DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS PARA PROGRAMAÇÃO MISTA E APLICAÇÕES AO PROBLEMA DE ESTOQUE E ROTEIRIZAÇÃO

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1 v. n. : pp.-6 5 ISSN evsa Gesão Indsal DECOMPOSIÇÃO DE BENDES PAA POGAMAÇÃO MISTA E APLICAÇÕES AO POBLEMA DE ESTOQUE E OTEIIZAÇÃO BENDES DECOMPOSITION FO INGEGE POGAMMING AND ITS APLICATIONS IN INVENTOY OUTING POBLEM Paíca Pado Belfoe ; Oswaldo Lz do Valle Cosa ; Lz Palo Lopes Fáveo Dooanda em Engenhaa de Podção POLI-USP Av. Pof. Lcano Galbeo 98 - Sala G- - Cdade Unvesáa São Palo - SP paca.belfoe@pol.sp.b Pofesso Tla do Depaameno de Engenhaa Eléca POLI-USP Av. Pof. Lcano Galbeo av. n.58 C.P São Palo - SP oswaldo@lac.sp.b Dooando em Admnsação FEA-USP Av. Pof. Lcano Galbeo 98 - Sala G- - Cdade Unvesáa CEP: São Palo SP São Palo-SP lpfaveo@sp.b ecebdo paa pblcação em:9//5 Aceo paa pblcação em: /8/5 esmo Os modelos de pogamação nea msa de gande poe devdo ao gande númeo de vaáves neas são de dfícl esolção. Paa conona esa dfcldade ma alenava sea a mplemenação do méodo de decomposção de Bendes. Ese abalho em como objevo desceve o méodo de decomposção de Bendes paa pogamação msa e sas aplcações em Poblemas de Esoqe e oezação. O algomo de Bendes decompõe o poblema pncpal em sbpoblemas faclando a esolção do poblema. Palavas-chave: Decomposção de Bendes Poblema de Esoqe e oezação Pesqsa Opeaconal. Inodção À medda qe o númeo de vaáves neas cesce sgnfcavamene os modelos de pogamação nea msa de gande poe onam-se de dfícl solção. Qando o poblema é mo compleo pode se neessane sbdvdí-lo em sbpoblemas. Bendes (96) popôs m méodo de decomposção paa esolve poblemas de pogamação msa. Esa écnca decompõe o poblema pncpal em sbpoblemas. evsa Gesão Indsal

2 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 47 No caso de poblemas de esoqe e oezação o poblema pncpal é decomposo em m sbpoblema de alocação de esoqes e m sbpoblema de oezação de veíclos. A apesenação do abalho seá dealhada a seg. No em seá desco o méodo de decomposção de Bendes paa pogamação msa. Já o em apesena o poblema de esoqes e oezação (nveno ong poblem IP) e o em 4 as aplcações de decomposção de Bendes ao IP. O em 5 mosa m eemplo do méodo de decomposção de Bendes e o em 6 o algomo de decomposção de Bendes. Fnalmene no em 7 enconam-se as conclsões e fas pesqsas.. Decomposção de Bendes paa pogamação msa Um dos pncpas conceos lzados na esolção do algomo de decomposção é o da Pojeção. O poblema pode se desco como em Geoffn (97): (.) ma X ; Y f ( ) s.a. g( ) qe envolve a omzação sobe o espaço conjno das vaáves e. Defne-se sa pojeção sobe o espaço apenas da vaável como: (.) qe pode se esco como: ma Ma f ( ) X Y s.a. g( ) (.) ma v( ) onde: X (.4) v( ) ma f ( ) Y s.a. g( ) O Poblema de das vaáves pode se esolvdo em dos eságos. Consdee agoa o segne poblema de pogamação msa: (.5) mn c' d' A B b I evsa Gesão Indsal

3 48 Belfoe P. P. onde I pode se po eemplo m conjno de númeos neos o m oo conjno de esções lneaes. Ulzando o conceo de pojeção sobe o poblema (.5) pode-se eescevê-lo como: mn c' Q( ) (.6) I Fando valoes de sobe o poblema (.5) o esane do modelo a se esolvdo é: Q( _ ) mn d' (.7) B b A O poblema compleo de mnmzação pode se esco da segne foma: mn c' mn d' B (.8) { } I b A Cabe aq elemba o Teoema da Daldade em pogamação lnea. Defne-se daldade aavés do pa de poblemas de PL abao: Pmal: Dal: mn c' n s.a. A b ma' b ' A c' Tem-se o segne eoema (Wnson 995): Teoema da Daldade: Se m dos poblemas (pmal o dal) em ma solção óma fna enão o oo ambém em ma solção fna e os valoes coespondenes das fnções objevos são gas. Se m poblema é lmado o oo não em solção facível. Pelo Teoema da Daldade em-se qe: (.7) é semelhane a: Q( _ ) mn d' s. a. B b A evsa Gesão Indsal

4 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 49 (.9) Q( _ ) ma'( b A) s.a. ' B d' Cabe agoa elemba algns faos báscos em pogamação lnea. Seja {...k } o conjno de ponos eemos e { d...d l } o conjno de deções eemas da egão de vabldade K de (.9) defnda como sege: K m { ; ' B d' } _ Se ( b A )' d j _ (b A )' eemo de K. d j paa odo > paa algm j... enão a solção do poblema é lmada (- ). Se j... enão ' ( b A) ange se mínmo sobe K em m pono Poano pelo Teoema da Daldade o poblema (.7) somene é vável se o poblema (.9) em ma solção óma fna o seja se ese qe sasfaça a condção: (.) ( d j )'( b A) j... l Dessa foma podemos eesceve o poblema (.6) como: mn (.) I s. a. { c' ma ( j )'( b A) } ( d )'( b A) j... l j j... k Dessa foma adconando e defnndo a vaável λ como a mao coa nfeo de Q() eesceve-se (.) como: (.) mn c' λ λ I λ s.a. (.) ( d j )'( b A) j... l (.4) λ ( j )'( b A) j... k I O méodo de decomposção de Bendes basea-se na aplcação dos conceos de Daldade Pojeção e do elaameno das esções (.) e (.4) paa a esolção do poblema (.5). Com base neses conceos o poblema (.5) é eesco na foma do poblema (.) com as esções (.) e (.4). evsa Gesão Indsal

5 4 Belfoe P. P. Passo : esolve-se o poblema (.) sem as esções (.) e (.4) caso esas esções anda não enham sdo acescenadas pelo passo enconando ma solção óma ( λ). Caso a solção não seja enconada o poblema (.5) não em solção. Passo : Paa esa a vabldade da solção ( λ) esolve-se o poblema lnea (.9). Se ende a nfno em (.9) adcona-se a esção M é ma consane posva de laga escala. Se o valo de M ao poblema (.9) onde Q() é meno o gal a λ enão a solção ( λ) enconada é óma paa (.) a (.4) e é obdo po B b A emnando a omzação. Caso o valo Q() fo mao qe λ adcona-se ma esção do po (.4) ao poblema (.) com os valoes de ' enconados em (.9). Se o poblema (.9) com não poss solção óma fna o qe sgnfca qe ( )'( b A) enão com os valoes enconados em (.9) adcona-se ma esção do d j po (.) ao poblema (.) e eona-se ao passo. Teoema: O algomo de Bendes convege paa a solção óma do poblema (.5) em m númeo fno de eações (Geoffon 97).. Poblema de esoqe e oezação Incavas mpoanes vsando eleva os ganhos oas da cadea êm sgdo nas ndúsas com o ampao do Movmeno EC Effcen Consme esponse o esposa Efcene ao Consmdo. Uma das écncas poposas pelo EC é o VMI Vendo Managed Inveno Esoqe Geencado pelo Fonecedo qe em sdo mo dssemnada na ndúsa mndal. O VMI em como objevo a edção de csos aavés da negação dos componenes da cadea de abasecmeno. O pocesso de eposção aavés do VMI pode ocoe em qalqe elo da cadea de abasecmeno. O VMI é ma écnca no qal o fonecedo conola os níves de esoqe de ses clenes e decde qando e qano enega de mecadoa paa cada clene. Sendo assm os cálclos são ealzados po m algomo cadasado no fonecedo fomado po paâmeos pé-esabelecdos pelo vendedo e compado e baseado nas nfomações obdas do clene. Nesse modelo o clene é apenas nfomado da qandade qe seá envada. Desa manea ele faz m acompanhameno monoa mas não conola o pocesso (Klngenbeg e Annes ). Em mas aplcações o vendedo além de conola os esoqes dos clenes ambém admnsa ma foa de veíclos paa anspoa os podos aos clenes. Nese caso o objevo do evsa Gesão Indsal

6 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 4 vendedo é não só admnsa o eabasecmeno ómo dos esoqes como ambém a dsbção dos podos. Ese poblema é chamado Poblema de Esoqe e oezação (IP Inveno ong Poblem). O IP em como caaceísca a políca VMI e desenvolve meodologas paa solção dese poblema (Campbell e al.998).. Defnção do poblema O Poblema de Esoqe e oezação (IP) aa da dsbção de m únco podo a pa de m únco ceno de dsbção qe aende N clenes deno de m hozone de planejameno T possvelmene nfno. O clene consome o podo a ma aa e em ma capacdade de amazenagem. O nível de esoqe do clene no nsane é. A dsbção C I dos podos é fea aavés de M veíclos homogêneos e cada veíclo êm ma capacdade C v. A qandade enege ao clene pela oa no nsane é Q. O númeo oal de oas de enega é. Defne-se c o cso de eeca a oa... e c o cso de amazenagem do clene es. O objevo é mnmza o cso médo dáo de dsbção dane o hozone de planejameno de modo qe não haja fala de esoqes paa os clenes. Podem-se adcona ao modelo csos de esoqe e csos de fala de podos. A cada nsane são omadas decsões de oeameno de veíclos e eabasecmeno de esoqe dos clenes. O Poblema engloba ês fases:. Seleção das oas. Deemna a cada da qas oas ão ocoe e qano enega paa cada clene da oa dane cada vsa. oezação de veíclos: qal o melho oeo. Modelagem Defnemos a seg m modelo de pogamação nea msa ml-peíodo baseado nas déas de Campbell e al.(999). Nese modelo as decsões sobe qas oas ão ocoe qano enega paa cada clene da oa e qal o melho oeo são omadas daamene. Paâmeos: evsa Gesão Indsal

7 4 Belfoe P. P. oal de oas de enega c cso de eeca a oa... c cso de amazenagem do clene ($/em da) es N númeo de clenes M númeo de veíclos dsponíves T hozone de planejameno aa de consmo do clene... N C capacdade de amazenagem do clene... N C v capacdade do veíclo I esoqe ncal do clene... N I nível de esoqe do clene no nsane... N... T T T d dação da oa (fação do da) empo oal dsponível po da Vaáves de decsão: Q volme oal enege ao clene da oa no da vaável bnáa ndca se a oa é eecada no da ( ) o não ( O nível de esoqe do clene no nsane pode se defndo como: ) (.) I I Q A qandade mínma a se enege ao clene no fnal do da é: (.) d ma( I ) A qandade máma a se enege ao clene no fnal do da é: (.) D C I O Poblema pode se fomlado da segne manea: (.4) mn d I Q s C v Q s bna Q c D c es... N... T T mn( C I v C ). () () evsa Gesão Indsal

8 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 4 O objevo do modelo é mnmza os csos de anspoe e esoqe de modo qe a demanda de odos os clenes sejam aenddas. O modelo pode mnmza apenas os csos de dsbção desconsdeando os csos de esoqe sjeo às mesmas esções. A esção () gaane qe não haveá fala de esoqe paa o clene e qe a capacdade de amazenagem do clene não seá ecedda. A esção () gaane qe o volme oal enege aos clenes da oa não ecedeá a capacdade do veíclo. Caso o númeo de veíclos (M ) em cada peíodo seja lmado adcona-se a segne esção: M... T () 4. Aplcações de decomposção de Bendes ao poblema de esoqe e oezação O objevo do modelo de pogamação nea em empo dsceo qe não consdea os csos de esoqe é: mn T c Podemos defn as mazes A e B e m veo b de foma qe: A B b epesene o segne conjno de esções: d I Q s C v Q s... N... T T M... T bna Q D mn( C v C ). Logo o poblema de pogamação msa a se esolvdo é: mn c' ' A B b bnáo evsa Gesão Indsal

9 44 Belfoe P. P. qe pode se esolvdo aplcando a decomposção de Bendes. O veo epesena as oas e o veo as qandades eneges. No caso do modelo qe consdea os csos de esoqe o objevo é: mn T c N T c es I onde: I I Q Defnem-se as mazes A e B e m veo b de foma qe: A B b epesene o mesmo conjno de esções do modelo aneo. O poblema de pogamação msa é: mn c' d' A B b bnáo 5. Eemplo lzando algomo de decomposção de Bendes Consdeemos o segne poblema: (5.) mn s. a I eescevendo o poblema (5.) de acodo com a eqação (.7) emos qe Q() é: evsa Gesão Indsal

10 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 45 (5.) s.a. mn 5 I O dal de (5.) é: (5.) ) ma ( a s Abao seá especfcada cada passagem lzando o algomo de decomposção de Bendes. Passo a) Poblema pncpal: O pmeo passo é esolve o poblema (5.) sem as esções lzando o conceo de pojeção: (5.4) s.a. mn λ λ λ I A solção é: λ. Passo a) Sbpoblema: Vefca se a solção λ é óma. Sbsndo os valoes na eqação (5.) emos: (5.5) 5 4 s.a. 4 7 ma 5 ) ( Q A solção é: 5 ) ( e 5 Q. evsa Gesão Indsal

11 46 Belfoe P. P. O valo λ é meno qe Q ( ) 5 poano a solção λ não é óma. Com os valoes adcona-se ma esção do po λ ( )'( b A) 5 o seja λ (5 ) ao poblema pncpal (5.4). 5 Passo b) O poblema pncpal seá: (5.6) mn λ s.a. λ 5 5 λ I λ A solção é λ. Passo b) Vefca se a solção λ é óma. Paa sso esolve-se o sbpoblema (5.) sbsndo os valoes de e enconados em (5.6): (5.7) Q( ) ma 7 s.a. 4 5 A solção óma é 5 e Q( ). A solção enconada no poblema (5.6) não é óma pos λ < Q ( ). Sbsndo os valoes 5 em λ ' ( b A) adcona-se a esção λ 5(4 ) ao poblema pncpal (5.6). Passo c) O poblema pncpal seá: (5.8) mn λ s.a. λ 5 5 λ 5 I λ λ 5 A solção é: λ. Passo c) Tesa a solção λ. Sbsndo eses valoes no sbpoblema (5.) emos: evsa Gesão Indsal

12 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 47 (5.9) Q( ) ma s.a. 8 5 e A solção é:.5 e Q( ). O valo λ é gal a Q(). Poano e é a solção óma. Sbsndo em (5.) emos: (5.) mn 5 s.a. 4 8 A solção é com 5 5. A solção óma de (5.) é e F. obj 6. Algomo de decomposção de Bendes O algomo de decomposção de Bendes esá desco abao: : vaável nea : eal posva λ : Q () : enqano Q () λ > ε faze esolve o poblema pncpal { } mn { c' λ coes I} λ λ λ esolve sbpoblema { } ma { '( b A) ' B d' } se solção nfacível enão fa solção nfacível d e adcona esção d '( b A) ao poblema pncpal senão fa pono eemo e adcona esção λ ' ( b A) ao poblema pncpal Q( ) : '( b A) evsa Gesão Indsal

13 48 Belfoe P. P. fm se fm enqano fm 7. Conclsões e fas pesqsas Ese abalho eve como objevo apesena o algomo de decomposção de Bendes e sas aplcações ao poblema de esoqe e oezação. Como os poblemas de pogamação msa são de dfícl solção ma alenava é decompo o poblema pncpal em sbpoblemas como ocoe no méodo de Bendes. Como fas pesqsas ese méodo pode se aplcado em oos pos de poblemas de pogamação msa e pode ambém se lzado smlaneamene com oos algomos. Absac The models of gea nege med pogammng de he gea nmbe of nege vaables ae of dffcl esolon. In ode o anspose hs dffcl an alenave wold be o mplemen he mehod of bendes decomposon. The am of hs wok s o descbe hs mehod fo med pogammng and how can be appled n Inveno ong Poblems. The bendes algohm decomposes he man poblem no sb poblems makng hem ease o be solved. Ke wods: Bendes Decomposon Inveno ong Poblem Opeaonal eseach efeêncas BENDES J. F. Paonng pocedes fo solvng med-vaables pogammng poblems. Nmesche Mahemak n. 4 p CAMPBELL A.; CLAKE L.; KLEYWEGT A.; SAVELSBEGH M. W. P. The nveno ong poblem. In: GAINIC T. G.; LAPOTE G. (Eds.). Flee managemen and logscs. [S. l.]: Klwe Academc Pblshes 998. p CAMPBELL A.; CLAKE L.; SAVELSBEGH M. An nveno ong poblem. [S. l.: s. n.] 999. GEOFFION A. M. Elemens of lage-scale mahemacal pogammng. Managemen Scence v. 6 n. 96. GEOFFION A. M. Genealzed bendes decomposon. Jonal of Opmzaon Theo and Applcaons v. n. 4 p KLINGENBEG C. O.; ANTUNES J. A. V. J. Consção de m modelo oenavo paa a mplanação do VMI em empesas da ndúsa spemecadsa baslea. In: ASSEMBLÉIA DO CONSELHO LATINO-AMEICANO DE ESCOLAS DE ADMINISTAÇÃO 7.. Anas.... WINSTON W. L. Inodcon o mahemacal pogammng: applcaons and algohms.. ed. Belmon: Db Pess 995. O EC no Basl-Scoecad. In: CONGESSO EC BASIL. São Palo. Anas... São Palo. evsa Gesão Indsal

14 Decomposção de Bendes paa Pogamação Msa 49 evsa Gesão Indsal