A A ; B B ; C C. AB = A B ; AC = A C ; BC = B C.
|
|
|
- Guilherme Antas
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Á Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ó Ä Ä Ä ÄÄÄ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ BC Ð Ó Ù lº ËÓÐÙÓº l Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓº ½
2 ¾ Å ½ ¹ ÍÒ ¾º ÓÑ ÖØÙÖ Ó ÓÑÔ Ó Ù Ð l ÒØÖ ¹Ó Ñ ÓÒ ØÖÙ Ó ÖÙÐÓ ÒØÖÓ Ö Ó lº º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó B Ó Ö Ø Ð ÖÙÐÓ ÓÑ B º º ÓÑ ÖØÙÖ Ó ÓÑÔ Ó Ù Ð l ÒØÖ ¹Ó Ñ B ÓÒ ØÖÙ Ó ÖÙÐÓ ÒØÖÓ B Ö Ó lº º ÒÓØ Ò Ó ÔÓÖ C ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒØ Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ØÖ ¹ Ó ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ð Ó lº ÆÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò Ó ÖØ ÔÖÓÔÖ ÔÖ ¹ Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÓÑ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ð Ó ÓÒ Óµº Ó Ö ÓÐÚ ¹ÐÓ Ø ÑÓ ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ó ØÓ ÕÙ Ú Ò ÐÑ ÒØ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ô ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ø Ú ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ó Ñ Ö Ö Ö ÕÙ Ð Ó ÓÑÓ Ù Ð Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ØÖÙ Ó ÙÑ Ú Þ ÕÙ Ö Ö ÔÓÖ Ù ÔÓ Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ù Ó Ñ ÑÓØ Ú ÒÓÓ Ù Ð Ô Ö ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓÑ Ô Ð ÓÒ ÖÙ Ò Þ ÑÓ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓÚ Ö ÙÑ Ð ÒÓ Ô Ó Ñ ÓÖÑ ¹ÐÓ Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓº Ñ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C ÓÖ Ñ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ú Ü Ø Ö ÙÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ó Ú ÖØ ÙÑ Ó ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ñ Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ñ Ù Ñ ÓÑÓ Ó Ñ Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÙÖ ½ ÑÓ ØÖ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ BC B C ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ ; B B ; C C. È Ö Ø ØÖ Ò ÙÐÓ Ø ÑÓ ÒØÓ {  =  ; B = B ; Ĉ = Ĉ B = B ; C = C ; BC = B C.
3 B C B ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ C ÙÖ ½ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ñ ØÓ ÕÙ ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ù ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö ÒØ Ù Ö ½º Ë Ñ ØÖ Ø ÒØÓ Þ Þ ÖÑÓ ÕÙ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ ÖÙ ÒØ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ DEF ÕÙ ÒØÓ Þ Ö ÕÙ DEF ÓÒ ÖÙ ÒØ BC ÓÙ Ñ ÑÓ ÕÙ BC DEF Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º Á Ó ÔÓÖÕÙ ÔÙ Ö¹ ÑÓ ÑÓÚ Ö BC Ñ ÓÖÑ ¹ÐÓ Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ DEF Ò¹ ØÓ ÖØ Ñ ÒØ ÔÓ Ö ÑÓ Þ Ö Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÓÒØÖ Ö Ó ÓÑ DEF Ø ÙÔ ÖÔ¹ÐÓ BCº ¾º ÌÖ Ò Ø Ú BC ÓÖ ÓÒ ÖÙ ÒØ DEF DEF ÓÖ ÓÒ ÖÙ¹ ÒØ GHI ÒØÓ BC Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ GHIº Á Ó ÔÓÖÕÙ ÔÓ ÑÓ ÑÓÚ Ö BC Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ GHI ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÖ Ñ ÖÓ ÑÓÚ ¹ ÑÓ BC Ø ÕÙ Ð Ó Ò ÓÑ DEF ÒØÓ ÑÓÚ ÑÓ DEF Ø ÕÙ Ø Ó Ò ÓÑ GHIº ÓÖ Ú ÒØ Ö Ú Ö ÑÓ BC B C Ô Ö ÒÓØ Ö ÕÙ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ ; B B ; C C. Ë Ö ÒØ Ö ÒØ ÔÓÖÑÓ Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ó ÓÙ ÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ì Ö Ø Ö Ó Ú Ö Ñ Ö Ó Ñ ÑÔÐ
4 Å ½ ¹ ÍÒ ÔÓ Ú Ñ Ð Ø Ö Ú Ö Ó ÓÒ ÖÙ Ò º Ö Ø Ö Ó Ü ¹ Ø Ñ Ó Ñ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ º ÆÓ ÕÙ Ù Ú ÑÓ ØÙ Ö Ó Ú Ö Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ðº Ó ÔÖ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ØÖÙÓ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ù ÓÐÙÓ ÑÓØ Ú Ù ÓÖÑ Ð Þ Óº Ü ÑÔÐÓ ¾º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó BC = a C = b Ĉ = γº ËÓÐÙÓº a b γ Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ C ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ñ Ù ØÖ ÙÑ Ñ ÖÖ Ø CX ÓÖ Ñ Cº ¾º ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ó Ò ÙÐÓ Ó Ô Ö ÙÑ Ò ÙÐÓ XĈY = γ Ú ÖØ C Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ñ ÖÖ Ø CY ÓÖ Ñ Cº º ËÓ Ö Ñ ÖÖ Ø CX B Ø ÕÙ C = b BC = aº CY Ñ ÖÕÙ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ð Ò Ó Ó Ô Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ñ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÐ Ò Ó ÓÙØÖ ÔÓ Ó Ô Ö Ó Ú ÖØ C ÓÙØÖ Ö Ó Ô Ö Ó Ð Ó Ó Ò ÙÐÓ XCY ÓÒ ØÖÙÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒØ ÒÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ô ÐÓ Ó Ó Ü Ñ¹ ÔÐÓ Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº Ù Ó ÑÓØ Ú ÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÓÒ Ó ÓÑÓ Ó Ó Ä Ä
5 B C B ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Ü ÓÑ º Ë Ó Ð Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó Ð Ó ÓÖ Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù Ó Ð Ó ÓÙØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó Ð Ó ÒØÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º C ÙÖ ¾ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ä Äº Ñ Ñ ÓÐÓ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ö ÒØ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C B = B C = C  = Â Ä Ä = BC B C, ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ B B C C º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ÕÙ ÓÒ Ö ÓÖ Ó Ù ÒØ B = B, Ĉ = Ĉ BC = B C. Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó BC = a ÕÙ B = β Ĉ = γº ËÓÐÙÓº a β γ
6 Å ½ ¹ ÍÒ Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÌÖ ÙÑ Ö Ø r Ó Ö Ñ Ñ Ñ ÖÕÙ ÔÓÒØÓ B C Ø ÕÙ BC = aº ¾º ÓÒ ØÖÙ ÙÑ Ñ ÖÖ Ø BX Ø Ð ÕÙ C BX = βº º ÆÓ Ñ ÔÐ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ r X ÓÒ ØÖÙ Ñ ÖÖ Ø CY Ø Ð ÕÙ BĈY = γº º Å ÖÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ ÒØ Ö Ó Ñ ÖÖ Ø BX CY º ÕÙ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ò Ð Ò Ó Ó Ô Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ñ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÐ Ò Ó ÓÙØÖ ÔÓ Ó Ô Ö Ó Ð Ó BC Ñ ÒØ Ò Ó BC = a ÓÒ ØÖÙÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓBC ÓÒØ ÒÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ô Ð Ñ ÑÔÓ Ø Ó Ò Ù¹ ÐÓ B C ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº Ì ÑÓ ÒØÓ Ñ ÙÑ Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ó Ó Ä Ü ÓÑ º Ë Ó Ò ÙÐÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ð Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ Ó Ò ÙÐÓ ÓÖ Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù Ó Ò ÙÐÓ ÓÙØÖÓ ØÖ Ò¹ ÙÐÓ Ó Ð Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ Ó Ò ÙÐÓ ÒØÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º C B C B ÙÖ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ä º
7 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Ñ Ñ ÓÐÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C Ø ÑÓ Â =  B = B B = B Ä = BC B C, ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ B B C C º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ñ Ñ Ú ÑÓ Ø Ö Ĉ = Ĉ, C = C e BC = B C. Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó B = c C = b BC = aº ËÓÐÙÓº a b c Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÌÖ ÙÑ Ö Ø r Ó Ö Ñ Ñ Ñ ÖÕÙ ÔÓÒØÓ B C Ø ÕÙ BC = aº ¾º ÌÖ Ó ÖÙÐÓ ÒØÖÓ B Ö Ó c ÒØÖÓ C Ö Ó bº º Å ÖÕÙ Ó ÔÓÒØÓÓÑÓ ÙÑ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ØÖ ¹ Ó ÒÓ Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖº ÍÑ Ú Þ Ñ Ó Ô Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ú Ò Ñ ÕÙ ÓÑ ÓÙØÖÓ ÔÓ ¹ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ó BC Ñ ÒØ Ð ÖÓ ÓÒ Ó BC = aµ Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº ÈÓ ÑÓ ÒØÓ ÒÙÒ Ö ÒÓ Ó Ø Ö ÖÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ó Ó ÄÄÄ
8 B C B Å ½ ¹ ÍÒ Ü ÓÑ º Ë Ó ØÖ Ð Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ñ Ð ÙÑ ÓÖ Ñ Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ð Ó ÓÙØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÒØÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º C ÙÖ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄĺ Ñ Ñ ÓÐÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C Ø ÑÓ B = B BC = B C C = C ÄÄÄ = BC B C, ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ B B C C º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ñ Ñ Ø ÑÓ Â = Â, B = B e Ĉ = Ĉ. Î Ð Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ä ÄÄÄ ÓÖÖ Ñ Ó Ó Ä Ä ÒÓ Ù ÒØ ÒØ Ó Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÕÙ Ö ÔÓ Ö ÑÓ ØÖ Ó ÕÙ Ú Ð ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ä ÓÙ ÄÄÄ Ô Ö Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ø Ú Ð ÙÑ ÓÒ Ó Ó Ø ÔÓ Ä Äº ÆÓ ÒØ ÒØÓ ÓÑÓ Ø Ù ÒÓ ÑÔÐ Ö Ñ Ñ Ò Ó Ù Ø Ò Ð Ô Ö Ó ÔÖÓÔ ØÓ Ø ÒÓØ ÒÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÕÙ Ô Ö ÙÑ ÜÔÓ Ó Ö Ö ÑÓ Ó Ð ØÓÖ ½ ÓÙ ¾ º ÈÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ó Ó ÐØ ÑÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ÒÓ ÓÖÓÐ Ö Ó ÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ ½ ÍÒ ÑÓ ØÖ Ò Ó ÓÑÓ Ø Ó ÔÓ Ñ Ö ÙÞ Ó Ô ÖØ Ö Ó Ó Ä ÄÄÄ ØÙ Ó Ñ º
9 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ó ½ ½º µ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ØÖ Ò Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ô Ö Ó ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ú Ð ÑÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ð ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓº µ Ñ ÕÙ Ö Ñ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó Ø Ñ µ ÕÙ Ù Ø ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÖÑÓ Þ Ö Ø Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ µ È Ö Ó Ü ÑÔÐÓ Ó Ø Ñ µ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÒÓ Ô Ó Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓº ¾ ÔÐ ÓÐ ÓÒ ÑÓ Ò Ø Ó Ð ÙÑ ÔÐ Ø Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ñ º Ì ÔÐ Ô Ö ÖÓ ÓÖ Ú ÒØ ÓÑ Ø ÒØ Ö ÕÙ Ò ÕÙ ÚÓ Ú ÓÖ Ö ÔÓÖ Ñ ÑÓÖ Þ ¹Ð Ó ÕÙ ÒØÓ ÒØ º Ò Ó º Ó ÙÑ Ò ÙÐÓ OB ØÖ Þ OB Ñ ÖÖ Ø OC ÕÙ Ó Ú Ñ Ó Ò ÙÐÓ Ù º Æ Ø Ó Þ ÑÓ Ò ÕÙ OC Ø OBº Ñ OC Ø OB ÔC = BÔC. Ð Ö Ñ ÒØ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ ÙÑ Ò ÙÐÓ Ó Ü Ø Ò º ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ Ò Ò ÓÑÓ ÓÒ ØÖÙ ¹Ð º Ç Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ØÖ Þ Ó Ò ÙÐÓ OB Ó ÜÓº ËÓÐÙÓº
10 ½¼ Å ½ ¹ ÍÒ B O Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÒØÖ Ó ÓÑÔ Ó Ñ O ÓÑ ÙÑ Ñ Ñ ÖØÙÖ Ñ ÖÕÙ ÔÓÒØÓ X O Y OBº ¾º Ü ÙÑ ÖØÙÖ r ØÖ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r ÒØÖÓ X Y ÖÓ ÕÙ ÒØ Ö Ø Ñ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Cº Ñ ÖÖ Ø OC ØÖ Þ OBº ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ XOC YOC ÓÒ ØÖÙ Ó Ñ Ø ÑÓ OX = OY XC = YC ÓÑÓ Ó Ð Ó OC ÓÑÙÑ Ó Ñ ÑÓ Ù Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄÄ ÕÙ XOC YOCº ÄÓ Ó XÔC = YÔC ÓÙ Ò ÔC = BÔCº Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓBC ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú BC ÓÙ Ó Ú ÖØ µ ÔÓÖÓ P ØÖ Þ Ó Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ó Ð Ó BC Ó ÔÓÒØÓ P BC Ó Ô ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú BCº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ñ BC ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó C B ÓÙ Ó Ú ÖØ B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ º ÓÑ Ò Ò Ó Ó Ó ÄÄÄ Ä Ä ÔÓ ÑÓ ÓÒØÖÙ Ö Ø Ñ Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÙÑ Ñ ÒØÓ º º Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ó Ú Ñ Ù Ô ÖØ Ù º Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó Ñ ÒØÓ ÔÓ Ù ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Óº Ü ÑÔÐÓ ½¼º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ñ ÒØÓ Bº ËÓÐÙÓº
11 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½½ B Ö Ó Ó Ô Ó º Ü ÙÑ ÖØÙÖ r > 1 B ØÖ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r ÒØÖÓ 2 B ÖÓ ÕÙ ÒØ Ö Ø Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ X Y º Ç ÔÓÒØÓ M ÒØ Ö Ó Ö Ø Ñ Ó Bº XY ÓÑ Ó Ñ ÒØÓ B Ó ÔÓÒØÓ ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ XY BXY Ø ÑÓ X = BX Y = BY ÓÑÓ Ó Ð Ó XY ÓÑÙÑ Ó Ñ ÑÓ Ù Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄÄ ÕÙ XY BXY º ÈÓÖØ ÒØÓ XY = B XY ÓÙ Ò XM = B XMº ÓÖ Ø ÑÓ ÒÓ ØÖ Ò ÙÐÓ XM BXM ÕÙ X = BX XM = B XM Ñ ÓÑÓ Ó Ð Ó XM ÓÑÙÑ Ó Ñ ÑÓ Ù Ó Ó Ä Ä ÕÙ XM BXMº ÄÓ Ó M = BMº Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓBC Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ó Ð ÓBC ÓÙ Ó Ú ÖØ µ Ó Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð ÓBCº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ñ BC Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó C B ÓÙ Ó Ú ÖØ B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ Ñ Ò º ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ù Ö Ø r s Þ ÑÓ ÕÙ r Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö s ÕÙ s Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r ÓÙ Ò ÕÙ r s Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ò Ó r s Ø Ú Ö Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÖÑ Ö Ñ Ò ÙÐÓ 90 Ò ÔÓÒØÓº Ö Ú ÑÓ r s Ô Ö ÒÓØ Ö ÕÙ Ù Ö Ø r s Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ Ù Ö Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÙ Ó ÒØ ¹ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ Óº
12 ½¾ Å ½ ¹ ÍÒ Ü ÑÔÐÓ ½½º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ö Ø r ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ Ö Ø s Ø Ð ÕÙ r s sº ËÓÐÙÓº À Ó Ó ÓÒ Ö Ö µ r Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÓÑ Ó ÓÑÔ Ó ÒØÖ Ó Ñ Ö Ú ÙÑ ÖÓ ÖÙÐÓ ÕÙ Ò¹ Ø Ö Ø Ö Ø r Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ø ÒØÓ B Cº ¾º ÓÒ ØÖÙ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó M BC s = Mº ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BM CM Ø ÑÓ B = C BM = CM ÓÑÓ M Ð Ó Ñ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ó Ó ÄÄÄ ÕÙ BM CM MB = MCº Å ÓÑÓ MB+ MC = 180 Ú ÑÓ Ø Ö ÒØÓ ÕÙ MB = MC = 90 ÓÙ Ò M rº µ r Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÓÑ Ó ÓÑÔ Ó ÒØÖ Ó Ñ Ö Ú ÙÑ Ñ ÖÙÐÓ ÕÙ ÒØ Ö Ø Ö Ø r ÒÓ ÔÓÒØÓ B Cº
13 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ ¾º ÌÖ ÓÖ ÖÙÐÓ Ñ ÑÓ Ö Ó ÒØÖÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ B Ñ C Ò Ó ÙÑ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø ÖÙÐÓ Ø ÑÓ rº ØÓ Ø ÑÓ B C ÔÓÖ ÄÄÄ ÂB = ÂCº Å ÓÑÓ ÂB + ÂC = 180 Ù ÕÙ ÂB = ÂC = 90 º Æ ÒÓØ Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ / r ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö Ø s Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r ÔÓÖ Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü rº Ç ÖÚ Ó ½¾º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ö Ø r ÔÓ Ú Ð ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò Ö Ø s Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r Ô Ò Ó ÔÓÖ º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ö Ø r ÓÑ / r ØÒ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø r Ò ÓÑÓ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÒØÓ P ÓÒ P Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü r ÙÖ µº ÒÓØ Ò Ó ÔÓÖ d ØÒ r Ø ÑÓ ÒØÓ d = P º ÈÖÓÚ Ö ÑÓ ÒÓ ÓÖÓÐ Ö Ó ¾ d P P r ÙÖ ØÒ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø rº ÍÒ ÕÙ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÒØÓ P Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ P r ÓÑ P P Ò ÒÓØ ÙÖ d < P º Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó BC ÓÙ Ó Ú ÖØ µ Ó Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó Ú ÖØ Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü Ö Ø BCº Æ Ó ÒÓÑ Ò ÑÓ Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ñ ÕÙ ØÓ Ô ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú BCº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ñ BC ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ó
14 ½ Å ½ ¹ ÍÒ Ð Ó C B ÓÙ Ó Ú ÖØ B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ ÐØÙÖ º Ò Ð Þ ÑÓ Ó ØÙ Ò Ó Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½ º Ë BC ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð BC ÒØÓ B = Ĉº ÈÖÓÚ º ÔÖÓÚ ÔÖÓÔÓ Ó Ø Ñ ÙØ Ò Ù Ø Ø Ú ÕÙ ÑÓ Ô Ö ÓÒ ØÖÙÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÙÑ Ñ ÒØÓº Ñ ØÓ Ó Ó Ú ÑÓ Ö Ô Ø ¹Ð º B M C ÙÖ BC Ð B = Ĉº Ë M Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó BC ÙÖ µº ÓÑÓ BM = CM B = C M Ð Ó ÓÑÙÑ MB MC Ù Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄÄ ÕÙ Ø ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÄÓ Ó BM = ĈMº ÓÖÓÐ Ö Ó ½ º Ç Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ó ØÓ Ó Ù º ÈÖÓÚ º Ø Ó ÖÚ Ö ÕÙ ØÓ Ó Ó Ð Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÔÓ Ñ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ Ó Ñ ÑÓ ÓÒ Ö Ó ÓÑÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð º
15 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ó ¾ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÙÖ º C B ÙÖ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº ¾º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ñ Ò Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÙÖ º C B ÙÖ Ñ Ò ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÐØÙÖ Ó ØÖ Ò ÙÐÓBC ÙÖ º Ô Ó ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ú Ð Ô Ò Ø ÖÑÓ Ð ÙÒ ÓÑ Ò¹ Ø Ö Ó º Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö Ñ ØÓ Ô ÖØ Ö Ò ÕÙ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ñ Ò ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ØÓ ÑÔÖ
16 ½ Å ½ ¹ ÍÒ C B ÙÖ ÐØÙÖ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº ÓÒØ ÒÓ Ñ ÑÓ Ó ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ú Ö ÖÓ Ô Ö Ð¹ ØÙÖ ÓÒ ÓÖÑ ÚÓ Ô ÒÓØ Ö ÒÓ ÐØ ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÚÓ Ú Ø Ö ÒÓØ Ó ÕÙ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÙ ÒÓ ØÖ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ö Ö Ó ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC Ô Ö Ñ ØÓ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓ Ó Ñ ÑÓ Ø Ò Ó ÓÓÖÖ Ó Ô Ö Ñ Ò ÐØÙÖ º Ì ÓÒÓÖÖ Ò ÒÓ Ó Ú Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÐ Ó ØÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ñ Ò ÐØÙÖ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÑÔÖ Ô Ñ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓ Ö Ó ØÓ ÍÒ º º Ë Ñ Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ö Ø r ÓÑ / rº Ç ÔÓÒØÓ ØÓ Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ö Ø r ÕÙ Ò Ó r r Ô Ö Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ñ ÒØÓ º ÅÓ ØÖ ÓÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ÔÓÒØÓ º BF = CEº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ B = c BC = a m a Ñ Ò Ö Ð Ø Ú º º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ò Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ B = c C = b m a Ñ Ò Ö Ð Ø Ú BCº º ÓÒ ØÖÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ò Ó Ö Ø r s ÙÔÓÖØ Ó Ð Ó B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ h b h c ÐØÙÖ
17 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ú Ó Ú ÖØ B Cº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ B = c β a ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó BC Ñ ÓÑÓ Ñ BC = αº º Ë BC ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð BC ÔÖÓÚ ÕÙ ØÖ Þ Ñ Ò ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú BC Ó Ò Ñº ½¼º Ë Ñ BC ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ P M H Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ô ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ñ Ò ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó BCº Ë P H ÓÙ M H Ó Ò Ö Ñ ÔÖÓÚ ÕÙ BC Ð BCº ½½º Ë Γ ÙÑ ÖÙÐÓ ÒØÖÓ O B ÙÑ ÓÖ Γº Ë M ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ö B ÔÖÓÚ ÕÙ OM B M = BM. Ð Ó Ö ½ º ĺ ź Ö Ó º ÓÑ ØÖ ÙÐ Ò ÈÐ Ò º Ë Å Ê Ó Â Ò ÖÓ ¾¼¼ º ¾ º Á ÞÞ º Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ö ÎÓк º ØÙ Ð ØÓÖ ËÓ È ÙÐÓ ½ ½º
s γ β α r t r s α = β α+γ = 180.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÁ Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ È Ö Ð Ð ÑÓ Ù Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ñ ¹ Ñ ÓÙ Ð Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ö Ø Ó Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó
= PD PA PB = R 2 OP 2.
Å ½ ¹ ÍÒ ½½ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò ÁÁ Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ Ç Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò ÔÓÒØÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ù Ö Ò ÖÖ Ñ ÓÙØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ò ÍÒ ½¼ Ò Ó ÓÒ ÓÒ ÙÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÑÓ
AB BC = 1 A B B C = 1.
Å ½ ¹ ÍÒ ½¼ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò Á Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ó Ø ÑÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s t ÙÖ ½µº ÌÖ ÑÓ Ñ Ù Ö Ø u u ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó r s t Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÒ ÒØ
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó
ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ º Ò Ó ½º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ØÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ
L2 L2 (a 21 /a 11 )L1
ÙÐ ¼¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ Å ØÓ Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÐ ¼½ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ÔÓ¹ Ñ Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ð Ò Ö º Ú Ö Ó ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ¹ÂÓÖ
¾ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ò ÔÖ Ø Ó º ÎÁÁÁ Ü ÑÔÐÓ ¾ À º ºÌº Ä ÚÖÓ Á Ù ½ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ÕÙ Ó Ù ØÓ ÑÓÚ Ù¹ Ù Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÒÓØ ÕÙ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÑ Ø Ó ÌÖ ÎÓÞ ÆÓ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ù ÚÓÞ Ñ Ø Ó Ó Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ö º ÓÑ ØÖ ÚÓÞ Ð ÑÔ ÖØ Ú ÒØ Ò º ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ð ÖÑÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Þ ÓÒ ÙØ Ú ÓÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ð
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ò Ð ÕÙ ÑÔÖ º Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ú Ø Ñ ÖØ ÁÒÚ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ç ÙÖ Ó Ô ½ ½ ¼º½Ç
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó Ð ÑÓ Ø ÜØÓ Ð Ø ÒÓ Ù Ó ÒÓ ÖÚ Ó Ø Ð
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¼¾ Ç ÙÒ Ñ
ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ñ ÔÖ Ó¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ ÌÖ Ì Ö Ô ¹ Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ò Ö Ú Ð ÓÒ ÖÓÒØ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò¹ Ø Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¹ ÔÓÖ ÓÙØÖÓº ÆÙÑ Ô Ö Ô Ø Ú ØÙ Ð ÔÓ ¹ Þ Ö ÕÙ Ú Ö Ø
ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ¾ ÖÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ó ÒÓ Ö Ò Ó Ò Ó Ð ÓÖ Ø Ö Ó º½ Ç Ò Ó ÓÖØ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó º
ËÙÑ Ö Ó ¾¼ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù ¾¼º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ Ç Ñ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ¾¼ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ê Ð Ó Ù ÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ½ ½ º½ ÈÖ Ò Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÓ È ÕÙ ØÖ ÔÓ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¹ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ÓÑÓ ÈÓÖ ÉÙ È Ö Ö ÌÓÑ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó Ó Ö Ú Ø ØÙ Ð Þ ¾¼¼ È Ø Ö Êº Ö Ò Åº º Ú Ó Ò È º º Î Ø Ð ÚÖÓ
ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ¼ ½ ¾º½Ç Ë Ó Ñ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½ ¾º¾ÆÓ ÓÑ Ò Ó Å Ò ÓÑ Ó Ô
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó º½ ÒØÖ ÒÓ ÓÖ ÓÒ ÕÙ Ö ÕÙ ÚÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ¾ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ¾º½ Î Ú Ò Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÒ Ø ØÙ
ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ Ù
Å Ö ØÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ Ó ½ ÖÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ Ë Ò ÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ ÙÜ Ð Ó
Ë Ö Ñ ÄÙÞ ÓÙÖ Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ
Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ ËÙÑ Ö Ó ¼ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ ¼º½ Ö Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ ÁÒØÖÓ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑÓ Ô Ö Ú Ö º Ç Ø ÔÓ Ú Ö ÓÑ ÒØÙ ÖÑÙ ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Þ Ñ
l l θ T P cosθ = Ma n P sin θ = Ma t, Mg sin θ = Ml d2 θ dt 2. d 2 θ dt 2 = g l θ. µ
Ò ÍÖ ÒÓ È ÙÐÓ Ö Ó Ë È ÙÐÓ Ò Ö Ù ÜÔ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ö Ó ½ ÅÁ É ÍÈ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ Ç Ø ÚÓ ØÙ Ó Ó Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ú º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Æ Ø ÖØ Ó ØÓÙ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ñ ÒÓ ÒÓ Ò ÒÓ ÔÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò ÒÓ ÔÖ Ò Ðº
Ò Ð Ø ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÒÓ Å Ø Ñ Ø ¹ ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒØÓÖÒ Ö ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ì Ö Ó ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ¾ Ø Ñ ÖÓ ¾¼½ ÔÖ ÔÖ ÒØ ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÒÓº ¾¼½ º¼¾ ØÓÖ Ì Ö Ó ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ø Ö ÓÑ Ñ Öº Ñ ºÓÖ Ê ÙÑÓ ØÓÙ Ö Ú Ò Ó Ò Ø
Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ö È ÙÐÓ Ù Ö Ó Þ Ú Ó Ë ÐÚ Ö ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ì ÌÍÄÇ Å ËÌÊ Å Á Æ Á Ë ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ò ÓÑÔÙØ Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÂÓ Ó Ð Ó È Ò
u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(x,0) = 1
ÙÐ ½¾ ¹ Å ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö È³ È Ö Ð Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ ÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÓ Ù Ñ ÙÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ º ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð Ó Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ t = α 2 u Ë Ò Ó
y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1
ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ù ÌÙ Å ÖØ Ò Ù Ö Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ ¾ Ô ØÙÐÓ ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ó Ò Ú ÙÓ Ø ÓÖ Ó Ò ÖÓ ÙÑ ÒÓ Ñ ÓÖ ÔÓ Ñ Ô Ö Ö¹ ÙÑ ÓÙØÖ Ø Ó ÓÖ Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ñ Ò Ø Ñ
Aterro solo arenoso 3m P solo argiloso
ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó Å ØÖ Ó ÁÒØ Ö Ó Ñ Ò Ò Ö Ú Ð Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò Ú½¼º¼ Þ Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÈÊÇ Ä Å Ë ½º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó Ù ØÓ ÙÑ Ò Ó ÓÖØ ØÖ Ü Ð Ñ ÓÒ Ö ¹ Ò º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Óµ Ó ¹Ð ÔÐ ÙÑ Ø Ò Ó ÓÒ Ò Ñ ÒØÓ
ËÙÑ Ö Ó ½¾½ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð ½¾ ½¾½º½Ç Ç ÒØ ÒÓ ÈÖ Ñ ÖÓ Ë ÙÐÓ ÔÓ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾½º¾Ç ÈÓÚÓ ÂÙ Ù º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾½ ¹ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ø ÚÓÐÙ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÑÔÓÖØ Ò Ó ÙÐØÓ Ö Ð Ó Ó º º º º
Ê Ð Ó ÍÖ ÒØ Ê Ð Ó ÜÔ Ö Ò Ô Ö ØÙ Ð È Ó Ð Ç ÈÓ Ö Ó Ë Ñ ÓÐ ÑÓµ ÊÓ ÖØ Ë ÖÑ Ø ÛÛÛºÙÖ ÒØ Ö Ð ÓÒºÓÑ ½¼ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÌÖ Ò Ö Ó ÌÖ Ù Ó ÖÐÓ Ä Ø Ë ÐÚ ÖÐÓ Ñ Ö Ò Ð Ø ÐÚ Ñ ÐºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú
ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼ º½Ç ÓÒ ØÓ ÍÖ ÒØ ÒÓ ÌÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÍÒ ÌÖ Ò ÈÐÙÖ Ð º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼
ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ Ó ÓÒØ Ó Ò Å ÒØ ¹ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ó Ò Ô Ó ÓÑ Ø Ó ÕÙ Ø Ñ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö ½ ¼ ½ ¼º½ ÐÓ Ó Ö ÊÓ Ñ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Ò Ð Ð Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Ò Ð Ð Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ñ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó ÈÓ Ø Ö ÓÖ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó ÈÓ Ø Ö ÓÖ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÚÓÐÙ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½¾ ËÓ Ö Ú
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼¼ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò ½¼¼º½Ç
ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ½¾ ½¾¼ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ ½¾ ½¾¼º½ Ë Ø Ñ Å Ó ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¼ ¹ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó
ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð ¾½ ½º½ Ç ÆÓÑ Ó È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç
ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ Å Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾¾º¾ Ö Ð Ô Ö Ô Ö Á Ð
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¾ ¹ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ º½ Ç Æ Ú
ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾ ÈÖ Ñ ÙÐÓ º º º º
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ô ÐÓ ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Å Ó Ó Å Ò Ø
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð ¾ ½ ¾ º½ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ¾ º¾ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ì ÑÔÓ Ô
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁ Ç ÍÒ Ú
Leis de Ohm e Kirchhoff
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ñ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Leis de Ohm e Kirchhoff Fernando Barão, Filipe Mendes, Manuela Mendes Profs do Departamento de Física do IST última revisão: Março 2017
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ËÙÑ Ö Ó ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ¾ º½ ÎÓÒØ Ë ÓÔ Ò Ù Ö ÔÖ ÚÓÒØ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ç ÜØÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ Û
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ
ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ È Ó Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ½ ¾º½ Ò Ò Ò Ó ÒÓ Ì ÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ¾º¾ ÁÖ Ù º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ È Ó Ñ Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ È Ó Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ½ ¾º½ Ò Ò Ò Ó ÒÓ
ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ä Ø Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ó Ó º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¹ Ò ÜÓ ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö ½½ ½ º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ º¾ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö Ð ØÙÖ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ º ËÙÑ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù ½ ½ ½ º½ Ç ÕÙ ÙÑ ÖØ Ó È Ó ÁÒØ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ½ º½º½ ÈÖ Ó º º º º º º º º º º º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó º½ Î ÈÐ Ò Ø Ö º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÁÒ Ó Î ÙÐØ Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÁÒ Ó Î ÙÐØ Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ç ÁÒ Ó Î
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ÙÐ ÎÓÓ Ô ØÙÐÓ ÙÐ ÎÓÓ º º º Ò Ó ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ó ÔÓ Ö Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÓ Ù Ñ Ó Ó Ë Ò ÓÖ ÓÐÙØÓ Ó ÌÓ
Ä Ø ÙÖ ½ ØÙ Ó Ë ½ Ö ÙÐØ ÒØ Ü Ù Ó Ó Å ÓÚ µ Ò ØÙ Ó Ë ¼ º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ó Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ó Ò Ó ÙØ ÚÓ Ù Ò Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑ Ë Ø Ñ ÈÐ Ò Ñ ÒØÓ Ë ÐÚ Ó Ó Ä Ó È Ö Ö ÈÖÓ ØÓ ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ë Ó È ÙÐÓ ÓÑÓ Ê ÕÙ ØÓ È Ö Ð Ô Ö ÉÙ Ð Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ
Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ Ó Ú Ð Ó Ó ÙÖ Ó Ô Ð Þ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÖÑ Ó Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ Ñ ÙÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ¹ ØÙÐÓ Ô Ð Ø
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ð Ù ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Å ÖÓ ¾¼½½ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö ¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁÁ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ ¾ ÇÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ô ØÓ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º
Ü Ö Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ù Ö Ó ÈÓ Ö ÙÖ Ó Ê ÓÙÒ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÒØÖ Ú Ø º º º
Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó Ê Ø ÖÓ Ê ÙÔ Ö Ó Ë Ù Ó Ö ÒØÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÚÖÓ Î Ø Ö Ò Ï ÐÞ Ö Ë Ø Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÖ Ø ÖÓ Ù ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÁÒØ ÖÐ Ù Ó Î Ø Â ÖÙ Ð Ñ ½ º½Ç Ë ÖÚÓ Ó ÒØÙÖ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Î Ñ Â ÖÙ Ð Ñ º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÁÒØ ÖÐ Ù Ó Î Ø Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÁÒØ ÖÐ Ù Ó Î Ø Â ÖÙ Ð Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÇÖ Ò Ó Ó ÓÞ ½ ¼ ½ ¼º½ ÁÒ ØÖÙ Ó ÈÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½ ¼º¾ ÇÖ Ò Ó º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÇÖ Ò Ó Ó ÓÞ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÇÖ Ò Ó Ó ÓÞ ½ ¼ ½ ¼º½ ÁÒ ØÖÙ Ó ÈÖ Ð
¾
Ü Ñ ÁÒ Ö Ó ÔÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÈÖ Ñ ÖÓ Ë Ñ ØÖ ¾¼½½ ÆÓÑ Ó µ Ò ØÓ µ ½ ¾ Å Ò ½º È Ð Ò Ð Ó Ù Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ó ÖÚ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÓÐ Ö Ó ÔÖ Þ Ú Ðµ Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ò ÒØ º ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú Ù Ð Ó Ó ÖÚ ÓÖ ÓÖÖ
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ È ÖÑ Ò Ò Ö ¹Å Ö ½ ½º½ È Ö ÓÐ Ó Ë Ñ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó È
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ È ÖÑ Ò Ò Ö ¹Å Ö Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÔÓ È ÒØ Ó Ø Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÔÓ È ÒØ Ó Ø Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ÔÓ È ÒØ Ó Ø ½ ½
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ Æ Ø Ì ÖÒ ÙÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ Æ Ø Ì ÖÒ ÙÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ Æ Ø Ì ÖÒ ÙÐÓ ½ ¾º½Ç È Ö Ó Î Ø Â ÖÙ
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ø Ó ÐÙ Ó ÒÑ Ó ÐÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ó ÒØ Ö Ð Ó Ñ ÒØÓ Î Ó Ó Ñ ÙØÓ ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á Æ ½¼½½ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ù Ö Ë ÐÚ ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å
ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÈÓÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Å ÖÓ ¾¼½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ËÙÑ Ö Ó ½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ¾ ÕÙ Ø Ø Ó Ù Ó Å ÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö Ù Ñ Ö ÔÐ Ò ÑÔÙÜÓ ÓÖÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÂÙÐ Ñ ÒØÓ ÒØ È Ð ØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÂÙÐ Ñ ÒØÓ ÒØ È Ð ØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÂÙÐ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ó Ú º½ Ó Ú Ñ Â ÖÙ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ
Matemática Básica. Graciela Moro e Ligia Liani Barz
Matemática Básica Graciela Moro e Ligia Liani Barz ½½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ Æ Ñ ÖÓ ½ ½º½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Æ ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð ¾ ½º½ Ç Æ Ø ÚÓ À ÚÓÒ º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø ÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÐÓ º½ Ë ÒØÖ ÓÒ Ø ÐÓ
ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó Ò Ñ ÁÒÚ ÖØ Ö Ó
ÚÓÐÙ Ó Î Ø Ç ËÙÖ Ñ ÒØÓ Ó Ë Ö ÀÙÑ ÒÓ ¹ Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ÈÓÖØ ÓÖ Î ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó
ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º º º º º º º º
ÈÖ Ò Ô Ó Ö Ø ÖÒ ÀÙÑ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ò È Ø ÖÒ Ù Ò Ô Ö Ó ÒÓ Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò ÌÖ Ð Ó Ñ Ó Ö Ù Ó
Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ Ô Ö ÓÖ Ñ ÍØ Ð Þ ÒÓØ Ó ÒØ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ ÑÙ ØÓ Ö Ò ÓÙ Ô ÕÙ Ò
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ê Ö Ø ÒÓ ÖÚ Ð Ó Ë ÒØÓ ÔÖÓ ÓÖºÔ ÓØ º Ø Ø Ø Ó Ñ ÐºÓÑ ÖÙÔÓ ÓÓ Ð È ÓØ Ø Ø Ø Ó ¾¼½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö Í Å µ Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò ½ ½ ½º½ ÍÐØ Ñ È Ð ÚÖ ÓÒ ÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½º¾ ÜÓÖØ Ó È Ó Ô º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
f : N R u n (u+v) n = u n +v n (u v) n = u n v n. (uv) n = u n v n = (v n 0 n N). n f(n). n v n
ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÁÁ Ô Ö Ó ÙÖ Ó ÓÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö ÂÙÒ Ó ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Å Ò Ñ Þ Ó Î Ò Ñ ÌÓÖÒ Ó ÊÓÙÒ ÊÓ Ò ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÖÓÙÒ ÖÓ Ò ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØ Ô Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó
Å Ò Ñ Þ Ó ÎÒ Ñ ÌÓÖÒÓ ÊÓÙÒ ÊÓÒ ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒÓ ÖÓÙÒ ÖÓÒ ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØÔ Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÑÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó ÌÌÈ Ò Ë Ó ¾º º ÙÑ Ø Ð ÙÑ ØÓÖÒÓ Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ À È Ó Ò Ð ÓÑ ¹ Û
ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ç ÒÓ ÓÐ Ò ½ ½ ½¾ º½Ç ÑÓ Ë ÜØÓ ÒÓ ½¼ º ºµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¾ º¾Ç ÑÓ Ë Ø ÑÓ ÒÓ ½½ º ºµ º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÒÓ ÓÐ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºØÖÙØ
P m = a 0 +a 1 x+...+a m x m, y i P m (x i ) 2, ½µ. Ha = b, N min a0,...,a n. i=0
Å Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ¹ ÖÓØ ÖÓ ÙÐ Ù Ö Ó º Ó Ø ÍÒ Úº ËÓ È ÙÐÓ Å Ý ¾¼½ ØÖ Ø ÊÓØ ÖÓ ÙÐ Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò¹ ÐÙ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ º ÈÖ Ñ Ö ÙÐ ¾ ½ Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ó (x i,y i ) Ô Ö
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó ¼ º½ ÙÒ Ó Ó ÈÓÖØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ë ÙÒ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ë ÙÒ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ë ÙÒ ÁÒ Ò Â Ù ½ ½ ½¾ º½Ç ÆÓÒÓ ÒÓ Â
ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó ÓÑ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º
Ø Ó ÙÒ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ò Ö Î Ú ÓÑ Ê Ø Ö ÒÓ Ö Ò È ÙÐ ÓÕÙ ÛÛÛº Ñ ÒØ Ò Ø Ú ºÒ غ Ö Ö Ð ¼½ ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó
ËÙÑ Ö Ó È Ù Ó Ò º½ ÒÙÒ Ò Ó Ó Ò Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Æ Ò ÙÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
È ÕÙ ØÖ Å Ø Ö Ð Ø µ ÙÑ ÁÒ Ù ØÖ ÅÓÖØ Å ÒØ Ðµ ¹ È Ù Ó Ò ËÙÔÐ Ñ ÒØÓ Ó ÓÙÑ ÒØ Ö Ó ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð ÓÑ Ó Ó Ó Ô Ö Ó Ö ØÓ ÀÙÑ ÒÓ Ø Þ Ò ÓÑÑ ÓÒ ÓÒ ÀÙÑ Ò Ê Ø µ ÀÊ ÛÛÛº ÖºÓÖ ËÙÑ Ö Ó È Ù Ó Ò º½ ÒÙÒ Ò Ó Ó Ò Ñ ÒØ º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó ½¼½ ½¼º½ ÙØÓ ØÖ Ù Ó ÈÖ
½ ½ ýä ÍÄÇ Ç Á ÆÇ Ê ËÁÄ ÓÖ Ñ Ö Ó ÑÓ ÐÓ ÓÒ ÙÐ Ó Ó Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓÚ Ö¹ ÐÙÐ Ö¹ Ö ÔÓÖ Ë Ó º µ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ ÑÓ Ó Ø Ö ØÓÒ Ú Ò ÇÐÐ Ú Ö ½ µ ÒÓ Ó Ó ÐÙÐÓ ÔÓÖ Ì Ë Ó º º¾µ Î Ò ÃÐ Ù Ö ½ µ ÒÓ Ó Ó ÐÙÐÓ ÔÓÖ Ñ Ó