f : N R u n (u+v) n = u n +v n (u v) n = u n v n. (uv) n = u n v n = (v n 0 n N). n f(n). n v n

Transcrição

1 ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÁÁ Ô Ö Ó ÙÖ Ó ÓÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö ÂÙÒ Ó ¾¼½

2 ÓÒØ Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÖÓÔÖ ÔÖ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ä Ñ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ü Ö Ó Ò Ó ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ë Ö ÆÙÑ Ö ¾ ¾º½ ËÓÑ Ø Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ë Ö ÒÙÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º ÈÖÓÔÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ü Ö Ó Ò Ó ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ Ö ÁÑÔÖ ÔÖ Ó ½ º½ ÆÓ ÔÖ Ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Î ÐÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖ Ò Ô Ó Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ Ö ÑÔÖ ÔÖ Ó ÙÒ ÒÓ¹Ò Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ Ö Ð ÑÔÖ ÔÖ Ó ÔÖ Ñ Ö Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ Ö Ð ÑÔÖ ÔÖ Ó ÙÒ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ ÓÙ ÓÒ ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙÒÓ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¼ Ü Ö Ó Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ö ÙÒ ¾ º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ë Ö ÔÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ë Ö Ì ÝÐÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

3 ÁÒØ Ö ÙÔÐÓ º½ ÁÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒØ Ö Ð Ö Ô Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÙ Ò Ú Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º Ü Ö Ó Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ ÁÒØ Ö ÌÖ ÔÐÓ ½¼ º½ ÁÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÁÒØ Ö Ð Ö Ô Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÅÙ Ò Ú Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º Ü Ö Ó Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ Ð Ó Ö ½½ É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

4 Ô ØÙÐÓ ½ ËÙ ÆÙÑ Ö Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒ Ö Ú Ö Ú Ð Ö Ð ÕÙ Ô Ð Ù ÑÔÓÖØÒ Ñ ØÓ Ö Å Ø Ñ Ø Ñ Ö Ö ØÙ Ó ÒÙÑ Ô ØÙÐÓ Ô ÖØ º ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ó ½º½º½ ËÙ Ó ÒÙÑ Ö µº ÍÑ Ù Ó ÒÙÑ Ö Ò Ò Ø Ø ÖÑÓ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ú Ö Ú Ð Ò ØÙÖ Ð ÓÑ Ú ÐÓÖ Ö º Í Ò Ó Ö Ø ØÙ Ð Ô Ö ÙÒ ÙÑ Ù Ó ÑÓ f Ö Ú ¹ ÓÖÑ Ù ÒØ f : N R f). ÈÓÖ ÑÔÐ Ö Ø Ö ÑÓ Ò Ö Ô Ò ÔÓÖ Ù Ó ÙÑ Ù Ó Ò Ò Ø Ø ÖÑÓ Ö º Ç ÓÒ ÙÒØÓ Ô ÖØ Ù Ó ÔÓ Ö Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò ØÙÖ N = {,,3,...} ÓÙ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÒØ ÖÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ N = {,,,3,...}º Ç Ú ÐÓÖ f) f) º º º f) º º º ÒÓÑ Ò Ñ¹ Ø ÖÑÓ Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÙÒ Ó Ø ÖÑÓ º º º Ò¹ ÑÓ Ø ÖÑÓ º º º º Ç ÓÒØÖ ¹ ÓÑ Ò Ó ÙÒÓ f ÒÓÑ Ò ¹ ÔÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ø ÖÑÓ Ù Óº À ØÙ ÐÑ ÒØ Ó Ø ÖÑÓ Ù Ó Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ Ð ØÖ Ò Ü ÒÓ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÔÓ ÑÓ ÒÓØ Ö Ó Ø ÖÑÓ Ù Ó Ñ ÔÓÖ u u º º º u º º º º Ñ ¹ Ø ÖÑÓ Ö Ð Ù Ó ÜÔÖ Ó Ò Ø Ö f) Ù Ò Ó Ñ Ñ ÒÓØ Ó Ò Ü ØÙ Ð ÒÓØ ¹ÐÓ ÔÓÖ u º Ø ÖÑÓ ÙÑ Ù Ó ÑÓ u Ø Ñ ÙÑ Ø ÖÑÓ Ù ÓÖ u + Ñ ÔÓ ÑÓ Þ Ö ÕÙ ÒÓ Ü Ø ÙÑ ÐØ ÑÓ Ø ÖÑÓ Ù Óº ÓÔ Ö Ð Ö ØÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ø Ò Ñ¹ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ù º ÓÑ Ö Ò Ù Ù u v Ò Ñ¹ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ u+v) = u +v u v) = u v. Ç ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙÓ ÒØ Ù Ù u v Ò ¹ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ u uv) = u v = v) u v N). v ½

5 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÅÓ Ó Ò Ö ÙÑ Ù Ó ÇÖ Ò Óº È Ö Ò Ö ÙÑ Ù Ó ØÙ Ð Ö Ú Ö ÓÖ Ò Ñ ÒØ ÙÑ ÕÙ Ò¹ Ø Ù ÒØ Ø ÖÑÓ Ù Ó ÑÓ Ó Ø ÖÑÓ ÙÑ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ù Óº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ó Ù Ó ØÖ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ó 3 5 Ö Ø Ó ÑÓ Ó Ù ÒØ, 3, 5,.... ÖÑÙÐ º ÓÖÑ Ñ ÓÑÙÑ Ô Ö Ò Ö ÙÑ Ù Ó ÓÒ Ø Ñ Ò Ö ÙÑ ÖÑÙÐ ÔÓÖ Ñ Ó ÕÙ Ð ÔÓ Ó Ø Ö Ô Ö Ò ØÙÖ Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ¹ ÑÓ Ø ÖÑÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÖÑÙÐ u =, N, Ô ÖÑ Ø ¹ÒÓ Ó Ø Ö Ù Ó Ù ÒØ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ò Ó ÖÑÙÐ,, 3,.... v =, N, Ò Ù Ó ÓÒ Ø ÒØ ÓÑ ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ù ½ ÕÙ ÓÖ Ò Ö Ú,,,...,,.... ÈÓÖ Ú Þ Ù ÓÙ Ñ ÖÑÙÐ ÔÓ Ñ Ö Ò Ô Ö Ò Ö Ù Óº Ü ÑÔÐÓ ÖÑÙÐ ÈÓÖ u =, u =, N, Ò Ñ Ù Ó Ù Ó Ó ØÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ò Ó Ó,, 4, 4, 9, 9,, 6, Á ØÓ Ù Ó Ù Ó ÕÙ ØÖÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÑÔ Ö µ Ó, 4, 9, 6,... Ó ÕÙ ØÖÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ Ô Ö µ Ó, 4, 9, 6,.... Ê ÓÖÖ Ò º ÇÙØÖÓ ÑÓ Ó Ò Ö ÙÑ Ù Ó ÓÒ Ø Ñ Ò Ö Ò ØÖÙ ÓÑÓ Ó Ø Ö Ó Ø ÖÑÓ Ù ÓÖ ÓÒ Ó ÙÑ ÓÙ Ñ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÖÑÙÐ u = u =, u + = u +u, N, É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

6 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ò Ñ Ù Ó ÓÒ ½ µ Ù Ó Ó ØÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ò Ó Ó,,, 3, 5, 8, 3,,.... ÍÑ Ù Ó Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ø ÔÖÓ Ó Þ¹ ÙÑ Ù Ó Ò ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ò º ÈÓÖ ÑÔÐ Ö Ø ÒÓØ ¹ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù Ó ÔÓÖ u ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ ÓÖÑ ÔÓÖ ÕÙ Ò º Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö ÙÑ Ù Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö ÙÑ Ù Ó ÒÙÑ Ø Ñ ÜÓ ÖØ ÒÓ Þ¹ Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó ÓÑÓ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÒÓº ÆÓ ÜÓ Ò ÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ ÒÓ ÓÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ñ Ò ÔÓÖ Ñ Ó Ù Ó Ø ÖÑÓ Ù Óµº Ç Ö Ó ÙÑ Ù Ó u Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÒØÓ Ö ØÓ {,u ) : N}. Ü ÑÔÐÓ ½º½º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº Þ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ù Ó u = ), N. ÈÖ Ò Ô Ó Ò ÙÓ Ñ Ø Ñ Ø Ç ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ ÙÓ Å Ø Ñ Ø ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó Ð ÓÖ Ó ÓÑ ÒÓ ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ ÙÓ Ò Ø Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÖØ ÔÖÓÔÖ Ó Ú Ö Ö Ô Ö ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ º È Ö ÙÑ Ø ÖÑ Ò ÖÑ Ó Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ô Ò ÙÑ Ò ØÙÖ Ð ÑÓ P) ÔÓ ÑÓ ÒÙÒ Ö Ø ÔÖ Ò Ô Ó Ó ÑÓ Ó Ù ÒØ º Ë ½º P) Ú Ö Ô Ö = ¾º P) Ò Ó Ú Ö Ô Ö = k ÑÔÐ Ö Ö Ø Ñ Ñ Ú Ö Ô Ö Ó Ù Ù ÓÖ = k + ÓÑ k > ÒØÓ ÖÑ Ó P) Ú Ð Ô Ö ØÓ Ó Ó Ò ØÙÖ Ð º Ç Ô Ó ½ Ñ ÕÙ Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ô Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ò ¹ ÔÓÖ Ò ÙÓº Ç Ô Ó ¾ Ò ¹ ÔÓÖ Ô Ó Ò ÙÓ Ñ ÕÙ Ø Ð ÕÙ Ó ÔÖÓÔÖ Ú Ö ÕÙ Ô Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð k Ô Ø Ò ÙÓµ ÒØÓ Ð Ø Ñ Ñ Ú Ö Ô Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð Ù ÒØ k+º Ú Ð P) Ô Ö ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ô Ò Ò ÐÑ ÒØ ÔÓ Ð Ñ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ Ó ÖÚ Ó ÔÖÓÔÖ ÒÙÑ Ò ØÙÖ Ð ÑÔÐ Ú Ö Ó Ñ Ñ ÔÖÓÔÖ Ô Ö Ó Ò ØÙÖ Ð Ù ÒØ + Ô Ó Ò ÙÓµº Ë Ó Ù Ö ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö Ú Ö P) Ô Ö ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ó Ò Ñ ÖÓ µ Ú Ö ÕÙ º Æ Ö Ð ½ Ä ÓÒ Ö Ó ÓÒ ½½ ¼¹½¾ ¼µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ð ÒÓ Ò ØÙÖ Ð È º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

7 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ú Ð ÔÖÓÔÖ Ô Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð Ò ÙÓµ ÑÔÐ Ù Ú Ð Ô Ö Ó ÙÒ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ µ Ø Ô Ö Ó Ø Ö ÖÓ Ó Ò Ñ ÖÓ 3µ Ñ Ù Ú Ñ ÒØ Ó Ö Ò Ó¹ Ø ÑÓ Ó ØÓØ Ð Ó Ò ØÙÖ ÓÑÓ Ô ÙÑ ÓÑ Ò Ñ Ð Ò Ñ ÕÙ ÕÙ Ù Ú Ô Ó ÔÖÓÚÓ ÙÑ Ô ÖØ Ö ÓÙØÖ Ô ÕÙ ÔÖ Ñ Ö Ô º ÈÓÖ Ú Þ ÖØ ÖÑ P) Ó Ú Ö Ô ÖØ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð > º Æ Ø Ó Ø ÑÓ Ù Ø ØÙ Ö ÒÓ Ô Ó ½ P) Ú Ö Ô Ö º ÙÑ ÑÓ Ó Ù ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÒÙÒ Ö Ó ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ ÙÓ Å Ø Ñ Ø Ò ÓÖÑ Ù ÒØ º Ò Ó ½º½º¾ ÈÖ Ò Ô Ó Ò ÙÓ Ñ Ø Ñ Ø µº Ë ½º P ) Ú Ö ¾º P) P+) > ÒØÓ P) Ú Ö Ö Ô Ö ØÓ Ó Ò ØÙÖ Ð º Ü ÑÔÐÓ ½º½º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ó ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ ÙÓ Å Ø Ñ Ø ÑÓ ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó Ó Ò ØÙÖ Ð Ù Ð Ù ÒØ Ú Ö =. Ü ÑÔÐÓ Ò Ó ½º½º ÈÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø µº ÍÑ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø ÙÑ Ù Ó Ù ÖÑÙÐ Ô Ö Ó Ù Ø ÖÑÓ Ö Ð u = u + )r, N, ÓÒ r ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÞÓº Ø Ø ÔÓ Ù Ö Ø Ö Þ ¹ ÔÓÖ Ö Ò ÕÙ ÕÙ Ö Ó Ó Ù Ø ÖÑÓ Ù ÚÓ Ö ÓÒ Ø ÒØ u + u = r N r = costte ). Ø ÑÓ Ó ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ø Ð Ù Ó ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ò { u = u + = u +r; Ò Ó r Ö ÓÒ Ó º ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º½º ÓÑ S Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø u ÔÓÖ S = u +u. É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

8 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø º ÒØÓ Ü Ø Ñ, r R ÓÑ r Ø ÕÙ u =, u = +r, u 3 = +r,..., u = + )r,.... ÓÑ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÓÖ S = ++r)++r)+ +[+ )r]. ½º½º½µ ÁÒÚ ÖØ Ò Ó ÓÖ Ñ Ø ÓÑ Ø ÑÓ S = [+ )r]+ ++r)++r)+. ½º½º¾µ ËÓÑ Ò Ó ½º½º½µ ½º½º¾µ Ø ÖÑÓ Ø ÖÑÓ Ó Ø ÑÓ S = [+ )r]+ +[+ )r]+[+ )r]+ +[+ )r] = [+ )r] = {+[+ )r]} S = u +u, Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Ü ÑÔÐÓ ½º½º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÐÙÐ ÓÑ S Ó ½¼¼ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø u = ÓÑ Nº Ò Ó ½º½º ÈÖÓ Ö Ó ÓÑ ØÖ µº ÍÑ ÔÖÓ Ö Ó ÓÑ ØÖ ÙÑ Ù Ó Ù ÖÑÙÐ Ô Ö Ó Ù Ø ÖÑÓ Ö Ð u = u r, N, ÓÒ r ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÞÓº Ø Ù Ó Ö Ø Ö Þ ¹ ÔÓÖ Ó ÕÙÓ ÒØ ÒØÖ ÕÙ ÕÙ Ö Ó Ó Ù Ø ÖÑÓ Ù ÚÓ Ö ÓÒ Ø ÒØ u + u = r N r = costte ). ÈÓ ÑÓ Ñ Ò Ö Ø Ð Ù Ó Ø Ñ Ñ ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ò { u = u + = u r; Ò Ó r Ö ÓÒ Ó º ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º¾º ÓÑ S Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó ÓÑ ØÖ u Ö ÞÓ r ÔÓÖ S = u r r. É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

9 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó ÓÑ ØÖ º ÒØÓ Ü Ø Ñ, r R ÓÑ r Ø ÕÙ u =, u = r, u 3 = r,..., u = r,.... ÓÑ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÓÖ S = +r +r + +r. ½º½º µ ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ½º½º µ ÔÓÖ r) Ó Ø ÑÓ r)s = +r +r + +r r +r +r 3 + +r ) = r = u r ) S = u r r, Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Ü ÑÔÐÓ ½º½º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÐÙÐ ÓÑ Ó ½¼¼ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÖÓ Ö Ó ÓÑ ØÖ ) u =, N. ½º¾ ÈÖÓÔÖ ÔÖ Ò Ô ËÙ Ó Ð Ñ Ø ÍÑ Ù Ó Þ¹ Ñ ÓÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ù Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÓÖ Ó ØÓ Ü Ø Ö ÙÑ Ö Ð Ñ ÓÖ ÓÙ Ù Ð Ó ÕÙ ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ù Óº ÇÙ u ÙÑ Ù Ó Ñ ÓÖ L R : u L N. ÍÑ Ù Ó Þ¹ Ñ ÒÓÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ù Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÒÓÖ Ó ØÓ Ü Ø Ö ÙÑ Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð Ó ÕÙ ØÓ Ó Ó Ø ÖÑÓ Ù Óº ÇÙ u ÙÑ Ù Ó Ñ ÒÓÖ l R : u l N. ÍÑ Ù Ó Þ¹ Ð Ñ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖ º Ò Ó ½º¾º½ ËÙ Ó Ð Ñ Ø µº ÍÑ Ù Ó u Ð Ñ Ø L, l R : l u L N. ½º¾º µ Ü ÑÔÐÓ ½º¾º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº Î Ö ÕÙ Ù ÒØ Ù Ó Ð Ñ Ø u =, N, v =, N. ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾º½º ÍÑ Ù Ó u Ð Ñ Ø C R + : u C N. ½º¾º µ É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

10 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u Ð Ñ Ø º Ë Ò ÓC = mx{ l, L } ÓÒÐÙ ÑÓ ÐÑ ÒØ ÕÙ ½º¾º µ ÑÔÐ ½º¾º µº Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ½º¾º µ Ú Ö ÒØÓ C u C N. Ñ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö l = C L = C Ô Ö Ó Ø Ö ½º¾º µº ÅÓÒÓØÓÒ ÍÑ Ù Ó Þ¹ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó Ù Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð Ó ÕÙ Ó Ù Ù ÓÖº Þ¹ ÕÙ ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó Ù Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÓÖ ÓÙ Ù Ð Ó ÕÙ Ó Ù Ù ÓÖº ÍÑ Ù Ó Þ¹ Ô Ò ÑÓÒ ØÓÒ ÓÖ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ ÓÙ Ö ÒØ º Ò Ó ½º¾º¾º ÍÑ Ù Ó u Þ¹ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ u u + N. Ù Ó u Þ¹ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ ÆÓ Ó Ø ÖÑÓ u u + N. u < u + N, Þ ÑÓ ÕÙ u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º Ë u > u + N, Þ¹ ÕÙ u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º ÉÙ Ò Ó ÓÙÚ Ö Ò ¹ Þ Ö Ø ÒÓ Ö ÑÓ Ö Ö Ö¹ÒÓ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÑÓ Ò Ó Ñ ÒØ Ó Ð ØÓº Ù ÕÙ ÒÓ Ó ÑÓÒ ØÓÒ ÔÓ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÙ Ó Ð ÒØ º ÓÒÚ Ñ Ö Ö Ö ÕÙ ÔÓÖ Ú Þ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÙ ÒÓ ÙÑ Ù Ó ÓÖØ Ò Ô ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑÓ º Æ Ø Ó Ö ÑÓ ÕÙ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ô ÖØ Ö Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð ÑÓ pµ Ñ ÕÙ Ú Ö ÓÒ Ó Ò Óº Ñ Ø ÖÑÓ ÔÖ Ø Ó Ô Ö ØÙ Ö ÑÓÒÓØÓÒ ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ö Ò u + u ÓÑÔ Ö ÑӹРÓÑ º Ë ÓÖ Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º Ü Ø Ñ Ó Ñ ÕÙ ØÓÖÒ Ñ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÕÙÓ ÒØ u + u ÓÑÔ Ö ¹ÐÓ ÓÑ º Ç Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÕÙÓ ÒØ ÔÓ Ú Ð u Ô Ö ØÓ Ó Nº Æ Ó Ù Ó Ö ÒØ ÓÖ Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ö ÒØ ÓÖ Ñ ÒÓÖº Ø ÓÖÑ Ø ÖÑ Ò Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ò Ô Ö ÔÖÓ Ö ÓÑ ØÖ ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ ÒØ Ö ÓÖ Ñ ÔÖÓÔÖ Ô Ö ÔÖÓ Ö Ö ØÑ Ø º Ü ÑÔÐÓ ½º¾º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº ØÙ Ù ÒØ Ù ÕÙ ÒØÓ ÑÓÒÓØÓÒ u =, N, v =, N. É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

11 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ËÙ Ù Ó ÍÑ Ù Ù Ó ÙÑ Ù Ó Ù Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ù Ø ÖÑÓ ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ø ÖÑÓ Ù Óº È Ö Ò Ó Ù Ù Ó Ò Ø ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö Ó ÓÒ ØÓ ÓÑÔÓ Ó Ù ÕÙ ÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑÔÓ Ó ÙÒ º Ë Ñ u v Ù Ù ÐØ Ñ ÕÙ Ø ÖÑÓ Ò ØÙÖ º Ò ¹ ÓÑÔÓ Ó Ù u v ÓÑÓ Ò Ó Ù Ó u v) ÕÙ Ø Ñ ÔÓÖ Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ k Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ v k Ö Ô Ö ÕÙ v ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ Ò ØÙÖ µ Ù Ó u º ÇÙ u v) k = u vk. Ò Ó ½º¾º ËÙ Ù Óµº Ë Ñ u ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ Ö k ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ Ò ØÙÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ º Ù Ó ÓÑÔÓ Ø u k) Ò ¹ ÔÓÖ Ù Ù Ó Ù Ó u Ó Ù Ø ÖÑÓ Ö Ð ÒÓØ Ó ÔÓÖ u k º ÙÑ Ù Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö u Ø ÖÑÓ Ö ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÑÔÖ Ù ÒØ Ù Ù º Þ Ò Ó k = Ô Ö ØÓ Ó N Ó Ø ÑÓ Ù Ó v Ø ÖÑÓ Ö Ð v = u. Á ØÓ ØÓ Ù Ó Ù Ù Ó ÔÖ ÔÖ º Þ Ò Ó k = Ô Ö ØÓ Ó N Ó Ø ÑÓ Ù Ó v Ø ÖÑÓ Ö Ð v = u ÈÓÖØ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ù Ù Ó Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ Ô Öº Þ Ò Ó k = Ô Ö ØÓ Ó N Ó Ø ÑÓ Ù Ù Ó v Ø ÖÑÓ Ö Ð v = u. ÇÙ ÔÓ ÑÓ Ø Ñ Ñ ÑÔÖ ÓÒ Ö Ö Ù Ù Ó Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ ÑÔ Öº Ü ÑÔÐÓ ½º¾º ÍÄ Ì ÊÁ µº Ø ÖÑ Ò Ù Ù Ù Ù ÒØ Ù Ó,, 3, 4, 5,.... ½º ÓÒÚ Ö Ò ËÙ Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ù Ó u Ø ÖÑÓ Ö Ø Ò Ô Ö Ø ÖÑ Ò ÕÙ ÒØ A Ò Ø ÓÙ ÒÓ Ô ÖØ Ö Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ñ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ðµ Ó Ø ÖÑÓ Ù Ó ÚÓ Ø Ö ØÓ ÔÖ Ü ÑÓ A ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö º ÓÒÚ Ñ Ö ÐÚ Ö ÕÙ Ó Ó Ñ ÕÙ A Ò Ò ØÓ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ò ØÓ Ö ÑÔÖ ÙÑ Ù Ó Ð Ò Ù Ñº Ö Ú Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö u A. ÆÓ Ó A Ö Ò ØÓ ØÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Þ ÑÓ ÕÙ Ù Ó u ÓÒÚ Ö º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

12 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ò Ó ½º º½ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ µº ÍÑ Ù Ó u ÓÒÚ Ö Ô Ö R ε > p = pε) N : N > p ) u < ε. ½º º µ Ç Ö Ð Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ Ñ ¹ Ð Ñ Ø Ù Ó ØÙ ÐÑ ÒØ Ö Ú ÑÓ u =. + Ò Ó Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ Ö ØÖ ÙÞ Ó ÑÓ Ó Ù ÒØ Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ > pµ Ó Ø ÖÑÓ Ù Ó ÚÓ Ø Ö ØÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ó Ð Ñ Ø u < εµ ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö εµº È Ö Ô Ö ÖÑÓ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ ØÓ ÓÒ Ö ÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ù ÒØ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÖÖ ÓÒ Ð u = u =.4 u =.4 u 3 =.44 u 4 =.44 u 5 =.44 u 6 =.443 u 7 =.4435 u 8 = u 9 = ÓÐ ÑÓ ÓÖ ε = 4 Ú ÑÓ Ô Ö Ø ε Ô ÖØ Ö ÕÙ ÓÖ Ñ p Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö º Ê ÓÐÚ Ò Ó u < 4 u > Ø ÑÓ Ó Ô Ö Ó Ú ÐÓÖ ε = 4 Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö ¹ Ô ÖØ Ö ÓÖ Ñ p = 4 4µº Ô Ö Ö ÙÑ Ò Ø ÚÓ ØÓ ÒÓ ÔÖÓÚ Ò º Ç ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ô Ö ε > ÕÙ ÓÐ ÓÒ ÑÓ ÑÔÖ ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÓÖ Ñ p Ô ÖØ Ö ÕÙ Ð Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö º Ü ÑÔÐÓ ½º º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ò Ó ÑÓ ØÖ ÕÙ + =. Ù ÕÙ ÒÓ Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Þ Ñ¹ Ú Ö ÒØ º Ó Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ ÑÔÓÖ¹ Ø ÒØ Ù Ú Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð ÕÙ Ø Ò Ñ Ô Ö + ÓÙ º ÍÑ Ù Ó Ø Ò Ô Ö + Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ Ó Ù Ø ÖÑÓ Ó ØÓ Ö Ò ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö º ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÙÑ Ù Ó Ø Ò Ô Ö Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ Ó Ù Ø ÖÑÓ Ó ØÓ Ô ÕÙ ÒÓ ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö º Ò Ó ½º º¾º ÍÑ Ù Ó u Ø Ò Ô Ö + ε > p = pε) N : N > p ) u > ε. ½º º µ É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

13 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÍÑ Ù Ó u Ø Ò Ô Ö ε > p = pε) N : N > p ) u < ε. ½º º µ ÈÓÖ ÜØ Ò Ó ÒÓÓ Ð Ñ Ø + ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ø Ñ Ñ u = + + u =, + ÒÓ Ó Ù Ó u Ø Ò Ö Ô Ö + ÓÙ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ½º º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ò Ó ÑÓ ØÖ ÕÙ +) = =. ÍÑ Ù Ó u Ò ¹ ÔÓÖ ÙÑ Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ö Ò ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ò Ö Ô Ö + u +. Þ¹ ÕÙ ÙÑ Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ø ÚÓ Ø Ò Ö Ô Ö u. Ñ ¹ Ò Ò Ø ÑÓ ÓÙ Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÙÑ Ù Ó u ÕÙ Ø Ò Ô Ö u. Ç Ð Ñ Ø ÙÑ Ù Ù Ó ÙÑ Ù Ó Ò Ó ÔÓÖ Ù Ð Ñ Ø Ù Óº Ò Ó ½º º º Ç Ñ ÓÖ Ó Ù Ð Ñ Ø ÙÑ Ù Ó u ÒÓÑ Ò ¹ Ð Ñ Ø ÙÔ Ö ÓÖ Ò ÑÓ¹ÐÓ ÔÓÖ supu = sup{ : Ù Ð Ñ Ø u }. + Ç Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð Ñ Ø ÙÑ Ù Ó u ÒÓÑ Ò ¹ Ð Ñ Ø Ò Ö ÓÖ Ò ÑÓ¹ÐÓ ÔÓÖ if u = if{ : Ù Ð Ñ Ø u }. + Ê ÙÐØ Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù Ó u ÒÓ Ó Ü Ø Ö Ñ Ù Ð Ñ Ø if u supu. + + Ì Ð ÓÑÓ Ô Ö Ó Ð Ñ Ø ÙÑ Ù Ó ÔÓ ÑÓ Ø Ñ Ñ Ø Ò Ö ÒÓ Ð Ñ Ø ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ + º Á ØÓ ÓÒØ ÒÓ Ó Ñ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ù Ð Ñ Ø Ù Ó ÒÓ Ñ ÓÖ Ó ÓÙ ÒÓ Ñ ÒÓÖ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ Ù Ó u = + ). É ½¼ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

14 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÖ ÖÑ Ó ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ Þ¹ÒÓ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø ÙÑ Ù Ó Ü Ø Ö Ò Óº ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½º Ë Ñ u ÙÑ Ù Ó, b Rº Ë u = + u = b, + ÒØÓ = bº ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u Ö ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ô Ö b Ò Ñ ÖÓ Ö º ÒØÓ ÔÓÖ Ò Ó Ø Ö ÑÓ ε > p = p ε) N : N > p ) u < ε, ε > p = p ε) N : N > p ) u b < ε, ÓÑ p p ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ù º ÕÙ Ú Ñ ÕÙ Ô Ö > p := mx{p,p } b = u b u ) u b + u < ε. ÓÑÓ ε Ö ØÖ Ö Ó ÔÓ ÑÓ Þ Ö ε Ó Ø Ö ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Öº b b = = b, ÈÖÓÔÓ Ó ½º º¾º Ë u ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ u Ð Ñ Ø º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÑÓ Ô Ö Rº ÒØÓ ½º º µ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó > p ε < u < +ε. ÓÒ Ö ÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ø ÖÑÓ {u,u,...,u } Ñ Ì ÑÓ ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ó N m := mi{u,u,...,u }, M := mx{u,u,...,u }. mi{ ε,m} u mx{+ε,m}, Ó ÕÙ ÑÓ ØÖ ÓÖ Ó ÓÑ ½º¾º µ ÕÙ u Ð Ñ Ø º ÖÑ Ó Ö ÔÖÓ ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ó ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓ Ù Ó u = ) ÕÙ Ð Ñ Ø Ñ Ú Ö ÒØ º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ð Ñ Ð Ñ Ø Ù Ó ÓÖ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÔÖÓ Ú Ð º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø ÒØÓ u ÓÒÚ Ö ÒØ º Å u Ö ÒØ ÒØÓ u = sup{u : N}; + É ½½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

15 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë u Ö ÒØ ÒØÓ u = if{u : N}. + ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø º Ñ Ø ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ u ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º ÒØÓ Ù Ò Ó ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ Ó ØÓ u Ö Ð Ñ Ø ÔÓ ÑÓ Ò Ö := sup{u : N}. È Ð Ö Ø Ö Þ Ó Ó ÙÔÖ ÑÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ε > p N : N > p ) ε < u p. Ñ Ô Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ Ú Ñ ÕÙ > p ε < u p u < +ε. Ø ÑÓ Ó ½º º µ Ú Ö ÓÙ u ÓÒÚ Ö ÒØ º ÆÓ Ó u Ö ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Ò ÐÓ º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ù Ó ¹ Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÙÐ Ó Ù Ð Ñ Ø { u = u + = +u. ÖÑ Ó Ö ÔÖÓ ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÔÓ Ü Ø Ñ Ù ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ ÒÓ Ó ÑÓÒ ØÓÒ º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÅÓ ØÖ ÕÙ Ù Ó Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ñ ÒÓ ÑÓÒ ØÓÒ u = ). ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º ÍÑ Ù Ó u ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù Ù Ù Ó u k ÓÒÚ Ö Ô Ö Ó Ñ ÑÓ Ð Ñ Ø º ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÑÓ Ô Ö Rº Ë u k ÙÑ Ù Ù Ó u º ÒØÓ k ÙÑ Ù Ù Ó Ò ØÙÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ô ÐÓ ÕÙ k k Ô Ö ØÓ Ó k Nº Ñ ½º º µ Ú Ñ ε > p N : k > p k k > p u k u < ε. ÈÓÖØ ÒØÓ u k ÓÒÚ Ö Ô Ö º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÓÑÓ u ÙÑ Ù Ù Ó ÔÖ ÔÖ ÑÔÐ ÕÙ ØÖ Ú ÐÑ ÒØ u ÓÒÚ Ö ÒØ º Ç ÖÚ ¹ ÕÙ Ô Ð ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ Ù Ó Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ù Ù Ù ÓÑ Ð Ñ Ø Ö ÒØ ÒØÓ Ú Ö ÒØ º ÔÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð Ú ÒØ ¹ ÕÙ ØÓ Ö Ñ ÕÙ ÓÒ ÙÑ Ù Ó Ø Ñ Ù Ù ÓÒÚ Ö ÒØ º É ½¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

16 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë u ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ Ö µº ÒØÓ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ù Ù Ó u k ÑÓÒ ØÓÒ º ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ü Ø Ñ Ò Ò ØÓ Ò ØÙÖ < < 3 < < k <... Ø ÕÙ Ô Ö j =,...,k x j Ñ ÓÖ ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÖÑÓ Ò Ù Ó º º m > j u j > u m. ÒØÓ Ù Ù Ó u k ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÓÖ ÕÙ Ü Ø Ô Ò ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò Ø Ò ØÙÖ < < < N Ò ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ º Ë ÓÖ m = N + º ÒØÓ ÓÑÓ m > N Ü Ø m > m ÓÑ x m > x m º ÆÓÚ Ñ ÒØ ÓÑÓ m > N Ü Ø m 3 > m ÓÑ x m3 > x m º Ê Ô Ø Ò Ó Ø ÔÖÓ Ó Ð Ú ¹ÒÓ ÙÑ Ù Ù Ó Ò Ò Ø µ Ö ÒØ x mj ÓÑÓ Óº ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë u ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø º ÒØÓ u Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ù Ù ¹ Ó u k ÓÒÚ Ö ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù Ù Ù Ó Ø Ñ Ñ Ð Ñ Ø º È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º ÑÓ ÕÙ u ÔÓ ÑÓ ÜØÖ Ö ÙÑ Ù Ù Ó u k ÑÓÒ ØÓÒ º ÒØÓ Ò Ó u k ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º u k ÓÒÚ Ö ÒØ º Ç Ö ÙÐØ Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖ Ú Þ ÒÓÑ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ ÓÐÞ ÒÓ ¾ ¹Ï Ö ØÖ º ÕÙ Ö ÙÐØ ÕÙ ÓÒ Ó Ò Ö Ù ÒØ Ô Ö ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø u ÓÒÚ Ö Ö ÕÙ if u = supu. + + Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Ù Ó u = ) Ú Ö ÒØ º ËÙ Ó Ù Ý ÈÓÖ Ú Þ ØÓÖÒ ¹ ÑÙ ØÓ Ð ÔÖÓÚ Ö Ô Ð Ò Ó ½º º½ ÕÙ ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Ú Ö ÖÑÓ ÕÙ ÓÒÚ Ö Ù Ò Ó Ø Ò ÐÙÐÓ Ð Ñ Ø ÕÙ Ö ÑÓ Ö Ú Ö Ñ ÒØ º ÌÓÖÒ ¹ ÔÓÖØ ÒØÓ Ø Ð ÒÓÒØÖ Ö ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ º Æ ÒØÙ ØÓ ÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ Ù Ó ÓÒ ØÓ Ù Ó Ù Ý Ò Ó ½º º ËÙ Ó Ù Ýµº Þ¹ ÕÙ ÙÑ Ù Ó u Ù Ý ε > p = pε) N : m, N m, p ) u m u < ε. ½º º µ Ç Ò Ó Ø Ò Ó Ó ÕÙ Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ ÑÓ p m, pµ Ó Ø ÖÑÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ù Ó u m u µ Ø ÖÓ ØÓ ÔÖ Ü ÑÓ u m u < εµ ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö ε > µº Ç ÖÚ ¹ ÕÙ Ò Þ Ó Ö Ö Ð Ó ÓÖ Ñ ÒØÖ m º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÅÓ ØÖ ÕÙ Ù Ó u = ٠ݺ ¾ ÖÒ Ö ÓÐÞ ÒÓ ½ ½¹½ µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ò ØÙÖ Ð ÈÖ º à ÖÐ Ï Ö ØÖ ½ ½ ¹½ µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð ÑÓ Ò ØÙÖ Ð Ç Ø Ò Ð º Ù Ù Ø Ò¹ÄÓÙ Ù Ý ½ ¹½ µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ö Ò Ò ØÙÖ Ð È Ö º É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

17 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ì Ð ÓÑÓ Ô Ö Ù ÓÒÚ Ö ÒØ ÔÖÓÔÓ Ó ÜÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ ØÓ Ù Ó Ù Ý Ð Ñ Ø º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º ÌÓ Ù Ó Ù Ý Ð Ñ Ø º ÑÓÒ ØÖ Óº ÈÓÖ ½º º µ ÔÓ ÑÓ ÓÐ Ö p N ØÓ Ö Ò ÑÓ Ó ÕÙ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ Ô Ö ØÓ Ó N Ø ÑÓ ÔÓÖ ½º¾º µ u Ð Ñ Ø º m, > p u m u <. > p u u p +u u p ) u p + u u p < u p +. u mx{ u, u,, u p }+ Ö Ò ÙØ Ð ÒÓÓ Ù Ó Ù Ý ÔÖÓÚ Ö ÙÑ ÑÓ Ó Ñ ÑÔÐ ÕÙ ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ º Ç Ö ÙÐØ Ó Ø Ð Ó Ò ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ ÔÓ Ô Ö Óº ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º ÍÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÖ Ù Ó Ù Ýº ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ º ÒØÓ ½º º µ Ø ÑÓ Ô Ö ØÓ Ó m > p ØÓ Ó > p u m u = u m u ) u m + u ε. ÈÓÖØ ÒØÓ ½º º µ Ú Ö Ñ u ÙÑ Ù Ó Ù Ýº Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ u ÙÑ Ù Ó Ù Ý Ú Ñ ½º º µ ÕÙ ε > p = N : m, p u m u < ε. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º u Ð Ñ Ø Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º u Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ù Ù Ó ÑÓ u k ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö Ð ÙÑ u Rº ÄÓ Ó ε > p = N : k p u k u < ε. ÌÓÑ ÑÓ ÓÖ p = mx{p,p } Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÒØÓ k k, k > p k, k > p, k > p. k > p u u u u k + u k u ε + ε = ε, Ó ÕÙ ÑÓ ØÖ ÕÙ ½º º µ Ú Ö ÔÓÖØ ÒØÓ u ÓÒÚ Ö ÒØ º ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ ÒÓ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ó Ù Ý ÔÓÖ Ú Þ Ò Ó Ù Ó Ù Ý Ò ÔÓÖ ÈÖ Ò Ô Ó Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò Ù Ýº Ü Ø Ñ Ñ ÑÓ ÑÙ ØÓ ÙØÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ò Ó Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÒÓ ÒØ Ó Ù Ýº Æ Ø ÒØ Ó Ô Ö Ø Ò Ù Ö ÔÖ Ñ Ö Ò Ó ½º º½µ Ò ÔÓÖ ÒÓÓ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÒÓ ÒØ Ó À Ò º Ç Ü ÑÔÐÓ Ù ÒØ ÑÓ ØÖ ¹ÒÓ Ö Ò ÙØ Ð ÒÓÓ Ù Ó Ù Ýº À ÒÖ Ù Ö À Ò ½ ¾½¹½ ½µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð ÑÓ Ò ØÙÖ Ð ÖРѺ É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

18 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÒÓÓ Ù Ó Ù Ý ÑÓ ØÖ ÕÙ Ù¹ Ù ÒØ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ u = ) u + = + b) s ; = u Ö Ø Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò ÔÖÓÔÓ Ù ÒØ Ø Ð Ñ Ö Ð ÓÖ Ñ ÒØÖ Ó Ð Ñ Ø Ù Ô ÖØ Ö Ó Ù Ø ÖÑÓ Ö º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë Ñ u v Ù Ù ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö b Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ u v ÒØÓ bº ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u v Ó Ù Ù ÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö b Ø ÑÓ Ô ÖØ Ö ½º º µ ε > p N : > p u < ε, ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ε > p N : > p v b < ε. p 3 N : > p 3 u v. Ç ÖÚ ¹ ÕÙ p p p 3 ÔÓ ÖÓ Ö Ø ÒØÓ º Ò Ò Ó p := mx{p,p,p 3 } Ø ÑÓ Ô Ð ÖÑ ÒØ Ö ÓÖ > p b = u +u b u +v b u +v b u + v b < ε. ÓÑÓ ε Ö ØÖ Ö Ó ÔÓ ÑÓ Þ Ö ε Ó Ø ÑÓ bº Ø ÔÖÓÔÓ Ó Ø Ñ ÙÑ Ö Ò ÔÐ Ó ÔÖ Ø ÒÓ ÐÙÐÓ Ð Ñ Ø º ÔÐ Ó Ñ Ú Ú Ð Ò ÙØ Ð Þ Ó Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó Ø Ñ Ñ ÓÒ Ó ÔÓÖ ÈÖ Ò Ô Ó Ó Ò Ü º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½¼ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö µº Ë Ñ u v x Ù Ø ÕÙ Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ u v x º Ë u x Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ v ÓÒÚ Ö ÒØ u = = x, R, + + v =. + ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u x Ó Ù Ù ÓÒÚ Ö ÒØ Ñ Ô Ö Ø ÑÓ ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ε > p N : > p u < ε ε < u < +ε, ε > p N : > p x < ε ε < x < +ε. p 3 N : > p 3 u v x. É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

19 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ò Ò Ó p := mx{p,p,p 3 } Ø ÑÓ Ô ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ñ > p ε < u v x < +ε v < ε. È Ð Ò Ó ½º º µ ÕÙ v ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ù Ó Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÙÐ Ó Ù Ð Ñ Ø u = Ç Ö ÙÐØ Ó ÈÖÓÔÓ Ó ½º º ÔÓ ¹ Ø Ò Ö Ñ Ø ÖÑ Ò ÓÒ Ó Ó Ñ ÕÙ Ó Ð Ñ Ø Ó Ò Ò ØÓ ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½½ Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Óµº Ë Ñ u v Ù Ø ÕÙ Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ u v º ½º Ë v Ø Ò Ô Ö ÒØÓ u Ø Ò Ô Ö º ¾º Ë u Ø Ò Ô Ö + ÒØÓ v Ø Ò Ô Ö + º ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ë v Ø Ò Ô Ö Ø ÑÓ ÔÓÖ ½º º µ p N : > p u v. ε > p N : > p v < ε. ÌÓÑ Ò Ó p := mx{p,p } Ø Ñ¹ Ô ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ô ÐÓ ÕÙ u Ø Ò Ô Ö º Ë u Ø Ò Ô Ö + ÔÓÖ ½º º µ Ø Ñ¹ ÌÓÑ Ò Ó ÓÖ p := mx{p,p 3 } Ø ÑÓ > p u v < ε, ε > p 3 N : > p 3 u > ε. ÔÓÖØ ÒØÓ v Ø Ò Ô Ö + º > p v u > ε Ü ÑÔÐÓ ½º º½¼ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ù Ó u = +) Ø Ò Ô Ö + º Ç Ö ÙÐØ Ó Ù ÒØ Þ¹ÒÓ ÕÙ ÖÑ Ó Ö ÔÖÓ ÈÖÓÔÓ Ó ½º º Ø Ñ Ñ Ú Ð º É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

20 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½¾º Ë Ñ u v Ù Ù ÓÒÚ Ö ÒØ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÒØÓ Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ u v º u v. + + ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u v Ó Ù ÓÒÚ Ö ÒØ ÑÓ Ô Ö b Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØÓ ÔÓÖ ½º º µ Ø ÑÓ ε > p N : > p u < ε, ε > p N : > p v b < ε. ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ bº ÒØÓ ØÓÑ Ò Ó p := mx{p,p } Ø ÑÓ Ô ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ñ > p u v = u + v ) u +b v ) u + v b < ε. Ó ÕÙ ε Ö ØÖ Ö Ó ÔÓ ÑÓ Þ Ö ε Ó Ø ÑÓ u v Ô Ö ØÓ Ó > pº ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ Þ¹ÒÓ ÕÙ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÙÑ Ò Ò Ø ÑÓ ÔÓÖ ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø Ò ÙÑ Ò Ò Ø ÑÓº ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½ º Ë Ñ u ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø v ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ð ÕÙ v =. + ÒØÓ uv) = u v ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ u v =. + ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ v ÙÑ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö º ÒØÓ ½º º µ ÕÙ ε > p N : > p v < ε. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó u ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ù Ö ÖÑ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÑ ½º¾º µ Ô Ö Ó Ø Ö > p u v = u v C v < Cε. ÓÑÓ Cε Ö ØÖ Ö Ó ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ u v ÓÒÚ Ö Ô Ö º Ü ÑÔÐÓ ½º º½½ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ù Ó ¹ Ù ÒØ ÙÑ Ò Ò Ø ÑÓ u = ). É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

21 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ½º Ä Ñ Ø Ù Ö Ø Ö Ø ÙÖ Ò Ø Ò Ö ÓÔ Ö Ð Ö ØÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÑÓ Ó ÔÓ Ö¹ ÓÔ Ö Ö ÓÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ + º Ø Ð Ñ ÒØÓ Ø Þ Ñ Ö Ð Ó ÓÖ Ñ Ù ÒØ < x < + x R. Ò Ó ½º º½ Ê Ø µº Ò ¹ Ö Ø ÒÓØ ¹ ÔÓÖ R ÓÑÓ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ù ÒØ R = R {,+ }. ÓÑ ÒØÖÓ ÙÓ Ö Ø R ØÓÖÒ ¹ Ò Ö Ó Ò Ö ÓÔ Ö Ð Ö ÒØÖ Ó Ð Ñ ÒØÓ ÓÒ ÙÒØÓº Ë Ó Ð Ñ ÒØÓ R ÓÖ Ñ Ò Ö ØÓ Ð Ñ ÒØÓ R ÓÔ Ö Ó ÓÑÓ ØÙ ÐÑ ÒØ º Ò Ó ½º º¾ ÓÔ Ö ÓÑ + µº È Ö Ó Ø Ñ¹ È Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø Ñ¹ ++ ) = +, + ) = R; + )++ ) = +, )+ ) =. + ) = +, ) = > ; + ) =, ) = + < ; + ) + ) = +, + ) ) =, ) ) = +. ÓÔ Ö Ù ØÖ Ó Ú Ó Ó ÓÔ Ö ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ñ Ø Ñ¹ Ô Ö Ù ØÖ Ó + ) = + ) =, ) = ++ ) = + R; + ) ) = + )++ ) = +. Ô Ö Ú Ó Ø Ñ¹ + = +, = ; + =, = + ; È Ð Ù ÑÔÓÖØÒ Ø Ñ Ñ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÔ Ö Ó ÔÓØ Ò Ó b,. ÆÓ Ó Ñ ÕÙ Ó ÜÔÓ ÒØ b ÙÑ Ò ØÙÖ Ð ÔÓØ Ò Ó ÒÓ Ñ Ó ÕÙ ÙÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ö Ô Ø º ÔÓØ Ò ÒØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ò Ñ¹ ÓÑÓ ØÙ ÐÑ ÒØ º ÆÓ Ó Ñ ÕÙ ÒØ ÖÚ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ + Ø ÑÓ + = { < + > + ) b = ; = = + { b < + b >. { + < > ; É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

22 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÁÒ Ø ÖÑ Ò È ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö ¹ Ü Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ó ÓÔ Ö Ð Ö ÒØÖ Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Rº Ñ R ÓÒ ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ñ ÕÙ ÓÔ Ö ÒÓ ØÓ Ò. Ñ R ÕÙ Ò Ó ÒÓ ÓÖ ÔÓ Ú Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÙÑ ÓÔ Ö Ó Ö ÑÓ ÕÙ Ø ÑÓ Ô Ö ÒØ ÙÑ Ò Ø ÖÑ Ò Óº Ò Ó ½º º ÁÒ Ø ÖÑ Ò µº Ò Ø ÖÑ Ò Ñ R Ó Ó Ø ÔÓ + + ) = +, + + ) = + ; + ), ); +, = + ; + ). Ü Ø Ñ ÓÙØÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ñ ÕÙ ÔÓ ÖÓ Ö Ò Ð ÓÑÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó Ó Ò Ò Ó ÒØ Ö ÓÖº Ó Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ = = ; ¹ Ü Ø ÒØ Ñ R = = ; ¹ Ü Ø ÒØ Ñ R = ) = + + ). ÓÒÚ Ñ Ö Ö Ö ÕÙ ÓÑÓ Ô ÖØ Ò Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ÒØ + =, = + = = + ; + ) + = + ; + ) = + ) = + + =. É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

23 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÐÙÐÓ Ð Ñ Ø Æ Ø ÐØÙÖ ÔÓ ÑÓ ÒØÓ Ò Ö ÓÔ Ö Ð Ö ÒØÖ Ó Ð Ñ Ø Ù Ð Ñ Ø ÕÙ ÔÓ ÖÓ Ö Ò Ò ØÓ º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½º Ë Ñ u v Ù, b R Ø ÕÙ u = + v = b. + ÒØÓ ÐÚÓ Ó Ó Ñ ÕÙ Ó Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÑÓ ½º ¾º º b v Ô Ö ØÓ Ó N u ±v ) = ±b; + u v ) = b; u v º u ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ ) = b ; u v ) = b. ÑÓÒ ØÖ Óº Î Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Âº ÑÔÓ ÖÖ Ö Ô ØÙÐÓ ÁÁº½º ÆÓ ÐÙÐÓ Ð Ñ Ø ÔÓ ÑÓ Ù Ö ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½ ÑÔÖ ÕÙ ÒÓ Ó Ø Ò ÑÓ Ò Ø ÖÑ ¹ Ò º Å Ñ ÑÙ Ø ØÙ ÐÙÐÓ Ð Ñ Ø ÙÖ Ñ Ò Ø ÖÑ Ò º Ó ÔÖÓ Ó Ö ÓÐÚ Ö Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÑÓ Ò Ö ÔÓÖ Ð Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ø ÖÑ ¹ Ò Óº Ê Ö ½ Ð Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ µº Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ, ÔÓ Ñ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ö Ð Ú ÒØ ÔÓÒ Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ù ÓÙ ÒÓ Ó Ñ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ Ö Þ ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ô ÐÓ ÓÒ Ù Óº Ü ÑÔÐÓ ½º º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ + ) + ). + Ê Ö ¾ Ð Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ µº Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ,,, ÔÓ Ñ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ö Ð Ú ÒØ ÔÓÒ Ó Ñ Ú Ò Ó Ø ÖÑÓ Ñ ÓÖ Ö Ùº Ü ÑÔÐÓ ½º º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ É ¾¼ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

24 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ä Ñ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ È Ö Ó Ð Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ Ø ÑÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ö ÙÑ Ö ÙÐØ Ó ÑÔÓÖ¹ Ø ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º¾º Ù Ó + u = + ) ØÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ u < 3 Ô Ö ØÓ Ó Nº Å + ) = ! ). ½º º½¼µ ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÑ ÑÓ ÔÓÖ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ u ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º È Ð ÖÑÙÐ Ó Ò Ñ Ó Æ ÛØÓÒ Ø ÑÓ ÔÓ ÑÔÐ ÖÑÓ + ) = +! +! + ) ) )! 3! + + )! + )!! ) ) ) + + = +! + +! 3! ) ) ) + ) )!! > +! + ) + ) ) +! 3! + ) ) ) )! = +! +! + ) 3) 3! ) + + )! )! ) = ) ). + ) ÙÒ Ù Ð Ö ÙÐØ Ó ØÓ Ø Ö Ô Ö ÕÙ ÕÙ Ö, k N ÓÑ k + )! k +))! k = ) ) k) k = ) ) k ) Ù Ð Ö ÙÐØ Ø Ö ÙÔÖ Ñ Ó Ó ÐØ ÑÓ Ø ÖÑÓ Ò Ù Ð Ñ Ø Ñ ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ó ØÓ Ó Ó Ù ØÖ Ø ÚÓ º ÐØ Ñ Ù Ð Ö ÙÐØ ÑÔÐ Ó ÑÓØ Ú Ô ÐÓ Ö Ö Ó ÖÑÙÐ Ó Ò Ñ Ó Æ ÛØÓÒ Ô Ö u º ÈÓÖØ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ u ØÖ Ø Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º È Ö ÙÒ Ô ÖØ ÔÖÓÔÓ Ó ÓÑ ÑÓ ÔÓÖ Ó ÖÚ Ö ÕÙ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ ÕÙ u u = N. Ò Ñ Ó Æ ÛØÓÒ È Ö ÕÙ ÕÙ Ö, b R +b) = + b+ ) b! + + k! k)! k b k + + ) b +b +b! = k! k)! k b k. k= Á Æ ÛØÓÒ ½ ¾¹½ ¾ µ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ØÖ ÒÓÑÓ Ø ÐÓ Ó Ò Ð Ò ØÙÖ Ð Ä ÒÓÐÒ Ö º É ¾½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

25 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÜÔ Ò Ó Ó Ò Ñ Ó Æ ÛØÓÒ ÓÑÓ Ó Ø Ñ Ó ØÓ k! > k Ô Ö ØÓ Ó k 3 Ñ ÓÑÓ ÔÖÓÔÖ ÔÖÓ Ö ÓÑ ØÖ ÑÔÐ Ñ + ) = +! + ) + ) ) +! 3! + ) ) ).! < +! +! + 3! + +! < = + ) = 3 < 3. Ñ u < 3 Ô Ö ØÓ Ó N ÔÓÖØ ÒØÓ u Ð Ñ Ø º Æ Ø ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ u ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø º ÄÓ Ó Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º u ÓÒÚ Ö ÒØ º È Ö ÔÖÓÚ Ö ½º º½¼µ ÓÑ ÑÓ ÔÓÖ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ñ Ú ÑÓ ÕÙ + ) < +! +! + 3! + +! + ) = + k!! + ) +! 3! ) ) ) k ) + + ) + +! Þ Ò Ó + Ò ÐØ Ñ ÜÔÖ Ó Ø ÑÓ + ) + +! +! + 3! + + k!. ) ) ). È ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ø ÑÓ ÒØÓ +! +! + 3! + + k! + < + + ) +! +! + 3! + + ).! Þ Ò Ó ÓÖ k + Ø ÑÓ + k +! +! + 3! + + ) k! + < + + ) +! +! + 3! + + ).! ÓÑÓ k Ó Ú Ö Ú ÑÙ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö ÔÖÓÚ ÑÓ Õ٠٠й ½º º½¼µ Ú Ö º Ò Ó ½º º Æ Ñ ÖÓ Æ Ô Öµº Ò ¹ Ó Ò Ñ ÖÓ Æ Ô Ö e ÓÑÓ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ò ØÓ Ù ÒØ + = e. + ) É ¾¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

26 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ü Ø Ò Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ö ÙÐØ ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ º Ç Ú ÐÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Æ Ô Ö ÕÙ ØÙ ÐÑ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó Ø Ó Ù Ø Ó Ö ÙÐØ Ó ÜÔÖ Ó Ò ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖº ØÓ ÓÑ Ò Ó Ó ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ù Ó Ó ÙÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ ½º º½¼µ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÒØ Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ Æ Ô Ö e,7; Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ Ó ÕÙ ØÙ ÐÑ ÒØ Ù Ñ ÐÙÐÓ ÒÙÑ Ö Ó º Ç Ò Ñ ÖÓ e Ô Ö Ô Ö Ö ÑÔÐ ØÓ ÒÓ ØÖ Ð Ó Æ Ô Ö Ó Ö ÐÓ Ö ØÑÓ ØÓÖÒÓÙ ÓÒ Ó ÒÓ ØÖ Ð Ó ÙÐ Ö Ó Ö ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ðº ÔÓÖ Ó ÕÙ ÒÓØ ÑÓ Ø Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ð ØÖ Ò Ð ÙÐ Ö Ô Ö Ó Ò ÖÑÓ ÔÓÖ Ò Ñ ÖÓ Æ Ô Öº ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë Ñ R u ÙÑ Ù Ó Ø Ð ÕÙ u = +. + ÒØÓ + ) u = e. ½º º½½µ + u ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ u + = º Ë ÑÓ ÕÙ + ) = e ε > p N : > p e ε < + + ) < e+ε. Ë Ù Ó u Ø Ñ Ó Ø ÖÑÓ ØÓ Ó ÒØ ÖÓ Ñ ØÓ ÔÓ Ù Ò Ó Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ Ø Ñ¹ q N : > q u > p e ε < + ) u < e+ε. u ÆÓ Ó u Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ò ÑÓ ÙÑ ÒÓÚ Ù Ó ÔÓÖ v := mx{z Z : z u }. ÐÑ ÒØ Ú Ö ÕÙ Ó ØÓ u + ÑÔÐ ÕÙ Ø Ñ Ñ v + º ÕÙ Ò Ó v ÕÙ Á ØÓ ÑÔÐ p N : > p < v u < v + + v + < + u + v. + v + + v + ) v < + u ) + v + ) u + ) v+ < v ) v+ + ) u + ) v + ). u v v ÂÓ Ò Æ Ô Ö ½ ¼¹½ ½ µ Ñ ÓÒ Ó ÔÓÖ Æ Ô Ö Ø Ñ Ñ ÔÓÖ Æ Ô Öº Å Ø Ñ Ø Ó Ó ØÖ ÒÓÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Ñ ÙÖ Óº Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö ½ ¼ ¹½ µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ù Ó Ò ØÙÖ Ð Ð º É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

27 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë È Ò Ó Ó Ð Ñ Ø Ò Ø ÐØ Ñ Ù Ð Ù Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö ÔÖÓÚ ÑÓ ½º º½½µ ÒÓ Ó = u + º Ç Ó u = Ö ÙÞ¹ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ + u ) u = + u +) Ó ÕÙ u + º ÈÓÖ Ñ ÙÑ Ö Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÑÓ ÔÓ u ÑÔÐ u + u ) u = ) u+) + [ + )u u ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ Rº ) u +) ] e, e = e, Ê Ö Ä Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ µº Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ ÔÓ Ñ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ö Ð Ú ÒØ Ù Ò Ó Ò Ó ½º º ÓÙ ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ü ÑÔÐÓ ½º º º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ + È Ö Ó Ð Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ô ÖØ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ ÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë Ñ R + {+ } u ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ð ÕÙ ÒØÓ ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u + u ÒØÓ ÔÓÖ ½º º µ Ø ÑÓ 3 ) 4 3 u + =. + u + u =.. Ñ Ø ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÕÙ < < + º ε > p N : p ε < u + u < +ε. ÒØÓ Ù Ò Ó ÙÑ Ö Ó Ò Ó Ò ÙØ ÚÓ Ø Ñ¹ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ε : < ε < ØÓ Ó p ÕÙ ε < u u < +ε ε)u < u < +ε)u ε) u u < u < +ε) u u ε) u < u < +ε) u u u ε) p+)u p+ u p u p < u < +ε) p+)u p+ u p u p ε) p u p < u < +ε) p u p. É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

28 ½º ËÍ ËË Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ñ ÓÑÓ < ε < > p ε) u p ε) < u p < +ε) +ε) p + ε) up ε) p < u < +ε) up ε) p = + up +ε) p =, u p up +ε) p. Ø Ñ¹ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö ÕÙ u = º Ö ØÖ Ó ε < ÔÓ Ö Ð Ú ÒØ ÔÓÖÕÙ Ò Ò Ó ½º º µ Ó ÕÙ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ε Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓº Ë = Ø ÑÓ p u = u u u p+ < up ε p ε ε < up u p < ε ε p. u p ÓÑÓ ε > Ö ØÖ Ö Ó u u + u p up ε p =, Ø Ñ¹ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö ÕÙ u = º Ò ÐÑ ÒØ = + Ø ÑÓ p u = u u up+ > u p u u u p ε u p > up ε ε p ÓÑÓ + u p ε p = Ú Ñ Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½½ ÕÙ u = + º Ê Ö Ä Ú ÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ + ) µº Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ + ) ÔÓ Ñ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ö Ð Ú ÒØ Ù Ò Ó ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ + +. Ü Ø Ñ ÑÙ Ø ÓÙØÖ ÔÓ Ð Ð Ú ÒØ Ö Ò Ø ÖÑ Ò º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö Ð Ú ÒØ Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ / ÓÙ / ÔÓÖ Ú Þ Ø ÑÓ ÓÒ Ù Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö ÈÖÓÔÓ Ó ½º º½¼µ ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º ÈÖÓÔÓ Ó ½º º º Ë Ñ > ÙÑ Ö Ð p N Ö ØÖ Ö Ó º Ì ÑÓ p ) + =, b) +!! =, c) + =. É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

29 Ü Ö Ó Ò Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ÑÓÒ ØÖ Óº µ Í Ò Ó ÈÖÓÔÓ Ó ½º º ÔÓ ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ó ÙÑ Ö Ð > p N Ø Ñ +) p = + ) p p p p = p <. ÒØÓ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ε : < ε < Ü Ø p N Ø Ð ÕÙ > p < p p < ε < < ε). ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö + p = º µ ÆÓÚ Ñ ÒØ Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º º ÔÓ ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ô Ö ÙÑ Ó Ö Ð > Ø Ñ +)!! = + +! +! =!. ÒØÓ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ε : < ε < Ü Ø p N Ø Ð ÕÙ > p <! < ε <! < ε) Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö +! = º µ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó Ø Ñ <! = = Ñ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó ËÙ Ó ÒÕÙ Ö +! = º Ç ÖÚ ¹ ÕÙ ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ Ø Ö Ö Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ p +! = p N.. ÇÙØÖÓ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö Ð Ú ÒØ Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ / ÓÙ / ÓÒ Ø Ñ Ù Ö Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø ÒÓØ Ú ÙÒ º Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ Ó Ó Ù ÒØ e ) = ; + l + ) = ; + se + ) = ; l ) = Ô Ö ØÓ Ó >, b >. + b ½º Ü Ö Ó Ò Ó ½ ½º ÐÙÐ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ Ñ ÓÑÓ Ó Ø ÖÑÓ ÓÖ Ñ Ù Ù ÒØ É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

30 Ü Ö Ó Ò Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö µ u = + ) µ v = µ x = ) µ y =! µ w = { z = µ z = z + = º +z ¾º Ö Ú Ó Ø ÖÑÓ Ö Ð Ù Ù Ó Ø ÖÑÓ ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ò Ó Ó Ù ÒØ µ,5,8,,... µ,, 4, 8,... µ, 4, 9, 6, 5,... µ 3 7, 8, 3 5, 8 9,... µ,, 3, 5, 8, 3... µ, 3, 3, 5 4, 4 5,...º º Í Ò Ó Ó ÈÖ Ò Ô Ó ÁÒ ÙÓ Å Ø Ñ Ø ÔÖÓÚ ÖÑ Ù ÒØ µ = +) µ )+) = + µ ) < 3 N 3 µ = ) µ > 5º ËÙ ØÓ Í Ö µ º ÐÙÐ ÓÑ Ó ½¼ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÔÖÓ Ö Ù ÒØ µ u = µ v = 3 µ x = ) µ y = 3 +)º º ÁÒ ÕÙ ÕÙ Ù Ó Ü Ö Ó ½ Ó Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖ Ð Ñ Ø º º ØÙ Ù Ù ÒØ ÕÙ ÒØÓ ÑÓÒÓØÓÒ µ s = + +4 µ t = + µ u = µ v =! µ y = ! + +! º º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

31 µ µ µ Ü Ö Ó Ò Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö µ µ µ ) +) ) º º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ µ µ )!! µ µ ! + º º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ µ µ + ) ) µ µ + ) ) + º ½¼º Í Ò Ó Ó ÈÖ Ò Ô Ó ËÙ ÒÕÙ Ö ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø Ù ÒØ µ + + +) + + ) ) µ µ µ µ µ + +! se) 3 +5 º ½½º ÐÙÐ Ó Ð Ñ Ø ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ Ù Ù ÒØ µ u = ) + + µ v = +cos+)π) ) µ x = + se π ) +cosπ) + µ y = º ) É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

32 Ô ØÙÐÓ ¾ Ë Ö ÆÙÑ Ö Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÓÑ Ø ÖÑÓ Ù ÕÙ Ò Ñ ÔÓÖ Ö º ÆÓ ÒØ ÒØÓ ØÙ Ð Ò Ö Ö Ò Ø ÔÓÖ ÓÑ Ø Ö Ó Ü Ò Ó¹ Ò Ó Ö Ô Ö ÓÑ Ò Ò Ø º ¾º½ ËÓÑ Ø Ö Ó Ç ÓÑ Ø Ö Ó ÙÖ Ñ ÓÑÓ ÙÑ Ò ÑÔÐ Ó Ö Ø ÓÑ Ø ÖÑÓ ÙÑ Ù Óº Ò Ó ¾º½º½ ËÓÑ Ø Ö Óµº Ë Ñ u k ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ Ö Nº Ç Ñ ÓÐÓ ÓÑ Ø Ö Ó Ò ¹ ÔÓÖ Ö ÓÖÖ Ò ÓÖÑ Ù ÒØ u k = u = k= Ñ Ô Ö ÕÙ ÕÙ Ö p, q N ÓÑ p q Ù ÑÓ Ó ÓÑ Ø Ö Ó q Ô Ö ÒÓØ Ö ÓÑ k= k=p u k u k u k = u k +u >. k= u p +u p+ + +u q. Æ Ø Ó p Þ¹ Ó Ð Ñ Ø Ò Ö ÓÖ Ó ÓÑ Ø Ö Ó q Ó Ð Ñ Ø ÙÔ Ö ÓÖ u k Ó Ø ÖÑÓ Ö Ðº Ü ÑÔÐÓ ¾º½º½º ÓÑ S Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ø ÖÑÓ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø ÓÙ ÓÑ ¹ ØÖ u k ÔÓ Ö Ö Ø Ó ÑÓ Ó Ù ÒØ S = u k. k= ¾ k=

33 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÓ Ó ¾º½º½º Ë Ñ u k v k Ù Ø ÖÑÓ Ö c Rº ÒØÓ Ó Ú Ð ÔÖÓÔÖ Ù ÒØ ½º Ø Ú u k +v k ) = k= u k + v k ; k= k= ¾º ÀÓÑÓ Ò cu k ) = c k= u k ; k= º Ì Ð Ô u k u k ) = u u. k= ÑÓÒ ØÖ Óº ÑÓÒ ØÖ Ó Ö Ð Þ ¹ ÐÑ ÒØ Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ò ÙÓ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ô ÐÓ ÕÙ Ü ÑÓ ÓÑÓ Ü Ö Óº ¾º¾ Ë Ö ÒÙÑ Ö ÒÓÓ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ò Ø ÒØÖÓ ÙÞ Ô Ö Ô ÖÑ Ø Ö Ò Ö Ð Þ Ó Ó ÓÒ ØÓ ÓÑ Ø Ö Ó ÓÑ ÙÑ Ò Ò Ô Ö Ð ÒÙÑ Ö º Ò Ó ¾º¾º½ Ë Ö ÒÙÑ Ö µº Ë u ÙÑ Ù Ó ÒÙÑ Ö º ÒÙÑ Ö Ò Ò Ø Ó Ô Ö ÓÖÑ Ó Ô Ð Ù Ó u Ò ¹ ÔÓÖ Ö u, u,..., u,... Ô Ð Ù Ó S Ù ÒØ S = u, S = u k = u +u,..., S = k= u k = u +u + +u,.... k= Ç Ò Ñ ÖÓ u u º º º u º º º ÒÓÑ Ò Ñ¹ Ø ÖÑÓ Ö Ò Ó u Ó Ø ÖÑÓ Ö Ð Ö Ù Ó Ø ÖÑÓ S S º º º S º º º Ò ¹ ÔÓÖ Ù Ó ÓÑ Ô Ö º À ØÙ ÐÑ ÒØ Ö Ø ÖÑÓ Ö Ð u ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÖ ÙÑ Ó ÕÙ ØÖÓ ÑÓ Ó Ù ÒØ u +u + +u +..., u, u, u. Ç Ð Ñ Ø Ò Ö ÓÖ Ö ÔÓ Ö Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð Ñ ÑÙ Ø ØÙ ÔÓ Ö Ö º ÈÓÖ ÒÓÖÑ Ó Ð Ñ Ø Ò Ö ÓÖ Ó Ñ ÒÓÖ ÒØ ÖÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ô ÖØ Ö Ó ÕÙ Ð Ó Ø ÖÑÓ Ö Ð Ù Ó Ø Ò Ó Ñ Rº È Ö ÑÔÐ ÖÑÓ Ö Ø Ö ÑÓ Ò Ö ØÓ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ò Ø Ô Ò ÔÓÖ Ö º É ¼ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

34 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ò Ó ¾º¾º¾ ÓÒÚ Ö Ò µº Ë u ÙÑ Ö S Ù Ó Ù ÓÑ Ô Ö º ½º Þ¹ ÕÙ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ó S ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë Ù Ó S Ú Ö ÒØ Ö u Þ¹ Ú Ö ÒØ º ÓÒÚ Ö Ò ÙÑ Ö Ö ÙÞ¹ ÔÓÖØ ÒØÓ ÓÒÚ Ö Ò Ù Ó ÓÑ Ô Ö º ÆÓ Ó Ñ ÕÙ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ Ü Ø ÒØÓ ÙÑ Ö Ð S Ø Ð ÕÙ S = S. + Ç Ð Ñ Ø S ÒÓÑ Ò ¹ ÔÓÖ ÓÑ Ö ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö u = S. Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º½ Ë Ö Ò Ø µº ÍÑ Ö Ò Ø ÙÑ Ö Ò Ò Ø µ ÑÓ u ÓÑ Ó Ø ÖÑÓ ÕÙ ØÓ Ó ÒÙÐÓ ØÓ Ô Ö ÕÙ Ð p N : > p u =. ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º½º ÌÓ Ö Ò Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÒÓ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º½ ÓÑ Ö ÔÓÖ p S = u = u +u + +u p. ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ Ö Ò Ø ÒØÓ p N : > p u = ) ÔÓÖØ ÒØÓ S Rº u = u +u + +u p u +u + +u p = S Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º¾ Ë Ö ÓÑ ØÖ µº Ò ¹ ÔÓÖ Ö ÓÑ ØÖ ØÓ Ö ÓÖÑ = x = +x+x + +x + ; ÓÒ x ÙÑ Ö Ð ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÞÓ Ö º ÈÓÖ Ú Þ Ö ÓÑ ØÖ ÔÓ ÖÓ Ô Ö Ö Ò ÓÖÑ Ù ÒØ x = x+x +x 3 + +x +. ÓÑ Ø ÒÓØ Ó Ú Ø ¹ ÒÓ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö x = Ø ÖÑÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ó º É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

35 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º¾º Ö ÓÑ ØÖ = x = +x+x + +x + ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö x < Ú Ö ÒØ Ô Ö x º Å ÒÓ Ó Ñ ÕÙ ÓÒÚ Ö ÒØ Ù ÓÑ ÔÓÖ S = x. ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÑ ÑÓ ÔÓÖ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ó ÓÑ Ô Ö ÔÓÖ S = +x+x + +x. Ë x = Ö Ú Ö ÒØ ÕÙ Ò Ø Ó S = = + +. ËÙÔÓÒ ÑÓ ÒØÓ ÕÙ x º Æ Ø Ó Ø ÑÓ x)s = x + S = x+ x = x x x. ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú Ñ Ô Ò Ö ÓÒÚ Ö Ò x º Ò Ð Ò Ó Ø ÐØ Ñ Ø ÑÓ { {, x < + x =, x > S, x < = x +, x >. ÈÓÖ Ñ ÕÙ Ò Ó x = Ø Ñ¹ S = )+ ) = + ) = {, Ô Ö, ÑÔ Ö. ÄÓ Ó S ÒÓ ÓÒÚ Ö Ô ÐÓ ÕÙ Ò Ø Ó Ö Ú Ö ÒØ º Ë Ö ÓÑ ØÖ Ô Ö Ö Ò ÓÖÑ ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ Ù ÓÑ ÔÓÖ x = x+x +x 3 + +x + S = x x. Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º ÍÄ Ì ÊÁ µº Î Ö ÕÙ ÕÙ Ö Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÙÐ Ù ÓÑ 3. = É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

36 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º Ë Ö Å Ò ÓÐ ½ µº Ò ¹ ÔÓÖ Ö Å Ò ÓÐ ÓÙ Ö Ö ÙØ Ú Ð ÓÙ Ò Ö Ø Ð Ô ØÓ Ö ÓÖÑ u u + ). Ó p N ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ð Þ Ö Ó ÓÒ ØÓ Ö Å Ò ÓÐ Ö u u +p ). ÈÖÓÔÓ Ó ¾º¾º º Ö Å Ò ÓÐ u u + ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ó u ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ º Ú Ö ÒØ Ó Ð Ñ Ø u ÒÓ Ü Ø ÓÙ ÒÓ Ò ØÓµº ÆÓ Ó Ñ ÕÙ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÑ ÔÓÖ S = u + u +. ÑÓÒ ØÖ Óº Ù Ó ÓÑ Ô Ö ÄÓ Ó S = u u )+u u 3 )+ +u u )+u u + ) = u u +. S = + S = u + u + Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ü Ø Ö Ó Ð Ñ Ø u º ÈÓÖ ÙÑ Ö Ó Ò Ó Ò ÙØ ÚÓ ÔÓ ÑÓ Ø Ò Ö Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ØÓ Ö Å Ò ÓÐ ÓÖÑ u u +p ) ÓÑ p N Ö ØÖ Ö Óº Ñ Ö u u +p ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ó u ÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ Ó Ð Ñ Ø u ÒÓ Ü Ø º Å ÒÓ Ó ÓÒÚ Ö Ö ÓÑ ÔÓÖ S = p k= ) u k u +k + = u +u + +u p + u + +u + + +u +p ) = u +u + +u p p + u. Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º ÍÄ Ì ÊÁ µº Î Ö ÕÙ ÕÙ Ö Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÙÐ Ù ÓÑ ). = ¾º ÈÖÓÔÖ Ö Æ Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ó Ó Ñ ØÙ Ó ÒÓ ÔÓ Ú Ð ÐÙÐ Ö ÓÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ º ÈÓÖ Ó Ó ÒÓ Ó ØÙ Ó Ó Ö Ö Ö ÒØÖ Ö¹ Ò ÐÑ ÒØ Ò Ò ØÙÖ Þ Ö ØÓ Ñ Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÙ Ú Ö ÒØ º ½ È ØÖÓ Å Ò ÓÐ ½ ¾ ¹½ µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ð ÒÓ Ò ØÙÖ Ð ÓÐÓÒ º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

37 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ýµº ÍÑ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ ε > p = pε) N :, k N > p) S +k S < ε. ¾º º½µ ÑÓÒ ØÖ Óº ÑÓÒ ØÖ Ó Ù Ó ÓÒ ØÓ Ù Ó Ù Ý ÕÙ ÓÑÓ Ú ÑÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó ÓÒ ØÓ Ù Ó ÓÒÚ Ö ÒØ º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ú Ð Þ Ö ÕÙ Ù Ó ÓÑ Ô Ö S ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ ÔÓÖ Ù Ú Þ ÕÙ Ú Ð Þ Ö ÕÙ S ÙÑ Ù Ó Ù Ý Ø ÐØ Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÖÑ Ó ¾º º½µº Ç ÖÚ ¹ ÕÙ Ñ ¾º º½µ Ø Ñ k S +k S = u +i = u + +u + + +u +k. i= Ü ÑÔÐÓ ¾º º½ Ë Ö ÖÑ Ò µº Ò ¹ ÔÓÖ Ö ÖÑ Ò Ö Ù ÒØ = ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾º Ö ÖÑ Ò Ú Ö ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Óº È Ö Ö ÖÑ Ò Ø ÑÓ S S = ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ó N = = + =. S S S S, ) Ô ÐÓ ÕÙ S ÒÓ Ù Ó Ù Ýº Ñ S ÒÓ ÓÒÚ Ö ÒØ Ö ÖÑ Ò Ú Ö ÒØ º ÍÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ý Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÒØ ÕÙ ÔÓÖ Ú Þ ÑÙ ØÓ Ø Ð Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö Ú Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ö º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ë u ÙÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ u º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ý ¾º º½µ Ø Ø º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÓÑ Ò Ó m = + Ñ ¾º º½µ Ø ÑÓ S + S < ε u + +u +u + u + +u ) < ε u < ε. ÇÖ ÕÙ ¾º º½µ ÕÙ ε > p N : > p u < ε + u =, É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

38 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Æ ÔÖ Ø Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó ÜÔÓ ØÓ Ò ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ ÒÓ Ô Ð Ù ÓÒØÖ ¹Ö ÔÖÓ u ÒØÓ u Ú Ö ÒØ º Ç ÖÚ ¹ ÕÙ u Ò ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ö Ó Ö Ò ØÙÖ Þ Ö º Πѹ Ó Ü ÑÔÐÓ Ö ÓÑ ØÖ Ó Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º Ö ÖÑ Ò Ü ÑÔÐÓ ¾º º½µ Ù Ó Ø ÖÑÓ Ö Ñ Ó Ø Ò Ñ Ô Ö ¼ ÓÑ ÒØ Ö ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö Ù ÒØ = ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ë Ñ u v Ö ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÑ S u S v Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ c Rº ÒØÓ!. ½º Ö u +v ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ù ÓÑ S u +S v ¾º Ö cu ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ù ÓÑ cs u º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ u v Ù Ö ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÑ S u S v Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÒ Ö ÑÓ Ö u +v ) S u+v Ù Ó Ù ÓÑ Ô Ö º Ì ÑÓ S u+v = u +v )+u +v )+ +u +v ) = u +u + +u )+v +v + +v ) S u +S v. ÈÓÖØ ÒØÓ Ö u +v ) ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ñ ÓÑ Ù Ð S u +S v º ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó Ò Ó c R Ö ØÖ Ö Ó S cu Ù Ó ÓÑ Ô Ö Ö cu ) Ø ÑÓ S cu = cu +cu + +cu = c u +u + +u ) cs u. Ñ Ö cu ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ñ ÓÑ Ù Ð cs u º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÐÙÐ ÓÑ Ö Ù ÒØ ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ø ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÒÙÒ Ó Ù Ö ÕÙ ÔÓ Ö Ö ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ø Ð Ö Ú Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ö º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ë Ñ u ÙÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ v ÙÑ Ö Ú Ö ÒØ º ÒØÓ Ö u +v ) Ú Ö ÒØ º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

39 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u ÙÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ v ÙÑ Ö Ú Ö ÒØ º Ñ Ø ÑÓ ÓÑ Ú Ø ÙÑ ÙÖ Ó ÕÙ Ö u + v ) Ö ÓÒÚ Ö ÒØ º ÒØÓ Ô Ð ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ö u +v u ) Ø Ñ Ñ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ º Å ØÓ ÙÑ ÙÖ Ó ÔÓ u +v u ) = v Ö v Ú Ö ÒØ ÔÓÖ Ô Ø º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÂÙ Ø ÕÙ ÕÙ Ö Ù ÒØ Ú Ö ÒØ +. ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ ÑÓ ØÖ ¹ÒÓ ÕÙ Ö ÔÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ø Ñ Ñ Ñ Ò ØÙÖ Þ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ë Ñ u v Ù Ö Ø ÕÙ k Z : v = u +k. ¾º º¾µ ÒØÓ Ù Ö Ø Ñ Ñ Ñ Ò ØÙÖ Þ º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ S u S v Ù ÓÑ Ô Ö Ö u v Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ö u Ö ÓÒÚ Ö ÒØ º ÒØÓ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ý ε > p N : m, > p Sm u Su < ε. ¾º º µ ÒØÓ ÔÓÖ ¾º º¾µ ¾º º µ Ø Ñ¹ m, > p S v m Sv = Su m+k Su +k < ε. ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ý v ÓÒÚ Ö ÒØ º ÓÖÑ Ò ÐÓ ÔÖÓÚ ÕÙ Ò ÓÒ ¾º º¾µ u Ú Ö ÒØ ÒØÓ v Ø Ñ Ñ Ú Ö ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Î Ö ÕÙ ÕÙ Ö Ù ÒØ Ø Ñ Ñ Ñ Ò ØÙÖ Þ = = ; + + = +. ¾º Ë Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÓÒÚ Ñ Ö ØÙ Ñ Ô Ö Ó ÙÑ Ú Þ ÕÙ Ò Ø Ó Ñ Ð Ø Ð Ö Ö Ø Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò º ÓÑ ÑÓ ÔÓÖ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ô Ö Ø Ö ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ö ÙÑ Ö Ø Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ó Ó ÕÙ Ó ÒÙÒ Ó Ò ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½º Ë u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ S Ö Ô Ø Ú Ù Ó ÓÑ Ô Ö º ÒØÓ u ÓÒÚ Ö ÒØ S ÓÖ Ð Ñ Ø º ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u ÙÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ º ÒØÓ Ö Ô Ø Ú Ù Ó ÓÑ Ô Ö S ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÓ Ó Ð Ñ Ø º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

40 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ S ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø º ÓÑÓ u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ø Ñ¹ ÕÙ u Ô Ö ØÓ Ó Nº Ñ S + = u + +u +u + = S +u + S, Ô ÐÓ ÕÙ S ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º ÒØÓ Ò Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø S ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ñ¹ S = S = sup{s : N}. + ÈÓÖØ ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ º ÓÑÓ Ø ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÔÓ ÑÓ Þ Ö ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø Ö Ú Ö ÒØ Ø Ò ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ô Ö + º Ü ÑÔÐÓ ¾º º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ö Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ!. ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾ Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Óµº Ë Ñ u v Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ô ÖØ Ö ÖØ ÓÖ Ñ u v º Ì Ñ¹ ½º Ë v ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ u Ø Ñ Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë u Ú Ö ÒØ ÒØÓ v Ø Ñ Ñ Ú Ö ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ S u S v Ù ÓÑ Ô Ö Ù Ö u v Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ p N : > p u v. ¾º º µ ½º Ë v ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ñ¹ Ô ÐÓ ØÓ v Ö ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÕÙ S v Ö ÒØ S v = + Sv = sup{sv : N} < +. ¾º º µ ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ô ÐÓ ØÓ u Ø Ñ Ñ Ö ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÔÓÖ ¾º º µ ¾º º µ Ø Ñ¹ Ô Ö ØÓ Ó > p S u = u + +u p +u p+ + +u u + +u p +v p+ + +v u + +u p +v + +v p +v p+ + +v = u + +u p +S v u + +u p +S v. ÈÓÖØ ÒØÓ S u ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø Ô Ð ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ u ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÓÖ ÕÙ u Ú Ö ÒØ º ÒØÓ Ò Ó u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ S u Ö ÒØ S u = + Su = sup{su : N} = +. ¾º º µ É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

41 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÒØÓ Ù Ò Ó Ó ØÓ v Ø Ñ Ñ Ö ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ¾º º µ ¾º º µ Ø ÑÓ S v = v + +v p +v p+ + +v v + +v p +u p+ + +u = v + +v p +S u u + +u p ) u + +u p + u + +u p ) = +. ÓÒ ÓÒÐÙ ÕÙ Ö v Ú Ö ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ö Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ º Ç Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó Ô ÖÑ Ø ¹ÒÓ Ó Ø Ö ÙÑ Ö ÙÐØ Ó Ñ ÑÔÐ ÔÐ Ó ÕÙ ÒÙÒ ÑÓ Ò ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Óµº Ë Ñ u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ v ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ø ÕÙ u = L. + v ¾º º µ Ë < L < + ÒØÓ Ö u v Ø Ñ Ñ Ñ Ò ØÙÖ Þ ØÓ Ó Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÙ Ñ Ú Ö ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ u v Ó Ø ÖÑÓ Ö Ù Ö º Ë ¾º º µ Ú Ö ÒØÓ Ù Ó Ô ÐÓ ÕÙÓ ÒØ u v Ð Ñ Ø º ÓÑÓ u v Ó Ö Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ u v Ð Ñ Ø ÒØÓ C, C > : C u v C C v u C v N. ÒØÓ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó Ö u v Ø Ñ Ñ Ñ Ò ØÙÖ Þ º ÆÓ Ó Ò ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö Ö L = ÒØÓ p N : > p u v. Ø ÑÓ Ó Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó ÔÓ ÑÓ ÙÞ Ö ÓÒÚ Ö Ò v u Ú Ö Ò u v º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÒÓ Ó L = + ÒØÓ p N : > p u v, ÔÓ Ò Ó ÙÞ Ö ÓÒÚ Ö Ò u v Ú Ö Ò v u º ÆÓ ÓÙØÖÓ Ó ÔÓÖ Ñ Ò ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Öº É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

42 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ÍØ Ð Þ Ó Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ö ¹ Ù ÒØ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ú Ö ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ; Ü ÑÔÐÓ ¾º º Ë Ö Ö Ð Ø ¾ µº Ò ¹ ÔÓÖ Ö Ö Ð Ø ØÓ Ö ÓÖÑ ÓÒ α ÙÑ Ö Ðº. α = + α + 3 α + + α + ; Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ö ÖÑ Ò Ö Ö ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ¾º º½ ÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö Ö Ð Ø ÓÑ α = º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ö Ö Ð Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ô Ö α > Ú Ö ÒØ Ô Ö α º ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÒ Ö ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ó Ó α º Æ Ø Ó Ø ÑÓ α α N. ÓÑÓ Ö ÖÑ Ò µ Ú Ö ÒØ Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó Ø Ñ Ñ Ö Ú Ö ÒØ º ËÙÔÓÒ ÑÓ α ÓÖ ÕÙ α < º ÓÒ Ö ÑÓ Ù Ó ÓÑ Ô Ö ÓÖ Ñ + º Ì ÑÓ S + = + α + 3 α + 4 α + 5 α + 6 α + = + α + ) 3 α + 4 α + 5 α + 6 α + 7 [ ] α = + ) α + + ) α + Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ô Ö p N Ø Ñ 7 α ) ) α ) α [ ) α ) α ] + + p ) α + + p+ ) α p+ p) p ) α = ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÔÖÓÚ ¹ ÐÑ ÒØ ÔÓÖ Ò ÙÓ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ = + > N. [ ] ) α ) α. ) p. α Ì ÑÓ ÒØÓ Ô ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ñ Ô ÐÓ ØÓ Ö ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ α < S < S + + ) ) α α α ) ) < = α α + = α α. α ¾ ÂÓ ÒÒ È Ø Ö Ù Ø Ú Ä ÙÒ Ö Ð Ø ½ ¼ ¹½ µ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð ÑÓ ÓÑ Ò Ò Ð Ò ØÙÖ Ð Ö Òº É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

43 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÐØ Ñ Ù Ð Ö ÙÐØ Ñ Ó ØÓ ) Ö ÙÑ Ö ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö ÒØ α ÔÓ α > ÑÔÐ ÕÙ < º Ñ Ò Ø Ó Ö Ö Ð Ø Ð Ñ Ø ØÖ Ø Ò Ó¹ α ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÒÚ Ö ÒØ º È Ð Ù ÑÔÐ ÒÓ ÐÙÐÓ Ð Ñ Ø ÙØ Ð Þ Ñ¹ ÑÙ Ø Ú Þ Ö Ö Ð Ø ÒÓ Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Ó ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º µº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º ÓÑÔ Ö Ó ÓÑ Ö Ö Ð Øµº Ë u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º Ì Ñ¹ ½º Ë Ü Ø ÙÑ Ö Ð α > Ø Ð ÕÙ ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë Ü Ø ÙÑ Ö Ð α Ø Ð ÕÙ ÒØÓ Ö u Ú Ö ÒØ º u + = α + α u ) < +, u + = α + α u ) >, ÑÓÒ ØÖ Óº ÑÓÒ ØÖ Ó ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ñ Ø ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ö + Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ º + Ñ ÑÙ Ø ØÙ ÔÐ Ó ÔÖ Ø ØÓÖÒ ¹ ÑÙ ØÓ ÓÑÔÐ Ó ÙØ Ð Þ Ö Ó Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Óº Æ Ó ÔÓ ÑÓ Ö ÓÖÖ Ö ÙÑ Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÕÙ ÒÙÒ ÑÓ Ù Ö Ù ÔÐ Ó Ñ Ðº ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º Ö Ø Ö Ó Ê ÞÓ ¹ ³ Ð Ñ ÖØ µº Ë u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ¹ ÚÓ º Ì Ñ¹ ½º Ë ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ º u + sup <, + u ¾º º µ ¾º Ë ÒØÓ Ö u Ú Ö ÒØ º p N : > p u + u, ¾º º µ Â Ò Ð ÊÓÒ ³ Ð Ñ ÖØ ½ ½ ¹½ µ Ð Ó Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ö Ò Ò ØÙÖ Ð È Ö º É ¼ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

44 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ü Ø Ó Ð Ñ Ø u + = L, + u ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ L < Ú Ö ÒØ L > º ÑÓÒ ØÖ Óº ½º Ë ¾º º µ Ú Ö ÒØÓ ÄÓ Ó r,) : sup + u + u r. p N : > p u + u < r u + r + < u r, Ó ÕÙ ÕÙ Ö Þ Ö ÕÙ Ù Ó u r ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ p N : > p u r < C, C = u p r p u Cr. ÇÖ r ÙÑ Ö ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÔÓ r < ÔÓÖ Ô Ø Ô ÐÓ ÕÙ Ù Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó Ö u Ø Ñ Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë ¾º º µ Ú Ö ÒØÓ u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ Ô ÖØ Ö ÓÖ Ñ pº ÄÓ Ó ÓÑÓ u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ö ÑÓ ÕÙ u º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö u Ú Ö ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ö! 3 Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º Ö Ø Ö Ó Ê Þ ¹ ٠ݵº Ë u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º Ì Ñ¹ ½º Ë sup + u <, ¾º º½¼µ ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë sup + u >, ¾º º½½µ ÒØÓ Ö u Ú Ö ÒØ º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ü Ø Ó Ð Ñ Ø + u = L, ÒØÓ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ L < Ú Ö ÒØ L > º É ½ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

45 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÑÓÒ ØÖ Óº ½º Ë ¾º º½¼µ Ú Ö ÒØÓ r [,) : sup + u r, Ó ÕÙ ÑÔÐ p N : > p u r u r. ÓÑÓ r ÙÑ Ö ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÔÓ r < ÔÓÖ Ô Ø Ô ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó Ö u Ø Ñ Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë Ú Ö ¾º º½½µ ÒØÓ p N : > p u > u >. Ñ Ó ÕÙ u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ù Ó u ÒÓ Ø Ò Ô Ö Ô ÐÓ ÕÙ u Ú Ö ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ö +) + ) Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÒØ º ÓÑÓ Ó ÖÚ Ö Ô Ø Ú ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ó ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó Ø Ð ÓÑÓ Ó Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Óº Ç Ö Ø Ö Ó Ê ÞÓ Ó Ö Ø Ö Ó Ê Þ ØÓÖÒ Ñ Ó ØÙ Ó Ò ØÙÖ Þ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ Ñ ÑÔÐ º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ó ÔÖ Ó Ô Ö ÔÓÖ Ø ÑÔÐ Ó ÒÓ ØÙ Ó ÕÙ Ñ Ñ Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ò ÔÓ ÓÒÐÙ Ö L = º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Î Ö ÕÙ ÕÙ Ô Ö Ö Ù ÒØ ÔÐ Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ê ÞÓ ÓÙ Ó Ö Ø Ö Ó Ê Þ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ø Ö Ö Ò Ò ÙÑ ÓÒÐÙ Ó ÕÙ ÒØÓ Ù Ò ØÙÖ Þ e!. ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ô Ö Ö ÙÑ Ü Ö Ó Ñ ÒÚÓÐÚ ÒØ ÔÓ ¹ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ø Ö ¹ Ú Ö º ¾º Ë Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓ Ø ÓÖ Ø ÑÓ Ø Ó ØÙ Ö Ò ÐÑ ÒØ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º ÓÖ ÕÙ Ö ¹ ÑÓ Ò Ð Ö Ö Ù Ó Ø ÖÑÓ ÔÓ Ñ Ö ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓ º ÒØÖ Ø Ø Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ö Ø ÖÑÓ ÐØ ÖÒ Ó º ÔÐ Ö Ó Ö Ø Ö Ó Ê º Î Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ö ØÓÒ Ù Ôº ¾ º É ¾ À Ç ¾¼½¾»¾¼½

46 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ò Ó ¾º º½ Ë Ö ÐØ ÖÒ µº ÍÑ Ö Þ¹ ÐØ ÖÒ ÓÖ ÔÓ Ú Ð Ö Ú ¹Ð ÓÖÑ Ù ÒØ ) u = u +u u ) u +... ; ÓÒ u ÙÑ Ù Ó Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ö ÐØ ÖÒ ÓÑÓ Ó ÔÖ ÔÖ Ó ÒÓÑ Ò Ø Ñ Ñ ÔÓ ÖÓ Ú Ö Ö Ø ÓÖÑ Ù ÒØ ) u = u u +u 3 + ) u È Ö Ø Ö Ü Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ù ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ó Ä Ò Þ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½ Ö Ø Ö Ó Ä Ò Þµº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ ¹ Ö ÒØ Ô Ö ØÓ u u u 3 u... + u =. ¾º º½¾µ ÒØÓ Ö ) u ÓÒÚ Ö ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Óº Ë u ÙÑ Ù Ó Ø Þ Ò Ó ÓÒ ¾º º½¾µº ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÓÑ Ô Ö ÓÖ Ò Ô Ö ÑÔ Ö Ö ÐØ ÖÒ ) u ØÓ S = u +u u ) u + ) + u + + u +u, S = u +u u ) u + ) + u + + +u u. Î ÑÓ ÕÙ S ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ ÕÙ S ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ º ØÓ Ù Ò Ó ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ u Ø ÑÓ S +) S = u +u u ) u + ) + u + + +u u + +u + [ u +u u ) u + ) + u + + +u ] = u + u + S +) S = u +u u ) u + ) + u + + u +u u + [ u +u u ) u + ) + u + + u ] = u u +. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó S S Ô Ö ØÓ Ó N ÔÓ Ò Ó u ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ¹ ÒØ Ô Ö ¼ Ø ÑÓ S S = u +u u ) u + ) + u + + u [ u +u u ) u + ) + u + + u +u ] = u. ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ ÚÓÒ Ä Ò Þ ½ ¹½ ½ µ ÚÓ Ó Ð Ó Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ð ÑÓ Ò ØÙÖ Ð Ä ÔÞ º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

47 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë È ÐÓ ÜÔÓ ØÓ Ñ Ø ÑÓ S S S S S 4 S. ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÒØÓ ÕÙ S S Ó Ù ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø ÐÓ Ó ÓÒÚ Ö¹ ÒØ º Ò ÐÑ ÒØ Ø Ð ÓÑÓ Ú ÑÓ Ñ Ù Ò Ó Ó ØÓ u Ø ÑÓ Ñ S S = u. S R : + S = S = + S + S = S, Ô ÐÓ ÕÙ Ö ) u ÓÒÚ Ö ÒØ º Æ ÑÓÒ ØÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ò ÖÑÓ Ö ÐØ ÖÒ ÔÓÖ ) u, ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÓÖÑ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ò ÐÓ ÕÙ S S 4 S S S 3 S. Ü ÑÔÐÓ ¾º º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö Ù ÒØ ). Ç ÖÚ ¹ ÕÙ ÓÒ Ó ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ ÒÙÒ ÒÓ Ö Ø Ö Ó Ä Ò Þ Ò ¹ Ö Ô Ö ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ ÙÑ Ö ÐØ ÖÒ Ñ ÒÓ Ù ÒØ º ØÓ Ü Ø Ñ Ö ÐØ ÖÒ ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ ÒÓ Ó Ñ ÓÒ Ó ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ ÓÑÓ Ó Ó Ö ) ), 3 ) 3 ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ó Ù Ø ÖÑÓ Ö Ð ÒÓ ÑÓÒ ØÓÒÓ Ö ÒØ º ÔÖ Ò Ó Ñ ÒØ ÓÑ Ó ØÙ Ó ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ Ö º Á ØÓ Ö Ñ Ð ÓÖ È Ö ÓÙØÖ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓ ÕÙ ÒÓ ÐØ ÖÒ ØÓÖÒ ¹ Ñ ÓÑÔÐ ¹ Ó ÒÓÒØÖ Ö Ö Ø Ö Ó ÓÒÚ Ö Ò º ÓÒØÙ Ó Ô Ö Ð ÙÑ Ø Ö ÔÓ ÑÓ Ò Ù Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Øµº Ë u ÙÑ Ö Ù Ù Ó ÓÑ Ô Ö¹ ÑÓ S u Ð Ñ Ø v ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ÒØ Ô Ö ØÓ C > : S u C N, v v v 3 v... + v =. ÒØÓ Ö u v ÓÒÚ Ö ÒØ º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

48 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÑÓÒ ØÖ Óº Ò Ø ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ö u v Ø Þ Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ý ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½µº ÉÙ Ö ÑÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ù Ó ÓÑ Ô Ö u v ÑÓ S uv ÙÑ Ù Ó Ù Ýº ÓÑ ÑÓ ÔÓÖ Ó ÖÚ Ö ÕÙ u = S u S u N. ÒØÓ Ô Ö ÕÙ ÕÙ Ö m, N Ø ÕÙ m > Ø ÑÓ S uv m Suv = u +v + +u + v + + +u m v m +u m v m = S u + Su )v + +S u + Su + )v + + +S u m Su m )v m +S u m Su m )v m = v + S u +v + v + )S u + + +v m v m )S u m +v m S u m Í Ò Ó Ó ØÓ S u Ö ÙÑ Ù Ó Ð Ñ Ø v Ö ÙÑ Ù Ó ÑÓÒ ØÓÒ Ö ¹ ÒØ Ø ÑÓ S uv m Suv [v +C +v + v + )C + +v m v m )C +v m C] = v + C. ÓÑÓ v ÕÙ ÒØ Sm uv Suv Ö ØÓ Ô ÕÙ Ò ÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ö º ÑÓ Ó Suv ÙÑ Ù Ó Ù Ý Ö u v ÓÒÚ Ö ÒØ º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ø Ö Ó Ä Ò Þ ÔÓ ÐÑ ÒØ Ö ÑÓÒ ØÖ Ó Ô ÖØ Ö Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð Øº Ü ÑÔÐÓ ¾º º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ø Ô Ö Ù Ø Ö ÕÙ Ö Ù ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ cos. ¾º ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ Ö Ø Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ó Ñ ÙÐÓ º ÒØÓ ÑÙ ØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ô Ö Ó ØÙ Ó Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÔÓ ÖÓ Ö ÔÐ Ó Ô Ö ØÙ Ö ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ º Ò Ó ¾º º½º ÍÑ Ö u Þ¹ ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ º Þ¹ ÕÙ u ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÙ ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÒÚ Ö¹ ÒØ u ÓÒÚ Ö ÒØ Ñ u Ú Ö ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º½ ÍÄ Ì ÊÁ µº ÂÙ Ø ÕÙ ÕÙ Ö Ù ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ). Ç ÓÒ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ Ñ ÓÖØ Ó ÕÙ Ó ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ Ô ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ñ Ö ÑÔÐ ÙÒ º Å ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ó Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ü Ø Ñ Ö ÕÙ Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ ÓÒ Ù ÒØ ÒÓ Ó ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

49 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½º Ë u ÙÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ u ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ñ¹ u u. ÑÓÒ ØÖ Óº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ u ÙÑ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ S u Ù Ó Ù ÓÑ Ô Ö ØÓ S u = u + u + + u. È ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ý ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½µ Ø ÑÓ ε > p N : > p S u +k S u < ε u + + u u +k < ε. ÒØÓ Ò Ò Ó ÔÓÖ S u Ù Ó ÓÑ Ô Ö Ö u Ø Ñ¹ ε > p N : > p S u +k Su = u ++u + + +u +k u + + u u +k < ε. ÈÓÖØ ÒØÓ S u ÙÑ Ù Ó Ù Ý Ö u ÓÒÚ Ö ÒØ º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó k u = k k u = u u = u, k + k + k + Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Ü ÑÔÐÓ ¾º º¾ ÍÄ Ì ÊÁ µº ØÙ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ù ÒØ se. È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º½ Ó ØÙ Ó ÓÒÚ Ö Ò Ö Ò Ô ÖØ Ö ÒÙÑ Ö Ö Ö ÙÞ Ö¹ Ó ØÙ Ó ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º Ø ÑÓ Ó ÓÒÚ Ñ ÔØ Ö Ó Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Ó Ê ÞÓ Ê Þ Ô Ö Ó ØÙ Ó ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º¾ Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Óµº Ë Ñ u ÙÑ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö v ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ø ÕÙ u = L. + v Ë L < + v ÓÒÚ Ö ÒØ ÒØÓ u ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ º ÑÓÒ ØÖ Óº ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Ó Ø Ð Ó Ò ÈÖÓ¹ ÔÓ Ó ¾º º º Ê Ô Ö ¹ ÕÙ ÒÓ Þ Ò Ò ÙÑ ÒØ Ó Þ Ö ÙÑ ÓÑÔ Ö Ó Ú Ö Ò Ö v ÓÑ u º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

50 ¾º Ë ÊÁ Ë ÆÍÅ ÊÁ Ë Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº ØÙ ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ ÓÐÙØ Ö Ù ÒØ cos 3. ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º Ö Ø Ö Ó Ê ÞÓ ¹ ³ Ð Ñ Öصº Ë u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ ÒÙÐÓ º Ì Ñ¹ ½º Ë ¾º Ë sup + u + u ÒØÓ Ö u ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ º ÒØÓ Ö u Ú Ö ÒØ º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ü Ø Ó Ð Ñ Ø <, p N : > p u + u, + u + u = L, ÒØÓ Ö u ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ L < Ú Ö ÒØ L > º ÑÓÒ ØÖ Óº ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ê ÞÓ Ø Ð Ó Ò ÈÖÓÔÓ ¹ Ó ¾º º ÔÓ u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÔÓ Ø ÚÓ u + u = u + u º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ØÙ Ö Ù ÒØ ÕÙ ÒØÓ ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ ) +. ÈÖÓÔÓ Ó ¾º º Ö Ø Ö Ó Ê Þ ¹ ٠ݵº Ë u ÙÑ Ö ÕÙ ÐÕÙ Öº Ì Ñ¹ ½º Ë sup + u <, ÒØÓ Ö u ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ º ¾º Ë ÒØÓ Ö u Ú Ö ÒØ º sup + u >, Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ü Ø Ó Ð Ñ Ø + u = L, ÒØÓ Ö u ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ L < Ú Ö ÒØ L > º É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

51 Ü Ö Ó Ò Ó ¾ ÑÓÒ ØÖ Óº ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ö Ó Ê Þ Ø Ð Ó Ò ÈÖÓÔÓ ¹ Ó ¾º º ÔÓ u ÙÑ Ö Ø ÖÑÓ ÒÓ Ò Ø ÚÓ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÍÄ Ì ÊÁ µº Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ØÙ Ö Ù ÒØ ÕÙ ÒØÓ ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÙØ ) + ). 3+ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ø Ð ÓÑÓ ÒÓ Ó ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ Ò ÔÓ ÓÒÐÙ Ö L = Ò ÈÖÓÔÓ ¾º º ¾º º º ¾º Ü Ö Ó Ò Ó ¾ ½º ÁÒ ÕÙ ÙÑ ÜÔÖ Ó Ô Ö Ó Ø ÖÑÓ Ö Ð Ö Ù ÒØ ) ; b) ; 3 c) ; d),6+,5+,5+,5+ ; e) ; f) ¾º ÁÒ ÕÙ Ù ÓÑ Ô Ö Ö ÓÑ ØÖ Ù ÒØ ÐÙÐ ÓÑ ÕÙ Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ) = ; b) = ) + ; c) = 3 ; d) = 3 5+) ; e) 4 3 ; f) = ). π º Í Ò Ó Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ ÓÑ Ö ÓÑ ØÖ Ö Ú Þ Ñ Ò Ò Ø Ô ¹ Ö Ù ÒØ Ò ÓÖÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ ), ; b), ; c), ; d), º ÁÒ ÕÙ Ù ÓÑ Ô Ö Ö Å Ò ÓÐ Ù ÒØ ÐÙÐ ÓÑ ÕÙ Ó ÓÒÚ Ö ÒØ ) d) +) ; + + ; e) b) + = = )+) ; l + ) ; f) c) + ++ ; ) +) +). É À Ç ¾¼½¾»¾¼½

52 Ü Ö Ó Ò Ó ¾ º ÂÙ Ø ÕÙ ÕÙ Ö Ù ÒØ Ó Ú Ö ÒØ ) + ; b) + = ; c) + +!. º Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ö Ð ÓÑÔ Ö Ó ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö Ù ÒØ ) d) ; b)! +)! ; = e) + + ; +) ; f) c) + = = + ; +. º Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó ÓÑÔ Ö Ó ÓÑ Ö Ö Ð Ø ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö Ù ÒØ ) = + ; + b) + ); c) = se ) ; d) +5 e) = 4 3)4 ) ; f) + = º Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ê ÞÓ ³ Ð Ñ Öص ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö Ù ÒØ ) = +! ; b) ; c) +! d)!) 5 )! ; e) e ; f) =.3...+) ). º Í Ò Ó Ó Ö Ø Ö Ó Ê Þ Ù Ýµ ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö Ù ÒØ ) ; b) +) ; c) + d) ) e)! ; ½¼º ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ö ÐØ ÖÒ Ù ÒØ ) d) = ) ; b) ) ; e) f) + ) ; c) ) + 3+ ) ; f) ) ) [3+ ) ]. = ) + ; ) )!. É À Ç ¾¼½¾»¾¼½