UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GUERINO PIROLLO JUNIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO CURITIBA 2009

2 GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO Dsseração apresenada ao Curso de Pós- Graduação em Méodos Numércos em Engenhara do Seor de Tecnologa do Cenro de Esudos em Engenhara Cvl Professor Inaldo Ayres Vera da Unversdade Federal do Paraná, como pare das egêncas para obenção do íulo de Mesre em Cêncas. Orenador: Prof. PhD. Paulo Jusnano Rbero Junor CURITIBA 2009

3 TERMO DE APROVAÇÃO GUERINO PIROLLO JUNIOR GRADUAÇÃO BAYESIANA E PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE APLICADAS À POPULAÇÕES DE FUNDOS DE PENSÃO DO SETOR ELÉTRICO Dsseração aprovada como requso parcal para obenção do grau de Mesre no curso de Pós-Graduação em Méodos Numércos em Engenhara do Seor de Tecnologa do Cenro de Esudos em Engenhara Cvl Professor Inaldo Ayres Vera, da Unversdade Federal do Paraná, pela segune banca eamnadora: Orenador: Prof. PhD. Paulo Jusnano Rbero Junor Unversdade Federal do Paraná Prof. PhD. Kazô Iwakam Belrão Escola Naconal de Cêncas Esaíscas. Prof. PhD. Renao Marns Assunção Unversdade Federal de Mnas Geras Curba, 21 de dezembro de 2009.

4 À Elane, mnha esposa, por er suporado as ausêncas e falas mposas por ese rabalho. À Joana, mnha mãe, por sempre er acredado em mm e por suas consanes orações.

5 AGRADECIMENTOS Ao Pa celesal, pela vda, pelos dons e poras que sempre me abru. Ao professor Paulo Jusnano, por sua dsposção em comparlhar seu grande conhecmeno em Esaísca, por sua ncrível capacdade em ornar assunos ão compleos em lnguagens acessíves e, prncpalmene, por sua orenação. Ao professor Jorge Fesa, pela confança, amzade e pelos anos de convívo na Fundação Copel, que muo conrbuu em mnha rajeóra esudanl e profssonal. Aos colegas auáros Carmem, Lucano e Slvo, por erem nermedado juno às suas Fundações, o fornecmeno de dados para a realzação dese rabalho. Aos colegas de pós-graduação Ana Bearz, Helena e Regnaldo, pela amzade, companhersmo e colaboração recebda durane o curso. À Marsela, por sua presavdade, compeênca e efcênca, sempre smpáca. À odos os professores do PPGMNE, que ambém possuem sua parcela de conrbução à ese rabalho aravés dos conhecmenos repassados. À Fundação Copel, por me dsponblzar o empo necessáro ao esudo, enendendo a relevânca dese rabalho ambém para a endade.

6 RESUMO O processo de envelhecmeno populaconal que vem afeando a população mundal - o qual é caracerzado por quedas sgnfcavas nas aas de moraldade e fecunddade - em afeado os ssemas de prevdênca e segurdade em odo o mundo, alerando-os a adoarem hpóeses bomércas cada vez mas conservadoras, mpacando os cálculos auaras. Essas endêncas já começam a ser conempladas nos cálculos de provsões maemácas e de benefícos aravés do uso de algumas ferramenas de consrução de ábuas de moraldade e projeções de aas de moraldade fuuras. Dane dsso, consderando a população de eposos ao rsco de ses Endades de Prevdênca Complemenar Fechadas do sul do país especfcamene do seor elérco o objevo dese esudo é graduar e projear as aas de moraldade desa população, obendo nformações sobre seus níves de moraldade auas e fuuros, aulando na adoção da hpóese de moraldade geral que melhor refla a moraldade do grupo. Para so, aplcouse a écnca de Graduação Bayesana de Taas de Moraldade ulzando smulação esocásca de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) na população de asssdos das referdas Fundações, consderando os anos de esudo de 2000 a 2008, obendo-se uma ábua de moraldade para as dades enre 42 e 90 anos. Também fo ulzado o modelo demográfco de Lee-Carer para projeção das aas de moraldade graduadas, obendo os respecvos faores de melhora a serem aplcados às mesmas, projeando-as para o fuuro, ornando a ábua na forma geraconal e obendo o comporameno fuuro dos níves de moraldade. A componene k do modelo de Lee-Carer, que corresponde a uma sére emporal que descreve a mudança na moraldade ao longo do empo, fo modelada por um processo ARIMA, o qual fo smulado esocascamene ulzando boosrap paramérco, obendo-se nervalos de confança empírcos para as aas de moraldade observadas. Palavras-chave: Graduação Bayesana. Tabua de Moraldade. MCMC. Lee-Carer. Taas de Moraldade.

7 ABSTRACT The agng process whch comes affecng he global populaon - whch s characerzed by he sgnfcan decreases on he moraly and ferly raes - s affecng he welfare and secury sysems all over he world, warnng hem o adop more conservaves bomerc hypoheses whch mpac he acuaral calculaon. These rends, already begun o be consdered n he mahemacal provsons and benefs calculaon hrough he use of some ools lke he consrucon of moraly ables and fuure moraly raes projecons. Whereupon, consderng he populaon eposed o rsk of s Penson Funds of counry s souhern regon - specfcally of he elecrc secor - he objecve of hs sudy s o graduae and projec he moraly raes of hs populaon o oban nformaon abou he presen and fuure moraly levels, whch wll help on he adopon of general moraly hypohess ha beer reflecs he moraly of he group. For ha, was appled he Bayesan Graduaon Moraly Rae usng sochasc smulaon of Mone Carlo Markov Chan (MCMC) on he rered populaon of he referred funds, consderng he years 2000 o 2008, o oban a moraly able for he ages beween 42 and 90 years old. I was also use he demographc Lee-Carer model for he moraly graduaed raes projecon, geng he mprovemen facors o be appled, projecng hem o he fuure, ransformng he able n he generaonal form and obanng he fuure behavor of he moraly levels. The k componen of he Lee- Carer model, ha correspond o a me seres ha descrbes he change n he moraly over he me, was modeled by an ARIMA process, whch was sochascally smulaed usng paramerc boosrap, geng emprc confdence nervals for he observed moraly raes. Key-words: Bayesan Graduaon. Moraly Table. MCMC. Lee-Carer. Moraly Raes.

8 LISTA DE SIGLAS ARIMA - Auorregressve Inegraed Movng Average BUGS - Bayesan Inference Usng Gbbs Sampler CELOS - Fundação Celesc de Segurdade Socal CGPC - Conselho de Gesão de Prevdênca Complemenar DIC - Devance Informaon Creron EFPC - Endade Fechada de Prevdênca Complemenar ELOS - Fundação Elerosul de Prevdênca e Asssênca Socal FC - Fundação Copel de Prevdênca e Asssênca Socal FIBRA - Fundação Iapu Brasl de Prevdênca e Asssênca Socal FUNCESP - Fundação CESP de Segurdade Socal HMD - Humam Moraly Daabase JAGS - Jus Anoher Gbbs Sampler MCMC - Mone Carlo Markov Chan MH - Meropols Hasngs MLG - Modelo Lnear Generalzado SOA - Socey of Acuares SUSEP - Supernendênca de Seguros Prvados SVD - Sngular Value Decomposon

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO METODOLOGIAS CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA ATUARIAL GRADUAÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE MODELOS BAYESIANOS DE GRADUAÇÃO IMPLEMENTAÇÃO DOS MODELOS DE GRADUAÇÃO BAYESIANA O MODELO DE LEE-CARTER AJUSTE DO MODELO AJUSTE DA COMPONENTE k do MODELO SIMULAÇÃO DA COMPONENTE k E TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE GRADUAÇÃO DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE ANÁLISE DOS DADOS CÁLCULO DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE TESTE DE ADERÊNCIA GRADUAÇÃO BAYESIANA DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE MODELOS DE GRADUAÇÃO BAYESIANA MODELO DE CARLIN MODIFICADO COM β FIXO MODELO COM REPARAMETRIZAÇÃO TIPO BROFFIT MODELO COM FORÇA DE MORTALIDADE TIPO GOMPERTZ MODELO COM FORÇA DE MORTALIDADE TIPO MAKEHAM COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS DE GRADUAÇÃO PROPOSTOS CONSTRUÇÃO DA TÁBUA DE MORTALIDADE BAYESIANA MODELO ESTÁTICO LOCAL MODELO ESTÁTICO GLOBAL ANÁLISE DOS RESULTADOS PROJEÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE TÁBUAS ESTÁTICAS E GERACIONAIS APLICAÇÃO DO MODELO DE LEE-CARTER ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO AJUSTE DE UM PROCESSO ARIMA À COMPONENTE k DO MODELO SIMULAÇÃO DO PROCESSO ARIMA(0,1,1) POR BOOTSTRAP PROJEÇÃO DAS TAXAS DE MORTALIDADE DA TÁBUA BAYESIANA... 93

10 4.4.1 IMPACTOS NAS RESERVAS MATEMÁTICAS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS ANEXO I Quandade Incal de Eposos ao Rsco ANEXO II Quandade de Mores Observadas ANEXO III Taas Bruas de Moraldade ANEXO IV Tábua de Moraldade Bayesana Consruída sob o Modelo Esáco Local ANEXO V Esmavas dos Parâmeros do Modelo de Lee-Carer APÊNDICE

11 1 INTRODUÇÃO Ao longo de oda a hsóra, pessoas com 65 anos de dade ou mas nunca represenaram mas do que 2% ou 3% da população. Porém nos úlmos 150 anos essa proporção subu e já alcança paamares em orno de 15% no mundo desenvolvdo de hoje, se esperando um nível de 25% em 2030, podendo ser maor anda em alguns países da Europa Connenal que envelhecem rapdamene (WATSON WYATT, 1999). Ese rápdo envelhecmeno populaconal, prmeramene fo evdencado em países desenvolvdos, mas já é realdade em países em desenvolvmeno como o Brasl, que aravessa o que se convenconou chamar de ercera fase da ransção demográfca (BELTRÃO; CAMARANO, 1999). Tal ransção é caracerzada por uma queda nos níves de moraldade, seguda depos de um lapso por uma queda nos níves de fecunddade, resulando num ouro período de esabldade. A maor pare dos países europeus levou quase um século para complear sua ransção da fecunddade. Suéca e Inglaerra, por eemplo, levaram cerca de ses décadas (apromadamene de 1870 a 1930) para dmnur em orno de 50% seus níves de fecunddade. O Brasl, por sua vez, epermenou um declíno smlar em um quaro de século (WONG; CARVALHO, 2006). Porano, a Transção de Esruura Eára que o Brasl esá epermenando em odas as suas regões, em sdo eremamene rápda. A Fgura 1.1 represena as evoluções demográfcas das populações da Amérca Lana, Carbe e Brasl, segundo nformações das Nações Undas.

12 12 Fgura 1.1 Evolução Demográfca da Amérca Lana, Carbe e Brasl, consderando o período compreenddo enre os anos de 1950 a O declíno da moraldade no Brasl esá se concenrando nas dades mas avançadas, endo como efeo a aceleração do processo de envelhecmeno, conrbundo ambém para ouras duas alerações da função de sobrevvênca: reangularzação e epansão. A prmera dz respeo ao fao de esar ocorrendo uma grande concenração de mores em orno de uma dade méda de more, a parr da qual a lnha da função começa a se curvar. Aé chegar nese pono médo, as probabldades de sobrevvênca ambém vão aumenando, fazendo com que um maor número de pessoas alcance dades mas avançadas. Já a segunda aleração, é caracerzada pela elevação da dade lme que a população alcança. A Fgura 2.1 lusra a evolução da sobrevda, caracerzada pela reangularzação e epansão da função de sobrevvênca S(), que represena a proporção de sobrevvenes segundo a dade (SANTOS, 2007).

13 13 Fgura 2.1 O gráfco esquerdo represena a evolução da dade na qual ocorre o maor número de óbos, enquano o dreo represena a evolução da dade lme a ser alcançada. Com base na velocdade que o envelhecmeno populaconal vem ocorrendo no Brasl, surgem grandes desafos não só para o governo, que deverá rever e reformular suas polícas sóco-econômcas e de desenvolvmeno, mas ambém para pesqusadores demógrafos, esaíscos, auáros denre ouros no sendo de dedcarem esforços na busca de soluções para o problema, propondo meodologas de adequação ao fenômeno nas mas dversas áreas, sendo uma delas prevdênca e segurdade, a qual é grandemene mpacada. Tas mpacos esão dreamene lgados à necessdade de provsonameno de recursos necessáros ao pagameno de rendas de sobrevvênca aposenadoras e pensões - por empo superor àquele deermnado aravés de ábuas de moraldade esácas, baseadas em eperêncas de ouros países, podendo não refler a moraldade aual e fuura da população braslera, especalmene aquela parcela da população que recebe renda provenene da Prevdênca Complemenar Fechada Fundos de Pensão. Assm, dada a evolução conínua dos níves de moraldade da população que alcançam paamares cada vez menores a escolha das ábuas de moraldade que melhor reflam as níves, se orna uma arefa de erema relevânca por pare das endades de prevdênca e segurdade, endo em vsa que é um nsrumeno ndspensável nos cálculos de rendas de sobrevvênca, conrbuções, prêmos, bem como o dmensonameno das Provsões Maemácas. As meddas que vêm sendo omadas por pare dos ssemas de prevdênca e segurdade, com o objevo de mensurar os níves de moraldade de seus parcpanes e avalar a adequabldade das ábuas de moraldade adoadas, é a realzação de eses de

14 14 aderênca, os quas se baseam nas populações eposas ao rsco e nformações nerenes a elas, as como seu amanho e as dades das pessoas que as compõem. Tas eses são realzados no mínmo uma vez ao ano e geralmene consderam aquela parcela da população que já eseja em gozo de benefco, so é, os parcpanes asssdos. Além desa ferramena de mensuração, ambém esem deermnações de órgãos reguladores deses ssemas num sendo prudencal, esabelecendo parâmeros mínmos a serem adoados quano á moraldade de seus parcpanes. O Conselho de Gesão de Prevdênca Complemenar (CGPC), já emu duas Resoluções: a prmera é a Resolução CGPC N o 18 de 28 de Março de 2006, que esabelece a adoção da ábua bomérca AT-1983 (Annuy Table 1983) como parâmero mínmo de moraldade, cuja epecava de vda (ao nascer) é de apromadamene 79 anos. Já a Resolução CGPC N o 26 de 29 de Seembro de 2008, que é a segunda, esabelece como al parâmero a adoção da ábua bomérca AT-2000 (Annuy Table 2000), desde que observadas as recomendações feas na própra Resolução. Para esa úlma ábua, a epecava de vda ao nascer é de pouco mas de 81 anos de dade. Apesar das meddas adoadas pelos ssemas de prevdênca e segurdade, bem como a aude prudencal do CGPC em esabelecer as ábuas já cadas como parâmeros mínmos de moraldade para as Endades de Prevdênca Complemenar Fechadas (EFPC s), a qual ambém vsa preservar o equlíbro e solvênca dos planos das EFPC s; surge a quesão de quão fdedgnamene as ábuas esaram represenando a real moraldade dos parcpanes desas endades, uma vez que se raam de eperêncas nernaconas. Uma enava de responder a al perguna, é a realzação de eses de aderênca conforme já cado. Todava, a valdade dos resulados da aplcação desa ferramena, esá arelada ao pressuposo esaísco de que a população em esudo deve ser sufcenemene grande, pos só assm o prncípo da aderênca é aenddo. Ocorre que, em váras EFPC s, o amanho das populações sobre as quas se aplcam as eses, são nferores a 3000 parcpanes, mpossblando a afrmação de que o referdo pressuposo enha sdo aenddo. Assm, por se raar de populações pequenas, as conclusões de as eses acabam se fundamenando no prncípo da endênca, que como já é sabdo e comprovado em esudos, é de queda nos níves de moraldade. Nese sendo, o prmero objevo dese rabalho é a consrução de uma ábua de moraldade para dades específcas ulzando o procedmeno de graduação de aas de moraldade, baseada nas eperêncas das EFPC s (consderando uma população de amanho mínmo razoável), de forma a ober um comparavo dos níves de moraldade da população em esudo com aqueles provenenes das ábuas esabelecdas como parâmeros mínmos e ouras que evenualmene são adoadas nas Endades. Já o segundo objevo, consse em

15 15 ober faores de melhora ou escalas de projeções aplcando-os sobre as probabldades de more da ábua consruída, ornando-a geraconal. Assm, busca-se ober os comporamenos dos níves fuuros de moraldade da população em esudo, de forma a possblar uma vsão anecpada dos compromssos das endades com seus parcpanes no fuuro, manendo a solvênca e equlíbro de seus planos. A meodologa ulzada na consrução da ábua consse numa abordagem de nferênca bayesana em conjuno com a écnca de smulação esocásca de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC), por meo do Amosrador de Gbbs (Gbbs Sampler). Aravés de as écncas, foram mplemenados modelos paramércos e não paramércos de Graduação de Taas Bruas de Moraldade. Para cada modelo mplemenado, avalou-se o melhor ajuse aos dados observados e melhor predção dos dados replcados, obendo-se a ábua de moraldade resulane. Faores de melhora ou escalas de projeções para ornar a ábua consruída na forma geraconal, foram obdos medane aplcação do modelo de Lee-Carer, ambém mplemenado esocascamene ulzando boosrap paramérco num processo ARIMA(p,d,q), o qual se ajusa à componene k do modelo, a qual corresponde à uma sére emporal que descreve a mudança na moraldade ao longo do empo. Os dados dsponblzados para o esudo são provenenes de ses EFPC s do sul e sudese do país, a saber, Fundação Copel de Prevdênca e Asssênca Socal, Fundação CEEE, FUNCESP, Fundação Iapu BR de Prevdênca e Asssênca Socal (FIBRA), Fundação Celesc de Segurdade Socal (CELOS) e Fundação Elerosul de Prevdênca e Asssênca Socal (ELOS), endo odas em comum o segumeno de energa elérca. Para cada Endade, os dados referem-se aos parcpanes asssdos (aposenados) no período compreenddo enre os anos 2000 e 2008, consderando o mês de dezembro de cada ano. Tano na mplemenação dos modelos de Graduação Bayesana como na smulação do processo ARIMA(p,d,q) por boosrap paramérco, foram ulzados os programas esaíscos R (R Developmen Core Team, 2009), JAGS (PLUMMER, 2009) e WnBUGS (SPIEGELHALTER; THOMAS; BEST; LUNN, 2003). Os pacoes JAGS e WnBUGS, são versões da lnguagem BUGS (Bayesan Inference Usng Gbbs Sampler), por meo dos quas foram mplemenadas smulações esocáscas por MCMC aravés do Amosrador de Gbbs. O JAGS é desenvolvdo para o ssema operaconal Lnu, podendo ambém ser eecuado sob o Wndows, assm como o WnBUGS. Ambos foram eecuados a parr de programas escros em lnguagem R que se ulzam de nerfaces dsponblzadas por pacoes adconas do R, sendo que para o

16 16 WnBUGS em especal, é necessáro a nsalação do pacoe R2WnBUGS (STURTZ; LIGGES; GELMAN, 2005). As análses e dagnóscos de convergênca das cadeas foram realzados aravés do pacoe coda (PLUMMER; BEST; COWLES; VINES, 2009), nerno ao R. Os sofwares são odos grauos de códgo abero, esando o R dsponível em (hp://cran.rprojec.org/bn/wndows/base/), o JAGS em (hp://www-ce.arc.fr/~maryn/sofware/jags/) e o WnBUGS em (hp:// Fnalmene, a esruuração dese rabalho esá organzado da segune forma: no capíulo 2 são abordadas as meodologas empregadas ano na graduação como na projeção das aas de moraldade, bem como alguns conceos báscos de auára, os quas são essencas. No capíulo 3 é realzada uma análse dos dados e são apresenadas as defnções e aplcações dos modelos de Graduação Bayesana, bem como a consrução da ábua bayesana de moraldade junamene com algumas consderações sobre os resulados alcançados. Já no capíulo 4, é verfcada a adequabldade da aplcação do modelo de Lee-Carer aos dados da população de eposos ao rsco, vsando ornar a ábua de moraldade bayesana na forma geraconal, dscundo os resulados decorrenes da aplcação do modelo e as resrções de sua aplcação aos dados e, por fm, o capíulo 5 apresena as conclusões e sugesões de eensão dese rabalho. Todos os códgos de comandos consruídos para mplemenação das análses, se enconram dsponíves no Apêndce.

17 17 2 METODOLOGIAS Ese rabalho esá esruurado sobre o paradgma de nferênca bayesana para a graduação de aas de moraldade e a écnca de projeção de Lee-Carer (LEE; CARTER, 1992), ambos mplemenados aravés de méodos compuaconalmene nensvos, especfcamene smulação de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC) e boosrap paramérco, respecvamene. No que dz respeo à Graduação de Taas Bruas de Moraldade, os modelos proposos são de esruura herárquca (NEVES, 2005), mplemenados por MCMC. Os modelos são consruídos com base na função de verossmlhança e especfcação das prors dos parâmeros de neresse. Inferêncas são baseadas nas dsrbuções a poseror dos mesmos. Na meodologa de projeção de aas de moraldade, o modelo de Lee-Carer, mescla um modelo demográfco com séres emporas, onde uma de suas componenes é ajusada por um processo ARIMA(p,d,q), o qual fo mplemenado de forma esocásca aravés de boosrap paramérco. Ese capíulo revsa as conceos e écncas, nclundo uma nrodução a conceos báscos de Auára, os quas são fundamenas ano na graduação como na projeção de aas de moraldade. 2.1 CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA ATUARIAL Tano na graduação das aas bruas de moraldade como na projeção das aas graduadas, são ulzados conceos de Auára quando do desenvolvmeno desas eapas do rabalho. As noações ulzadas são unversalmene aceas, buscando aender as convenções deermnadas pelo Inernaonal Acuaral Assocaon s Permanen Comee on Noaon. Pode-se dzer que a probabldade de uma pessoa com deermnada dade, morrer enre esa dade e a dade +n, é o conceo a parr do qual se desenvolvem os demas. Tal probabldade é dada na forma condconal, represenada pela segune epressão: P( X < + n) l l d ( q (2.1) + n n P X + n X ) = = = = n P( X ) l l em que X é uma varável aleaóra conínua que represena a dade de more de um recém nascdo. Na noação auaral, l e l +n são respecvamene os números esperados de

18 18 sobrevvenes às dades e +n, denre o oal de eposos ao rsco no nco da coore hpoéca (l 0 recém nascdos), enquano que n d represena o número esperado de mores enre as dades e +n. A probabldade represenada por n q, é a proporção enre o número de mores ocorrdas enre as dades e +n e o oal de vvos na dade. O índce n geralmene é dado em anos compleos, podendo ambém ser uma fração de ano. Do complemenar de (2.1), obém-se a probabldade represenada por n p de uma pessoa com dade ulrapassar a dade +n, so é, sobrevver à dade +n, dada pela segune epressão: P( X > + n) l 1 p (2.2) + n P ( X + n X ) = = 1 n q = = n P( X ) l Nas epressões acma, quando n é gual a 1, usualmene ome-se o subscro, so é, 1q e 1 p são represenados smplesmene por q e p. Também, da defnção da varável aleaóra conínua X, e sendo F() sua função dsrbução, em-se: F ( ) = P( X ), 0 da qual podemos defnr função de sobrevvênca, denoada por S(), como sendo S ( ) = 1 F( ) = P( X > ), 0 Assm, por convenção, em-se que F(0)=0, logo S(0)=1. Nese pono, podemos nroduzr ouro conceo fundamenal ano para graduação como para projeção de aas de moraldade, denomnado força de moraldade, denoada por µ. A aplcação dese conceo, não se dá somene em análse de sobrevvênca, onde µ é chamada varação nsanânea da nensdade de more, ou anda, rsco nsanâneo de more; mas ambém se aplca em eora da confabldade, na qual é chamada aa de falha. No coneo auaral, a varação nsanânea da nensdade de more pode ser enendda como a probabldade de uma pessoa de dade represenada por () na noação auaral morrer denro de um período relavamene curo, que geralmene é menor que um ano. Nese caso, () morrera anes de angr a dade +, com sendo uma fração de ano. Logo, consderando que 0, al probabldade ( µ ) pode ser represenada em ermos de F() e S(), da segune forma:

19 19 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( S S S S S F F F X P X P X P X X P = + = + = < + < = + < = µ (2.3) Anda, usando a noação de lme, a represenação de µ pode omar a segune forma: ) ( ) ( ' ) ( 1 ) ( ) ( lm S S F F z F z = = = + µ (2.4) em que 0 = z. Também, uma vez defnda µ, pode-se epressar q e p (com sufcenemene pequeno) em função da mesma, conforme segue: + = s ds p q 0 µ e = + s ds p 0 ep µ Especfcamene no coneo de graduação - a qual se dará em função da força de moraldade - como o objevo é ober probabldades anuas de more em cada dade (q ), rabalha-se com a segune relação (BOWERS, 1997): ) ep( 1 q µ = (2.5) logo, em-se que ) 1 ln( q = µ (2.6)

20 De acordo com a smplfcação conda em Neves (2005), consdera-se µ consane em cada faa ou nervalo de um ano de dade, a parr de uma cera dade, so é, enre e +1, +1 e +2, ec. Assm, µ = θ e assume-se que θ θ + 1, em que =1,...,k represenam as classes de dade, sendo k a úlma classe. Subsundo em (2.5), em-se: 20 q µ = θ, + 1 y + e 1 = 1 ep( ), com classes de dade = 1,..., k + θ y (2.7) Porano, nos modelos que serão empregados na graduação, as probabldades de more obedecem à relação (2.7). Também, a equação (2.6) será empregada na obenção de forças de moraldade a parr das probabldades de more q obdas de ábuas de moraldade comumene adoadas nas EFPC s. Uma vez consruída a ábua de moraldade aravés do modelo de graduação escolhdo, será avalado o mpaco nas Reservas (Provsões) Maemácas, decorrene da aplcação das aas de moraldade graduadas no dmensonameno de as reservas. Tal dmensonameno se dará aravés da mulplcação do valor da renda mensal (anualzada) de um asssdo (aposenado) pelo valor de uma anudade mensal, a qual é calculada com base na probabldade de more (q ) do referdo asssdo, na respecva dade. Esa anudade é defnda como o valor presene auaral de uma renda aleaóra valíca, de valor unáro, posecpada e fraconada em m períodos, paga a uma pessoa de dade, sendo dada pela segune epressão: a ( m) = N D m + 2m ϖ 1 = D k 0 + k = D m + 1 2m em que D ϖ ( 1+ j e = = D k 0 + k = l ) N são chamados comuações, l já fo defndo anerormene, represena a dade, j é a aa de descono auaral e m represena o número de períodos em que é fraconado o ano para efeo dos pagamenos da renda valíca. A aa de desconono auaral j merece desaque, esudos na área econômca comprovam que a endênca é de queda na aa de juro, de forma que já esem algumas EFPC s adoando aas de descono auaral de 5% ou 5,5% ao ano, por conservadorsmo. Todava, a maora das endades de prevdênca e segurdade anda adoa esa aa como sendo 6% ao ano, razão pela qual ambém consderaremos ese valor nese esudo.

21 Nese rabalho, os eposos ao rsco recebem rendas mensas, logo o número de fraconamenos do ano é gual a 12, so é, m=12. Porano, emos que: 21 a (12) = N D A referda anudade ambém será ulzada na realzação do ese de aderênca para avalação da adequabldade das ábuas AT-1949, AT-1983 e AT-2000 à moraldade da população eposa ao rsco. 2.2 GRADUAÇÃO DE TAXAS DE MORTALIDADE Quando da consrução de uma ábua de moraldade com base na eperênca de uma cera população eposa ao rsco, prmeramene calcula-se as aas bruas de moraldade em odas as dades para esa população, aravés da segune equação: o o l l+1 v = = e d e o (2.8) em que é a dade de eposção ao rsco, e é a quandade cenral de eposos ao rsco observados nesa dade, sendo o l e o l 1 o d represena o número de mores observado enre as dades e +1, + os números de eposos ao rsco observados nas dades e +1, respecvamene. A quandade cenral de eposos ao rsco é dada por: e l = o + l O comporameno das aas bruas de moraldade calculadas, geralmene é um ano erráco, ndcando ausênca de suavdade e monooncdade crescene em relação à dade, dado que ese é o comporameno esperado da moraldade humana a parr de cera dade. Para nduzr ese comporameno, ulza-se um processo de suavzação das aas bruas de moraldade que, além de evar o crescmeno brusco das aas de moraldade, vsa maner a monooncdade desejada das mesmas, bem como conornar o problema da fala de

22 22 nformação nas dades em que não se observou eposos ao rsco. Ese processo é chamado graduação de aas bruas de moraldade e, aravés dele, são obdas as probabldades de more q da população em cada dade, as quas rão compor a ábua de moraldade, que é o nsrumeno ndspensável em cálculos e avalações auaras. Os modelos de graduação de aas de moraldade são classfcados em paramércos e não paramércos, so é, globas e locas. No prmero caso, pressupõe-se que a moraldade do grupo de eposos ao rsco obedece alguma le de moraldade, na qual se basea alguma função de sobrevvênca válda para odas as dades. Daí o fao de serem chamados modelos paramércos ou globas. Já os modelos locas êm como faor prncpal o peso dos dados, não obedecendo a uma le de moraldade específca. Também, a quandade de eposos ao rsco em deermnada dade nfluenca o ajuse do modelo. Se esa quandade for basane reduzda para uma dade específca, sso faz com que se aumene a ncereza sobre a aa de moraldade graduada naquela dade MODELOS BAYESIANOS DE GRADUAÇÃO Os modelos de graduação ulzados nese rabalho - ano locas como globas - possuem a esruura herárquca bayesana, os quas são proposos em Neves (2005), cujo objevo é graduar as aas bruas de moraldade em função da força de moraldade, as quas são obdas a parr das ábuas bomércas usualmene adoadas nas EFPC s, aravés da aplcação da relação (2.6). Os modelos locas de graduação bayesana são baseados nos modelos de Broff (1998) e Carln (1992) conforme descro em Neves (2005), ao passo que os modelos globas são baseados nas les de moraldade de Gomperz e Makeham, adapados para um enfoque bayesano (NEVES, 2005). A abordagem bayesana do processo de graduação consse na nferênca sobre os parâmeros desconhecdos, sendo agregados aos dados alguns conhecmenos ncas aravés da arbução de dsrbuções a pror aos parâmeros de neresse, que nese caso são as forças de moraldade. Desa forma, odos os parâmeros são raados como quandades aleaóras e as nferêncas são feas sobre a dsrbução a poseror dos parâmeros de neresse, a parr da qual são calculadas as probabldades de more q de acordo com (2.7). O processo de nferênca nese caso é mplemenado por um algormo de MCMC que fornece amosras da dsrbução a poseror dos parâmeros. O algormo MCMC consse em combnar a verossmlhança Posson para as mores observadas d com as prors para θ.

23 Com so a cada r-ésma eração são geradas amosras 23 r d da predva do número de mores. A parr deses valores, as forças de moraldade fuuras θ = d / e e as probabldades de r r r r more fuuras q + 1 = 1 ep( θ ) são calculadas para as dades, +1,...,+k-1, com =1,...,k represenando as classes de dades. Esas probabldades são o objevo fnal do processo de graduação. Também, para odos os modelos de graduação, é assumdo que d θ segue uma dsrbução de Posson( e θ ), com e sendo a quandade cenral de eposos ao rsco para a classe de dade. Fnalmene, os esmadores bayesanos mas comuns para os parâmeros de neresse, são a méda, moda e medana da dsrbução a poseror deses parâmeros. Nese rabalho, o esmador das probabldades de more fuuras será a esperança da dsrbução predva que, avalada no coneo de nferênca por MCMC, é smplesmene a méda das amosras da poseror. Desa forma, as nferêncas são neramene baseadas nas dsrbuções a poseror, consundo a essênca da nferênca bayesana, que em resumo, consse de quaro aspecos fundamenas: Informação a Pror: Todos os problemas são úncos e possuem seus própros coneos. Tas coneos permem deduzr nformação a pror, sendo a formulação e eplcação de al nformação, o que esabelece um aspeco parcular da nferênca bayesana. Probabldade Subjeva: A esaísca clássca depende da defnção frequensa de probabldades, a qual esá alcerçada na realzação de um número sufcenemene grande de vezes de um epermeno. Por ouro lado, a nferênca bayesana formalza eplcamene a noção de que odas as probabldades subjevas dependem da crença ndvdual e conhecmeno dsponível. Porano, uma análse bayesana é personalzada de acordo com as especfcações da crença a pror de cada ndvíduo, a respeo do parâmero de neresse θ. Assm, a nferênca é realzada com base na dsrbução a poseror de θ a parr da especfcação de uma dsrbução a pror de θ. Conssênca Própra: O raameno do parâmero θ como sendo aleaóro, epressando assm a ncereza sobre ese, mplca que odo o desenvolvmeno da

24 24 nferênca bayesana surge apenas da eora de probabldade. Iso em muas vanagens, e sgnfca que odas as quesões a respeo da nferênca, podem ser dreconadas como afrmações probablíscas sobre θ, que enão se deduz dreamene da dsrbução a poseror. Ausênca de Procedmeno ad hoc: No coneo de nferênca clássca não se pode fazer afrmações probablíscas sobre o parâmero θ. Város créros são desenvolvdos para julgar se um parcular esmador é em algum sendo bom. Iso em levado à prolferação de procedmenos, freqüenemene conflanes. A nferênca bayesana descara esa endênca de crar créros ad hoc, julgando e comparando esmadores com base na dsrbução a poseror, para epressar apenas em ermos probablíscos, oda a nferênca sobre o parâmero θ desconhecdo. Na mplemenação de nferênca bayesana, a obenção de poserors é faclada quando esas possuem dsrbução na mesma famíla da pror, sendo necessára apenas alguma aualzação dos parâmeros da dsrbução a pror com base na nformação conda nos dados. Tal fao caracerza a conjugação. A Tabela 2.1 coném algumas famílas de dsrbuções a pror conjugadas. Tabela Famílas padrão de dsrbuções a pror conjugadas Verossmlhança Pror Poseror X ~ Bnomal ( n, θ ) Bea ( p, q) Bea( p +, q + n ) + = X1,..., X n ~ Posson( θ) Gama ( p, q) n Gama( p, q n ) 1 X,..., X n ~ N ( θ ; τ ), τ conhecdo 1 N ( b, c 1 ) 1 + cb + nr 1 N, c + nτ c + nτ + =1 X1,..., X n ~ Gama( k, θ ), k conhecdo Gama ( p, q) n Gama ( p + nk, q ) + = X1,..., X n ~ Ge( θ) Bea ( p, q) n Bea ( p + n, q ) X,..., X n ~ BnomalNegava( r, ) Bea ( p, q) Bea( p + r, q + r) 1 θ 1 n í IMPLEMENTAÇÃO DOS MODELOS DE GRADUAÇÃO BAYESIANA

25 Os modelos de graduação bayesana serão mplemenados com o uso de méodos compuaconalmene nensvos, ulzando smulação esocásca de MCMC por meo do Amosrador de Gbbs. Aravés dos méodos compuaconalmene nensvos, que nese caso se classfcam em compuação para nferênca (COLES, 2007), fo possível a avalação de negras compleas decorrenes dos modelos em quesão, represenadas pela consane normalzadora na aplcação do Teorema de Bayes. Essa compledade orna nvável a realzação de nferênca eaa para a obenção das poserors das aas graduadas. O méodo de smulação de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC), é ulzado aqu para gerar amosras a parr de uma dsrbução fácl de ser amosrada, devdo à mpossbldade de se amosrar dreamene da dsrbução de neresse. No caso do MCMC va Amosrador de Gbbs, amosra-se das dsrbuções condconas compleas. O méodo é eravo, baseado em cadeas de Markov, de forma que as observações geradas não são ndependenes. Todava, so não causa problemas, devdo ao grande número de erações realzadas, bem como o nervalo enre as observações redas no processo de smulação (hnnng) que, dependendo de sua freqüênca, dmnu a auocorrelação enre as observações. Uma vez obdas as amosras da dsrbução de neresse, se orna possível calcular esmavas amosras de caraceríscas desa dsrbução. No caso das probabldades de more esmadas qˆ, esas são dadas pelas médas dos valores r q obdos na smulação. As cadeas de Markov são geradas aravés do algormo Meropols-Hasngs (HASTINGS; 1970), por um longo período, de forma que sejam: 25 homogêneas: as probabldades de ransção de um esado para o ouro são consanes; rreduíves: cada esado pode ser angdo a parr de qualquer ouro em um número fno de erações; Um caso especal do algormo Meropols-Hasngs (MH) é o Amosrador de Gbbs (GEMAN & GEMAN, 1984), o qual já vem sendo ulzado há basane empo, mplemenado em sofwares como o WnBUGS e JAGS. Neses programas, caso seja possível usar eclusvamene um algormo de Amosrador de Gbbs, não há necessdade de calbração aravés dos parâmeros da proposal, uma vez que o uso de condconas compleas elmna o passo de rejeção/aceação caracerísco do MH. Cada novo valor gerado aravés do Amosrador de Gbbs é sempre aceo na cadea e as ransções de um esado para ouro são feas de acordo com as dsrbuções condconas compleas, que nese caso, correspondem

26 às dsrbuções das probabldades de more fuuras,+1,...,+k-1. r q , com =1,...,k, para as dades A convergênca das cadeas geradas por MCMC, não é auomáca. Prmeramene é necessáro cero número de realzações da cadea aé ober a convergênca para a dsrbução esaconára. Essas prmeras realzações são descaradas poserormene, servndo apenas para esablzar a cadea, sendo ese período conhecdo como burn-n (período de aquecmeno), e seu amanho (número de realzações) dependerá da calbração do algormo. Alguns programas podem fazer a calbração nernamene e, o número de realzações a íulo de burnn, geralmene é adoado como sendo a meade do oal de erações. Enreano, não há garana de convergênca aravés desses créros auomácos e a calbração adequada deve ser nvesgada pelo usuáro. Para sso, é usual a realzação de eses de dagnóscos de convergênca das cadeas, como por eemplo os mplemenados no pacoe coda do programa R. 2.3 O MODELO DE LEE-CARTER O modelo de Lee-Carer (LEE; CARTER, 1992), é o méodo de projeção de aas de moraldade adoado nese rabalho. Busca-se aqu ober os faores de melhora (mprovemen) para projeções das aas de moraldade graduadas fuuras, com base na eperênca das EFPC s parcpanes dese esudo. Traa-se de um méodo erapolavo, so é, baseado na projeção de endêncas hsórcas e padrões eáros da moraldade para o fuuro, nclundo algum elemeno de julgameno subjevo, como por eemplo, a escolha do período sobre o qual as endêncas serão deermnadas. Ese méodo fo apresenado por Ronald Lee e Lawrence Carer no nco da década de 90, aplcado ncalmene em dados de moraldade da população amercana no período de 1900 a 1989, com um horzone de prevsão de 76 anos. Desde enão, adquru cera populardade, endo sdo aplcado com sucesso não só nos EUA, mas ambém em ouros países como: Canadá, Chle, Japão, França, Alemanha, denre ouros (CMIB, 2004). No Brasl, ambém já fo aplcado em dados da população (FIGOLI, 1998), e recenemene, ulzado em um esudo para obenção de escalas de projeção (faores de mprovemen) com o nuo de consrur prevsões de moraldade com base na eperênca de moraldade da população da Inglaerra e País de Gales (SANTOS, 2007). Gros e Kng (2007) apresenam uma revsão críca da meodologa proposa por Lee e Carer (1992), eplorando

27 27 propredades do modelo e dscundo sua esmação, adequação e mplemenação em dversos coneos. O méodo é uma combnação de um modelo demográfco blnear nas varáves (dade) e (ano calendáro) com um modelo de séres emporas, permndo a obenção de nervalos probablíscos para as respecvas prevsões. O modelo pode ser esmado a parr de uma marz de aas específcas de moraldade por dade, para dversos períodos passados, obendo-se um índce emporal do nível geral da moraldade. Embora smples e parcmonoso, é alamene esruurado, pcamene capurando quase oda a varação nos dados (CMIB, 2004). Algumas de suas vanagens são as segunes: perme que as aas de moraldade decresçam de forma eponencal ao longo empo, não sendo necessáro esabelecer um lme superor arbráro ou raconalzar de alguma forma a desaceleração dos ganhos na esperança de vda; é possível se ober de forma ndrea a moraldade para períodos nos quas não se dspõe de aas de moraldade específcas, medane erapolação. O méodo ambém apresena lmações, pos não ncorpora: nformação sobre avanços na medcna; aleração do coneo sóco econômco; aleração de eslo de vda; nformação sobre o aparecmeno de novas doenças; Mesmo com as lmações menconadas, o méodo em sdo aplcado em esudos de moraldade por causa específca em muos países e em város períodos de empo, erapolando seu coneo ncal de aplcação. Conudo, váras desas aplcações não êm sendo (GIROSI; KING, 2007). O méodo consse em decompor a moraldade por dade em duas componenes, um índce de moraldade varando no empo, k, e um conjuno de coefcenes para as dades. O modelo em a forma: log m, = a +bk +ε,, com = 1,..., X e = 1,..., T (2.9)

28 28 em que m, é a aa de moraldade na dade e no ano calendáro ; com méda zero e varânca 2 σ ε ; os coefcenes ε, é um erro aleaóro a descrevem a forma geral do perfl de moraldade por dade; os coefcenes b descrevem o padrão de desvos do perfl da dade conforme o parâmero k vara. Se o coefcene b é parcularmene alo para algumas dades, so sgnfca que as aas de moraldade mudam mas rapdamene nessas dades. Se os b são guas, enão as aas de moraldade mudam à mesma velocdade em odas as dades. O parâmero k corresponde a uma sére emporal que descreve a mudança na moraldade ao longo do empo. Se k dmnu, enão as aas de moraldade dmnuem, e se aumena, as aas de moraldade aumenam. Os coefcenes mudança global na moraldade afea as aas na dade em quesão, so é: b deermnam como esa log ( m ), k = b Se kdecresce lnearmene, enão m, decresce eponencalmene em cada dade, a uma aa que depende de b, a menos que b seja negavo, caso no qual m, aumena. O modelo não especfca escolhas úncas para os parâmeros, pos b e k aparecem apenas aravés de seu produo b. Freqüenemene mpõem-se as resrções b = 1 e k k = 0, para mpor uncdade. modelar Lee e Carer ambém sugerram o uso de um modelo de séres emporas para k. As projeções baseadas em um modelo de Lee-Carer comparlham muas das caraceríscas de prevsões em séres emporas. Uma vez ajusado o modelo, k é projeado de forma a dar as aas de moraldade para anos fuuros. Uma escolha popular para a modelagem de k é o modelo ARIMA(0,1,0). O fao dessa componene ser modelada por processos da classe ARIMA (BOX; JENKINS, 1976), pressupõe que o hsórco passado no qual o modelo se basea para fazer erapolações, seja sufcenemene grande. Logo, as prevsões podem esar compromedas se o hsórco dos dados não for relavamene longo. Booh e al (2006) comparam varações e eensões de prevsão de moraldade aplcando o

29 29 méodo em populações de 10 países e não enconram dferenças enre os méodos consderados. Eses méodos são: o modelo de Lee-Carer em sua forma clássca mas 4 varações do modelo, sendo a prmera segundo Lee-Mller, a segunda de acordo com Booh- Mandonald-Smh, a ercera segundo Hyndmann-Ullah e a quara conforme De Jong-Tckle. A segur é descro o méodo de ajuse do modelo adoado nese rabalho. Gros e Kng (2007) apresenam e dscuem alernavas de ajuse AJUSTE DO MODELO Usualmene, o processo de ajuse do modelo demográfco é efeuado em duas eapas: esmação dos parâmeros a, b e k e poseror reesmação de óbos ajusado concda com o numero de óbos efevamene verfcado. Uma solução eaa de mínmos quadrados para os parâmeros k, para que o número de a, b e k é obda aravés da aplcação do méodo da decomposção em valores sngulares (Sngular Value Decomposon SVD). A SVD é aplcada à marz dos logarmos das aas de moraldade, após lhe er sdo subraída a méda emporal do logarmo das aas de moraldade específcas por dade. Os prmeros veores dreo e esquerdo e o respecvo valor sngular provenenes da aplcação do SVD à marz, após a normalzação, fornecem uma solução únca para (2.9). Uma vez geradas as esmavas para a, b e k com base na marz dos logarmos das aas de moraldade e não na marz de aas de moraldade; o número oal de óbos obdo pela aplcação das aas de moraldade esmadas à dsrbução por dade da população, em geral, não concde eaamene com o número oal de óbos observados. Lee e Carer (1992) nroduzram uma nova eapa na esmação de k, ajusando-o de forma a que, para a esruura eára da população e para os coefcenes a e b prevamene esmados, produza eaamene o número oal de óbos observados para o ano em quesão. Logo = + D [( N, ep( a kb )] (2.10) em que D é o número oal de óbos observado no ano e eposa ao rsco da dade no ano. N, corresponde à população

30 AJUSTE DA COMPONENTE k do MODELO Uma vez ajusado o modelo demográfco, o prómo passo é modelar k, como um processo esocásco de séres emporas. Para ano, Lee e Carer (1992) ulzaram a meodologa Bo & Jenkns (BOX; JENKINS, 1976), aravés de um modelo ARIMA de ordem (0,1,0), ou seja, um passeo aleaóro com um ermo consane, k = c γ. k Com base nas esmavas do modelo seleconado, obém-se a prevsão do índce de nível de moraldade, k, para um dado horzone emporal. Conjunamene com a prevsão ponual, são obdos nervalos de probabldade para a prevsão de k. Ese é um dos aspecos mas mporanes do méodo de Lee-Carer, uma vez que perme a consrução de as nervalos SIMULAÇÃO DA COMPONENTE k E TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE Nese rabalho serão nvesgados os resulados da aplcação do modelo de Lee- Carer ajusado aos dados da Inglaerra e País de Gales - consderando o período enre 1950 e na projeção de aas de moraldade da população objeo dese esudo. O ajuse do modelo a esa eperênca esrangera, é devdo à ndsponbldade de um hsórco de dados sufcenemene grande e que refla a eperênca das EFPC s. Logo, para esa avalação, serão realzadas smulações da componene k do modelo de Lee-Carer ajusado, aravés de boosrap paramérco aplcado ao modelo ARIMA(p,d,q) que se ajusa a esa componene. O boosrap perme a obenção da varabldade esperada segundo o modelo mplemenado como descro a segur. Para cada valor de k smulado, será obda uma sequênca de aas cenras de moraldade m,, uma para cada dade, conforme segue: k k k (1) (2) ( r) m m m (1), (2), ( r),, m, m..., m (1) + 1, (2) + 1, ( r) + 1,,..., m,..., m,..., m (1) + j, (2) + j, ( r) + j, Logo, cada sequênca de aas cenras de moraldade será gerada para as dade, +1,...,+j, sendo k, k,..., k os valores smulados de k, com r sendo o oal smulações e um ano (1) (2) ( r ) calendáro específco. Desa forma, para cada ano calendáro, serão geradas r sequêncas de

31 31 aas cenras de moraldade m,, sendo que das r sequêncas geradas, serão omados os valores mámo e mínmo de cada aa cenral gerada, obendo-se os lmes superor e nferor de um nervalo de confança empírco para as aas cenras de moraldade. Após a obenção deses nervalos, serão comparadas as aas cenras de moraldade obdas para a população em esudo, com aquelas geradas no processo de smulação. Caso as aas cenras de moraldade da população em esudo se suem enre os lmes superor e nferor do nervalo de confança - consderando um ano específco - enão o modelo de Lee-Carer ajusado a eperênca nglesa será razoável na projeção de aas de moraldade da população em esudo. Quano ao número de smulações para geração dos nervalos de confança empírcos, Marro (1979) dscuu os aspecos écncos relaconados ao número necessáro de acordo com níves de confança pré-esabelecdos. Uma regra consagrada pela práca é a de se usar 19 smulações para 90% de confança, 99 smulações para 95% de confança e 499 smulações para 99% de confança. Nese esudo serão usadas 99 smulações, vsando ober nervalos de confança empírcos de 95%.

32 32 3 GRADUAÇÃO DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE Os modelos de graduação ulzados nese rabalho são aqueles proposos em Neves (2005), os quas esão alcerçados sobre a nferênca bayesana e mplemenados de forma esocásca. Assm, ese capíulo esá dvddo em duas pares: análse eploraóra dos dados, e cálculo das aas bruas de moraldade, segudo das defnções e aplcações dos modelos de graduação bayesana, consrução da ábua bayesana de moraldade e algumas consderações sobre o uso da meodologa no coneo dos dados raados aqu. Os dados ulzados são provenenes de ses EFPC s do seor elérco: Fundação Copel de Prevdênca e Asssênca Socal (FC), Fundação CEEE, FUNCESP, Fundação Iapu BR de Prevdênca e Asssênca Socal (FIBRA), Fundação Celesc de Segurdade Socal (CELOS) e Fundação Elerosul de Prevdênca e Asssênca Socal (ELOS), endo odas em comum o segumeno de energa elérca. Para cada Endade, os dados referem-se aos parcpanes asssdos (aposenados) no período compreenddo enre os anos 2000 e 2008, consderando o mês de dezembro de cada ano. Anda, os parcpanes consderados foram aqueles que se aposenaram por empo de servço, dade, especal e ouras aposenadoras não decorrenes de nvaldez, de forma a ober as aas de moraldade geral da população. A congregação dos dados das ses endades vsou ober uma população de amanho razoável, buscando-se ober um esudo mas conssene sobre a moraldade dos parcpanes das mesmas. Com ese amanho de população, é possível a graduação das aas de moraldade agregando ambos os seos (unsse), devdo a uma quandade grande o basane de eposos ao rsco e mores observadas. Conudo, quando separados por seo, o numero de eposos ao rsco do seo femnno é basane reduzdo, conforme mosra a Fgura 3.3, não se observando mores na maora das dades, de forma que se orna mpossível graduar as aas de moraldade para o seo femnno. Da mesma forma que em Neves (2005), rabalhou-se com a quandade cenral de eposos ao rsco e em cada dade e ano de esudo. Também, devdo ao conrole rgoroso da movmenação da população, o únco movo de eclusão de um parcpane denre os eposos ao rsco é a ocorrênca do eveno more. O número de óbos apurado em cada ano de esudo, se dá aravés da comparação enre o número de eposos no mês de dezembro de um deermnado ano com o número de eposos em dezembro do ano subseqüene. Desa forma, se uma pessoa enrar em aposenadora num deermnado ano, a parr do mês de

33 33 janero, vndo a falecer anes de dezembro do mesmo ano, e mesma será gnorada, não sendo consderada enre os eposos ao rsco nem enre os óbos ocorrdos. Todava, suações como esa são raras. 3.1 ANÁLISE DOS DADOS A Tabela 3.1 resume os dados obdos das EFPC s ndcando a eposção, enradas e saídas anuas. Tabela Movmenação de eposos ao rsco no nco, meo e fm de cada ano, agregando odas as EFPC s e não segregado por seo. Ano Eposos Novos Obos Eposos Eposos nco do ano enrados ocorrdos fm do ano meo do ano Observe-se que há um aumeno subsancal no número de novas enradas no ano de Ese aumeno é devdo à nclusão dos dados da Fundação Elerosul (ELOS) no esudo somene a parr de dezembro de 2003, elevando o número de eposos ao rsco no níco de O movo fo a prvazação de pare da companha Elerosul, a qual fo ncorporada pela empresa belga Tracebel. Desa forma, os dados da ELOS ulzados aqu, se referem à pare da companha que não fo prvazada, dsponíves somene a parr de Durane o ano de 2006, ambém se observou um aumeno sgnfcavo no número de novos enrados, embora não ão epressvo quano aquele ocorrdo em Ese aumeno é devdo à concessão de novas aposenadoras pela FIBRA e Fundação Copel, que em 2006 angu paamares superores aos anos anerores. Anerormene ao ano de 2006, eram conceddas em méda 22,8 e 48 novas aposenadoras por ano pela FIBRA e Fundação Copel, respecvamene. Ese aumeno verfcado em 2006 fo causado pela nsução de Planos de Demssões Incenvadas pelos parocnadores desas endades. Todava, nos anos de 2007 e 2008, o número de novas aposenadoras para esas duas endades, volou a se comporar prómo aos paamares verfcados anerormene a 2006.

34 34 Eposos Idades Fgura Comporameno dos eposos ao rsco de more por dade e ano de esudo, para ambos os seos, consderando odos os anos e endades. Eposos Idades Fgura 3.2: Comporameno dos eposos ao rsco de more por dade e ano de esudo, do seo masculno, consderando odos os anos e endades.

35 35 Eposos Idades Fgura 3.3: Comporameno dos eposos ao rsco de more por dade e ano de esudo, do seo femnno, consderando odos os anos e endades. As Fguras 3.1, 3.2 e 3.3 apresenam o comporameno dos eposos ao rsco segundo a dade, para ambos os seos, somene para o seo masculno e para o seo femnno, respecvamene. Evdenca-se nas rês fguras, a elevação do número de eposos ao rsco nos anos de 2004 a 2008, se comparado aos anos de 2001 a 2003, devdo à nclusão da ELOS no esudo no fnal do ano de Anda, ndependenemene dese aumeno no número de eposos, percebe-se que as dades modas de eposção ao rsco geralmene são 55 anos - para unsse e seo masculno - com eceção dos anos de 2001 e 2002, as quas são 48, 49 anos, respecvamene. Já para o seo femnno, a dade modal de eposção se orna mas elevada à medda que se avança nos anos. A Tabela 3.2 apresena as dades modas com seus respecvos números de eposos.

36 36 Tabela Quandade de eposos ao rsco em cada dade modal, para cada ano de esudo, separado por seo. Unsse Seo Masculno Seo Femnno Ano Idade Qde Idade Qde Idade Qde Modal Eposos Modal Eposos Modal Eposos Devdo à dsponbldade dos dados da ELOS somene a parr de dezembro de 2003, resrngmos os anos de esudo ao período de 2004 a 2008 para efeo de cálculo das aas bruas de moraldade e respecvas graduações, de forma a evar resulados dsorcdos, especfcamene para o ano de 2003, no qual a quandade de eposos aumenou ecessvamene, porém não sendo possível a observação dos óbos que ocorreram. 5 4 Ano Idade Fgura 3.4 Gráfco comparavo das dades de ocorrênca de óbos unsse quano à dspersão, endênca cenral e meddas separarzes, segundo o ano de esudo. A Fgura 3.4 resume as dades de ocorrênca de óbos, para os anos de 2004 a 2008, em que o bo-plo da lnha 1 corresponde ao ano de 2004, o da lnha 2 corresponde ao ano de

37 e assm sucessvamene. A Tabela 3.2 mosra que as dades de 55 e 56 anos são as que conêm maor número de eposos ao rsco, ano unsse como para o seo masculno. Percebe-se da Fgura 3.4 que enre as dades de 60 e 65 anos ocorre uma maor quandade de mores, sendo que a dade que apresena maor proporção de óbos ende a aumenar com o passar dos anos, conforme demonsra a Tabela 3.3 que apona a evolução da dade méda de ocorrênca de óbos, bem como ouras meddas relaconadas a essas dades. Tabela Resumo descrvo das dades de ocorrênca de óbos unsse, como meddas de endênca cenral e separarzes, segundo o ano de esudo. Ano Meddas mnmo o quarl moda medana méda 62,09 64,6 64,49 65,2 67,62 3 o quarl mámo Era-se da Tabela 3.3 que no período compreenddo enre 2004 e 2008, a faa eára com maor eposção ao rsco, é de apromadamene 55 a 71 anos, correspondene à faa eára compreendda ene o 1º e 3º quars apromadamene. Também, abao das dades correspondenes a 42 anos e acma de 90 anos, esem muo poucas mores observadas. Desa forma, dada a baa ocorrênca de mores nesas faas eáras, opou-se por mpor uma segunda resrção aos dados, graduando as aas bruas de moraldade apenas para as dades na faa de 42 a 90 anos e, anda assm, não se observou óbos em algumas dades para os anos de esudo, conforme mosra a Tabela 3.4. Tabela 3.4 Idades nas quas não se observou óbos em cada ano de esudo, consderando ambos os seos. Anos de Esudo Idades sem óbos

38 CÁLCULO DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE O cálculo das aas bruas de moraldade para cada ano de esudo e dade, é realzado de acordo com (2.8), dvdndo o número de mores observadas em cada dade pela quandade cenral de eposos ao rsco. As aas bruas de moraldade unsse, consderando os anos de 2004 a 2008 e o nervalo de dade enre 42 e 90 anos, esão dsponíves no Aneo III. A Fgura 3.5 apresena o comporameno desas aas para cada ano de esudo T a a s B r u a s Unsse Masculno T a a s B r u a s Unsse Masculno Idades Idades T a a s B r u a s Unsse Masculno T a a s B r u a s Unsse Masculno Idades Idades 2008 T a a s B r u a s Unsse Masculno Idades Fgura Comporameno das aas bruas de moraldade por dade e seo, para cada ano de esudo. Como se pode observar, na Fgura 3.5 os comporamenos das aas bruas de moraldade unsse e para o seo masculno, são muo semelhanes, com eceção dos anos de 2006, 2007 e 2008 para as dades acma de 85 anos. Também, noa-se que em odos os anos de esudo, a faa eára apromada enre 42 e 75 anos, apresenam aas bruas de

39 39 moraldade com endênca crescene, eceo para o ano de 2008, no qual a dade de 42 anos apresena aa de moraldade bem mas ala que as dades subseqüenes. Já as dades superores á 75 anos em odos os anos de esudo - apresenam comporameno basane varável, devdo à menor quandade de eposos ao rsco nesa faa eára, de forma que os poucos óbos observados provoca uma fore osclação nas aas bruas. De forma geral, percebe-se que o comporameno das aas bruas unsse é quase dênco às aas bruas para o seo masculno. Assm, opou-se por graduar as aas bruas consderando unsse. 3.3 TESTE DE ADERÊNCIA Conforme já menconado na nrodução dese esudo, a ábua de moraldade é um nsrumeno fundamenal no cálculo auaral, uma vez que coném as probabldades anuas de more (e vda) eórcas de cera população, cujo objevo é represenar a real moraldade de al população, ou se apromar basane da mesma. Aravés da ábua de moraldade, são dmensonadas rendas de aposenadoras e pensões, provsões maemácas (recursos necessáros ao pagameno de as rendas ou ndenzação em seguros de vda), prêmos de seguros, conrbuções e ec. Daí a mporânca da adequabldade (aderênca) da ábua à população de eposos ao rsco, vsando preservar o equlíbro e solvênca dos ssemas de prevdênca e segurdade. A preocupação com a aderênca é devda não só à consane evolução dos níves de moraldade, mas ambém com o fao de serem adoadas ábuas de moraldade esrangeras nos ssemas de prevdênca e segurdade, que é caso das ábuas AT s, baseadas na eperênca amercana. Logo, anerormene à consrução da ábua de moraldade bayesana, avalaremos a aderênca das ábuas AT-1949, AT-1983 e AT-2000 à população de eposos ao rsco nese esudo, endo em vsa que as duas úlmas ábuas são esabelecdas como parâmeros de moraldade aravés das Resoluções CGPC N o 18 e CGPC N o 26. Para al avalação, será empregado o ese das Reservas (Provsões) Maemácas Efevas versus Reservas (Provsões) Maemácas Esperadas, proposo por Monello (2009). Ese procedmeno consse em comparar, ao longo de n anos, a evolução da Reserva Maemáca Efeva com a evolução da Reserva Maemáca Esperada de uma deermnada população de aposenados, não decorrenes de nvaldez, esene no fnal de um deermnado ano. Tano a Reserva Maemáca Efeva como a Esperada, são calculadas com base numa deermnada ábua de moraldade, objeo do ese de aderênca. Segundo ese procedmeno, a

40 40 ábua é consderada aderene, se ao fnal dos n anos de avalação, a Reserva Maemáca Esperada for gual ou superor a Reserva Maemáca Efeva. Na população em esudo, cada eposo ao rsco é um parcpane aposenado de alguma das EFPC s. Logo, seja a dade de cada parcpane no momeno ncal =0 (ano ), B o valor do benefco de cada parcpane no momeno =0 e n o período decorrdo desde o momeno ncal =0. Assm, em-se: e (12) R = (13 B ) a +, com = 0,1,2,..., n em que l R ˆ + (12 = (13 B ) a ) +, com = 1,2,..., n l R e Rˆ são respecvamene as Reservas Maemácas Efevas e Esperadas calculadas no momeno, 13 B ) é o valor anualzado do benefíco de cada parcpane já ( consderando o pagameno do 13º saláro, a anudade (12) a e l já foram defndos anerormene. Observe que l l = p + /, so é, a probabldade de um parcpane com dade no momeno ncal =0, angr a dade +, com > 0, a qual é ulzada no cálculo da Reserva Maemáca Esperada. Porano, o índce de aderênca da ábua de moraldade no momeno, é dado pela razão enre os oas das Reservas Maemácas Esperadas e Efevas, aravés da segune epressão: A d = Rˆ R Logo, se A 1, a ábua de moraldade dá coberura à sobrevvênca ocorrda enre o d momeno ncal =0 e o momeno > 0, ao passo que, se A < 1, a ábua de moraldade não da coberura à sobrevvênca ocorrda no mesmo período. Esa meodologa fo aplcada à população em esudo para se verfcar a aderênca das ábuas de moraldade AT-1949, AT-1983 e AT Todava, devdo ao caráer confdencal dos valores dos benefícos dos parcpanes, os mesmos não foram dsponblzados, de forma que o valor de cada benefíco fo consderado como sendo de R$ d

41 1,00. Para o calculo da anudade 41 (12) a ulzada nos eses, adoou-se a aa de descono auaral j=6% ao ano. Quano ao período observado para a realzação do ese, omou-se o momeno ncal =0 como sendo 31/12/2003, com n=5 anos, de forma que o momeno fnal n+ é 31/12/2008. As abelas 3.5, 3.6 e 3.7 apresenam os resulados. Tabela 3.5 Tese de aderênca da ábua de moraldade AT-1949 à população eposa ao rsco. Reservas Efevas Reservas Esperadas , , ,77 0, , ,73 0, , ,05 0, , ,82 0, , ,96 0,9795 A d Noa-se da Tabela 3.5 que os índces de aderênca foram odos nferores a 1. Logo, a ábua de moraldade AT-1949 não dá coberura à sobrevvênca ocorrda no período em quesão, se mosrando não aderene à moraldade da população eposa ao rsco e, porano, não aproprada. Tabela 3.6 Tese de aderênca da ábua de moraldade AT-1983 à população eposa ao rsco. Reservas Efevas Reservas Esperadas , , ,32 1, , ,02 1, , ,72 1, , ,77 1, , ,50 1,0086 A d Os índces de aderênca condos na Tabela 3.6 foram odos superores a 1. Assm, a ábua de moraldade AT-1983 dá coberura à sobrevvênca ocorrda no período em quesão, se mosrando aderene à moraldade da população eposa ao rsco, sendo consderada aproprada. Logo, consderando a população em esudo, o resulado do ese confrma o

42 dsposo na Resolução CGPC N o 18, a qual deermna a adoção da ábua AT-1983 como parâmero mínmo de moraldade geral nas EFPC s. 42 Tabela 3.7 Tese de aderênca da ábua de moraldade AT-2000 à população eposa ao rsco. Reservas Efevas Reservas Esperadas A d , , ,54 1, , ,72 1, , ,64 1, , ,42 1, , ,05 1,0184 Uma vez mosrada a aderênca da ábua AT-1983, conforme a Tabela 3.6, não havera necessdade de realzação do ese de aderênca da ábua AT-2000, uma vez que esa é mas conservadora que a prmera, mplcando ambém em sua aderênca à população eposa ao rsco. Todava, anda assm fo realzado o ese para esa úlma ábua, que, conforme a Tabela 3.7, mosra que os índces de aderênca foram odos superores a 1 e, como já esperado, ambém foram superores àqueles índces condos na Tabela 3.6, para cada ano observado. Logo, a ábua de moraldade AT-2000 dá coberura maor anda à sobrevvênca ocorrda no período em quesão, apesar de que a ábua AT-1983 (menos conservadora) já se mosrou adequada. Com base nos resulados dos eses realzados, verfcou-se que a ábua de moraldade AT-1983 é aproprada para dar coberura ao rsco de sobrevvênca dos eposos ao rsco. Todava, nas prómas seções, serão abordados os modelos de graduação bayesana de aas de moraldade, escolhendo-se aquele que melhor se adequar aos dados para a consrução da ábua de moraldade, cujas probabldades de more serão comparadas às probabldades provenenes das rês ábuas objeo dos eses de aderênca. 3.4 GRADUAÇÃO BAYESIANA DAS TAXAS BRUTAS DE MORTALIDADE Anda que a faa eára de 42 a 75 anos, em odos os anos de esudo, apresene uma endênca crescene das aas bruas de moraldade, conforme a mosra a Fgura 3.5, ese comporameno é basane erráco, não podendo ser consderado monoônco crescene em

43 relação à dade, como era de se esperar. Para a regularzação dese comporameno não monoônco das aas bruas em relação à dade, de forma a ober a ábua de moraldade baseada na eperênca da população eposa ao rsco, é necessáro um processo de suavzação das mesmas, que nada mas é do que a graduação de as aas. Ese processo, que vsa um comporameno monoônco crescene, ambém propca a graduação de aas de moraldade para dades cuja nformação é nsufcene, porém so dependerá do modelo ulzado na graduação, que nese rabalho, se dá em função da força de moraldade ulza a quandade cenral de eposos ao rsco e. 43 µ e As aas bruas graduadas são as probabldades anuas de more q, as quas compõem a ábua de moraldade. A parr de cera dade, o comporameno dessas probabldades será monooncamene crescene, dado que a moraldade humana se compora assm a parr da mesma MODELOS DE GRADUAÇÃO BAYESIANA Os modelos bayesanos de graduação ulzados nese rabalho são aqueles proposos em Neves (2005), sendo dos locas e dos globas. O objevo aqu é graduar as aas bruas de moraldade referenes à coberura de sobrevvênca nos planos de prevdênca complemenar fechados, so é, das EFPC s, baseando-se na eperênca daquelas que dsponblzaram seus dados. Os modelos são mplemenados por algormos compuaconalmene nensvos aravés de smulação esocásca de Mone Carlo va Cadeas de Markov (MCMC). Como a graduação se dará em função da força de moraldade, as mesmas podem ser obdas a parr das ábuas bomércas usualmene adoadas nas EFPC s, aplcando-se a relação (2.7). Também, para as ábuas, as probabldades de more apresenam o comporameno monoônco crescene a parr de apromadamene 8 anos de dade. Logo, as forças de moraldade ambém apresenam al comporameno a parr de al dade.

44 44 Forças de Moraldade AT 2000 AT 1983 AT Idades Fgura 3.6: Comporameno das forças de moraldade para as dades de 42 a 90 anos, segundo as ábuas bomércas AT-2000 básca, AT-1983 e AT-1949, odas para o seo masculno. A Fgura 3.6 mosra as forças de moraldade preconzadas por rês ábuas bomércas. Como era de se esperar em odos os casos, o comporameno das forças de moraldade, consderando a faa eára especfcada, é monoônco crescene. Noa-se que a ábua AT-1949 é a que apresena maores forças de moraldade, conseqüenemene maores probabldades de more. Tal ábua já não pode mas ser adoada como hpóese de moraldade geral nas EFPC s, por força da Resolução CGPC N o 18 de 28/03/06, a qual esabelece como parâmero mínmo de moraldade geral, a adoção da ábua AT Também, o ese de aderênca realzado na seção 3.3 mosrou que a ábua AT-1949 não é aderene à população em esudo. Todava, a mesma em sdo adoada como parâmero de moraldade de nváldos em algumas EFPC s. Nos modelos proposos para o processo de graduação, as forças de moraldade r fuuras para um prómo período de empo, θ, para as classes de dade =1,...,49 com r sendo a r-ésma eração por MCMC; serão esmadas em função da dsrbução predva do número de mores r d θ, onde é prevso o comporameno fuuro desa quandade, ncorporando ncerezas assocadas aos parâmeros não observáves θ. O mesmo ocorre com as probabldades de more fuuras r q + 1 (NEVES, 2005).

45 r Uma vez obdas as esmavas das forças de moraldade fuuras θ, aplca-se a smplfcação (2.7) na obenção das dsrbuções condconas compleas das probabldades de more fuuras em cada dade, so é, q, q + 1,..., q + k 1, para as dades, +1,...,+k-1 onde =42, k=49. Esas probabldades são o objevo fnal do processo de graduação. Assm, assumndo a quandade cenral de eposos ao rsco observada na dade +-1 (e ) como consanes conhecdas e as erações por MCMC, pode-se ober as esmavas das probabldades de more nas respecvas dades, da segune forma: 45 r em que θ d θ ~ Posson ( e. θ ), r d r r = e q + 1 = 1 ep( θ ), para = 1,...,49 e = 42 e r (3.1) MODELO DE CARLIN MODIFICADO COM β FIXO O modelo de Carln (1992), o qual chamaremos modelo 1, é uma adapação do modelo de Boff (1988) proposo em Neves (2005), com a resrção θ R I = { θ : 0 < θ < θ 2 <... < θ 49 < 1 β} mposa ao veor de parâmeros perencene ao subconjuno Ω = { θ ;0 < <, = 1,...,49} de espaço eucldano k-dmensonal. Aqu, β é o θ lme mámo para a força de moraldade no nervalo de empo correspondene à dade de 90 anos, para a qual β=1. O modelo 1 é não paramérco, ou seja, não há o ajuse das aas bruas de moraldade a uma função de sobrevvênca baseada em alguma le de moraldade. Desa forma, assumndo que d θ em dsrbução Posson ( e θ consanes conhecdas, em-se a segune função de verossmlhança:. ), consderando e e θ 49 d l( θ d ) θ ep( e. θ ) = 1 (3.2) em que d já fo defndos anerormene e =1,...,49 represena as classes de dade, com cada dade dada por +-1, ncando em =42. Também, é assumdo que os θ s são ndependenes e dencamene dsrbuídos segundo uma Gama(a,b) resra ao subconjuno R I, com a=0,001 e b=0,001. Assm, a dsrbução a pror é dada por:

46 46 ) ( ). ep( ), ( θ θ θ θ α R I I b b a f = em que } : { < < < < < = θ θ θ θ I R, 1 ) ( = θ R I I, se I R θ e 0 ) ( = θ R I I caso conráro, com =1, A função ndcadora faz com que seja aendda a resrção mposa, conseqüenemene o ssema consdera apenas os valores amosrados que perençam aos nervalos especfcados. Noe que para ese modelo não se ulzou hperparâmeros desconhecdos, so se deve às lmações ano no pacoe JAGS como no WnBUGS, uma vez que a ulzação da função ndcadora deermnando lmes quando os hperparâmeros são desconhecdos, mplca em consruções napropradas neses sofwares. Uma vez conhecda a dsrbução a pror e a verossmlhança, obém-se a dsrbução conjuna dos parâmeros e dos dados aravés de: ) ( ), ( ) ( ),, ( θ θ θ θ I R I b a f d p b a d p = em que 1 ) ( = θ R I I, se I R θ e 0 ) ( = θ R I I caso conráro. Smplfcando a epressão, em-se: ) ( ). ep( ). ep( ),, ( ), ( a d I b e b a d p θ θ θ θ θ α θ θ θ + = = A parr da dsrbução conjuna e aplcando-se o Teorema de Bayes, em-se a dsrbução a poseror de θ, dada por: = = θ θ θ θ θ θ θ θ θ d I b a f d p I b a f d p b a d p b a d p b a d p I I R R ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ),, ( ),, ( Assm, a dsrbução a poseror condconal do parâmero de neresse θ, é obda por:

47 47 p( θ d, a, b) = p( d, θ ) f ( θ a, b) I ( 1, + 1 ) p( d, θ ) f ( θ a, b) I ( θ, θ ( ) θ θ ( θ ) θ ) dθ Por fm, dada a conjugação da dsrbução a pror Gama do parâmero θ com a verossmlhança Posson, emos a dsrbução a poseror condconal complea de θ, consderando odos os demas parâmeros, dada por: * * p( θ d, a, b) α Gama ( θ a, b ) I (, ) θ θ ( θ ) em que a = a + c * modelo 1, é dada por: *, b = b + d e =1,...,49. Logo, a esruura herárquca bayesana do d θ ~ Posson( e. θ ), com θ a, b ~ Gama( a, b) I e conhecdos e = 1,...,49, ) ( ), com 0= 0; = = 0,001 1 θ θ a θ ( θ b + 1 com predção realzada aravés de (3.1). Para a mplemenação dese modelo por MCMC aravés do Amosrador de Gbbs - ano no JAGS como no WnBUGS - foram smuladas rês cadeas em paralelo com valores ncas dos θ s dsnos, vsando evar que as amosras geradas se concenrem em regões em orno de uma moda local, em caso de mulmodaldade da poseror (NEVES, 2005). Nas smulações, os valores ncas dos θ s em cada cadea, são as forças de moraldade eraídas das ábuas de moraldade AT-2000, AT-1983 e AT-1949, aplcando-se a relação (2.6). Também, adoou-se o amanho de amosras geradas para cada parâmero desconhecdo, como sendo de , aravés das rês cadeas em paralelo, aproveando uma a cada ses smulações (hnnng) e consderando as prmeras como burn-n. Assm, o número de erações consderado de fao, é de , das quas as prmeras são desprezadas (burn-n), sendo as nferêncas a poseror feas sobre as úlmas O compuador ulzado na mplemenação dos modelos, fo um PC com processador Penum 4 da Inel com 2.8GHz e 448MB de memóra RAM, o qual levou apromadamene 40 segundos para a mplemenação do modelo 1 no WnBUGS e em orno de 56 segundos para a mplemenação do mesmo modelo no JAGS. Como dagnósco da convergênca dos parâmeros de neresse, são ulzadas rês écncas nformas de análse gráfca: densdade, valores da esaísca Rˆ (R-ha dsponível

48 48 no WnBUGS) e os raços das cadeas. As Fguras 3.7 a 3.9 apresenam eses dsposvos, referenes à mplemenação do modelo 1 no WnBUGS e no JAGS, consderando o ano de esudo de Fgura 3.7 Inervalos de credbldade empírcos de 80% para as cadeas smuladas paralelamene e valores da esaísca Rˆ para análse da convergênca das aas graduadas pelo modelo 1 no WnBUGS, para o ano de A Fgura 3.7, mosra os comporamenos dos nervalos de credbldade empírcos de 80% e da esaísca Rˆ, em que a varável q.es é o parâmero de neresse sendo monorado, so é, as aas de moraldade graduadas (probabldades de more nas dades - q ). Aqu, q.es[] é a probabldade de more esmada qˆ para a dade =42+-1, com =1,...,49 sendo as classes de dade. Os nervalos empírcos de credbldade de 80% para cada parâmero q, são bem esreos nas dades mas jovens, se concenrando em orno de valores bem baos de q, se ornando mas amplos a parr de 84 anos (q.es[43]), se

49 concenrando em orno de valores mas alos de 49 q. Ese comporameno é devdo ao aumeno do erro padrão da esmava à medda que se aumena a dade, conseqüênca de não haver quandade sufcene de eposos ao rsco e mores observadas nas mesmas. Anda, nos nervalos empírcos a cor azul se refere aos parâmeros de neresse q, consderando as rês cadeas em conjuno ( R ), ao passo que a cor verde se refere à méda nas rês cadeas deses p nervalos ( R ) para eses parâmeros. A Fgura 3.8 perme uma melhor vsualzação do w comporameno das aas de moraldade graduadas, onde os ponos azus e verdes são correspondenes a R p e probabldade de more na respecva dade. R w já descros e o pono vermelho é a esmava ponual da Fgura Inervalos de credbldade empírcos de 80% para as aas de moraldade graduadas aravés do modelo 1 para o ano de 2008, consderando as rês cadeas smuladas em conjuno, no pacoe WnBUGS. A esaísca R ˆ = R p / Rw, esá assocada às nferêncas a poseror realzadas sobre a dsrbução dos parâmeros de neresse. Quano mas prómo de 1, melhor as cadeas se msuram, ndcando convergênca das cadeas para os parâmeros de neresse. Assm, com base nesa esaísca e de acordo com a Fgura 3.7, há ndcavo de convergênca dos parâmeros de neresse em odas as dades para as quas foram graduadas as aas de moraldade, consderando os dados referenes ao ano de 2008.

50 Fgura 3.9 Comporameno das cadeas (raços) smuladas para ˆq 55, consderando as úlmas erações, para o ano de Na Fgura 3.9, nclusa a íulo de eemplfcação, observa-se que as cadeas paralelas se msuram bem, osclando em orno de um valor médo, convergndo para a esmava q ˆ55 = 0, Também a íulo de eemplfcação, a Fgura 3.10 evdenca que ˆq 55 é uma boa esmava para q 55, devdo à suavdade da densdade a poseror obda por esmação de densdade a parr das amosras, a qual não apresena mulmodaldade. A esmava ponual ˆq 55 é obda aravés da méda das observações smuladas da poseror. Fgura 3.10 Densdade a poseror de ˆq 55, correspondene a suavzação do hsograma aravés do méodo kernel, para o ano de A densdade acma fo eraída do pacoe JAGS, devdo ao fao do WnBUGS dsponblzar densdades somene para cada cadea ndvdualmene, enquano o JAGS o faz consderando as cadeas em conjuno.

51 51 Taas de Moraldade AT 2000 AT 1983 AT 1949 Taas Bruas Taas Graduadas Idades Fgura 3.11 Comparavo das aas de moraldades das ábuas AT-2000, AT-1983 e AT com as aas bruas de moraldade e aas graduadas aravés do modelo 1, consderando o ano de O comporameno das aas graduadas na Fgura 3.11, permanece bem prómo das aas de moraldade da ábua AT-1983 aé apromadamene 83 anos de dade. Todava, a parr desa dade, apresena um crescmeno acenuado, porém se manendo abao das aas de moraldade da ábua AT-1949, aé apromadamene 88 anos. Apesar dese crescmeno acenuado nas dades menconadas, as aas de moraldade graduadas apresenaram a suavdade e o comporameno monoônco crescene esperado, aparenando um bom ajuse aos dados, ao menos aé 83 anos de dade. O comporameno apresenado acma dos 83 anos é devdo à baa eposção ao rsco a parr desa dade, bem como a não observação de mores para algumas dades superores a esa, conforme demonsra a Tabela 3.4. Ese fao ambém jusfca a grande amplude dos nervalos de credbldade apresenados na Fgura 3.7, a parr de apromadamene 84 anos, reflendo o aumeno dos erros padrões das esmavas das probabldades de more MODELO COM REPARAMETRIZAÇÃO TIPO BROFFIT Ese, que chamaremos modelo 2, é ambém não paramérco, evando o uso da função ndcadora e mplemenando uma reparamerzação no modelo 1, dreamene no algormo, manendo a mesma resrção θ R = θ : 0 < θ < θ <... < θ 1} mposa ao veor de I { <

52 52 parâmeros (NEVES, 2005). A reparamerzação é dada por θ = θ 1 + φ, com =1,...,49 sendo as classes de dade. Porano, pode-se deermnar os φ s em função dos θ s, da segune forma: φ = θ θ, comθ 0 = 0 e = 1,...,49 (3.3) Para garanr a resrção do crescmeno dos θ s no modelo, consdera-se os φ s ndependenes e dsrbuídos segundo uma Gama(a,b), fando a=0,8 e b=231, obdos do ajuse dese modelo aos dados. Os φ s são ncremenos posvos dos componenes θ s, onde cada parâmero θ é formado pela soma do parâmero aneror θ -1 com o ncremeno φ gerado pela dsrbução Gama. Porano, consderando a função de verossmlhança dada em (3.2) e a dsrbução conjuna dos φ s, dada por: 49 = 1 49 d d p( d, φ a, b) α θ ep( e. θ ) φ ep( bφ ) α θ φ ep( e θ bφ ) = 1 a 1 49 = 1 a 1 em que φ > 0, θ = φ φ, e = 1,...,49. Porano, a esruura herárquca do modelo 2, é dada por: d θ ~ Posson ( e. θ ), com φ a, b ~ Gama ( a, b), com a = 0,8 e b = 231; θ = θ 1 + φ, sendo θ 0 = 0 e conhecdos e = 1,...49 ; com predção realzada aravés de (3.1). Nas smulações, os valores ncas dos φ s em cada cadea, são deermnados aravés de (3.3), a parr das forças de moraldade das ábuas bomércas AT-2000, AT-1983 e AT- 1949, aplcando-se a relação (2.6). Para ese modelo, adoou-se ambém os mesmos amanhos de amosras geradas, burn-n e hnnng ulzados na mplemenação do modelo 1, smulando ambém as rês cadeas em paralelo. O empo gaso na mplemenação do modelo 2 no WnBUGS é de apromadamene 55 mnuos, por ser um modelo mas compuaconalmene nensvo.

53 53 Fgura 3.12 Inervalos de credbldade empírcos de 80% para as cadeas smuladas paralelamene e valores da esaísca Rˆ para análse da convergênca das aas graduadas pelo modelo 2 no WnBUGS, para o ano de A Fgura 3.12 apresena os gráfcos para análse de convergênca dos parâmeros de neresse, referenes à mplemenação do modelo 2 no WnBUGS, consderando o ano de esudo de Os nervalos de credbldade empírcos de 80% para cada q - consderando as cadeas smuladas paralelamene - são bem esreos nas dades mas jovens, se concenrando em orno de valores bem baos de q, se ornando mas amplos gradavamene conforme a dade avança. Assm como no modelo 1, ese comporameno pode ser arbuído ao aumeno do erro padrão da esmava à medda que se aumena a dade, pelos mesmos movos já eposos.

54 54 Quano aos valores da esaísca Rˆ, apresenam ndcavo de que as cadeas esão se msurando bem, havendo a convergênca dos parâmeros de neresse, dado que para odos os valores de qˆ (q.es[]) o valor de Rˆ é gual a 1. Taas de Moraldade AT 2000 AT 1983 AT 1949 Taas Bruas Taas Graduadas Idades Fgura 3.13 Comparavo das aas de moraldades das ábuas AT-2000, AT-1983 e AT com as aas bruas de moraldade e aas graduadas aravés do modelo 2, consderando o ano de As esmavas dese modelo, de forma geral acompanham bem a endênca das aas bruas de moraldade, apresenando o comporameno monoônco crescene e a suavdade desejada para as aas de moraldade graduadas. Todava, ao conráro do modelo 1, as aas graduadas pelo modelo 2 se mosram mas conservadoras, de forma que a parr de apromadamene 82 anos de dade, chegam a alcançar paamares nferores às aas de moraldade da ábua AT Também, noa-se da Fgura 3.13 que as aas graduadas enre apromadamene 62 e 79 anos de dade, não esão ão prómas das aas de moraldade da ábua AT-1983, sendo menos conservadoras. Porano, eclusvamene com base na análse gráfca da Fgura 3.13, o modelo 2 ambém parece proporconar um bom ajuse aos dados, uma vez que acompanha a endênca das aas bruas de moraldade e nduz um comporameno suavzado e monoônco, conforme esperado.

55 MODELO COM FORÇA DE MORTALIDADE TIPO GOMPERTZ Ese modelo, o qual chamaremos modelo 3, é paramérco e pressupõe que a força de moraldade obedece a uma função de sobrevvênca de acordo com uma le de moraldade. Nese caso adoou-se a Le de Gomperz, proposa em 1825 (NEVES, 2005). Esa le prevê que a força de moraldade cresce em progressão geomérca, conforme descro em Sherrs (1999), cuja epressão é dada por: µ = βc em que β > 0, c 1 e 0, sendo a dade em anos. Como esamos consderando Z µ = θ, + 1 y, =1,...,49 e =42 anos, em-se θ = βc, com Z = + 1 que y + represena as dades em esudo e represena as classes de dade. Ese modelo paramérco assume a forma de um modelo lnear generalzado (MLG) bayesano, com base no modelo clássco não predvo proposo por Haberman e Renshaw (1996), conforme descro em Neves (2005). Como anerormene, assume-se que o número de mores observadas na dade +-1 (d ) é dsrbuído segundo uma Posson(e.θ ), onde e são consanes conhecdas e represenam a quandade cenral de eposos ao rsco para a dade +-1, com =1,...,49. Logo, E(d θ )=λ =e.θ. d θ são ndependenes e dencamene dsrbuídos, com Conforme Dobson (1994), a função de lgação canônca η da dsrbução Posson é dada por log(λ ), segundo a esruura do MLG. Assm, a esruura do modelo é dada por: η = log( λ ) = log( e ) + log( β ) + Z log( c) em que =1,...,49. Porano, o modelo possu dos parâmeros β e c a serem esmados e uma varável eplcava Z, sendo log( e ) o offse e log(β ) o nercepo. No processo de nferênca bayesana, arbuem-se dsrbuções a pror normas aos parâmeros β e c, ressalando que no processo de smulação no pacoe WnBUGS, ulza-se o 2 parâmero de precsão τ = σ bayesana do modelo 3, é dada por: ao nvés da varânca. Fnalmene, a esruura herárquca

56 56 d θ ~ Posson( λ ), λ = e. θ, com log( λ ) = log( e ) + log( β ) + Z θ = βc Z ; β ~ Normal (0;10000) I c ~ Normal (0;10000) I (0, ) (1, ) ( β ); ( c) log( c); e conhecdos e = 1,...49; com predção realzada aravés de (3.1). Dferene dos modelos anerores, aqu os valores ncas na mplemenação do modelo, são aqueles arbuídos aos parâmeros β e c, os quas são raados como nós r esocáscos no WnBUGS, sendo que as forças de moraldades fuuras θ dadas em função deses, caracerzam nós lógcos. Também, aqu não se em mas rês cadeas sendo smuladas paralelamene, pos as forças de moraldade são calculadas em função dos valores smulados dos parâmeros β e c, de forma que se em uma só cadea smulada. No demas, permanecem as mesmas condções consderadas nos modelos anerores: mesmos amanhos de amosras geradas, burn-n e hnnng para a mplemenação. Ese modelo fo mplemenado apenas no WnBUGS, levando apromadamene 45 segundos na graduação das aas de moraldade, no compuador ulzado. A Fgura 3.14 apresena o comporameno das aas de moraldade graduadas, junamene com os respecvos nervalos de confança empírcos de 80%, referenes à mplemenação do modelo 3, consderando o ano de esudo de Fgura 3.14 Inervalos de credbldade empírcos de 80% para as aas de moraldade graduadas, consderando uma cadea smulada aravés do modelo 3 no WnBUGS. Os nervalos de confança empírcos de 80% para cada q - consderando apenas uma cadea smulada - são bem esreos nas dades mas jovens, se concenrando em orno de valores bem baos de q, se ornando mas amplos gradavamene conforme a dade avança,

57 devdo ao aumeno dos erros padrões das esmavas 57 qˆ. A despeo dese aumeno dos erros à medda que a dade avança, no modelo 3 os nervalos de credbldade não são ão amplos quano nos modelos anerores, aparenando uma menor ncereza em relação às probabldades de more esmadas. Noe que aqu não há valores da esaísca Rˆ, como para modelos anerores por não haver mas de uma cadea smulada. Nese caso, o dagnósco de convergênca é realzado aravés do raço da cadea e pela densdade esmada, conforme Fguras 3.15 e 3.16 para q 66 a íulo de eemplfcação. Fgura 3.15 Comporameno da cadea (raço) smulada para ˆq 66, consderando as úlmas erações, dsponblzado pelo pacoe WnBUGS, para o ano de Fgura 3.16 Densdade a poseror de ˆq 66, correspondene a suavzação do hsograma aravés do méodo kernel, dsponblzada pelo pacoe WnBUGS, para o ano de Como se pode observar, se analsado o race da cadea para a dade de 66 anos, a mesma parece esar osclando em orno de um valor médo e, porano, convergndo. Também, quando analsado o comporameno da densdade a poseror de ˆq 66, noa-se que a mesma apresena a suavdade desejada e ausênca de mulmodaldade, mplcando que ˆq 66 é um bom esmador para q 66.