t +1. Cabe mencionar que, N representa o número de observações da série temporal

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1 35 3 Méodos de Prevsão de Séres Temporas 3. Séres Temporas Pode-se defnr uma sére emporal como sendo um conuno de dados observados e ordenados segundo parâmero de empo e com dependênca seral, sendo esse espaço de empo enre os dados dsponíves equdsanes (horáros, dáro, semanal, mensal, rmesral, anual, ec.) (Souza & Camargo, 004). Para que uma deermnada sére sea classfcada como uma sére emporal, é necessáro que ela preencha ouro pré-requso: os dados ambém devem apresenar uma dependênca seral enre eles. Por exemplo: os dados de uma varável aleaóra z (consumo de energa) no nsane, com varando de aé, possa, de cera manera, coner nformações necessáras para que sea deermnado o valor dessa varável no nsane +. Cabe menconar que, represena o número de observações da sére emporal em quesão. As séres emporas podem ser classfcadas como dscreas, conínuas, deermníscas, esocáscas, mulvaradas e muldmensonas. Segundo a abordagem de componenes não observáves, as séres emporas podem ser represenadas como a combnação de quaro componenes (Mendenhall, 993): Tendênca; Cíclca; Sazonal; Erro. As componenes de endênca são frequenemene, aquelas que produzem mudanças graduas em longo prazo. São normalmene provocadas, por exemplo, pelo crescmeno consane na população, no produo nerno bruo, no efeo da compeção, ou por ouros faores que falham na enava de produzr mudanças repennas, mas produzem varações graduas e regulares ao longo do empo. As componenes cíclcas são aquelas que provocam osclações de subda e de queda nas séres, de forma suave e repeva, ao longo da componene de endênca.

2 36 Geralmene os efeos cíclcos em uma sére são causados por mudanças na demanda do produo, por cclos de negócos e, em parcular, pela nabldade de se suprr as necessdades do consumdor. As componenes sazonas em uma sére são aquelas osclações de subda e de queda que sempre ocorrem em um deermnado período do ano, do mês, da semana, do da ou horáro. A dferença essencal enre as componenes sazonas e cíclcas é que a prmera possu movmenos faclmene prevsíves, ocorrendo em nervalos regulares de empo, por exemplo, ano a ano, mês a mês, semana a semana, ou mesmo da a da. Já os movmenos cíclcos endem a ser rregulares, ocorrendo sobre um período de muos anos. A quara componene da sére, chamada de componene de erro, apresena movmenos ascendenes e descendenes da sére após a ocorrênca de um efeo de endênca, um efeo cíclco, ou de um efeo sazonal. as componenes de erro aparecem fluuações de período curo, com deslocameno nexplcável e geralmene são causadas, enre ouros movos, por evenos polícos e osclações clmácas mprevsíves. Quano à varabldade das observações, podem-se classfcar as séres emporas em esaconáras, quando as suas esaíscas não são afeadas por varações no empo, e ergódgas, se apenas uma realzação do processo esocásco é sufcene para se ober odas as esaíscas do mesmo (Moren & Tolo, 006). A maora dos méodos de prevsão basea-se na déa de que as observações passadas conêm nformações sobre o padrão de comporameno da sére emporal. O propóso dos méodos é dsngur o padrão de qualquer ruído que possa esar condo nas observações e enão usar esse padrão para prever valores fuuros da sére. Uma grande classe de modelos de prevsão, ena raar ambas as causas de fluuações em séres de empo e a das suavzações (méda móvel e amorecmeno exponencal). Técncas específcas desse po assumem que os valores exremos da sére represenam a aleaoredade e assm, por meo da suavzação desses exremos, pode-se denfcar o padrão básco (Moren e Tolo, 006). Os modelos de prevsão podem ser classfcados em unvarados, os quas êm a prevsão dos valores fuuros explcados somene pelos valores passados da própra sére ou causas, os que levam em cona ouras nformações relevanes como nfluenes para a prevsão de uma varável

3 37 3. Perssênca Um dos modelos mas ulzados na prevsão de curo-prazo da velocdade do veno é o méodo da perssênca. Ese méodo corresponde ao méodo da méda móvel smples em que a prevsão é a méda das observações mas recenes da sére X como pode ser observado na equação (3.): X X (3.) O méodo de perssênca é consderado o méodo de prevsão mas smples, vso que realza a prevsão com base nos úlmos valores da sére. Esse méodo é muo ulzado no caso de nsufcênca de dados relaconados a velocdade de venos e deve ser ulzado apenas para prevsão de curo-prazo (aé poucas horas à frene). o caso parcular em que é gual, o méodo da perssênca corresponde ao méodo de prevsão ngênuo (nave). A segur são apresenados os modelos de Box& Jenkns, regressão harmônca, redes neuras arfcas e o ssema de nfererênca neuro-fuzzy adapavo (AFIS) 3.3 Modelos de Box & Jenkns Uma meodologa basane ulzada na análse de modelos paramércos é conhecda como abordagem de Box & Jenkns (970). Tal meodologa consse em ausar modelos Auo-Regressvos negrados de médas móves, ARIMA (p, d, q), a um conuno de dados. A esraéga para consrução dese modelo é baseada em um cclo neravo, no qual a escolha da esruura do modelo basea-se nos própros dados (Moren e Tolo, 004). A esraéga para a consrução do modelo será baseada em um cclo neravo, na qual a escolha da esruura do modelo é baseada nos própros dados. As eapas do cclo neravo são: Especfcação: uma classe geral do modelo é consderada para análse ; Idenfcação de um modelo, com base na análse de auocorrelações, auocorrelações parcas e ouros créros;

4 38 Fase de esmação, na qual os parâmeros de modelo denfcado são esmados; Fase de verfcação ou dagnósco do modelo ausado, aravés de uma análse de resíduos, para se saber se ese é adequado para fns em vsa (prevsão, por exemplo). Um processo esocásco pode ser enenddo como um modelo que descreve a esruura de probabldade de uma seqüênca de observações ao longo do empo. Consdere um processo esocásco como sendo uma famíla Z={Z, } al que para cada, Z é uma varável aleaóra. Suponha que Z enha orgem em um expermeno que pode ser repedo sob condções dêncas, a cada expermeno obém-se um regsro dos valores de Z ao longo do empo. Cada regsro parcular é uma realzação do processo esocásco e uma sére emporal é uma realzação amosral do processo esocásco,.e., é uma amosra fna do conuno de odas as raeóras possíves que podem ser geradas pelo processo esocásco. Por exemplo, uma sére emporal com m observações sucessvas pode ser consderada como uma realzação amosral enre odas as seqüêncas de amanho m que poderam ser geradas por um mesmo processo gerador dos dados ou processo esocásco. Um processo esocásco esá deermnado quando são conhecdas suas funções de dsrbução de probabldade conunas, porém, como esas não são conhecdas e dspõe-se de apenas uma amosra do processo (a sére emporal observada) assumem-se os pressuposos de esaconaredade e ergodcdade do processo esocásco. A esaconaredade sgnfca que as caraceríscas do processo esocásco permanecem nvaranes ao longo do empo. Em um sendo esro, a esaconaredade mplca que as varáves aleaóras Z e Z +k êm dêncas dsrbuções de probabldade qualquer que sea k. Uma condção menos resrva é a esaconaredade em sendo lao ou de segunda ordem na qual consdera-se como sendo esaconáro um processo com valor médo, E(Z ), e varânca, E[(Z - ) ] consanes e auocovarâncas, Cov(Z,Z +k ), dependenes apenas do nervalo de empo (lag) k enre as observações, ou sea: E(Z ) = E(Z +k ) = (3.) E[(Z - ) ] = (3.3)

5 39 Cov(Z,Z +k ) = Cov(Z +m,z +m+k ) m (3.4) Se o processo esocásco for Gaussano (Z segue uma dsrbução normal) e esaconáro em sendo lao, ele será esramene esaconáro, pos a dsrbução normal é deermnada uncamene em ermos do prmero e do segundo momeno. Quando se rabalha com uma sére emporal exraída de um processo esocásco esaconáro esá-se dane de uma realzação amosral que apresena uma forma geral smlar á ouras amosras que poderam er sdo exraídas o que orna possível esmar as caraceríscas do processo e fazer prevsões. O pressuposo da ergodcdade de um processo esocásco sgnfca que apenas uma realzação do processo esocásco é sufcene para se ober odas as esaíscas do mesmo. Todo o processo ergódco ambém é esaconáro, pos uma realzação de um processo não esaconáro não poderá coner odas as nformações necessáras para a especfcação do processo. Assm, endo-se como base uma deermnada sére emporal, gerada por um processo esocásco esaconáro, onde o valor aual é dado por Z, Box & Jenkns propõem o segune modelo para descrever o processo esocásco gerador da sére: Z y... y... p p q q (3.5) que pode ser reescra pela segune equação obda com o auxílo do operador defasagem (B d Z = Z -d ) em ermos de dos polnômos: p q B... p Z B... qb (3.6) onde, e θ denoam os parâmeros do modelo e ε é um ruído branco, um processo esocásco Gaussano com méda nula, varânca consane e não auocorrelaconado: E( )=E( +k ) = 0 (3.7) E[ ] = (3.8) Cov(, +k ) = Cov( +m, +m+k ) = 0 m (3.9)

6 40 Conforme ndcado na equação 3.5, o modelo unvarado de Box & Jenkns consse em explcar uma varável aleaóro Z por meo de seus valores passados, bem como de choques aleaóros, não havendo ouras varáves explcavas. a equação 3.5, as defasagens da varável Z no polnômo do lado esquerdo represenam a pare auoregressva do modelo (AR), enquano as defasagens dos choques aleaóros ε no polnômo do lado dreo represenam a pare méda móvel (MA). A equação represena uma ampla classe de modelos denomnados ARMA(p,q), onde p represena a ordem de defasagem do ermo auoregressvo e q a ordem de defasagem do ermo de méda móvel. Por exemplo, para p e q 0 em-se o modelo auoregressvo de prmera ordem ou AR(), no qual o valor da sére no nsane depende somene do valor da sére no nsane -: Z = y - + (3.0) Lembrando que BZ =Z -, a equação acma pode ser escra como: (-B)Z =. (3.) Em um caso mas geral em-se o modelo auo-regressvo de ordem p AR(p) ou ARMA(p,0), no qual a observação correne Z, depende de realzações anerores como Z,Z,... Z p da mesma sére emporal (Moren & Tolo, 006). p Z Z (3.) Para se aplcar a meodologa de Box & Jenkns, a sére em esudo deve ser pelo menos esaconára de segunda ordem, ou sea, a sére em que er méda, varânca e covarânca fnas e consanes. O exame de esaconardade pode ser realzado observando-se a Função de Auocorrelação (ρ k ) ou FAC da sére emporal nvesgada. Em função das correlações enre os valores de uma sére emporal (Hpper, 005), o valor de Z depende probablscamene do valor de Z. Dessa forma, a prevsão se orna possível por causa dessa dependênca enre os valores, sendo possível fazer esmavas dos valores fuuros da sére. Tal correlação enre os valores da sére é chamada de auocorrelação. A função de auocorrelação (FAC) mosra a dependênca enre os dversos ermos da sére. Seu gráfco é chamado de correlograma e mosra a auocorrelação de lag k,

7 4 enre Z e Z -k, para dferenes valores da defasagem k no empo. Maemacamene, a de defasagem k pode ser defnda como: Z, Zk k k Cov (3.3) 0 Var Z Var Z K Um decameno leno da FAC ndca que a sére não é esaconára na méda e precsa passar por uma ou mas dferencações, se necessáro. Além da FAC ambém úl analsar o comporameno da Função de Auocorrelação Parcal (FACP), onde na medção da correlação enre duas observações seras Z + e Z + k elmna-se a dependênca dos ermos nermedáros Z +, Z +, Z + k, : KK =Cov (Z, Z + k Z +,..., Z + k ) (3.4) A análse da FAC e da FACP é de fundamenal mporânca para o procedmeno de prevsão de séres emporas, pos é com ela que são denfca das ordem p e q de um modelo ARMA. o processo auo-regressvo AR, a FAC erá um decameno exponencal ou em senodal amorecda, se φ < 0, os snas serão alernados. A FACP erá pcos sgnfcavos nos lags aé p, depos ca a zero. Para um AR de ordem AR() o pco da FACP será no lag depos ca a zero. O pco será posvo se φ > 0 e negavo se φ < 0. o caso de um processo de médas móves MA(q) a FAC erá pcos nos lags aé q e depos cará a zero. Em se raando de um MA(), o pco será no lag, cando depos a zero. Caso θ < 0 será posvo o pco e se θ > 0 será negavo. a FACP há a presença de um decameno exponencal ou senodal amorecda. Para recapular, em-se um resumo abaxo na Tabela 6:

8 4 Tabela 6-Caraceríscas prncpas dos modelos AR(p), MA(q) e ARMA (p,q). Caraceríscas AR(p) MA(q) ARMA(p,q) Esruura do Modelo Função de Auocorrelação k(fac) (B). Z = a Z = (B). a (B). Z = (B)a Infna (Exponencas/ e/ou Senódes cas e /ou Senó- Infna (Exponen- Fna (core após lag q ) Amorecdas) des Amorecdas) Função de Auocorrelação Parcal kk (FACP) Fna (core após lag p ) Infna (Exponencas/ e/ou Senódes Amorecdas) Infna (Exponencas e/ou Senódes Amorecdas) Fone: adapado de Souza & Camargo (996) Para Souza & Camargo (996), uma das caraceríscas fundamenas da meodologa de Box e Jenkns é nerprear uma dada sére emporal como sendo uma realzação de um veor aleaóro mulvarado, cua dmensão é a da sére emporal dsponível. A parr de uma únca realzação do processo e, com os argumenos de esaconardade e ergodcdade do processo subacene, procura-se deecar o ssema gerador da sére, aravés de nformações condas na mesma. A flosofa da modelagem de Box & Jenkns se ulza de duas déas: o prncípo da parcmôna e a consrução de modelos por meo de um cclo eravo. O prncípo da parcmôna esabelece que deve-se escolher um modelo com o menor número possível de parâmeros, para uma adequada represenação maemáca. Um cclo eravo é uma esraéga de seleção de modelos a ser empreendda aé que enha-se um modelo sasfaóro. Se a sére emporal em esudo apresenar uma componene de endênca, enão o processo esocásco gerador da sére é não esaconáro. ese caso a sére deve passar por d dferenças smples para ornar-se esaconára, condção básca para a aplcação da meodologa Box & Jenkns. Por exemplo, para remover uma endênca lnear basa omar a prmera dferença da sére (d=): y = Z -Z - (3.5)

9 43 Caso a prmera dferença não sea esaconára, o operador dferença deverá ser aplcado na sére obdas pelas dferenças smples e uma segunda flragem é efeuada, a qual poderá ser repeda quanas vezes necessáras, aé ornar a sére esaconára. O processo de dferencação Z consecuva de d vezes é realzado conforme a- presenação na expressão 3.5, aé que se obenha uma sére d Z possa ser modelada por um modelo ARMA (p,q), que será descra a segur. Z Z Z esaconára e que Z d Z... d Z d Z (3.6) ese caso, a meodologa Box & Jenkns é aplcada na sére resulane das dferencações e o modelo é denomnado auoregressvo méda móvel negrado ou A- RIMA (p,d,q), onde d represena a ordem das dferenças smples: d Z Z p d q B... p B y B... qb (3.7) Como anes, a denfcação das ordens dos ermos auo-regressvos p e de médas móves q basea-se na análse do perfl das Funções de Auocorrelação (FAC) e Auocorrelação Parcal (FACP), porém da sére obda após as d dferencações. O modelo anda pode ser adapado para ser aplcável em séres sazonas. o caso geral, as séres emporas podem apresenar componenes sazonas e não sazonas. ese caso, o processo esocas co pode ser descro pelo modelo SARI- MA(p,d,q)(P,D,Q) s expresso pela segune equação: p S PS S D d q S B... pb B... PB B B y B... qb B... Q (3.8) onde,

10 44 p e q são, respecvamene, os graus dos polnômos das pares auoregressva e de méda móvel da componene não sazonal; P e Q são, respecvamene, os graus dos polnômos das pares auoregressva e de méda móvel da componene sazonal; d é a ordem das dferenças smples para remover a endênca da sére D é a ordem das dferenças sazonas para remover a sazonaldade. S é o período sazonal, por exemplo, para séres dscrezadas mensalmene S=. e são, respecvamene, os coefcenes das pares auoregressva e de méda móvel da componene não sazonal; e são, respecvamene, os coefcenes das pares auoregressva e de méda móvel da componene sazonal. A dferencação sazonal vsa remover a sazonaldade da sére. Dado o período sazonal S, a dferencação sazonal é: S D y = y - y -S (3.9) Cabe ressalar que o processo de obenção desse modelo segue os mesmos passos empregados para achar o modelo ARIMA não sazonal (Zann, 007). o modelo A- RIMA(p,d,q)(P,D,Q)s, a meodologa Box & Jenkns é aplcada na sére suposamene esaconára e sem sazonaldade resulane das dferencações smples e sazonas. Em qualquer modelo da famíla Box & Jenkns, a denfcação das ordens dos ermos auo-regressvos (p e P) e de médas móves (q e Q) basea-se na análse do perfl da FAC e da FACP. A FAC ambém mosrará se há componene sazonal, o que pode ser observado quando esa segue um padrão peródco de pcos e depressões. A FAC e a FACP em comporamenos eórcos conhecdos, enreano na práca, como esas funções são esmadas, a análse dos gráfcos da FAC e da FACP amosras pode ser uma arefa dfícl, o que compromee a denfcação precsa da ordem do modelo. A ncorporação de coefcenes adconas (modelos de maor ordem) melhora o grau de ausameno, reduzndo a soma dos quadrados dos resíduos, no enano, ressalase que modelos mas parcmonosos produzem melhores prevsões (maor capacdade de generalzação) que os modelos sobreparamerzados.

11 45 Exsem város créros de seleção de modelos que permem enconrar um pono de equlíbro enre a redução na soma do quadrado dos resíduos e a parcmôna do modelo. Os créros mas usados são o AIC (Akake Informaon Creron) e o BIC (Bayesan Informaon Creron), cuas fórmulas são dadas por: AIC = T ln (,ML) + n (3.0) BIC = T ln (,ML ) + n ln(t) (3.) onde, n é o número de parâmeros esmados, T é o número de observações da sére emporal e, ML é a esmava de máxma verossmlhança de (Moren & Tolo, 006). Comparando-se os valores de AIC e BIC de modelos com dferenes ordens, o melhor modelo é o que apresena os menores valores nesas duas esaíscas. o enano, a seleção do melhor modelo não deve se basear apenas nos créros AIC e BIC, a análse dos resíduos de modelos alernavos (concorrenes) ausados é de exrema mporânca na escolha fnal do modelo que melhor explca a dnâmca da sére emporal em esudo. Se os resíduos são auocorrelaconados, enão a dnâmca da sére em esudo não é compleamene explcada pelos coefcenes do modelo ausado. Deve-se exclur do processo de escolha modelos com esa caracerísca. Uma análse da exsênca (ou não) da auocorrelação seral de resíduos é fea com base na esaísca Q de Box-Perce- Lung, (Souza e Camargo, 996), represenada formalmene como: K r Q BPL T (T ), (3.) T onde, r é a auocorrelação de ordem dos resíduos do modelo esmado e: r T e e T e (3.3) A esaísca Q BPL é ulzada para esar se um conuno de auocorrelações dos resíduos aé a ordem K é (ou não) esascamene dferene de zero. Se os dados da sére esudada são gerados por um processo esaconáro, enão a esaísca Q BPL em dsr-

12 46 bução qu-quadrado com K graus de lberdade. Observa-se que valores alos das auocorrelações dos resíduos mplcam em valores alos de Q BPL. Por ouro lado, em um ruído branco odas as auocorrelações são nulas e Q BPL é nulo. As consderações acma permem esar as segunes hpóeses com base na esaísca Q BPL : H 0 : as K prmeras auocorrelações são nulas. H : de que pelo menos uma auocorrelação, r, é esascamene dferene de zero. Um procedmeno recomendado para denfcar a melhor ordem de um modelo ARIMA em ober um modelo ncal a parr da análse das esmavas da FAC e da FACP e em seguda fazer o ese da sobrefxação (Souza & Camargo, 996), onde são realzadas váras análses para dferenes valores de p, d, q, P, D, Q a parr do modelo ncal, em especal o ese -suden para verfcar a sgnfcânca do coefcene de cada ermo adconal na ordem do modelo. Além das especfcações acma, o modelo ARIMA pode ser adapado para ouras suações específcos e desa forma aumenar a sua aplcabldade. Por exemplo, Chen e al.(00) propõem um modelo esocásco para prevsão da produção de energa eólca com base no modelo auo-regressvo méda móvel negrado (ARIMA), que leva em cona a não esaconaredade da sére emporal e lmes físcos da geração esocásca de energa eólca. Os auores propõem a nrodução de um lmador no modelo ARIMA para represenar o lme superor e nferor da geração de energa eólca, o modelo proposo denomnado por LARIMA fo ausado a uma sére hsórca com medções durane um ano realzadas no parque eólco offshore ysed na Dnamarca. 3.4 Regressão Harmônca a análse de sére emporal, a regressão harmônca faz a aproxmação de uma função do empo por meo da combnação lnear de harmôncos (componenes senodas), cuos coefcenes são as ransformadas de Fourer dscreas da sére (Moren & Tolo, 006). A análse harmônca é uma das ferramenas para análse de séres emporas no domíno da frequênca. Como a sére da velocdade de veno apresena um comporameno sazonal, a análse harmônca por meo da combnação de funções rgonomércas é uma das écncas ndcadas para a modelagem da sazonaldade.

13 47 a regressão harmônca a varável aleaóra Z é expressa como sendo uma combnação de funções rgonomércos mas um ruído : H Z (A cosn(w ) B senn(w )), (3.4) n n n n onde, é a méda da de Z ; n =,, 3... H denfca o número de harmôncos ncluídos no modelo; A n e B n são os respecvos coefcenes das funções rgonomércas cosseno e seno para o harmônco n das séres de Fourer; w n n é a frequênca do n-ésmo harmônco. é o período, ou sea o número de dados observados. - ordenação numérca das horas do veno correspondenes da sére ( = 0,,...) Os coefcenes, (Moren & Tolo, 006):, e são obdos, respecvamene, pelas segunes expressões Z Z (3.5) n Z Z cosw senw (3.6) e 0 para w=π (3.7) n A especfcação do número de harmôncos no lado dreo da equação de regressão harmônca basea-se na análse do perodograma para a deermnação da freqüênca w. Os esmadores, e dependerão de w e, porano, serão denoados respecvamene por ˆ ( w), ˆ ( w) e ˆ (w). As frequêncas w devem mnmzar a soma de quadrados resdual, SQR, dada pela expressão 3.8: ~ ou equvalenemene, maxmzar a quandade SQR SQT R, (3.8)

14 48 R ~ w ~ ~ ( w) ( w) ( ), (3.9) ~ ~ com ( w) e ( w) dadas pelas expressões 3.30 e 3.3 ~ ( Z Z )cos( w) (3.30) ~ ( Z Z ) sen ( w) (3.3) O que, é equvalene a maxmzar a quandade: ~ I( w) R ( w) (3.3) 8 ( w) Z Z cosw Z Z senw, (3.33) denomnada perodograma. ~ Assm, esma-se w maxmzando R ( w) na expressão 3.9 ou, equvalenemene, maxmzando o perodograma da equação obemos os demas esmadores do modelo ulzando as expressões abaxo: Z Z, (3.34) ˆ ˆ Z cos( w ), w, (3.35) Z ( ) e ˆ 0, se w, (3.36) Para mas dealhes sobre regressão harmônca consule Moren (006) e Tolo (006). A análse harmônca pode ser combnada com a abordagem de Box& Jenkns na modelagem de séres emporas com múlplos cclos de sazonaldade, como é o caso das séres horáras de velocdade de veno analsadas nesa dsseração, onde o ause de um modelo auo-regressvo méda móvel (ARMA) é preceddo pela análse harmônca com a fnaldade de remover os múlplos cclos sazonas. O méodo ARMA é aplcado

15 49 na modelagem da sére dos resíduos resulanes da dferença enre a sére da velocdade do veno e a sére esmada pela regressão harmônca. 3.5 Rede eural Arfcal Uma rede neural arfcal (RA) é um ssema de compuação composo de elemenos processadores (EPs) alamene nerlgados, rabalhando em paralelo para desempenhar uma deermnada arefa. Eses elemenos processadores, lnsprados nos neurônos bológcos, são organzados de al forma que podem, em alguns casos, lembrar a anaoma do cérebro. Conudo, os EPs são bem mas smples que suas nsprações nauras e conêm bascamene apenas um algormo maemáco que execua o processameno da nformação em resposa a esímulos procedenes de ouros EPs (Haykn, 00). O cérebro humano é composo por cerca de 00 blhões de células nervosas, conhecdas por neurônos, que se conecam massvamene umas as ouras aravés de lgações eleroquímcas, denomnadas snapses, formando uma grande rede de processameno. Cada neurôno recebe esímulos aravés dos dendros, os processa em seu corpo celular e, dependendo do seu esado de avação, gera e ransme um esímulo pelo seu axôno para que ana ouros neurônos. A esruura e o funconameno do neurôno bológco podem ser modeladas pelo neurôno arfcal lusrado na Fgura 6. X w X X3 w w3 wx ne Y ne Y X w w0 = Vés Fgura 6-eurôno arfcal de McCulloch & Ps o neurôno arfcal os ermnas de enrada represenam os dendros e o únco ermnal de saída represena o axôno. A nensdade das snapses é represenada pelos pesos (w) nos ermnas de enrada, cuos valores podem ser negavos ou posvos,

16 50 defnndo snapses nbdoras ou excadoras respecvamene. De forma análoga ao que aconece no cérebro humano, onde as snapses são reforçadas ou enfraquecdas, os pesos são ausados durane a evolução do processo de aprendzagem da rede. O comporameno do corpo celular é emulado por um mecansmo que faz a soma ponderada dos valores recebdos (cálculo do ne). o modelo mas smples, esa soma ponderada é comparada com um lmar. ese modelo, a função de avação que relacona a resposa do neurôno com a soma ponderada dos valores recebdos é uma função degrau: se x w x w... x w o neurôno é avado e produz uma saída gual a, caso conráro o neurôno não dspara e a saída é zero. Enfm, o corpo celular é responsável pelo mapeameno dos snas de enrada em um únco snal de saída. o lugar da função degrau, a função de avação pode assumr dferenes formas, em geralmene não-lneares, o que ransformam as redes neuras em ssemas compuaconas capazes de resolver problemas complexos. Assm, desacam-se as segunes funções de avação: Função lnear: os neurônos com esa função de avação podem ser ulzados como aproxmadores lneares; Função Logísca sgmodal: mapea os snas de enrada dos neurônos no nervalo [0,]. É a função geralmene adoada, por ser conínua monoônca, não lnear e faclmene dferencável em qualquer pono; Função angene hperbólca: mapea os snas de enrada dos neurônos no nervalo [-,+]. Possu as mesmas caraceríscas e emprego da função logísca sgmodal, possblando que as saídas seam smércas. As RA são ssemas paralelos dsrbuídos, composos por undades de processameno smples (neurônos) dsposas em uma ou mas camadas que são nerlgadas por um grande número de conexões geralmene undreconas e com pesos para ponderar a enrada recebda por cada neurôno. Aravés de uma analoga com o cérebro humano, pode-se afrmar que os pesos das conexões armazenam o conhecmeno ou a memóra da rede neural. A organzação dos város neurônos arfcas em uma esruura e a forma de como eles se nerlgam defne a arqueura de uma RA. A arqueura mas usual é a rede percepron de múlplas camadas ou Mullayer Percepron (MLP) com rês camadas, conforme mosra a Fgura 7.

17 5 camada de enrada camada escondda camada de saída Fgura 7-Rede neural com rês camadas A prmera camada da rede é a camada de enrada, sendo a únca camada exposa às varáves de enrada. Esa camada ransme os valores das varáves de enrada para os neurônos da camada escondda, para que eses exraam as caraceríscas relevanes ou padrões dos snas de enrada. Por sua vez a camada nermedára ransmes os resulados para a camada de saída, a úlma camada da rede. A consrução de um modelo baseado em RA envolve a busca da melhor confguração para a rede,.e., a defnção do número adequado de camadas esconddas e a defnção da quandade deal de processadores nesas camadas. A nexsênca de regras que defnam claramene a confguração adequada faz desa busca um processo empírco e que depende da dsrbução dos padrões de enrada, da quandade de ruído presene nos exemplos de renameno e da complexdade da função a ser aprendda (Haykn, 00). Dferenes confgurações devem ser avaladas, enreano, deve-se sempre empregar o prncípo da parcmôna, e saber que uma rede com apenas uma camada ocula é capaz de aproxmar qualquer po de função conínua (Haykn, 00), embora em algumas suações específcas seam usadas duas camadas. Uma RA possu duas fases de processameno: aprendzado e ulzação. o processo de aprendzado, os pesos de conexão são ausados em resposa ao esímulo apresenado à rede neural, ou sea, a rede se modfca em função da necessdade de aprender a nformação que lhe fo apresenada. O processo de ulzação é a manera pelo qual a rede responde a um esímulo de enrada sem que ocorram modfcações na sua esruura (Caldera e al, 007). Segundo Treleaven (989), o processo de

18 5 aprendzagem ocorre aravés de um processo neravo de ause dos parâmeros lvres, pesos snápcos e por esmulação do ambene. Os paradgmas de aprendzado são: aprendzado supervsonado e aprendzado não supervsonado descros resumdamene a segur. Aprendzado Supervsonado: Esa forma de aprendzado se basea em um conuno de exemplos de enrada-saída que é apresenada a rede. A parr da enrada, a rede realza seu processameno e a saída obda é comparada com a saída esperada. Caso não seam guas, um processo de ause de pesos é aplcado buscando-se um erro mínmo ou aceável. O algormo de aprendzado supervsonado mas comum é o backpropagaon (Haykn, 00). Aprendzado não supervsonado: É caracerzado pela ausênca de algum e- lemeno exerno supervsor, ou sea, um padrão de enrada fornecdo perme que a rede lvremene escolha o padrão de saída a parr das regras de aprendzado adoadas. Possu duas dvsões: aprendzado por reforço, que consse no mapeameno enrada-saída aravés da neração com o ambene, e aprendzagem nãosupervsonada ou auo-organzada onde, a parr de mércas de qualdade do a- prendzado ocorre a omzação dos parâmeros lvres da rede. Pode, por exemplo, ser ulzada a regra de aprendzagem compeva. Os algormos de aprendzado não supervsonado mas mporanes são: Algormo de Hopfeld e Mapas de Kohonen (Haykn, 00). A aprendzagem supervsonada é comumene aplcada na prevsão de séres emporas, enquano a aprendzagem não supervsonada é usual na análse de agrupamenos (cluser analyss). A prevsão de valores fuuros de uma sére emporal, por meo de uma RA (Werbos, 990), nca-se com a monagem do conuno de renameno, que depende da defnção do amanho da anela de empo para os valores passados das varáves explcavas e da própra varável que se desea prever, bem como do horzone de prevsão. O padrão de enrada é formado pelos valores passados das varáves explcavas que podem nclur os valores passados da própra sére que se desea prever (modelo auo-regressvo) e a saída deseada é o valor da sére emporal no horzone de prevsão. A Fgura 8 lusra como deve ser consruído o conuno de renameno no caso da prevsão basear-se nos quaro úlmos valores passados. A consrução dos padrões de re-

19 53 nameno da rede consse em mover as anelas de enrada e saída ao longo de oda sére emporal: Fgura 8- Monagem do conuno de renameno Cada par de anelas enrada/saída funcona como um padrão de renameno e deve ser apresenado repedas vezes aé que o algormo de aprendzado alcance a convergênca. A arqueura da RA exerce grande nfluênca sobre o desempenho do processo de aprendzagem. Em uma rede neural pequena há dfculdade de armazenar odos os padrões necessáros e por sso a convergênca do algormo de renameno é mas lena. Em uma rede pequena os processadores fcam sobrecarregados e ldam com muas resrções na enava de enconrar uma represenação óma. Porém, deve-se er o cudado de não ulzar processadores demas, pos a rede pode memorzar os padrões de renameno, ao nvés de exrar as caraceríscas geras que permrão o reconhecmeno de padrões não vsos durane o renameno. Com relação às redes com mas de uma camada escondda é mporane observar que cada vez que o erro é propagado para a camada aneror, ele se orna menos úl e precso. Apenas a camada medaamene aneror à camada de saída em uma noção precsa do erro, odas as camadas esconddas anerores recebem uma esmava do erro. Por esa razão a convergênca dos pesos desas camadas é mas lena. O processo de renameno de uma rede neural é nada mas que o ause de parâmeros, guado pelo processo de mnmzação da função do erro enre as saídas deseadas e as apresenadas pela rede. Durane o processo, város padrões de enrada e as respecvas saídas deseadas são apresenados à rede neural, de al forma que os pesos

20 54 das snapses seam corrgdos eravamene pelo algormo do gradene decrescene com o obevo de mnmzar a soma dos quadrados dos erros: E n p ( d p y p ), (3.37) onde, p - o número de padrões de renameno (padrões de enrada e saída); n - o número de neurônos da camada de saída; d - é a saída deseada para o -ésmo neurôno da camada de saída; y - é a saída gerada pelo -ésmo neurôno da camada de saída. O prncpal algormo de renameno é o backpropagaon, onde o ause dos pesos se dá pela execução de um processo de omzação realzado em duas fases: forward e backward, conforme mosra a Fgura 9, padrão de enrada FASE FORWARD cálculo da saída pesos ausados FASE BACKWARD erro Fgura 9-Rede neural com rês camadas a fase forward os dados de enrada almenam a rede e são propagados para frene aé que as saídas dos nós da úlma camada seam obdas, consderando-se fxos odos os parâmeros da rede. Já na fase backward, o desvo (erro) enre a resposa deseada (alvo) e a resposa efevamene fornecda pela rede é ulzado para ausar os pesos das conexões da rede. O snal de erro é propagado na dreção da camada de enrada e o gradene decrescene é usado para ausar os parâmeros da rede.

21 55 Para mnmzar a soma dos quadrados do erro o algormo backpropagaon se basea no méodo gradene descendene, por sso, afm de que esse méodo sea ulzado a função de avação precsa ser conínua, dferencável e de preferênca não decrescene, por exemplo, a função logísca. O algormo backpropagaon pode ser resumdo nas segunes operações (Haykn, 00): º Passo - Incalze aleaoramene os pesos da rede e faça o conador de épocas () gual a zero. º Passo - Apresene uma época de exemplos de renameno à rede. Uma época ndca o número de vezes que o conuno de renameno, ou melhor, os padrões de enrada (x) e o respecvo padrão de saída (yd) são apresenados à rede. Para cada exemplo de renameno realzar os passos 3 e 4 a segur. 3º Passo Fase forward: Propague o padrão de enrada (Xp) para frene, camada por camada, aé chegar na camada de saída. Para cada neurôno calcular a combnação dos snas recebdos da camada aneror: onde, y I ne I m I I w y 0, é a saída produzda pelo neurôno da camada aneror I- e (3.38) w I, é o peso snápco da conexão do neurôno na camada I com o neurôno da camada aneror I-. w Para =0 em-se o vés aplcado ao neurôno na camada I: y I b I I, 0. 0 e Se o neurôno esá na prmera camada ocula,.e., I= y 0 = x (). Denoando por f a função de avação do neurôno, o snal produzdo por ele é: y I f ne. (3.39) o fnal calcule o erro, ou sea, a dferença enre a resposa deseada e a resposa fornecda pela rede: e y d y (3.40)

22 56 4º Passo Fase backward: Propague o erro calculado no passo para rás, começando na camada de saída e ermnando na camada de enrada. ese processo ause os pesos conforme a expressão : w I I I w y I,, (3.4) onde, é a axa de aprendzagem, aneror I- e I y I com a localzação do neurôno na rede. é a resposa do neurôno suado na camada é o gradene local do neurôno da camada I, defndo de acordo Se a camada I onde esá o neurôno é uma camada de saída em-se: I e df ne dne (3.4) Porém, se a camada I onde o neurôno esver é uma camada escondda, o gradene local é: I df ne dne m k w I I k k (3.43) I onde, m é número de neurônos da camada I+, é o gradene local do neurôno k suado na camada I+ e w I k camada I e o neurôno k na camada I+ k é o peso snápco da conexão enre o neurôno na 5º Passo Após ermnar uma época de exemplos faça =+ e ere para frene e para rás os passos 3 e 4 e pare apenas quando o créro de parada for sasfeo. O backpropagaon usa o algormo do gradene descendene durane na omzação dos pesos das snapses. Um aprmorameno do gradene descendene é o algormo o erro. Usualmene o créro de parada fxa um deermnado número de erações ou esabelece uma olerânca para

23 57 de Levenberg-Marquard o qual propõe uma solução de compromsso enre o algormo do gradene decrescene e o méodo eravo de Gauss-ewon. Sua regra de aualzação dos pesos é: x x (H I) f(x) (3.44) onde, x - represena o veor de pesos; f - represena gradene de erro médo quadráco; H - represena a marz Hessan; - um faor de ause. Assm, a regra de aualzação leva em consderação ano a nclnação da superfíce do erro (méodo do gradene decrescene) quano à curvaura desa superfíce (méodo de Gauss-ewon). O faor de ause ndca qual dos dos méodos será predomnane: para faores de ause grandes, o méodo do gradene decrescene predomna e a aualzação dos pesos ocorre foremene na dreção de nclnação da superfíce do erro; caso conráro, o méodo de Gauss- ewon predomna e a aualzação ocorre mas no sendo da curvaura da função. Fnalmene, é bom ressalar que o problema encarado pelo algormo LM é exaamene o que ocorre no renameno backpropagaon, onde a função erro a ser mnmzada é não lnear. Para mas nformações sobre méodo de redes neuras podem ser consulados em Klr (995) e Haykn (00). 3.6 Redes euro-fuzzy Traa-se da fusão de duas ferramenas á conhecdas: redes neuras arfcas e a lógca fuzzy, no qual agregam-se as caraceríscas de ransparênca de racocíno da lógca fuzzy unamene com a capacdade de aprendzado e generalzação das redes neuras. Assm uma rede euro-fuzzy pode ser defnda como um ssema fuzzy que é renado como uma rede neural. Tendo em vsa esa analoga, a unão da rede neural com a lógca fuzzy vem com o nuo de amenzar a defcênca de cada um deses ssemas fazendo com que enhamos um ssema mas efcene, robuso e de fácl enendmeno.

24 58 O problema das redes neuras esá bascamene relaconado à fala de poder explcavo do ssema. Como forma de enar soluconar eses problemas, fo crado os ssemas euro-fuzzy. A prncpal vanagem dese ssema é assocar a capacdade de aprendzado das Redes neuras e sua olerânca a falhas à nerpreabldade dos ssemas fuzzy. Exsem város ssemas euro-fuzzy, das quas podemos car: AFIS- Adapave ework Fuzzy Inference Sysem (JAG 993); EFCLASS euro-fuzzy Classfcaon (AUCK 994); FSOM- Fuzzy- Self organzed Map (VUORIMAA 996); FH- euro-fuzzy Herárquco (SOUZA 997). Para esse rabalho fo aplcado o Adapave ework Fuzzy Inference Sysem (AFIS), uma vez que esamos raando de dados de séres emporas. A segur, em-se uma breve descrção do ssema de nferênca fuzzy á que o ssema em esudo é fundameado no ssema fuzzy Ssema de Inferênca Fuzzy a lógca fuzzy o grau de verdade de uma declaração é represenado por um número real no nervalo [0,], ao conráro do que ocorre na lógca clássca em que o grau de verdade assume apenas dos valores: 0 (declaração falsa) e (declaração verdadera). Esa caracerísca da lógca fuzzy é úl em muas suações prácas onde o grau de nensdade de um fenômeno é descro de manera mprecsa por meo de varáves lngüíscas: baxo, moderado baxo, médo, moderado alo ou alo. Exemplos desa suação são as senenças emperaura baxa, emperaura normal e emperaura ala, onde a separação enre os conunos, por exemplo, normal e ala não é precsa. A prncpal conrbução da lógca fuzzy resde no raameno desas quesões lngüíscas por meo de funções de pernênca aos conunos fuzzy, conforme lusrado a segur na Fgura 0 para a varável emperaura.

25 59 Fgura 0-Conunos fuzzy e funções de pernênca para a varável emperaura a Fgura 0 a varável emperaura fo modelada por rês conunos fuzzy que represenam as suações de emperaura baxa, normal e ala. Eses rês conceos lngüíscos não são delmados de forma precsa, pos esão assocados com a sensação érmca. Esa caracerísca é represenada pela sobreposção enre os conunos fuzzy para deermnadas emperauras. Por exemplo, uma emperaura de 8ºC é baxa ou normal? A lógca fuzzy responde esa quesão arbundo um grau de pernênca de 0,6 ao conuno fuzzy emperaura normal e 0,4 ao conuno fuzzy emperaura baxa e desa forma consegue raar um conceo defndo de forma mprecsa. A eora dos conunos fuzzy e os conceos de lógca fuzzy podem ser ulzados para raduzr em ermos maemácos a nformação mprecsa expressa por um conuno de regras lngüíscas, senenças fornecdas por um especalsa e expressas aravés de mplcações lógcas da forma SE anecedene ETÃO conseqüene (Pacheco & Vellasco, 007). O processo de nferênca fuzzy avala os níves de compabldade das varáves de enradas com os anecedenes das váras regras, avando os conseqüenes com nensdades proporconas aos mesmos. O resulado desa operação é um conuno fuzzy que é converdo em um número, a resposa do ssema de nferênca fuzzy. A esruura de um ssema de nferênca fuzzy é lusrada na Fgura e na sequênca são descras as funções de cada um dos seus elemenos

26 60 Fgura -Ssema de nferênca fuzzy ou FIS (Pacheco &Vellasco, 007) Fuzzfcador: Mapea os valores das varáves de enrada (valores crsp) nos conunos fuzzy dos anecedenes das regras fuzzy. Isso se faz necessáro de forma a avar regras que esão no formao de varáves lngüíscas, as quas possuem conunos fuzzy assocados com elas (Kln & George, 995). Base de regras: As regras são fornecdas em geral por especalsas ou exraídas a parr dos dados, na forma de senenças lngüíscas se-enão ( Caldera, 007). Inferênca: Realza as operações lógcas com conunos fuzzy, combnação dos anecedenes das regras, mplcação e modus ponês generalzado. Defuzzfcador: Transforma um conuno fuzzy de saída em um elemeno do unverso de dscurso (em geral, um número real), ou sea, o nverso da fuzzfcação. Enre as écncas ulzadas para al processo, a mas usual é o do cenróde (Caldera e al. 007). A segur, a Fgura lusra o prncípo de racocíno da lógca fuzzy em um ssema de nferênca fuzzy po Mandan com duas regras, cuos anecedenes são defndos pela composção de dos conunos fuzzy A e B e que represenam o comporameno das varáves de enrada x e y respecvamene. Cada regra oferece como resposa um conuno fuzzy de saída C:

27 6 Se x é A Se x é A e y é B enão z C e y é B enão z C (3.45) Fgura -Modelo Mandan Fone: Jang, 997 o modelo Mandam o processameno é denomnado nferênca Max-Mn e corresponde às operações de unão e nerseção fuzzy (operadores máxmo e mínmo). Os anecedenes de cada regra são processados por meo da nerseção fuzzy, gerando um grau de dsparo que lmará os valores máxmos dos conunos de saída. Por exemplo, na Fgura o valor precso da varável X em pernênca A no conuno fuzzy A e o valor da varável Y em pernênca B no conuno fuzzy B. Logo, pela nferênca Max-Mn o grau de avação da regra é mn(a, B) que nese caso é A. A composção de odas as regras dsparadas (ou avadas) é realzada aravés da operação de unão fuzzy que gera o conuno fuzzy de saída. Para ober uma saída precsa deve-se proceder à defuzzyfcação do conuno de saída. Há dversos méodos para realzar a ransformação dos conunos fuzzy de saída em valores numércos, as como a Méda dos Máxmos e o Cenro de Massa (ambém denomnado Cenro de Gravdade ou Cenróde). Uma alernava ao modelo Mandan é o modelo Takag-Sugeno-Kang ou TSK (Jang,993 e Sun 995) lusrado na Fgura 3, no qual cada regra oferece como resposa uma combnação lnear das varáves de enrada, sendo que a saída do ssema de nferênca fuzzy é a méda ponderada das resposas parcas, onde os pesos são os graus de avação das regras w e que expressam a compabldade das varáves de enrada x e y com os anecedenes das regras. O modelo TSK pode ser vso como uma combnação

28 6 enre conhecmeno lngüísco (pare anecedene) e regressão esaísca (pare conseqüene), de al forma que os anecedenes descrevem regões nebulosas no espaço de enrada nas quas as funções conseqüenes são váldas. Uma regra ípca de um ssema com duas varáves de enrada ulzando o ssema TSK em a forma: Se x é A e y é Benão z px qy r (3.46) o caso em p = q = 0, emos z = r, chamado modelo TSK de ordem zero, que pode ser vso como um caso especal de um modelo de Mandan no qual o conseqüene é especfcado por um conuno unáro (sngleon). Como cada regra possu uma saída convenconal, a saída global é obda aravés da méda ponderada de odos os resulados de saída, consderando-se os graus de pernênca de cada regra avada: y. y (3.47) onde, y é a saída fnal, represena o oal de regras avadas, e é o grau de pernênca em relação à conrbução de cada regra avada. Fgura 3-Modelo Takag-Sugeno-Kang Fone: Jang e al, 997

29 Ssema euro-fuzzy Adapavo (AFIS) O AFIS é uma rede neural proposa por Jang (993) cua déa básca é de mplemenar um ssema de nferênca fuzzy aravés de uma arqueura paralela dsrbuída, nese caso, a de uma RA, de al forma que os algormos de aprendzado possam ser usados para ausar ese ssema de nferênca fuzzy. Os parâmeros assocados com as funções de pernênca são ausados va um algormo de aprendzado. O ause deses parâmeros é efeuado ulzando o algormo de backpropagaon ou uma combnação dese com um algormo do po: mínmos quadrados (Leas Squares). Esa esruura mplemena ssemas do po Takag-Sugeno (Takag-Sugeno, 985), com funções lneares ou consanes nos consequenes das regras que formam o ssema, endo esas regras pesos unáros. A rede adapava é uma espéce de grafo com nós nerconecada por ramos dreconados. Alguns dos nós apresenam comporameno adapavo, ou sea, sofrem aleração paramérca no decorrer do renameno, enquano ouros manêm seu comporameno dnâmco nalerado (Caldera, 007). O méodo une as váras pares de um ssema de nferênca fuzzy em uma rede a- dapava feedforward com cnco camadas (Fgura 4) e renada de modo supervsonado. Fgura 4-Arqueura da AFIS. Fone: Jang, 993 A íulo de lusração consdere duas enradas x e y e uma saída z. o conexo da prevsão de séres emporas, as varáves x e y correspondem aos valores passados da varável que se desea prever z(), z(-),... ou valores passados de varáves explcavas. Suponha que a base de regras conenha duas regras fuzzy se-enão :

30 64 Regra : Se x é A e y é B enão f =p x + q y +r (3.48) Regra : Se x é A e y é B enão f =p x + q y +r onde, A e A são os conunos fuzzy da varável x e B e B os conunos fuzzy da varável y. Desaca-se que o conseqüene de cada regra é uma combnação lnear das varáves de enrada (x e y) e corresponde a uma prevsão para o valor da varável de saída z, porano, cada regra fornece uma prevsão para a varável de saída. a camada, cada nó represena um conuno fuzzy de uma varável de enrada (x ou y) e como resulado fornece o grau de pernênca µ do valor de enrada no conuno fuzzy: =, =, Saída Saída A B x y, grau de pernênca do valor da varável x no conuno fuzzy A,, grau de pernênca do valor da varável y no conuno fuzzy B, O grau de pernênca µ da enrada nos conunos fuzzy A e B pode ser defndo por funções rangulares, rapezodas, gaussanas, mas usualmene é descro pela função sno generalzada: A x,, B x,, x b a c x e d f (3.49) Onde, (a.b.c ) e (d.e.f ) são conunos de parâmeros (premse parameers) ausados durane o renameno da rede. a camada cada nó calcula o grau de avação de uma regra fuzzy, defndo pelo produo enre os graus de pernênca das varáves de enrada nos conunos fuzzy que formam os anecedenes das regras: Saída (3.50) w x A B y = grau de avação da -ésma regra fuzzy =.,

31 65 A camada não em pesos a serem ausados, é uma camada com elemenos esácos. a camada 3, cada nó normalza o grau de avação de uma regra fuzzy dvdndo o grau de avação da -ésma regra pela soma dos graus de avação de odas as regras: Saída 3 w w w =, (3.5) O valor normalzado do grau de avação fornece uma medda da mporânca de cada regra fuzzy, quano maor o valor normalzado, maor a mporânca da respecva regra. A camada 3 ambém é esáca. a camada 4, cada nó calcula a resposa de uma regra fuzzy, ou sea, uma prevsão para o valor da varável z, defnda por uma combnação lnear das varáves de enrada: Saída 4 w p x q y =, (3.5) onde, (p,q,r ) são parâmeros (consequen parameers) a serem ausados durane o renameno. Por fm, na camada 5, uma camada fxa, o únco neurôno calcula a méda ponderada das prevsões parcas para a varável de saída, onde cada prevsão parcal é ponderada pelo grau de avação da respecva regra fuzzy: Saída 5 w p x q y r w p x q y w (3.53) o ause dos premse e consequen parameers a AFIS usa o méodo dos mínmos quadrados para deermnar os consequen parameers e a reropropagação do erro

32 66 (méodo do gradene descendene) para aprender os premse parameers (Jang e al, 997). A rede adapava em um funconameno equvalene ao modelo de TSK. O procedmeno de prevsão da AFIS é smlar da rede neural. Tem-se duas formas de prevsão: Prevsões mul-sep Prevsões sngle-sep As prevsões mul-sep são aquelas que se caracerzam por possur realmenação das saídas das RAs para as enradas das mesmas. ese po de prevsão, o ssema neural usa um conuno de valores correnes da sére para prever os valores fuuros desa sére por um período fxo. Em seguda, esa prevsão é realmenada na enrada do ssema para prever o próxmo período. Esas prevsões são muo usadas para denfcar endêncas e ponos de mudanças preponderanes nas séres. Devdo ao erro que é nserdo a cada nova prevsão, o horzone de prevsões "mul-sep" depende das caraceríscas da sére e do lme do erro esabelecdo. as prevsões "sngle-sep" não exse realmenação. As RAs ulzam apenas os valores anerores da sére para prever um passo à frene. Todava, ese passo ano pode ser para prevsões de curo prazo como para prevsões de médo e longo prazo, basando que se enha dados sufcenes para renar a rede. A prevsão "sngle-sep" ambém serve para avalar a adapabldade e a robusez do ssema, mosrando que mesmo quando as RAs fazem prevsões erradas, elas são capazes de se auo corrgrem e fazer as próxmas prevsões correamene. 3.7 Dagnosco do Modelo Dada uma sére hsórca com n observações, a qualdade do ause e o desempenho de um modelo de prevsão podem ser avalados pelas segunes esaíscas, onde O é o valor observado e E o valor esmado/prevso, ambos para o nsane. O desvo enre eses dos valores é o erro de prevsão em.

33 67 Erro médo absoluo percenual (MAPE): n O E O n 00 = MAPE Erro médo absoluo (MAD): n n E O = MAD Raz do erro quadráco médo (RMSE) : n n E O = RMSE U de Thel: n n O O O O E O = - Thel U A esaísca U de Thel compara a prevsão obda pelo modelo de prevsão com a obda pelo méodo de prevsão ngênuo (nave), no qual a prevsão para o nsane segune é o valor medaamene aneror.