Sistema de vigilância para detecção de interações espaçotempo de eventos pontuais

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1 Ssema de vglânca para deecção de nerações espaçoempo de evenos ponuas Taynãna C. Smões, Renao M. Assunção Deparameno de Esaísca Unversdade Federal de Mnas Geras (UFMG) Caxa Posal: Belo Horzone MG Brasl Absrac. The Sysem of Survellance proposed consss of he monorng of a group of pon evens, n order o deecng quckly he formaon of space-me cluserng, as soon as begn o appear. I bases on he analyss of prospecve sascal mehods (on-lne sudes). In hs arcle, s o adap he echnque presened by Rogerson (2), wh he nenon of deecng he exsen cluser, hrough he vsualzaon of he poson n ha was formed. Besdes, we beleved hs mechansm can o avod ha observaons ha don' belong o he cluser make he alarm o sound falsely. Resumo. O Ssema de Vglânca proposo consse no monorameno de um conjuno de evenos ponuas, a fm de deecar rapdamene a formação de conglomerados espaço-empo, assm que eses começam a surgr. Basea-se na análse de méodos esaíscos prospecvos (Esudos on-lne). Nese argo, objeva-se adapar a écnca apresenada por Rogerson (2), com o nuo de deecar o conglomerado exsene, aravés da vsualzação da posção em que fo formado. Além dsso, acreda-se que a écnca proposa eve que observações que não perençam ao conglomerado façam o alarme soar falsamene.. Inrodução Compreender a dsrbução espacal de dados orundos de fenômenos ocorrdos no espaço consu hoje um grande desafo para a elucdação de quesões cenras em dversas áreas do conhecmeno. Tas esudos vêm se ornando cada vez mas comuns, devdo à dsponbldade de Ssemas de Informação Geográfca (SIG) de baxo cuso e com nerfaces amgáves, que permem a vsualzação espacal de fenômenos sob esudo. A ênfase da análse espacal é mensurar propredades e relaconamenos, levando em cona a localzação espacal do fenômeno em esudo de forma explíca. Usualmene, o processo de modelagem é preceddo de uma fase de análse exploraóra, assocada à apresenação vsual dos dados sob forma de gráfcos e mapas e a denfcação de padrões de dependênca espacal no fenômeno em esudo. No caso de análse de padrão de ponos, o objevo de neresse é a própra localzação espacal dos evenos. 28

2 Deecar aglomerados espaço-empo de forma rápda, efcene e em empo real é uma necessdade em váras áreas do conhecmeno. Nas áreas de saúde e socal, prncpalmene, écncas e ferramenas que possblem fazê-lo êm uma mporânca parcular, pos permem que ações prevenvas ou de conrole sejam realzadas de forma efcene. O Ssema de Vglânca em esudo consse no monorameno de um conjuno de evenos ponuas, a fm de deecar rapdamene a formação de conglomerados espaço-emporas, assm que eses começam a surgr. Basea-se na análse de méodos esaíscos prospecvos, que são aqueles esudos em que há uma análse repeda de dados acumulados ao longo do empo seqüencalmene, com o objevo de deecar rapdamene qualquer mudança que ocorra na sére. Ese po de esudo ambém é chamado de caso on-lne. Ulzando a esaísca de deecção de conglomerados espaço-empo de Knox e méodos de Soma Acumulada (CUSUM), Rogerson (2) propõe um ssema de vglânca que deece conglomerados geografcamene avos. No enano, um problema observado é que pode ser que a soma acumulada eseja ão próxma do lmar a parr do qual o processo passe a esar fora de conrole, que uma observação não perencene ao conglomerado, faça o alarme soar falsamene. Preende-se, desa forma, enar reformular a écnca apresenada por Rogerson (2), com o nuo de evar que esas observações, que não perençam ao conglomerado, façam o alarme soar quando não devera. No enano, nese argo, o prncpal objevo se lmará a apresenar um mecansmo de deecção do conglomerado, aravés da vsualzação da localzação em que fo formado. 2. Vglânca Esaísca Bascamene, um Ssema de Vglânca monora mudanças quando novas observações ornam-se dsponíves, no decorrer do esudo. Por sua vez, vglânca esaísca sgnfca um monorameno on-lne de um processo esocásco X = {X(); =, 2,...} com o objevo de deecar uma mudança mporane no processo, em um empo desconhecdo τ, ão rápda e precsamene possível. A cada pono de empo s de decsão, deve-se dscrmnar enre dos esados no ssema monorado: sob-conrole (D(s)) e fora-de-conrole (C(s)). Para que sso ocorra, ulzam-se as observações acumuladas X s ={X(); s} para formar conjunos alarme A(s), as que se X s A(s), essa é uma ndcação que o processo esá no esado C(s) e um alarme é soado. Usualmene, sso é feo usando uma função alarme p(x s ) e um lme de conrole g(s). O empo de um alarme A é escro como A = mn{ s, p( X s > g( s)} Dferenes pos de meddas são ulzados para avalar um méodo de vglânca, caracerzando seu comporameno quando o processo esá sob-conrole e fora-deconrole. A dsrbução de um alarme falso, por exemplo, é freqüenemene resumda pelo número médo de observações aé que o alarme soe, dado que o processo esá sobconrole (ARL ). 282

3 ARL = E[ A τ = ] Oura medda normalmene ulzada é a probabldade de um alarme falso: P( A < τ ) = = P( = τ ) P( A < τ τ = ) Quando um ssema de vglânca é avalado, deve-se encarar um rade-off enre alarmes falsos e empos de espera curos para observar um alarme verdadero. 3. Ssema de Vglânca Rogerson (2) Rogerson (2) propõe um ssema de vglânca no qual combna méodos de Soma Acumulada (CUSUM) com uma esaísca de deecção de conglomerados espaço-empo para um conjuno de dados ponuas (Tese de Knox). A aproxmação cona com uma esaísca de Knox local que é úl em análses rerospecvas para deecar quando e onde a neração espaço-empo ocorre. 3.. Tese de Knox O ese de Knox é um ese baseado na conagem do número de pares de evenos que ocorrem denro de nervalos crícos pré-especfcados de empo (T) e dsânca (D). O mecansmo pode ser lusrado aravés da Fgura. Fgure. Vsualzação do mecansmo de conagem de pares próxmos no Tese de Knox. Sejam n s os pares de evenos observados que são próxmos no espaço (separados por uma dsânca menor ou gual a S), n os pares de evenos que são próxmos no empo (separados no empo por menos que o nervalo críco T), e n s os pares de evenos que são próxmos em ambos, espaço e empo. A esaísca de ese N s deve ser comparada com o seu valor esperado, sob a hpóese nula H, de que não há neração espaço-empo. Dado n ponos localzados no empo e no espaço, exsem n n( n 2) = 2 2 pares dsnos que podem ser dvddos em uma marz 2 x 2, ndcando os pares que esão próxmos no espaço e/ou no empo. A esaísca N s excederá seu valor esperado, quando os ponos próxmos no espaço (empo) forem mas próxmos que o esperado no empo (espaço). 283

4 No conexo dos méodos prospecvos de deecção de conglomerados, uma proposa possível é a de que fosse ulzado um novo ese a cada vez que uma nova observação fosse acrescenada no banco de dados. No enano, ese procedmeno resulara em um erro do Tpo I muo maor que o especfcado, levando a ndcações falsas de neração espaço-empo. Assm, uma alernava para ese po de problema, segundo Rogerson (2), sera ulzar méodos de Soma Acumulada (CUSUM) Méodos de Soma Acumulada (CUSUM) Os méodos de Soma Acumulada são muo usados para monorar processos ndusras com o objevo de deecar rapdamene uma mudança ndesejável no processo. É ulzado, desa forma, no conrole de um processo esaísco seqüencal de uma varável para poencas desvos da méda esperada. Seja x a observação no empo, X ~ N(µ, σ 2 ), σ 2 <. Assumndo que não há correlação na sére de observações, a soma acumulada no empo é dada aravés da relação: S = max(, S + x µ kσ ); S = Assm, a Soma Acumulada acumula desvos da méda que excedem k desvos padrão, deecando rapdamene qualquer mudança no valor médo de X. Um snal de "fora-de-conrole" (houve uma mudança na méda do processo) é soado no prmero empo, al que S exceda algum nível de decsão predeermnado h. Os parâmeros h e k são expressos em ermos do desvo-padrão das observações. E a escolha de h, depende do número médo de observações aé que ocorra uma mudança, sob a hpóese de que o processo eseja sob conrole (ARL ). Espera-se que o ARL seja longo, quando o processo esá sob conrole e curo após o processo er expermenado uma mudança. O lmar h a parr do qual o alarme deve soar é dado pela expressão dervada por Segmund (985): ARL 3.3. Esaísca de Knox Local 2{exp( h +.66) h 2.66} Quando o ese de Knox global é sgnfcavo, freqüenemene é de neresse enconrar os pares específcos responsáves por esa neração. Desa forma, mplemena-se uma esaísca de Knox Local, que é um ese rerospecvo. Sejam n s () o número de evenos que são próxmos à observação no espaço, n () o número de evenos que são próxmos no empo a e n s () ser o número de evenos que são conjunamene próxmos no empo e espaço à observação. Para enconrar a dsrbução de N s (), sob a hpóese nula de não neração espaço-empo, supõe-se que cada permuação aleaóra dos índces dos empos e posções fxas é gualmene provável. Seja n j () o número de ponos que esão próxmos no empo do eveno quando a ese é assocado o j-ésmo valor do empo. Assm, para uma dada permuação de empos aravés das localzações espacas, mosra-se que a dsrbução de N s () é hpergeomérca com parâmeros n-, n s () e n j (). 284

5 Alernavamene, uma aproxmação Normal pode ser ulzada Uma mplemenação préva do méodo evdencou que a varânca da varável aleaóra N s () apresenada no argo do Rogerson (2) esá ncorrea. Padronza-se N s (), resulando na segune esaísca escore z ajusada: z n = s ( ) E{ N s Var{ N s ( )},5 N(,) ( )} Assm, em esudos prospecvos, deseja-se verfcar quando há evdênca de aumeno na neração espaço-empo. Porano, a cada nova observação, é de neresse comparar qualquer aumeno na esaísca de Knox com o quê sera esperado sob a hpóese nula. Suponha que fo observada a nformação em - casos. Para uma nova observação, sejam n s (), n () e n s () o número de - vznhos das observações anerores, que esão próxmos no espaço, no empo e em ambos, respecvamene. Pode-se comparar o valor da esaísca de Knox após o caso (denoado K ) com o valor que sera esperado sob a hpóese nula, condconado ao valor da esaísca de Knox após a observação - e valores observados de n s () e {n j (); j=,...,}. Logo a esaísca escore é dada por: z = K E{ K Var{ K K K, n s, n ( ), n s ( ), n ( )},5 ( )} A nformação obda nesa comparação de K com sua esperança condconal é uncamene para especfcar a conrbução da observação na esaísca de Knox. Na práca, ulza-se a esaísca escore z da úlma equação, com méodos de Soma Acumulada, al que n s () = K K -, com as mesmas esperança e varânca da esaísca de Knox global, subsundo n por. A Soma Acumulada correspondene à observação é dada por: S = max(, S + z k); S = Logo, a soma excederá seu valor críco (S > h) quando observações que apresenarem nerações espaço-empo começarem a acumular. 4. Problemas com a meodologa de Rogerson (2) Um problema observado com o méodo desenvolvdo por Rogerson (2) é que pode ser que a soma acumulada eseja ão próxma do lmar h, que uma observação que não perença ao conglomerado, faça o alarme soar falsamene. Além dsso, a écnca apresenada não perme que o conglomerado seja localzado espacalmene. Verfca-se que esa suação possa aconecer perfeamene, dado que evenualmene, observações que não perençam ao conglomerado possam exceder k desvos padrões da méda. Desa forma, preende-se reformular a écnca de Soma Acumulada apresenada, com o nuo de evar que eses "ruídos" (observações que não perencem ao conglomerado) façam o alarme soar, além de poder denfcar o conglomerado. 285

6 A déa proposa é observar a Soma Acumulada como uma superfíce resulane (Superfíce Acumulada), na qual cada eveno conrbu com uma superfíce de Kernel (Esmação por densdade de Kernel). A parr desa écnca, a superfíce + sera formada por muas curvas, de forma que na posção em que esvesse o conglomerado, se formara uma curva muo maor, resulane das conrbuções dos Kernels de cada um dos evenos. A cada período de empo observado, a curva pode ser calculada como: S ( x, y) = max(, S + zk{( x, y) ( x, y)}; S( x, ) = + y Seja N s, o número de evenos conjunamene próxmos no espaço e no empo que, como mosrado por Rogerson (2), pode ser padronzada, de forma que z ~ N(,), sob a hpóese de aleaoredade. Assm, aplcando-se a função de kernel à esaísca de neração espaço-empo padronzada (escore z ), a conrbução de cada observação para a superfíce pode ser obda aravés de uma curva de kernel, cenrada em uma posção arbrára do eveno e "alura" z, como mosrado na Fgura 2. Fgure 2. Vsualzação da écnca de superfíce acumulada para deecção de conglomerados espaço-empo. Verfca-se, desa forma, que à medda que uma nova observação é acrescenada ao banco de dados, a Superfíce Acumulada passa a ser obda aravés da soma das superfíces anerores com a conrbução da esmava da densdade de kernel avalada nesa nova observação coleada e padronzada. Acreda-se que, desa forma, o alarme soe "menos" falsamene se comparado ao modelo proposo por Rogerson (2), no sendo que observações que não perençam ao conglomerado conrburão com uma curva na sua localzação de orgem, não nfluencando efevamene na curva formada por elemenos do conglomerado. A superfíce formada deve aparecer com város "calombos" resulanes das curvas de kernel formadas por cada observação, de forma que no nervalo de empo em que se enconra o conglomerado, observasse-a um "calombo" muo maor se comparado aos demas, permndo assm a localzação espacal do conglomerado. Obs: O méodo de esmação de densdade por kernel consse em esmar a densdade de uma dsrbução em ponos deermnados, usando ponos emprcamene observados, por meo de nerpolação. A nução é que a função de Kernel é composa por uma soma ponderada dos ponos observados, em que o faor de ponderação ca rapdamene à medda que cada x se afasa de X. Exse anda, um parâmero τ que 286

7 regula o grau de suavdade das curvas de kernel, chamado bandwdh. Nese argo, foram ulzadas a função de kernel Gaussana e o bandwdh ómo fornecdo por Härdle (999). 5. Smulando a Superfíce Acumulada no sofware R Para se er uma déa do comporameno da Superfíce Acumulada, no caso bdmensonal, foram observados ponos com coordenadas (x k,y k, k ), das quas 8 observações nham coordenadas x e y geradas de uma dsrbução unforme U(;) e valores do empo em que o eveno ocorreu gerados de uma unforme U(;). Ouras 2 observações foram geradas, com coordenadas x e y de uma unforme U(.5;.6) e empo de uma unforme U(5;6), de forma que formassem um conglomerado nesa regão, uma vez que esão próxmos no espaço e no empo. Foram pré-esabelecdos, os parâmeros crícos de D=. e T=. para o cálculo das esaíscas de Knox. Aplcando-se a meodologa da Superfíce Acumulada, êm-se as fguras segunes referenes a uma das váras suações observadas: (a) (b) S S d (c) d 62 (d) superfce xgrade ygrade 2 superfce ygrade xgrade 287

8 (e) superfce 2 ygrade xgrade (f) (g) superfce 2 xgrade ygrade superfce 2 ygrade xgrade (h) () Fgure 3. Smulando a écnca de superfíce acumulada para deecção de conglomerados espaço-empo.

9 Da forma como o conglomerado fo gerado, nclu as observações 4-42,44-45, 47-5,53-55,58,6-65 e 67. As Fguras 3 (a) e 3 (b) mosram o mecansmo do Rogerson (2), quando não há a presença de conglomerado e por sso nenhum alarme é soado, e quando o alarme soa na observação 62, respecvamene. A Fgura 3 (c) mosra a écnca de Superfíce Acumulada sob H, ou seja, sem a presença de conglomerados. Verfca-se apenas uma pequena elevação resulane da conrbução dos kernels. Por sua vez, as fguras segunes fornecem um mecansmo de vsualzação do conglomerado, no momeno em que o alarme é soado no ssema do Rogerson (2). A maor curva se forma exaamene na posção em que o conglomerado verdadero fo crado (enre as posções.5 e.6 dos exos x e y). Para ese conjuno de dados, o alarme fo soado na observação 5 na Superfíce e, porano anes do méodo do Rogerson. Uma manera de avalar o méodo de monorameno é verfcando se o alarme fo soado muo anes/depos do conglomerado verdadero er surgdo e aravés da probabldade de alarmes falsos, sob H. Para sso, foram feas smulações do mesmo cenáro acma. Seja d o empo enre o prmero alarme e o níco do conglomerado. Se d <, a proporção deses valores denre as smulações equvale à probabldade de se er um alarme falso, enre o níco do processo e o empo do prmero alarme. Analogamene, se d >, é possível calcular o número esperado de observações aé que um alarme ocorra, dado que o processo eseja fora de conrole, ou seja, exse um conglomerado (ARL ). Fgure 4. Hsogramas dos d s nos dos méodos. 289

10 Tabela. Informações relevanes obdas nas smulações. Informações sobre o d Méodo Méda Desvo-padrão Mn ºQuarl Medana 3ºQuarl Max Rogerson 3,722 4,4 5,,25 3, 6, 28, Superfíce 5,868 5,394-9, 2, 5,, 22, Méodo Rogerson Superfíce P(Alarme falso) ARL 3,72,5 6,97 Tese Mann-Whney w = 25327, p-valor=, Aravés da Fgura 4 e Tabela observa-se que, em geral, o alarme soa mas rápdo no méodo da superfíce (Mann-Whney sgnfcavo). No enano, a probabldade de alarmes falsos (Sob H ) é muo maor que o esperado, se comparado ao Rogerson. Acreda-se que ese mpaco possa ser devdo ao fao do lmar ulzado ser nadequado na Superfíce. Além do lmar apresenado por Rogerson, foram mplemenados mas dos pos emprcamene observados, sob H : o prmero (lm) fo obdo como o percenl 9 dos valores máxmos das superfíces, em cada eapa da soma acumulada. Enquano o segundo fo obdo pela méda dos percens 9 dos valores da superfíce, em cada eapa da soma acumulada. No enano, nenhuma conclusão fo rada a respeo de um valor ómo, como mosrado na Tabela 2. Tabela 2. Informações obdas nas smulações (), com ouros lmares. Méodo Rogerson Super(h roger) Super(lm ) Super(lm 2) P(Alarme falso) ARL 3,79,3 7,47,87 6,85,97 6,38 6. Conclusões Prelmnares Verfca-se que o méodo proposo de Superfíces Acumuladas, com base no Ssema de Vglânca do Rogerson (2), é um excelene denfcador do conglomerado, uma vez que deeca a posção espacal do mesmo, aravés da vsualzação das represenações gráfcas das superfíces. Conrbução esa de grande relevânca, uma vez que, na práca, a localzação do conglomerado possa levar a váras omadas de decsão mporanes. No enano, a suposção de que o novo méodo forneça um número menor de alarmes falsos deve ser apurada mas profundamene, dado que por smulações prévas, enha sdo verfcado que o lmar proposo por Rogerson (2) e ouros empírcos, não sejam aproprados. Acreda-se que um lmar adequado possa ser enconrado, ulzando-se écncas de Teora de Valor Exremo, em parcular, de máxmo de superfíces aleaóras (Campos Gaussanos). Porano, os esforços fuuros serão dreconados na procura de um lmar ómo para a nova écnca proposa. 29

11 7. Referêncas Rogerson, P.A..(2) Monorng pon paerns for he developmen of space-me clusers. Jornal Royal Sascal Socey (2) 64, Par, Unversy a Bualo, USA. Segmund, D., O..(985) Sequenal Analyss: Tess and Condence Inervals. New York: Sprnger. Härdle,W..(99) Smoohng Technques. Louvan-La-Neuve. Sonesson, C.; Bock, D..(22). A revew and dscusson of prospecve sascal survellance n publc healh. Göeborg Unversy, Sweden. Jornal Royal Sascal Socey (23) 66, Par, pp 5-2. Dggle,P.J..(983). Sascal Analyss of Spaal Pon Paerns. Academc Press Inc. Londres. Frsen,M..(23). Sascal survellance. Opmaly and mehods. Inernaonal Sascal Revew, 7, Camara,G.; Monero,A.,M.; Fuks,S.; Camargo,E.; Felgueras. (2). Análse Espacal. INPE. Knox, E. G..(964). The deecon of space-me neracons.. Appl. Sas.. 3, Mongomery, D. C..(2). Inroducon o Sascal Qualy Conrol.. 4h Edon, New York : John Wley, 2. 29