Matemática Básica. Graciela Moro e Ligia Liani Barz

Transcrição

1 Matemática Básica Graciela Moro e Ligia Liani Barz ½½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½

2 ÓÒØ Ó ½ Æ Ñ ÖÓ ½ ½º½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Æ ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º¾ ÁÒØ ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º Ê ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º ÁÖÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º Ê º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÇÔ Ö ÓÑ ÓÒ ÙÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð ÙÑ Ù Ð ÑÔÓÖØ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÜÔÖ Ð Ö ½¼ ¾º½ ÜÔÖ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ ÜÔÓ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º¾ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ØÓÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º º½ ØÓÖ ÓÑÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º º¾ ÖÙÔ Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º ÈÖÓ ÙØÓ ÆÓØ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÇÔ Ö ÓÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ì Ò Ö ÓÒ Ð Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¼ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½½ ÈÓÐ ÒÑ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½½º½ Ç Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¾ Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

3 Graciela e Ligia ÁÒØÖÓ ÙÓ ÙÒ ½ º½ Ò Ó ÙÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÓÑ Ò Ó Ñ Ñ ÙÑ ÙÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º ÇÔ Ö ÓÑ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÙÒ Ô ¾ º½ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÙÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º½ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø ½ º½ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÁÒ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Ö º½ Å ÙÐÓ ÓÙ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒ ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÖ ÙÒ ¼ º½ ÙÒ Ô Ö ÑÔ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÙÒ Ò ØÓÖ ÙÒ Ó Ö ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÙÒ ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ¼ º½ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ Ö Ó ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÕÙ ÜÔÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Å ØÓ Ó Ö ÙÓ ÙÑ ÓÑÙÑ º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒ ÕÙ ÜÔÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Å ØÓ Ó Ö ÙÓ ÙÑ ÓÑÙÑ º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 Graciela e Ligia ÙÒÓ ÐÓ Ö ØÑ º½ ÄÓ Ö ØÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÄÓ Ö ØÑÓ ÓÑ Ð ÙÑ Ô º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙÒÓ ÐÓ Ö ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½¼º½ þò ÙÐÓ ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º½º½ ÍÒ Ñ Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º½º¾ ýö Ó ØÓÖ ÖÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º¾ Ç ÖÙÐÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º¾º½ Ë ÒÓ Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º¾º¾ Ì Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾º ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾º Ë ÒØ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾º ÇÙØÖ Ö Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ º º º º º º º º º º ½¼º ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º½ ÙÒÓ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º¾ ÙÒÓ Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º ÙÒÓ Ø Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º ÙÒÓ ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼º º ÙÒÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ½¼º º ÙÒÓ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ½¼º ÙÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ½¼º º½ ÙÒÓ ÖÓ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ½¼º º¾ ÙÒÓ ÖÓ Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º º ÙÒÓ ÖÓ Ø Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º º ÙÒÓ ÖÓ ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º º ÙÒÓ ÖÓ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º º ÙÒÓ ÖÓ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½ ÙÒ Ô Ö Ð ½¼ ½½º½ ÙÒ ÒÓ Ô Ö Ð Ó Ó ÒÓ Ô Ö Ð Ó º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º½º½ ÈÓÖ ÕÙ Ó ÒÓÑ ÙÒ À Ô Ö Ð º º º º º º º º º º º º ½¼ ½½º¾ ÙÒ Ø Ò ÒØ ÓØ Ò ÒØ ÒØ Ó ÒØ Ô Ö Ð º º º ½½½ ½½º ÙÒ Ô Ö Ð ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ ½½º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ê ÔÓ Ø Ó Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ Ð Ó Ö ½½ ½¾

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6 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ç º ÍÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÔÓ Ô Ö Ö Ò ÓÖÑ Þ Ñ Ô Ö ØÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ñ Ð ÓÑ Ô ÖØ Ñ Ð ÓÖÑ ÔÓÖ Ò Ò ØÓ Ð Ö ÑÓ ÕÙ Ö Ô Ø Ñ Ô Ö Ó Ñ ÒØ ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ 4, Ô Ö Ó Ó 5µ 0, Ô Ö Ó Ó 87µ 9, Ô Ö Ó Ó 54 Ô ÖØ ÒÓ Ô Ö 8µº ÆÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ø ÑÓ Ó Ù ÒØ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Q + = { Q/ 0} Ö ÓÒ ÒÓ Ò Ø ÚÓ µ Q = { Q/ 0} Ö ÓÒ ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓ µ Q = Q {0} Ö ÓÒ ÒÓ ÒÙÐÓ µ ½º½º ÁÖÖ ÓÒ Æ Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ø ÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒÓ Ü ØÓ ÒÓ Ô Ö Ó Ñ ÓÑÓ ØÓ Ö Þ ÒÓ Ü Ø ÓÙ ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ Ó ÕÙÓ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ º ÒÓØ ÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÖÖ ÓÒ ÔÓÖ Iº Ü ÑÔÐÓ ½µ =,44... ¾µ =, µ π =, ½º½º Ê Ò ÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÑÓ ÙÒ Ó ÒØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ ÖÖ ÓÒ Q Iº ÒØ Ó ÜÔÓ ØÓ Ñ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ N Z Q R, I R Q I = R I Q Z N ÙÖ ½º½ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ñ Ö Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö º ÆÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ø ÑÓ Ó Ù ÒØ Ù ÓÒ ÙÒØÓ R = R {0} Ö ÒÓ ÒÙÐÓ µ ¾

7 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË R + = { R/ > 0} Ö ÔÓ Ø ÚÓ µ R = { R/ < 0} Ö Ò Ø ÚÓ µ ½º¾ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ó Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö º Ë Ñ a b Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÑ a < bº ÆÓØ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ì ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÆÓØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö (a,b) ÖØÓ { R/a < < b} a b [a,b] Ó { R/a b} a b [a,b) Ó ÕÙ Ö ÖØÓ Ö Ø { R/a < b} a b (a,b] ÖØÓ ÕÙ Ö Ó Ö Ø { R/a < b} a b ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ò ØÓ (a,+ ) ÖØÓ { R/ > a} a [a,+ ) Ó { R/ a} a (,b) ÖØÓ { R/ < b} b (,b] Ó { R/ b} b ½º ÇÔ Ö ÓÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÁÒØ Ö Ó Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B Ò ¹ ÒØ Ö Ó A ÓÑB A Bµ ÓÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ñ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ A B ÓÙ A B = {/ A B} U A B A B ÙÖ ½º¾ ÁÒØ Ö Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A Bº

8 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË ÍÒ Ó Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B Ò ¹ ÙÒ Ó A ÓÑ B A Bµ ÓÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ñ A ÓÙ B ÓÙ A B = {/ A ÓÙ B} U A A B B ÙÖ ½º ÍÒ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A Bº Ö Ò Ö Ò ÒØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ A ÒÓ Ô ÖØ Ò Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ B ÓÙ A B = {/ A / B} U A B A B B A ÙÖ ½º Ö Ò ÒØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ A Bº Ò Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A U Ø ÕÙ A U U Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ Ú Ö Óµ Ñ ¹ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö A Ó ÓÒ¹ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó Ô ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ U ÕÙ ÒÓ ØÓ Ñ A ÓÙ U Aº ÆÓØ Ó A c ÓÙ Āº U A ÙÖ ½º Ç ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö A Ñ U (A c = U A)º ½º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó ½µ Ê ÔÖ ÒØ Ò Ö Ø Ö Ð Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö Ú ¹Ó Ù Ò Ó ÒÓØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ

9 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË µ (,5] (,] (,5] (, ] (,5] (,] ÈÓÖØ ÒØÓ (,5] (,] = { R/ < ÓÙ < 5} µ [,] [,4] [, ] [,4] [,] [,4] - / / ÈÓÖØ ÒØÓ [,] [,4] = [,] = { R/ } µ ([0,) [,) (,]) ((,] (0,]) [0,) [,) (, ] - (0,] 0 B = (,] (0,] 0 A B 0 4 (,] A = [0,) [,] (,] 0 ÈÓÖØ ÒØÓ A B = (,] {} = { R/ < } ¾µ Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ A = (,) B = [,4] C = [,) D = (,] E = (0,] Ø ÖÑ Ò µ (A B E) (C D)

10 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË A B C D E A B E C D (A B E) (C D) ÈÓÖØ ÒØÓ (A B E) (C D) = (,] = { R/ < } µ [(A B) (C D)] E A B C D [(A B) (C D)] [(A B) (C D)] E ÈÓÖØ ÒØÓ [(A B) (C D)] E = (,0] (,4] = { R/ < 0 ÓÙ < 4} ½º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ Ë P = { R/ < 9} Q = { R/ < < 7} R = { R/ 8}º Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ R (P Q)º ¾µ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A = { R/ } B = { R/ < 0} C = [0,) D = { R/ + 0} E = [,) Ø ÖÑ Ò µ [(B D) C] E µ [ (A C) B ] E µ ÓÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ A = { R/0 < } B = { R/ ÓÙ > } C = [,) D = { R/ < } E = (0,] Ø ÖÑ Ò µ ( A B C ) (D E) µ (B A) D

11 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË ½º Ð ÙÑ Ù Ð ÑÔÓÖØ ÒØ Ë Ñ a b Rº ½º Ë a < b c R ÒØÓ a+c < b+cº ¾º Ë a > b c R ÒØÓ a+c > b+cº Ü ÑÔÐÓ µ < c = = +( ) < +( ) ÓÙ 4 < º µ > c = = +() > +() ÓÙ 0 > º º Ë a < b c R + ÒØÓ ac < bcº º Ë a > b c R + ÒØÓ ac > bcº Ü ÑÔÐÓ µ < c = = () < () ÓÙ 4 < 6º µ > c = = () > () ÓÙ 4 > 6º º Ë a < b c R ÒØÓ ac > bcº inverte o sinal º Ë a > b c R ÒØÓ ac < bcº inverte o sinal Ü ÑÔÐÓ µ < c = = ( ) > ( ) ÓÙ 4 > 6º µ > c = = ( ) < ( ) ÓÙ 4 < 6º º Ë a < b ÓÑ Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ ÓÙ Ò Ø ÚÓ µ ÒØÓ a > b Ü ÑÔÐÓ µ < = > º µ > = < º µ Ø ÒÓ < = < º preserva o sinal

12 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË ½º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó Ê ÓÐÚ Ò ÕÙ ÜÓ Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ñ Ò Ö Ó ½µ + > 5 + > 5 5 > 6 5( 5 ) > 6( 5 ) < 6 5 ÈÓÖØ ÒØÓ S = { R/ < 6 5 }º ¾µ < + 4 < < 5 < 5 < ÈÓÖØ ÒØÓ S = { R/ 5 < }º µ Ì ÑÓ ÕÙ Ö ÓÐÚ Ö Ù Ò ÕÙ µ ÓÙ µ ÒØ Ö Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ S = { R/ }º µ 4 > 0 ÓÑÓ 4 < 0 ÒØÓ Ô Ö Ó Ø ÖÑÓ ÙÑ ÕÙÓ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ø ÕÙ < 0º ÈÓÖØ ÒØÓ S = { R/ < 0}º µ 4 5 ÓÒ Ó Ü Ø Ò 5 4 º Î ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó Ó Ñ Ñ ÖÓ Ù Ð ÔÓÖ 4 5º Ú ÑÓ ÒØÓ ÓÒ Ö Ö Ó Ó

13 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ½º ÆÅ ÊÇË Ó ½ Ë 4 5 > 0 ÓÙ > 5. 4 (4 5) (4 5) ÈÓÖØ ÒØÓ { R/ > 5} { R/ 4 } = ÓÒ ÙÒØÓ Ú Þ Óµ ÓÐÙÓ Ó Ó ½º Ó ¾ Ë 4 5 < 0 ÓÙ < 5. 4 (4 5) (4 5) ÈÓÖØ ÒØÓ { R/ < 5} { R/ 4 } = [, 5 ) ÓÐÙÓ Ó 4 Ó ¾º ÓÐÙÓ Ò Ð ÙÒ Ó [, 5 4 ) ÓÙ [, 5 4 )º Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ Ö ÓÐÙÓ È Ö Ó Ø ÖÑÓ ÙÑ ÕÙÓ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ø ÑÓ Ó Ó ÓÒ Ö Ö Ó ½ > 0 > 5 4 ÈÓÖØ ÒØÓ { R/ > 5} { R/ 4 } = ÓÐÙÓ Ó Ó ½º Ó ¾ < 0 < 5 4 ÈÓÖØ ÒØÓ { R/ < 5} { R/ 4 } = [, 5 ) ÓÐÙÓ Ó 4 Ó ¾º ÓÐÙÓ Ò Ð ÙÒ Ó [, 5 4 ) ÓÙ [, 5 4 )º ½º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ Ê ÓÐÚ Ò ÕÙ ÜÓ ½µ < + < 4+ ¾µ 0 µ 5 µ 0 <

14 ÜÔÖ Ð Ö ÜÔÖ Ð Ö Ó ÜÔÖ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ñ Ð ØÖ ÔÓ Ñ ÓÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ º ËÓ Ø Ñ Ñ ÒÓÑ Ò ÜÔÖ Ð Ø Ö º Ð ØÖ Ò ÜÔÖ Ó Ñ Ú Ö Ú Ó ÕÙ Ò ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ð ØÖ ÔÓ Ö Ù Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Óº È Ö Ö ÓÐÚ Ö ÓÙ ÑÔÐ Ö ÙÑ ÜÔÖ Ó Ð Ö Ú ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÔÖÓ¹ ÔÖ ÔÓØ Ò Ó Ö Ó ØÓÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓØ Ú º ¾º½ ÜÔÖ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ ÜÔÓ ÒØ Ö ÈÖÓÔÖ ÔÓØ Ò Ó Ë Ñ R R m Z n Zº ÈÖÓÔÖ Ü ÑÔÐÓ ½º m n = m+n = 5 +4 = 5 7 ¾º m = m n 9 = 9 4 = 5 n 4 º 0 = 0 = º n = n = = 8 º () m = m m (v) 5 = 5 v 5 = v 5 º ( n m = m n ( ) 4 = 4 = ( ) 8 m ( º = m a ) 4 = a4 m b b 4 º m =... }{{} m ØÓÖ ÈÖÓÔÖ Ö Ó Ë Ñ R + R + m Z n N º ½¼

15 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë ÈÖÓÔÖ Ü ÑÔÐÓ ½º n = n = ¾º m n = ( m ) n = n m = º m n = = m n n m = º n = n n 4 = 4 4 º n = n n 0 4 º ( n ) m = n m Ô Ö 0 ÓÙ m 0 m º n = mn = 4 4 ( 4 ) = 4 5 = 5 = 6 5 ¾º¾ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó Ë ÑÔÐ ÕÙ ÜÔÖ ½µ = + = 5 ¾µ () () = 9 = 9 + = 9 7 µ ( ) ( ) = = / = / µ (a b ) (a b ) (a b ) (a b ) = a 4 b 6 a 9 b 6 = a 4+9 b 6 6 = a b ( a b 4 µ a b ) ( ) a b 4 = ( a ( ) b 4 ) = (a 5 b 6 ) = a 5 b 8 a b µ = ( 5 0 ) 5 = ( 5 ) 5( 5 ) 5( 0 ) 5 = 8 µ 4 z 6 ( ) 8 4 z = = ( ) 6 z z ½½

16 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë µ an+ a n a (n ) an+ a n a (n ) = an++n a n = an+ a n = a(n+) (n ) = a n+4 ¾º ØÓÖ Ó ÙÑ ÜÔÖ Ó Ð Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ¹Ð ÔÓ Ú Ð ÒÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ù ÓÙ Ñ ÜÔÖ Ð Ö º Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÑÓ Ó ÒÓÑ ØÓÖ Óº ¾º º½ ØÓÖ ÓÑÙÑ ÜÔÖ Ó a+b Ø Ñ ÓÑÓ ØÓÖ ÓÑÙÑ Ó Ò Ø Ó ÔÓ ÑÓ ÓÐÓ Ö Ó Ñ Ú Ò Ó Ø Ö a+b = (a+b). ¾º º¾ ÖÙÔ Ñ ÒØÓ ÈÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ØÓÖ Ó Ú Ö Ú Þ Ò Ñ Ñ ÜÔÖ Óº a+b+a +b = (a+b)+(a+b) = (a+b)(+) ¾º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó Ë ÑÔÐ ÕÙ ÜÔÖ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó ØÓÖ Óº ½µ = (+ ) ¾µ = 6 ( +) µ + + = + = (+) = + µ + ++ µ + ++ = (+)+(+) = ( +)(+) ( ) = ( ) = ½¾

17 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë ¾º ÈÖÓ ÙØÓ ÆÓØ Ú Ç ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓØ Ú Ó ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÒØÖ ÜÔÖ Ð Ö ÕÙ Ó Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ù Ó Ô Ö Ú Ø Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø ÖÑÓ Ø ÖÑÓº ½µ ËÓÑ Ô Ð Ö Ò (a+b)(a b) = a b ¾µ ÉÙ Ö Ó ÓÑ (a+b) = a +ab+b µ ÉÙ Ö Ó Ö Ò (a b) = a ab+b Ç ÔÖÓ ÙØÓ Ñ Ó ÐÑ ÒØ Ó Ø Ó Ù Ò Ó ÔÖÓÔÖ ØÖ ÙØ Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ñ Ö Ð Ó Ó Ù ØÖ Óº Î ÑÓ i)(a+b)(a b) = a ab+ba b = a b ii)(a+b) = (a+b)(a+b) = a +ab+ba+b = a +ab+b iii)(a b) = (a b)(a b) = a ab ba+b = a ab+b Ñ Ñ ÓÖÑ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ö Ó Ö ÙÐØ Ó ÜÓ (a+b) = (a+b)(a+b) = a +a b+ab +b (a b) = (a b)(a b) = a a b+ab b (a+b) 4 = (a+b) (a+b) = a 4 +4a b+6a b +4ab +b 4 Ò Ö Ð Þ Ò Ó Ó Ø Ñ¹ Ó ÒÑ Ó Æ ÛØÓÒ (a+b) n = a n +na n b+ n(n )! a n b + n(n )(n ) a n b +...+nab n +b n.! ¾º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó ½º Ê Ö Ú Ù Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓØ Ú µ ( z)( +z) ( z)( +z) = () (z) = 9z µ ( 5) ( 5) = () +()( 5)+( 5) = ½

18 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë ¾º µ ( 4) ( 4) = ( ) + ( ¾º Ë ÑÔÐ ÕÙ ÜÔÖ Ó Ð Ö ) ( 4 )+ ( ) ( 4 ) +( 4 ) = 8 a a + º a a + = a( ) = a( )(+) ( ) ( )(+) = a(+) ÇÔ Ö ÓÑ Ö ½º ËÓÑ Ö a b + c d = ad+bc, b 0, d 0 bd ¾º ËÙ ØÖ Ó Ö a b c d = ad bc, b 0, d 0 bd ( a ( c º ÅÙÐØ ÔÐ Ó Ö = b) d) ac bd, b 0, d 0 º Ú Ó Ö a b c d ( a = b) ( ) d c = ad, b 0, c 0, d 0 bc Ç ÖÚ Ó È Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑ + 4 ÒÓ Ò Ö Ó ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÑÙÑ ÑºÑºµ Ô Ö Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ º Ù ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ö ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÕÙ Ó ÓÖÑ ÕÙ Ó ÒÓÑ Ò Ó¹ Ö Ù Ö Ñ Ù ÓÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ +4 = ( ) ( + 4 ) = 6 +8 = º 6 6 ¾º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó ØÙ ÓÔ Ö Ò ÑÔÐ ÕÙ ½µ = + = + ( ) = + 6 = ( )(+) + ( )(+) ( )(+) 4 4 ¾µ a +ab+b a b a b a+b a +ab+b a b a b = (a+b) a+b = (a+b)(a+b)(a+b) = ( ) a+b a+b (a+b)(a b) a b (a+b)(a b)(a b) a b µ (+) / = = (+)+ + + = = = ½

19 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë ¾º Ì Ò Ö ÓÒ Ð Þ Ó Ó ØÖ Ð Ö ÓÑ ÕÙÓ ÒØ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ Ö Ó ØÙÑ Ö ÓÒÚ Ò ÒØ ÑÓÚ Ö ÜÔÖ Ó Ö Ð Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ Ô Ö Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ú ¹Ú Ö º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ê Ð ÒÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ê ÓÒ Ð Þ Ó Ê Ð ÒÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ ( ) = = ÔÖÓ Ó Ñ Ó Ö ÓÒ Ð Þ Ó Ó ÒÓÑ Ò ÓÖº ½º Ë Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ a ÑÙÐØ ÔÐ ¹ ÔÓÖ a a. ¾º Ë Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ a b ÑÙÐØ ÔÐ ¹ ÔÓÖ a+ b a+ b. º Ë Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ a+ b ÑÙÐØ ÔÐ ¹ ÔÓÖ a b a b. Ñ Ñ Ò ØÖÙ ÔРѹ Ö ÓÒ Ð Þ Ó Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ º ¾º½¼ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó Ê ÓÒ Ð Þ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÙ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖº ½µ + ¾µ µ + = + = 0 + ( + + ) = + + ( + + ) = + = = 0 + ( ) = 0( ) ( ) = 5( ) ¾º½½ ÈÓÐ ÒÑ Ó ÍÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÙÑ ÜÔÖ Ó Ð Ö ÓÖÑ p() = a n n +a n n + +a +a 0 ÓÒ a n a n... a a 0 Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ Ó Ó ÒØ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù nº ½

20 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë Ü ÑÔÐÓ ½º p() = ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù Þ ÖÓ ¾º p() = + ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ÙÑ º p() = 5 + ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù Ó º p() = + + ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ù ØÖ ¾º½½º½ Ç Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ó Ú Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ñ Ð ÒØ Ú Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ º Ó Ú ÖÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ò Ñ ÖÓ 4 ÔÓÖ Ó Ø ÑÓ 06 Ö ØÓ º Ö Ú ¹ 4 = 06+º ÓÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ö Ö Ú Ó Ñ Ñ º Ó Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó p() q() ÓÑ Ó ÒØ Ö q() 0 ÒØÓ Ü Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ó m() r() Ø ÕÙ p() = q() m()+r()º ÒØÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö p() r() = m()+ º q() m() Ê ÔÖ ÒØ ¹ ÓÑÓ Ü ÑÔÐÓ ½µ p() q() r() m() Ë ÑÔÐ ÕÙ ÜÔÖ º ÈÓÖØ ÒØÓ ¾µ = º ÈÓÖØ ÒØÓ = +º ½

21 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ ¾º ÈÊ ËË Ë Ä ÊÁ Ë ¾º½¾ Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½º Ê Ö Ú Ù Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒÓØ Ú µ ( +4)( 4) µ (a+b) µ ( 4 + ) 4 µ (+)( 7)+( 5)(+) µ (a b)(a+b)(a +b ) µ ( ( ) +) ¾º Ë ÑÔÐ ÕÙ ÜÔÖ Ð Ö µ an+4 a a n a 4 a n µ n+4 n n+ µ µ ab n +ac n+m µ (+) ( ) 5 µ ( ) ( ) 5 µ µ + 4 º ØÙ ÓÔ Ö Ò ÑÔÐ ÕÙ ( ) ( µ + + ) 4 µ + + µ 4 a 4 +a a +a µ (a b ) (a +b ) (a 8 +b 8 ) a5 b a a b µ µ a 9 µ a+ a+a ++ е (+)( ) ( ) (+) ѵ ( ) 4 ( ) ( ) Òµ Óµ Ôµ + + ( ) µ µ 5 (+)5 + 4 (+)8 +z µ + +z ( )( z) ( )( µ º Ê ÓÒ Ð Þ Ó ÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÙ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÓÒ ÓÖÑ Ó Óº µ 5 8 µ + 6 µ 5 µ + º Ë ÑÔÐ ÕÙ + µ + + ( ) µ ( )( z) (z )(z ) µ µ ( º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÜÔÖ Ó + + ÕÙ Ú Ð ÒØ º Í Ë ¹Ë µ Ë p = q = (4 ) r = 8 s = ( pq r ÕÙ µ 0 < s < 4 µ 0 < s < µ 0 < s < µ < s < ) º ) ) ÒØÓ ÔÓ ÖÑ Ö µ < s < 4 ½

22 ÁÒØÖÓ ÙÓ ÙÒ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ó Ù Ó ÙÒÓ Ò Ñ Ú Ö ØÙ ÒÓ Ó º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÔÖ Ó Ö Ô Ó ÒÙÑ ÓÒØ Ù Ô Ò ÕÙ ÒØ Ù ÓÒ ÙÑ ÓÒ ÓÖÑ ÕÙ ÒØ ÓÒ ÙÑ Ø ÑÓ ÙÑ ÔÖ Ó Ò Óº Ó Ø Ö Ó ÖÖÓ Ó ÔÖ Ó Ö Ô Ó Ô Ò ÕÙ ÒØ ÓÑ Ù Ø Ú Ð Ø º Ó Ð ÖÑÓ ÙÑ Ö Ú Ø ÓÙ ÓÖÒ Ð ÓÙ Ø ÖÑÓ ÙÑ ÒÓØ Ö Ó ÑÙ Ø Ú Þ ÒÓ Ô Ö ÑÓ ÓÑ Ö Ó ÕÙ Ò Ñ Ó Ó ÕÙ ÓÑÔ Ö Ó ÒØÖ Ù Ö Ò Þ Ò Ó ÕÙ ÔÓ Ú Ð Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ö Ð Ó Ü Ø ÒØ ÒØÖ Ø Ö Ò Þ º È Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÓ Ó Ó ÕÙ ÔÖÓÔÓ ØÓ ÔÖ ÑÓ ÑÔÖ ÙÞ Ö ÙÑ Ð ÓÙ ÖÑÙÐ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÔÖ Ñ ÒØ Ö Ð Ó ÒØÖ Ú Ö Ú ÒÚÓÐÚ Ñ Óº Ð ÓÙ ÖÑÙÐ Ó ÕÙ Ñ ÑÓ Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÙÒÓº º½ Ò Ó ÙÒÓ ÍÑ ÙÒÓ f : A B ÙÑ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B Ø Ð ÕÙ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ A Ó ÙÑ Ò Ó Ð Ñ ÒØÓ B. f : A B ÆÓØ Ó ÓÙ f : A B º = f() f() Ü ÑÔÐÓ ½º Ë Ñ A = {,0,,} B = {,,,5} f : A B Ø Ð ÕÙ f() = +. A 0 B 5 Æ Ø Ó f ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ô Ö ØÓ Ó A Ü Ø ÙÑ Ò Ó B. ½

23 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë ¾º Ë Ñ A = {,0,,} B = {,0,4,5} f : A B Ø Ð ÕÙ f() =. A 0 B Ì Ñ Ñ Ò Ø Ó f ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ô Ö ØÓ Ó A Ü Ø ÙÑ Ò Ó B, Ñ ÓÖ = Ø Ó Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÒØÓ = 5 ÒÓ Ø Ó Ó Ò Ò ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Aº ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐÓ ½º Ë Ñ A = {,0,,,} B = {,,,5} f : A B Ø Ð ÕÙ f() = +. A 0 B 5 Æ Ø Ó f ÒÓ ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ü Ø ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ A ÕÙ ÒÓ Ø Ó Ó Ò Ò ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ B. ¾º Ë Ñ A = {,0,} B = {0,,,} f : A B Ø Ð ÕÙ A 0 B 0 Ì Ñ Ñ Ò Ø Ó f ÒÓ ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ Ü Ø A ÕÙ Ø Ó Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÒØÓ B. ½

24 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö ÈÓ ÑÓ Ú Ö Ö ØÖ Ú Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö f : A B Ò ÓÙ ÒÓ ÙÑ ÙÒÓº ÓÒ Ö Ó Ü ÑÔÐÓ ½º Ç Ö Ó ÙÖ º½ ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ ØÓ Ó (,) Ø Ó Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÒØÓ. ÆÓØ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ Ô Ö = 0 Ø ÑÓ = =. ÙÖ º½ ¾º Ç Ö Ó ÙÖ º¾ Ø Ñ Ñ ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÙÒÓ ÔÓ ØÓ Ó (0,+ ) Ø Ó Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÒØÓ. ÆÓØ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ = Ø Ó Ó = =. 4 ÙÖ º¾ º ÓÑ Ò Ó Ñ Ñ ÙÑ ÙÒÓ Ë f : A B ÙÑ ÙÒÓº ÓÑ Ò Ó Ñ ÑÓ ÓÑ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ A Ô Ö Ó ÕÙ Ü Ø B Ø Ð ÕÙ (,) f. Ö Ñ ÒØ Ó ÓÑ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó fº ÆÓØ Ó D(f) ÓÒØÖ ÓÑ Ò Ó Ñ ÑÓ ÓÒØÖ ÓÑ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Bº ¾¼

25 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë ÁÑ Ñ Ñ ÑÓ Ñ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ B ÕÙ ØÓ Ó Ó A Ø Ð ÕÙ (,) f. Ö Ñ ÒØ Ñ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ØÓ ÓÖ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó fº ÆÓØ Ó ÁÑ(f) A B f Imagem Domínio Contradomínio Bº Ç ÖÚ ÕÙ Ñ Ñ ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓÒØÖ ÓÑ Ò Ó ØÓ ÁÑ(f) Ü ÑÔÐÓ ½µ Á ÒØ ÕÙ Ó ÓÑ Ò Ó Ñ Ñ Ô Ö ÙÑ ÙÒ ÜÓ 4 4 f f 4 4 g h 4 4 ¾½

26 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë º ÇÔ Ö ÓÑ ÙÒ Ò Ó Ë Ñ f g Ù ÙÒ º Ò ¹ ÓÔ Ö ÓÑ Ù ¹ ØÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙÓ ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ µ (f +g)() = f()+g() µ (f g)() = f() g() µ (fg)() = f()g() ( ) f Úµ () = f() g g() Ç ÓÑ Ò Ó ÙÒ f +g f g fg ÒØ Ö Ó Ó ÓÑ Ò Ó f gº Ç ÓÑ Ò Ó f/g ÒØ Ö Ó Ó ÓÑ Ò Ó f g ÜÐÙ Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ g() = 0º Ü ÑÔÐÓ ½µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒ ÜÓ µ f() = ÓÑÓ ÙÑ Ö Þ Ò Ô Ö ØÓ Ó R ÒØÓ D(f) = Rº µ g() = 4+4 Æ Ø Ó g Ø Ò 4+4 0, ÓÙ Ô Ö. ÈÓÖØ ÒØÓ D(f) = R {}º + µ h() = + + Æ Ø Ó Ø Ñ ÒØ Ó 0. È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ò ÕÙ Ó ÕÙÓ ÒØ ÓÒ Ö ÑÓ Ó Ó µ Ë > 0, ÓÙ < ÒØÓ Ú ÑÓ Ø Ö + 0 º Ç Ø ÑÓ ÓÑÓ ÓÐÙÓ [,+ ) ( [, ) =, ). µ Ë < 0, ÓÙ > ÒØÓ Ú ÑÓ Ø Ö + 0 º Ç Ø ÑÓ (, ] (,+ ) =. ÈÓÖØ ÒØÓ D(f) = [ [, ) =, ) º µ r() = + + ÓÑÓ + ÒØÓ + + Rº ÈÓÖØ ÒØÓ D(f) = Rº ¾¾

27 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë µ t() = + 4 ÙÒÓ t Ø Ò 0 4 > 0. ÒØÓ > 4, Ó ÕÙ ÑÔÐ > 4º ÄÓ Ó D(f) = (4,+ )º ÓÑÔÓ Ó ÙÒ Ò Ó Ë Ñ ÙÒ f gº Ò ¹ ÙÒÓ ÓÑÔÓ Ø g f ÔÓÖ (g f)() = g(f()) f g f() g(f()) f g ÆÓØ ÕÙ Ó ÓÑ Ò Ó g f Ó ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ D(f) Ø Ð ÕÙ f() Ø ÒÓ ÓÑ Ò Ó gº ÈÓÖØ ÒØÓ (g f)() Ø Ò ÑÔÖ ÕÙ f() g(f()) Ø Ú Ö Ñ Ò º Ü ÑÔÐÓ ½µ ÓÒ Ö ÙÒ f() = + g() = + Ø ÖÑ Ò f g g fº (f g)() = f(g()) = f(+) = (+) +(+) = 9 ++º (g f)() = g(f()) = g( +) = ( +)+ = +6+º Ç ÖÚ ½µ Ç ÖÚ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÕÙ Ñ Ö Ð f g g fº ¾µ ÓÑÔÓ Ó ÙÒ Ó Ø Ú ØÓ (f g) h = f (g h) Ò Ó f g h ÙÒ º ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÒ Ö ÑÓ ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Ó ÓÑ Ò Ó h Ö Ú ÑÓ = h() z = g() w = f(z)º ÒØÓ ((f g) h)() = (f g)(h()) = (f g)() = f(g()) = f(z) = w. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó (f (g h))() = f ((g h)()) = f(g(h()) = f(g()) = f(z) = w. ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Öº ¾

28 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó ½µ ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÔÓÖ f() = f g g fº (f g)() = f(g()) = f ( ) = ( ) (g f)() = g(f()) = g( ) = = g() = º Ø ÖÑ Ò = 6+8 = +6 ¾µ ÓÒ Ö ÙÒ g() = + (g f)() = +6+º Ø ÖÑ Ò f()º g(f()) = +6+ f()+ = +6+ f() = ( +) f() = +º µ ÓÒ Ö ÙÒ f() = + (g f)() = º Ø ÖÑ Ò g()º (g f)() = g(f()) = g( +) = º Ç ÖÚ ÕÙ Ó ÓÑ Ò Ó g ÙÑ ÙÒÓ Ó ÙÒ Ó Ö Ù ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ g f ÙÒÓ Ó ÕÙ ÖØÓ Ö Ùº ÓÒÐÙ ÑÓ ÒØÓ ÕÙ g Ø Ñ ÕÙ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ó ÙÒ Ó Ö Ùº Æ Ø Ó ÔÖÓÔÓÑÓ g() = a +b+c Ú ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ó ÒØ a b cº ÈÓÖØ ÒØÓ a( +) +b( +)+c = a( 4 + +)+b( +)+c = a 4 +(a+b) +a+b+c = Á Ù Ð Ò Ó Ó Ó ÒØ Ó Ø ÑÓ Ó Ø Ñ a+ a+b = 7 a+b+c = 4 Ö ÙÐØ Ò Ó Ñ a = b = c = º ÄÓ Ó g() = + º µ ÙÒ f() = g() = h() = + Ø ÖÑ Ò f g hº (f g h)() = f (g(h()) = f(g(h())) = f(g( +)) = f( + ) = + = + ( +) µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó h() = (g f)() Ò Ó f() = + g() = 4 º ¾

29 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë ÓÑÓ D(f) = [,+ ) ÁÑ(f) = [0,+ ) D(g) = R {,} ÁÑ(g) = R g f Ø Ò Ô Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ D(f) Ø Ð ÕÙ ÁÑ(f) Ø ÒÓ ÓÑ Ò Ó gº ÄÓ Ó D(h) = D(g f) = R + {}º ÆÓØ ÕÙ h() = g(f()) = g( +) = + Ç ÖÚ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÖÑÓ Ó ÓÑ Ò Ó h Ñ Ð Ú Ö Ñ ÓÒ Ö Ó ÓÑÔÓ Ó Ø ÑÓ D(h) = [,+ ) {}º ÒØÖ Ø ÒØÓ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ [,0) D(h) ÒÓ Ø ÓÒØ Ó Ò ÁÑ(f) ÓÒØÖ Ö Ò Ó Ò Ó ÓÑÔÓ Ó ÙÒ º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ Í Ë ¹ Ë µ Ë Ñ f,g h ÙÒ Ù Ó Ö Ó Ó ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ÜÓ Ç ÒØ ÖÚ ÐÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ(ÁÑ(f) ÁÑ(g)) (D(f) ÁÑ(h)) µ (,) µ [, ] [0,] µ [,0) µ [0,] µ [,+ ) =f() =f() 4 =f() ¾µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒ º µ f() = + µ g() = ( +)(+) µ h() = 6 µ m() = µ t() = 4 4 µ ÓÒ Ö ÙÒÓ f : R { 4} R Ø Ð ÕÙ f() = + º Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ +4 Ó ÓÑ Ò Ó f Ù Ñ Ñ Ù Ð º µ ÙÒ f() = g() = + h() = +5 Ø ÖÑ Ò h h f g f f f hº ¾

30 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÁÆÌÊÇ Í Ç üë ÍÆ Ë µ ÓÒ Ö ÙÒ f() = g() = +º Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó f+g f g fg f g g fº µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó g f f g Ò Ó f() = + g() = 0º ¾

31 4 ÙÒ Ô Æ Ø Ô ØÙÐÓ ØÙ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ø ÔÓ Ô ÙÒ º ÙÒÓ f() = a + b a, b R Ñ ÙÒÓ Ñº Ø ÑÓ Ñ ÒÓ Ó ¹ ØÙ Ó Ó Ù ÒØ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ò Ó a = 0µ ÙÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ù ÕÙ Ò Ó a 0µ ÙÒÓ Ð Ò Ö ÕÙ Ò Ó a 0 b = 0µº º½ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ ÙÒÓ f : R R Ò ÔÓÖ f() = b ÓÒ b ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº Ç Ö Ó ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ ÑÔÖ Ô Ö Ð ÐÓ Ó ÜÓ ÖÙÞ Ó ÜÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,b)º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ µ f() = µ f() = ÙÖ º½ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º º¾ ÙÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ù ÙÒÓ f : R R Ò ÔÓÖ f() = a+b ÓÒ a b Ó Ò Ñ ÖÓ Ö a 0º ¾

32 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË º¾º½ Ö Ó Ç Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ Ó ½ o Ö Ù ÙÑ Ö Ø Ö ÒØ ÓÙ Ö ÒØ º ÓÒ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö ÙÒÓ = f() ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ º¾º 0 θ 0 ÙÖ º¾ ÙÖ º¾ Ø ÑÓ ÕÙ tanθ = 0 0 ÒØÓ 0 = (tanθ)( 0 )º ÈÓÖØ ÒØÓ = (tanθ)+ 0 (tanθ) 0 ÓÒ Ö ÑÓ a = tanθ b = 0 (tanθ) 0 º ÄÓ Ó = a + b ÓÒ a Ñ Ó Ó ÒØ Ò ÙÐ Ö Ö Ø b Ñ Ó Ó ÒØ Ð Ò Öº ÆÓØ ÕÙ b ÓÖ Ò Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó Ö Ó f ÓÑ Ó ÜÓ º È Ö = 0 Ó Ø ÑÓ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó Ö Ó f ÓÑ Ó ÜÓ ( b,0)º Æ Ø Ó = a b Ñ Ó Þ ÖÓ ÙÒÓº Î ÙÖ º º a b a b θ θ b b a ÙÖ º Ç ÖÚ ÕÙ f Ö ÒØ ÓÙ > 0 = > 0 ÒØÓ a = 0 0 > 0 ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º¾º Ë f Ö ÒØ ÓÙ > 0 = < 0 ÒØÓ a = 0 0 < 0 ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º º θ 0 0 ÙÖ º ¾

33 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ò Ób = 0 ÙÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ù Ñ ÙÒÓ Ð Ò Öº ÈÓÖØ ÒØÓ ÙÒÓ Ò ÔÓÖ f() = a ÓÒ a 0º Ç Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ Ð Ò Ö ÑÔÖ Ô Ô Ð ÓÖ Ñ ÔÓ Ó Ó ÒØ Ð Ò Ö ÒÙÐÓº µ f() = a, a > 0 µ f() = a, a < 0 ÙÖ º ÙÒÓ Ð Ò Ö È Ö Ú ÐÓÖ Ö ÒØ a Ú Ó Ð Ò Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = a Ü ÑÔÐÓ ½µ ÙÒÓ f() = Ö ÒØ ÔÓ a > 0º ¾µ ÙÒÓ f() = Ö ÒØ ÔÓ a < 0º 6 º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÒ ÜÓ µ f() = ¾

34 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ë ËÈ Á ÁË µ g() = µ h() = 5 ¾µ Ë f ÙÑ ÙÒÓ Ó o Ö Ù Ø Ð ÕÙ f( ) = f() = 4º Ø ÖÑ Ò f( 5 )º µ ÓÒ Ö Ó ÑÓØÓÕÙ ÖÓ ÕÙ Ô ÖØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ A B Ù ØÖ Ø Ö Ö Ø Ð Ò ÒÓÒØÖ Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ C ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ º Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÕÙ Ö Ú Ñ ØÖ Ø Ö º 5 B A t ¼

35 5 ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø ÙÒÓ Ó ¾ Ó Ö Ù ÓÙ ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø Ø ÔÖ ÒØ Ñ Ò Ñ Ö ÔÐ ¹ º Æ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ö Ø Ð Ò Ó ÙÒ ÓÖÑ Ö ØÓ Ô Ð ÙÒÓ S(t) = S 0 +v 0 t+ at ÕÙ Ð Ö Ú ÔÓ Ó S ÙÑ Ó ØÓ Ñ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ò Ø ÒØ Ø ÑÔÓ tº Æ Ó S 0 Ö ÔÖ ÒØ ÔÓ Ó Ò Ð Ó Ó ¹ ØÓ v 0 Ú ÐÓ Ò Ð a Ð Ö Óº Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ö ÑÓ ÙÑ ØÙ Ó Ø Ð Ó Ó Ö ÙÒ ÕÙ Ö Ø º º½ Ò Ó ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø ÙÑ ÙÒÓ f : R R Ò ÔÓÖ f() = a + b+c ÓÒ a b c Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ó a 0º º½º½ Ö Ó Î ÑÓ Ò Ö ÒÓ Ó ØÙ Ó Ó Ö ÙÒ ÕÙ Ö Ø Þ Ò Ó ÙÑ Ò Ð Ó Ö Ö Ó f() = a a 0º 5 = = = ÙÖ º½ ÙÒÓ f() = a a > 0 Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ a Ø ÖÑ Ò ÖØÙÖ Ô Ö ÓÐ º Ë < a < ÒØÓ Ñ ÖØ Ö Ô Ö ÓÐ º Ë a < ÓÙ a > ÒØÓ Ñ Ö ½

36 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ Ô Ö ÓÐ º Ð Ñ Ó a < 0 ÙÑ Ö ÜÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ º½ º¾º 4 = = = ÙÖ º¾ ÙÒÓ f() = a a < 0 È Ö Ú ÐÓÖ Ö ÒØ a Ú Ó Ð Ò Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = a ÓÖ Ú ÑÓ ÓÑÔ Ö Ö Ó Ö Ó f() = g() = ( k) k R ÓÒ ÓÖÑ ÙÖ º ÉÙ Ð Ò Ù Ò k Ó Ö Ó Ö Ó f 4 =(+) = =( ) 4 4 ÙÖ º ÌÖ Ò Ð Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÒÓ f() = ÉÙ Ò Ó k > 0 ÓÓÖÖ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö Ö Ø ÒÓ Ö Ó f k ÙÒ º ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ k < 0 ØÖ Ò Ð Ó Ô Ö ÕÙ Ö k ÙÒ º Æ Ø Ó Ó Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ (k,0)º È Ö Ú ÐÓÖ Ö ÒØ k Ú Ó Ð Ò Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = ( k) ¾

37 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ ÆÓ Ó ÙÒ f() = h() = +p p R Ó ÕÙ ÓÓÖÖ Î ÙÖ º µ 4 = = = ÙÖ º ÌÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð ÙÒÓ f() = ÉÙ Ò Ó p > 0 ÓÓÖÖ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð p ÙÒ Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ó fº p < 0 ØÖ Ò Ð Ó p ÙÒ Ô Ö ÜÓº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ (0,p)º È Ö Ú ÐÓÖ Ö ÒØ p Ú Ó Ð Ò Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = +p Î ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó f() = ( + ) + ÔÐ Ò Ó Ø Ò ÓÖ Ñ º ÓÑ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó Ó Ö Ó = Ñ Ù Ó Ö Ó = Ñ ÒÙ Ò Ó Ñ ÖØÙÖ Ô Ö ÓÐ º Ê Ø Ò Ó Ó Ö Ó = Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó = º Æ ÕÙ Ò ØÖ Ò Ð ÑÓ ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ Ó Ö Ó = ÙÒ Ô Ö ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ó Ó Ö Ó = ( + ) º Ò ÐÑ ÒØ Ó ØÖ Ò Ð Ö Ú ÖØ ÐÑ ÒØ Ô Ö Ñ Ó Ö Ó = (+) ÙÒ Ó Ø ÑÓ Ó Ö Ó = (+) +º ÕÙ Ò Ö Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º º 4 = 4 4 = (+) + 4 = (+) = ÙÖ º ÙÒÓ f() = (+) +

38 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ Æ Ø Ü ÑÔÐÓ Ó Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ (k,p) = (,)º Ç Ö Ó ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÒÓ f() = Ú ÙÖ º µ Ø Ñ Ñ ÔÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò Ö Ø ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ Ô Ö Ó Ø ÙØ Ð Þ Ö Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ö ÕÙ Ö Ó Ö Ö Ú Ö ÙÒÓ ÓÖÑ f() = a( k) +pº Ñ f() = ( 6)+7 = ( 6+9) 9+7 = ( ) º 4 = =( ) =( ) ÙÖ º ÙÒÓ f() = 6+7 Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ú ÖØ Ô Ö ÓÐ Ó ÔÓÒØÓ (k,p) = (, )º Î ÑÓ Ò Ö Ð Þ Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ó Ú ÖØ Ô Ö ÓÐ ÙØ Ó ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÔÖ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò ÓÑÔÐ Ø Ö ÕÙ Ö Ó º ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒÓ f() = a + b + c = a ( + b a + c a) a 0º ÓÑÔÐ Ø Ò Ó ÕÙ Ö Ó Ó Ø ÖÑÓ ( + b a ) Ó Ø ÑÓ Ñ ( + ( ba b + ) b 4a 4a = + b ) b a 4a [ ( f() = a + b ) ] b a 4a + c a [ ( = a + b ) ) +( ] b 4ac a 4a ( = a + b ) ) +( b 4ac a 4a º½µ Ç ÖÚ ÕÙ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð b ÙÒ Ô Ö Ö Ø a ÓÙ ÕÙ Ö Ô Ò Ò Ó Ó Ò a bµ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð b 4ac 4a ÙÒ Ô Ö Ñ ÓÙ Ô Ö ÜÓµº Ë a < 0 ÙÑ Ö ÜÓ Ó Ö Ó f Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ º

39 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ ÓÑÔ Ö Ò Ó º½µ ÓÑ Ó ( Ü ÑÔÐÓ ÔÖ ÒØ ) Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ó Ú ÖØ Ô Ö ÓÐ Ó ÔÓÖ (k,p) = b 4ac º Ô ÖØ Ö ÕÙ Ù Ö ÑÓ ÒÓØ Ó a, b 4a v v Ô Ö k p Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Î ÑÓ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Þ ÖÓ Ö Þ µ ÙÒÓ f() = a + b + cº ÉÙ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ Ó Ö Ó f ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ ÓÙ Ó ÔÓÒØÓ Ø ÕÙ f() = 0º ÔÓÖØ ÒØÓ ÓÖ Ó ÓÑ º½µ Ø ÑÓ = f() = a +b+c = 0 ( a + b ) ) +( b 4ac = 0 a 4a ( a + b ) = b 4ac a 4a ( + b ) = b 4ac a 4a + b a = ± b 4ac 4a = b± b 4ac a º¾µ Æ ÕÙ Ó º¾µ = b 4acº Ì ÑÓ ÒØÓ ØÖ Ó Ô Ö Ò Ð Öº ½º Ë > 0 Ö Þ = b+ a = b Ó Ö Ø ÒØ º Á Ó a Ò ÕÙ Ó Ö Ó f ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ Ñ Ó ÔÓÒØÓ (,0) (,0)º ¾º Ë = 0 Ù Ö Þ Ö Ù Ö = = b º Æ Ø Ó Ó a Ö Ó f ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ Ñ Ô Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ ( b,0)º a º Ë < 0 ÒÓ Ö Þ Ö ÓÙ Ó Ö Ó f ÒÓ ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ º Ê ÙÑ ÑÓ Ò Ì Ð º½µ ØÓ Ó Ó ÔÓ Ú Ó Ô Ö Ó Ö Ó fº ÆÓ Ö Ó Ö Ø ØÖ Ù ÕÙ Ó = a b Ñ ÜÓ Ñ ØÖ Ô Ö ÓÐ º Ç ÖÚ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ô Ö ÓÐ ÓÑ Ó ÜÓ Ñ ØÖ Ó Ú ÖØ ( v, v )º

40 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ Ì Ð º½ Ö Ó ÙÒÓ ÕÙ Ö > 0 = 0 < 0 a > 0 b a = = b a b a a < 0 b a = = b a b a Ç Ú ÖØ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ Ñ Ò ÑÓ ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ º º ÈÓÖØ ÒØÓ v ÁÑ(f) Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ ÙÒÓ ÓÑ ÒØ v ÁÑ(f) v ÁÑ(f) Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ ÙÒÓ ÓÑ ÒØ v ÁÑ(f)º = v v = v c c v v v ÙÖ º Ç ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó Ö Ó f() = a +b +c ÓÑ Ó ÜÓ ÓÖÑ (0,f(0)) ÓÙ (0,c)º º¾ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó ½µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÒ ÒØ Ò Ó Ó Ú ÖØ Ó ÜÓ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ñº

41 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ µ f() = +0 µ Ê Þ = +0 = 0 = = ± 9+40 º ÒØÓ = 5 = º µ Ç Ö Ó ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,c) = (0,0)º µ Î ÖØ = +0 = ( +)+0 = ( )+0 = ( ) = (+ ) ÓÑÔ Ö Ò Ó ÓÑ ÜÔÖ Ó = a( v ) + v Ø ÑÓ ÕÙ v = v = 49 4 º Úµ Ç ÜÓ Ñ ØÖ Ö Ø ÕÙ Ó = v = º Úµ ÆÓØ ÕÙ a = º Æ Ø Ó ÓÒ Ú Ô Ö ÓÐ ÚÓÐØ Ô Ö ÜÓº ÄÓ Ó Ø ÙÒÓ Ø Ñ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ v = 49 4 º Ñ ÁÑ(f) = (, v ) = (, 49 4 ]º Ý 49 4 f µ g() = 4 +9 µ Ê Þ = 4 +9 = 0 = = ± º 8 ÒØÓ = = º µ Ç Ö Ó ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,c) = (0,9)º

42 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ µ Î ÖØ = 4 +9 = 4( )+9 = 4( )+9 = 4( ) 9+9 = 4( ) ÓÑÔ Ö Ò Ó ÓÑ ÜÔÖ Ó = a( v ) + v Ø ÑÓ ÕÙ v = v = 0º Úµ Ç ÜÓ Ñ ØÖ Ö Ø ÕÙ Ó = v = º Úµ ÆÓØ ÕÙ a = 4º Æ Ø Ó ÓÒ Ú Ô Ö ÓÐ ÚÓÐØ Ô Ö Ñ º ÄÓ Ó Ø ÙÒÓ Ø Ñ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ v = 0º Ñ ÁÑ(f) = [ v,+ ) = [0,+ )º 9 g µ h() = + µ Ê Þ = + = 0 = = ± 4 = ± ÓÑÓ = < 0 ÒÓ Ü Ø Ñ Ö Þ Ö º µ Ç Ö Ó ÒØ Ö ÔØ Ó ÜÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,c) = (0,)º µ Î ÖØ = + = ( )+ = ( )+ = ( + 4 ) = ( ) + 4

43 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ ÓÑÔ Ö Ò Ó ÓÑ ÜÔÖ Ó = a( v ) + v Ø ÑÓ ÕÙ v = v = 4 º Úµ Ç ÜÓ Ñ ØÖ Ö Ø ÕÙ Ó = v = º Úµ ÆÓØ ÕÙ a = º Æ Ø Ó ÓÒ Ú Ô Ö ÓÐ ÚÓÐØ Ô Ö Ñ º ÄÓ Ó Ø ÙÒÓ Ø Ñ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ v = 4 º Ñ ÁÑ(f) = [ v,+ ) = [ 4,+ )º h 4 ¾µ Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø Ù Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ý f Ë f() = a +b+c a 0 ÙÒÓ ÔÖÓÙÖ º ÓÖ Ó ÓÑ Ó Ö Ó Ø ÑÓ ÕÙ v = 5 4 v = 9 º Â Ú ÑÓ ÕÙ f() ÔÓ 8 Ö Ö Ö Ø Ò ÓÖÑ = f() = a( v + v Ñ = a( 5 4 ) 9º 8 Ô Ö ÓÐ Ô Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (0,) ÒØÓ Ò ÜÔÖ Ô Ñ = a( 5 4 ) 9º 8 ÈÓÖØ ÒØÓ a = º ÄÓ Ó f() = ( 5 4 ) 9 = 8 5+º ÇÙØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ö ÓÐÙÓ Ù ÜÓ µ f(0) = = = a 0+b 0+c = c = µ v = 5 4 µ v = 9 8 = b a = 5 4 = (b 4ac) 4a = b = 5a = 9 8

44 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ ÓÑÓ b = 5a c = Ø ÑÓ 5 4 a 4 a = 9 4a a 8a = 9a 5a a = 8a 5a 50a = 0 a(5a 50) = 0 ÓÑÓ a 0, Ö Ø 5a 50 = 0 a =. ÈÓÖØ ÒØÓ b = 5a = 5 = 5º ÄÓ Ó f() = 5+º µ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ k R Ô Ö ÕÙ ÙÒÓ f() = k +(k +5)+(k +) Ø Ò Ñ Ò ÑÓ Ù Ð 7º Ë V( v, v ) Ó Ú ÖØ fº ÓÓÖ Ò v Ó Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ f ÔÓÖØ ÒØÓ v = 7 ÓÒ v = (b 4ac) 4a 7 = [(k+5) 4k(k+)] 4k 7 = [k +0k+5 4k 4k] 4k 8k = k +0k+5 4k 4k k +k 5 = 0. Ö Þ Ó k = 5 k = º ÓÑÓ ÙÒÓ Ú Ø Ö ÓÒ Ú ÚÓÐØ Ô Ö ÜÓ Ô Ö Ø Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ ÒØÓ k = ÙÒÓ Ó Ø f() = +6+º f 7 º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó f() = Ù Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÒ ÜÓ Ù Ò Ó ØÖ Ò Ð º Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÖØ ÕÙ Ó Ó ÜÓ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ñº µ q() = (+) 4 ¼

45 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ µ h() = µ g() = µ f() = ¾µ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ m R Ô Ö ÕÙ ÙÒÓ f() = m +(m 7)+(m+) Ø Ò ÙÑ Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ù Ð º µ Í Ë ¹Ë µ Ë f() ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø Ù Ó Ö Ó Ô Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ P( 5, 9 ) Q(,) Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö Ø = +4 ÓÑ Ó ÜÓ 4 º µ ÒÓÒØÖ ÜÔÖ Ó f()º µ ÙÒÓ f() Ñ Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÉÙ Ó ÓÓÖ Ò ÔÓÒØÓ µ Í Ë ¹Ë µ Ë f() ÙÒÓ ÕÙ Ö Ø Ù Ó Ö Ó Ô Ô ÐÓ ÔÓÒØÓP(, ) Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö Ø = 4 + ÓÑ Ó ÜÓ ÓÖ Ò º Ë ¹ Ò ÕÙ ÙÑ Ù Ö Þ Ù Ð ¾º µ ÒÓÒØÖ ÜÔÖ Ó f()º µ ÙÒÓ f() Ñ Ø ÙÑ Ñ Ü ÑÓ ÓÙ ÙÑ Ñ Ò ÑÓ ÉÙ ÓÓÖ Ò ÔÓÒØÓ µ Í Ë ¹Ë µ Ë f ÙÒÓ ÕÙ Ö Ú Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÕÙ Ö Ó ACEG ÙÖ ÜÓº C B I D E F A H G Ç ÕÙ Ö Ó DEFI ÔÓ Ù Ö Ù Ð 9cm º ÓÑ Ö Ó Ö ØÒ ÙÐÓ BCDI FGHI Ù Ð 6 cm º Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ö ÕÙ Ø Þ Ñ Ò ÕÙ Ó < f() 6º µ Í Ë ¹Ë µ ÍÑ Ñ ÖÓ ÑÔÖ ÕÙ ÔÖÓ ÙÞ Ö Ú Ò Ö Ñ Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ ÖØÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ø Ö ÙÑ Ù ØÓ Ñ Ò Ð ÙÒ Ø Ö Ó Ó ÔÓÖ C() = Ö Ó Ø Ö ÙÑ Ö Ø Ñ Ò Ð ØÓØ Ð ÔÓÖR() = Ö º ÂÙ Ø Ò Ó ÜÔÐ Ø Ò Ó Ù ÐÙÐÓ Ø ÖÑ Ò µ ÕÙ ÒØ Ñ Ò Ð Ö ÔÖÓ ÙÞ Ú Ò Ô Ö ÕÙ ÑÔÖ Ó Ø Ò ÐÙÖÓ Ñ Ò Ð Ñ Ü ÑÓ µ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó ÕÙ ÑÔÖ ÔÓ Ó Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Þ Ñ Ð Ö Ñ Ò ÐÙÖÓº µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒÓ f() = º ½

46 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒ ÜÓ µ f() = µ f() = 6+ µ Í Ë ¹Ë µ Ô Ö ÖÖ Ñ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ø Ð Ö Ú ÙÑ ØÖ Ø Ö Ô Ö ¹ Ð Ô ÖÑ Ò Ò Ó ½¾ Ñ ÒÙØÓ ÒÓ Öº Ë Ò Ó¹ ÕÙ ÒÓ Ò Ø ÒØ Ò Ð Ó ÔÖÓ Ø Ð Ø ØÙ Ó ÒÓ Ò Ú Ð Ó ÓÐÓ Ô ½ Ñ ÒÙØÓ Ð Ø Ñ ØÖÓ ÐØÙÖ Ø ÖÑ Ò µ ÕÙ Ó ØÖ Ø Ö Ö Ø Ô ÐÓ ÔÖÓ Ø Ð µ Ó Ò Ø ÒØ Ñ ÕÙ Ó ÔÖÓ Ø Ð Ø Ò ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ µ ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ Ó Ø Ô ÐÓ ÔÖÓ Ø Ðº º ÁÒ ÕÙ Ò ÕÙ Ó ÜÔÖ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÙØ Ð Þ Ñ Ò Ù ÓÖÑ Ø Ó Ó Ù ÒØ Ò Ù Ð Ñ ÓÖ ÕÙ µ Ñ ÒÓÖ ÕÙ µ Ñ ÓÖ Ó٠٠е Ñ ÒÓÖ Ó٠٠е Ö ÒØ µº Ê ÓÐÚ Ö ÙÑ Ò ÕÙ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù Ò ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó ÕÙ f() Ø Ù Ð ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ i) + 0 ii) < 0 iii) ( )( +) 0 Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó Ô Ö Ü ÑÔÐ Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ö ÓÐÙÓ Ò ÕÙ ÙÒ Ó Ö Ùº º º½ Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó ½µ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ R Ø ÕÙ 5+6 0º Î ÑÓ Þ Ö ÙÑ ØÙ Ó Ó Ò Ð ÙÒÓ = 5+6 Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ó Ú ÐÓÖ R Ô Ö Ó ÕÙ 0º Ö Þ 5+6 = 0 Ó = = º ØÙ Ó Ó Ò Ð + + ¾

47 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ ØÖ Ú Ó Ö Ó ÙÒÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ 0 Ô Ö ÓÙ 0 Ô Ö º ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ S = (,] [,+ )º ¾µ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ R Ø ÕÙ (4 +9)( +0) < 0º Ì ÑÓ Ó Ó ÓÒ Ö Ö Ó ½ Ë 4 +9 > 0 +0 < 0º Ç Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ > < 0 Ó R { } (, 5) (,+ ) Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ Ô Ö Ó Ó ½ ÒØ Ö Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ R { } [(, 5) (,+ )] ÓÙ (, 5) (,+ )º Ó ¾ Ë 4 +9 < 0 +0 > 0 ÓÐÙÓ ( 5,) = ÔÓ R Ø ÕÙ 4 +9 < 0º ÄÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ (4 +9)( +0) < 0 ÓÒ¹ Ø Ñ Ò ÙÒ Ó ÓÐÙ Ó Ø ÒÓ Ó ½ ¾ ÓÙ [(,5) (,+ )] = (,5) (,+ )º µ Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ Ì ÑÓ Ó Ó ÓÒ Ö Ö º Ó ½ Ë < 0º Ý Ý + + +

48 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÉÍ ÊýÌÁ Ç Ú ÐÓÖ Ø < 0 Ó (, ] [,+ ) (, ) (,+ ) Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ Ô Ö Ó Ó ½ ÒØ Ö Ó Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÙ (, ] (,+ )º Ó ¾ Ë > 0 ÓÐÙÓ Ô Ö ÔÖ Ñ Ö Ò ÕÙ Ó [,] Ô Ö ÙÒ Ò ÕÙ Ó (,)º ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ Ô Ö Ó Ó ¾ [,] (,) = (,]º + ÄÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ø ÕÙ 0 ÓÒ Ø Ñ Ò ÙÒ Ó ++ ÓÐÙ Ó Ø ÒÓ Ó ½ ¾ ÓÙ (, ] (,] (,+ )º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ Ê ÓÐÚ Ò ÕÙ ÜÓ µ µ ( + )( ) > 0 µ < 0 µ µ

49 6 ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Ö ÙÒÓ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ó Ù Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ñ ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Öº ÁÒ Ö ÑÓ Ø Ô ØÙÐÓ Þ Ò Ó ÙÑ ØÙ Ó Ó Ö Ñ ÙÐÓ ÓÙ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÔÖÓÔÖ º º½ Å ÙÐÓ ÓÙ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ò Ó Ç Ñ ÙÐÓ ÓÙ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓØ Ó ÔÓÖ Ò Ó ÔÓÖ {, 0 =, < 0 Ü ÑÔÐÓ µ = µ µ 0 = 0 = ( ) = Ò Ó Ñ ÙÐÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ó Ñ ÙÐÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÑÔÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒÓ¹Ò Ø ÚÓ ÓÙ 0º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÓÑ ØÖ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ó Ñ ÙÐÓ ÓÙ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ö ÔÖ ÒØ ØÒ ÒØÖ 0. Ö Ú ¹ ÒØÓ =. 0 }{{}}{{} = = R

50 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê ÈÖÓÔÖ Ñ ÙÐÓ Ë Ñ Ò Ñ ÖÓ Ö º ½º 0 ¾º = º º = º. =. º =, R º = a = a ÓÙ = a º = = ÓÙ = º + + ½¼º + ½½º ½¾º + Î ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ö Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ñ º ÈÖÓÔÖ º º Ë 0 ÒØÓ = º Ë < 0 ÒØÓ < 0 Ô Ð ÔÖÓÔÖ ½º ÈÖÓÔÖ º = º Ë 0 ÒØÓ = = = º Ë < 0 ÒØÓ = = ( )( ) = º ÈÖÓÔÖ º. =. º Ì ÑÓ ØÖ Ó ÓÒ Ö Ö Ë 0 0 ÒØÓ = = º Ë 0 < 0 ÒØÓ = () = ( ) = º Ë < 0 < 0 ÒØÓ = +() = ( )( ) = º ÈÖÓÔÖ º =, R 0 ÑÓÒ ØÖ Ó Ò ÐÓ ÒØ Ö ÓÖº

51 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê ÈÖÓÔÖ º = = ÓÙ = º Ì ÑÓ ÕÙ ØÖÓ Ó ÓÒ Ö Ö Ë 0 0 ÒØÓ = = º Ë 0 < 0 ÒØÓ = = º Ë < 0 0 ÒØÓ = = º Ë < 0 < 0 ÒØÓ = = º ÈÓÖØ ÒØÓ = = ±º ÈÖÓÔÖ º + + º Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öº È Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓ ÕÙ + prop.4 = (+) = ++ prop. + + prop.4 = + + º ÒØÓ + prop = ( + ) º ÄÓ Ó + + º ÈÖÓÔÖ ½¼º + º = +( ) prop.7 + prop. = + º ÈÖÓÔÖ ½½º º ÆÓØ ÕÙ = + º È Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓ ÕÙ = ( )+ + º ÄÓ Ó º ÈÖÓÔÖ ½¾º + º = (+) + + = + + º ÄÓ Ó + º Ü ÑÔÐÓ ½µ Ò Ö ÙÑ Ó Ñ ÙÐÓ ÜÓ µ + Ë 0 ÒØÓ + = + < 0 ÒØÓ + = (+)º { +, ÈÓÖØ ÒØÓ + =, < º µ 5 Ë 5 0 ÒØÓ 5 = 5 5 < 0 ÒØÓ 5 = (5 )º { 5, 5 ÈÓÖØ ÒØÓ 5 = 5, > 5 º

52 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê µ 4 Ë 4 0 ÒØÓ 4 = 4 4 < 0 ÒØÓ 4 = (4 )º { 4 ÈÓÖØ ÒØÓ 4 =, 4, < ÓÙ > º º¾ ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Ö ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Ö ÓÙ ÙÒÓ Ñ ÙÐÓ ÙÒÓ f : R R Ò ÔÓÖ f() = º Ò Ó { Ñ ÙÐÓ Ø ÑÓ ÕÙ ÙÒÓ ÑÓ ÙÐ Ö ÔÓ Ö Ö Ò, 0 ÔÓÖ f() = = º Ç Ö Ó f ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º½º, < 0 ÙÖ º½ ÙÒÓ f() = Ç ÓÑ Ò Ó f Ó ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö D(f) = Rµ Ù Ñ Ñ Ó ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÒÓ¹Ò Ø ÚÓ ÁÑ(f) = R + µº Î ÑÓ Þ Ö Ð ÙÑ ÓÒ Ö Ó Ö ÙÒ g() = +a h() = +a a Rº ÉÙ Ö ÑÓ Ú Ö Ö ÕÙ Ø ÔÓ Ò Ù Ò Ó Ò Ñ ÖÓ a Ü Ö Ó Ö Ó Ö Ó ÙÒÓ f() = º È Ö ØÓ ÓÒ Ö Ó Ü ÑÔÐÓ ½µ g() = ÙÒÓ g ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÔÓÖ g() = {, 0 ( ), < 0, ÓÙ g() = {, ( ), <

53 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê ¾µ g() = + ÙÒÓ g ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÔÓÖ g() = { +, + 0 (+), + < 0, ÓÙ g() = { +, (+), < Î Ö ÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ½ ¾ ÕÙ a > 0 ÓÓÖÖ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð a ÙÒ Ô Ö Ö Ø ÒÓ Ö Ó f a < 0 ØÖ Ò Ð Ó a ÙÒ Ô Ö ÕÙ Ö º µ h() = + Ê Ö Ú Ò Ó ÙÒÓ h, Ø Ñ¹ h() = { +, 0 +, < 0, ÓÙ h() = { +, 0 +, < 0 µ h() = Ê Ö Ú Ò Ó ÙÒÓ l, Ø Ñ¹ h() = {, 0, < 0, ÓÙ h() = {, 0, < 0

54 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê ÆÓ Ü ÑÔÐÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ a > 0 ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð a ÙÒ Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ó f a < 0 ØÖ Ò Ð Ó a ÙÒ Ô Ö ÜÓº µ m() = + Ê Ò Ò Ó ÙÒÓ m Ø Ñ¹ m() = { +, 0 ( )+, < 0, ÓÙ m() = {, +, < 4 5 Æ Ø Ü ÑÔÐÓ ÓÓÖÖ ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÒ Ô Ö Ö Ø Ù ÙÑ ØÖ Ò Ð Ó Ú ÖØ Ð ÙÒ Ô Ö Ñ ÒÓ Ö Ó fº È Ö Ú ÐÓÖ Ö ÒØ a Ú Ó Ð Ò Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = a Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = +a Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = +a Î ÑÓ Þ Ö Ð ÙÑ ÓÒ Ö Ó Ö ÙÒ ÜÓ ½º g() = f() ¾º g() = f ( ) ¼

55 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê Ü ÑÔÐÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒ ÜÓ µ g() = 5+6 ÓÒ Ö ÑÓ g() = f(), ÓÒ f() = 5+6 { f() f() 0 g() = f() f() < 0. ÙÒÓ g ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÓÑÓ { g() = ( 5+6) 5+6 < 0. Ò Ð Ò Ó Ó Ò Ð f() Ø ÑÓ ÕÙ g() = { 5+6 ÓÙ ( 5+6) < <. Ç Ö Ó f g Ó ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º¾º µ f() µ g() ÙÖ º¾ µ g() = 5 +6 ÓÒ Ö ÑÓ g() = f ( ) ÓÒ f() = 5+6 { f() 0 g() = f ( ) = f( ) < 0 ÙÒÓ g() ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÓÑÓ { { g() = ( ) 5( )+6 < 0 = < 0 Ù Ó Ö Ó Ó Ò ÙÖ º º ½

56 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê Ç ÖÚ ÙÖ º i) ÆÓ Ü ÑÔÐÓ (a) Ó Ö Ó ÙÒÓ g ÔÓ Ö Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö Ó Ö Ó f, Ø Ò Ó Ô Ö ØÓ ØÙ Ö ÙÑ Ö ÜÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ, ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÕÙ f() < 0 ii) ÆÓ Ü ÑÔÐÓ (b) Ó Ö Ó ÙÒÓ g ÔÓ Ö Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö Ó Ö Ó f, Ø Ò Ó Ô Ö ØÓ ÕÙ Ó Ö Ó f, Ô Ö 0, Ó Ö ÙÑ Ö ÜÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÜÓ. Ó ÖÚ Ø Ô Ö Ó Ü ÑÔÐÓ (a) (b) ÔÓ Ñ Ö Ò Ö Ð Þ º Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ P(,) ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ º Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ñ ØÖ Ó P Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ Ó ÔÓÒØÓ R(, ) Ó Ñ ØÖ Ó P Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ Ó ÔÓÒØÓ Q(,)º Q P R ÙÖ º Ì ÑÓ Ñ ÕÙ ÙÒÓ = f(), Ó Ö Ó = f( ) Ó Ñ ØÖ Ó Ó Ö Ó = f() Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ º ÙÒÓ = f(), Ó Ö Ó = f() Ó Ñ ØÖ Ó Ó Ö Ó = f() Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ º ¾

57 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê º ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ö Î ÑÓ ÓÖ Þ Ö ÙÑ ØÙ Ó Ó Ö ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ö Ô Ö ØÓ ÓÒ¹ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ º ½µ = Ä Ñ Ö Ò Ó ÔÖÓÔÖ = a = a ÓÙ = a Ø ÑÓ = = = ÓÙ º = = ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ S = {,}º ¾µ = 7 È Ð ÔÖÓÔÖ = = ÓÙ = Ø ÑÓ = 7 = 5 = 7 ÓÙ º = 7+ = 9 4 ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ S = { 5, 9 4 }º µ + = Ä Ñ Ö Ò Ó ÔÖÓÔÖ = Ø ÑÓ + = + = º ÓÑÓ ± = Ö Ö Ú Ò Ó ÕÙ Ó Ø ÑÓ + = ± º Í Ò Ó ÔÖÓÔÖ. =. Ø ÑÓ ÔÓ Ð + = 4 ÓÙ + = 4+ º ÓÑÓ 4 = 4+ Ù ÕÙ Ñ Ð Ú Ñ ÒÓ Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Óº ÒØÓ Ú ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Óº + = 4 = + = 4 ÓÙ º + = 4+ = 5 ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ S = { 5,}º µ +4 = 0º Ë 0 = ÒØÓ

58 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê +4 = 0 = +4 = = 0 = 5 [, ) 7 Ë < 0 = < ÒØÓ +4 = 0 = ++4 = 0 = 0 = / (, ) ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ ÕÙ Ó S = { 5 7 }º µ = ÔÐ Ò Ó Ò Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ø ÑÓ { { +4, 4 6, +4 = (+4), < 4 6 = ( 6), < º (, 4) 4 [ 4, ) [, + ) Ë < 4 ÒØÓ ÕÙ Ó = Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ 4 +6 = = / (, 4). Ë 4 < ÓÖÑ Ñ Ð Ö Ø ÑÓ = = 5 [ 4,). Ë Ø ÑÓ = = 0 ( ÙÖ Óµ. ÈÓÖØ ÒØÓ S = { 5 }º µ + 4 = 0 Þ Ò Ó = Ø ÑÓ Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù + 4 = 0 Ù Ö Þ Ó = = 4º

59 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê ÓÑÓ { = { 0 ÒØÓ = 4º Ò Ó Ñ ÙÐÓ Ø ÑÓ = 4 = 4 = 5 = 0 + = 0 º ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó Ø Ñ ÔÓÖ ÓÐÙÓ = ± 5 ÒÓ Ü Ø Ñ Ò Ñ ÖÓ Ö ÕÙ Ø Ñ ÙÒ ÕÙ Óº ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÐÙÓ ÕÙ Ó + 4 = 0 S = { 5, 5}º º ÁÒ ÕÙ ÑÓ ÙÐ Ö Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ ÓÑ Ó Ó Ø ÚÓ Ð Ø Ö Ö ÓÐÙ¹ Ó Ò ÕÙ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ Ñ ÙÐÓº ÈÖÓÔÖ Ë a R + ÒØÓ i) a a a ii) a a ÓÙ a ÑÓ ØÖ Ó i) a a>0 a a 0 ( a)(+a) 0 a a ii) a a>0 a a 0 ( a)( + a) 0 a ÓÙ a Ü ÑÔÐÓ ½º Ê ÓÐÚ Ö Ò ÕÙ ÜÓ ÓÙ ÄÓ Ó S = { R/ ÓÙ } ÓÙ º ¾º +4 ËÓÐÙÓº ÄÓ Ó S = { R/ 7 } º º Ì ÑÓ ÓÖ Ó Ó ÓÒ Ö Ö

60 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê i) Ñ ÓÙ 0 ÓÙ ÓÐÙÓ Ó Ó µ { R/ 0 ÓÙ } ii) 7 Ñ º ÓÐÙÓ Ó Ó µ { R/ 4} ÄÓ Ó ÓÐÙÓ Ò ÕÙ Ó S = { R/ 0 ÓÙ } { R/ 4} = { R/ 0 ÓÙ 4}º º º Ë Ò Ó ÕÙ 4 = ÓÒ Ö Ö Ó Ó { 4, 0 ÓÙ 4 ( 4), 0 4 Ú ÑÓ ÒØÓ i) Ë 0 ÓÙ 4 Ø ÑÓ = = = 6º ÓÐÙÓ S S = { R/ 0 ÓÙ 4} { R/ 6} = { R/4 6}º ii) Ë 0 < < 4 Ø ÑÓ = = = ÓÙ º ÓÐÙÓ S S = { R/0 < < 4} { R/ ÓÙ } = { R/ < 4}º ÓÐÙÓ Ò ÕÙ Ó S = { R/4 6} { R/ < 4} = { R/ 6}º º 4 + Ë ÑÓ ÕÙ {, = ( ), > ÒØÓ Ñ Ø ÑÓ ØÖ Ó ÓÒ Ö Ö 4 = { 4, 4 ( 4), < 4 º

61 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê (, ] (, 4 ) 4 [ 4,+ ) i) Ë Ø ÑÓ 4 + = ( + 4) + = = 4º ÈÓÖØ ÒØÓ S = { R/ } { R/ 4} = { R/ 4 }º ii) Ë < < 4 ÒØÓ 4 + = + ( + 4) + = = º ÈÓÖØ ÒØÓ S = { R/ < < 4} { R/ } = { R/ < < 4 }º iii) Ë 4 Ø ÑÓ 4 + = + ( 4) + = = º ÈÓÖØ ÒØÓ S = { R/ 4 } { R/ } = { R/ 4 }º ÄÓ Ó ÓÐÙÓ Ò ÕÙ Ó ÔÖÓÔÓ Ø S = S S S = { R/ 4}º º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÒ g() = f(), h() = f ( ) p() = f ( ) Ô ÖØ Ö Ó Ö Ó f() = +º ¾µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒ ÜÓ µ f() = + µ p() = + +7 µ q() = µ Í Ë ¹Ë µ ÓÒ Ö Ó Ö Ó ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ ÜÓ

62 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê 4 = g() 4 4 = f() Ð ÕÙ ÒØ Ò ÜÓ ÓÑÓ Ú Ö Ö Îµ ÓÙ Ð µº µ Ç Ú ÐÓÖ g(f ( )) f (g( )+) Ù Ð. µ Ç Ú ÐÓÖ f (g( 4)+)+ Ù Ð. µ Ð ÓÖÑ Ó = f() =. Ò Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú ÕÙ ÓÒØ Ñ ÕÙ Ò ÓÖÖ Ø Ñ Ô Ö ÜÓ µ ι ¹Î µ ιιΠµ ¹Î¹ µ ¹Î¹Î µ ιι µ Ê Ö Ú ÙÒÓ f() = + + ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ò ÔÓÖ Ô ÖØ º Ê ÔÖ ÒØ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ó Ö Ó f Ø ÖÑ Ò Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ñº µ ÓÒ Ö ÙÒ µ f() = 4 µ h() = +6 + µ g() = ++º µ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÒ º µ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ñ Ñ ÙÒ º µ ÓÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ A = { R/ + < 0} B = { R/ + < 0} C = { R/ < } D = { R/ }º Ø ÖÑ Ò (C D) (C B)º µ Ê ÓÐÚ ÕÙ Ó + + = 8º

63 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÅÇ ÍÄ Ê µ Ê ÓÐÚ Ò ÕÙ ÜÓ µ 4 > 5 µ + µ µ 0 µ 7+ µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒÓ f() = + ½¼µ Í Ë ¹Ë µ Ë S Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙÓ Ò ÕÙ Ó S Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙÓ Ò ÕÙ Ó > º Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ S Ó ÔÓÖ S = S S º

64 7 ÈÖÓÔÖ ÙÒ Ë f : A B ÙÑ ÙÒÓº Ö Ð Ó g : B A Ò ÙÑ ÙÒÓ ÉÙ ÓÒ Ô Ö ÕÙ g : B A Ò ÙÑ ÙÒÓ ÉÙ Ð Ö Ð Ó ÒØÖ f g Ø ÕÙ Ø ÖÓ ÒÓÖØ ÓÖ Ó ØÙ Ó Ø Ô ØÙÐÓº º½ ÙÒ Ô Ö ÑÔ Ö Ò Ó ÍÑ ÙÒÓ f Ô Ö f( ) = f() ÑÔ Ö f( ) = f() Ô Ö ØÓ Ó Rº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ½º Ë f() = ÒØÓ f( ) = ( ) = = f(). ÄÓ Ó f ÙÑ ÙÒÓ Ô Öº ¾º Ë f() = ÒØÓ f( ) = ( ) = = f(). ÄÓ Ó f ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº º Ë f() = + ÒØÓ f( ) = ( ) +( ) =. Ç ÖÚ ÕÙ f( ) f() f( ) f()º ÄÓ Ó f ÒÓ ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö Ò Ñ ÑÔ Öº Ç Ú Ñ ÒØ Ó Ö Ó ÙÒ Ô Ö Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ ÙÖ º½ µµ ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ó Ö Ó ÙÒ ÑÔ Ö Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó ÓÖ Ñ ÙÖ º½ µµº ÙÖ º½ µ ÑÓ ØÖ Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÒÓ Ô Ö Ò Ñ ÑÔ Ö ÒÓ Ñ ØÖ Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ Ò Ñ Ñ Ö Ð Ó ÓÖ Ñµº ¼

65 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë f( 0)=f( 0) 0 0 µ ÙÒÓ Ô Ö f( 0) 0 0 f( 0)= f( 0) µ ÙÒÓ ÑÔ Ö µ ÙÒÓ Ò Ñ Ô Ö Ò Ñ ÑÔ Ö ÈÖÓÔÖ ÙÖ º½ ½º ÓÑ Ù ÙÒ Ô Ö ÙÑ ÙÒÓ Ô Öº ¾º ÓÑ Ù ÙÒ ÑÔ Ö ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº º Ç ÔÖÓ ÙØÓ Ù ÙÒ Ô Ö ÓÙ Ù ÙÒ ÑÔ Ö Ô Öº º Ç ÔÖÓ ÙØÓ ÓÙ ÕÙÓ ÒØ ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Ö Ö ÙÐØ ÒÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ö ÔÖÓÔÖ º Ñ Ñ Ö Ó Ó Ð ØÓÖº Ë Ñ f ÙÑ ÙÒÓ Ô Ö g ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Ö ÓÙ f( ) = f() g( ) = g(). (f g)( ) = f( ) g( ) = (f()) ( g()) = f()g() = (f g)(). ÈÓÖØ ÒØÓ f ( ) g ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº ( ) ( ) f ( ) = f( ) = f() = f() f = (),g() 0 g g( ) g() g() g ÈÓÖØ ÒØÓ f ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº g º¾ ÙÒ Ò ØÓÖ ÙÒ Ó Ö ØÓÖ Ò Ó ÍÑ ÙÒÓ Ö Ð f ÙÑ ÙÒÓ Ò ØÓÖ ÓÑ ÒØ Ó, D(f), ÒØÓ f( ) f( )º f f( ) f( ) Ò Ó ÍÑ ÙÒÓ Ö Ð f ÙÑ ÙÒÓ Ó Ö ØÓÖ Ô Ö ØÓ Ó CD(f) Ø Ó Ó Ð ÙÑ D(f). ÇÙ f Ó Ö ØÓÖ Im(f) = CD(f). ½

66 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë f f( ) f( ) Ò Ó Ë f ÙÑ ÙÒÓ Ò ØÓÖ Ó Ö ØÓÖ ÒØÓ Þ ÑÓ ÕÙ f ØÓÖ º f f( ) f( ) f( ) Ü ÑÔÐÓ ½º Ë f : R R Ø Ð ÕÙ f() =. ÆÓØ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ Ó = = Ø Ñ¹ f( ) = f() = º ÄÓ Ó f ÒÓ Ò ØÓÖ º ÙÒÓ f Ø Ñ Ñ ÒÓ Ó Ö ØÓÖ ÔÓ CD(f) = R Im(f) = R + º Ñ CD(f) Im(f). Ý ÙÖ º¾ ÙÒÓ f() = Ü ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ö Ò ÖÑÓ ÙÒÓ ÑÓ Ó ÕÙ f : R + R + ÒØÓ f Ò ØÓÖ Ó Ö ØÓÖ ÓÙ ØÓÖ º Î ÕÙ Ó, R + ÒØÓ, Ñ Im(f) = CD(f) ¾

67 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë Ý ÙÖ º ÙÒÓ f() = 0 Ü ¾º Ë f : R R Ø Ð ÕÙ f() =. Ý Ü ÙÖ º ÙÒÓ f() = f Ò ØÓÖ ÔÓ Ó, R ÓÑ ÒØÓ º f Ó Ö ØÓÖ ÔÓ Im(f) = R = CD(f)º ÄÓ Ó f ØÓÖ º º Ë f : R R + Ø Ð ÕÙ f() =. f Ó Ö ØÓÖ ÔÓ Im(f) = R + = CD(f)º ÆÓ ÒØ ÒØÓ f ÒÓ Ò ØÓÖ ÔÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ØÓÑ Ò Ó = = Ø ÑÓ f( ) = f() = º ÈÓÖØ ÒØÓ f ÒÓ ØÓÖ º Ý ÙÖ º ÙÒÓ f() = Ü

68 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º º ÙÒ ÒÚ Ö ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë Ë = f() ÙÑ ÙÒÓ f : A B ØÓÖ º Ò ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ g : B A Ø Ð ÕÙ = g()º ÙÒÓ g Ò ÒÚ Ö ÙÒÓ f ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ f º A f B D(f ) = B = Im(f) Im(f ) = A = D(f) f Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ Ö f : R R Ø Ð ÕÙ f() = +º ÒØÓ f : R R Ò ÔÓÖ = ÒÚ Ö fº Ñ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÒÚ Ö f Ú ÑÓ Þ Ö ÙÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú ØÖÓ Ö ÔÓÖ ÔÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ð Ö Ñ ÒØ ÜÔÖ Ó = g() ÔÓÖ = f ()º Þ ÑÓ Ø ÑÙ Ò Ú Ö Ú ÔÓ ÔÓÖ ÓÒÚ ÒÓ Ø Ó Ó Ó ÜÓ Ó ÜÓ ÓÖ Ò º Ñ f () = º Ý f 4 Ü ÙÖ º ÙÒÓ f () = ¾º ÓÒ Ö f : [,+ ) R + Ø Ð ÕÙ = f() = º ÒØÓ = = = +. ÈÓÖØ ÒØÓ f () = +. Ç ÖÚ ÕÙ D(f ) = R + Im(f ) = [,+ ). Î ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ñ ÒØ f f ÒÓ Ñ ÑÓ Ø Ñ ÖØ ÒÓº

69 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë Ý 5 4 f = f 4 5 ÙÖ º Ü º ÙÒÓ f : R R Ò ÔÓÖ f() = ÒÓ ÒÚ Ö Ú Ð ÔÓ ÒÓ ØÓÖ Ú Ö ÙÖ º¾º ÆÓ ÒØ ÒØÓ f ØÓÖ ÓÖ Ò ÔÓÖ f : R R + Ø Ð ÕÙ f() = º Æ Ø Ó f : R + R f () = Ú Ö ÙÖ º µº Ý 4 f()=, Ü f ()= ÙÖ º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó f ØÓÖ ÓÖ Ò ÔÓÖ f : R + R + Ø Ð ÕÙ f() = º Æ Ø Ó f : R + R + Ø Ð ÕÙ f () = Î Ö ÙÖ º µ

70 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë Ý 4 f()= f ()= 4 ÙÖ º Ü ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ö Ù ÙÒ Ó ÒÚ Ö º Ø Ú Ö Ö Ó Ö Ó f Ñ ØÖ Ó Ó Ö Ó f Ñ Ö Ð Ó Ö Ø =. Ý f Q(b,a) f P(a,b) Ü ÙÖ º½¼ ÈÖÓÔÖ Ë f ÙÑ ÙÒÓ ÒÚ Ö Ú Ðº µ (f f )() = Ô Ö ØÓ Ó D(f ) µ (f f)() = Ô Ö ØÓ Ó D(f) ÑÓÒ ØÖ Ó µ Ë = f (). ÒØÓ (f f )() = f (f ()) = f() =. µë = f() ÒÚ Ö Ú Ðº ÒØÓ (f f)() = f (f()) = f () =. º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ Î Ö ÕÙ Ù Ò Ó Ò Ó ÙÒ Ó Ô Ö ÑÔ Ö ÓÙ Ò Ñ Ô Ö Ò Ñ ÑÔ Ö

71 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë µ f() = +5 µ g() = + µ h(t) = t 4 µ p(a) = a +a µ q() = 4 + µ r(θ) = θ 5 θ θ µ S(t) = S 0 +v 0 t+4,9t ÓÒ S 0,v 0 R µ v(t) = 4,5t µ w() = 5 µ z() = ¾µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ñ Ñ Ô Ö ÕÙ f ÒÚ Ö Ú Ð Ó Ø Ò Ù ÒÚ Ö º µ f() = + µ f() = + 4 µ f() = + µ f() = µ Ë Ò Ó ÕÙ ÒÚ Ö ÙÑ ÙÒÓ f Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ù ÕÙ f () = 5 f() = 4, Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó fº µ ÅÓ ØÖ ÕÙ f ÒÚ Ö Ú Ð ÒØÓ (f ) = f. µ ÓÒ Ö ÙÒ f() = + g() = 6, Ø ÖÑ Ò µ (f ) µ (f g) µ f f µ f f g µ g g µ ÓÒ Ö Ò Ó Ó Ö Ó ÙÒÓ f ÜÓ ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó ÙÒ ÕÙ Ù Ñ µ g() = f()+ µ h() = f(+) µ p() = f( )+ Ý f Ü µ Ó Ó Ö Ó f, ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ó f. Ý f Ý f Ü Ü

72 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º Ý ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë Ý 4 f f 4 Ü 4 Ü µ ÙÖ ÜÓ ÑÓ ØÖ Ô ÖØ Ó Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ fº ÓÑÔÐ Ø ¹Ó ÓÖÑ ÕÙ Ý f 4 Ü µ f ÙÑ ÙÒÓ Ô Öº µ f ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº µ Ò Ð ÖÑ Ø Ú ÜÓ Ó Ú Ö Ö ÓÙ Ð Ù Ø ÕÙ Ù Ö ¹ ÔÓ Ø µ ÙÒÓ h() = + ÙÑ ÙÒÓ ÑÔ Öº µ ÓÒ Ö ÙÒ f() = + g() = +º ÒØÓ (g f) () = 4 5 º µ ÙÒÓ f() = Ò ØÓÖ º ½¼µ ÓÒ Ö ÙÒÓ f() = +4º Ø ÖÑ Ò ÙÒÓ ÒÚ Ö f Ù ÓÑ Ò Ó Ù Ñ Ñº Ù Ö ÓÒ ØÖÙ ÒÙÑ Ñ ÑÓ Ø Ñ ÜÓ Ó Ö Ó f Ù ÙÒÓ ÒÚ Ö º ½½µ Í Ë ¹Ë µ ÙÒÓ Ò ÔÓÖ f() = + ÙÑ ÙÒÓ ØÓÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó ÓÑ Ò Ó (D(f)) Ñ Ñ (Im(f)) Ó

73 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÈÊÇÈÊÁ Ë Ë ÍÆ Ë µ D(f) = R Im(f) = [,+ ) µ D(f) = (,0] Im(f) = R µ D(f) = R Im(f) = R µ D(f) = [0,+ ) Im(f) = [0,+ ) µ D(f) = [0,+ ) Im(f) = [,+ )

74 8 ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ø Ó Ú Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓØ ÒÓ ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ö Ñ ÒØÓ ÓÙ Ö Ñ ÒØÓ ÔÓÔÙÐ Ñ ÒØÓ Ö Ó Ø ÚÓ ÙÖÓ ÓÑÔÓ ØÓ º Î ÑÓ ÜÔÐÓÖ Ö ÙÑ ÔÓÙÓ º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ ÔÓÔÙÐ Ó Ò ØÓ Ñ ÙÑ Ñ Ó ÙÔÐ ÓÖ ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ Ü Ø Ñ p 0 Ò ØÓ º Æ Ø Ó Ô ÙÑ ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ p 0 Ô Ù ÓÖ 4p 0 = p 0 Ô ØÖ ÓÖ 8p 0 = p 0 غººº ÈÓÖØ ÒØÓ Ô t ÓÖ Ø Ö ÑÓ t p 0 Ò ØÓ º ÑÓ Ó Ö Ð Ó ÑÓ ÐÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ù Ó Ô Ö Ö Ú Ö ØÙ ÓÑÓ Ó Ô Ð ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð p(t) = p 0 a t Ó ØÓ Ó ÒÓ Ó ØÙ Ó Ò Ô ØÙÐÓº º½ Ò Ó Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð a a > 0 a µ ÒÓÑ Ò ¹ ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð a ÙÑ ÙÒÓ f : R R + Ò ÔÓÖ f() = a º Ü ÑÔÐÓ ½º f() = ¾º g() = ( ) º h() = ( ) º p() = (0,0) Ç ÖÚ ½º Ö ØÖ Ó a > 0 Ò Ö ÔÓ µ Ë a = 0 < 0 ÒØÓ ÒÓ Ü Ø Ö a ÒÓ Ø Ö ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ò Ñ Rµº µ Ë a < 0 = ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÒÓ Ü Ø Ö a ÒÓ Ø Ö ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ Ñ Rµº ¾º Ì ÑÓ Ö ØÖ Ó a Ó ÓÒØÖ Ö Ó a Ö ÙÑ ÙÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º ¼

75 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÈÇÆ Æ Á Ä º¾ Ö Ó ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ì ÑÓ Ó Ó ÓÒ Ö Ö Ó ½ a > 0 Ý Ó ¾ 0 < a < Ý =a =a ½ ½ Ü Ü Ì ÑÓ Ù ÒØ ÓÒ Ö Þ Ö ÕÙ ÒØÓ Ó Ö Ó f() = a ½º Ó Ö Ó Ô Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ (0,) ¾º D(f) = R CD(f) = R + ÁÑ(f) = R + º Ó ÜÓ ÙÑ ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö Ó Ö Ó f Ó Ö Ó ÒÓ ØÓ Ó ÜÓ µ º f ÙÑ ÙÒÓ Ö ÒØ Ô Ö a > ÔÓ > ÒØÓ a > a º f ÙÑ ÙÒÓ Ö ÒØ Ô Ö 0 < a < ÔÓ > ÒØÓ a < a º f ÙÑ ÙÒÓ Ó Ö ØÓÖ ÔÓ ÁÑ(f) = (f) = R + ÓÙ Ô Ö ØÓ Ó > 0 Ü Ø Ð ÙÑ R Ø Ð ÕÙ = a º f ÙÑ ÙÒÓ Ò ØÓÖ ÔÓ Ó Ø Ñ¹ a a º Á Ó Ú ÒØ ÔÓ a > 0 f Ö ÒØ 0 < a < f Ö ÒØ º ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð ØÓÖ ÐÓ Ó Ñ Ø ÙÒÓ ÒÚ Ö º Ü ÑÔÐÓ º Ö Ú ÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ó Ö Ó f() = ÒÓ Ö Ó ÙÒÓ ½º g() = Ý 4 g()= f()= Ü ÆÓØ ÕÙ Ô Ö < 0 > e ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ô Ö > 0 < º Ñ ÙÒ Ô Ñ ÔÓÖ (0,)º ½

76 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÈÇÆ Æ Á Ä ¾º h() = Ý h()= 4 f()= 4 4 Ü Ç Ö Ó f() = h() = = f( ) Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ º º p() = ( ) Ý 4 p()=( ) f()= 4 Ü Ç Ú ÐÓÖ ÒÓ Ö Ó f ÓÖ Ñ ØÖ ÔÐ Ó Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ö Ó pº º q() = Ý f()= 4 Ü q()= Ç Ö Ó f q Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ º ÓÑ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÓÒ Ö ÖÑÓ ÙÒ f() = a g() = ba k ÓÒ a > 0 a b, k R Ú Ö ÑÓ ÕÙ ¾

77 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÈÇÆ Æ Á Ä µ k < 0 Ó Ö Ó f g Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ µ b < 0 Ó Ö Ó f g Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ó ÜÓ º È Ö Ú ÐÓÖ Ö ÒØ a k Ú Ó Ð Ò Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = a Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = +k Ò Ñ Ó ÙÒÓ f() = +k º r() = ( ) +4 Ý ( ) + ( ) ( ) + 4 Ü r() = ( ) + +4 ÆÓØ ÕÙ ÒØÓØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø = 4º º ÕÙ ÜÔÓÒ Ò µ = ÕÙ ÜÔÓÒ Ò Ó ÕÙ ÓÑ Ò Ò Ø ÒÓ ÜÔÓ ÒØ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ µ 0, = 00 9 º º½ Å ØÓ Ó Ö ÙÓ ÙÑ ÓÑÙÑ Ø Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ø Ñ Ö ÙÞ Ö ÕÙ Ó ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÙÑ Ù Ð ÔÓØ Ò Ñ Ñ º

78 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÈÇÆ Æ Á Ä È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙÓ ÕÙ ÜÔÓÒ Ò Ù ÑÓ Ó ØÓ ÕÙ ÙÒÓ ÜÔÓÒ Ò Ð Ò ØÓÖ ÓÙ Ô Ö a > 0 a Ø ÑÓ a = a = Ü ÑÔÐÓ Ê ÓÐÚ Ö ÕÙ ÜÔÓÒ Ò º ½µ = = 5 = 5 ÄÓ Ó S = {5}º ¾µ 0, = 00 9 ( ( 00 ( 00) = 0 ) = ( ÄÓ Ó S = { } µ 7 = 9 ) 0) = = ( ) = ( ) = = 5+ = 0 = ÓÙ = ÄÓ Ó S = {,} µ = (5 ) (5 5 ) 5+ = (54 ) (5 ) = = = = 6 = 7 ÄÓ Ó S = { 7 }º ( + µ + ( ) 8) =

79 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÈÇÆ Æ Á Ä (( ) +) ( ( ) ) + ÄÓ Ó S = { 5,}º = 5+ 6 ( ) = 5+ 6 = ( 5+ ) ( (+) ) = = 5+ (+) 6 5 = 0 = 5 ÓÙ = µ = = ( +5+5) = ( 46) = = 5 5 = 5 = ÄÓ Ó S = {}º µ = 8 + = 8 ( ) +( ) 8 = 0 Æ Ø Ó ÔÓ ÑÓ Þ Ö ÙÑ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Óº ÇÙ ØÓÑ ÑÓ = º ÒØÓ + 8 = 0º Ö Þ Ó = 4 ÓÙ = º È Ö = 4 Ø ÑÓ = 4º Æ Ø Ó ÒÓ Ü Ø R ÕÙ Ø ÕÙ Ó ÔÓ 0 Ô Ö ØÓ Ó Rº È Ö = Ø ÑÓ = º ÈÓÖØ ÒØÓ = º ÄÓ Ó S = {}º µ 4 + = 4 4 = 4 Ú Ò Ó Ñ Ó Ó Ð Ó Ù Ð ÔÓÖ Ó Ø ÑÓ ( 4 ) = ( 4 ( ) 4 ) = + ) = 4 ( 4 ( 4 (4 ( 4 ) = 4 ) = 4 4 ) = ( ) 4 = = = = 4 ÄÓ Ó S = { }º 4

80 Graciela e Ligia È ÌÍÄÇ º ÍÆ Ç ÈÇÆ Æ Á Ä º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½µ Ê ÓÐÚ Ö ÕÙ ÜÔÓÒ Ò º µ ( 5) = 6,5 µ 7 + = 9 5 µ (8 ) = 5 µ = 0 µ ( 7) = 46 µ + 4 = ( ) µ = 0 ¾µ Ê ÓÐÚ Ö Ó Ø Ñ ÜÓº { µ = 4 + = 4 { = 7 µ 9 + = 9 { 5 µ = 00 + = 64 º ÁÒ ÕÙ ÜÔÓÒ Ò µ < 7 ÁÒ ÕÙ ÜÔÓÒ Ò Ó Ò ÕÙ ÓÑ Ò Ò Ø ÒÓ ÜÔÓ ÒØ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ µ +4 º º½ Å ØÓ Ó Ö ÙÓ ÙÑ ÓÑÙÑ Ø Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ø Ñ Ö ÙÞ Ö Ñ Ó Ó Ð Ó Ò ÕÙ Ó Ñ ÔÓØ Ò Ñ Ñ º Ú ÑÓ Ð Ñ Ö Ö ÕÙ f() = a Ö ÒØ a > Ö ÒØ 0 < a < º ÈÓÖØ ÒØÓ Ø ÑÓ Ó Ó ÓÒ Ö Ö µ Ô Ö 0 < a < Ø ÑÓ ÕÙ a > a ÓÑ ÒØ < µ Ô Ö a > Ø ÑÓ ÕÙ a > a ÓÑ ÒØ > º ÈÓ ÑÓ Ú Ù Ð Þ Ö Ò ÙÖ º½ Ó Ó Ó ÓÒ Ö Ó º