Aterro solo arenoso 3m P solo argiloso
|
|
|
- Yago Schmidt Coimbra
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó Å ØÖ Ó ÁÒØ Ö Ó Ñ Ò Ò Ö Ú Ð Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò Ú½¼º¼ Þ Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÈÊÇ Ä Å Ë ½º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó Ù ØÓ ÙÑ Ò Ó ÓÖØ ØÖ Ü Ð Ñ ÓÒ Ö ¹ Ò º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Óµ Ó ¹Ð ÔÐ ÙÑ Ø Ò Ó ÓÒ Ò Ñ ÒØÓ ÓØÖ Ô Ù Ð ½¼¼ È º Ñ Ù ÓÖØ µ Ó Ù ØÓ Ó ÙÑ ÒØÓ Ö ÒÓ Ô ØÓ Ø ÖÓØÙÖ º Ø Ò Ó Ú Ø Ö Ò ÖÓØÙÖ σ 1 σ 3 Ó ¾¾ º È º µ Ê ÔÖ ÒØ Ù Ó Ñ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö ÒÓ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ó ÓÖØ º µ Ø ÖÑ Ò Ó Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ó ÓÐÓº Ê ÔÖ ÒØ ØÖ Ø Ö Ø Ò Ó ÒÓ Ö Ñ s t ÒÚÓÐÚ ÒØ ÖÓØÙÖ Ò Ð σ τ s tº Î Ö ÕÙ ÕÙ sen φ = tg α º µ ÉÙ Ð Ø Ò Ó Ú Ø Ö Ò Ö Ô Ö Ø Ò Ö ÖÓØÙÖ Ñ ÓÒ Ö Ò ÙÑ ÔÖÓÚ Ø Ó Ñ ÑÓ ÓÐÓ ÓÒ ÓÐ Ó ÓØÖÓÔ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÑ Ø Ò Ó ¾¼¼ È Ê ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ò ÖÓØÙÖ Ô Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ò Ò Ó¹Ó ÒÓ Ö Ó ÕÙ Ù ÓÙ Ò Ð Ò ½ ½ º Ê ÔÖ ÒØ ØÖ Ø Ö Ø Ò Ó ÒÓ Ö Ñ s tº µ ÈÖ Ø Ò ¹ Ð Ú Ö ÖÓØÙÖ ÙÑ ÔÖÓÚ Ø Ò ÓÒ Ó Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖ Ñ ÒÙ Ó ÔÖ Ó Ò Ñ Ö Ñ ÒØ Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ó Ü Ðµº ÉÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ Ó Ò Ñ Ö Ò ÖÓØÙÖ Ê ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ò ÖÓØÙÖ ÒÓ Ñ ÑÓ Ö Óº Ê ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ñ ØÖ Ø Ö Ø Ò Ó ÒÓ Ö Ñ s tº ÉÙ Ð Ø Ò Ó ÔÐ Ô ÐÓ Ô ØÓ ¾º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó ÓÒ ÓÐ Ó Ò ÓØÖÓÔ Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ØÖ Ü Ð ÓÑ ÙÑ Ö Ð Ó K 0 = σ 3 /σ 1 = 0.5 Ò Ó σ 3 = 150 kpaº µ Ë Ò Ó ÕÙ Ó Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ó ÓÐÓ ¼ Ó Ö ÔÖ ÒØ ÒÚÓÐÚ ÒØ ÖÓØÙÖ Ò Ð σ τ s tº Ê ÔÖ ÒØ Ù ÐÑ ÒØ Ó Ø Ó Ø Ò Ó Ó ÔÖÓÚ Ø ÒÓ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ó ØÖ Ú Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö ÒÓ Ö Ñ s tº Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ð Ò ÒÓ Ö Ñ s t ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ó Ú ÐÓÖ K 0 = 0.5º ½
2 µ ÓÒ Ö ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð Ú Ñ ÓÒ Ö Ò Ö Ö ÙÞ Ø ÖÓØÙÖ Ñ ÒØ Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ó Ü Ðº Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ø Ò Ó Ö Ð Ò ÖÓØÙÖ Ù Ö Ð Ó ÓÑ σ 1 º Ê ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ò ÖÓØÙÖ ØÖ Ø Ö Ø Ò ÒÓ Ô Ó s tº µ ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð ÙÑ ÒØ Ø ÖÓØÙÖ Ñ ÒØ Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ó Ü Ðº Ø ÖÑ Ò Ù ÐÑ ÒØ Ó Ú ÐÓÖ Ø Ò Ó Ö Ð Ò ÖÓØÙÖ Ù Ö Ð Ó ÓÑ σ 1 º Ê ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ò ÖÓØÙÖ ØÖ Ø Ö Ø Ò ÒÓ Ô Ó s tº º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ØÙÖ Ó Ó ÓÒ ÓÐ Ó ÓØÖÓÔ Ñ ÒØ Ø Ò Ó ¾¼¼ È º Ñ Ù Ó Ð Ú Ó ÖÓØÙÖ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÔÓÖ ÙÑ ÒØÓ Ø Ò Ó Ü Ðº Ø Ò Ó Ú Ø Ö Ò ÖÓØÙÖ Ó ½ ¼ È º µ Ê ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ñ Ø Ò ØÓØ ÒÓ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ó Ò ÖÓØÙÖ º ÐÙÐ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò º Ê ÔÖ ÒØ ØÖ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø Ò ØÓØ Ö Ñ s tµº µ ÔÖ Ó ÒØ Ö Ø Ð Ò ÖÓØÙÖ Ó ½¼ È º Ø ÖÑ Ò Ó Ô ÖÑ ØÖÓ Ë ÑÔØÓÒº Ê ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ñ Ø Ò Ø Ú Ó ØÖ Ø Ö Ø Ò Ñ Ø Ò Ø Ú º µ Ø ÖÑ Ò Ó Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ º Ê ÔÖ ÒØ ÒÚÓÐÚ ÒØ ÖÓØÙÖ ÒÓ Ö Ñ σ τ s tº µ ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÓÙØÖÓ ÔÖÓÚ Ø Ö ÓÒ ÓÐ Ó Ñ Ñ Ø Ò Ó ÓÒ ÓÐ ¹ Ó ¾¼¼ È ÕÙ Ñ Ù Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò Ó Ù ØÓ ÙÑ ÙÑ ÒØÓ Ø Ò Ó Ò Ñ Ö ½¼¼ È º Ê ÔÖ ÒØ Ô Ö Ø ØÙ Ó Ö¹ ÙÐÓ ÅÓ Ö Ñ Ø Ò ØÓØ Ø Ú º Ê ÔÖ ÒØ Ù ÐÑ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö Ñ Ø Ò ØÓØ Ø Ú Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓÚ Ø ÕÙ Ò Ó ÓÒ ÙÞ Ó ÖÓØÙÖ ÔÓÖ ÙÑ ÒØÓ Ø Ò Ó Ü Ðº º ÈÖ Ø Ò ¹ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ Ø ÖÖÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ Ñ Ô ÙÖ Ó Ö ÙÑ Ø ÖÖ ÒÓ Óѹ ÔÓ ØÓ ÔÓÖ Ó ØÖ ØÓ ÙÑ Ñ ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ γ = 20 kn/m 3 ÙÑ Ñ ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÑÙ ØÓ ÓÑÔÖ Ú Ðº Ü ÙÓ Ó Ø ÖÖÓ Ö¹ ¹ Ñ Ù ÙÑ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Ó Ó Ø ÖÖÓ ÓÑ ¾ Ñ Ô ÙÖ ÙÑ ÙÒ Ø Ó Ñº Ç Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ó Ø ÖÖÓ γ = 20 kn/m 3 º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÒÓÒØÖ ¹ Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ φ = 25 Ó γ = 17 kn/m 3 A = 0.8 C c = 0.5 e 0 Ò Ú Þ Ó Ô Ö ÙÑ Ø Ò Ó Ø Ú Ú ÖØ Ð ½ È µ = 3.2 c v = cm 2 /s K 0 = 0.58º Aterro solo arenoso 3m P solo argiloso 1m 8m ØÖ ØÓ ÑÙ ØÓ Ö Ó Ô ÖÑ Ú Ð ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ º ¾
3 µ Ñ Ø Ò Ó Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÓÑÓ ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Ó Ö Ú ÜÔÖ Ó ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò ÓÑ Ø Ò Ó Ø Ú Ú ÖØ Ðº Ø Ñ Ö ¹ Ø Ò ÒÓ Ö Ò ÒÓ ÔÓÒØÓ P ÒØ ÓÒ ØÖÙÓ Ó Ø ÖÖÓº µ ÓÒ Ö ÕÙ Ü ÙØ ÔÖ Ñ Ö Ó Ø ÖÖÓ ¾ ѵº ÐÙÐ ÔÖ Ó ÒØ Ö ¹ Ø Ð Ø Ò Ó ØÓØ Ð Ø Ò Ó Ø Ú Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò ÒÓ ÔÓÒØÓ P Ô Ö Ù ÒØ ØÙ º ÒÓ Ò Ø ÒØ Ñ Ø Ñ ÒØ Ô Ü ÙÓ Ó Ø ÖÖÓ Ñ Ø Ò Ó ÕÙ Ø ¹ ÓÖÖ ÑÙ ØÓ Ö Ô Ñ ÒØ º ½ Ñ Ô ÓÒ ØÖÙÓ Ó Ø ÖÖÓ º ÒÓ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ó ÔÖ Ñ Ö º µ ÓÒ Ö ÓÖ ÙÒ ÓÒ ØÖÙÓ Ó Ø ÖÖÓ Ñ ÕÙ Ø Ø Ò Ó Ñ Ô ÙÖ º ÐÙÐ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò ÒÓ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ó ÔÖ Ñ Ö º º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ ¾ Ø Ñ Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 2 m ÕÙ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÓÒ ÙÞ Ó ÓÐ Ô Óº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpaº O ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º Ê ÓÐÚ Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ñ ØÖ Ú Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ ÓÒ ¹ Ö Ò Ó Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ô Ð ÙÖ º O r = 2 ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º
4 º Ø Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ö I p Ò Ò ÙÖ º ÓÒ Ö Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ φ = 30 Ó γ = 20 kn/m 3 º ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ÓÑ ξ = 20 Ó º I p = 3 m ξ ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º º Ê ÓÐÚ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ñ Ñ ØÖ Ú Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ ÓÒ ¹ Ö Ò Ó µ ξ = 45 Ó µ ξ = 45 Ó ÙÑ Ó Ö Ö ÙÒ ÓÖÑ = 10 kpa ÔÐ ÙÔ Ö Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÙÖ µº I p = 3 m ξ ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º º ÐÙÐ ØÖ Ú Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ñ Ø Ú ÓÖ I p ÙÖ µ ÕÙ ÓÒ ÙÞ Ó ÓÐ Ô Ó Ó Ñ Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò º Ç ÓÐÓ Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 60 kpaº I p = 2 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º ½¼º Ê ÓÐÚ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó Ò Ö ÓÖ ÓÒ Ö Ò Ó = 3 m Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ Ö Ò ÓÑ φ = 30 Ó γ = 20 kn/m 3 º
5 ½½º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ Ø Ñ Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 2 m ÕÙ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÓÒ ÙÞ Ó ÓÐ Ô Óº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpaº Ñ Ø Ù ØÙ µ = 0 µ = 20 kpaº O O ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½½º ½¾º ÐÙÐ Ø Ñ Ø Ú Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ö I p ÙÖ µº ÓÒ Ö Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ φ = 35 Ó γ = 20 kn/m 3 º ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó Ò Ö ÓÖº ÓÒ Ö Ù ØÙ µ = 0 µ = 20 kpaº I p = 4 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ½ º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ Ø Ñ Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 3 m ÕÙ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÓÒ ÙÞ Ó ÓÐ Ô Óº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 70 kpaº O ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º
6 ½ º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ ½¼ Ø Ñ Ö Ñ Ò Ñ I a ÕÙ Ñ ÒØ Ñ Ó ÓÐÓ Ñ ÕÙ Ð Ö Óº ÓÒ Ö Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ φ = 33 Ó γ = 18 kn/m 3 º I a = 4 m ξ = 45 Ó ÙÖ ½¼ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ½ º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ ½½ Ø Ñ Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 3 m ÕÙ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÓÒ ÙÞ Ó ÓÐ Ô Óº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 70 kpaº Ñ Ø = 2 mº O ÙÖ ½½ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ½ º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ñ Ò ÑÓ Ò Ó Ò ÙÖ ½¾ Ø Ñ Ö Ñ Ü Ñ I p ÕÙ ÔÓ Ö ÔÐ Ó ÓÐÓº ÓÒ Ö Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ φ = 33 Ó γ = 18 kn/m 3 º I p = 4 m ξ = 45 Ó ÙÖ ½¾ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ½ º ÓÒ Ö ØÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ º ËÙÔÓÒ ÕÙ ØÖÙØÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ÐÓ Ô Ö ÕÙ Ö º ÐÙÐ Ó ÑÔÙÐ Ó Ñ Ò ÑÓ Ø ÚÓ µ Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó Ö ØÖÙØÙÖ Ñ Ø Ò Ó Ò Ü Ø Ò ØÖ ØÓ ÓÐÓ¹ ØÖÙØÙÖ º ÓÒ Ö ÕÙ φ = 30 Ó γ = 18 kn/m 3 = 3 mº Ó Ù ÐÙÐÓ ÙØ Ð Þ Ó µ Ø ÓÖ Ê Ò Ò
7 ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ½ ½ φ = 30 Ó γ = 18 kn/m 3 = 3 mµº µ Ó Ñ ØÓ Ó ÓÙÐÓÑ µ ÙÑ Ø ÓÖ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ñ Ñ Ò ÑÓ ÔÐ Ò Öº ÓÑÔ Ö ÓÑ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó º ½ º ËÙÔÓÒ ÓÖ ÕÙ ØÖÙØÙÖ ÙÖ ½ ÓÖ ÐÓ Ö¹ Ô Ö Ö Ø º ÐÙÐ Ó ÑÔÙÐ Ó Ñ Ü ÑÓ Ô ÚÓ µ Ó Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ñ Ñ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ù Ò Ó µ Ø ÓÖ Ê Ò Ò µ Ó Ñ ØÓ Ó ÓÙÐÓÑ µ ÙÑ Ø ÓÖ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ñ Ñ Ò ÑÓ ÔÐ Ò Öº ½ º ÓÑ ÒÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó ÒÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ó ÑÔÙÐ Ó Ô Ö Ó ÕÙ Ó ÓÐ Ô Ó ÒÓ ÓÓÖÖ ¾¼º ÓÑ ÒÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ ½ ½ µ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÖÙÐÓ ÅÓ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ó Ø ÚÓ Ô ÚÓ Ê Ò¹ Ò Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÐÓ Ð Þ Ó ÙÒØÓ ØÖÙØÙÖ ½ Ñ ÔÖÓ ÙÒ Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ù ÐÑ ÒØ Ó Ø Ó Ò Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ø Ò Ó K 0 = 0.5 µ Ø ÖÑ Ò ÒÐ Ò Ó Ó ÔÐ ÒÓ ÖÓØÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ó Ø ÚÓ Ô ÚÓ Ê Ò Ò º µ Ø ÖÑ Ò ÒÐ Ò Ó ÙÒ Ö Ø ÓÙÐÓÑ µ Ø ÖÑ Ò ÒÐ Ò Ó ÙÒ ÕÙ ÓÖÑ Ó Ñ Ò ÑÓ Ö Ø Ó ÔÐ Ò Ö Ó ÒÓ Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ µ ÓÑÔ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó º ¾½º ÓÒ Ö ØÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ Ñ ÕÙ Ó ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ φ = 32 Ó γ = 18 kn/m 3 = 10 kpaº Ñ Ø = 4 mº Ø ÖÑ Ò Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÓ Ù Ò Ó º µ Ø ÓÖ Ê Ò Ò µ Ó Ñ ØÓ Ó ÓÙÐÓÑ µ ÙÑ ÓÐÙÓ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ù Ò Ó Ñ Ò ÑÓ ÔÐ Ò Ö º ¾¾º ÓÒ Ö ØÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ º Ç ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ø Ñ φ = 35 Ó γ sat = 21 kn/m 3 γ = 19 kn/m 3 º Ø ÖÑ Ò Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÓ Ù Ò Ó Ø ÓÖ Ê Ò Ò º ÓÒ Ö = 6 m w = 4.5 mº
8 ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º w ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ¾ º ÓÒ Ö ØÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ º Ç ÓÐÓ ½ Ö ÒÓ Ó Ø Ñ φ = 34 Ó γ = 19 kn/m 3 Ó ÓÐÓ ¾ Ø Ñ Ñ Ö ÒÓ Ó Ø Ñ φ = 38 Ó γ = 21 kn/m 3 º Ø ÖÑ Ò Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÓ Ù Ò Ó Ø ÓÖ Ê Ò Ò º ÓÒ Ö 1 = 2 m 2 = 3 mº º ÓÐÓ ½ 1 ÓÐÓ ¾ 2 ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ¾ º ÐÙÐ Ô Ö ØÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÓ Ô ÚÓ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ØÙÖ Ó Ø Ñ c u = 40 kpa γ = 18 kn/m 3 º Ñ Ø = 8 mº ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ê Ð Þ Ó Ù ÐÙÐÓ µ Ù Ò Ó Ø ÓÖ Ê Ò Ò µ Ù Ò Ó ÙÑ ÓÐÙÓ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ ÓÑ Ñ Ò ÑÓ ÔÐ Ò Öº
9 ¾ º È Ö ÓÒ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÖ ÒØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ½ φ = 30 Ó γ = 18 kn/m 3 = 3 mµ ÓÒ Ö ÓÖ Ü Ø Ò ØÖ ØÓ δ ÒØÖ ØÖÙØÙÖ Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÙÖ ½ µº ÐÙÐ Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÖÖ Ø ÚÓ Ô ÚÓ Ô Ö δ = +20 Ó δ = 20 Ó ÓÒ Ö Ò Ó Ó Ñ Ò ÑÓ ÔÐ Ò Ö ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÒ Ö Óº ÔÐ ÕÙ ÓÐÙ ÓÙÐÓÑ ÓÑÔ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó º δ δ ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ ¾ º ¾ º ÓÑÔ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÐÙ ÕÙÓع Ã Ö Ðº ÓÑ ÒØ º ¾ º ÓÒ Ö ÕÙ Ó Ö ÙÔ Ö Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÔÐ ÙÑ Ó Ö Ö = 15 kpaº Ø ÖÑ Ò Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÓ Ù Ò Ó Ø ÓÖ ÓÙÐÓÑ Ô Ö δ = +20 Ó º ¾ º Ø ÖÑ Ò Ó ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÓ Ó Ö ØÖÙØÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ½ Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó ÓÙÐÓÑ º ÓÒ Ö φ = 36 Ó δ = 24 Ó i = 10 Ó β = 80 Ó = 6 m γ = 20 kn/m 3 º i β ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ¾ º ÐÙÐ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 2 m ÕÙ Ù Ó ÓÐ Ô Ó Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpa ÙÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó γ = 20 kn/m 3 º ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ¾¼º ¼º ÐÙÐ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 2 m ÕÙ Ù Ó ÓÐ Ô Ó Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpa ÙÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó γ = 20 kn/m 3 º ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ¾½º
10 l r = + l O Ó ÙÖ ¾¼ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º O ÙÖ ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ ¼º ½º Ø Ñ Ö = r ÓÑ = 2 m ÕÙ Ù Ó ÓÐ Ô Ó Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpa ÙÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó γ = 20 kn/m 3 º ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó Ò Ö ÓÖ Ó ÔÐ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ò Ó Ò ÙÖ ¾¾º ÓÒ Ö = 30 kpaº r r ÙÖ ¾¾ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ¾º Ê Ô Ø Ó ÐÙÐÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖ Þ Ò Ó Ó Ô Ó Ó ÓÐÓº º ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ Ó ÓÐÓ ÕÙ Ö Ö ÙÖ ¾¾ ÙÑ ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð 35 Ó º ÓÑ ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ò Ó Ò ÙÖ ÒÓ Ø ÓÖ Ñ Ö Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ñ Ó ØÓÖ N º º Ø Ñ Ö = r ÓÑ = 2 m ÕÙ Ù Ó ÓÐ Ô Ó Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpa ½¼
11 60 Ó ÙÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó γ = 20 kn/m 3 º ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó Ò Ö ÓÖ Ó ÔÐ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ò Ó Ò ÙÖ ¾ º ÓÒ Ö = 30 kpaº r ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º Ê ÓÐÚ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÓÐ Ò Ó Ó Ó ÔÐ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ÔÓÖ ÓÖÑ ÕÙ ÖÓØ Ó Ø Ò ÔÖ Ò Ô ØÖ Ù Ù ÐÑ ÒØ Ô Ð ¹ ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ¾ µº r Ó ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º ÐÙÐ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ú Ö ØÖ Ù Ò Ð Ö ÙÖ = 2 m ÕÙ Ù Ó ÓÐ Ô Ó Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò Ö Ø Ö Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò c u = 50 kpa ÙÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó γ = 20 kn/m 3 º ÓÒ Ö = 30 kpaº ÍØ Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ µ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ¾ 45 Ó 45 Ó 45 Ó 45 Ó ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º ½½
12 45 Ó 45 Ó 45 Ó 45 Ó l l ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º µ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ¾ µ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ¾ º 45 Ó 45 Ó 45 Ó 45 Ó l l ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º Ø ÖÑ Ò Ó ØÓÖ Ô Ö N γ N ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ô Ð ÙÖ ¾ º Ñ Ø φ = 30 Ó º 45 Ó + φ /2 45 Ó φ /2 ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º º Ø ÖÑ Ò Ó ØÓÖ Ô Ö N γ N ÙØ Ð Þ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ö Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ô Ð ÙÖ ¾ º Ñ Ø φ = 30 Ó ξ a = 54 Ó ξ b = 13 Ó º º Ñ Ø Ò Ó ØÙ Ó ÐÙ ØÖ Ô Ð ÙÖ ¼ Ø ÖÑ Ò ÓÖ ÕÙ ÓÒ ÙÞ Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÖÓØÙÖ º ÓÒ Ö = 4 m D = 1.5 mº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ØÙÖ Ó ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ Ð Ù Ð 19 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò Ù Ð ¼ È º ½¾
13 Ó Ó ξ a ξb ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º Ó D ÙÖ ¼ ÈÖÓ Ð Ñ º ¼º Æ ÓÒ ÙÖ ½ Ø Ñ ÓÖ ÕÙ ÓÒ ÙÞ Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÖÓØÙÖ º ÓÒ Ö = 4 m D = 1.5 mº Ç ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ Ð Ù Ð 18 kn/m 3 Ñ Óµ 20 kn/m 3 ØÙÖ Óµº Ç Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð 34 Ó º Ó D ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¼º ÓÒ Ö Ù ÒØ ØÙ µ Ò Ú Ð Ö Ø Ó Ö Ò ÔÖÓ ÙÒ µ Ò Ú Ð Ö Ø Ó Ó Ò ÒØ ÓÑ Ô Ø µ Ò Ú Ð Ö Ø Ó 1 m Ñ Ô Ø º ½º ÓÒ Ö ØÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ¾º ÓÒ Ö = 4 m D = 1.5 mº Ç ÓÐÓ ½ Ö ÒÓ Ó ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ Ð Ù Ð 18 kn/m 3 º Ç ÓÐÓ ¾ Ö ÐÓ Ó ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ Ð Ù Ð 19 kn/m 3 Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð 28 Ó Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò Ù Ð 65 kpaº Ø Ñ Ö ÓÐ Ô Ó Ñ ÓÒ Ö Ò ÒÓ Ö Ò Ô Ö Ù ÒØ ØÙ µ Ô Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ò Ò ØÓ µ Ô Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ L Ù Ð 5 m ½
14 solo 1 D solo 2 Ó ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ ½º µ Ô Ö ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ L Ù Ð 5 m Ö ÓÑ ÙÑ Ü ÒØÖ e ÙÒ Ó Ö Ó 0.5 m µ Ô Ö ÓÒ Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ Ö ÒÐ Ò 10 Ó ÓÑ Ú ÖØ Ð Ò Ö Ó µ Ò ÓÒ Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÑ Ó Ò Ú Ð Ö Ø Ó 0.5 m ÔÖÓ ÙÒ µ Ô Ö ÓÒ Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÑ ÙÑ Ü ÒØÖ ÙÒ Ó L Ù Ð 1.2 m ¾º ÓÒ Ö Ó Ø ÐÙ Ú ÖØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÑ ÓÖØ Ö ¹ Ð Þ Ó ÒÙÑ ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ØÙÖ Óº Ø Ñ Ù Ò Ó ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ó Ð Ñ Ø ÐØÙÖ Ô Ö ÕÙ Ð ÓÓÖÖ Ó ÓÐ Ô Ó ØÖÙØÙÖ º ÍØ Ð Þ Ó Ñ Ò ÑÓ Ù Ö Ó Ò ÙÖ ÓÒ Ö c u = 60 kpa γ = 18 kn/m 3 º ÓÑ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Óº r = ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ¾º º Ê ÓÐÚ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ù Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ò Ñ Ø Óº º Ê ÓÐÚ Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Óº º ÓÒ Ö ÙÑ Ø ÐÙ Ò Ò ØÓ ÙÑ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó ÓÑ Ô ÙÖ Ñ ÓÑ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð ¾ Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó 18 kn/m 3 º µ ÉÙ Ð ÒÐ Ò Ó Ó Ø ÐÙ ÕÙ Ó ØÓÖÒ Ò Ø Ú Ð µ ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ Ó Ø ÐÙ Ø Ñ Ñ Ô ÙÖ ÕÙ Ð ÒÐ Ò Ó Ó Ø ÐÙ ÕÙ Ó ØÓÖÒ Ò Ø Ú Ð µ Ñ Ø ÓÖ Ó Ø ÐÙ ØÓØ ÐÑ ÒØ Ù Ñ Ö Ó ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö ÔÓÒ Ñ Ñ ÕÙ ØÓº ½
15 µ ÓÒ Ö Ò ÐÑ ÒØ ÕÙ Ó Ø ÐÙ Ø Ù ØÓ Ô ÖÓÐ Ó Ô Ö Ð Ð ÙÔ Ö Ó Ø ÐÙ ÓÑ Ò Ú Ð Ù Ó Ò ÒØ ÓÑ Ø ÙÔ Ö º Ê ÔÓÒ Ñ Ñ ÕÙ ØÓº º ÓÒ Ö ÙÑ Ø ÐÙ Ò Ò ØÓ ÙÑ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó ÓÑ Ô ÙÖ Ñ ÓÑ Ö ¹ Ø Ò ÒÓ Ö Ò Ù Ð ¼ È Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó 20 kn/m 3 º ÉÙ Ð ÒÐ Ò Ó Ó Ø ÐÙ ÕÙ Ó ØÓÖÒ Ò Ø Ú Ð º ÓÒ Ö Ó Ø ÐÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ÒÐ Ò Ó ¼ Ó º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ¹ ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 19 kn/m 3 5m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º µ ÉÙ Ð Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò Ó ÓÐÓ Ò Ó ÕÙ Ó Ø ÐÙ Ð ÞÓÙ ÒÓ Ò ¹ Ö Ñ ÒØ ÓÑ ÙÔ Ö Ò Ò ÙÖ µ µ Í Ò Ó ÙÔ Ö Ò Ò Ð Ó Ö ÙÐØ Ó ÕÙ Ø ÖÑ ÒÓÙ Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖº º ÓÒ Ö Ó Ø ÐÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ÒÐ Ò Ó ¼ Ó º Ç ÓÐÓ ½ ¾ Ø Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ ¾ ¾ Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ ½ 19 kn/m 3 º Ú Ð ÓÓÖÖ Ó Ð Þ Ñ ÒØÓ Ô Ð ÙÔ Ö Ò ØÖ Ú Ó Ù ÒØ Ñ ØÓ Ó µ Å ØÓ Ó ÐÐ Ò Ù º µ Å ØÓ Ó ÓÔ ÑÔÐ Óº º ÓÒ Ö ÙÑ Ø ÐÙ Ò Ò ØÓ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó ÓÑ ÐØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ó Ö ÙÑ Ñ Ó Ñ Ð ÓÖ Ö Ø Ö Ø ÒÐ Ò Ó 20 Ó º Ç ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 19 kn/m 3 Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð 30 Ó º Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó Ó ÓÖÖ Ñ ÒØÓ Ó Ø ÐÙ Ù Ò Ó Ó º ¼º ÓÒ Ö ÙÑ Ø ÐÙ Ò Ò ØÓ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó ÓÑ ÐØÙÖ ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ó Ö ÙÑ Ñ Ó Ñ Ð ÓÖ Ö Ø Ö Ø ÒÐ Ò Ó 20 Ó º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 19 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò 35 kpaº Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó Ó ÓÖÖ Ñ ÒØÓ Ó Ø ÐÙ Ù Ò Ó Ó º ½
16 Solo 1 Solo 2 5m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º ½º ÓÒ Ö ÙÑ Ø ÐÙ Ú ÖØ Ð ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ö ÔÓÒ Ò Ó Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ù Ð 20 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò 50 kpaº µ ÉÙ Ð ÔÖÓ ÙÒ Ö Ø Ó Ø ÐÙ ÕÙ Ð ÕÙ ÓÖ Ø Ò Ù ÖÓØÙÖ µ µ ÉÙ Ð ÔÖÓ ÙÒ Ó Ø ÐÙ ÕÙ Ú Ö ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ Ó Ø ÐÙ ÓÖ Ó ÓÑ Ó ¾º ÓÒ Ö ØÙ Ó ÓØ Ò Ò Ò ÙÖ º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ ¹ Ñ Ó Ù Ð 19 kn/m 3 Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò Ù Ð 32 kpaº Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó Ó ÓÖÖ Ñ ÒØÓ Ó Ø ÐÙ ÓÖ Ó ÓÑ Ó º 30 Ó 4 m 4 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ¾º º ÓÒ Ö ÙÒ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ Ù Ø ÙÑ Ö Ô ÖÑ Ò ÒØ G = 800 kn Q = 500 knº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÓÑ φ = 28 Ó c u = 60 kpaº Ç ÓÐÓ Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ñ Ó Ù Ð 19 kn/m 3 Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó 20 kn/m 3 º Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ ÙÒ Óº º ÓÒ Ö ÙÒ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ Ù Ø ÙÑ Ö Ô ÖÑ Ò ÒØ G = 1200 kn Ú ÖØ Ð ÒØÖ µ Q = 600 kn ÒÐ Ò 15 Ó ÓÑ Ü ÒØÖ e = 0.12 mº Ç ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ φ = 32 Ó º Ç ÓÐÓ Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ñ Ó Ù Ð 17 kn/m 3 Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó 19 kn/m 3 º Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ ÙÒ Óº º ÓÒ Ö ÙÒ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ Ù Ø ÙÑ Ö Ô ÖÑ Ò ÒØ G = 1600 kn Ú ÖØ Ð ÒØÖ µ Q = 400 kn ÓÑ Ü ÒØÖ e 1 = 0.1 m e 2 = ½
17 G ; Q 2 m 3 m D = 1 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º G e 15 Ó Q 3 m 3 m D = 1.2 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º 0.15 mº Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÓÑ φ = 26 Ó c u = 60 kpaº Ç ÓÐÓ Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ Ð Ù Ð 18 kn/m 3 º Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ ÙÒ Ó µ Ñ ÓÒ ÒÓ Ö Ò µ Ñ ÓÒ Ö Ò º G Q 2 m 4 m D = 1.4 m e 2 G 4m Q e 1 ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º º ÓÒ Ö ÙÒ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ¼ Ù Ø ÙÑ Ö Ô ÖÑ Ò ÒØ G = 1300 kn Ú ÖØ Ð ÒØÖ µ Q = 100 knº Ç ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÓÑ φ = 34 Ó º Ç ÓÐÓ ½
18 Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÓØ Ð Ù Ð 18 kn/m 3 º Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ ÙÒ Óº G Q 0.8 m 2 m 4 m D = 1.4 m ÙÖ ¼ ÈÖÓ Ð Ñ º º ÓÒ Ö ØÖÙØÙÖ ÙÔÓÖØ ØÓ ÓÑ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó 24 kn/m 3 Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ò ÙÖ ½º Ç ÓÐÓ ÙÔÓÖØ Ó ÙÑ Ö ÓÑ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð 30 Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ñ Ó 18 kn/m 3 Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó 20 kn/m 3 º Ó Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ø Ñ Ó Ú ÐÓÖ 2 kpaº Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò ØÖÙØÙÖ Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ ÙÒ Ó Ö Ú ÖØ Ð Þ Ñ ÒØÓµ Ñ Ö Ð Ó Ó ÖÖÙ ¹ Ñ ÒØÓ Ù Ò Ó Ó Ô Ö Ù ÒØ ØÙ 0.8m 4.5m 4m 1.5m ÙÖ ½ ÈÖÓ Ð Ñ º µ Ñ Ø Ò Ó ÕÙ Ó Ò ÙÐÓ ØÖ ØÓ ÓÐÓ¹Ô Ö Ñ ÒØÓ ÒÙÐÓ ÕÙ Ó Ò ÙÐÓ ØÖ ØÓ ÓÐÓ¹ 2/3φ º µ Ñ Ø Ò Ó ÕÙ Ò ÙÐÓ ØÖ ØÓ ÓÐÓ¹ ØÖÙØÙÖ Ô Ö Ñ ÒØÓ µ 2/3φ º º ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ ØÖÙØÙÖ ÙÔÓÖØ ÙÖ ½ Ø ÒØ Ó Ö ÙÑ ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÓÑ Ö Ø Ò ÒÓ Ö Ò Ù Ð 80 kpaº Ê Ô Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ø ØÙ Óº º ÓÒ Ö ØÖÙØÙÖ ÙÔÓÖØ ØÓ ÖÑ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ¾º Ç ÓÐÓ ÙÔÓÖØ Ó ÙÑ Ö ÓÑ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ Ù Ð 32 Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó 18 kn/m 3 º Ó Ö Ö Ú Ö Ú Ð Ø Ñ Ó Ú ÐÓÖ 4 kpaº Ç Ò ÙÐÓ ØÖ ØÓ ÓÐÓ¹ ØÖÙØÙÖ 28 Ó º Î Ö ÕÙ ÙÖ Ò ØÖÙØÙÖ Ñ Ö Ð Ó ÖÓØÙÖ ÙÒ Ó Ö Ú ÖØ Ð Þ Ñ ÒØÓµ Ñ Ö Ð Ó Ó ÖÖÙ Ñ ÒØÓ Ù Ò Ó Ó º ½
19 0.3m 20 Ó 4.6m 5.3m 0.8m 4m 3.2m ÙÖ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ º ¼º ÓÒ Ö ØÖÙØÙÖ ÙÔÓÖØ ÓÒ Ø ØÙ ÔÓÖ ÙÑ ÓÖØ Ò Ø ¹ÔÖ Ò Ö ¹ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º Ç ÓÐÓ ÙÔÓÖØ Ó ÙÑ Ö ÓÑ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò Ó ÓÖØ φ = 30 Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ñ Ó Ù Ð 18 kn/m 3 Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó 20 kn/m 3 º 1 = 4 m 2 = 2 m f ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ¼º µ È Ö = 0 Ø ÖÑ Ò ÐØÙÖ ÒØ ÖÖ µ f ÔÓÖ ÓÖÑ ÕÙ ÕÙ Ú Ö ÙÖ Ò º µ Ø ÖÑ Ò Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÙÐÓ Ò ÓÖØ Ò º µ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö Ñ ÑÓÑ ÒØÓ ØÓÖ ÐÙÐÓ Ò ÓÖØ Ò º µ È Ö = 15 kpa Ö Ô Ø Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ º ½
20 ½º ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ Ò ÓÖØ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÐÓ ÙÑ ÓÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ð 2 m ÔÖÓ ÙÒ º µ È Ö = 0 Ø ÖÑ Ò ÐØÙÖ ÒØ ÖÖ µ f ÓÖ ÐÙÐÓ Ò ÓÖ ÔÓÖ ÓÖÑ ÕÙ ÕÙ Ú Ö ÙÖ Ò º ÍØ Ð Þ Ó Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓ Ó ÑÔÐ º µ Ø ÖÑ Ò Ó ÑÓÑ ÒØÓ Ñ Ü ÑÓ ÐÙÐÓ Ò ÓÖØ Ò º µ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö Ñ ÑÓÑ ÒØÓ ØÓÖ ÐÙÐÓ Ò ÓÖØ Ò º µ È Ö = 15 kpa Ö Ô Ø Ó ÐÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ º ¾º ÓÒ Ö ØÙ Ó ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º Ç ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó ÔÓ Ö Ö Ø Ö ¹ Þ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÙÐÓ ÓÖÑ Ð kpa ÔÓÖ ÙÑ Ó ÒØ ÈÓ ÓÒ 0.33º Ç Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ó ÓÐÓ 20 kn/m 3 º ÙÒ Ó Ñ Ò = 2 m ÔÓÖ L = 10 m Ø ÙÒ 2 m ÔÖÓ ÙÒ Ø Ù Ø ÙÑ Ö 400 kpaº D L H ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÐÙÐ Ó ÒØ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÒØÖÓ ÙÒ Ó Ô Ö µ H = µ H = 10 m µ H = 5 m µ H = 2 mº º ÓÒ Ö ØÙ Ó ÓØ Ò ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ñ Ó ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó ÕÙ 20 kn/m 3 º ÍÑ Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó Ö Ð Þ Ó Ó Ö ÙÑ ÑÓ ØÖ ÓÐ 4 m ÔÖÓ ÙÒ Ö Ú ÐÓÙ ÕÙ Ó ÓÐÓ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Ó ÓÑ ÙÑ Ò Óѹ ÔÖ Ð C c = 0.15º Ç Ò Ú Þ Ó Ö Ö ÔÖÓ ÙÒ Ö 0.80º ÙÒ Ó Ø Ñ Ñ Ò = 2 m ÔÓÖ L = 3 m Ø ÙÒ 1 m ÔÖÓ ÙÒ Ø Ù Ø ÙÑ Ö 200 kpaº ÐÙÐ Ó ÒØ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ ÓÒ ÓÐ Ó ÔÖ Ñ Ö Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÓÒ Ö Ò Ó Ú Ó Ó ÓÐÓ ÜÓ Ó ÔÐ ÒÓ ÙÒ Ó Ñ µ Ñ Ù Ð Ô ÙÖ µ Ñ Ù Ð Ô ÙÖ µ ¾ Ñ Ù Ð Ô ÙÖ µ ½ Ñ º ¾¼
21 D L H = 6 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º º ÓÒ Ö ØÙ Ó ÓØ Ò ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ º Ç ÓÐÓ Ö ÐÓ Ó ÓÖ¹ Ø Ñ ÒØ Ó Ö ÓÒ ÓÐ Ó Ø Ñ Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó Ñ Ó ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð Ó Ô Ó ÚÓÐ Ñ Ó ØÙÖ Ó ÕÙ 20 kn/m 3 º ÍÑ Ò Ó ÓÑ ØÖ Ó Ö Ð Þ Ó Ó Ö ÙÑ ÑÓ ¹ ØÖ ÓÐ 3 m ÔÖÓ ÙÒ Ö Ú ÐÓÙ ÙÑ Ò ÓÑÔÖ Ð C c = 0.25 ÙÑ Ò Ö ÓÑÔÖ Ð» ÜÔ Ò Ð C s = 0.04º Ç Ò Ú Þ Ó Ö Ö ÔÖÓ ÙÒ Ö 0.52º ÙÒ Ó Ø Ñ Ñ Ò = 3 m ÔÓÖ L = 6 m Ø ÙÒ 1 m ÔÖÓ ÙÒ Ø Ù Ø ÙÑ Ö 300 kpaº ÐÙÐ Ó D L H = 6 m ÙÖ ÈÖÓ Ð Ñ º ÒØ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ ÓÒ ÓÐ Ó ÔÖ Ñ Ö Ó ÓÐÓ Ö ÐÓ Óº ÓÒ Ö ÕÙ Ô ÐÓ ØÓ Ó ÓÐÓ Ö ÓÖØ Ñ ÒØ Ó Ö ÓÒ ÓÐ Ó Ö Ü Ö Ô Ð ÙÒ Ó Ò Ö ÓÖ Ñ ÓÖ Ø Ò Ó ÕÙ Ó Ø ÖÖ ÒÓ Ø Ú Ù ØÓº ¾½
L2 L2 (a 21 /a 11 )L1
ÙÐ ¼¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ Å ØÓ Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÐ ¼½ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ÔÓ¹ Ñ Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ð Ò Ö º Ú Ö Ó ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ¹ÂÓÖ
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ò Ö Ú Ð ÓÒ ÖÓÒØ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò¹ Ø Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¹ ÔÓÖ ÓÙØÖÓº ÆÙÑ Ô Ö Ô Ø Ú ØÙ Ð ÔÓ ¹ Þ Ö ÕÙ Ú Ö Ø
ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ¾ ÖÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ó ÒÓ Ö Ò Ó Ò Ó Ð ÓÖ Ø Ö Ó º½ Ç Ò Ó ÓÖØ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó º
ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ Ù
Å Ö ØÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ Ó ½ ÖÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ Ë Ò ÓÖ ÈÖÓ Ð Ñ ½ È Ó ÖÕÙ ÚÓ Ô Óº ÓÙ Ô ÓºÔ Ô Óº Ò Ô ÓºÓÙØ ÍÑ ÑÔÖ ÕÙ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ø Ð Ó Ô Ó Ö ÕĐÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ ÔÐ Ò Ö Ó Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó ÕÙ Ð Ô Ó ÓÐÓ º Ø Ø Ö ÔÓ Ö Ø ÓÑ ÙÜ Ð Ó
ËÙÑ Ö Ó ¾¼ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù ¾¼º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ Ç Ñ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ¾¼ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ê Ð Ó Ù ÓÑ
ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼ º½Ç ÓÒ ØÓ ÍÖ ÒØ ÒÓ ÌÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÍÒ ÌÖ Ò ÈÐÙÖ Ð º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼
¾ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ò ÔÖ Ø Ó º ÎÁÁÁ Ü ÑÔÐÓ ¾ À º ºÌº Ä ÚÖÓ Á Ù ½ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ÕÙ Ó Ù ØÓ ÑÓÚ Ù¹ Ù Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÒÓØ ÕÙ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÑ Ø Ó ÌÖ ÎÓÞ ÆÓ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ù ÚÓÞ Ñ Ø Ó Ó Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ö º ÓÑ ØÖ ÚÓÞ Ð ÑÔ ÖØ Ú ÒØ Ò º ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ð ÖÑÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Þ ÓÒ ÙØ Ú ÓÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ð
y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1
ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y
ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾ ÈÖ Ñ ÙÐÓ º º º º
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ô ÐÓ ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾
¾
Ü Ñ ÁÒ Ö Ó ÔÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÈÖ Ñ ÖÓ Ë Ñ ØÖ ¾¼½½ ÆÓÑ Ó µ Ò ØÓ µ ½ ¾ Å Ò ½º È Ð Ò Ð Ó Ù Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ó ÖÚ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÓÐ Ö Ó ÔÖ Þ Ú Ðµ Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ò ÒØ º ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú Ù Ð Ó Ó ÖÚ ÓÖ ÓÖÖ
u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(x,0) = 1
ÙÐ ½¾ ¹ Å ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö È³ È Ö Ð Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ ÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÓ Ù Ñ ÙÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ º ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð Ó Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ t = α 2 u Ë Ò Ó
l l θ T P cosθ = Ma n P sin θ = Ma t, Mg sin θ = Ml d2 θ dt 2. d 2 θ dt 2 = g l θ. µ
Ò ÍÖ ÒÓ È ÙÐÓ Ö Ó Ë È ÙÐÓ Ò Ö Ù ÜÔ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ö Ó ½ ÅÁ É ÍÈ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ Ç Ø ÚÓ ØÙ Ó Ó Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ú º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁ Ç ÍÒ Ú
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ò Ð ÕÙ ÑÔÖ º Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ú Ø Ñ ÖØ ÁÒÚ
s γ β α r t r s α = β α+γ = 180.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÁ Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ È Ö Ð Ð ÑÓ Ù Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ñ ¹ Ñ ÓÙ Ð Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ö Ø Ó Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó º½ Î ÈÐ Ò Ø Ö º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÒØÖ Ú Ø º º º
Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó Ê Ø ÖÓ Ê ÙÔ Ö Ó Ë Ù Ó Ö ÒØÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÚÖÓ Î Ø Ö Ò Ï ÐÞ Ö Ë Ø Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÖ Ø ÖÓ Ù ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¼¾ Ç ÙÒ Ñ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Å Ó Ó Å Ò Ø
ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ½ ½ º½ ÈÖ Ò Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÓ È ÕÙ ØÖ ÔÓ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¹ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ÓÑÓ ÈÓÖ ÉÙ È Ö Ö ÌÓÑ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó Ó Ö Ú Ø ØÙ Ð Þ ¾¼¼ È Ø Ö Êº Ö Ò Åº º Ú Ó Ò È º º Î Ø Ð ÚÖÓ
Ë Ö Ñ ÄÙÞ ÓÙÖ Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ
Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ ËÙÑ Ö Ó ¼ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ ¼º½ Ö Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ ÁÒØÖÓ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÒ Ø ØÙ
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Æ Ø ÖØ Ó ØÓÙ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ñ ÒÓ ÒÓ Ò ÒÓ ÔÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò ÒÓ ÔÖ Ò Ðº
Ò Ð Ø ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÒÓ Å Ø Ñ Ø ¹ ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒØÓÖÒ Ö ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ì Ö Ó ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ¾ Ø Ñ ÖÓ ¾¼½ ÔÖ ÔÖ ÒØ ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÒÓº ¾¼½ º¼¾ ØÓÖ Ì Ö Ó ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ø Ö ÓÑ Ñ Öº Ñ ºÓÖ Ê ÙÑÓ ØÓÙ Ö Ú Ò Ó Ò Ø
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ù ÌÙ Å ÖØ Ò Ù Ö Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ ¾ Ô ØÙÐÓ ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ó Ò Ú ÙÓ Ø ÓÖ Ó Ò ÖÓ ÙÑ ÒÓ Ñ ÓÖ ÔÓ Ñ Ô Ö Ö¹ ÙÑ ÓÙØÖ Ø Ó ÓÖ Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ñ Ò Ø Ñ
ÆýÄÁË ËÌÊÍÌÍÊ Ë ÇÌ ÆÁ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÆÙÒÓ Å ÒÙ Ð Ó Ø Ù ÖÖ
ÆýÄÁË ËÌÊÍÌÍÊ Ë ÇÌ ÆÁ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÆÙÒÓ Å ÒÙ Ð Ó Ø Ù ÖÖ ¾ Ò Å Ø Ö Á ÁÒØÖÓ ÙÓ ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò ½ ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ½º½ Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò º º º º º º º
Leis de Ohm e Kirchhoff
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ñ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Leis de Ohm e Kirchhoff Fernando Barão, Filipe Mendes, Manuela Mendes Profs do Departamento de Física do IST última revisão: Março 2017
Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ Ô Ö ÓÖ Ñ ÍØ Ð Þ ÒÓØ Ó ÒØ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò Ñ ÖÓ ÑÙ ØÓ Ö Ò ÓÙ Ô ÕÙ Ò
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ê Ö Ø ÒÓ ÖÚ Ð Ó Ë ÒØÓ ÔÖÓ ÓÖºÔ ÓØ º Ø Ø Ø Ó Ñ ÐºÓÑ ÖÙÔÓ ÓÓ Ð È ÓØ Ø Ø Ø Ó ¾¼½ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö Í Å µ Ô ØÓ Ö ÇÒ Ü Ö Ó Ê ØØÔ»»Ö ÒºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» Ç Ê Þ Ø ÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ ÍØ Ð Þ
ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ½¾ ½¾¼ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ ½¾ ½¾¼º½ Ë Ø Ñ Å Ó ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¼ ¹ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó
ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ ½ ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º Å ØÓ ÓÐÓ ¾ Ñ Ó Ð Ø Ö Ð Ó Ñ ÙÒ Ñ ÒØÓ º
Å ØÓ ÓÐÓ Ø Ñ Ø Ú Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Å Ö Ð Å È¹ Ëȹ Î Ë Ñ Ò Ö Ó ÁÑÔ ØÓ Ó Ñ Ó Ó Ö Ó ÓÑ Ö Ó ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ ÔÖ ÒØ Ó ½ ¾ ÓÒÓÑ Ó Ð Ò Ñ ÒØÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ñ Ðº Å ØÓ ÓÐÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÉÙ Ø ÓÒÓÑ ØÖ º Å ØÓ ÓÐÓ
dy dt = f(y,x,t) y(t 0) = y 0 dx dt = g(y,x,t) x(t 0) = x 0
ÙÐ ¼ ¹ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÔØ Ø ÚÓ Å ØÓ Ó È Ó ¹Å ÐØ ÔÐÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ½ Å ØÓ Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ô Ö Ë Ø Ñ Ç Ñ ØÓ Ó ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ Ç³ º ÓÒ Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ø Ñ ÓÑ Ù ÕÙ dy dt = f(y,x,t y(t 0 = y 0 dx
ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ñ ÔÖ Ó¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ ÌÖ Ì Ö Ô ¹ Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð ¾ ½º½ Ç Æ Ø ÚÓ À ÚÓÒ º º º º
ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð ¾½ ½º½ Ç ÆÓÑ Ó È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç
AB BC = 1 A B B C = 1.
Å ½ ¹ ÍÒ ½¼ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò Á Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ó Ø ÑÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s t ÙÖ ½µº ÌÖ ÑÓ Ñ Ù Ö Ø u u ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó r s t Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÒ ÒØ
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð ¾ ½ ¾ º½ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ¾ º¾ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó Ð ÑÓ Ø ÜØÓ Ð Ø ÒÓ Ù Ó ÒÓ ÖÚ Ó Ø Ð
ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ Ó ÓÒØ Ó Ò Å ÒØ ¹ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ó Ò Ô Ó ÓÑ Ø Ó ÕÙ Ø Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ø ÚÓÐÙ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÑÔÓÖØ Ò Ó ÙÐØÓ Ö Ð Ó Ó º º º º
Ê Ð Ó ÍÖ ÒØ Ê Ð Ó ÜÔ Ö Ò Ô Ö ØÙ Ð È Ó Ð Ç ÈÓ Ö Ó Ë Ñ ÓÐ ÑÓµ ÊÓ ÖØ Ë ÖÑ Ø ÛÛÛºÙÖ ÒØ Ö Ð ÓÒºÓÑ ½¼ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÌÖ Ò Ö Ó ÌÖ Ù Ó ÖÐÓ Ä Ø Ë ÐÚ ÖÐÓ Ñ Ö Ò Ð Ø ÐÚ Ñ ÐºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö ½ ¼ ½ ¼º½ ÐÓ Ó Ö ÊÓ Ñ
ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ø Ó ÐÙ Ó ÒÑ Ó ÐÙ Ó ÓÖÑÙÐ Ó ÒØ Ö Ð Ó Ñ ÒØÓ Î Ó Ó Ñ ÙØÓ ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á Æ ½¼½½ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ù Ö Ë ÐÚ ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å
ÒÑ ÒÓ ÌÖ Ò ÔÓÖØ Á ¹Ñ Ð ÐÙ Ö ÔºÔÙ¹Ö Óº Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÈÓÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ Å ÖÓ ¾¼½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ËÙÑ Ö Ó ½ ÔÐ ÒÑ ÒÓ ØÖ Ò ÔÓÖØ ¾ ÕÙ Ø Ø Ó Ù Ó Å ÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÙÔ Ö Ù Ñ Ö ÔÐ Ò ÑÔÙÜÓ ÓÖÑ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º º º º º º º º
ÈÖ Ò Ô Ó Ö Ø ÖÒ ÀÙÑ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ò È Ø ÖÒ Ù Ò Ô Ö Ó ÒÓ Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ËÙÑ Ö Ó ½ Ô Ø ÖÒ Ù Ö Ø ÖÒ ÙÑ Ò ½ ½º½ ÈÖÓÔ Ó ØÓ Ô Ó Ð ÓÐ Ø ÚÓ Ö Ø ÖÒ ÍÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÔÓ ÔÐ Ò Ø Ö ÙÑ Ò º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½¾ ËÓ Ö Ú
A A ; B B ; C C. AB = A B ; AC = A C ; BC = B C.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Á Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ó Ä Ä Ä ÄÄÄ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ BC Ð Ó Ù lº ËÓÐÙÓº l Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ô ØÓ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ô ØÓ
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó º½ ÒØÖ ÒÓ ÓÖ ÓÒ ÕÙ Ö ÕÙ ÚÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù ½ ½ ½ º½ Ç ÕÙ ÙÑ ÖØ Ó È Ó ÁÒØ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ½ º½º½ ÈÖ Ó º º º º º º º º º º º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓÔ Ó Ó Ë Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
ËÙÑ Ö Ó ½¾½ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð ½¾ ½¾½º½Ç Ç ÒØ ÒÓ ÈÖ Ñ ÖÓ Ë ÙÐÓ ÔÓ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾½º¾Ç ÈÓÚÓ ÂÙ Ù º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾½ ¹ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
Ö Ñ ÒØÓ Ó Ø Ö Ö Ö Ó Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÖ ÖÒ Ò Ó Ó ÒÓ ÔÓÖ ØÓ Ó Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ñ Ø Ñ Ñ Ô ÐÓ Ò ÒØ ÚÓ Óѹ ÔÖ Ò Ó ÒÓ Ñ Ú Ö Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÒÓ Ñ ÕÙ Ø ÑÓ ØÖ ¹ Ð Ò Ó
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ö ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ Å ØÓ Ó ÒØ Ø Ó Ô Ö ÈÖ Ó Ò Ä Ö Ó ÖØÙÖ Ê Ó Ð ØÖ Ñ Ñ ÒØ ÍÖ ÒÓ Ì ÜØÓ Ø Ù Ñ Ø Ó Ò Ü ¹ Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö ¹ Ö Ð Å Ò
ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó Ò Ñ ÁÒÚ ÖØ Ö Ó
ÚÓÐÙ Ó Î Ø Ç ËÙÖ Ñ ÒØÓ Ó Ë Ö ÀÙÑ ÒÓ ¹ Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ÈÓÖØ ÓÖ Î ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ Û
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó ½¼½ ½¼º½ ÙØÓ ØÖ Ù Ó ÈÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ËÙÑ Ö Ó ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ¾ º½ ÎÓÒØ Ë ÓÔ Ò Ù Ö ÔÖ ÚÓÒØ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ç ÜØÖ
ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ä Ø Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ó Ó º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¹ Ò ÜÓ ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ÁÁ ÁÒØÖÓ Ù Ó Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ ËÖ Ê Ñ Ö Ò ½ ÈÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖÓ Åº ÓÑ Ê Ñ Ö Ò º½ ÈÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ ÈÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖÓ Åº ÓÑ Ê Ñ Ö Ò Ç Ú Ò Ð Ó ËÖ Ê Ñ Ö Ò ÈÓÖ Åº Å Ò Ö Ò Ø ÙÔØ µ ÍÑ ÔÙÐÓ Ö ØÓ ËÖ Ê Ñ Ö Ò µ ÁÒØÖÓ Ù Ó Ó Ö ÌÖ Ù Ó Ô Ö Ó ÁÒ Ð ËÛ Ñ Æ Ð Ò Ò ËÙÑ Ö Ó ÁÁ ÁÒØÖÓ Ù Ó Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ ËÖ Ê Ñ Ö Ò ½ ÈÖ Ñ ÖÓ ÒÓÒØÖÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ç ÙÖ Ó Ô ½ ½ ¼º½Ç
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö ½½ ½ º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ º¾ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö Ð ØÙÖ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ º ËÙÑ
ËÙÑ Ö Ó È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð º½ Ç Ù ÒØ Ó ÍÒ Ú Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ç Ö Ð ÒØ ØÖ Ð Î Ô ÖØ ÒÓ º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó È Ö ÓÒ Ð Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð º½ Ç
ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð ¹ ½½º½ ÆÙØÖ ÒØ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò ÈÖ Ú Ò Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ½½ ¹ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð Ù ÒØ Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð ÍÖ ÙÐ Ö ² Ù Ò ½ Ó ¹ ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º
Ü Ö Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ù Ö Ó ÈÓ Ö ÙÖ Ó Ê ÓÙÒ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ½¼½ º½ ÊÙ Ò Å Ð ÓÖ ÅÙ ØÓ Å Ð ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º¾
Ê ÚÓÐÙ Ó ÒØ ÒÚ Ð Ñ ÒØÓ ¹ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ÍÑ ÈÖÓ Ö Ñ Ê Ð Ê ÙÚ Ò Ñ ÒØÓ Ú Ø Ó Ò Ö ÓÚ ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ ËÙ Ò Ö ÒÓ Å Ð ÓÖ ËÙ Ô Å ÒØ Ð Ì ÑÓØ Ý Âº ËÑ Ø Åº º ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ä Ø ÙÖ ½ ØÙ Ó Ë ½ Ö ÙÐØ ÒØ Ü Ù Ó Ó Å ÓÚ µ Ò ØÙ Ó Ë ¼ º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ó Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ó Ò Ó ÙØ ÚÓ Ù Ò Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑ Ë Ø Ñ ÈÐ Ò Ñ ÒØÓ Ë ÐÚ Ó Ó Ä Ó È Ö Ö ÈÖÓ ØÓ ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ë Ó È ÙÐÓ ÓÑÓ Ê ÕÙ ØÓ È Ö Ð Ô Ö ÉÙ Ð Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ º½ Ç Æ Ú
ÌÖ Ð Ó Ö Ð Þ Ó Ó ÓÖ ÒØ Ó Å Ö Ó Ê Ñ Ó Ö ÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÙÜ Ð Ö Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Å Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó
ÍÆÁÎ ÊËÁ Ì ÆÁ ÄÁË Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ ËÍÈ ÊÁÇÊ Ì ÆÁ Ç Ä È Ñ Ø ¹µÄ Ó Ô Ó ÈÖ Ö Ò ÂÓ Ó Å ÒÙ Ð È Ò ÖÓ ÓÔÓ ÐÙÒÓ Æ Ó ¼ Ò Å Ö Ö Â Ù Ö Ó Ó ÐÙÒ Æ Ó ¼ ¾ Ë Ø Ñ ÖÓ ½ ÌÖ Ð Ó Ò Ð ÙÖ Ó Ä Ò ØÙÖ Ñ Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÑÔÙØ ÓÖ Ê ÑÓ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó ÓÑ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º
Ø Ó ÙÒ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ò Ö Î Ú ÓÑ Ê Ø Ö ÒÓ Ö Ò È ÙÐ ÓÕÙ ÛÛÛº Ñ ÒØ Ò Ø Ú ºÒ غ Ö Ö Ð ¼½ ËÙÑ Ö Ó ½ Ì Ò ÙÐ Ò Ö Ú Ú ½ ½º½ ÖÑ Ò Ó Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Ù Ó
ËÙÑ Ö Ó È Ù Ó Ò º½ ÒÙÒ Ò Ó Ó Ò Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Æ Ò ÙÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
È ÕÙ ØÖ Å Ø Ö Ð Ø µ ÙÑ ÁÒ Ù ØÖ ÅÓÖØ Å ÒØ Ðµ ¹ È Ù Ó Ò ËÙÔÐ Ñ ÒØÓ Ó ÓÙÑ ÒØ Ö Ó ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð ÓÑ Ó Ó Ó Ô Ö Ó Ö ØÓ ÀÙÑ ÒÓ Ø Þ Ò ÓÑÑ ÓÒ ÓÒ ÀÙÑ Ò Ê Ø µ ÀÊ ÛÛÛº ÖºÓÖ ËÙÑ Ö Ó È Ù Ó Ò º½ ÒÙÒ Ò Ó Ó Ò Ñ ÒØ º º º º
Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ö È ÙÐÓ Ù Ö Ó Þ Ú Ó Ë ÐÚ Ö ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ì ÌÍÄÇ Å ËÌÊ Å Á Æ Á Ë ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ò ÓÑÔÙØ Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÂÓ Ó Ð Ó È Ò
Å Ò Ñ Þ Ó Î Ò Ñ ÌÓÖÒ Ó ÊÓÙÒ ÊÓ Ò ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒ Ó ÖÓÙÒ ÖÓ Ò ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØ Ô Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó
Å Ò Ñ Þ Ó ÎÒ Ñ ÌÓÖÒÓ ÊÓÙÒ ÊÓÒ ÓÒ Ö ¹ ÙÑ ØÓÖÒÓ ÖÓÙÒ ÖÓÒ ÓÑÔ ØÓ Ó ÕÙ Ð Ô ÖØÔ Ñ Ò ÕÙ Ô ÓÒ Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÑÓÖ Ó ÕÙ Ó µ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ø Ô Ö ÓÖÑÙÐ Ó Ó ÌÌÈ Ò Ë Ó ¾º º ÙÑ Ø Ð ÙÑ ØÓÖÒÓ Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ À È Ó Ò Ð ÓÑ ¹ Û
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ì ÑÔÓ Ô
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ó Ú º½ Ó Ú Ñ Â ÖÙ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ¾ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ¾º½ Î Ú Ò Ò
metros
½ ½ ýä ÍÄÇ Ç Á ÆÇ Ê ËÁÄ ÓÖ Ñ Ö Ó ÑÓ ÐÓ ÓÒ ÙÐ Ó Ó Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓÚ Ö¹ ÐÙÐ Ö¹ Ö ÔÓÖ Ë Ó º µ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ ÑÓ Ó Ø Ö ØÓÒ Ú Ò ÇÐÐ Ú Ö ½ µ ÒÓ Ó Ó ÐÙÐÓ ÔÓÖ Ì Ë Ó º º¾µ Î Ò ÃÐ Ù Ö ½ µ ÒÓ Ó Ó ÐÙÐÓ ÔÓÖ Ñ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ì Ö Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ì Ö Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ì Ö Ö ÑÔ
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò ½ ½ ½º½ ÍÐØ Ñ È Ð ÚÖ ÓÒ ÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½º¾ ÜÓÖØ Ó È Ó Ô º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø ÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÐÓ º½ Ë ÒØÖ ÓÒ Ø ÐÓ
ÕÙ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÑ Ð Ò Ö Ø Ó Ø ÚÓ Ù ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐØ Ñ ÕÙ ØÖÓ ÔÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ñ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÒÓ ÒÓ Ù ÒØ º ÑÔÖ Ò ÓÖ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Ö ÙÖ Ó ØÓÖ
Ç ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÙØÅ Ü Ç ÑÔ ÓÒ ØÓ Ö ÐÖÓ Ó ØÓÖÒÓ ÙØÓÐ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓ Ö Ð ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ Ó ÑÓÖ ÒÓ ÑÙÒ Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ô Ô ÖØÔ ÑØ º ÓÑÔ Ò Ó ÔÓÖ Ñ Ð Ô Ó ÕÙ Ø Ñ Ó Ó Ó ÒÓ Ø Ó ÓÑÔ ÒÑ ØÖ Ò Ñ Ö Ó Ø Ð Ú Ó ÔÖÓÙÖ Ñ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼¼ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò ½¼¼º½Ç
P m = a 0 +a 1 x+...+a m x m, y i P m (x i ) 2, ½µ. Ha = b, N min a0,...,a n. i=0
Å Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ¹ ÖÓØ ÖÓ ÙÐ Ù Ö Ó º Ó Ø ÍÒ Úº ËÓ È ÙÐÓ Å Ý ¾¼½ ØÖ Ø ÊÓØ ÖÓ ÙÐ Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò¹ ÐÙ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ º ÈÖ Ñ Ö ÙÐ ¾ ½ Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ó (x i,y i ) Ô Ö
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ó Ë Ö Ó ÜÔ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ È Ó Ë Ö Ó ÜÔ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó È Ó Ë Ö Ó ÜÔ Ó ½
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù
]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [
![]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [](/thumbs/88/114862961.jpg "]0,0.5[ [0.5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,10[ [10,20[ [20,50[ [50,100[ [100,200[ [200,+ [")
Å Ø Ñ Ø ÁÁ Ü Ö Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ú ÖÒ Ò Î Ð ÒØ Å ÖØ Å ÕÙ Ø ÁÆËÌÁÌÍÌÇ ËÍÈ ÊÁÇÊ ÊÇÆÇÅÁ ¹ ¾¼½»¾¼½ ¹ Á ¹ ËÌ Ì ËÌÁ Ë ÊÁÌÁÎ ½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Áµ Ó Ö ØÓ Ñ Ò Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö Ñ ÒÙØ ÒÓ ÒÓ Ö Ò ÙÑ Ö Ò Æ Ó ÓÔ Ö ¼
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ó Ô Ö ØÓ ÁÒ Ò ØÓ ÓÑ Ó ÍÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê ÐÓ Ó ÔÖ ØÓ ÁÒ Ò ØÓ ÓÑ Ó ÍÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒغÓÖ ÛÛÛºØÖÙØÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒغÓÖ º Ö ËÙÑÖ Ó Ê
Adriano Cruz 19 de julho de 2017
ÙÖ Ó Ì ÔÓ Ó Adriano Cruz 19 de julho de 2017 ½ Ê ÙÑÓ Ë Ó Î Ö Ú Ì ÔÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒÚ Ö Ó ÒØÖ ÈÓÒØÓ ÐÙØÙ ÒØ Ö Ø Ö ÆÓÑ Î Ö Ú ¾ Î Ö Ú Ú Ö Ñ Î Ö Ú Ú Ö Ñ ½º Î Ö Ú ÓÒ Ø ÒØ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó ÕÙ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ò ÔÙÐ º ¾º
ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÇÖ Ò Ó Ó ÓÞ ½ ¼ ½ ¼º½ ÁÒ ØÖÙ Ó ÈÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½ ¼º¾ ÇÖ Ò Ó º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÇÖ Ò Ó Ó ÓÞ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÇÖ Ò Ó Ó ÓÞ ½ ¼ ½ ¼º½ ÁÒ ØÖÙ Ó ÈÖ Ð
¾½ Ë ÑÙÐ Ó ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ñ ÙÐ Ì ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú ÖØÙ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓÓÐ Ò Ô Ý Ð ØÙÖ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Á ÙÐ Ò Ò Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ó Ò ÔÐ Úº ÀÙÑ ÖØÓ º º Ö ÒÓ ¾ ¼ ¼¹ ¼½ ˺ º ÑÔÓ ËºÈº
¾¾½ ÔÖ ÒØ Ó Ó ËÓ ØÛ Ö Ù ÓÒ Ð Î Ø¾½ Å Ò ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ø ÓÒ Ð ËÓ ØÛ Ö Î Ø¾½ Å Ò µ Ï ÐØÓÒ Èº Ë ÐÚ Ð Åº º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Ð ØÓÒ º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ ÁÚÓÑ Ö Ö ØÓ ËÓ Ö Ó Ó º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Û ÐØÓÒÔ ÙÓкÓѺ Ö» Ì»Í È ½¼ ¹ ¼
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó ¼ º½ ÙÒ Ó Ó ÈÓÖØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö ¾
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÚÓÐÙ Ó ÈÖ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÚÓÐÙÓ ÈÖ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÚÓÐÙÓ ÈÖ ½ ½º½ ÈÖ ÈÖ Ñ Ø Ú º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ç ÒÓ ÓÐ Ò ½ ½ ½¾ º½Ç ÑÓ Ë ÜØÓ ÒÓ ½¼ º ºµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½¾ º¾Ç ÑÓ Ë Ø ÑÓ ÒÓ ½½ º ºµ º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÒÓ ÓÐ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºØÖÙØ
= PD PA PB = R 2 OP 2.
Å ½ ¹ ÍÒ ½½ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò ÁÁ Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ Ç Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò ÔÓÒØÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ù Ö Ò ÖÖ Ñ ÓÙØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ò ÍÒ ½¼ Ò Ó ÓÒ ÓÒ ÙÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÑÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁÁ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ ¾ ÇÖ
ËÙÑ Ö Ó ¾ ÈÖ Ø Ø Ù Û ½½ ¾º½ Ç ÕÙ Ô Ñ ÒØÓ Ó ÔÖÓØÓÓÐÓ Ù Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ Ø Ù Û ØÖ Ò Ó ½ µ º º º º º º º º º
Ù ÈÖ Ø Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ¾ ¹ ÈÖ Ø Ø Ù Û Ó Ò ÙÖ Ø Ú Ø Ù Û Ê ¹ Ø Ó ÓÑ Ö Ø Ó È ÖØ Ö Ó Ä ÚÖÓ Ð ØÖ ÓÒ Ó ÇÖ Ò Ð Ù ÈÖ Ø Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ÔÖ Ø» Ù ÈÖ Ø Ó¹ ¹Ê Ø ºÔ µ Ó ¹ Å Ö Ó ¾¼½½ ÛÛÛº ÙÖ Ó Ò ÖºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ¾
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ÙÐ ÎÓÓ Ô ØÙÐÓ ÙÐ ÎÓÓ º º º Ò Ó ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ó ÔÓ Ö Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÓ Ù Ñ Ó Ó Ë Ò ÓÖ ÓÐÙØÓ Ó ÌÓ