å ÌÇ ÇË Å Ì ÅýÌÁ ÇË È Ê ÈÄÁ Ç Ç ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ½

6 ¾ À ÈÌ Ê ½º ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ÆÌ Ë Ê

7 ÔØ Ö ¾ ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄÁÆ Ê ÈÊÇ Ê Å Ç ÄÁÆ Ê Ç Ó Ø ÚÓ Ò Ø Ô ØÙÐÓ ½ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒÓ¹ Ñ Ñ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ø ¹ Ð Ö ÓÒ Ó Ò ØÖÙÑ ÒØÓ Ô Ö Ö ÒØ Ö Ü Ø Ò ÙÒ Ó Ö Ø Ö Ó Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÍÑ Ó ÑÓÒ ØÖ Ö Ü Ø Ò ÓÐÙÓ ÓÙØÖ Ó ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÐÙÓº Ø Ò Ò¹ ØÖÙÑ ÒØÓ Ô Ö Ñ Ó Ó Ó Ø ÚÓ ÔÓ Ñ Ö Ó Ñ ÑÓ ÓÑÓ ÔÓ Ñ Ö Ö ÒØ º ½ Ë Ù ÑÓ ÕÙ ÓÖ Ñ Ò Ð Ø Ó ÁÒØÖ Ð ØÓÖ Ë Ð Ö Ö

8 À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å ¾º½ ÒØÖÓ ÙÓ ØÖÙØÙÖ Ó Ó Ô Ó Ó Ô Ó ÙÐ ÒÓ Ò Ñ Ò E n Ç Ô Ó ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø Ó Ô Ó ÙÐ ÒÓ Ò Ñ Ò º Ç Ô Ó ÙÐ ÒÓ ÙÑ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ÓØ Ó ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓº ÍÑ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð Ó Ö ÙÑ ÓÖÔÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ ¹ ÒÓÑ Ò Ó Ú ØÓÖ ÓØ Ó ÙÑ ØÖÙØÙÖ ÓÖÑ Ù ÓÔ Ö ÙÑ ÓÔ Ö Ó Ó ÒØÖ Ú ØÓÖ ÙÑ ÓÔ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ð Ö ÔÓÖ Ú ØÓÖ ÓÑ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ ½º ÉÙ ÕÙ Ö ÕÙ Ñ ØÖ Ú ØÓÖ u v w Ô ÖØ Ò ÒØ Î ( u+ v)+ w = u+( v + w) ¾º ÕÙ ÕÙ Ö ÕÙ Ñ Ó Ú ØÓÖ u v Ó Ð Ö aǫk a( u+ v) = a u+a v Ç ÈÊÇ Ä Å ÍÆ Å ÆÌ Ä ÇÆÇÅÁ ÐÓ Ó ÒØ Ö ÙÖ Ó Ó ÒØÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ ÓÑÔ Ø Ø ÚÓ Ç Ò ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ ÓÑÔ Ø Ø ÚÓ ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÑ Ó ÖÓ Ö Ô¹ Ö ÒØ Ó ÔÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ ØÙÖÙØÙ Ó ÓÑ Ö Ð ÕÙ Ó ÓÒ ÙÖ Ó ÙÑ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ÓÑ ÙÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓº Ð Ñ ÒØÓ Ó Ú Ð ¹ Ó ÔÓÖ Ñ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ø Ñ ÔÓÖ Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ F : x F( x)ǫrº Ç ÓÒ ÙÒØÓ Ð¹ Ñ ÒØÓ ÓÑ ÙÑ ØÖÙØÙÖ ÓÖÑ Ö Ð Ó ÔÖÓÔÖ Ò ÙÑ Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ÓÑ ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ ÒÓ Ó ÓÑ ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ò Ô ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ô Ø ÓÖ º Ç Ô Ó Ú ØÓÖ Ð ÓÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ØÖ ÒÓÑ Ò Ó Ô Ó ÙÐ ÒÓ Ò Ñ Ò ÒØ Ó ÔÓÖ

9 ¾º¾º ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ E n º Ø ÓÖÑ ÓÑ Ò Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ Ñ Ú Ð Ó Ð Ñ ÒØÓ ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÙÒÓ Ð Ñ ÒØÓ Ù ÒÓÑ ÒÐ ØÙÖ F( x) ÓÙ F(x 1,x 2,...,x n )º Æ Ð Ò Ù Ñ ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø ÙÒÓ ÒÓÑ Ò ÙÒÓ Ó Ø ÚÓºÇ Ö ÙÖ Ó Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ ÓÙØÖ ÙÒ ÕÙ ÒØÖÓ ÙÞ Ñ Ö ØÖ ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ú Ö Ú Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó Ó Ó Ø ÚÓ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÑÓ Ó ØÖ ØÓ Þ ÑÓ ÕÙ Ú Ö Ú Ð x ǫx E n ¾º½µ Ç ÓÒ ÙÒØÓ X ÒÓÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÔÓÖØÙÒ Ó ÓÒ ÙÒØÓ X = x E n º x Ø Þ Ö ØÖ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º { Max x F( x) º ǫ X E n ¾º¾ ¾º¾º½ ÈÖÓ Ö Ñ Ó Ð ÒØÖÓ ÙÓ ÓÒ ØÖÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ö Ô¹ Ö ÒØ Ó ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø Ø Ñ Ñ ÒÓÑ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ñ ÔÓÖ Ó Ø ÚÓ ÒÓÒØÖ Ö Ú ÐÓÖ Ú Ö Ú ÙÑ ÙÒ ÙÒÓ Ó Ø ÚÓ ÕÙ Ñ Ü Ñ Þ Ñ ÓÙ Ñ Ò Ñ Þ Ñ ÙÒÓ Ù Ø Ö ØÖ º Ç ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ñ Ñ Ú Ö Ú Ò ØÖÙÑ ÒØÓ Ò ÙÒÓ Ó Ø ÚÓ ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ö ØÖ º ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø ÓÒ Ø Ñ Ñ ØÖ ÓÖ Ò Ó ÔÖÓ ÐÑ ÓØ Ñ Þ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÒÓ Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ð Ò Öº Æ Ø Ó Ú ÑÓ ÒÚÓÐÚ Ö ÓÖ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ð º Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒÓÑ Ñ Ø ÖÑÓ Ð Ö Ó

10 À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ ÙÒ F g Ó ÓÒ Ö ÓÑÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ C 2 [a,b] ÓÒ a b ÔÓ Ñ Ö Ò Ò ØÓ º { Max x F( x) º g( x) = b ÈÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒÙÑ ÓÖÑ Ñ ÜÔÐ Ø Max x1,x 2,...,x n F(x 1,x 2,...x n ) º g 1 (x 1,x 2,...,x n ) = c 1 g 2 (x 1,x 2,...x n ) = c 2... g m (x 1,x 2,...,x n = c m ¾º¾º¾ ÓÒ Ø Ò ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Æ Ø Ó Ú ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÒ Ó Ö Ø Ö Ó Ô Ö ÒØ Ö Ó Ú ÐÓÖ Ú Ö Ú Ð Ô Ö Ó ÕÙ ÙÒÓ Ø Ò ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ ÙÑ Ñ Ò¹ ÑÓ Ô Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓØ Ñ Þ Ó Ø Ø º È Ö Ó Ú ÑÓ ØÖ Ø Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÙÑ Ô Ó Ñ Ò Ó n + 1 Ñ Ö ØÖ ÔÓÖØ ÒØÓ Ô Ö m = 0 Å Ü Ñ Þ Ó Ñ Ö ØÖ Ó max x1 F(x 1 ) ¾º¾µ ÓÐÙÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ó n = 1 m = 0 ÑÔÓÖØÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÓ ÓØ ÑÓ ÓÖ ÒØÓ ÙÖ Ø ÕÙ ØÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÑÔÐ ÜÓ Ú Ö Ö ÙÞ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ñ Ò ØÙÖ Þ Ù ÓÐÙÓ

11 ¾º¾º ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÓÒ º Ñ ÓÖ ÒØ Ó Ñ ØÓ ÓÐ ÓØ Ô ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ó n = 2 m = 0 Ú Ñ Ö Ö ÙÞ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ n = 1 m = 0º Î ÑÓ ÙÑ Ö ÕÙ Ó ÙÑ ÔÖ Ò ÓÒ Ü Ø Ò ÓÐÙÓ ÓÙ ÕÙ ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ó ÓÒØ ÒÙ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ Ö Ò Ú Ñ Ø ÖÑ Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ö Ó ÓÑÓ ÓÑÔ ØÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ø ÙÒ ÓÖ Ñº Î ÑÓ ÙÑ Ö ÔÓÖØ ÒØÓ ÔÓÖ À Ô Ø ÕÙ x 1 F 1) F(x 1 )Ô Ö ØÓ Óx 1 ǫo x 1 Ò Ó ÕÙ ÒØ Ö ÕÙ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ x 1 º Ç ØÙ Ó Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒÓ Ò Ú Ü Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ x 1 Þ ÓÑ Ó Ù Ó Ù ÜÔ Ò Ó Ñ Ì ÝÐÓÖ Ñ ØÓÖÒÓ x 1 º F(x 1 ) = F 1 + x 1 ) = F 1)+ df(x 1 dx 1) x d 2 F 1 2 dx 2 1 +θ x 1 )( x 1 ) 2 1 ¾º µ ËÙ Ø ØÙ Ò Ó ÐØ Ñ ÕÙ Ó Ò ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ F 1) F(x 1 ) = F 1+ x 1 ) = F 1)+ df(x 1 dx 1) x d 2 F 1 2 dx 1+θ x 2 1 )( x 1 ) 2 1 ¾º µ Þ Ò Ó Ó Ò Ð Ò Ó F 1) Ñ Ó Ó Ð Ó ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ df(x 1 dx 1) x d 2 F 1 2 dx θ x 1 )( x 1 ) 2 0 ¾º µ Ù Ð ÒÓÑ Ò ËÁ Í Ä ÍÆ Å ÆÌ Äº ÓÑÓ m = 0 ÒÓ ÖÓÒØ Ö ÔÓÖØ ÒØÓ ÒÓ Ö ØÖ ÕÙ ÑÔ ¹ Ñ ÓÒ ØÖÙÓ Ú Þ Ò Ò º Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÓÖÑ Ú Þ Ò Ò Ñ Ó Ó Ð Ó Ó ÔÓÒØÓ ÓÙ x 1 > 0 ÓÙ x 1 < 0º Þ Ò Ó x 1 > 0 ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖ Ø Ú ÐÓÖ Ó Ø Ò Ó

12 À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å df(x 1 ) dx 1)+ 1 d 2 F 1 2 dx θ x 1 )( x 1 ) 0 ¾º µ ÓÑÓ x 1 ØÓ Ô ÕÙ Ò ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö Þ ÑÓ lim x1 0 ÔÐ Ò Ó Ò ÕÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ df(x 1 dx 1) 0 1 Ê Ô Ø Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ö Ó Ò Ó Ñ Þ Ò Ó x 1 < 0 Ó Ø ÑÓ ¾º µ df(x 1 dx 1) 0 ¾º µ 1 ÓÑ Ò Ò Ó Ñ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ¹ ÓÑÓ ÓÒ Ó Ò Ö ÓÒ Ó ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ Ô Ö ÕÙ x 1 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø ÑÓ ÓÙ df(x 1 dx 1 1) = 0 ¾º µ ÓÒ Ó Ò Ö ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ºÈºÇµ ÙÑ Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ö¹ Ñ Ò Ö ÕÙ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó ÙÒÓº ÓÑ ÓÒ Ó ÔÓ ÑÓ ÔÓÖ Ù Ù Ø ØÙ Ó Ò ËÁ Í Ä ÍÆ Å ÆÌ Ä Ó Ø Ö 1d 2 F 2 dx 2 1 Ø Ù Ð Ù ¹ ÕÙ 1 +θ x 1 )( x 1 ) 2 0 ¾º½¼µ d 2 F 1 +θ x 1 ) 0 ¾º½½µ dx 2 1 ÓÒ Ó ÙÒ ÓÖ Ñº ÓÒØÙ Ó Ñ ÓÒ ÔÖ Ñ Ö ÙÒ ÓÖ Ñ Ó ÕÙ ÓÒ Ò Ö ÔÓ Ó Ø ÑÓ Ô ÖØ Ö ÔÖ ÙÔÓ Ó ÕÙ Ü Ø X 1 df(x 1 dx 1) = 0 1 d 2 F dx 1) ÓÑÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓº

13 ¾º¾º ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÔÓÖ ÓÒ Ó Ù ÒØ Ô Ö ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ x 1 ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ó df(x 1 dx 1) = 0 1 d 2 F dx 1) < Î ÑÓ ÓÖ ÓÒ Ö Ö ØÙ Ó Ô Ö n = 2 m = 0º ÓÖÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ñ Ø ÖÑÓ max x1,x 2 F(x 1,x 2 ) ¾º½¾µ Î ÑÓ ÙÑ Ö ÔÓÖ Ô Ø ÕÙ Ü Ø 1,x 2) ÓÑÓ ÓÐÙÓ Ô Ö Ó ÔÖÓ ¹ Ð Ñ º ÈÓÖ Ò Ó Ñ Ü ÑÓ Ø ÑÓ ÕÙ F 1,x 2) F(x 1,x 2 ) Ô Ö ØÓ Ó (x 1,x 2 ) ǫo 1,x 2 ) Þ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ì ÝÐÓÖ ÙÒÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ 1,x 2)º Ç Ó Ø ÚÓ Ö ÙÞ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÑ Ú Ö Ú Ðº Á ØÓ ÔÓ Ö ØÓ ÔÓÖ Ñ Ó Ø Ò ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖ { x1 = x 1 +h x 1 x 2 = x 2 +h x 2 Å ÒØ Ò Ó ÜÓ ( x 1, x 2 )º ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÕÙ ÓÑ ØÓ Ü ÑÓ ÓÖ ¹ ÒØ Ó Ö Ø Ó Ö ÕÙ Ð Ö ÑÓ Ú Þ Ò Ò Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ 1,x 2) ÓÑ ÔÖ ÙÔÓ ØÓ Ø ÑÓ ÕÙ F(x 1,x 2 ) = F(h)º Ñ Ú ÑÓ Þ Ö ÜÔ Ò Ó Ì ÝÐÓÖ ÙÒÓ F(h) Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ 0º Á ØÓ Ò Ó Ñ ÑÓ ÕÙ ÜÔ Ò Ó ÙÒÓ F Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ 1,x 2) F(h) = F(x 1,x 2 ) = F 1 +h x 1,x 2 +h x 2 ) = F 1,x 2) + df dh (x 1 +h x 1,x 2 +h x 2 ) h=0 h+ 1 d 2 F 2 dh 2(x 1 +θh x 1,x 2 +θh x 2 ) h=0 h 2

14 ½¼ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å ÇÒ 0 < θ < 1º Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ë Ù ¹ Ù Ø ØÙ Ó Ø ÕÙ Ó Ò ÕÙ Ó df dh (x 1 +h Deltax 1,x 2 +h x 2 ) h=0 h+ 1 d 2 F 2 dh 2(x 1 +θh,x 2 +θh) h=0 h 2 0 ¾º½ µ Ù Ð ÒÓÑ Ò ËÁ Í Ä ÍÆ Å Æ¹ Ì Ä ÕÙ ÒÓÒØÖ ÑÓ ÒØ Ö ÓÖ Ñ ÒØ ÕÙ Ú Ð Ø Ñ Ñ Ô Ö Ù Ú Ö Ú ÕÙ ÔÓ Ö Ò Ö Ð Þ Ô Ö n Ú Ö Ú º Ú Ò Ó Ñ Ó Ó Ð Ó Ù Ð ÔÓÖ h Ó Ø ÑÓ df dh (x 1 +h x 1,x 2 +h x 2 ) h=0 + 1 d 2 F 2 dh 2(x 1 +θh,x 2 +θh) h=0 h 0 ¾º½ µ Þ Ò Ó Ò Ø Ù Ð ØÓ Ô ÕÙ ÒÓ ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ö ÓÙ Þ Ò Ó lim h 0 Ù ¹ ÕÙ df dh (x 1 +h x 1,x 2 +h x 2 ) h=0 0 ¾º½ µ ÇÔ Ö Ò Ó Ö Ú Ñ Ð Ú Ò Ó Ñ ÓÒØ Ù ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ ¹ ÔÓ Þ Ò Ó H = 0 Ó Ø ÑÓ Ñ df dh = F h=0 x 1 + F h=0 x 2 0 df dh = F (x 1,x 2 ) x 1 + F (x 1,x 2 ) x 2 0 ¾º½ µ ¾º½ µ Æ Ø ÑÓÑ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ Ð Ö Ö Ú Þ Ò Ò ÓÖÑ ( x 1, x 2 )º Ë Ù ¹ ÔÓÖØ ÒØÓ ÕÙ Ó Ò Ó Ñ Ó Ø Þ Ö Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ Ó ÕÙ ( x 1, x 2 ) ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ

15 ¾º¾º ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ½½ F 1,x 2) = 0 F 1,x 2) = 0 Ù ÕÙ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ºÈºÇµº ËÙ Ø ØÙ Ò Ó ÕÙ Ò Ù Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ø ÑÓ 1d 2 F 2 dh 2(x 1 +θh,x 2 +θh)h 2 0 ¾º½ µ ÓÙ Ô Ð Ð Ñ Ò Ó 1 2 d 2 F dh 2(x 1 +θh,x 2 +θh)h 2 0 ¾º½ µ Î ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ó ÓÔ Ö ÓÖ d dh = ( ) x 1 +( ) x 2 Ø ÓÔ Ö ÓÖ ÕÙ Ò Ó Ò Ó Ó Ö ÙÒÓ F ÔÖÓ ÙÞ ¾º¾¼µ d(f) dh = (F) 1,x 2) x 1 + (F) 1,x 2) x 2 ÓÖ Ú ÑÓ Þ Ö ÓÑ ÕÙ Ó ÓÔ Ö ÓÖ Ó Ö ÙÒÓ df dh º Ó Ö ÙÐØ Ñ ¾º¾½µ Ø d( df dh ) dh Ç ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ö Ú ÔÖÓ ÙÞ = ( df dh ) ( df x 1 + dh ) x 2 ¾º¾¾µ d 2 F dh = 2 F ( x 2 1 ) 2 + F x 1 x F x 1 x 2 + F x 2 x F x 2 x 2 + F x 1 x F ( x 2 ) 2 + F x 2 x 2 2

16 ½¾ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å ÑÔÓÖØÒ ÓÒ Ö Ö Ö Ú Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÕÙ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÓ Ñ ÒÓ Ö Ó Ñ ÑÓ Ñ Ö ÒØ ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓº Ö ÞÓ ÕÙ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ( x 1, x 2 ) ÔÓ Ñ Ô Ò Ö Ó ÔÓÒØÓ Ø ÑÓ 1,x 2)º È Ö Ú Ö Ô Ò Ò Ð Ñ Ö ÑÓ Ó Ó ÔÖ Ò Ö ØÖ Ó m = 1 ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÓØ Ñ Þ Óº Ñ ÕÙ Ò Ó Ø ÑÓ g(x 1,x 2 ) = b Ù ¹ ÕÙ g x 1 + g x 2 = 0 ¾º¾ µ Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ú Ö Ò Ö Ð Ó Ù Ö ÓÑ Ð Ö Þ ÕÙ Ð ÖÑÓ x 1 ÓÑÓ Ú Ö Ú Ð Ò Ô Ò ÒØ ÓÙ Ú Ú Ö ÒØÓ x 2 Ô Ò ÒØ Ó ÔÓÒØÓ (x 1,x 2 ) ØÓ x 2 = g(x 1,x 2 ) g(x 1,x 2 ) x 1 ¾º¾ µ ÓÑÓ Ø ÑÓ ØÖ Ð Ò Ó ÓÑ ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓØ Ñ Þ Ó Ñ ÕÙ ¹ ÕÙ Ö Ö ØÖ ÒØÓ ( x 1, x 2 ) Ó Ò Ô Ò ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ó ÔÐ ÒÓ (x 1,x 2 )º Æ Ø Ó Ù ÕÙ Ö Ú Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Þ ÖÓ ÓÙ i x i = 0º Ø ÓÖÑ ÒØÖÓ ÙÞ Ò Ó Ø Ö ÙÐØ Ò Ù Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ø ¹ ÑÓ d 2 F dh = 2 F ( x 2 1 ) F x 1 x F ( x 1 2 ) ¾º¾ µ Ù Ð Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø Ò ÓÑÓ Q(x 1,x 2,...,x n ) = j i a ijx i x j º ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÔÓ Ö Ø Ö

17 ¾º¾º ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ½ Ò ÔÓ Ø Ú Ñ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ñ Ò Ò ¹ Ø Ú Ò Ò º ÍÑ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÑÔÖ Þ ÖÓ Ô Ö x = 0º ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø Ø Ñ Ñ ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð [ ] x 1 x 2 2 F 1 2 F 2 F 2 F 2 1,x 2 ) [ x1 x 2 ] 0 ÇÙ ÓÖÑ ÒØ Ø Q( x) = x T M x ÓÒ x = [ x 1, x 2 ] ¾º¾ µ M = 2 F 1 2 F 2 F 2 F 2 1,x 2 ) Ø ÒÓ ¾ ÒØÖ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø Ô ÐÓ ÕÙ ÓÒØ ÕÙ Ò Ó x 0º Ó ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÔÓÖ Ñ Ó Ñ ØÖ Þ ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ø ÒØÓ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø Q( x) ÕÙ ÒØÓ Ñ ØÖ Þ M ÓÑÓ Ò Ó Ò ÔÓ Ø Ú x T M x > 0 x 0 R n Ñ Ò ÔÓ Ø Ú x T M x 0 x 0 R n Ò Ò Ø Ú x T M x < 0 x 0 R n Ñ Ò Ò Ø Ú x T M x 0 x 0 R n Ò Ò x T M x > 0 Ô Ö Ð ÙÒ x R n Ø Ñ Ñ Ò Ò x T M x < 0 Ô Ö Ð ÙÒ x R n ¾ Ë ÑÓÒ ÐÙÑ Ð ½ Ôº µ Ò

18 ½ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ ÒÓÒØÖ Ö Ó Ö Ø Ö Ó ÙÒ Ó Ó ÕÙ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÓÙ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ð Ñ ÓÑÓ Ø ÙÑ Ú Þ ÕÙ ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø ÓÒ Ø ØÙ Ñ ÓÒ ÙÒ ÓÖ Ñ ÓØ Ñ Þ Ó ÙÒ ÓÙ ÙÒ ÓÒ º Ç Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò Ô Ö Ð Ú ÒØ Ô Ö Ó Ó ÔÓÖ Ò¹Ñº ÆÓ Ó Ò ¾ Ñ ¼ ÔÓÖØ ÒØÓ Ó Ò Ö Ó Ó Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò Ô º Ñ Ü Ñ Þ Ó»Ñ Ò Ñ Þ Ó ÓÑ Ö ØÖ Ó Î ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÓÖ ØÙ Ó Ô Ö Ò ¾ Ñ ½º Ñ Ø ÖÑÓ ÓÖÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ { maxx1,x 2 F(x 1,x 2 ) º g 1 (x 1,x 2 ) = b 1 ØÖ Ø Ô Ö ÓÐÙÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ñ ÕÙ Ø ÑÓ Ù Ò Ó Ö ÙÞ Ö Ó ÓÒ Ó Ó ÓÒ Óº ÈÓÖØ ÒØÓ Ú ÑÓ Ö ÙÞ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ö ØÖ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ØÖ Ó ÔÐ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ø ÐØ ÑÓº Ö ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ö ØÖ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ØÖ Ó ÓÑ ÓÑ ÑÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ { maxx1,x 2 F(x 1,x 2 )+0 º 0 = b 1 g 1 (x 1,x 2 ) Ç ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö Ð ÔÓ Ö Ö ØÓ ÓÑ ÒØÖÓ ÙÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ λº Ô ÖÑ ØÖÓ ÒÓÑ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÖ Ä Ö Ò º { maxx1,x 2 F(x 1,x 2 )+0 º 0 = λ.0 = λ(b 1 g 1 (x 1,x 2 ) Ø ÓÖÑ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÒÚ ¹ Ò ÒØ Ô Ö Ó ¼º Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÒÚ Ò ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ Ö ØÖ Óº ÈÓÖØ ÒØÓ Ö Ö Ú ÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑÓ

19 ¾º¾º ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ½ { max x1,x 2 F(x 1,x 2 )+ λ(b 1 g 1 (x 1,x 2 )) Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ú Ö ÙÒÓ Ó Ø ÚÓ ÕÙ Ø ÑÓ Ñ Ü ¹ Ñ Þ Ò Ó ÓÑÓ ÙÑ ÒÓÚ ÙÒÓ ÒÓÑ Ò Ä Ö Ò ÒÓº { L(x 1,x 2,λ) = F(x 1,x 2 )+ λ(b 1 g 1 (x 1,x 2 )) Ò ÐÑ ÒØ Ø ÑÓ Ö ÙÞ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ØÖ Ó ÕÙ Ø Ñ ÓÖÑ max x1,x 2,λL(x 1,x 2,λ) ÔÐ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ó Ø ÑÓ 1,x 2,λ) = 0 1,x 2,λ) = 0 λ (x 1,x 2,λ) = 0 ØÖ ÕÙ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ºÈºÇµº Ò¹ ÚÓÐÚ Ò Ó ÕÙ Ó Ø ÑÓ x 1,x 2,λ ) = 0 F 1 x 1,x 2,λ ) = λ g 1 1 x 1,x 2,λ ) 1 x 1,x 2,λ ) = 0 F 2 x 1,x 2,λ ) = λ g 1 2 x 1,x 2,λ ) 2 λ (x 1,x 2,λ) = 0 b 1 = g 1 1,x 2,λ ) Ø ÓÖÑ ÓÑÓ Ö ÒÓÒØÖ ÑÓ Ö ØÖ Ó Ò ÓÖÑ ÙÑ ÓÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ Ø ÑÓ ØÖ ÕÙ Ú Ö Ú (x 1,x 2,λ) Ñ Ü Ñ Þ ¹ Ó ÙÒÓ Ä Ö Ò Ò Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ Ñ Ü Ñ Þ Ó ÙÒÓ Ó Ø ÚÓ ÓÖ Ò Ðº ÓÒ Ó ÙÒ ÓÖ Ñ Ó Ø Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó ÔÐ Ò Ó Ó À ¹ ÒÓ Ñ ÓÖ Ô Ö ØÖ Ú Ö Ú º

20 ½ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å M = 2 L λ 2 2 L λ 2 L λ 2 L λ 2 L 1 2 F 2 L λ 2 L 2 F 2 1,x 2,λ ) Ç À ÒÓ Ô Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ö ØÖ Ó ÒÓÑ Ò Ó À ÒÓ ÓÖ¹ Ð Ó ÒÓ Ó Ñ Ü Ñ Þ Ó ÓÑÓ ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ú Ö Ñ Ò Ó Ò Ø ÚÓ ÒÕÙ ÒØÓ ÓÑÓ ÓÒ Ó Ù ÒØ Ú Ö Ò Ó Ò Ø ÚÓº È Ð Ó ÖÚ Ó ÓÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ÔÓ ÑÓ Ö ÓÖÑ Ñ Ò Ø Ú Ó ÒÓ ÓÖÐ Óº ÓÒ Ò Ö Ñ ÓÑÓ ÓÒ Ù ÒØ Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó À ÒÓ ÓÖÐ Ó ÔÓÖØ ÒØÓ Ñ Ø ÖÑÓ Ù Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò Ô º Ç Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò Ô Ö ÜØÖ Ó Ó À ÒÓ ÓÖÐ Ó Ö Ð Ú ÒØ Ô Ö Ó Ô Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Ö Ú Ö ØÖ º Ø Ò Ñ ÖÓ Ó ÔÓÖ Ò¹Ñº ÆÓ Ó ÓÑÓ Ò ¾ Ñ ½º Ë ÔÖ ÑÓ ÙÑ Ñ ÒÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº M = 0 g 1 g 1 2 L 2 L 1 2 L 2 L 2 g 1 g 1 1,x 2,λ ) ¾º ÈÖÓ Ö Ñ Ó ÒÓ Ð Ç ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÒÓ Ð Ó ÔÓÖ

21 ¾º º ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄýËËÁ ½ { maxx1 F(x 1 ) º x 1 0 Ë Ù Ò Ó Ñ Ñ Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ñ Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô Ö Ó Ó Ñ Ö ØÖ Ó Ø ÑÓ ÔÖ ÙÔÓ Ó ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ Ñ x 1 ÑÔÐ Ô Ð Ù Ò Ó ÕÙ F 1) F(x 1 ) ¾º¾ µ Þ Ò Ó ÜÔ Ò Ó Ñ Ì ÝÐÓÖ Ñ ØÓÖÒÓ x 1 F(x 1 ) = F 1 + x 1 ) = F 1)+ df(x 1 dx 1) x d 2 F 1 2 dx 2 1 +θ x 1 )( x 1 ) 2 1 ¾º¾ µ ËÙ Ø ØÙ Ò Ó ÐØ Ñ ÕÙ Ó Ò ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ F 1) F(x 1 ) = F 1+ x 1 ) = F 1)+ df(x 1 dx 1) x d 2 F 1 2 dx 1+θ x 2 1 )( x 1 ) 2 1 ¾º¾ µ Ñ º Þ Ò Ó Ó Ò Ð Ò Ó F 1) Ñ Ó Ó Ð Ó ÕÙ Ó Ó Ø ÑÓ df(x 1 dx 1) x d 2 F 1 2 dx θ x 1 )( x 1 ) 2 0 ¾º ¼µ Ù Ð ÒÓÑ Ò ËÁ Í Ä ÍÆ Å ÆÌ Äº ÓÒØÙ Ó Ò Ø Ó Ø ÑÓ ÖÓÒØ Ö ÜÔÖ Ô Ð ÓÒ Ó x 1 0º Ø ÓÖÑ Ø ÑÓ ÕÙ Ú Ð Ö Ù ÓÒ ÑÔÐ Ø Ò ÓÒ Ó ÓÒ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ö ÔÓ Ð ÓÙ ÕÙ x 1 0º Æ Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ x 1 ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø ÓÖÑ Ú Þ Ò Ò Ñ Ó Ó Ð Ó Ó ÔÓÒØÓ ÓÙ x 1 > 0 ÓÙ x 1 < 0º Ç Ø ÑÓ Ñ Ñ ÓÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ÕÙ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÙ

22 ½ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å Î ÑÓ ÙÔÓÖ ÓÖ ÕÙ x 1 = 0º Å ÑÓ ÕÙ x 1 ÒÓ ÔÓ Ö Ò Ø ÚÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ Ú Þ Ò ÕÙ Ö x 1 = 0º Ë Ù ¹ ÔÓÖØ ÒØÓ ÕÙ Ø ÑÓ x 1 > 0 df(x 1 ) dx 1)+ 1 d 2 F 1 2 dx 2 1 +θ x 1 )( x 1 ) 0 ¾º ½µ 1 ÓÑÓ x 1 ØÓ Ô ÕÙ Ò ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö Þ ÑÓ lim x1 0 ÔÐ Ò Ó Ò ÕÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ df(x 1 dx 1 1) 0 ¾º ¾µ ÆÓ Ú Ò Ó ÔÓ Ð x 1 < 0 Ù ¹ ÕÙ ÓÒ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ ÓÒ Ô Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ó Ñ ÕÙ x 1 ÔÓ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÖÓÒØ Ö ÓÑ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ñ ÕÙ x 1 ÔÓ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ Ñ ÓÒ Ó ÃÙ Ò¹ÌÙ Öº F 1) 0 x 1. F 1) = 0 x 1 0 Ñ Ü Ñ Þ Ó»ÑÒ Ò Þ Ó ÙÒÓ Ù Ú Ö Ú { maxx1,x 2 F(x 1,x 2 ) º x 1 0 x 2 0 Þ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ó Ù Ú Ö Ú Ñ Ð Ú Ò Ó Ñ ÓÒØ ÕÙ ÙÑ Ú Ö Ú ÔÓ Ñ Ö ÓÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÙ Ø Ö Ò ÖÓÒØ Ö ÑÓ Ù ÒØ ÓÒ Ã ÙÒ¹ ÌÙ Öº

23 ¾º º ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄýËËÁ ½ F 1,x 2) 0 x 1. F 1,x 2) = 0 x 1 0 F 1,x 2) 0 x 2. F 1,x 2) = 0 x 2 0 ¾º º½ Ñ Ü Ñ Þ Ó»Ñ Ò Ñ Þ Ó Ù Ú Ö Ú ÓÑ Ö ØÖ Ó Ù Ð max x1,x 2 F(x 1,x 2 ) º g 1 (x 1,x 2 ) = b x 1 0 x 2 0 Ë Ù Ò Ó Ó ÔÖÓØÓÓÐÓ ÓÙØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÑÓ Ö ÙÞ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÑÔÐ º ÓÑ Ó Ö ÙÖ Ó Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÖ Ä Ö Ò ÓÒ ØÖÙ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø ÖÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÑÔÐ { maxx1,x 2,λ[F(x 1,x 2 )+λ(b g 1 (x 1,x 2 ) x 1 0 x 2 0 { maxx1,x 2,λL(x 1,x 2,λ) ÇÒ x 1 0 x 2 0 L(x 1,x 2,λ) = F(x 1,x 2 )+λ(b g 1 (x 1,x 2 ) ¾º µ ÔÐ Ò Ó ÓÒ ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ø ÑÓ

24 ¾¼ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å 1,x 2,λ ) 0 x 1. 1,x 2,λ) = 0 x 1 0 1,x 2,λ ) 0 x 2. 1,x 2,λ ) = 0 x 2 0 L λ = (b g 1(x 1,x 2 )) = 0 ¾º º¾ Ñ Ü Ñ Þ Ó¹Ñ Ò Ñ Þ Ó ÓÑ Ù Ð ÓÑÓ Ö ØÖ Ó max x1,x 2 F(x 1,x 2 ) º g 1 (x 1,x 2 ) b x 1 0, x 2 0 Ç Ø ÚÓ Ò Ðº ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ù Ð ÓÑÓ Ö ØÖ Ó ÒÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ù Ð ÓÑÓ Ö ØÖ Ó ÒØÓ ÒÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ù Ð ÒÓÒØÖ Ò Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÑÔÐ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ù Ð ÓÑÓ Ö ØÖ Ó ÒÙ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ÓÑ Ù Ð ÓÑÓ Ö ØÖ Ó ÔÓÖ Ñ Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð ÙÜ Ð Ö ÕÙ ÓÑ ÑÓ Ù Ð ÓÑ ÑÔÓ Ó ÕÙ Ð s 0 Ô Ö Ö ÒØ Ö Ù Ð º

25 ¾º º ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄýËËÁ ¾½ max x1,x 2 F(x 1,x 2 ) º g 1 (x 1,x 2 )+s = b x 1 0, x 2 0, s 0 Æ ÕÙ Ò ÓÑ Ù Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÖ Ä Ö Ò Ð Ñ Ò ÑÓ Ö ¹ ØÖ Ó Ó Ø Ò Óº { maxx1,x 2,λ[F(x 1,x 2 )+λ(b g 1 (x 1,x 2 ) s) x 1 0, x 2 0, s 0 { maxx1,x 2,s,λL(x 1,x 2,s,λ) x 1 0 x 2 0, s ÇÒ L(x 1,x 2,s,λ) = F(x 1,x 2 )+λ(b g 1 (x 1,x 2 ) s) ¾º µ ÔÐ Ò Ó ÓÒ ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ó Ø ÑÓ

26 ¾¾ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å 1,x 2,λ ) 0 x 1. 1,x 2,λ) = 0 x 1 0 1,x 2,λ ) 0 x 2. 1,x 2,λ ) = 0 x 2 0 s 0 s. L s = 0 s 0 λ = 0 È Ö Ð Ñ Ò Ö Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ º Î Ö ÑÓ ÕÙ ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÑÓ s = λ s 0 λ 0 s = g(x 1,x 2 ) b s 0 λ = b g 1(x 1,x 2 ) s = ¾º µ ¾º µ ¾º µ

27 ¾º º ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄýËËÁ ¾ Ç Ø ÑÓ ÕÙ λ = b g(x 1,x 2 ) 0 ¾º µ ÈÓÖØ ÒØÓ Ò ÐÑ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ÑÓ ÓÒ ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ñ Ú Ö¹ Ú Ð ÙÜ Ð Ö º 1,x 2,λ ) 0 x 1. 1,x 2,λ) = 0 x 1 0 1,x 2,λ ) 0 x 2. 1,x 2,λ ) = 0 x 2 0 λ 0 λ. L λ = 0 λ 0 Ç ÖÚ Ò Ó ÓÒ Ñ Ø ÑÓ ÕÙ ÙÒÓ L(x 1,x 2,λ) ÒÓ ÔÓÒØÓ 1,x,λ ) ÙÑ ÙÒÓ ÓÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ð Ò Ø ÔÓÒØÓ ÓÙ L(x 1,x 2,λ ) L 1,x 2,λ ) L 1,x 2,λ) ¾º µ

28 ¾ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å ¾º º Ü ÑÔÐÓ max x1,x 2 64x 1 2x x 2 x º 4x 1 +2x 2 60 x 1 0 x 2 0 ÌÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ó ÔÖÓ Ñ Ñ Ö ØÖ Ó max x1,x 2 64x 1 2x x 2 x λ[60 4x 1 2x 2 ] º x 1 0 x 2 0 Ë ÑÓ ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ô Ö Ö ÓλÓÑÓ ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ó Ó Ø Ñ Ñ Ñ Ò Ñ Þ Ò Ó ÒÕÙ ÒØÓ Ù ÓÙØÖ Ó Ú Ö Ú Ñ Ü Ñ Þ Óº ÓÐÓ Ò Ó ÓÒ ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ø ÑÓ 1,x 2,λ ) 0 x 1. 1,x 2,λ) = 0 x 1 0 1,x 2,λ ) 0 x 2. 1,x 2,λ ) = 0 x 2 0 λ 0 λ. L λ = 0 λ 0

29 ¾º º ÈÊÇ Ê Å Ç ÆÇ ÄýËËÁ ¾ ½ Ø Ô ¹ Ë Ù Ò Ó ÔÖÓØÓÓÐÓ Ó Ø ÑÓ Ò ÔÖ Ñ Ö Ø Ô Ö Ú Ô Ö ÙÑ Ú Ö Ú = 64 4x 1 4λ ¾º ¼µ = 32 4x 2 2λ ¾º ½µ λ = 60 2x 1 2x 2 ¾º ¾µ Ë ÙÒ Ø Ô º ÔÐ ÕÙ ÓÒ À½ À¾ À Ò ÕÙ Ñ Ú Ö ÕÙ ÓÒ Ì½ ̾ Ì Ó Ø Ø º Æ Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ (x 1,x 2,λ) ÙÑ Ò ØÓº Ë ÓÙÚ Ö Ñ Ó ÕÙ ÙÑ Ò ØÓ Ó Ø Ø Ù Ø ØÙ Ö Ò ÙÒÓº Ì Ð ¾º½ Ø Ð Ø Ø Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø Ó À½ À¾ À ̽ ̾ Ì x 1 = 0 x 2 = 0 λ = 0 L x1 0 L x2 0 L λ 0 x 1 = 0 x 2 = 0 L λ = 0 L x1 0 L x2 0 λ 0 x 1 = 0 L x2 = 0 λ = 0 L x1 0 x 2 0 L λ 0 x 1 = 0 L x2 = 0 L λ = 0 L x1 0 x 2 0 λ 0 L x1 = 0 x 2 = 0 λ = 0 x 1 0 L x2 ¼ L λ 0 L x1 = 0 x 2 = 0 L λ = 0 x 1 0 L x2 0 λ 0 L x1 = 0 L x2 = 0 λ = 0 x 1 0 x 2 0 L λ 0 L x1 = 0 L x2 = 0 L λ = 0 x 1 0 x 2 0 λ 0

30 ¾ À ÈÌ Ê ¾º ÇÌÁÅÁ Ç ËÌýÌÁ ÈÊÇ Ê Å Ç ÄýËËÁ ÈÊÇ Ê Å ¾º Á ÄÁÇ Ê Á Ë ÑÓÒ ÖÐ ÐÙÑ Ä ÛÖ Ò º Å Ø Ñ Ø ÓÖ ÓÒÓÑ Ø º ½ ¹ Ò ÐÔ Ð Ñ ÒØ Ó ÝÒ Ñ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò ÐÔ º ÙÒ Ñ Ò¹ Ø Ð Å Ø Ó Ó Å Ø Ñ Ø Ð ÓÒÓÑÝ Ë Ð Ö Ö Ù Ò º Ì ØÖÙØÙÖ Ó ÓÒÓÑ Ö Ò ÓÒ Ï ÐÐ Ñ Å ÖÓ ÓÒÓÑ Ø ÓÖÝ Ò ÔÓРݺ Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÁÒØÖ Ð ØÓÖ Å Ð Å Ø Ñ Ø Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ò ÓÒÓÑ Ø ¹ ÓÖÝ Ò