Equações de Conservação

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1 Eqaçõs d Consação Toma d Tanspo d Rnolds Eqação d Consação d Massa (conndad) Eqação d Consação d Qandad d Momno Lna ( a L d Non) Eqação d Na-Soks Eqação d Enga Mcânca Eqação d Consação d Qandad d Momno Angla

2 Toma d Tanspo d Rnolds pm ansfoma as qaçõs paa ssma (massa fa) paa olms d conol (olm fo) aação oal = aa d aação + flo líqdo sando com o mpo d da ganda ganda spcífca d ma ganda spcífca no C aaés da SC d m ssma C ssma dm = d dm = d SC f = ganda spcífca ; = massa spcífca ; d = olm nfnsmal d m = massa nfnsmal ; d m = d ; d F = ganda no olm nfnsmal ; d F = f d m = f d

3 aa d acmlação d ma ganda spcífca C dm = d f dm C f d C SC qandad da ganda q ca a spfíc: f d m = f da L= = f da n d = f n da n d m= da L= = da n d flo líqdo d massa cando a SC f n SC d A n n df d ssma f d C f SC n d A 3

4 Eqação d Consação d Massa Ssma: ssma dm = d d d d ssma d m 0 0 d olm d conol: d C SC nd A0 A aação com o mpo da da massa do olm d conol B Flo líqdo d massa aaés da spfíc d conol 4

5 Aplcando o oma d Lbn b( ) a ( ) b( ) a( ) f ( ) d f ( ) d db f ( b ) da f ( a ) d d ao mo A, mos d. C. C d Aplcando o oma d dgênca d Gass ao mo B, mos n d A d ( ) d SC C Somando A com B d ( ) d C 0 Qmos q sá qação sa álda paa qalq olm, poano, ddndo po d aplcando o lm d nd a o, obmos a qação d consação d massa dfncal, álda paa qalq pono 5

6 d ( ) 0 ( I ) aação da massa com o mpo po ndad d olm Flo líqdo d massa po ndad d olm A qação acma pod s sca sabndo q como Dfndo o opado : dada maal, o oal o sbsana mos D D d ( ρ) (ρ) ρ ρ 0 D A D 0 ( II ) A A aação local aação mpoal conca

7 7 Coodnadas casanas: Coodnadas clínas: Coodnadas clíndcas: 0 0 Eqação d Consação d Massa o Conndad 0 ) ( d 0 ) ( d D D o 0 ) ( Casos Paclas. Rgm Pmann:. Incompssíl: 0 ) ( d 0 ) ( d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0

8 Eqação d Consação d Qandad d Momno Lna (a L d Non) F ma d f D D d f S fc D D foça d copo: f C foça olméca,: foça gaaconal f g g foça d spfíc: f S f p f 8

9 f p - foça d pssão: foça nomal compssa d P ( ) dd (,, ) P ( d) dd d df p, = P d d - (P d d + P/ d d d) = - P/ d f p, = - P/ f p P P P k d logo f p, = - P/ f p, = - P/ f p P 9

10 f foça scosa: foça dfnda po m nso, m cada fac poss 3 componns, dos angncas m nomal Foça d spfíc scosa slan na dção connção n d d n F, d F, d d f, 0

11 Pocdndo d foma análoga paa as oas dçõs f, f, f, f f f

12 Eqação dfncal d qandad d momno na foma oal coodnadas casanas P g ρ D D ρ τ τ τ P ρg ρ τ τ τ P ρg ρ τ τ τ P ρg ρ

13 Casos Paclas: Eqação d El (fldo pfo, não scoso) D ρ ρg gadp D Eqação da Hdosáca: ρg gad P Paa fldos scosos, pcsamos d ma nfomação adconal: lação n a nsão csalhan a aa d dfomação do lmno d fldo 3

14 pod-s dmonsa plo so da qação consação d qandad d momno angla q o nso é sméco Eqação Consa paa fldos Nonanos f T = d d d [ gad ( gad ) ] d 3 I 4

15 5 Eqação d Na-Soks: Eqação d consação d qandad d momno lna paa fldo Nonanos (coodnadas casanas) p g 3 p g 3 p g 3

16 6 A qação d Na-Soks smplfca bm s a massa spcífca a scosdad foam consan A maoa dos líqdos podm s consdados como fldos ncompssís A scosdad da maoa dos gass é apomadamn consan 0 μ P ρg ρ μ P ρg ρ μ P ρg ρ Na-Soks (popdads consans) μ P g ρ D D ρ coodnadas casanas μ f

17 7 Na-Soks (popdads consans) m coodnadas clíndcas μ P ρg ρ μ P ρg ρ μ P ρg ρ Dção adal Dção angla Dção aal

18 Eqação da ocdad 8 Tnso ocdad T ) ( W = + + o ocdad W

19 Eqação da ocdad Uma caacísca ssncal do scoamno blno é q ss dm s oaconas, so é a ocdad é não nla. A ocdad é dfnda plo oaconal do o locdad sndo gal a das s a oação do lmno d fldo. Em noação ndcal k k k k ond sndo k k k 0 s s s (,, k) (,, k) (,, k) são cíclcos são an cíclcos caso conáo símbolo d pmação (símbolo L-Ca) 9

20 A qação paa a ocdad pod s dada, aplcando o oaconal na qação d Na-Soks D D slando m D D P A qação paa a olção d m lmno d lnha maal nfnsmal é d s s d Compaando as das úlmas qaçõs, obsa-s q paa m scoamno não scoso, o o ocdad s compoa da msma foma q m lmno d lnha maal nfnsmal (oma d Hlmhol) 0

21 Eqação d Enga Mcânca A nga mcânca d m ssma não s consa, poém sa qação é mo úl m dsas saçõs. Pod s obda aaés do podo scala do o locdad com a qação d consação d qandad d momno lna τ P g D D o D D P P P : D D conndad o ] ) ( [ Obs: () () Enão, opando o podo scala

22 kl k l kl k l l kl k σ : τ : Podo scala d dos nsos (podo dplo): T : ] ) ( [ : 3 Paa fldo Nonano k k F 3 : k k 3 F F é smp poso, é a fnção dsspação 3 k k F Paa fldos Não-nonanos pod s ngao :

23 Eqação d Enga Cnéca g P P ( ) : aa aa aa aa d aa aa d abalho d abalho d consão abalho d líqdo flo ddo consão amno d d ddo a síl ddo a nga nga d foça pssão a a foças cnéca cnéca gaa nga scosas nga síl a conal nna nna P pod s poso o ngao, dpndndo s o fldo sá sofndo pansão o compssão. As mdanças d mpaa podm s gands m compssos, bnas o na psnça d ondas d choq. é smp poso paa fldos Nonanos. Es mo pod s sgnfcao m ssmas com scosdads gadns d locdads lados, como oco m lbfcação, são ápda ôos d ala locdad. : 3

24 Eqação d Enga Mcânca Tabalhando o mo g podmos sc a qação paa a soma da nga cnéca poncal, gando a qação d nga mcânca Inodndo a dfnção d nga poncal poncal po ndad d massa Y, dfnda com g Y, mos q g Y ( Y ) Y ( ) ( Y ) ( Y ) Y ( Y ) Y ( ) Y ) P P ( ) : 4

25 Eqação d Consação d Qandad d Momno Angla Esa qação pod s obda com o podo oal do o posção com a qação d consação d qandad d momno lna [ ] [ g P τ ] g [ P I] [ ] [ε : ] é o nso d 3ª. odm com componns k (símbolo d pmação) k s k 3, 3o 3 s k 3, 3 o 3 0 s qasq dos índcs fom dfns 5

26 Podo oal d dos os: k k d Podo oal d m o nso: k k l k l k S é sméco: [ε : ] 0 não s consão d momnm angla macoscópco m momnm angla nno,., as das fomas d momnm s consam spaadamn. 6

27 CONDIÇÕES EM INTERFACES Balanço d massa m ρ ( ) n ρ( ) n m Flo d massa na nfac, ddo a mdança d fas locdad da nfac = + n = s Componn angncal = componn angncal da spfíc n =-n Paa ob o componn nomal, amos consda q a nfac pod s dfnda po S(, )=0 Em =+d, anda mos S( + d, +d)=0 S Logo, sando ma pansão m sé d Talo S 0 m S 0 O náo nomal d fldo S< 0 fldo S > 0 n S S n n S S 7

28 CONDIÇÕES EM INTERFACES Paa spfíc sólda, mpmál m = 0 n n Condção d conono cnmáca S S 0 m S 0 Spfícs sóldas paa scoamno scoso: condção d não dslamno n ( ) 0 m S 0 Esa pssão não s aplca, qando s momno da lnha d conao, poém, anda não sm modlos bm dfndos paa ssas saçõs Pads mpmás m S 0 Paa a nfac n dos fldos n ( ) 0 Na asênca d mdança d fas m S 0 8

29 CONDIÇÕES EM INTERFACES Balanço d qandad d momno (σ σ) n m ( ) p I I nn I nn k n é a nsão spfcal k é a caa k n n =-n (I n n) é a poção do plano angn à nfac Dcompondo nas pas nomas angncas Nomal: p p n (τ τ) n m ( ) k Tangncal: n (τ τ) n I nn 9

30 CONDIÇÕES DE CONTORNO Infac fldo-sóldo: a locdad do líqdo é gal a locdad do sóldo condção d não dslamno: locdads angncas gas condção d mpnabldad: locdads nomas gas Infac plana líqdo-líqdo: as locdads nsõs são conínas aaés da nfac Infac plana líqdo-gás: a nsão csalhan é nla na nfac, ma q os gadns do lado do gás são pqnos. Esa é ma boa apomação poq gass << lqdos. Qando as nfacs líqdo-lqdo o líqdo-gás são cas, a nsão nomal não é mas conína aaés da nfac, a nsão spfcal ona-s mpoan 30

31 ESCOAMENTOS EXTERNOS: m gal dsamos dmna as foças q aam no copo, so é, foça d aas ssnação. Rgão afada pla psnça do copo CAMADA LIMITE Foa da camada lm, o scoamno não é afado pla psnça do copo foças scosas não são mpoans Qando o scoamno na camada lm é dsaclado ddo a ma dfnça d pssão, pod oco ma são do scoamno a camada lm spaa-s da spfíc do copo, fomando a sa 3

32 ESCOAMENTOS EXTERNOS A locdad caacísca é a locdad d apomação do copo U A dmnsão caacísca é o compmno do copo na dção do scoamno, L U O númo d Rnolds R q caaca a ansção ns caso é R lamna R > blno L 3

33 ESCOAMENTOS INTERNOS: m gal dsamos bsca a lação n aão qda d pssão. Em m scoamno nno, long da gão d nada, obsa-s q o scoamno não apsna aaçõs na sa pópa dção, a pssão aa lnamn ao longo do scoamno. O scoamno é consdado como hdo dnâmcamn dsnoldo. O compoamno na gão d nada d ma blação apsna o msmo compoamno q o scoamno no. Poano, sdamos scoamnos nos dpos aplcamos os slados obdos paa analsa a gão d nada d ma blação. 33

34 ESCOAMENTOS INTERNOS Consdando q o scoamno como hdodnâmcamn dsnoldo. A locdad caacísca é a locdad méda m A dmnsão caacísca é o dâmo hdálco, D h m D h Q A T 4 P m D A h m A T da A é a áa anssal do scoamno P m é o pímo molhado, o fao 4 é noddo po connênca. O númo d Rnolds q caaca a ansção ns caso é R R 300 lamna R > 300 blno 34