3 Teoria de imunização

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1 33 3 Teora de munzação Como fo vso, o LM é um gerencameno conuno de avos e passvos como o nuo de dmnur ou aé elmnar os rscos enfrenados pelas nsuções fnanceras. Deses rscos, o rsco de axa de uros represena uma das prncpas fones de perda para as nsuções fnanceras (ese rsco será melhor dealhado mas a frene). Sabemos que ao se gerencar os avos e passvos de um banco, de um fundo de pensão, o admnsrador pode adoar duas formas de gerencameno: a admnsração ava ou a admnsração passva. admnsração ava é um po de esraéga na qual o gesor esá sempre operando, buscando ober uma renabldade superor a um índce de referenca preesabelecdo. Já a admnsração passva busca acompanhar ese índce preesabelecdo, ou anda, no caso de um fundo de pensão, busca consrur um porfólo de cuso mínmo que enha a capacdade de honrar odos os compromssos e obrgações fuuras. Na área de esraéga passva, no gerencameno de careras de renda fxa, os méodos mas conhecdos e dfunddos para se conrolar rsco de axa de uros são: o modelo de munzação e o modelo de carera dedcada. pesar de ambos erem como obevo proeger a carera de uma nsução conra fluuações nas axas de uros (fazer com que a nsução sea capaz de cumprr odas suas obrgações no caso de um fundo de pensão; proeger um excesso de caxa no caso de um banco), a aproxmação de cada esraéga é bem dferene. No caso de munzação, o rsco de axa de uros é conrolado combnando-se a duração dos avos e passvos, de forma que quando as axas se movmenam, ambos os lados do balanço seam afeados da mesma manera, manendo o valor presene nalerado. Já no caso da dedcação, os fluxos de caxa são casados, de modo que sempre haa caxa dsponível para cumprr as obrgações. Qual esraéga um nvesdor deve escolher? resposa radconal é que uma carera munzada é mas arrscada do que uma carera dedcada, logo, promeendo um reorno mas alo. Caso o nvesdor esea dsposo a acear

2 34 algum rsco, ele deve opar pelo porfólo munzado, caso conráro, opar pelo dedcado. No enano, esa resposa nos leva a quesões adconas, como, por exemplo, quas rscos são assumdos na esraéga de munzação e quão grandes eses rscos são. or sso, é necessáro se enender mas explcamene como funcona a esraéga de munzação e quas os rscos ncorrdos. s necessdades de munzação varam dependendo do po de nsução. or exemplo, um banco esá neressado em munzar seu valor de mercado conra essas fluuações, á um fundo de pensão esá neressado em honrar pagamenos a seus pensonsas. Embora enham enfoques dferenes, odos esão neressados em méodos para se conrolar rsco de axa de uros, rsco esse que pode compromeer o valor da empresa e a capacdade de pagameno de obrgações fuuras. Vale ressalar que para um bom enendmeno das esraégas de munzação é precso er um bom conhecmeno de como os nsrumenos de renda fxa se comporam em relação a varações nas axas de uros. Mas especfcamene, precsamos conhecer bem o conceo de duração e convexdade. Tano os conceos báscos quano os mas avançados e ambém suas lmações. ara al, dedcaremos uma seção para as defnções e eoras exsenes sobre esruura a ermo, duração e convexdade. 3.. esraéga de munzação O ermo munzação fo usado em fnanças, pela prmera vez, por F.M. Redngon em seu argo publcado em 95 (Revew of he rncples of Lfe- Offce Valuaons), sgnfcando o nvesmeno em avos de forma que o porfólo exsene sea mune a uma mudança geral nas axas de uros. déa surgu de uma preocupação dele em assegurar a solvênca de companhas seguradoras (seguro de vda). é enão, o ermo ulzado para ese po de esraéga era machng of nvesmens, casameno, combnação de nvesmenos. Redngon dza que a palavra machng (esar compaível, adapar; ser um rval do mesmo nível, comparar, comparar-se a, unr-se, casar-se, verfcar a dendade enre os dealhes dos dados) em uma conoação muo ampla e geral de forma que

3 35 se ornava necessáro se adoar um novo ermo com uma sgnfcânca mas precsa. De posse desa nova defnção, podemos dzer que a munzação é uma forma parcular de combnação de nvesmenos. Redngon mosrou que se a duração dos avos e passvos são guas e que se a dspersão dos fluxos de caxa do avo em orno da duração fosse superor à dspersão dos fluxos do passvo, o porfólo esá proegdo conra uma varação local (nfnesmal) paralela na curva de uros, ou sea, mosrou que a combnação de duração garane que o valor do porfólo, como uma função de sua axa de reorno, é um mínmo local quando avalado na curva de mercado correne. Duas décadas depos de publcado o rabalho de Redngon, a esraéga de munzação não sofreu sgnfcavas alerações. parr daí, com o aumeno da volaldade nas axas de uros, prncpalmene na década de 7, muos pesqusadores examnaram e vêm examnando o problema de munzação de um porfólo de íulos. écnca de munzação esá nmamene lgada à defnção de duração, por sso, muos rabalhos em munzação foram baseados na defnção de duração de Macaulay (938), que supõe uma curva de uros plana e varações paralelas. Manendo anda a hpóese de varações paralelas, mas relaxando a suposção de curva plana, Fsher e Wel (97) desenvolveram um novo conceo de duração e mosraram que é possível munzar globalmene um porfólo com um únco passvo (ou com fluxo de caxa negavo) conra choques paralelos na curva de uros spo por combnação de duração (duraon machng). hpóese de que a curva de uros só pode varar paralelamene em preocupado muos pesqusadores, pos esa suposção não é percebda na práca. Esa preocupação vem levando os pesqusadores a desenvolverem esraégas de munzação e conseqüenemene defnções mas complexas de duração e convexdade, para varações não-paralelas e a examnar os rscos assocados com mudanças não-paralelas. Recenemene, Reano (99, 993, 996) desenvolveu uma esraéga de munzação local para varações na curva de uros não-paralela e Barber e Cooper (996) desenvolveram uma esraéga de munzação dreconal se ulzando da écnca de análse de componenes prncpas. mbas as esraégas serão esudadas mas a fundo nese rabalho. lém desas, muas ouras esraégas de munzação global para varações não-paralelas parculares foram desenvolvdas por Berwag (977 e 978), Berwag, Kaufman, e. Toevs

4 36 (983), Khang (979) e Cooper (977). Fong e Vascek (984) examnaram o efeo de uma varação arbrára na carera munzada conra choques paralelos. Eles concluíram que a munzação clássca em fronera nferor que depende de dos faores: da magnude da mudança nas axas e da esruura do porfólo. E argumenaram que o segundo faor, chamado de M-quadrado, mede o rsco de munzação. Mas especfcamene, o M-quadrado mede o rsco de munzação de um porfólo que fo munzado conra varações paralelas nas axas. Como do, a esraéga de munzação esá oalmene baseada no conceo de duração, logo, vale ressalar que esas novas écncas razem consgo novos conceos de duração e convexdade, como a duração de Fsher-Wel, a duração dreconal, a duração parcal a duração nos vérces. Muos deses conceos serão amplamene ulzados ao longo do rabalho e esão apresenados dealhadamene no apêndce. O processo de munzação pode ser dvddo em rês fases: Fase de planeameno Fase de mplemenação Fase de monorameno Na fase de planeameno deve-se clarfcar os obevos da munzação. Deve-se esabelecer as meas, por exemplo, se o obevo é elmnar rsco ou smplesmene esruurar um porfólo que dmnua o rsco exsene. Se o obevo é garanr o reorno de um excesso de caxa ou garanr que haa fundos sufcenes para cobrr odas as obrgações fuuras. lém dsso, deve-se deermnar qualquer resrção de caráer legal, de agêncas regulaóras, que possam mpacar a fase de mplemenação (por exemplo, a resolução 89 do Banco Cenral do Brasl que aprova regulameno esabelecendo as drerzes pernenes à aplcação dos recursos das endades fechadas de prevdênca prvada). Durane a fase de mplemenação devemos escolher o po de modelo que será ulzado. Se for ulzado um modelo mas básco, baseado na duração de Macaulay ou se será ulzado um modelo mas avançado, baseado em smulação, em omzação. lém dsso, deve-se deermnar o unverso de avos (baseado em créros como: qualdade de crédo, lqudez, ec.) que possam formar a carera munzada. Defnr margens apropradas para ouros rscos exsenes e defnr horzones para rebalanceamenos auomácos na carera e galhos que ndquem revsões anecpadas devdo a grandes movmenações nos níves de axa de uros.

5 37 parr do momeno em que a mplemenação é concluída, medaamene, enra em cena a fase de monorameno. É mporane esar sempre monorando para se garanr que a munzação connua agndo de forma aproprada. É precso esar aeno a mudanças no nível da curva de uros, na duração e convexdade do porfólo, em varações demográfcas (caso de fundos de pensão), em mudanças nos regulamenos aos quas a carera esá suea, em mudanças na qualdade dos íulos que compõem o porfólo, ec. Embora em eora a esraéga de munzação perma que um nvesdor obenha uma renabldade esperada, não esá sena de crícas e lmações. Uma críca que eve grande dfusão fo aquela efeuada por Ingersoll e al (978). Eles dsseram que, dados alguns processos esocáscos que governam o comporameno das axas de uro, podem surgr oporundades de arbragem lucravas sem rsco enre passvo com cupom de valor dferene e passvo zero cupom. ara se lvrar de algumas lmações, processos esocáscos, eoras de omzação e maemáca avançada são cada vez mas ulzados. Mas, sabemos que ao passo que meddas, écncas mas complexas são adconadas, o poder de explcação aumena, mas a uma axa decrescene. Logo, é precso um balanceameno enre parcmonosdade e poder de explcação. Como do acma, a munzação fo um ermo crado para melhor defnr combnações dos fluxos de avos e passvos. No enano, exsem ouras formas de se fazer esa combnação, por exemplo a écnca de carera dedcada. pesar deses modelos não serem o foco da dsseração, remos apresená-los de forma smplfcada. 3.. Imunzação de um únco passvo Um conceo mporane em munzação é o período de planeameno ou horzone de nvesmeno. ode ser defndo como o horzone de empo no qual o nvesmeno esá avo. Ou sea, é o empo no qual a esraéga de munzação esá baseada. ara se compreender melhor o conceo de munzação, prmero apresenaremos um exemplo básco e depos apresenaremos os conceos maemácos que suporam a eora.

6 Exemplo ara que sea melhor compreendda a déa de munzação, começaremos esa seção com um exemplo básco rerado de Fabozz (). ara compreendermos os prncípos báscos da munzação de um porfólo conra varações nas axas de uros, consdere a suação a segur. Uma companha de seguros vende um papel (GIC papel que garane a axa a cada ses meses) com as segunes caraceríscas: reço de venda $ Cupom 6,5% a.s. Vencmeno 5,5 anos Tabela 3.: Exemplo de munzação de um GIC O valor fuuro que a seguradora erá de pagar será: $ Iremos esudar as segunes possbldades que o gesor do fundo pode usar para enar munzar o íulo acma:. Comprar um íulo no valor de $ que esá a venda ao par com,5% de yeld-o-maury com vencmeno em 5,5 anos.. Comprar um íulo no valor de $ a venda ao par com,5% de yeld-o-maury com vencmeno em 5 anos e carregá-lo aé os 5,5 anos. 3. Comprar um íulo no valor de $ vendendo ao par com,5% de yeld-o-maury com vencmeno em,5 anos e aplcar o valor fuuro dele no yeld de mercado. 4. Comprar um íulo de 8 anos com cupom de,5% vendendo ao preço de 88,6 ao yeld,5%. Compraremos.. dese papel, formando o valor de Veremos agora, quas seram as conseqüêncas caso cada uma das possbldades acma fosse efeuada (odos os cálculos esão apresenados no apêndce B).. Se o yeld não mudar e os cupons puderem ser renvesdos a,5% ao ano, o valor acumulado será gual ao do GIC. Se as axas subrem, o valor alcançado será maor e se caírem, será menor.

7 39 Logo, nvesr num papel com a axa nerna de reorno gual não garane que o valor alvo será angdo.. De novo se o yeld não mudar o valor alvo é angdo. Mas, se as axas subrem, o valor alcançado será menor e se caírem, será maor. 3. O valor alvo será alcançado somene se as axas permanecerem a,5% ou subrem. 4. Nese caso, o valor alvo é alcançado ndependene do que ocorre com as axas. ara enender-se porque so aconece vamos calcular a duração dos íulos ulzados acma. Duração dos íulos: Tíulo Duração (em anos) 4,4 7, 3,5 4 5,5 Tabela 3.: Duração de dferenes íulos canddaos a munzar um GIC ercebemos que o papel que garane, no mínmo, o valor alvo, ndependene de fluuações nas axas, em a duração gual ao horzone de nvesmeno do passvo da seguradora. Ese é o pono-chave. ara se munzar um porfólo conra varações nas axas de uros, deve-se nvesr num íulo com as segunes caraceríscas: duração de Macaulay gual ao horzone de nvesmeno. O valor presene do fluxo de caxa do íulo gual ao valor presene do passvo fuuro. Na seção segune veremos esas caraceríscas mas formalmene Condções para munzação de um únco passvo nes de ncarmos, é mporane sabermos como se compora qa relação enre preço de um íulo e sua axa (yeld). Sabemos que uma propredade mporane é que o preço de um íulo vara na dreção oposa da mudança na axa requerda. Iso ocorre devdo ao fao de que o preço de um íulo, ou seu valor presene, é o valor de seus fluxos de caxa fuuros desconados a esa axa. Logo, quando esa axa subr, o preço cará e quando a axa car, seu valor presene será

8 4 maor. lusração 3. mosra a relação preço-axa para um íulo qualquer sem opções. ercebemos que o gráfco em um formao convexo. reço Taxa Ilusração 3.: Relação reço-yeld ssuma que exse um únco período de planeameno. Sea V k ( y) o valor de uma carera de avos no período k com axa nerna de reorno y ( y é a axa na qual odos os avos da carera são precfcados). Suponha anda que a axa nerna de reorno ncal sea ( ) V y y, enão o valor da carera ncal será: V ( 3.) Se não houver mudança na axa durane o período de planeameno, após K períodos o nvesmeno angrá o valor de: V ( y ) K + ( 3.) Suponha agora que a axa mude nsananeamene após a formação da carera para ŷ, onde yˆ y. Enão: Se y ˆ > y, eremos uma dmnução medaa do valor do Se nvesmeno. erda de capal V ( y) ˆ ˆ V y < y eremos um aumeno medao nese valor. Ganho de capal V V ( yˆ ) Vea a fgura abaxo.

9 4 Ilusração 3.: Varação do valor de uma carera quando a axa muda Sea V K o novo valor do nvesmeno no período K devdo à mudança ocorrda na axa para ŷ no níco do período. Vˆ K K ( yˆ ) Vˆ ( yˆ )( yˆ ) K V ( 3.3) + Vmos no exemplo de munzação, que se uma carera de avos é seleconada de forma que sua duração sea exaamene gual ao período de planeameno, o porfólo esá mune a varações nas axas, de modo que o reorno nunca poderá car abaxo da axa nerna de reorno ncal. Se a duração da carera exceder o horzone de planeameno, o nvesdor pode ser omado como gong long e os ganhos ou perdas de capal resulanes de varações nas axas domnarão o reorno de renvesmenos durane o período de planeameno (esará exposo ao rsco de preço). Já se a duração da carera for menor do que o período de planeameno, o reorno de renvesmeno rá domnar qualquer ganho ou perda de capal resulane de mudanças nas axas. O nvesdor é conhecdo como gong shor (exposo ao rsco de renvesmeno). O que precsamos mosrar é que dada uma carera ncal com axa nerna de reorno y e com duração de Macaulay ( yˆ ) V ( y ) D : VD D ( 3.4)

10 4 para qualquer mudança na axa ŷ. Logo, o valor da carera não poderá car abaxo do nível ( y ) V D. Esa prova envolve 3 passos.. Mosrar que ( y) V K ˆ é uma função esramene convexa de ŷ. Dado que a curva é convexa, ela erá um pono de mínmo 3. rovar que ( y) V D ˆ em seu mínmo quando y ˆ y ssumndo que a carera gera fluxos de caxa,,,..., seu valor presene e sua duração a uma axa arbrára y são: ( y) ( + y) V ( 3.5) D y V ( + ) O valor do nvesmeno após K períodos será: V K ( y) ( + y) V ( y) K ( 3.6) ( 3.7) Subsundo a equação (3.5) na equação acma nesa emos que: K ( y) ( + y) K V ( 3.8) Condção de prmera ordem para mnmzação de (3.7): ( y) dvk K ( K )( + y) ( 3.9) dy Condção de segunda ordem para mnmzação de (3.7): ( y) d VK K ( K )( K )( + y) dy Daí podemos conclur que: Quando < K ( 3.), enão ( )( K ) números posvos, logo é posvo. Quando K +, enão ( )( K ) negavos, logo é posvo. Quando K ou K K é o produo de dos K é o produo de números, enão ( )( K ) K será gual a zero. Iso faz a expressão da dervada segunda gual a zero apenas se os fluxos de caxa esverem concenrados nas daas K, K ou ambas. Iremos gnorar eses casos.

11 43 Conseqüenemene, pono de mínmo dado por: ( y) d V K ( y) > e ( y) dy V K é esramene convexa, com dv K ( 3.) dy Ou sea, K y V Se ( y) ( + ) y y, enão D K, segue que ( y) V K ange o mínmo em y. ( 3.) Desa demonsração podemos conclur que, supondo que exsa apenas um únco passvo de valor k no empo k, as condções necessáras e sufcenes para se consrur um porfólo munzado são: ( + y) ( + y) k k ( 3.3) ( + y) k ( + y) k k ( 3.4) Ou sea, a prmera condção mplca que o valor presene dos avos sea gual ao valor presene do passvo. E a segunda condção guala o valor da duração moneára dos avos e passvos Imunzação de múlplos passvos (eora de munzação de Redngon) Como defndo por Redngon em 95, a palavra machng em uma conoação muo geral, o que fez com que ele adoasse o ermo munzação para se referr ao problema de nvesr em avos de forma que um dado negóco fcasse proegdo conra uma mudanças nas axas de uros. ara ncar a análse, ele assume que em um dado momeno do empo é possível se ober avos a uma axa unforme ndependene da daa de vencmeno do avo e que odo o capal é nvesdo em avos de renda fxa que seam resgaáves ou não numa daa fxa. Veremos em seguda a eora proposa por Redngon. Sea o fluxo de caxa de avos esperado na daa. or exemplo, uros recebdos, dvdendos, alugués, vencmeno de papés, repagamenos e prépagamenos que se esperam ocorrer nese empo.

12 44 Sea L o fluxo de caxa dos passvos (seguros) esperados na daa. or exemplo, pagameno de apólces, emprésmos, dvdendos, gasos, axas que se esperam ocorrer nese empo. ara uma dada axa de uros y, o valor presene dos avos, passvos e excesso (surplus - avo menos passvo) são dados pelas equações abaxo: + ( y) + ( y) ( y) ( ) ( + y) ( )( + y) S S ( 3.5) ( 3.6) ( 3.7) Redngon assume anda que o valor presene dos avos e passvos são dêncos (qualquer excesso de avo sera consderado nvesmeno lvre podendo ser nvesdo separadamene), ou sea: Suponha agora que a axa de uros y sofra um choque e mude para y + ε. Nese caso, o valor presene dos avos e passvos mudará respecvamene para ε e ε. Conseqüenemene, o valor do excesso após o choque, S ε será: ( ) ε d ( ) d S ε ε ε ( ) + ε + + ( 3.8) dε! dε Claramene percebe-se que o prmero ermo da equação acma desaparece devdo a hpóese de que. Queremos que o valor do excesso não se alere devdo a uma varação nas axas de uros, ou sea, para qualquer varação queremos que não haa ganho nem perda. ara sso, odas as dervadas subsequenes deverão ser nulas. Na praca, para pequenas varações na axa de uros, a prmera dervada é a mas mporane, enão Redngon dz que uma carera pode ser consderada munzada se os avos forem nvesdos de forma que: ( ) d ( 3.9) dε lém dsso, é neressane que a segunda dervada sea sempre posva, pos, desa forma, como o coefcene ε! é posvo ndependene do snal da varação na axa de uros, uma pequena varação ε resulará em recea para a

13 45 nsução (caso a varação não sea pequena, os ermos segunes deverão ser levados em consderação). Conudo, uma políca sasfaóra de munzação, segundo Redngon, pode ser expressa em duas equações báscas: d d ( ) dε ( ) dε > ( 3.) ( 3.) Em palavras, a prmera equação dz que a duração dos avos deve ser gual a duração dos passvos. segunda dz que a dspersão dos avos em orno da méda deve ser maor do que a dspersão do passvo. Enão, podemos car em 3 suações dsnas: s obrgações são das oalmene fundadas se ou S. Ou sea, o valor dos avos é sufcene para pagar os passvos nsananeamene. Dremos que a carera é sem fundos se < ou S <. Exaamene com fundos se ou S Condções para munzação (caso exaamene fundado) s condções necessáras e sufcenes são:. O valor presene dos avos deve ser gual ao valor presene dos passvos (créro de combnação do valor presene). duração dos avos deve ser gual à duração dos passvos D D (créro de combnação de duração) y Condção equvalene: ( y) ( y) S ( ) Onde D S ( y) ( + y) ( y) ds dy Logo, se vermos e D ( + y) + y ( )( + y) ( D D ), enão S ( y) quando D D.

14 46 3. O fluxo de caxa dos avos deve ser mas dsperso do que o fluxo dos passvos. Equvalenemene ( ) S y (créro de dspersão) Desenvolvendo a segunda dervada de S, emos: d S S ( y) dy S ( y) ( y) ( + )( )( + y) ( y) ( )( ) ( )( ) ( ) + y + + y + y S S ( y) ( + ) y Como ( )( + y) + ( D D ) D D e a expressão acma fca: S ( y) ( + ) y ( )( + y) Enão, uno com as condções e, a condção 3 mplca que: + ( + y) ( y) ( 3.) Rsco de munzação (M-quadrado) Embora a esraéga de munzação, eorcamene, nos perma proeger o valor fnal de um nvesmeno, so só aconece caso uma sére de hpóeses seam respeadas. Uma desas hpóeses, a denfcação a pror do po de choque sobre a esruura a ermo, é críca para se aplcar a munzação. Caso esa denfcação sea ncorrea, a carera passa a não esar munzada e esamos dane do rsco conhecdo como rsco de munzação. ara enar quanfcar ese po de rsco, Fong e Vascek (984) apresenaram uma abordagem alernava, que perme mnmzar ese rsco, para al, defnndo o conceo de M-quadrado ( M ), que é uma medda de dspersão dos fluxos de caxa em orno do horzone de nvesmeno. O M é uma caracerísca do porfólo que deermna a exposção da carera a uma aleração arbrára das axas de uros. Nese sendo, pode ser enenddo como uma medda de rsco de munzação. Enão, deve ser mnmzado

15 47 de forma a se consur careras que enham menor vulnerabldade a movmenos nas axas. O modelo M apresena duas vanagens prncpas: É um parâmero que o nvesdor pode conrolar, esruurando a carera adequadamene. Não é necessáro assumr hpóeses quano ao processo esocásco que governa o comporameno das axas de uros. Sea a ercera condção de munzação. E seam os pesos: w w ( + y) ( + y) Se os pesos w e ( 3.3) ( 3.4) w forem nerpreados como probabldades (á que w e w ), enão a condção de dspersão pode ser nerpreada como uma condção de varânca. ara enendermos melhor, noe que D e D se ornam médas ou valores esperados de. or defnção, varâncas são dadas por: M e M w w ( D ) ( D ) Enão a condção de dspersão (condção 3) é equvalene a: M ( 3.5) ( 3.6) M ( 3.7) condção de dspersão é auomacamene sasfea quando só emos um únco fluxo de passvo. Nese caso, M pos w e w para K, e D K mng do fluxo de caxa do passvo. Como emos que: K M não pode ser negavo, M M. ( 3.8) M pode ser pensado como uma medda de rsco de renvesmeno. Como veremos mas a frene, numa vsão de omzação, nosso obevo podera ser mnmzar M sueo a M. M

16 48 O rsco de munzação é defndo como a poencal dspersão do reorno em orno do reorno alvo. Se, para odo, ou sea, as obrgações do passvo esão perfeamene y combnadas com o fluxo de caxa de avos, enão S ( ). Esa esraéga é conhecda como combnação de fluxo de caxa (porfólo de dedcação) e em rsco de munzação zero. Ese po de esraéga será melhor dealhado ao fnal dese capíulo. Sea a defnção de m-quadrado, enão podemos mosrar algumas propredades: M ( D) exp( r) ( D + D ) exp( r) exp exp ( r) D exp( r) + D ( r) D + D C D Onde C exp( r) é a convexdade do avo. d dr d dr d dr Sendo ( ) exp ( r) exp( r) dd dr d dr ( ) ( C D ) M ( 3.9) Condções para munzação (caso oalmene com fundos). S >. S ( y) ( + y) ( + y) Escro de oura manera: D D

17 49 3. S ( y) + ( + y) ( y) Escro de oura forma: ( M + D ) ( M + D ) Observações eora de Redngon se basea em algumas hpóeses, são elas: esruura a ermo é plana Os choques na curva de uros ocorrem de forma paralela O fluxo de caxa não depende do nível da axa de uros mesma axa de descono se aplca a avos e passvos O porfólo é munzado apenas para uma pequena varação em orno da axa ncal 3.4. Generalzação da eora de Redngon é enão, mosramos de forma dealhada a maemáca por rás da eora de Redngon. Mas, como do, esa eora se basea em hpóeses que não são observadas na práca, como por exemplo uma curva de uros plana. or sso, uma generalzação desa eora, abrangendo hpóeses mas realsas, será fea. Sea N a dferença enre avos e passvos (para evar problemas de noação, ulzaremos a lera L para represenar o passvo) no empo, e seu valor presene S (valor do excedene hoe). Ou sea: N L ( 3.3) > (, ) S N ( 3.3) Onde (,) é o preço no empo de um íulo sem opções, zero-cupom, e sem rsco de caloe vencendo no empo com valor de face, >. Consdere um choque nsanâneo na esruura a ermo das axas de uros, o qual muda o preço do íulo de (,) excesso será > (, ) para (,), >. Enão o valor do novo S N ( 3.3)

18 5 Vale lembrar que esamos assumndo que os fluxos de caxa são ndependenes das fluuações nas axas de uros, ou sea, após o choque na curva de uros os valores de N permanecem os mesmos. Como á vmos, munzar uma carera é fazer com que ela sea mune às varações nas axas de uros. Logo, o obevo da munzação é garanr que após choques na esruura a ermo o valor fnal permaneça maor ou gual ao valor munzado. Ou sea, queremos garanr que S S sempre. elo prncípo da não-arbragem, a condção acma é válda para odos os choques nas axas somene se S S para odos os choques. Caso conráro, eríamos uma oporundade de arbragem. É mporane observar que se o excesso permanecer nalerado para odos os possíves choques sgnfca que o fluxo de caxa líqudo é zero, ou sea: N L, para odo >. Igual ao caso do porfólo dedcado. Consderando que ocorreu um choque, podemos escrever a mudança no excesso: > [ (, ) (, ) ] S S N ( 3.33) (, ) (, ) S S N (, ) ( 3.34) > > () S S n g ( 3.35) Onde ( ) n N, ( 3.36) (, ) (, ) g () ( 3.37) g ( ) ( 3.38) Teorema do resíduo de Taylor f () x f () c + f ()( c x c) f + n! ( n ) () c ( ) n x c + R ( x) n + f () c ( x c ) + ( 3.39)

19 5 Onde R n ( x) f x n! c ( n+ ) ( ε ) ( ) ( ) n+ x c ε ( x, c ) n +! n ( n+ ( x w) f ) ( ) w dw ( 3.4) ssumndo que a função g é duas vezes dferencável. ela fórmula de Taylor com resíduo negral, g ( ) g( ) + g ( ) + ( w) g ( ) w dw ( 3.4) Enão, a varação no excesso é: S S n g () ( 3.4) ( ) n + n ( w) g ( w) S S g dw ( 3.43) > > ara faclar a mudança de ordem enre o somaóro e a negral, sea + x max( x,) Enão, + + ( w) g ( w) dw n ( w) g ( w) > > n dw ( 3.44) + + n ( w) g ( w) dw n ( w) g ( w) > dw ( 3.45) > Teorema geral do valor médo para negras Se f e h são funções conínuas no nervalo [ a, b] e h não muda de snal nese nervalo, enão exse um número ε em [ a, b] al que b a ( x) h( x) dx f ( ) h( x) f ε b a dx Enão se o fluxo de caxa líqudo > ou > + ( w) N sasfzer: n, para odo w posvo ( 3.46) + ( w) n, para odo w negavo ( 3.47)

20 5 Enão, pelo eorema do valor médo ponderado para negras, deve exsr um número posvo ξ al que > > + + n ( ) ( ) w g w dw g ( ξ ) n ( w) dw ( 3.48) Reverendo a ordem da negral e do somaóro emos: > n + ( w) dw n ( w) > n > > n + ( ) dw w dw ( 3.49) Temos uma fórmula mas smples para a varação no excesso devdo a choques nsanâneos nas axas de uros: S S g ( ) n + g ( ξ ) n ( 3.5) > > nda, se o prmero momeno dos valores presenes do fluxo de caxa líqudo é zero (ou sea, se o fluxo de avos e passvos possa ser esruurado de forma que sea zero), > n ( 3.5) Equvalenemene: > (, ) L (, ) ( 3.5) > Com so podemos smplfcar a equação do excesso para: S S g ( ξ ) n ( 3.53) > O modelo de Redngon pode ser vso como um caso especal de mudanças paralelas nas axas de curva. qu ou c (, ) e (, ) () e c ( 3.54) g ( 3.55) onde a consane c, a qual pode ser posva ou negava, denoa a quandade da mudança nas axas de uros. Enão a equação (3.53) fca:

21 53 S S c e cξ > n ( 3.56) Enão, se as condções mposas pelas eq. (3.46) e eq. (3.5) valerem, eremos: S S ( 3.57) para qualquer varação paralela na curva de uros (para qualquer valor de c, grande ou pequenos). Noe que a equação (3.57) não é válda paras odos os pos de choque nas axas. Ese modelo, mas geral, dferene do modelo de Redngon, é conssene a ese respeo Rebalanceando uma carera munzada Nos casos báscos que mosramos, os prncípos de munzação assumem uma mudança nsanânea na axa de mercado. Na práca, a axa de mercado rá fluuar durane o horzone de nvesmeno. Como resulado dsso, a duração de Macaulay do porfólo rá mudar quando a axa de mercado mudar. E, além dsso, a duração rá mudar smplesmene devdo à passagem do empo. Se a duração de uma carera no níco do período for D, ela poderá não ser ( D ) no fnal do período. Iso pode aconecer por duas razões: Se as axas mudam, a duração muda. Iso pode forçar a duração ncal para cma ou para baxo dependendo da dreção da mudança nas axas. Mesmo se as axas não mudam, à medda em que a daa de vencmeno dos íulos se aproxma, a duração não rá dmnur ano quano a dmnução no horzone de nvesmeno. nclnação de odas as curvas de duração é menor do que (exceo para os íulos zero cupom mesmo para íulos zero cupom, a duração rá varar na mesma axa do horzone de empo apenas se a esruura a ermo for plana). Com sso, mesmo dane de uma mudanças nas axas de mercado, um porfólo pode ser munzado se ele for rebalanceado de forma que a duração sea gual ao empo resane do horzone de nvesmeno, por exemplo, se o horzone de nvesmeno ncal é de anos, a carera ncal deve er uma duração de

22 54 Macaulay de anos. Ses meses após efeuada a munzação, o horzone de nvesmeno se reduz para 9,5 anos mas, provavelmene a duração da carera será dferene de 9,5. Logo, a carera deve ser rebalanceada (a munzação deverá ser fea novamene, levando-se em cona o novo horzone de nvesmeno e as novas axas de mercado) de forma que sua duração sea 9,5. Ses meses depos a carera deverá ser rebalanceada novamene de forma que a carera enha duração de 9 anos. E assm em dane. ercebemos claramene que esamos dane de um dlema: com qual freqüênca a carera deve ser rebalanceada? Sabemos que quano mas freqüene se rebalancea, aumenam os cusos de ransação, mas dmnuem as chances de se desvar da axa alvo. or ouro lado, quano menos se rebalancea, dsanca-se da duração deseada. Enão, o gesor do porfólo se enconra numa encruzlhada: algumas ransações devem ser aceas para se ausar a duração, mas alguns ouros auses da duração devem ser dexados de lado para que os cusos de ransação não se ornem alos. Nese momeno, a fase de monorameno orna-se uma écnca ndspensável, pos o monorameno adequado audará a defnr quando se faz necessáro rebalancear a carera. O monorameno defnrá se rebalanceamenos pré-programados devem ou não ser feos ou se ouros rebalanceamenos nãoprogramados devem ser efeuados de forma a garanr sempre que o reorno alvo será angdo Consderações de mplemenação o se mplemenar a écnca de munzação, deve-se levar em consderação alguns faores mporanes que podem fazer com que a munzação não funcone na práca. Enre eses faores os mas mporanes são: Conrole rgoroso do rsco de crédo: quano menor a qualdade de crédo dos íulos consderados, maor o rsco poencal e maor o reorno. eora de munzação assume que não exse o rsco de defaul e que os íulos somene varam de acordo com as varações nas axas de mercado, ou sea, nenhum ouro faor exerno afea o valor do avo.

23 55 resença de opções: oda a eora esudada consdera que os íulos são sem opção. Na práca sabemos que esas opções esão muas vezes presenes, logo, deve-se fazer uma adapação na eora para al fao. Lqudez: na eora de munzação ambém consderamos que odos os íulos em quesão são oalmene líqudos, ou sea, podemos sempre comprar ou vender qualquer quandade de um cero íulo. Iso não é verdade na práca, esse é um dos movos pelos quas a carera deve ser rebalanceada durane o horzone de nvesmeno. Cusos de ransação: odo o po de operação de compra e venda envolve cuso de ransação. Enão, sempre anes de se efeuar uma mudança na carera, deve-se pesar se o cuso de ransação será compensado de alguma forma com aquela mudança. Novamene percebemos a mporânca da fase de monorameno. Ela deve esar sempre aena não somene à duração da carera, mas ambém, à qualdade de crédo dos íulos que compõem a carera, à qualdade de crédo de ouros íulos que fazem pare do unverso de íulos que possam a vr a compor a carera, à lqudez dos íulos (garanndo que sempre que um íulo da carera precsar ser venddo para cobrr obrgações exsa um comprador) Imunzação conngencal s esraégas de munzação dscudas aé enão são passvas ou semavas. Mas ambém é possível se er uma esraéga de gerencameno ava conhecda como munzação conngencal. munzação conngencal é uma esraéga que consse em se denfcar ano um valor ou reorno alvo que se desea munzar, quano um nível mínmo de reorno no qual o nvesdor esara mnmamene sasfeo. O gesor erá uma posura ava aé que o nível mínmo sea angdo. parr daí, o gesor é obrgado a munzar o porfólo compleamene e se maner nese nível para garanr que a performance mínma aceável será realzada. ara lusrarmos ese po de esraéga, ulzaremos os gráfcos abaxo. No prmero gráfco (lusração 3.3), percebemos que a curva de galho esá abaxo

24 56 do valor de um porfólo fcíco aé o pono. Nese pono a écnca de munzação é avada e a parr daí, a carera camnha na cura de munzação aé o fnal do horzone de planeameno. No segundo gráfco (lusração 3.4), percebemos que em nenhum momeno do horzone de nvesmeno o porfólo ange a curva de galho. Logo, a munzação não é avada. ercebemos que esa é uma écnca neressane, que perme que o nvesdor enha a chance de ober um reorno mas alo, aravés de uma carera mas arrscada, sem correr o rsco de não angr seu reorno mínmo deseado. Ilusração 3.3: Curva de Galho para munzação congencal Ilusração 3.4: Curva de Galho para munzação conngencal

25 57 lguns consderações mporanes na mplemenação da munzação conngencal são:. Esabelecer uma munzação precsa dos reornos ncas e em andameno dsponíves: so deermnará quas níves de munzação esão dsponíves durane o período de planeameno; e qual será a margem de segurança ulzada para o reorno mínmo deseado a ser munzado.. Esabelecer uma margem de segurança plausível: uma margem de segurança muo pequena. 3. Desenvolver um procedmeno efevo de monorameno para garanr que o nível mínmo não enha sdo volado. 4. O horzone de planeameno: quano maor o horzone, maor será a oporundade de se gerencar a carera avamene. 5. Ouras consderações como: qualdade de crédo, resrções, cusos de ransação, ec. 6. O nível mínmo sasfaóro pode não ser alcançado por duas razões: esa écnca assume que a axa de mercado vara gradualmene. No eveno de uma varação brusca das axas, pode não haver empo sufcene para mudar a esraéga para o modo de munzação que ana o valor mínmo requerdo; se a munzação se orna operaconal, não exse garana que a axa de munzação será angda mesmo se a carera for reconsruída na axa requerda Implemenação da écnca de munzação (modelos de omzação) Como á vmos, munzação é a busca de uma carera que sea nsensível a varações na axa de uros, uma carera cuo valor presene dos avos sea gual ao valor presene do passvo. Usualmene, ouros requermenos podem ser mposos como: a carera deve er a maor axa de reorno possível; ou o reorno oal da carera deve ser o maor possível; ou o cuso para se formar a carera deve ser o mínmo possível. Devdo ao enorme número de íulos dsponíves para se munzar uma carera, podemos formular esa busca por um porfólo

26 58 munzado como um problema de omzação, como um problema de alocação óma de avos. Em geral, um problema de omzação é expresso da segune forma: Mn f Sueo a RESTRIÇÕES Ou Max f Sueo a RESTRIÇÕES s funções obevo f mas ulzadas na práca são: Mnmzar o cuso ncal do porfólo Maxmzar a axa de reorno do porfólo Mnmzar o M (M-quadrado dos avos) Veremos mas dealhadamene a formulação do problema de omzação. ara que so sea feo, precsamos prmeramene defnr as varáves que serão ulzadas no problema. Seguremos os modelos proposos por Zenos (999) e adoaremos a mesma noação dele. Sea: x : quandade do íulo c : cuso de adqurr o íulo V : o valor presene do íulo C : o fluxo de caxa do avo no empo {, I} U,..., : o unverso de íulos U : ndca um íulo do unverso de íulos k : duração moneára do íulo r : a axa de descono do íulo l : lme mínmo que se pode er do íulo ls : lme máxmo que se pode er do nsrumeno Com as defnções das varáves, podemos calcular valor presene do íulo : ( + r ) V C ( 3.58) Dervando em respeo a axa r, enconramos a duração moneára (modfed duraon) do íulo :

27 59 k C ( ) ( + + r ) ( 3.59) Sabemos que a duração é adva. Logo, a duração moneára de uma carera de íulo será dada por: k kx ( 3.6) Usando esa noação e dado que o valor presene do passvo é V e sua duração moneára é k, as duas condções báscas de munzação podem ser escras como: V x V ( 3.6) k x k ( 3.6) Enão, a formulação do prmero problema de munzação mnmzar o cuso ncal do porfólo pode ser represenado pelo segune problema de programação lnear: Enconrar x de forma que: Mn c x (obevo mnmzar o cuso) Sueo a Vx V k x k l x ls (combnação de valor presene e duração) ercera resrção pode ser ulzada caso exsa algum lme de posconameno para um dado íulo que compõe o unverso de avos. Como no segundo problema, nosso obevo é maxmzar a axa de reorno de uma carera. ara sso, precsamos defnr, com base nesa noação, a axa de reorno de um carera de íulos. axa de reorno é dada mplcamene pela equação de valor presene. No enano, uma aproxmação de prmera ordem para esa axa é a méda ponderada da duração moneára de cada íulo que compõe o porfólo: kr x r k x ( 3.63)

28 6 ercebemos que o denomnador desa expressão, pela resrção de duração, deve ser gual a k (uma consane). Logo, maxmzar a axa de reorno se reduz a maxmzar apenas o numerador. Nosso problema fca da segune forma: Max Sueo a k r x Vx V x k x k O ercero caso, de mnmzação do rsco de munzação, pode ser formulado como a segur: Mn M Sueo a M M Como á vmos, o M pode ser vso como uma medda de rsco de munzação. s modelagens vsas aé enão são as formas mas báscas conhecda e as mas ulzadas na práca. Enreano, exsem ouras cenenas de modelagens. Ene elas remos ver algumas ouras mas complexas segundo a generalzação da eora de Redngon. o desenvolvermos a generalzação da eora, mosramos que a varação do excesso de uma carera após um choque na curva pode ser expressa da segune forma: S S g ( ξ ) n ( 3.64) > Logo, nosso obevo é esruurar o fluxo de avos e passvos de forma que a quandade ( ) g ξ ( 3.65) > n sea sempre a maor possível para que se maxmze o valor do novo excesso g ξ depende dos choques nas axas, os quas nnguém S. No enano, o faor ( ) pode prever. Como a quandade g ( ξ ) pode ser posva ou negava, uma esraéga mas prudene é esruurar o fluxo de caxa de forma que o valor absoluo da duração moneára de Fsher-Wel do excesso da carera,

29 6 > ( 3.66) n sea a menor possível, enquano suea às condções prevamene ulzadas no decorrer do desenvolvmeno da generalzação que suporam a expressão (3.64) (eq. (3.46) ou eq. (3.47) e eq. (3.5)). or smplcdade, suponha que os fluxos de caxa ocorram somene no fnal de cada período. Sea, o fluxo de caxa no fnal do período para um nvesmeno ncal de, no avo. ssuma anda que o íulo não coném opções e que não exse rsco de crédo. ara cada emos: Sea > ( ),,, onde (,) segue a mesma defnção aneror. x a quandade de dnhero a ser nvesda no avo. Logo, o fluxo de caxa agregado do avo no empo será: x, ( 3.67) O problema de alocação de avos é, para um dado fluxo de passvo e valor de excesso S, deermnar os valores ómos de x. Suponha que a expressão (3.46) sea verdade. Enão, o problema de programação lnear fca: Mn Sueo a n n S > k x ( L ) (, ) n ( k) n x n, k,,... Como supomos que a equação (3.46) é sasfea, enão, n é não negavo. Logo, mnmzar (3.66) é equvalene a mnmzar a convexdade moneára (dollar convexy) de Fsher-Wel (, ), pos os fluxos de caxa do passvo, L são, por hpóese, fxos. odemos escrever uma oura programação lnear:

30 6 x C Mn ( ) ( ) ( ),,...,,,, > k x n k n n S L x n C Sueo a k or ouro lado, se vessemos que a euqação (3.47) fosse sasfea, enão o problema de omzação sera o segune: x C Max ( ) ( ) ( ),,...,,,, > k x n k n n S L x n C Sueo a k 3.9. Rsco de axa de uros Rsco de axa de uros é a exposção de uma nsução fnancera a movmenos adversos nas axas de uros de mercado. O rsco de axa de uro represena uma das prncpas fones de perda poencal para uma nsução fnancera. Tal rsco confgura-se na possbldade de que ocorram varações nesperadas na axa de uros e de que esas conduzam a reduções no avo líqudo das nsuções, e à ncapacdade de pagameno de suas obrgações. função prncpal das nsuções fnanceras é de ser a nermedára enre duas pares, omando assm, os rscos de nermedação. Hoe, o rsco de nermedação prmáro esá relaconado às axas de uros, e uma das grandes razões para al é a grande magnude e freqüênca das osclações percebdas nas

31 63 axas de uros. aceação dese rsco é pare do da-a-da desas nsuções e pode, no caso de bancos por exemplo, ser uma fone mporane de lucravdade. No enano, um excessvo rsco de axa de uros pode sgnfcar uma ameaça às receas e, no caso de um fundo de pensão, um pergo que suas obrgações não seam cumprdas (pagameno de seus pensonsas). Mudanças nas axas de uros afeam o valor dos avos, passvos e nsrumenos fora do balanço, pos, o valor presene dos fluxos de caxa fuuros (e algumas vezes o própro fluxo de caxa) muda quando as axas se aleram. or sso, um processo efevo de gerencameno de rsco que manenha o rsco de axa de uros em níves prudenes é essencal para a segurança e a esabldade de nsuções fnanceras. ara enendermos melhor ese po de rsco, precsamos denfcar as fones exsenes de rsco de axa de uros. Enre elas podemos car: o rsco de reprecfcação, rsco de preço, rsco de curva de uros, rsco de opção, ec. Denre eses, focar-nos-emos mas nos dos prmeros. Rsco de preço é o rsco que o preço de um íulo fluue devdo a fluuações nas axas de uros de mercado. Como sabemos, a relação enre preço e axa é nversa, so é, quando um aumena o ouro dmnu. Logo, o rsco de preço é o rsco de que haa um aumeno nas axas de uros, o que fara com que o preço de um íulo dmnuísse. Rsco de renvesmeno é o rsco de que os pagamenos de cupom não serão renvesdos na axa nerna de reorno promeda ou esperada. Quando se compra um íulo, supõe-se que os fluxos nermedáros serão renvesdos a uma axa nerna de reorno. Mas, se ocorrer uma varação nas axas de uros, a axa de renvesmeno rá se alerar, podendo provocar aumenos ou dmnuções no reorno do íulo. Logo, o rsco de renvesmeno é o rsco de que haa uma queda nas axas de uros. or úlmo, o rsco de curva de uros é o rsco de erros na modelagem do formao da curva, ou em prevsões de varações nconssenes com a realdade. Ese rsco esá relaconado ao rsco de munzação prevamene dscudo. mbos os rscos de preço e o de reprecfcação esão relaconados com duração do porfólo.

32 Ouras formas de combnação de fluxos Exsem dferenes nerpreações a respeo do que se consu um mach. mas comum é a combnação de fluxos de caxa (ou porfólo dedcados). lguns auores consderam a combnação de duração (assm como na esraéga de munzação de múlplos passvos) como uma esraéga de dedcação orfólos de dedcação lernavamene à munzação, o analsa fnancero de um fundo de pensão, por exemplo, podera consrur um porfólo de íulos que gerasse fluxos nermedáros dêncos aos fluxos do passvo. O saldo líqudo sera sempre nulo, ndependenemene das alerações na curva de uros. Nese caso, o rsco da axa de uros esara oalmene mgado (rsco de renvesmeno gual a zero). Comparada à esraéga de munzação, a carera dedcada possu anda a vanagem de não necessar de procedmenos de rebalanceameno. Enreano, apesar da smplcdade, exsem efeos negavos. Como não exse no mercado um avo que case perfeamene com o fluxo de passvo, o nvesdor erá que gasar mas, comprando város íulos, para consegur cobrr no prazo e em valor odos os fluxos do passvo. Ou sea, o cuso será maor do que na esraéga de munzação. Logo, se o obevo, do fundo de pensão é o de proporconar a seus parcpanes uma renda fuura com o menor cuso presene assocado, dado um rsco aceável, o procedmeno de munzação se caracerzará, normalmene, como uma esraéga mas efcene. Em ouras palavras, um porfólo de dedcação é uma écnca de nvesmeno na qual um conuno parcular de íulos é casado com um conuno de passvos a serem pagos no fuuro. Os íulos são escolhdos de forma que o fluxo de caxa do porfólo de avos (prncpal + cupom) se guale ao fluxo de passvos ano no mng quano no valor. ssm como feo na munzação, apresenaremos um exemplo bem smples com o obevo de clarfcar as déas por rás desa écnca. Suponha que deseamos aplcar a écnca de carera dedcada ao segune fluxo de passvo:

33 65 Vencmeno Fluxo no (.5.,) no (.5.,) no 3 (4..,) Tabela 3.3: Exemplo de um fluxo para aplcação da écnca de carera dedcada Suponha anda que os avos dsponíves para casar os fluxos são os segunes: vos reço Valor de face Cupom Vencmeno x % a.a. no y % a.a. no z 95 % a.a. no 3 Tabela 3.4: vos dsponíves para aplcação da écnca de carera dedcada Queremos monar uma carera de avos de forma que o fluxo em cada ano sea gual a zero. Maemacamene queremos que a marz de fluxo de caxa ( ) vezes o veor de quandades ( q )que devemos comprar de cada avo sea gual ao veor de fluxo de passvo ( ), ou sea: q Onde: no no no 3 qx q qy e q z (5) (5) (4) q Efeuando-se os cálculos, chegamos aos resulados: 84,97 q 97,47 undades de cada papel. 3636,36 Logo, o cuso de aqusção da carera de avos é: ( ) + 97,47( ) ,36( 95) , 93 Cuso 84,97

34 66 ode-se comprovar que adqurndo esa carera, o fluxo de caxa nos anos, e 3 será gual a zero. ssm como na esraéga de munzação, écncas de programação lnear podem ser empregadas para se consrur um porfólo de cuso mínmo que case com o fluxo de passvos de um unverso aceável de íulos. ssm como vso no modelo de munzação, sea, o fluxo de caxa no fnal do período para um nvesmeno ncal de no íulo de renda fxa. Enão para cada emos: ( ) ( 3.68),, Sea x a quandade de dnhero nvesda do avo de forma que o fluxo de caxa agregado no empo sea: x, ( 3.69) O problema de alocação óma de avos pode ser formulado como o problema de programação lnear a segur: Mn (, ) Mn x x Sueo a L,,... x Em palavras, a função obevo é mnmzar o cuso do porfólo com um amplo unverso de íulos enquano a resrção garane que haverá caxa sufcene quando o passvo vencer. ara formularmos um modelo mas complexo para careras de dedcação, ulzaremos a segune noação (Zenos (999)): τ : índce de daa de pagameno do passvo τ : nervalo de empo enre os pagamenos de passvo na daa τ e τ τ : valor do pagameno do passvo no empo τ s τ : excesso de caxa no empo τ ρ : axa de renvesmeno e τ. D : valore renvesdo dos fluxos de caxa enre as daas de passvo τ τ

35 67 O número oal de daas de pagameno pode ser muo grande, por sso, ao nvés de olharmos para cada daa, consderaremos somene as daas do fluxo de passvo. Ulzando a noação, podemos calcular o valor do fluxo de caxa de um íulo renvesdo enre as daas de vencmeno de passvo: ( + ρ) τ D C ( 3.7) τ Depos balanceamos os fluxos de caxa em cada daa de passvo. Na daa de vencmeno de passvo, os fluxos renvesdos e os fluxos que vencem são recebdos, o passvo é pago e um possível excesso é carregado aé o próxmo vencmeno de passvo à axa de renvesmeno, logo: τ D τ x + sτ ( + ρ) τ + sτ ( 3.7) Temos anda que mpor uma resrção de não-negavdade no excesso e o modelo esará prono. função obevo aproprada é mnmzar o cuso ncal a carera (cuso de compra de íulos e dnhero ncal em caxa). Sendo τ a daa de lqudação, o modelo de omzação de dedcação se orna o segune: Mn Vx + s Sueo a s τ o D τ x x + s τ ( + ρ ) τ τ + s τ 3... orfólo de dedcação versus munzação esraéga de dedcação apresena algumas vanagens e algumas desvanagens quando comparado com a esraéga de munzação. esraéga de dedcação é muo fácl de ser compreendda e, como vmos, quando os fluxos esão oalmene casados, não há rsco de renvesmeno. or sso, não é necessáro se fazer rebalanceameno. No enano, esa é uma esraéga mas cusosa quando comparada com a munzação pos, emos que assumr que uma axa de reorno conservava do curo prazo será ulzada durane odo o horzone de nvesmeno. lém dsso, consegur uma combnação perfea é muo dfícl, ornando a esraéga nflexível pos, eremos que escolher íulos pelas suas caraceríscas de vencmeno e não pela sua aravdade de nvesmeno.

36 Combnação de duração e combnação de fluxos Nese modelo, combna-se as duas écncas acma (dedcação e munzação). Esa esraéga cra um porfólo que casa a duração dos avos e passvos e adcona a resrção de que o fluxo de caxa sea casado nos prmeros anos, usualmene cnco anos. Esa esraéga em algumas vanagens. Comparada com a munzação, as necessdades de lqudez são fornecdas nos prmeros períodos onde os fluxos esão casados. lém dsso, a maora das mudanças (curvaura, ranslação, ec.) no formao da curva de uros ende a aconecer nos prmeros anos. Enão, casando a prmera pare do fluxo, reduz-se o rsco de renvesmeno e o rsco assocado com varações na curva de uros não-paralelas. desvanagem desa abordagem é que, comparada à munzação, o cuso é muo maor. modelagem maemáca nese caso é a segune (Zenos (999)): Mn Sueo a Vx + s Dτ s τ x x + s Vx + s k x τ ( + ρ) V k τ τ + s τ 3.. s lmações do modelo radconal duração e a convexdade radconas são conceos exremamene smples, o que favoreceu sua grande expansão durane anos. Sem dúvda, esa grande smplcdade exse, prncpalmene, devdo às grandes suposções nas quas a eora se basea. Em parcular, o conceo de duração de Macaulay supõe uma curva de uros plana que se movmena paralelamene e que usa a axa nerna de reorno como a axa de descono dos fluxos de caxa e como faor de rsco que se desea gerencar. O modelo de Fsher-Wel, mesmo elmnando a suposção de curva plana, segue

37 69 consderando que os choques são de mesma magnude (deslocamenos paralelos). lém dsso, ambas as abordagens consderam que as mudanças na curva são nsanâneas, ou sea, uma mudança afea nsananeamene oda a carera. clara rrealdade desas hpóeses, sobreudo a suposção de que a curva se movmena como um odo, movou e em movado o desenvolvmeno na leraura fnancera de fórmulas alernavas que buscam analsar com maor efcáca o rsco de axa de uros condo em careras de renda fxa. Enreano, muas desas novas defnções exsem apenas no plano eórco e o conceo de duração radconal, apesar de suas lmações, connua sendo consderado um nsrumeno básco na gesão de careras. Sem dúvda, o êxo que os modelos mas smples apresenaram em esudos empírcos durane a década de 8, promoveu sua grande dfusão. No enano, seus resulados devem ser analsados com cauela. 3.. Ouros modelos de duração Ouros pos de modelos de duração foram proposos na leraura fnancera com o nuo de soluconar alguns dos problemas condos no modelo radconal. or exemplo, modelo de duração paramérca; as durações dreconas; as durações parcas; as durações esocáscas. lguns deses serão dealhados mas à frene.