Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó
|
|
|
- Cármen Bruna Fartaria
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÎ Ë Ñ Ò ¾¾»¼»¾¼½½ ¾»¼»¾¼½½ ÉÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÒÓØ Ú ÒØÖ Ó Ú Ö Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ó ÔÖ Ò Ô Ó ÖØ Ñ ÒØ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ º Ò Ó ½º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ØÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÔÓ Ù Ö Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ô Ö Ð ÐÓ º ÙÖ ½ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ º ½
2 ¾ ÆÓ ÕÙ Ù Ú ÑÓ ÒÙÒ Ö Ú Ö Ñ Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÎÓ Ú Ù Ö Ö Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÑÓ ÔÖÓÔÖ ÒÓØ Ú Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ö Ñ Ù ÓÔÓÖØÙÒ Ñ ÒØ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ù Ò ÙÐÓ ÓÔÓ ØÓ ÓÖ Ñ Ù º ÈÖÓÚ º ËÙÔÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ô Ö Ð ¹ ÐÓ Ö ÑÓ ÙÖ ½µº ÒØÓ ÓÑÓ Ó Ò ÙÐÓ Ó Ô Ö ¹ Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ó ÓÐ Ø Ö ÒØ ÖÒÓ Ñ Ö Ð Ó Ö Ø Ø ÑÓ Â+ = 180 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ + Ĉ = 180  = 180 = Ĉº Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó = º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ Ø Ð ÕÙ Â = Ĉ = ÙÖ ¾µº ÒØÓ Â+ = Ĉ + ÓÑÓ Â+ + Ĉ + = 360 ÔÖÓ Ð Ñ ÍÒ µ Ø ÑÓ Â + = Ĉ + = 180 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ Â + = + Ĉ = 180 º ÓÖ ÓÑÓ Â + = 180 Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ÍÒ Ö ÒØ ÕÙ º Ñ Ñ ÓÖÑ +Ĉ = 180 ÒÓ Ñ Ò Ö ÕÙ Ø Ñ Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ô Ö Ð ÐÓ º º ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÙÖ ¾  = Ĉ = Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÈÖÓÔÓ Ó º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ù Ô Ö Ð Ó ÓÔÓ ØÓ ÓÖ Ñ Ù º ÈÖÓÚ º ËÙÔÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ô Ö Ð ¹ ÐÓ Ö ÑÓ ÙÖ µº ÒØÓ ÑÓ ÕÙ Â = Ĉº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÓÑÓ
3 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Ø ÑÓ = º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ä Ó Ù ÕÙ = = º ÙÖ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ = = º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ Ø Ð ÕÙ = = ÙÖ µº ÒØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ ÄÄÄ ÓÒ Ù ÕÙ = = º Å Ø Ù Ð ¹ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ÍÒ ÖÖ Ø Ñ Ñ º ÙÖ = = Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÔÖÓÔÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÔÖ ÒØ Ö ÙÑ ÓÒ ØÖÙÓ ÑÔÐ Ô Ö Ð Ð ÙÑ Ö Ø ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÖ Ñ Ñ ÓÒ ÓÖÑ Ò Ò Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ö Ø r ÙÑ ÔÓÒØÓ / r ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ö Ø Ô Ö Ð Ð r Ô Ò Ó ÔÓÖ º ËÓÐÙÓº
4 Ç Ó Ü ÑÔÐÓ Ù Ö ØÖ Þ Ñ ÔÐ Ø ÓÒ ØÖÙÓ Ð Ò ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ º Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÓÒ Ò Ó Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ a b Ù Ð Ó Ó Ò ÙÐÓ α ÒØÖ Ó Ù Ð Ó º ËÓÐÙÓº a b α Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ a Ó Ð Ó Ñ α β Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ Â º ËÓÐÙÓº ÈÖÓÔÓ Ó º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ù ÓÒ ÒØ Ö Ø Ñ Ó Ñ Óº ÈÖÓÚ º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ M Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö¹ Ó Ù ÓÒ ÙÖ µº Ù ÕÙ ÂM = ĈM M = Mº ÓÑÓ ÑÓ ÕÙ = Ù ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ M M Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ä º ÄÓ Ó M = M M = Mº Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ Ú Ò ÙÖ µ ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ Ø Ð ÕÙ Ù ÓÒ ÒØ Ö Ø Ñ Ñ M Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ñ º ÒØÓ M = M M = M M = M Ò ÙÐÓ ÇÈε ÑÓ Ó ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ M M Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ä Äº Ò ÐÓ Ñ ÒØ M M Ø Ñ Ñ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ä Äº Ì ÓÒ ÖÙ Ò ÒÓ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ = = Ó ÕÙ ÑÓ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó ØÓ Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº
5 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ M ÙÖ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ M = M M = M º È Ö Ó ÕÙ Ù Ò ÑÓ ÙÑ Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÑÓ ÙÑ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ù Ð Ó Ñ ÒØÓ MN NP MP ÙÖ µº Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ Ñ º Æ ÒÓØ ÙÖ Þ ÑÓ ÕÙ MNP º º Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ M N P ÙÖ Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº Ø Ñ ÔÓÖ Ð Ó Ñ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ µ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ Ð º ÔÖÓÔÖ Ó Ø Ñ Ó Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ñ ÔÖÓÚ Ö ÙÑ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ º ÈÖÓÔÓ Ó º Ë ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº Ë M N Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó ÒØÓ MN º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ØÖ Ö¹ ÑÓ ÔÓÖ M ÙÑ Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ó ÒØÓ Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ñ Nº Ñ Ñ ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó Ó Ñ Ø ÑÓ MN = 1 2.
6 ÈÖÓÚ º È Ö ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ò ÒÓØ ÙÖ ØÓÑ M Ó Ö MN Ø Ð ÕÙ MN = NM º ÓÑÓ N Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó NM = NM Ò ÙÐÓ ÇÈε Ó ØÖ Ò ÙÐÓ MN M N Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ä Äº ÈÓÖØ ÒØÓ M = M M ĈN = MÂN ÓÒ Ù Ú ÓÖÓÐ Ö Ó ÍÒ µ ÕÙ M Mº Ñ M = M = M M = M M ; Ø Ò Ó Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ù Ô Ö Ð ÐÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ½ Ô Ò ½ Ö ÒØ ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ MM ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº Å ÓÑÓ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ¹ Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ó Ù Ô Ö Ð ÐÓ Ø ÑÓ MM = MN = MM = 2MN. M N M ÙÖ Ñ Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ r ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó ÔÓÖ M Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ó º ÓÑÓ MN Ô ÔÓÖ M Ô Ö Ð Ð Ù Ó ÕÙ ÒØÓ ÔÓ ØÙÐ Ó ÈÓ ØÙÐ Ó ÍÒ µ ÕÙ r Ó Ò ÓÑ MN Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö N rº Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ò Ó ÔÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó M N P Ó Ð Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ËÓÐÙÓº
7 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ P N M È Ö Ó ÕÙ Ù Ð Ñ Ö ÕÙ ÙÑ Ñ Ò ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÑ ¹ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ ÙÑ Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ú ÖØ º ÓÑÓ ÔÐ Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ ÔÖÓÔÖ Ô Ö Ð ÐÓ¹ Ö ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ Ñ Ò ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö Ø Ñ¹ Ñ ÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö ÒØÖÓ Ó Ñ ÑÓº ÈÖÓÔÓ Ó ½¼º Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ØÖ Ñ Ò Ô Ñ ÔÓÖ ÙÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö ÒØÖÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓº Ñ Ó Ö ÒØÖÓ Ú Ñ ¹ Ò Ô ÖØ Ö Ó Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò Ö ÞÓ 2 : 1º ÈÖÓÚ º Ë Ñ N P Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó N P = {G 1 } ÙÖ µº Ë Ñ Ò S T Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ñ ÒØÓ G 1 G 1 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º È ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ñ Ø ÒØÓ NP ÕÙ ÒØÓ ST Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ø Ñ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ù Ð Ñ Ø º ÈÓÖØ ÒØÓ NP = ST NP ST ÑÓ Ó ÕÙ NPST ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº Ñ PG 1 = G 1 T NG 1 = G 1 Sº ÓÑÓ S = SG 1 T = TG 1 Ù ÕÙ S = SG 1 = G 1 N T = TG 1 = G 1 P Ó ÕÙ Ö ÒØ Ö G 1 = 2G 1 N G 1 = 2G 1 P º ÓÖ M ÓÖ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó G 2 ÓÖ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ñ Ò M N ÓÒÐÙ ÑÓ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÕÙ G 2 Ú Ú M N Ò Ö ÞÓ 2 : 1 Ô ÖØ Ö Ú ÖØ º Å Ù ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ G 1 G 2 Ó Ø ÕÙ G 1 = 2G 1 N G 2 = 2G 2 Nº Á Ó ÑÔÐ Ð Ö Ñ ÒØ Ñ G 1 G 2 º Ñ Ò Ó G Ó ÔÓÒØÓ G 1 G 2 Ù ÕÙ M,N P ÓÒÓÖÖ Ñ Ñ G ÕÙ G Ú ÙÑ Ñ Ò Ò Ö ÞÓ 2 : 1 Ô ÖØ Ö Ó Ú ÖØ º
8 P N S G 1 T ÙÖ Ñ Ò Ó Ö ÒØÖÓº ÓÖ Ú ÒØ ÐÚÓ Ñ ÒÓ Ñ ÓÒØÖ Ö Ó ÒÓØ Ö ÑÓ Ó Ö ÒØÖÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓÖ Gº Ç Ö ÒØÖÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÑ Ù ÔÓÒØÓ ÒÓØ Ú Ó Ñ ÖÙÒ ÒØÖÓ Ò ÒØÖÓ ÓÖØÓ ÒØÖÓµ ÖÓ ØÙ Ó Ò ÍÒ º Ë ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ Ø Ú Ö Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ô Ö Ð ÐÓ Ù ÑÓ ÕÙ ØÖ Ø ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÈÓ ÓÓÖÖ Ö ÒØÖ Ø ÒØÓ ÖÑÓ ÓÑ ÒØ ÕÙ Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ Ó Ô Ö Ð ÐÓ ÔÓ Ò Ó ÓÙ ÒÓ Ö Ù µº Æ Ø Ó Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ó Ø Ó ÒÓÑ Ò Ó ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó ÙÖ µº Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ñ Ð ÒÓ ÓÒÚ Ò ÖÑÓ ÕÙ Ö ÔÖÓ ÒÓ Ú Ö Ö º ÙÖ ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó ÓÑ º Ñ ØÓ Ó ØÖ Ô Þ Ó Ó Ó Ð Ó Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ù Ò Ó Ó Ñ ÓÖ Ö Ôº Ñ ÒÓÖµ Ð Ñ ÓÖ Ö Ôº Ñ ÒÓÖµ Ó ÓÙØÖÓ Ó Ð Ó Ó Ö Ó ÕÙ Ñ ÔÖ Ò Ô Ó Ò ÑÓ Ñ ÕÙ ÔÓ Ñ
9 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Ø Ñ Ñ Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ó Ó ØÖ Ô Þ Ó Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓµ Ó Ó Ð Ó ÒÓ¹Ô Ö Ð ÐÓ Ó ØÖ Ô Þ Óº Æ ÒÓØ ÙÖ Ó Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ Ó ØÖ Ô Þ Ó º Ó Ð ÖÑÓ ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ò Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÑ ØÖ Ñ ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó ÓÑÓ Ò ÙÖ Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ø Ð Ó ÖÚ ÖÑÓ º ÙÖ ½¼µ ÕÙ E F Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö Ö Ø Ø ÕÙ E F Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÒØÓ º Ç ØÖ Ò ÙÐÓE Ø Ð ÕÙ E = E = ĈE =Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ó Ð Ó ÒÓ¹Ô Ö Ð ÐÓ º º Ç ØÖ Ò ÙÐÓF Ø Ð ÕÙ F = + F = ĈF =Ò ÙÐÓ ÒØÖ ÓÒ º E F ÙÖ ½¼ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ó Ó Ó ØÖ Ô Þ Ó º ÍØ Ð Þ ÑÓ Ù Ó Ñ ÒÓ Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½½º ÓÒ ØÖÙ ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ò Ó ÕÙ ÓÒ ÓÖÑ Ñ ÙÑ Ò ÙÐÓ 135 ÙÑ ÓÑ ÓÙØÖ ÓÒ Ò Ó Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ = a = d 1 = d 2 º ËÓÐÙÓº
10 ½¼ a d1 d 2 ÈÖ ÑÓ Ñ Ð ÙÑ ÓÒÚ Ò Ó Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ñ Ó Ñ ÑÓ Ó Ô Ó ÕÙ Ó Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÓÒ ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ñ Ò ÙÐ Ö ½ Ó Ñ ÑÓº ÔÖÓÔÓ Ó Ù Ö ÒÓ Ò Ò ÓÑÓ ÐÙÐ Ö Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ø Ñ ÒØÓ Ñ Ø ÖÑÓ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó ØÖ Ô Þ Óº ÈÖÓÔÓ Ó ½¾º Ë ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ º Ë Ñ Ò M N Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ P Q Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÓÒ º ÙÖ ½½µº ÒØÓ (a) M N P Q Ó ÓÐ Ò Ö MN, º (b) MN = 1( + ) 2 PQ = 1 º 2 ÈÖÓÚ º Æ ÒÓØ ÙÖ ½½ ÓÑÓ MP Ñ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ó ÕÙ MP MP = b º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó MQ 2 Ñ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÔÖÓÔÓ Ó Ø Ñ Ñ ÒÓ Þ ÕÙ MQ MQ = a º Ë Ù Ó ÕÙ ÒØÓ ÔÓ ØÙÐ Ó ÕÙ MP = MQ 2 º º M P Q Ó ÓÐ Ò Ö º Ñ PQ = MQ MP = a 2 b 2 = a b 2. ½ È Ö Ö Ñ Ó Ö Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ö Ñ Ø ÑÓ Ó Ð ØÓÖ ÍÒ ½½º
11 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½½ b M P Q N a ÙÖ ½½ Ñ ÙÑ ØÖ Ô Þ Óº Ö ÙÑ ÒØ Ò Ó ÓÖ ÓÑ Ñ NQ NP Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒÐÙ ÑÓ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÕÙ P Q N Ó ÓÐ Ò Ö NQ = b º ÈÓÖØ ÒØÓ Ù Ó Ø Ñ (a) 2 MN = MQ+ NQ = a 2 + b 2 = a+b 2. Ñ ÓÑÔÐ Ø Ö ÒÓ Ó ØÙ Ó Ó Ø ÔÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ Ð Ñ ÒØ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ Ú ÑÓ ØÙ Ö ÓÖ Ö ØÒ ÙÐÓ ÐÓ Ò Ó º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ØÓ Ó Ó Ù Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÖ Ñ Ù º ÓÑÓ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÍÒ ÓÑ Ó Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÑÔÖ Ù Ð 360 Ù ÒØÓ ÕÙ ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ØÓ Ó Ó Ù Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ ÓÖ Ñ Ù 90 º ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ ÐÓ Ò Ó ØÓ Ó Ó Ù Ð Ó ÓÖ Ñ Ù º ÙÖ ½¾ ÑÓ ØÖ Ü ÑÔÐÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ÙÑ ÐÓ Ò Óº ÓÑÓ Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ Ó ÑÔÖ Ô Ö Ð ÐÓ ÙÑ Ú Þ ÕÙ Ó Ñ Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó ÓÙØÖÓ Ó Ð Ó µ ØÓ Ó Ö ØÒ ÙÐÓ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÔÖÓÔÓ Ó Ö ÒØ ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ó Ø Ñ Ñ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº Ù Ó Ñ Ô ÖÑ Ø Ò Ö ØÒ ÒØÖ Ù Ö Ø Ô Ö Ð Ð º È Ö Ø ÒØÓ Ó ÖÚ Ò ÐÑ ÒØ ÕÙ r s Ó Ö Ø Ô Ö Ð Ð ÒØÓ º ÓÖÓÐ Ö Ó ÍÒ µ ÙÑ Ö Ø t Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r ÓÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö sº
12 ½¾ H E G F ÙÖ ½¾ Ó Ö ØÒ ÙÐÓ Ó ÐÓ Ò Ó EFGHº Ò Ó ½ º Ë r s Ó Ö Ø Ô Ö Ð Ð ØÒ ÒØÖ r s Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÒØÓ PQ Ø Ð ÕÙ P r Q s PQ r,sº È Ö Ú Ö ÕÙ Ò Ó Ñ Ø Ñ ÒØ Ó ØÓÑ P,P r Ñ Q,Q s Ø ÕÙ PQ, P Q r º ÙÖ ½ µº ÒØÓ PQQ P ÙÑ ÕÙ ¹ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÑ ÕÙ ØÖÓ Ò ÙÐÓ Ù 90 ÐÓ Ó ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓº PQ = P Q º ÈÓÖØ ÒØÓ s Q Q r P P ÙÖ ½ ØÒ ÒØÖ Ù Ô Ö Ð Ð º ÎÓÐØ Ò Ó Ù Ó Ö Ð Ö ØÒ ÙÐÓ ÐÓ Ò Ó ÓÐ ÓÒ ÑÓ Ò ÔÖÓÔÓ ½ ½ Ù Ö Ö Ø Ö Þ Ø Ø ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ º ÈÖÓÔÓ Ó ½ º ÍÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ Ù ÓÒ Ø Ú Ö Ñ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ù º ÈÖÓÚ º Ë ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÒ ÙÖ ½¾µ ÒØÓ Â = = 90 ÔÓÖ Ø Ñ Ñ Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓµ = º
13 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ Å ÓÑÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ô ÖØ Ð Ñ Ó Ð Ó Ó Ñ ÑÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ä Äº Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö = º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ø Ð ÕÙ = ÙÖ ½ µº ÓÑÓ Ø Ñ Ñ Ø ÑÓ = Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÖ ½ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ø Ð ÕÙ = º ÕÙ Ô ÖØ Ð Ñ Ó Ð Ó µ Ó ÒÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÖ ÔÓÖ ÄÄĺ ÄÓ Ó Â = º Å ÕÙ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ø ÑÓ Â + = 180  = = 90 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ = Ĉ = 90 ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓº ÓÖÓÐ Ö Ó ½ º Ñ Ò Ö Ð Ø Ú ÔÓØ ÒÙ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓ Ù Ð Ñ Ø Ñ Ñ º ÈÖÓÚ º Ë ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓ Ñ ÙÖ ½ µº ÌÖ ÔÓÖ ÙÑ Ô Ö Ð Ð ÔÓÖ ÙÑ Ô Ö Ð Ð Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø Ö Ø º ÓÑÓ Â + = 180  = 90 Ù ÕÙ = 90 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ĉ = 90 ÓÑÓ ÓÑ Ó Ò ÙÐÓ ØÓ Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ 360 Ù ÕÙ = 90 º ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÒ = Ó ÔÓÒØÓ M ÒØ Ö Ó Ñ Ó Ñ Ó Ø Ñ ÒØÓ º ÄÓ Ó = = 2Mº Ü ÑÔÐÓ ½ º ÓÒ ØÖÙ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓ ÓÒ Ò Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ m h Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ Ò ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú ÔÓØ ¹ ÒÙ º ËÓÐÙÓº
14 ½ M ÙÖ ½ Ñ Ò Ö Ð Ø Ú ÔÓØ ÒÙ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓº m h ÎÓÐØ ÑÓ¹ÒÓ ÓÖ Ö Ø Ö Þ Ó ÔÖÓÑ Ø Ó ÐÓ Ò Ó º ÈÖÓÔÓ Ó ½ º ÍÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÙÑ ÐÓ Ò Ó Ø Ú Ö ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º ÈÖÓÚ º ËÙÔÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ EFGH ÙÑ ÐÓ Ò Ó ÓÒ EG FH ÙÖ ½¾µº ÓÑÓ EF = EH GF = GH Ó ØÖ Ò ÙÐÓ EFG EHG Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ ÄÄĺ ÈÓÖØ ÒØÓ Ò Ó M Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÒ EG FH Ø ÑÓ FÊM = FÊG = HÊG = HÊM. ÈÓÖØ ÒØÓ EM ØÖ Þ Ó Ò ÙÐÓ FEH Ó ØÖ Ò ÙÐÓ EFH Ó ÕÙ Ð Ð FH Ó ÔÖÓ Ð Ñ ½¼ Ë Ó ¾ ÍÒ Ö ÒØ ÕÙ EM Ø Ñ Ñ ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú FHº ÄÓ Ó FH EM = EGº
15 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ EFGH ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ÓÒ Ô ÖÔ Ò Ù¹ Ð Ö EG FH ÙÖ ½ µº ÓÑÓ EG FH ÒØ Ö Ø Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ó M Ñ ÔÓ EFGH Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓµ Ù ÕÙ ÒÓ ØÖ Ò ÙÐÓ EHG Ó Ñ ÒØÓ HM Ñ Ò ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ð Ó EGº ÈÓÖØ ÒØÓ Ô ÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ ½½ Ë Ó ¾ ÍÒ Ø ÑÓ ÕÙ EH = GHº Å ÓÑÓ EH = FG EF = GH Ò Ñ Þ Öº H E M G F ÙÖ ½ EG FH EFGH ÐÓ Ò Óº À ÙÑ ÐØ ÑÓ Ø ÔÓ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ ÑÓ ØÙ Ö Ó ÕÙ Ö Óº ÍÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÙÑ ÕÙ Ö Ó ÕÙ Ò Ó ÓÖ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ÙÑ Ö ØÒ ÙÐÓ ÙÑ ÐÓ Ò Ó ÙÖ ½ µº Ñ ÕÙ Ö Ó Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÙÖ ½ Ó ÕÙ Ö Ó º Ò ÙÐÓ Ð Ó Ù Ñ Ù ÓÒ Ó Ø Ñ Ñ Ù Ô ÖÔ Ò¹ ÙÐ Ö ÒØ Ö Ø Ñ Ó Ñ Ó ÓÖÑ Ñ Ò ÙÐÓ 45 ÓÑ Ó Ð Ó Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÔÖÓÚ Ø ÐØ Ñ ÖÑ Ó µº Ç ÖÚ Ó ½ º Ë Ù Ó ÕÙ Ú ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ò Ó T Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ØÖ Ô Þ Ó P Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ R Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ö ØÒ ÙÐÓ L
16 ½ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÐÓ Ò Ó Q Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÕÙ Ö Ó Ø ÑÓ { R L P T, R L = Q ØÓ ÒÐÙ Ò Ó ØÖ Ø º ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë Ó Ñ ÒØÓ Ó Ù Ô Ö Ð ÐÓ ÔÖÓÚ ÕÙ Ù ÜØÖ Ñ Ó Ó Ú ÖØ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ¾º Ë ÙÑ ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº ÅÓ ØÖ ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ù Ð Ó Ó Ó Ú ÖØ ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ù ØÓ Ù Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ ÕÙ ØÖÓ Ú Þ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ Ø Ñ ÔÓÖ Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó Ø Ñ Ô Ö Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ù µº º ÍÑ Ö Ø r Ô Ô ÐÓ Ö ÒØÖÓ G ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ü Ó Ú ÖØ ÙÑ Ð Ó Ó Ú ÖØ Ó ÓÙØÖÓº ÈÖÓÚ ÕÙ ÓÑ ØÒ Ö Ø r Ù Ð ØÒ rº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ò Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ a Ó Ð Ó m a Ñ Ò Ö Ð Ø Ú m b Ñ Ò Ö Ð Ø Ú º º ÈÖÓÚ ÕÙ Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ñ Ò Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ñ ÓÖ ÕÙ 3 Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓº 4 º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ò Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ m a,m b,m c Ñ Ò º º ÁÒ Ð Ø ÖÖ µº ÓÒ Ö ÙÑ ÖÙÐÓ ÒØÖÓ O Ñ ØÖÓ º ÈÖÓ¹ ÐÓÒ Ù ÙÑ ÓÖ ÕÙ ÐÕÙ Ö P Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Q Ø Ð ÕÙ P Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Qº Ë OQ P = {R} ÐÙÐ Ö ÞÓ ÒØÖ Ó ÓÑÔÖ ¹ Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÒØÓ RQ ROº
17 ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ º Ë ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó = 7 Ñ = 3 Ñ Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ º Ë Â = 43 = 47 ÐÙÐ ØÒ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó ØÖ Ô Þ Ó Ù ØÓ Ò Ó M N Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ØÖ ÔÓÖ M Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ ÙÔÓÒ ÕÙ Ø Ö Ø ÒØ Ö Ø Ñ Ñ ÓÖ Ñ P Qº ÐÙÐ PQ ÑÓ ØÖ ÕÙ MN Ñ Ò Ö Ð Ø Ú ÔÓØ ÒÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ PMQµº º ËÓ Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ö Ø r ÙÑ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ø ÕÙ r ÒÓ ÒØ Ö Ø º Ë Ò Ó ÕÙ ØÒ Ó ÔÓÒØÓ, Ö Ø r Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù ÒØ Ñ ØÖÓ ÐÙÐ ØÒ r Ù ØÓ Ò Ó M Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÒ Ù Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ ØÖ Ô Þ Ó Ô Ö ÓÑÔ Ö Ö ØÒ M r ÓÑ ÓÑ ØÒ r Ó Ñ ÑÓ ÓÑ Ó Ú ÖØ µº ½¼º ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ø Ñ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ a b Ö Ô Ø ¹ Ú Ñ ÒØ ÓÑ a > bº Ë = 2 ÔÖÓÚ ÕÙ = a b Ù ØÓ ØÖ E ÓÑ E ÑÓ ØÖ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ E Ð µº ½½º Ë ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó ÒÓ ÕÙ Ð Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ñ ÓÖ Ù Ð Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ñ ÒÓÖ ÓÑ Ó Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ º Ë Ó Ò ÙÐÓ Ñ Ñ Ö 70 ÐÙÐ Ó Ò ÙÐÓ Ù ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÓ Ó Ó ÒØ Ö ÓÖµº ½¾º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó ÓÒ Ó Ó ÓÑÔÖ ¹ Ñ ÒØÓ a,b,c,d Ù Ð Ó Ù ØÓ Ò Ó ÙÑ ØÖ Ô Þ Ó Ð Ó ÒÓ Ô Ö Ð ÐÓ ØÖ ÔÓÖ Ô Ö ¹ Ð Ð Ó Ð Ó ÙÔÓÒ ÕÙ Ø Ð Ö Ø ÒØ Ö Ø Ñ Eº ÓÒ ØÖÙ Ò ÐÑ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Eµº ½ º Ç Åµº ÍÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÒ ÙÐÓ Ñ Ø Ð ÕÙ = 2º
18 ½ ÐÙÐ Ñ Ñ Ö Ù Ù Ò ÙÐÓ Ù ØÓ Ù Ó ÓÖÓÐ ¹ Ö Ó ½ µº ½ º Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ M Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó H b,h c Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ô ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú º ÈÖÓÚ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ MH b H c Ð Ù ØÓ Ñ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖµº ½ º Ë ÙÑ ÕÙ Ö Ó Ð Ó ½ E ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ö Ó Ð Ó Ø Ð ÕÙ E = + Eº Ë Ò Ó F Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó ÔÖÓÚ ÕÙ E = 2 F ٠ØÓ Ñ ÖÕÙ Ó ÔÓÒØÓ G H Ò Ó G Ó Ñ Ó H ÒØ Ö Ó EG º ÓÒÐÙ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ EH Ð EHµº
AB BC = 1 A B B C = 1.
Å ½ ¹ ÍÒ ½¼ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò Á Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ÓÒ Ö ÑÓ Ù ÒØ ØÙ Ó Ø ÑÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð r s t ÙÖ ½µº ÌÖ ÑÓ Ñ Ù Ö Ø u u ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ò Ó r s t Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÒ ÒØ
s γ β α r t r s α = β α+γ = 180.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÁÁ Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ È Ö Ð Ð ÑÓ Ù Ö Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ñ ¹ Ñ ÓÙ Ð Ø Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ö Ø Ó Ø ÓÒÓÖÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ó
A A ; B B ; C C. AB = A B ; AC = A C ; BC = B C.
Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Á Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ó Ä Ä Ä ÄÄÄ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ BC Ð Ó Ù lº ËÓÐÙÓº l Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö
= PD PA PB = R 2 OP 2.
Å ½ ¹ ÍÒ ½½ ÈÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ë Ñ Ð Ò ÁÁ Ë Ñ Ò ½¾»¼»¾¼½½ ½»¼»¾¼½½ Ç Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò ÔÓÒØÓ Ù ÔÖÓÔÓ Ù Ö Ò ÖÖ Ñ ÓÙØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ñ Ð Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ò ÍÒ ½¼ Ò Ó ÓÒ ÓÒ ÙÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ø Ö ØÙÖ ÓÑÓ
L2 L2 (a 21 /a 11 )L1
ÙÐ ¼¾ ¹ Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ Å ØÓ Ó ÁØ Ö Ø ÚÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ò ÙÐ ¼½ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ö Ø ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ÔÓ¹ Ñ Ö ÔÐ Ó Ô Ö Ö ÓÐÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ð Ö Ð Ò Ö º Ú Ö Ó ÓÙØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ó ÑÙ ØÓ ÙØ Ð Þ Ó ÓÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ù ¹ÂÓÖ
ËÙÑ Ö Ó ¾¼ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù ¾¼º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼º¾ Ç Ñ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø º
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ¾¼ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ó Ù Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ
Leis de Ohm e Kirchhoff
ÌÖ Ð Ó Ä ÓÖ Ø Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ö Ò ÔÓØ Ò Ð ÓÖÖ ÒØ Ð ØÖ Ñ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó Leis de Ohm e Kirchhoff Fernando Barão, Filipe Mendes, Manuela Mendes Profs do Departamento de Física do IST última revisão: Março 2017
¾ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ó Ò ÔÖ Ø Ó º ÎÁÁÁ Ü ÑÔÐÓ ¾ À º ºÌº Ä ÚÖÓ Á Ù ½ ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔ Ó Ó Ü ÑÔÐÓ ¾ ÓÒ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ÕÙ Ó Ù ØÓ ÑÓÚ Ù¹ Ù Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÒÓØ ÕÙ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÑ Ø Ó ÌÖ ÎÓÞ ÆÓ ÓÒØÖ ÔÓÒØÓ Ù ÚÓÞ Ñ Ø Ó Ó Ø Ú Ò ØÙÖ Ð Ø Ø Ö º ÓÑ ØÖ ÚÓÞ Ð ÑÔ ÖØ Ú ÒØ Ò º ÔÖ Ñ Ö ÑÓÒÓØÓÒ Ñ Ð ÖÑÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð Ö ÙÐØ Ö ÕÙ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú Þ ÓÒ ÙØ Ú ÓÑ Ò Ó Ò Ñ Ñ Ð
f : N R u n (u+v) n = u n +v n (u v) n = u n v n. (uv) n = u n v n = (v n 0 n N). n f(n). n v n
ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÐÙÐÓ ÁÁ Ô Ö Ó ÙÖ Ó ÓÕÙ Ñ Ò Ò Ö Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐ À ÖÑ Ò Ð Ó ÓÖ ÇÐ Ú Ö ÂÙÒ Ó ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ ËÙ ÆÙÑ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ½¾ ½¾¼ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ ½¾ ½¾¼º½ Ë Ø Ñ Å Ó ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¼ ¹ ÙØÓ¹ÓÙØÓÖ Å Ð Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÎ Î Ó
ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ø ÚÓÐÙ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÑÔÓÖØ Ò Ó ÙÐØÓ Ö Ð Ó Ó º º º º
Ê Ð Ó ÍÖ ÒØ Ê Ð Ó ÜÔ Ö Ò Ô Ö ØÙ Ð È Ó Ð Ç ÈÓ Ö Ó Ë Ñ ÓÐ ÑÓµ ÊÓ ÖØ Ë ÖÑ Ø ÛÛÛºÙÖ ÒØ Ö Ð ÓÒºÓÑ ½¼ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÌÖ Ò Ö Ó ÌÖ Ù Ó ÖÐÓ Ä Ø Ë ÐÚ ÖÐÓ Ñ Ö Ò Ð Ø ÐÚ Ñ ÐºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ÁÒ Ó ½ ¾ È Ð ØÖ ¾ ¾º½ ÈÓÖÕÙ Ö Ú
ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ½ ½ º½ ÈÖ Ò Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÖÓ È ÕÙ ØÖ ÔÓ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¹ ÈÖ Ò Ô Ó È ÓÐ Ó Ó Ô Ö Ù Ö Ë ÈÖ ÓÔÖ Ó Ó ÇÙØÖÓ Ñ Ê ÓÖÖ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó ÓÑÓ ÈÓÖ ÉÙ È Ö Ö ÌÓÑ Ö Å Ñ ÒØÓ È ÕÙ ØÖ Ó Ó Ö Ú Ø ØÙ Ð Þ ¾¼¼ È Ø Ö Êº Ö Ò Åº º Ú Ó Ò È º º Î Ø Ð ÚÖÓ
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ò Ò Ö Ú Ð ÓÒ ÖÓÒØ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò¹ Ø Ø Ð ØÖÙØÙÖ Ö Ð Þ ÔÓÖ ÙÑ Ð Ó Ù ÙÒ ÓÒ Ð ¹ ÔÓÖ ÓÙØÖÓº ÆÙÑ Ô Ö Ô Ø Ú ØÙ Ð ÔÓ ¹ Þ Ö ÕÙ Ú Ö Ø
ÓÒØ Ó ½ ÁÒØÖÓ ÙÓ ¾ ¾ ÖÖ Ñ ÒØÓ Ö Ò Ó ÒÓ Ö Ò Ó Ò Ó Ð ÓÖ Ø Ö Ó º½ Ç Ò Ó ÓÖØ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÒÓ Ó º º º º º º º º º º º½º¾ Ò Ó ÓÖØ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÓ Ó º
Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ Ó Ú Ð Ó Ó ÙÖ Ó Ô Ð Þ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ¹ ÓÖÑ Ó Ó ÔÖÓ ¹ ÓÖ Ñ ÙÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ¹ ØÙÐÓ Ô Ð Ø
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ð Ù ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Å ÖÓ ¾¼½½ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ñ Ø Ú ÔÐ Ë Ö ÆÙÑ Ö ÅÓÒÓ Ö Ù Ñ Ø ÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç Ô Ö ØÓ Å Ø ÖÒÓ Ó ÍÒ
ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼ º½Ç ÓÒ ØÓ ÍÖ ÒØ ÒÓ ÌÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÍÒ ÌÖ Ò ÈÐÙÖ Ð º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Ç Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ØÓ ÌÖ Ò ½¼
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ Å Ó Å Ð ÓÖ Å Ó ÅÙÒ Ó ¹ Ñ ÓÑÓ Ó È Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒÚ ÒÓ ÌÖ È ÖØ ÌÖ Ó ËÓÒ Ø ÔÖ Ò Ô Ö Ò ÒØÖ ÁÒÚ Ò Ù È ÖØ Ù Ë Ò ÓÒ ½ Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ ÁÒÚ Ò ÌÖ È ÖØ µ Ó Ø ØÓ Ø ÐØ Ñ ÒÐÙ Ñ ÙÑ ÚÓÞ ÓÑÔ Ò ÒØ ÒÓ Ò Ó ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ò Ð ÕÙ ÑÔÖ º Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ú Ø Ñ ÖØ ÁÒÚ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ù ÓÑ Ó ÁÒ Ú ÙÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ê Ð Ó Ù ÓÑ
l l θ T P cosθ = Ma n P sin θ = Ma t, Mg sin θ = Ml d2 θ dt 2. d 2 θ dt 2 = g l θ. µ
Ò ÍÖ ÒÓ È ÙÐÓ Ö Ó Ë È ÙÐÓ Ò Ö Ù ÜÔ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ö Ó ½ ÅÁ É ÍÈ ¹ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ Ç Ø ÚÓ ØÙ Ó Ó Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ º Ø ÖÑ Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ú º ÁÒØÖÓ ÙÓ Ø Ö Ç Ô Ò ÙÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ l
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ÓÚ ÖÒÓ Ë Ö Ó ÈÐ Ò Ø Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ç ÙÖ Ó Ô Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ç ÙÖ Ó Ô ½ ½ ¼º½Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¾ ¹ Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¼¾ Ç ÙÒ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾ ÈÖ Ñ ÙÐÓ º º º º
Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ÔÖÓÚ Ô ÐÓ ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó ½ ËÙÑ Ö Ó ¼ Ä ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ê Ô Ù Ð Ö Ð Ð Ñ Ò ½ ¼º½ Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ð Ó È ÖÐ Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø
Ç ØÓ ÎÓÒØ È Ó ÒØ ÊÓ ÖØÓ ÓÐ µ ¹ ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ÌÖ Ð Ó È ÓÐÓ ÌÖ Ò Ô Ó Ð Ê Ø Ð ØØ µ È ÕÙ Ó Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ËÙÑ Ö Ó ÇÙØÖ Î Ó Ó Ö ÎÓÒØ ¾ º½ ÎÓÒØ Ë ÓÔ Ò Ù Ö ÔÖ ÚÓÒØ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ç ÜØÖ
ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÒØÖ Ú Ø º º º
Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú Ó Ê Ø ÖÓ Ê ÙÔ Ö Ó Ë Ù Ó Ö ÒØÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÚÖÓ Î Ø Ö Ò Ï ÐÞ Ö Ë Ø Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÖ Ø ÖÓ Ù ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ø Ö Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ¾ ½º½ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ Ó ÓÒØ Ó Ò Å ÒØ ¹ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ò È Ó ÓÑ Ø Ó Ò Ô Ó ÓÑ Ø Ó ÕÙ Ø Ñ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¾ ¹ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ¾ ÒØÖ Ú Ø Ô ÕÙ ÓÖ Ö Ð Ö ¾º½ Î Ú Ò Ò
y +p(x)y +q(x)y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 0 y(α) = y 0 y(β) = y 1
ÙÐ ¼ ¹ Å ØÓ Ó ÆÙÑ Ö Ó Ô Ö ÈÖÓ Ð Ñ Î ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙ Ö Ò ÓÖ Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÑ ÔÓ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÈÎÁµ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ ÓÒØÓÖÒÓ ÈÎ µ Ô Ò Ò Ó ÓÖÑ ÓÑÓ ÓÒ ÓÒ Ó Ô º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ç y +p(x)y +q(x)y
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ Å Ó Ó Å Ò Ø Ö Ó Ó Ù Ø ÓÖ Ó È Ò Ñ ÒØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ Å Ó Ó Å Ò Ø
½ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ ÒÓ Ó Æ Ø ÖØ Ó ØÓÙ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ñ ÒÓ ÒÓ Ò ÒÓ ÔÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò ÒÓ ÔÖ Ò Ðº
Ò Ð Ø ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÒÓ Å Ø Ñ Ø ¹ ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÓÒØÓÖÒ Ö ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ì Ö Ó ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ¾ Ø Ñ ÖÓ ¾¼½ ÔÖ ÔÖ ÒØ ËÓ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÒÓº ¾¼½ º¼¾ ØÓÖ Ì Ö Ó ÈÖ ÒÓ¹È Ö Ö Ø Ö ÓÑ Ñ Öº Ñ ºÓÖ Ê ÙÑÓ ØÓÙ Ö Ú Ò Ó Ò Ø
ÕÙ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓÑ Ð Ò Ö Ø Ó Ø ÚÓ Ù ÙÒ Ó Ó Ø ÚÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐØ Ñ ÕÙ ØÖÓ ÔÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ñ Ò ÓÑÔ Ø Ó ÒÓ ÒÓ Ù ÒØ º ÑÔÖ Ò ÓÖ Ú Ö Ø Ø Ø Ô Ö ÙÖ Ó ØÓÖ
Ç ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÙØÅ Ü Ç ÑÔ ÓÒ ØÓ Ö ÐÖÓ Ó ØÓÖÒÓ ÙØÓÐ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓ Ö Ð ÔÓ Ú ÐÑ ÒØ Ó ÑÓÖ ÒÓ ÑÙÒ Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ô Ô ÖØÔ ÑØ º ÓÑÔ Ò Ó ÔÓÖ Ñ Ð Ô Ó ÕÙ Ø Ñ Ó Ó Ó ÒÓ Ø Ó ÓÑÔ ÒÑ ØÖ Ò Ñ Ö Ó Ø Ð Ú Ó ÔÖÓÙÖ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ È ÖÑ Ò Ò Ö ¹Å Ö ½ ½º½ È Ö ÓÐ Ó Ë Ñ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ó È
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ È ÖÑ Ò Ò Ö ¹Å Ö Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÀÓ Ø Å Ò ÖÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁ Ç ÍÒ Ú
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÁÒ Ó Î ÙÐØ Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ç ÁÒ Ó Î ÙÐØ Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ç ÁÒ Ó Î
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½¾ ¹ ËÓ Ö Ú Ú Ò È Ó Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½½¾ ËÓ Ö Ú
Aterro solo arenoso 3m P solo argiloso
ÁÒ Ø ØÙØÓ ËÙÔ Ö ÓÖ Ì Ò Ó Å ØÖ Ó ÁÒØ Ö Ó Ñ Ò Ò Ö Ú Ð Ò Ð ØÖÙØÙÖ ÓØ Ò Ú½¼º¼ Þ Ñ ÖÓ ¾¼¼ ÈÊÇ Ä Å Ë ½º ÍÑ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÓ Ö ÒÓ Ó Ó Ù ØÓ ÙÑ Ò Ó ÓÖØ ØÖ Ü Ð Ñ ÓÒ Ö ¹ Ò º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÐ Óµ Ó ¹Ð ÔÐ ÙÑ Ø Ò Ó ÓÒ Ò Ñ ÒØÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½½ ¹ Ç ËÙÔÖ ÑÓ Ó ÍÐØ ÑÓ ¹ Ó Ì ÑÔÓ Ó Ô Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð ¾ ½ ¾ º½ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ¾ º¾ Ç
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ç Ô Ö ØÓ Å Ò ØÖ ÓÖ Ó ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó ÈÓ Ø Ö ÓÖ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÚÓÐÙ Ó ÈÓ Ø Ö ÓÖ Ê Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÚÓÐÙ
u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 u(x,0) = 1
ÙÐ ½¾ ¹ Å ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö È³ È Ö Ð Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ ÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÓ Ù Ñ ÙÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ º ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð Ó Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ t = α 2 u Ë Ò Ó
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð
Ç ÈÓ Ö Ó ÓÖ ¹ Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó ÍÑ Ù È Ö ÁÐÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÙ Ð ÖØ ÌÓÐÐ Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó Ê Ð ÓÒ Ñ ÒØÓ ÁÐÙÑ Ò Ó º½ ÒØÖ ÒÓ ÓÖ ÓÒ ÕÙ Ö ÕÙ ÚÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ò Ö Ñ ÔÖ Ó¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º
Ò Ø Ò Ë Ù Å ÒØ Ð Ä ÚÖÓ ÌÖ Ì Ö Ô ¹ Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ Äº ÊÓÒ ÀÙ Ö ÈÓÒØ Ô Ö Ð Ö Ó Ò Ö Ñ Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÛÛÛº Ò Ø ºÓÖ ÛÛÛº Ò Ø ºÔØ ÛÛÛº Ò Ø ºÓѺ Ö ËÙÑ Ö Ó Ð ÙÒ Ì ÔÓ Ò Ö Ñ º½ Ò Ö Ñ ÓÒØÖ ¹ Ó Ö Ú Ú Ò º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ó Ú Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ó Ú º½ Ó Ú Ñ Â ÖÙ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ë ÒØ Ø Ö Ò ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÑ Ò Ëº κ Þ Ò ÐÓÖ Ò ÔÓÐ Ë Ë Ø Ñ ÖÓ ¾¼¼ Å Ö Ò ÇÐ Ú Ö Ö Ó ÍÑ ØÙ Ó Ó Ö ËÔÐ Ò ÌÖ Ð Ó Ñ Ó Ö Ù Ó
ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ È Ó Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ½ ¾º½ Ò Ò Ò Ó ÒÓ Ì ÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ¾º¾ ÁÖ Ù º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ È Ó Ñ Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ È Ó Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ½ ¾º½ Ò Ò Ò Ó ÒÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼¼ ¹ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼¼ Ê Ð Ó Ò ÜÔ Ö Ò ÀÙÑ Ò ½¼¼º½Ç
ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ½¼½ º½ ÊÙ Ò Å Ð ÓÖ ÅÙ ØÓ Å Ð ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º¾
Ê ÚÓÐÙ Ó ÒØ ÒÚ Ð Ñ ÒØÓ ¹ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì ÓÖ ÓÖ ÙÖ ÕÙ ÈÖÓÑÓÚ Ë Ù ÍÑ ÈÖÓ Ö Ñ Ê Ð Ê ÙÚ Ò Ñ ÒØÓ Ú Ø Ó Ò Ö ÓÚ ÙÐ Ö ÙÑ ÒØ ËÙ Ò Ö ÒÓ Å Ð ÓÖ ËÙ Ô Å ÒØ Ð Ì ÑÓØ Ý Âº ËÑ Ø Åº º ËÙÑ Ö Ó Ç Ñ Ò Ó Ô Ö ÙÑ Ø ÜÓ Ì
Ë Ö Ñ ÄÙÞ ÓÙÖ Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ
Å Ò Ò Ò Ó ØÖ Ú ÐÑ ÄÓÙÖ ÇÐ Ú Ö ÑÔÓ ËÙÑ Ö Ó ¼ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ ¼º½ Ö Ñ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ ÁÒØÖÓ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ Û
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Î Ñ Ð Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ç Å ØÖ Ñ ÓÒ
P m = a 0 +a 1 x+...+a m x m, y i P m (x i ) 2, ½µ. Ha = b, N min a0,...,a n. i=0
Å Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ¹ ÖÓØ ÖÓ ÙÐ Ù Ö Ó º Ó Ø ÍÒ Úº ËÓ È ÙÐÓ Å Ý ¾¼½ ØÖ Ø ÊÓØ ÖÓ ÙÐ Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó Ö ØÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò¹ ÐÙ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÖØÓ ÓÒ º ÈÖ Ñ Ö ÙÐ ¾ ½ Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ó (x i,y i ) Ô Ö
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ Î Ö ÓÒØÖ ÔÓÒØ Ø ÌÁÈÇË Î ÊÁ Ë ÇÅ ÆÌÍË ÁÊÅÍË Ç ÊÇÍÆ È ËË ÄÁ À ÇÆÆ ÍÑ Ø ÔÓ ÓÖÑ Ú Ö Ó ÕÙ Ð ÒÙÑ Ñ ÐÓ ÓÖ Ð Ó Ö Ø º Ä Ñ ÐÓ ÒØ Ö ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÖÚ ÓÑÓ Ô Ö Ú Ö º Ç Ø ÔÓ Ú Ö ÓÑ ÒØÙ ÖÑÙ ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Þ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö ½½ ½ º½ ÈÖ Ô Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½ º¾ Ç Ñ Ò Ó Ô Ö Ð ØÙÖ
ÓÑÓ ÅÙÐØ ÔÐ Ö ÁÒØ Ð Ò Ó Ë Ù ½ ¹ ÓÑÓ Ò Ò Ö Ë Ù Ä Ö Ñ Ù Ú Ö ÚÓÐÙ Ó Ð ÒÒ ÓÑ Ò Â Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÈÓØ Ò Ð ÀÙÑ ÒÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ø ÚÑ ÒØ Ó ÀÙÑ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ½ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ÔºÓÖ º ËÙÑ
ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð ¾½ ½º½ Ç ÆÓÑ Ó È º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç È ÍÒ Ú Ö Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Á Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ ½ Ç
ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º
Ü Ö Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ù Ö Ó ÈÓ Ö ÙÖ Ó Ê ÓÙÒ Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ê ÓÙÒ Ö ¹ Ü Ö Ó Ù Ú ½ ¾ Æ Ë ØÖÓÒ ÙØ Ö ÓÙÒ Ö ¾ ËÓ Ö Ó Ò Ö Ó Ö ÓÙÒ Ö ¾ ÓÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö ÒÓ Ö ÓÙÒ Ö º½ Ç ÐØÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ÅÙÒ Ó À Ø Ó º½ Î ÈÐ Ò Ø Ö º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ë ÙÒ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ Ë ÙÒ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾ Ë ÙÒ ÁÒ Ò Â Ù ½ ½ ½¾ º½Ç ÆÓÒÓ ÒÓ Â
¾½ Ë ÑÙÐ Ó ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ñ ÙÐ Ì ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú ÖØÙ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓÓÐ Ò Ô Ý Ð ØÙÖ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Á ÙÐ Ò Ò Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ó Ò ÔÐ Úº ÀÙÑ ÖØÓ º º Ö ÒÓ ¾ ¼ ¼¹ ¼½ ˺ º ÑÔÓ ËºÈº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÁÒ Ø ØÙ Ó Ó Å ØÖ Ñ ÓÒ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÒ Ø ØÙ
ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ Ð Ñ ½ ¼ ½ ¾º½Ç Ë Ó Ñ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ½ ¾º¾ÆÓ ÓÑ Ò Ó Å Ò ÓÑ Ó Ô
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ Ð Ñ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ ÒØÖ Ñ Â ÖÙ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¼ ¹ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¼ ÌÖ Ò Ó È Ö Ó ½¼½ ½¼º½ ÙØÓ ØÖ Ù Ó ÈÖ
ËÙÑ Ö Ó ½¾½ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð ½¾ ½¾½º½Ç Ç ÒØ ÒÓ ÈÖ Ñ ÖÓ Ë ÙÐÓ ÔÓ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾½º¾Ç ÈÓÚÓ ÂÙ Ù º º º º º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾½ ¹ ÔÓ ÙØÓ¹ÇÙØÓÖ Å Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
¾
Ü Ñ ÁÒ Ö Ó ÔÐ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÈÖ Ñ ÖÓ Ë Ñ ØÖ ¾¼½½ ÆÓÑ Ó µ Ò ØÓ µ ½ ¾ Å Ò ½º È Ð Ò Ð Ó Ù Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ó Ó ÖÚ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ô ÕÙ Ò ÓÐ Ö Ó ÔÖ Þ Ú Ðµ Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ú ÖØ Ð Ò ÒØ º ÜØ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú Ù Ð Ó Ó ÖÚ ÓÖ ÓÖÖ
Matemática Básica. Graciela Moro e Ligia Liani Barz
Matemática Básica Graciela Moro e Ligia Liani Barz ½½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÓÒØ Ó ½ Æ Ñ ÖÓ ½ ½º½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ Æ ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º
¾¾½ ÔÖ ÒØ Ó Ó ËÓ ØÛ Ö Ù ÓÒ Ð Î Ø¾½ Å Ò ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ø ÓÒ Ð ËÓ ØÛ Ö Î Ø¾½ Å Ò µ Ï ÐØÓÒ Èº Ë ÐÚ Ð Åº º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Ð ØÓÒ º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ ÁÚÓÑ Ö Ö ØÓ ËÓ Ö Ó Ó º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Û ÐØÓÒÔ ÙÓкÓѺ Ö» Ì»Í È ½¼ ¹ ¼
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ
¾ ¹ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ù ÌÙ Å ÖØ Ò Ù Ö Ê ¹ Ø Ó Ô ÖØ Ö ØÖ Ù Ó Ó ÓÖ Ò Ð ËÙÑ Ö Ó ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ ¾ Ô ØÙÐÓ ¾ Ë ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ó Ò Ú ÙÓ Ø ÓÖ Ó Ò ÖÓ ÙÑ ÒÓ Ñ ÓÖ ÔÓ Ñ Ô Ö Ö¹ ÙÑ ÓÙØÖ Ø Ó ÓÖ Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ó Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ñ Ò Ø Ñ
ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó Ò Ñ ÁÒÚ ÖØ Ö Ó
ÚÓÐÙ Ó Î Ø Ç ËÙÖ Ñ ÒØÓ Ó Ë Ö ÀÙÑ ÒÓ ¹ Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ÈÓÖØ ÓÖ Î ËÙÑ Ö Ó Ö Î Å Ö Ò Ñ ÍÖ ÒØ ¾½ º½ Î Å Ö Ò ÈÖ Ñ Ø Ú ÒÓ Å Ö Ê Ó ¹ Á Ó ÌÖ ÐÓ Ø º º º º º º º º º ¾¾ º¾ Ç ÈÖ Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÒÙÒ Ó ÓÒØ Ò ÒØ Ð ¹ Á Ó
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ë Ø ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó ½ º½ Ç Æ Ú
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛº
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½¾ ÈÖ Ñ Ö ÁÒ
Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ó Ö È ÙÐÓ Ù Ö Ó Þ Ú Ó Ë ÐÚ Ö ÁËË ÊÌ Ç ÈÊ Ë ÆÌ Ç ÁÆËÌÁÌÍÌÇ Å Ì ÅýÌÁ ËÌ Ì ËÌÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ ËÇ È ÍÄÇ È Ê Ç Ì Æ Ç Ç Ì ÌÍÄÇ Å ËÌÊ Å Á Æ Á Ë ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ò ÓÑÔÙØ Ó ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÂÓ Ó Ð Ó È Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ö ØÙÖ ÁÒØ ÖÑ Ö ¾
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ ÊÓ Ñ Ð Ü Ò Ö ½ ¼ ½ ¼º½ ÐÓ Ó Ö ÊÓ Ñ
ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ Å Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½¾¾º¾ Ö Ð Ô Ö Ô Ö Á Ð
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½¾¾ ¹ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½¾¾ Ç Æ Ñ ÒØÓ ÁÒ Ò Â Ù ½¾ ½¾¾º½ÂÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÔÓ ÈÐ Ò Ø Ö Ó ÅÓÖØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ ÔÓ ÈÐ Ò Ø Ö Ó ÅÓÖØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ ÔÓ ÈÐ Ò Ø
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ Æ Ø Ì ÖÒ ÙÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¾ ¹ Æ Ø Ì ÖÒ ÙÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ ¾ Æ Ø Ì ÖÒ ÙÐÓ ½ ¾º½Ç È Ö Ó Î Ø Â ÖÙ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÓÖÔÓ Ò Ð ¾ ½º½ Ç Æ Ø ÚÓ À ÚÓÒ º º º º
Ä Ø ÙÖ ½ ØÙ Ó Ë ½ Ö ÙÐØ ÒØ Ü Ù Ó Ó Å ÓÚ µ Ò ØÙ Ó Ë ¼ º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ó Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ó Ò Ó ÙØ ÚÓ Ù Ò Ó ÐÙÐÓ Ú ÒØÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÑ Ë Ø Ñ ÈÐ Ò Ñ ÒØÓ Ë ÐÚ Ó Ó Ä Ó È Ö Ö ÈÖÓ ØÓ ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö Ë Ó È ÙÐÓ ÓÑÓ Ê ÕÙ ØÓ È Ö Ð Ô Ö ÉÙ Ð Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ñ Ò ÓÑÔÙØ
Ò ÂÓ Ë ÕÙ Ö Í Å µ ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò ÈÖÓÐÓ Í Í ¾» ½
ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò Å Ø ¹ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÈÖÓÐÓ ÂÓ Ë ÕÙ Ö Ó Ù Ñ º Ö ¹ Á Ü ¹ Í Å ÏÓÖ ÓÔ Ì ÖØ Ñ ÓÑÔÙØ Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Í ÖÐÒ ½ Ñ Ó ¾¼½ ÂÓ Ë ÕÙ Ö Í Å µ ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò ÈÖÓÐÓ Í Í ½» ½ Ò ÂÓ Ë ÕÙ Ö Í Å µ ÔÖ Ò Þ Ñ Å ÕÙ Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç Ì ÑÔÓ Ô Ö Ò Ð Ð Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç Ì ÑÔÓ Ô
ËÙÑ Ö Ó ½ ½ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò ½ ½ ½º½ ÍÐØ Ñ È Ð ÚÖ ÓÒ ÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½º¾ ÜÓÖØ Ó È Ó Ô º º º º º º º
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ½ ¹ ÜÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ó Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ½ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ¾ ½ ÁÒØ ÖÒ Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ» º ¾ ÁÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ
Ô ØÙÐÓ ½ ÓÖÑ ÒÓ ÓÖ Ð Ó ÄÙØ ÖÓ Ó ÓÖ Ð ½ Ø Ñ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ñ Ö ÈÖÓØ Ø ÒØ º Ñ ÐÓ ÓÖ Ö Ñ Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò ÓÐÐ Ö ÙÐ Ö ÔØ Ô Ö Ó Ù Ó Ò Ö Ô Ð Ó Ô Ð ÚÖ Ö Ò Ó Ø Ö Õ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó Ð ÑÓ Ø ÜØÓ Ð Ø ÒÓ Ù Ó ÒÓ ÖÚ Ó Ø Ð
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ç Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ó ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Î Ó Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ËÙÑ Ö Ó Ç ËÙÔ ÖÓÒØÖÓÐ ÚÓÐÙ Ó ¼ º½ ÙÒ Ó Ó ÈÓÖØ
ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ä Ø Ñ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ó Ó º º º º º º º º º º
ÓÐ ÈÓÒØ ÍÑ ÓÐ Ô Ù Ð Ñ Ø ¹ Ò ÜÓ ÂÓ È Ó Å Ö Ø Ñ È Ó ÓÖ Ò Þ ÓÖ µ Ê ¹ Ø Ó Ó ÇÖ Ò Ð ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ù ÓÒ Ð» Óл ÓÐ ÔÓÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐÓ ÓÐ Ö ºÔ º ËÙÑ Ö Ó Ò ÜÓ º½ ÁÒÚ ÒØ Ö Ó ÔÓ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø Ð Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÓÒ Ø ÐÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø ÐÓ º½ Ë ÒØÖ ÓÒ Ø ÐÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê Ð Ó Ó Ô Ö ØÓ ÁÒ Ò ØÓ ÓÑ Ó ÍÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ê ÐÓ Ó ÔÖ ØÓ ÁÒ Ò ØÓ ÓÑ Ó ÍÒ Ú Ö Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒغÓÖ ÛÛÛºØÖÙØÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒغÓÖ º Ö ËÙÑÖ Ó Ê
ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò ð Ù Ó Úð Ó Ó Á Ç Ó ÓÖ ÓÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò Ð Ò ÐÓ Ó ÔØ Ó Ñ Ö µ Ñ Ò Ð Ø Ð ÑÓ Ó Õ
ÌÎ Ø Ð ÁÒØ Ö Ø Ú Ôð ØÙÐÓ ¾ Ó ô è Ó ÓÒØ ÈÖÓ º Ð Ô À ÒÖ ÕÙ Å Ê æ Ä ÓÖ Ø ðóö Ó ÅÙÐØ Ñð Ò Ñ ô è Ó Ê ÓÑÙÒ ô èó ̻ʠæ ÍÒ È ØÖ ðóôóð ÁÒØÖÓ Ùô è Ó Á ÒØ Ö Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ó Ò Ú Ñ Ö Ö Ó ÔÓÖ Ð ÙÑ ÓÒØ Á È Ö ÌÎ Ø Ð Ò
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Ò Ð Ð Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ÈÖ Ñ Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Ò Ð Ð Á ÁÁ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð ÁÁÁ ÁÎ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ÈÖ Ñ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó Ú ¹ Ç Ù Ó À Ö Ù
ËÙÑ Ö Ó ¾ Ò Ö ¹ Å ÒØ Å Ø Ö ¾º½ Ò Ö ÓÖ Ó È Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ë Ø Ñ ÍÒ Ú Ö Ò Ö Æ Ó¹ Ô Ö ØÙ Ð Ò Ö µ º
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¾ ¹ Ò Ö ¹ Å ÒØ Å Ø Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ¾ Ò Ö ¹ Å ÒØ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ì Ö Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¼ ¹ Ì Ö Ö ÑÔ Ò ÈÖ Ó Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ¼ Ì Ö Ö ÑÔ
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º
Ò ÙÖ È ÕÙ µ ¹ ÙÐ ÎÓÓ Ï ÐÐ Ñ Èº ÓÙÒ Ä ÚÖÓ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ½ ½ ÓÙÑ ÒØÓ º º º» Ô Ö ØÙ Ð»Ô Ô» Ò ¹ÝÓÙÒ ºÔ º ËÙÑ Ö Ó ÙÐ ÎÓÓ Ô ØÙÐÓ ÙÐ ÎÓÓ º º º Ò Ó ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð Ó ÔÓ Ö Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô ØÓ Ù Ñ Ó Ó Ë Ò ÓÖ ÓÐÙØÓ Ó ÌÓ
Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½
Å ÆÍ Ä ÅÁ ÊÇ Ç ÇÆÇÅÁ Å ÇÆËÌÊÍ Ç ÍÊËÇ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ Á ÁÍÊÆǹ½ Ë Å ËÌÊ ¹¾¼½ ÂÓ Êº ƺ ÔÔ Ò¹ÈÖÓ º Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒÓÑ ¹ ¹ÍËÈ ¼¾»¼»¾¼½ ÓÒØ ÒØ ½ ¾ ÅÁ ÊÇ ÇÆÇÅÁ ÅÇ ÄÇ Ë ÇÄÀ Ê ÁÇÆ Ä ÆÌ Ë Ê ÁÇÆ ÁË ÁÆ ÁÎ ÍÇ ÅÈÊ Ë ¹ Å
Å Ö Ó º Ë ÒØÓ ÖÖÓ Ó ÇØ Ñ Þ Ó ¹Ç Ø ÚÓ ÔÐ Ø Ñ Ó È ÖÑ ØÖÓ ÅÓ ÐÓ ÆÓ¹Ä Ò Ö Ö Ø Ö Þ Ó ÌÓÑ Óº Ì Ù Ñ Ø Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ
Å Ö Ó º Ë ÒØÓ ÖÖÓ Ó ÇØ Ñ Þ Ó ¹Ç Ø ÚÓ ÔÐ Ø Ñ Ó È ÖÑ ØÖÓ ÅÓ ÐÓ ÆÓ¹Ä Ò Ö Ö Ø Ö Þ Ó ÌÓÑ Óº Ì Ù Ñ Ø Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ò Ô ÐÓ ÓÐ Ó Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ò Ö Ó Ó Ø ÒÓ Ó
ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð ¹ ½½º½ ÆÙØÖ ÒØ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò ÈÖ Ú Ò Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð Ó Ò Ö ½½ ¹ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø Ñ Ò Å Ò Ö ÐØ ÉÙ Ð Ù ÒØ Ó ÙÖ Æ ØÙÖ Ð ÍÖ ÙÐ Ö ² Ù Ò ½ Ó ¹ ÆÓÚ Ñ ÖÓ ¾¼½¼ ËÙÑ Ö Ó ½½ ÓÑÓ ÈÖ Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ó Ò Ö Ê Ö Æ Ó ¹ Ç Ø Ö Î Ø
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÂÙÐ Ñ ÒØÓ ÒØ È Ð ØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ Ç ÂÙÐ Ñ ÒØÓ ÒØ È Ð ØÓ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ Ç ÂÙÐ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ¹ ÇÖ Ñ ÍÖ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ÁÁÁ À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ ¾ ÇÖ
ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ú ½ ÓÒ ØÓ Ó Æ Ó ½ ½º½ Ç Ò Ó Ñ Ð Ò ºÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÖÚ Ó Ó Ö Ó º º º º º
Ñ Ð Ò ÄØ º Ê Ð Ø Ö Ó ØÖ Ø Æ Ó ÖØ ÙÖ º Ó Ø ÄÙÝ ÓÕÙ Å Ò ÐÐ Å Ö Ý Ö Ò ØÓ Ë ÐÚ Ë ÙÒ Ñ ÒÒ ÑÔÖ Ò ÓÖ ÑÓ Ô Ö Ò ÓÑÔÙØ Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÍÒ Ú Ö ËÓ È ÙÐÓ ËÓ È ÙÐÓ ¾ Å ÖÓ ¾¼½ ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ú ½ ÓÒ ØÓ Ó Æ Ó
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖ
Ä ÚÖÓ ÍÖ ÒØ ½ ¹ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ Ö Á ÁÁ ÁÁÁ ÁÎ Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÒØÖ Ð Ç ËÙÔ ÖÙÒ Ú Ö Ó Ç ÍÒ Ú Ö Ó ÄÓ Ð À Ø ÓÖ ÍÖ ÒØ Ì ÖÖ µ Î Ç Ò Ò Ñ ÒØÓ Â Ù ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ ÛÛÛºØÖÙØ ÓÓ ºÓÑ ÛÛÛºÙÖ ÒØ ºÓÖ º Ö ËÙÑ Ö Ó ½ ØÖ Ú Ò Ó Ë Ñ