ONDAS APONTAMENTOS TEÓRICOS. Filipe Santos Moreira 2004/05

Transcrição

1 ONDAS APONTAMNTOS TÓRICOS Flp Sanos Moa 4/5

2 Ondas Índc ÍNDIC... ANÁLIS VCTORIAL Dvadas pacas Dvada d uma função Dvadas pacas Dvadas d funçõs composas Ingas múlplos Ingação d uma função Ingas duplos Ingas plos Ingal d lnha....3 Fasos... 3 ONDAS Movmnos hamóncos Movmno hamónco smpls Foça nga no MHS Dnâmca do MHS Movmno d uma mola psa numa das mdads Solução compla Ccuo LC Movmno d um pêndulo smpls Coda m vbação quação d onda Onda hamónca Sobposção d ondas hamóncas Ondas saconáas Ondas saconáas Rssonânca QUAÇÕS D MAWLL Campos scalas vcoas Gadn d um campo scala Opado Nabla Fluo d um campo vcoal Dvgênca Toma d Gn-Osogads Cculação d um campo vcoal. Roaconal Toma d Sos Flp Sanos Moa

3 Ondas 3.6 Dmnação d campos vcoas Opaçõs sob os campos Campo lécco Lnhas do campo lécco Campo Magnéco Campo lcomagnéco quaçõs d Mawll Suaçõs saconáas Suação Gal Popagação d ondas lcomagnécas no vao ONDAS LCTROMAGNÉTICAS Onda lcomagnéca no vao Polaação d ondas lcomagnécas Polaação lna sgundo o o dos Polaação lna fando um ângulo d 45º com o o dos Polaação ccula à squda Polaação ccula à da Polaação lípca à squda Polaação lípca à da nga vco d Ponng Ondas m mos conduos Impdânca caacísca d um mo Onda num mo qualqu Rflão d OPMs po um conduo pfo Incdênca nomal Condçõs na fona n dos dléccos Ls d Snll Campo vanscn Ondas ansvsas Ondas T Ondas TM spco lcomagnéco Annas FIRAS ÓPTICAS Inodução Noção d ccuo ópco Flp Sanos Moa 3

4 Ondas 5.3 Tpos d fbas ópcas Popagação nas fbas ópcas Modos d ansmssão Dgadação do snal m fbas ópcas Anuação Absoção Dspsão Pdas dvdo à cuvaua da fba Pdas núclo-banha Dsoção do snal Lass, LDs foodcos Fons lumnosas d snal Foodcos ILIOGRAFIA... 6 ANO I Flp Sanos Moa 4

5 Ondas Análs vcoal. Dvadas pacas.. Dvada d uma função Sa a função f uma função qualqu com uma vaávl ndpndn. A dvada d uma função é d d lm Gomcamn, a dvada d uma função num pono é a angn gonoméca do ângulo qu a ca angn à cuva nss pono fa com o o das abcssas. As dvadas calculam-s d acodo com a dfnção. mplo: d d lm Y lm lm lm lm lm É possívl, assm, com mas ou mnos abalho, sablc gas pácas d dvação ablas d dvadas... Dvadas pacas Uma função a uma vaávl psna uma lnha; uma função a duas vaávs psna uma supfíc; uma função a n vaávs psnaá uma hpsupfíc no spaço n dmnsonal. Dfn-s dvada pacal da função, no pono P do spaço m odm a,, à dvada da função qu s obém conglando, so é, supondo consan. Da msma foma s pod dfn. Calculmos as dvadas pacas da função. 5 Flp Sanos Moa 5

6 Ondas funcona como uma consan funcona como uma consan..3 Dvadas d funçõs composas As sguns gas da dvação d funçõs composas são fundamnas:. d d d d d d., d d d d d d d d d d.,,, d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d. Ingas múlplos.. Ingação d uma função Consd-s a sgun função: f α β 5 Flp Sanos Moa 6

7 Ondas Dvda-s o nvalo n α β m nvalos paclas abáos ; d sguda om-s m cada um dsss nvalos um pono abáo p dmn-s aí o valo da função fp. Dfn-s, não β α f d lm ma f p qu é ndpndn da foma da dvsão m nvalos dos ponos p scolhdos. s ngal dfndo um valo dfndo, um númo é a áa n a cuva f o o das abcssas. Conclu-s, d mdao, qu s m fo um mínmo d f no nvalo {α, β} M um mámo da função nss msmo nvalo, não β m β α f d M β α α qu é conhcdo como o oma do valo médo paa ngas dfndos. Pando ds oma, é possívl chga à dfnção d pmva ou ngal ndfndo d f; d faco, a pmva d f, F, é oda a função qu sasfaça a sgun condção: df d f.. Ingas duplos Quando s noduu o ngal dfndo, dvdu-s a áa sob a cuva f m pqunos cângulos. fp α p β 5 Flp Sanos Moa 7

8 Ondas Pmo calculou-s a áa dsss pqunos cângulos f p só dpos é qu s passou ao lm d modo a ob o ngal dfndo β α f d lm ma f p β O ngal dfndo pod s npado como o lm dssa soma. O snal pod s α nnddo como um snal lm do snal Σ o ngando fd pod s vso como uma áa nfnsmal cangula. O pocsso d cálculo dssa áa du-s, assm, ao d dfn uma áa nfnsmal a nga. Pod-s-a scolhdo um lmno d áa anda mas pquno. O mas pquno lmno d áa qu s pod dfn é o chamado lmno d áa m coodnadas casanas ds d d f d ds α d β Agoa paa calcula a áa oal sob a cuva, calcula-s pmo a áa cospondn ao cângulo do pmo pocsso. Nss cálculo, é omado consan. f dd f d Dpos sgu-s o pmo pocsso 5 Flp Sanos Moa 8

9 Ondas β α f d s pocdmno pod s sumdo da sgun foma: S β f α dd o qu consu um ngal duplo. O su cálculo sgu o pocsso nvso do da dvação pacal. Pmo, nga-s m odm a d, consdando como uma consan; dpos, nga-s m odm a d, consdando como uma consan. Ns mplo, a uldad do ngal duplo não é muo apan, uma v qu s pod calcula a áa muo mas faclmn ulando o ngal smpls. Conudo, magn-s qu s pnd calcula, po mplo, o volum sob uma supfíc n o plano a supfíc,. Pod oma-s como lmno d áa ds d d no plano dpos assoca a ss lmno d áa uma alua,, dfndo um volum nfnsmal psmáco. O volum oal sá dado po, dd Imagn-s, po mplo, qu s qu o volum sob a supfíc n os lms paa a coodnada paa a coodnada. O volum é, não dd Pmo nga-s m odm a, consdando consan dpos nga-s m odm a. Assm sndo, vm V d d d A odm d ngação, ns mplo, é abáa, poqu os lms são consans puas. 5 Flp Sanos Moa 9

10 Ondas..3 Ingas plos No mplo ano, pod-s-a calculado o msmo volum usando um lmno d volum anda mno: o lmno d volum m coodnadas casanas dv d d d O volum sa, não, dado po d d d d d Aqu, a odm á não é abáa, pos o lm supo d ngação m dpnd d. Mas uma v, pac dsncssáo co ao ngal plo. Mas magn-s ouo poblma: pnd-s dmna a massa d um psma, sabndo qu a sua massa spcífca é uma função do pono dada po ρ O psma m po lms < < < < < < 4 O poblma pod s solvdo po M d d d d d 8,55 d 8, ,4 d d 4 d..4 Ingal d lnha Consd-s um obco com massa m colocado num campo gavíco. Como a foça gavíca é um vco, o campo gavíco é um mplo d um campo vcoal. A foça gavíca na massa é dada po mg, m qu g é um vco consan chamado aclação gavíca. Supondo qu s laga a massa la ca a pa do pono A. O dslocamno vcal mddo na dcção dscndn a pa d A é. O abalho fo pla foça gavíca causa o dslocamno da massa. Pnd-s calcula o abalho fo paa mov a massa d A aé, como na fgua. 5 Flp Sanos Moa

11 Ondas m M N δ O abalho fo paa dsloca a massa do pono M paa o pono N, cospondn a uma dsânca lmna δ. A físca d qu o abalho fo é gual ao poduo da amplud da foça pla dsânca pcoda. Ns caso, a amplud da foça psn é dado po mg a quandad lmna δw, quando a massa s dsloca d M paa N é dada po δ W m gδ dond s a δw δ m g. Fando δ, obém-s lm δ δw δ dw d m g Paa s ob o abalho oal fo quando a massa s dsloca d A paa, calcula-s o ngal paa o nvalo d nss, so é abalho oal fo W m g d. s é mplo lmna d um ngal d lnha. sa dnomnação vm do faco d s sa a nga ao longo da lnha d A aé. No caso ano, o cálculo fo dco smpls, dvdo à paculadad do mplo. Consd-s agoa o caso m qu s m um campo vcoal, F, aavés do qual passa uma cuva C, como na fgua sgun. A 5 Flp Sanos Moa

12 Ondas F, F F n M θ F N MN δ C A análs sgun va s sng a duas dmnsõs. No caso gal, o campo vcoal va vaa com o spaço, so é, F F,. Consd-s qu o lmno pquno d C qu una os ponos M N sa θ o ângulo n a angn da cuva C no pono M a dcção do campo nss pono. Sa o vco qu un M N δ. Consdando a quandad F δ m qu psna o poduo scala. S F psna a foça gavíca, não a quandad F δ psna a pquna quandad d abalho fo plo campo ao mov uma paícula d massa unáa n o pono M o pono N. O ngal apopado ao longo d oda a cuva psna o abalho oal fcuado. Assm, m-s F cos θ δ F F δ s F δ cos θ δ m qu F é a componn d F angncal à cuva C. s sulado é do msmo po das pssõs paa o abalho obdo anomn. não sá-s nssado m ngas do po C F, d. Dado qu F é uma função vcoal d d, não F á componns casanas F, F,, plo qu pod s sco na foma F, F, F,. D gual modo, pod dfn-s d d d 5 Flp Sanos Moa

13 Ondas dond s a F d s F, F, d d F, d F C C C, d..3 Fasos A solução compla A δ pod s dcomposa m dos facos A δ S s v a gaana d qu s abalha com uma únca fquênca, consan gual paa váas soluçõs, fa sndo psna a solução apnas plo pmo faco. Quando al sucd, psna-s a solução po um faso: A δ Paa s ob a solução snusodal a qu m sgnfcado na aldad m d s m mn qu o faso é suposo oda com uma vlocdad angula. não, s s pnd o valo da solução snusodal no nsan, m d s oda o faso d um ângulo acha a pa al do númo complo cospondn. 5 Flp Sanos Moa 3

14 Ondas Ondas. Movmnos hamóncos.. Movmno hamónco smpls Um movmno vbaóo é o qu s vfca quando uma paícula s mov, podcamn, m ono d uma posção d qulíbo. mplos: o movmno d um pêndulo, uma massa amaada à mdad d uma mola dpos d lbada, áomos num sóldo msmo os lcõs numa anna, mssoa ou cpoa, cuam ápdas ansçõs. D odos os movmnos vbaóos, o mas mpoan é o movmno hamónco smpls MHS, pos não só é o mas fácl d s dscv mamacamn, como consu uma dscção basan pcsa d muas vbaçõs qu s nconam na Naua. Po dfnção, uma paícula cua um MHS ao longo do o dos quando o su dslocamno ao longo do o,, lavamn à ogm do ssma d coodnadas é dado, com função do mpo, pla lação Asn α m qu α é dnomnada fas α é a fas ncal valo da fas paa o nsan. A função co-sno, m v da função sno, ambém sva paa dscv o MHS, sndo qu a únca dfnça sda numa dfnça d fas d π/ adanos o qu sa cononado dfndo a fas ncal pcsamn d π/ adanos. A psna o dslocamno smpls lavamn à ogm dnomna-s amplud do MHS. Como a função sno s p d π m π adanos, não o dslocamno da paícula p-s a cada π/ sgundos, o qu qu d qu o MHS é pódco o su píodo, T, val π/ sgundos. A fquênca, f, d um MHS é gual ao númo d vbaçõs complas po undad d mpo, so é f /T. Po úlmo, fa-s qu é a fquênca angula da paícula m vbação lacona-s com a fquênca aavés da lação π π f T A vlocdad da paícula, v, é dada po d v Acos α d a aclação, a, é dada po dv a Asn α d 5 Flp Sanos Moa 4

15 Ondas sa lação ndca qu, num MHS, a aclação é smp popoconal d sndo oposo ao dslocamno da paícula.... Foça nga no MHS A foça aplcada a uma paícula é dada pla lação F m a; paa s ob um MHS ssa foça dv s F m a m m qu m. Iso ndca qu, num MHS, a foça é popoconal d sndo conáo ao dslocamno, o qu sgnfca qu a foça apona smp paa a ogm. D faco, ssa é a posção d qulíbo, pos, na ogm, F pos. A foça dfnda anomn é a qu apac quando s dfoma um copo lásco, como, po mplo, uma mola. A consan m é, às vs, chamada d consan lásca psna a foça ncssáa paa dsloca a paícula d uma dsânca unáa. Também s pod scv T π π m f π π m A nga cnéca da paícula é dada po K m v m A cos α Como cos θ sn θ, pod scv a lação ano da sgun foma: K [ sn α ] m A m A dond s conclu qu a nga cnéca é máma no cno paa é nula nos mos da vbação paa ±A. A nga poncal da paícula é dada po d F d P 5 Flp Sanos Moa 5

16 Ondas dond s pod scv d P d Ingando, consdando P na ogm, vm P P d d P dond s conclu qu a nga poncal é nula na ogm máma nos mos d vbação ±A. Po úlmo, a nga oal vm K P m A m A m A m.. Dnâmca do MHS d A quação do movmno d qu F m a. No movmno clíno, a, plo qu d s pod scv d m d ou anda d m d Fando / m, vm d m m d ou, smplfcando, 5 Flp Sanos Moa 6

17 Ondas d d sa quação é uma quação dfncal cuas soluçõs são funçõs snusodas com agumno. Subsundo po A sn α pod vfca-s qu ssa pssão, paa, qu cospond ao MHS, sasfa sa úlma quação, plo qu s qu Asn α é uma solução gal dssa quação, pos m duas consans abáas: A α. Assm, vfca-s qu uma foça d aacção popoconal ao dslocamno podu um MHS...3 Movmno d uma mola psa numa das mdads Consd-s uma mola qu lga hoonalmn uma massa m a uma pad, udo assn numa msa sm ao como mosa a fgua. l m A mola m compmno lv l uma consan d gd. Maqu-s um o dos com ogm na posção da massa quando a mola sá com o su compmno gual ao compmno lv, so é, m pouso. Quando a mola é scada ou compmda paa um compmno l, ag com uma foça dada po F l l O sndo da macação da foça é o sndo posvo do o dos. Isso sgnfca qu, quando o é posvo, a foça é ngava, so é, quando a mola é sndda, a foça com qu a mola ag é ngava, nando po o compmno lv. Da msma foma, s é ngavo, a foça é posva, so é, quando a mola é compmda ag com uma foça qu na po o compmno lv, conaando a compssão. O movmno da massa é gdo pla quação d Nwon d F m d 5 Flp Sanos Moa 7

18 Ondas Subsundo a foça, vm d m d ou anda d m d d d m Taa-s d uma quação dfncal, cua ngação nodu duas consans, uma v qu a quação é do º gau nvolv a sgunda dvada m odm a. S a quação fo sca na foma d d m vê-s qu a solução é qualqu função al qu a sgunda dvada m odm ao mpo sa popoconal ao ngavo da pópa função. Uma solução é fomada pla snusód D faco Acos δ d d A sn d d δ [ Acos δ ] Compaando com a quação do movmno da mola 5 Flp Sanos Moa 8

19 Ondas d d d d m vê-s qu são soluçõs da quação, as snusóds as qu m m A solução é, assm Acos δ m Rpa-s qu não fo colocada qualqu sção à amplud da snusód A nm à fas ncal s, δ; sas são, aqu, as duas consans qu a quação do º gau mplca. A solução é uma famíla d funçõs paamadas plas duas consans. O movmno pacula dpnd das condçõs ncas do movmno, a pa das quas s dmnam as consans. Suponha-s qu o movmno é ncalado scando a mola paa uma posção qu é mpmda uma vlocdad ncal v. sss vão s os valos d paa s, so é, sabndo qu Acos d d com s, vm δ A sn δ Acosδ v A m sn δ 5 Flp Sanos Moa 9

20 Ondas Dvdndo sas duas quaçõs, uma pla oua, vm v m gδ ou δ acg m v Po ouo lado, scvndo as quaçõs na foma A cosδ v A m sn δ lvando ao quadado ambas as quaçõs somando-as, chga-s, fnalmn, à sgun quação m A v. Vu-s assm qu uma quação do po d d m m po solução Acos δ m qu A δ são dmnados a pa das condçõs ncas...4 Solução compla Um númo complo dnfca um pono num plano m qu o o das abcssas é o o dos númos as o o das odnadas é o o dos númos magnáos. A undad do o al é a undad do o magnáo é. 5 Flp Sanos Moa

21 Ondas Rpa-s qu s pod pnsa no númo complo como a soma d dos compmnos: a, mdda no o al, b, mdda na ppndcula, so é, no o magnáo. Sndo assm, mulplca po sgnfca oda o sgmno d 9º. φ a b É mdao do oma d Págoas qu a b da dfnção d angn b g φ a Também s pod scv a b m função d φ: a cosφ b sn φ Daqu sula oua mana d scv o númo complo: Sabndo qu c cosφ sn φ cosφ sn φ cos φ sn φ φ pod scv-s um númo complo da sgun foma φ c sa noação pm nnd um númo complo do sgun modo: paa maca o pono a qu cospond, oma-s um compmno sgundo o o al oda-s um ângulo φ. Mulplca po φ sgnfca oda a pa do o dos d um ângulo φ. A quação do movmno hamónco adm como solução famílas d funçõs d vaávl compla do po 5 Flp Sanos Moa

22 Ondas A δ sa solução não m sgnfcado al, mas é fácl a a solução qu m sgnfcado al a pa dsa. A solução compla é do po A δ Acos δ A sn δ Poano, a solução com sgnfcado al é a pa al da solução compla, po ouas palavas a solução al é a qu s no mundo al. Impoa salna qu, s houv ncssdad d fcua opaçõs mamácas sob a solução al do po snusodal, é possívl fcua as opaçõs sob a solução compla a dpos a pa al, o qu facla muo os cálculos m númas suaçõs...5 Ccuo LC Consd-s o caso do ccuo LC, psnado na fgua sgun: Consd-s a suação d s o condnsado ncalmn cagado o nupo abo. Após o fcho do nupo, o condnsado comça a dscaga fando qu ccul uma con lécca plo ccuo, con sa qu á aumna aé o condnsado sa complamn dscagado. nquano o condnsado dscaga asss-s à ansfênca d nga do condnsado paa a nduânca. Após sa complamn dscagado, o condnsado á caga-s no sndo oposo há uma ansfênca d nga d vola paa o condnsado aé ang um mámo. D sguda, vola a dscaga, volando ao cclo ncal pndo-o ndfndamn. Aplcando as ls d Kchhoff, m-s qu d q vl vc L d C Como dq, m-s d 5 Flp Sanos Moa

23 Ondas d q q L d C sa é uma quação dfncal d sgunda odm com a solução possívl q q cos δ fquênca d ssonânca do ccuo LC. L C ss sulados pmm fa a sgun analoga com o caso do movmno d uma mola psa numa das mdads: Mola Mcânca Ccuo LC Posção: Caga: q Vlocdad: v Con: nga cnéca: m v nga na nduânca: L nga poncal: v nga no condnsado: q C d d q q pssão do movmno: m d quação do ccuo: L d C Fquênca d osclação: Fquênca d ssonânca: m Dsa abla am-s, anda, as sguns quvalêncas n os dos casos: m L /C q v. LC..6 Movmno d um pêndulo smpls Ouo mplo d um movmno hamónco smpls é o movmno d um pêndulo, como fdo anomn. Um pêndulo smpls dfn-s como sndo uma paícula d massa m psa a um pono O po fo d compmno l massa dspávl. Afasando a paícula aé uma posção, ond o fo fa um ângulo θ com a vcal, OC, abandonando a paícula d sguda, não o pêndulo á oscla n a posção a sua sméca,, como mosa a fgua sgun: 5 Flp Sanos Moa 3

24 Ondas θ θ l C θ T A F T P F N A paícula mov-s ao longo d um aco com ao l OA. As foças qu acuam na paícula são o pso, P, a nsão no fo, T. Como o fo m compmno fo, é fácl d ddu qu a componn nomal do pso é anulada, a cada nsan, pla nsão no fo. A componn angncal sulan é dada po F T m g sn θ m qu o snal ngavo s dv ao faco d o sndo oposo ao do dslocamno. Sab-s qu F T m a T como a paícula mov-s ao longo do cículo com ao l o qu cospond a um movmno ccula m-s qu a T d θ l d plo qu s obém, ou d θ m l m g sn θ d d θ g sn θ d l S o ângulo fo muo pquno, o qu sucd paa pqunas osclaçõs, não sn θ θ, plo qu a quação ano fca d θ g θ d l qu é dênca à quação do movmno hamónco smpls, m qu o dslocamno,, fo subsuído plo ângulo, θ, plo qu, dsa v, s f a um movmno angula m 5 Flp Sanos Moa 4

25 Ondas v d um movmno lna. Assm, pod d-s qu o movmno d um pêndulo smpls é um MHS com g / l, plo qu s pod pm o ângulo, θ, como θ θ sn α. Também aqu s m a lação T π π l g plo qu s pod afma qu o píodo d osclação d um pêndulo smpls não dpnd da sua massa.. Coda m vbação quação d onda Suponha-s uma coda qu pod movmnos ansvsas num únco plano d pquna amplud. Va supo-s qu qualqu movmno só pod dco ansvsalmn ao compmno da coda m pouso. A coda sá submda a foça d acção F. Anals-s o qu s passa com um compmno d coda. A F θ θ F A foça qu as pas da coda não psnadas cm, à squda à da do oço qu sá a s analsado, só pod s angn ao oço, poqu uma coda flívl como a consdada só ansm foça d acção a foça d acção F. Assm sndo, a foça qu acua sgundo, dcção únca do movmno possívl é, da fgua F F sn θ F sn θ S os ângulos θ θ fom gaandamn pqunos, o sno oma valos pómos da angn pod scv-s 5 Flp Sanos Moa 5

26 Ondas 5 Flp Sanos Moa 6 θ gθ g F F Po dfnção d dvada, a angn do ângulo fo pla angn à cuva com o o dos é a dvada da função no pono. Dss modo A d F F As dvadas são pacas poqu é função d do mpo. não, s fo a massa po undad d compmno da coda, a quação d Nwon paa o movmno sgundo é F Subsundo, fca F F A A Fando nd paa o, obém-s, po dfnção d dvada, F qu s pod scv na foma F sa é uma quação às dvadas pacas. A solução á não é uma smpls famíla d funçõs paamada po consans; é oda a class d funçõs ξ ± v fomada po odas as funçõs cuo agumno é ± v, com v >.

27 Ondas 5 Flp Sanos Moa 7 Paa a dmonsação dsa afmação, consd-s o caso do agumno α v. α α α α α α α α α α α α v v Subsundo na quação, sula α α F O qu é vdado s v F / Paa o agumno v, obém-s o msmo sulado. As funçõs do po ξ ± v chamam-s funçõs d onda ou ondas. O movmno da coda é um movmno m qu são popagadas ondas. Pocu-s sab quando é qu a função m o msmo valo; sso aconc m dos ponos dfndos po m nsans. Po mplo, paa o caso v, v v ou v.

28 Ondas A função, qu nha um co valo no nsan no pono, m o msmo valo no nsan no pono. Tudo s passa como s ss valo vss vaado d paa no nvalo d mpo d paa. não a consan v psna a vlocdad d popagação da onda. Como v > >, é ncssáo qu <, ou sa, a onda popaga-s no sndo ngavo do o dos..3 Onda hamónca A class d soluçõs qu s nconou é muo gal. A solução paa o movmno da coda é qualqu função d v onda gssva, no sndo ngavo do o dos ou / v onda pogssva, no sndo posvo do o dos. Um sulado mamn mpoan do sudo dsas funçõs é o sgun: qualqu dsas possívs soluçõs, qualqu onda, pod s pssa como um ngal duplo m d soluçõs ou ondas lmnas, chamadas ondas hamóncas, do po Acos ± δ Mas uma v, A δ são dpndns das condçõs ncas do movmno. São a amplud a fas ncal na ogm. sa solução é uma snusód agoa função do mpo da dsânca. Suponha-s qu s fa num pono, so é, faça-s consan. O qu s sá a fa é um flm do qu s passa no pono. Vm não qu a solução é do po d solução do movmno hamónco, com fas ncal δ. A A cos -δ T -A Obvamn, é anda π T 5 Flp Sanos Moa 8

29 Ondas Ao conáo, f-s, agoa, um nsan: a solução é agoa uma snusód função d. Agoa sá-s a a uma foogafa da onda: A A cos δ λ -A A dsânca n dos ponos qu nsananamn êm o msmo valo d onda chama-s compmno d onda, λ. Na fgua sá psnada a dsânca n dos ponos m qu o valo é o. Mamacamn, é, paa um msmo nsan, paa o agumno v, ou π δ δ π Mas λ, dond π λ A chama-s númo d onda. Rpa-s qu a onda hamónca é d faco uma onda, pos pod pm-s na foma, po mplo paa o snal posvo, δ Acos δ Acos Compaando o agumno conclu-s qu com o agumno caacísco da onda v, 5 Flp Sanos Moa 9

30 Ondas v Subsundo vm π T π λ λ v T A vlocdad da onda hamónca é o compmno d onda a dvd plo píodo, como é vdn..3. Sobposção d ondas hamóncas O pncípo da sobposção d qu quando duas, ou mas, ondas s popagam num msmo mo lna, o dslocamno líqudo do mo a onda sulan, m qualqu pono, é gual à soma algébca dos dslocamnos d odas as ondas. Aplqu-s s pncípo a duas ondas hamóncas qu s popagam na msma dcção num msmo mo. Caso ambas as ondas s popagum no sndo posvo do o dos, com a msma fquênca, msmo compmno d onda a msma amplud, mas com fass dfns, caso s pma cada uma das ondas da sgun foma: A sn Asn não, a onda sulan é φ [ sn sn ] A φ Andndo ao faco d s uma soma d snos aplcando a spcva ga, pod-s pm da sgun foma φ φ Acos sn. Dsa quação pod conclu-s qu a onda sulan é anda uma onda hamónca com a msma fquênca compmno d onda das ondas ndvduas, sndo a amplud 5 Flp Sanos Moa 3

31 Ondas φ φ A cos a fas. Caso a consan d fas fo, não a amplud sulan é A, ou sa, as ondas são m fas oco uma nfênca consuva; sa suação cospond ao caso m qu os mámos os mínmos das duas ondas ndvduas ocom nas msmas posçõs. S a consan d fas fo π, não a amplud da onda sulan sá nula, suação m qu há uma nfênca dsuva; al cospond à suação m qu o mámo d uma onda concd com o mínmo da oua..3. Ondas saconáas No caso d uma coda lásca m nsão sa fada m ambas as mdads, aconc a suação m qu as ondas pogssvas flcm-s nas mdads fas povocam ondas qu s popagam na coda nos dos sndos, so é, a onda ncdn a onda flcda combnam-s d acodo com o pncípo da sobposção nuncado na scção ano. Analsando a suação, chga-s à consaação d qu são ponos na coda qu nunca s movão, chamados nós, ouos a mo camnho n dos nós ponos m qu a amplud do movmno sá máma, os chamados an-nós. A suação ncona-s lusada na fgua sgun : Os padõs aqu psnados dnomnam-s ondas saconáas, pos sss padõs não s dslocam, qu paa a squda, qu paa a da: os locas ond ocom os mínmos os mámos são smp os msmos. Conclusão: smp qu duas ondas snusodas com a msma amplud com o msmo compmno d onda vaam m dcçõs oposas ao longo d uma coda scada, a sua sobposção ogna uma onda saconáa. A análs d uma onda saconáa fa-s combnando duas ondas hamóncas com as quaçõs dscas na scção ano. Assm, m-s,,, Asn Asn Aplcando algumas gas gonomécas, a quação ano fca Rada d []. 5 Flp Sanos Moa 3

32 Ondas, Asn cos sa quação não dscv uma onda m movmno, pos não sá psnada na foma das funçõs d onda, mas ans uma onda saconáa. A quandad A sn pod s vsa como a amplud da vbação do lmno da coda qu sá suado na posção. Conudo, como a amplud m d s smp um valo posvo a função sno pod oma valos ngavos, oma-s como amplud do movmno na posção, o módulo d A sn. Ao passo qu numa onda móvl a amplud d vbação é smp a msma paa odos os ponos, o msmo á não s passa numa onda saconáa, ond a amplud d vbação vaa d acodo com a posção. Ns caso, a amplud é nula paa os valos d m qu sn. sss valos são nπ, com n,,, Subsundo po π/λ nsa quação, chga-s a λ n, com n,,, sas são as posçõs d amplud nula os nós paa a onda saconáa. D noa qu os nós adacns são spaados d λ/, mad do compmno d onda. Uma análs gual, mas paa os ponos d amplud máma, pod s fa. Assm, a amplud máma é A oco paa valos d m qu sn ±. sss ponos são 3 5 π, π, π,... n π, com n,,, Subsundo po λ/, como no caso ano, obém-s λ n, com n,,, an-nós como as posçõs m qu a amplud d vbação é máma os an-nós. Os an-nós são spaados po λ/ suam-s a mo dos pas d nós. Pod ob-s uma onda saconáa numa coda m nsão pmndo qu uma onda móvl sa flcda na mdad fnal da coda d foma a qu a onda va d vola pla pópa coda. Na fgua sgun é usado um únco mpulso paa dscv como ocom ssas flõs. Rada d []. 5 Flp Sanos Moa 3

33 Ondas No lado squdo da fgua, a coda sá psa a uma pad, na sua mdad squda. Quando o mpulso chga à pad, c uma foça no sndo ascndn no supo a pad. Pla ca quação d Nwon, a pad á c uma foça d sndo oposo d gual amplud na coda, o qu ga um mpulso no supo qu á vaa d vola ao longo da coda no sndo oposo do do mpulso ncdn. Numa flão dua ds po m d hav um nó no supo, pos a coda sá psa nss pono, plo qu os mpulsos ncdn flcdo dvm snas oposos d foma a qu s canclm nss pono. No lado do da fgua m-s uma coda amaada a um anl qu é lv d dsla sm ao ao longo d um ubo. Quando o mpulso chga, o anl mov-s paa cma ao longo do ubo, puando a coda scando-a podundo um mpulso flcdo com a msma amplud com o msmo snal do mpulso ncdn. Assm, numa flão suav ds po, os mpulsos ncdn flcdo somam-s cando um an-nó no mo da coda: o dslocamno mámo do anl é o dobo d cada um dos mpulsos..3.. Ondas saconáas Rssonânca Consd-s uma coda psa m ambas as suas mdads po mplo, uma coda d uma guaa. Suponha-s qu s nva uma onda snusodal conínua com uma dada fquênca ao longo da coda num dado sndo, po mplo, da squda paa a da. Quando a onda ang o mo do, flc-s comça a vaa paa a squda; sa onda no sndo da-squda á sobpo-s à onda qu vaa no sndo squda-da. Quando ang o mo squdo á flc-s novamn comçaá a vaa paa a da, novamn, sobpondo-s às ondas qu vaam m 5 Flp Sanos Moa 33

34 Ondas ambos os sndos. Rsumndo, é fácl d v qu, num cuo nvalo d mpo, s á um gand númo d ondas qu s ão sobpo umas às ouas. sm cas fquêncas m qu a sobposção podu um padão d onda saconáa ou modo d vbação com gands nós an-nós, como s pod v na póma fgua : Cada uma das ondas saconáas é poduda m ssonânca a coda sá ssonan a sas fquêncas, dnomnadas fquêncas d ssonânca. S a coda vba a uma fquênca dfn d uma das fquêncas d ssonânca, não s ga uma onda saconáa a sobposção d ondas vaando da squda paa a da no sndo oposo poduá apnas pqunas vbaçõs da coda. Paa s plca, mamacamn, a suação dsca, consd-s uma coda psa nas duas mdads dos ganchos, po mplo qu dsam n s L. No-s qu m d s um nó m cada uma das mdads, pos cada uma dlas sá fa não pod vba. O padão mas smpls qu sasfa ss qusos é o dmonsado na fgua sgun, alína a, m qu só há dos nós um m cada mo da coda um únco an-nó suado a mo da coda foma um padão d um anl. Ns caso, uma mad do compmno d onda pand-s ao longo da dsânca L, plo qu s m, paa s padão, λ/ L. sa condção d qu caso as ondas qu vaam paa a squda paa a da fomam s padão, não o su compmno d onda dvá s λ L. No caso da alína b, m-s ês nós um m cada mo um co nó a mo da coda dos an-nós d-s foma um padão d dos anés. Paa qu as ondas qu Rada d []. Rada d []. 5 Flp Sanos Moa 34

35 Ondas vaam paa a squda paa a da fomm s padão, o su compmno d onda á d s λ L. Um co padão, lusado na alína c da fgua ano, com quao nós, ês an-nós, ês anés qu qu o compmno d onda das ondas qu vaam paa a squda paa a da sa λ /3L. sa pogssão poda connua obndo-s padõs cada v mas complos, sndo qu, m cada passo da pogssão, s aumnaa o compmno d onda das ondas qu vaam paa a squda paa a da m λ/ a cab na dsânca L. Assm, uma onda saconáa pod s gada numa coda d compmno L po uma onda cuo compmno d onda pod s um dos sguns valos L λ, com n,, 3, n As fquêncas d ssonânca a qu cospondm ss compmnos d onda são: f v v n, com n,, 3, λ L m qu v é a vlocdad das ondas móvs na coda. sa quação d qu as fquêncas d ssonânca são múlplos nos da fquênca fundamnal, f v/l, qu cospond a n. O modo d vbação com ssa fquênca, mas baa, é dnomnado modo fundamnal, ou pmo hamónco. O sgundo hamónco é o modo d vbação com n, o co cospond ao modo d vbação com n 3 assm po dan. As fquêncas assocadas a ss modos são nomalmn dsgnadas po f, f, f 3, c. O conuno d odos os modos d vbação possívs dnomna-s sé hamónca, a n chama-s númo hamónco do n-ésmo hamónco. 5 Flp Sanos Moa 35

36 Ondas 3 quaçõs d Mawll 3. Campos scalas vcoas Um campo é, gosso modo, um n físco qu oma dfns valos m ponos dsnos do spaço. A posção do pono do spaço dmna o valo do campo no pono a cada nsan. A ganda físca pod s um scala. Tm-s, não, uma função das ês coodnadas do pono. A mpaua duma sala é m campo scala. O n físco ambém pod s d naua vcoal. As vlocdads das paículas dum fluído m movmno, po mplo a água, fomam um campo vcoal. A cada pono do spaço ond sá o fluído sá assocado um vco. Os campos vcoas podm s psnados po vcos, plas angns, m cada pono, ao vco cospondn a ss pono as chamadas lnhas d foça do campo ou po supfícs a qu sas lnhas são ppndculas as supfícs d nívl do campo. Num campo scala psnam-s as supfícs ond o campo é consan. 3. Gadn d um campo scala Dado um campo scala FP, é possívl, com algumas sçõs mamácas qu aqu não são abodadas, dfn um novo campo a pa dl, sndo s novo campo um campo vcoal, chamado gadn do campo scala. A cada pono do spaço, assoca-s um vco qu m a dcção o sndo sgundo os quas o campo scala csc mas apdamn o su módulo é, usamn, o valo dss cscmno, po undad d compmno. ss vco é ppndcula às supfícs d gual valo do campo scala as suas supfícs d nívl. F F P 9º gad F F gadf lm F >F O gadn d F é calculávl dcamn a pa d F; s o campo sv psso m coodnadas casanas F,,, é 5 Flp Sanos Moa 36

37 Ondas F F gadf ˆ ˆ F ˆ Como, ao longo d uma supfíc quponcal, F não vaa, dfnndo um vco u angn à supfíc, m-s gadf u Logo, gad F m d s ppndcula à supfíc d nívl qu passa po P. 3.. Opado Nabla O opado nabla,, é dfndo po logo, gadf F, 3.3 Fluo d um campo vcoal Fluo: quandad qu passa po uma supfíc po undad d mpo. mplo: quandad d água qu passa aavés d uma dada scção d uma condua po mplo po undad d mpo. Suponha-s uma supfíc S dfna-s uma supfíc lmna S sob la. Sa n o vso nomal a S. Sa v um campo vcoal, po mplo, o campo d vlocdad d água. S n v S 5 Flp Sanos Moa 37

38 Ondas A quandad v n S, obda pocando v sgundo n, ou sa, a vlocdad da água, na dcção da nomal mulplcando pla áa S, dá o volum d água qu aavssa ssa supfíc lmna po undad d mpo. S s pnd sab qual o volum d água qu passa po undad d mpo m oda a supfíc, -s-a d consda ouas supfícs lmnas soma as quandads cospondns. Como a supfíc consdada é conínua, consda-s uma supfíc nfnsmal, ds, subsu-s, no lm, a soma po um ngal, obndo-s, dss modo, o fluo do campo v aavés da supfíc S, φ S. φ S S v n ds A noção d fluo pm ddu um campo scala a pa d um campo vcoal. 3.4 Dvgênca Suponha-s um pono qualqu do spaço, P, consd-s uma supfíc fchada, S, qu o coném. Chama-s dvgênca do campo vcoal no pono P a: dv v lm V S v n ds V Po ouas palavas, calcula-s o fluo qu sa aavés da supfíc fchada qu coném o pono o símbolo sgnfca ngação sob uma supfíc fchada dvd-s plo volum lmado po ssa supfíc, V. Dpos, calcula-s o lm ds quocn quando o volum nd paa o. Isso quval a consda o fluo aavés d supfícs cada v mas apadas nglobando o pono. No lm sá-s a calcula o fluo aavés d uma supfíc qu ngloba à usa o pono. S s lm, a dvgênca, fo nulo, o pono é um pono nomal, po ond a água smplsmn passa. Isso sgnfca qu a água qu na po um lado da supfíc sa plo ouo. Conudo, s o lm não fo nulo, o pono é dvgn do nomal, ou sa, m dvgênca não nula. S fo posvo, sso sgnfca qu sá a s cada água nss pono, ou não sá a s noduda do o. S s pnsa no spaço qu s sá a suda como uma banha, o pono é uma ona ponual. S, ao conáo, a dvgênca fo ngava, a água sá dsapac nss pono, é um alo. 5 Flp Sanos Moa 38

39 Ondas não, a pa do campo vcoal ncal, dfnu-s um novo campo scala a cada pono do spaço sá assocado um scala, a dvgênca do campo vcoal. A dvgênca pod calcula-s dcamn a pa do campo vcoal po uma pssão mamáca qu s ddu dcamn da dfnção. D faco, pmndo o campo vcoal m coodnadas casanas, vm v,,,, v,,,, ˆ v,,,, ˆ v,,,, ˆ v dv v v v v 3.4. Toma d Gn-Osogads Um oma muo mpoan é o oma d Gn-Osogads: v n ds S V dv v dv s oma é fácl d nnd a pa do mplo da banha fdo anomn, podndo, msmo, chamá-lo d oma das banhas ; s oma d qu a água qu sa aavés da supfíc S qu lma a banha supfíc fchada é gual à água qu na plas onas mnos a qu sa plos alos. Há qu cona a água qu na ou sa, qu é acamn a dvgênca nsss ponos ou conuno d ponos, soma, ou, no lm, nga, a odo o volum V. Do m mos mas pcsos, o oma d qu o fluo d um campo vcoal aavés d uma supfíc fchada é gual ao ngal da dvgênca do campo snddo ao volum lmado pla supfíc. 3.5 Cculação d um campo vcoal. Roaconal Uma oua opação sob campos vcoas qu sá aqu abodada é a d cculação do campo ao longo d uma lnha. sa opação é smlhan ao ngal d lnha, á abodado. Suponha-s uma lnha L dfna-s um compmno lmna sob a lnha. Sa τ o vso angn à lnha. Sa v um campo vcoal. 5 Flp Sanos Moa 39

40 Ondas v τ L A quandad v τ é obda pocando v na dcção da angn mulplcando plo compmno. sa quandad dá a cculação da água, s v fo o campo d vlocdad da água, ao longo do compmno. Paa calcula a cculação ao longo da lnha, hava qu soma sas cculaçõs lmnas, no lm, nga, obndo-s C L L v τ d A noção d cculação pm dfn, a pa do campo vcoal v, um novo campo scala. Suponha-s um pono no spaço P consd-s uma dcção dfnda po um vso n. Consd-s uma lnha fchada num plano ppndcula a n, nglobando o pono P. n P Dfn-s como componn d um vco, chamado oaconal do campo v, sgundo n, como v τ d o v n lm S S Calcula-s, assm, a cculação do campo ao longo da lnha fchada, dvd-s pla áa, S, lmada pla lnha L obndo-s o lm quando S nd paa o. Isso quval a consda lnhas fchadas cada v mas ausadas ao pono P. S o lm fo nulo, so é, s o oaconal não v componn sgundo a dcção dfnda po n, sso sgnfca qu não há cculação na lnha. Mas, s fo não nulo, no lm, quando a lnha s fcha cada v mas, sso sgnfca qu há um vóc d um dmonho no pono qu m componn sgundo n povoca oação da água na lnha. 5 Flp Sanos Moa 4

41 Ondas Agoa, sá-s a assoca, a cada pono, um novo vco, poano, a dfn um novo campo, o oaconal do campo ncal. Pcsamn poqu é um vco, va dcção sndo. Como a dvgênca pod s nndda como dando a quandad d água qu na ou sa, spcvamn numa ona ou alo, o oaconal pod s nnddo como uma colh qu povoca uma oação da água m ono d s pópa. Naualmn, m-lh assocada uma dcção sndo, a l ao vóc qu ca. O oaconal ambém s pod calcula dcamn a pa do campo vcoal. A pa da dfnção, ddu-s, paa um campo psso m coodnadas casanas o v v v v m qu o dmnan dv s dsnvolvdo sgundo a pma lnha, fcando v o v v v ˆ v v ˆ v ˆ. Andndo à dfnção d poduo vcoal, é mdao consaa qu o v v 3.5. Toma d Sos s um oma qu lacona um campo vcoal com o su oaconal, o oma d Sos v τ d S o v n ds O oma nnd-s bm pnsando o qu aconc numa chávna d café, sndo, po sso, acávl chama-lh oma das chávnas d café. Suponha-s, não, qu s pnd calcula a cculação do café ao longo do bodo da chávna; qu d, o pcuso é o bodo da chávna. não, m d s cona as colhs qu s mm na chávna. Conudo, nm odas as colhs dão oação como a qu s qu. S s consguss m uma colh como mosa a fgua, m paallo ao plano do bodo, do ps, não s consgua a oação do café como o pnddo, po mas qu s odass a colh. Qu so d qu m d s cona as pas ús das colhs, a sua pocção na nomal ao bodo da chávna, o v n. Cona sgnfca, no lm, nga a oda a 5 Flp Sanos Moa 4

42 Ondas supfíc do bodo., assm, s obém o fluo d colhs, ou fluo do oaconal, aavés da supfíc, o v n ds. S n m mos mamácos, o oma d qu a cculação d um campo vcoal ao longo d uma lnha fchada é gual ao fluo do oaconal do campo aavés da supfíc lmada pla lnha. 3.6 Dmnação d campos vcoas Só há duas manas d ca um campo vcoal: cando onas /ou alos, ou nodundo colhs. Pns-s, po mplo, numa banha cha d água: só há duas manas d a pô m movmno: uma é ab uma ona ou um alo. As paículas d água vão, não, da ona paa o alo. A oua mana é nodundo uma colh odando-a; as paículas d água andam, não, à vola da colh m ccuo fchado. Do d ouo modo, só há duas manas d ca um campo vcoal. Uma é ca ponos d dvgênca não nula. não, as lnhas d foça do campo às quas o campo é angn vão dos ponos d dvgênca posva paa os ponos d dvgênca ngava. Oua foma é ca ponos com oaconal não nulo. não, as lnhas d foça do campo são fchadas sob s. O campo dfndo apnas po ponos d dvgênca não nula, chamam-s oaconas; os dfndos apnas po ponos d oaconal não nulo, chamam-s solnodas. não, da a dvgênca o oaconal do campo vcoal, é caaca, complamn, o campo. 3.7 Opaçõs sob os campos Dado agoa um campo, scala ou vcoal, váos ouos campos podm s dvados a pa dos campos gadn, dvgênca oaconal. Po mplo, é fácl mosa, aplcando as spcvas pssõs, qu 5 Flp Sanos Moa 4

43 Ondas o gad F O oma das chávnas d café mplca, mdaamn, qu C gad F τ d o gad F n ds S A cculação do gadn d um campo scala ao longo d uma lnha fchada é smp nula. Isso mplca qu a cculação n dos ponos quasqu não dpnd do aco. A A C C C C C C ou A gad A F ds gad F ds ou A gad F ds A gad F ds Mosa-s, aé, qu A gad F ds F F A Iso é, a cculação do gadn do campo F do pono A ao pono não dpnd do aco é gual ao valo do campo F no pono d chgada mnos o valo do campo F no pono d pada. Invsamn, s um campo vcoal m cculação nula num pcuso fchado ou, do d oua foma, é oaconal, não s um campo scala qu é gadn, so é 5 Flp Sanos Moa 43

44 Ondas o v ou s v τ ds v gad F Galmn não nssa, dado v, dmna F, mas sm o su sméco, qu m sgnfcado físco: fcando V F v gad V A V chama-s poncal do campo v. Oua opação combnada, com nss, é dv gad F Andndo a qu F F gadf ˆ ˆ F ˆ v v v dv v conclu-s, pondo v gad F, qu dv gad F F F F Chama-s, a s novo campo, laplacano do campo scala F, usando o opado nabla, pod scv-s como lap F F 5 Flp Sanos Moa 44

45 Ondas 5 Flp Sanos Moa 45 Uma opação dênca pod s dfnda sob um campo vcoal; chama-s laplacano d um campo vcoal v, um novo campo vcoal, cuas componns são os laplacanos das componns do campo ncal. Iso é, s v v v v ˆ ˆ ˆ, vm v v v v v lap ˆ ˆ ˆ com v v v v v v v v v v v v. 3.8 Campo lécco Consd-s a suação m qu há duas cagas m dos ponos quasqu do spaço, dsando d s uma dsânca. ssas duas cagas vão ca n s uma foça, a foça lécca, qu sá d aacção caso as cagas sam d naua snal conáa sá d pulsão caso sam d gual naua. ssa foça sá cda nas duas cagas. A l d Coulomb d qu u q q u q q F 4 π m qu u é o vso da lnha ca qu un as duas cagas q q, é a consan d Coulomb val apomadamn 9 9 Nm C -.Caso sam psns mas d duas cagas, não a foça lécca qu sá cda m cada caga, sá a soma d odas as foças léccas cadas po odas as cagas léccas. u q Q F F oal m qu Q é caga consdada. S s dvd ssa foça plo valo da pópa caga, obém-s a pssão d um campo cado plas cagas no pono ond sá a caga: o campo lécco, qu é dado pla quação Vso ou vco unáo

46 Ondas F Q q u Como s compova po sa quação, o campo lécco, num dado pono, não dpnd das cagas aí psns, mas sm das ouas cagas vnhas dss pono; o campo lécco é um campo o à caga. Dvdo ao snal d Q, o campo lécco, num dado pono, pod s conáo ou não à foça lécca cda nssa caga; s a caga fo posva, não a foça lécca o campo lécco ão o msmo sndo a msma dcção; caso a caga Q sa ngava, não a foça lécca cda nssa caga á a msma dcção do campo lécco nss pono, conudo o sndo sá o oposo. Aé agoa, consdaam-s cagas cuas dsâncas n s são lavamn gands; aconc qu, muas vs, as cagas são muo unas m compaação com as dsâncas aos ponos do campo; nssa suação, o ssma d cagas pod s consdado conínuo, so é, assum-s qu o ssma d cagas muo unas sa quvaln a uma caga oal dsbuída connuamn num co volum ou numa ca supfíc. Paa calcula o campo lécco d uma dsbução conínua d cagas, dvd-s a caga m pqunos lmnos, cada um com uma caga q, calcula-s o campo lécco cado po ssa caga dpos, aplcando o pncípo da sobposção, somam-s odos os campos cados po odas as cagas, sulando q u lm q q u d q u Na alação dss cálculos é convnn a noção d dnsdad d caga; caso a caga Q sa unfommn dsbuída po uma lnha d compmno l, não a dnsdad d caga po undad d compmno, ρ Ql, é dada po Q ρ Ql l Caso a caga sa dsbuída unfommn po uma supfíc d áa S, não a dnsdad d caga po undad d áa, ρ QS, é dada po Q ρ QS S 5 Flp Sanos Moa 46

47 Ondas Po fm, s a caga sv unfommn dsbuída po um volum V, não a dnsdad d caga po undad d volum, ρ QV, é dada po Q ρ QV V Caso a caga não sa unfommn dsbuída numa lnha, supfíc ou volum, não as dnsdads d caga cospondns são dadas po dq ρ Ql dl dq ρ QS ds dq ρ QV dv ond dq é a quandad d caga num lmno d lnha, supfíc ou volum Lnhas do campo lécco Uma foma convnn d vsuala a confguação d um campo lécco conss m aça cuvas qu nham smp, m, qualqu pono, a msma dcção do vco campo lécco. ssas lnhas, dnomnadas lnhas do campo lécco, laconam-s com o vco campo lécco,, da sgun foma: a o vco campo lécco,, é angn, m cada pono, à lnha do campo lécco qu passa plo pono b o númo d lnhas, po undad d áa, qu aavssam uma supfíc ppndcula às lnhas do campo, é popoconal ao valo do campo lécco na gão so qu d qu, s v módulo gand, as lnhas do campo saão muo unas s o módulo fo pquno as lnhas saão mas afasadas. S s consda uma caga, q, não as lnhas do campo lécco ão o sgun aspco: sa magm é uma psnação bdmnsonal; na aldad as lnhas são adas m odas as dcçõs. No caso d q s posva, colocando uma caga, q, posva ns campo, sa sá plda pla caga q, plo qu as lnhas dgm-s paa foa da caga. No caso d q s 5 Flp Sanos Moa 47

48 Ondas ngava, não a msma caga posva, q, á s aaída pla caga q, plo qu as lnhas do campo, ns caso, dgm-s paa a caga. m qualqu dos casos, as lnhas são adas sndm-s aé ao nfno. As gas paa aça as lnhas do campo lécco são as sguns: c as lnhas dgm-s das cagas posvas paa as cagas ngavas d o númo d lnhas qu sa d uma caga posva, ou qu s apomam d uma caga ngava, é popoconal ao módulo da caga não há cuamno das lnhas do campo lécco. 3.9 Campo Magnéco O fnómno do magnsmo a conhcdo dos ggos, quando ss obsvaam qu cas pdas, acualmn dnomnadas d magn, aaíam pdaços d fo. O vco campo magnéco, analogamn ao campo lécco ao campo gavíco, pod s dfndo m função da foça d naua magnéca cda num copo d pova. A qusão fcaá, assm, duda a dfn qual ss copo. A undad do campo magnéco é o Tsla T. Consd-s uma gão do spaço m qu não s qualqu campo lécco ou gavíco; só s um campo magnéco. As pêncas com o movmno d paículas cagadas lccamn, nssas gõs, lvaam às sguns obsvaçõs: a há uma foça psn, a foça magnéca, qu é popoconal à caga q ao módulo da vlocdad v da paícula; b o módulo a dcção da foça magnéca dpndm da vlocdad da paícula da dcção módulo do campo magnéco; c quando uma paícula s mov numa acóa paalla ao vco campo magnéco, a foça magnéca cda sob a paícula é nula; d s o vco vlocdad f um ângulo θ com o vco campo magnéco, a foça magnéca acua numa dcção ppndcula a v a ; po ouas palavas, a foça magnéca é ppndcula ao plano dfndo po v ; a foça magnéca cda sob uma caga posva m sndo oposo à foça magnéca cda sob uma caga ngava qu s mova com o msmo vco vlocdad; f s o vco vlocdad f um ângulo θ com o vco campo magnéco, o módulo da foça magnéca é popoconal a sn θ. sas obsvaçõs podm sum-s na sgun quação: F m q v 5 Flp Sanos Moa 48

49 Ondas sa foça m a dcção dada pla dcção d v, qu, pla dfnção d poduo vcoal, é ppndcula a v a ; o sndo da foça é, assm, dado pla ga da mão da ou do saca-olhas. Na scção ano consdou-s qu as cagas psns no campo lécco savam paadas. Conudo, como las vão sa suas a uma foça a foça lécca, o mas naual é movm-s; msmo qu, num dado pono, a foça lécca sa nula, s a caga á sv m movmno, não la connuaá a mov-s. Qual a consquênca, s alguma, dss movmno? É óbvo qu, quando num campo lécco, a caga s mova qu a sua vlocdad sa nfluncada plo campo lécco. Po ouo lado, á s vu qu uma caga m movmno, quando m psnça d campo magnéco, va sof os fos da sênca dss campo. É, assm, naual qu a psnça smulâna d um campo lécco d um campo magnéco, ambém nflunc o su movmno. Quando al aconc, s uma foça, a foça d Lon, qu é dada po F L q v 3. Campo lcomagnéco 3.. quaçõs d Mawll O campo lcomagnéco é fomado po dos campos vcoas: o campo lécco o campo magnéco. São caacados dfnndo as suas onas alos as suas colhs, so é, a sua dvgênca o su oaconal. As quaçõs qu fam ssas dfnçõs são as quaçõs d Mawll: ρ dv dv o o J Nsas quaçõs, ρ é a dnsdad d caga J é a dnsdad d con. S ρ m fo a dnsdad d caga móvl v fo a vlocdad dssa caga, J ρ v m Po ouo lado, a con qu aavssa uma supfíc é o fluo d dnsdad d con aavés da supfíc: 5 Flp Sanos Moa 49

50 Ondas I S S J n ds, a pmssvdad lécca, a pmabldad magnéca, são consans caacíscas do mo ond s sudam os campos. As quaçõs d Mawll podm, agoa, l-s d foma claa. ρ D dv, conclu-s, qu os ponos d dnsdad d caga posva são onas do campo lécco os ponos d dnsdad d caga ngava, os alos. As cagas são, nglobando uma caacísca do mo a pmssvdad lécca, as onas os alos do campo lécco. Mas o campo lécco ambém é cado po colhs. D o, conclu-s qu a dvada m odm ao mpo do campo magnéco é colh do campo lécco. O campo magnéco não é cado po onas alos, pos dv. Não há caga magnéca quvaln à caga lécca. Mas é cado po colhs. D o J, conclu-s qu há dos pos d colhs: a dnsdad d con a dvada m odm ao mpo do campo lécco. O campo magnéco só é cado po colhs, logo é um campo solnodal. É usual dfn dos novos campos a pa dos campos, aavés das quaçõs D H D chama-s dslocamno lécco H cação magnéca. sas duas quaçõs dm-s quaçõs consuvas. Uma ca quação lacona, nos mos conduos, a dnsdad d con com o campo lécco: J σ m qu σ é a condubldad do conduo. sa quação é oua foma d pm a l d Ohm. Com ss dos novos campos, as quaçõs d Mawll podm s scv-s: 5 Flp Sanos Moa 5

51 Ondas dv D ρ dv o D o H J Rpa-s qu as consans caacíscas da maéa,, dsapacam das quaçõs. nano, mos sado a fala do qu s passa num mo caacado po uns cos. As quaçõs, no nano, são váldas nas fonas n os mos dlas am-s as sguns quaçõs d fona, H H, D n D n n n Ou sa, na fona d dos maas, as componns angncas d H são guas bm como as componns nomas d D. 3.. Suaçõs saconáas Uma pa mpoan do sudo do lcomagnsmo é o das suaçõs saconáas. São as suaçõs m qu o compoamno macoscópco não é alado no mpo. Assm sndo, as dvadas m odm ao mpo nas quaçõs d Mawll são nulas, fcando dv D ρ dv o o H J O campo magnéco, agoa chamado magnosáco, connua a s solnodal o campo lécco, agoa chamado lcosáco, é agoa oaconal, so é, só d onas alos. O campo lécco, agoa ndo oaconal nulo, é gadn d um campo scala. Tomando o sméco, como vso aás, vm gad V A V chama-s poncal lécco ou nsão lécca, al como vso anomn, 5 Flp Sanos Moa 5

52 Ondas V V A A ds Os omas das chávnas d café das banhas podm aplca-s aos campos. Aplcando o oma das banhas ao campo lécco, m-s D n ds dv D dv ρ dv S V V ond Q é a caga oal no volum. sa é a l d Gauss, qu d qu o fluo do dslocamno lécco aavés d uma supfíc fchada é gual à caga oal no volum dfndo pla supfíc. Aplcando ao campo magnéco, conclu-s qu n ds dv dv S V Aplcando o oma das chávnas d café ao campo lécco, obém-s ds o n ds s τ S O msmo oma aplcado ao campo magnéco sula m H τ ds o H n ds J n ds I s S S m qu I é a con oal qu aavssa a supfíc lmada pla lnha. sa é a l d Ampè qu d qu a cculação do campo cação magnéca ao longo d uma supfíc fchada é gual à con qu aavssa a supfíc lmada pla cuva. Das quaçõs d Mawll é possívl a as pssõs dos campos cados po uma caga ponual: Q s P Q u Toma d Sos. Toma d Gn-Osogads. 5 Flp Sanos Moa 5

53 Ondas Paa o campo lécco sula Q 4 π u S s v um volum cagado com dnsdad ρ, não o campo cado plo volum é o ngal dos campos cados po cagas lmnas ρ dv. V dv u P ρ dv u 4π V ρ O campo magnéco só é cado po cagas m movmno. P v u Q 4 π v Q u Daqu pod passa-s paa o campo cado po uma con num ccuo I d l P s dl u I 4π u s sa pssão paa o campo é a l d o-sava. É possívl dmna as foças qu ss campos vcoas cam. A foça povocada plo campo lécco sob uma caga q é F q O campo magnéco só acua sob oua caga q s la v uma vlocdad v 5 Flp Sanos Moa 53

54 Ondas F q v s capíulo á nha sdo abodado anomn, mas aqu f-s uma abodagm mas analíca do qu nha sdo não dsco Suação Gal A suação gal é mas compla, mboa muos dos sulados anos sam anda váldos. As quaçõs d Mawll nos campos são, não, ρ dv dv o o J Uma foma d aboda o poblma é a sgun: pgu-s na quação o Aplqu-s o oaconal aos dos mmbos da quação o o o Iso não fo aado aquando do aamno d opaçõs múlplas, mas é fácl mosa, a pa das spcvas pssõs, qu o o gad dv Po ouo lado, o lado do da gualdad pod scv-s como o o A quação fca, não gad dv o 5 Flp Sanos Moa 54

55 Ondas Subsundo das quaçõs d dv o, plas obdas nas quaçõs d Mawll, vm ρ gad J qu pod s sco na foma J gad ρ Aplcando o opado oaconal à quação qu dfn o J o, ncona-s sas duas quaçõs govnam o compoamno dos campos, psnam as quaçõs d adação popagação dos campos lécco magnéco. Agoa não s á aá-las com sa gnaldad, mboa sso sa fo mas ad. sas são quaçõs qu gm dsd o compoamno d ccuos com cons vaávs no mpo aé aos campos lcomagnécos qu a pa d aí s pocam no spaço qu consum, como s vá, ondas lcomagnécas. Paa á, va s abodado o poblma da popagação dss campos no spaço long dos ccuos qu os caam, não sndo abodado, poano, o poblma da adação das annas Popagação d ondas lcomagnécas no vao As quaçõs fcam, não, uma v qu no vao não há cagas ou dnsdads d cons ρ J, É fácl v como é qu os campos s popagam. D faco, as quaçõs d Mawll fcam, na ausênca d cagas ou cons na foma 5 Flp Sanos Moa 55

56 Ondas dv dv o o Os dos campos são, agoa, ambos solnodas. A popagação dos campos dá-s poqu a dvada m odm ao mpo d cada um va sndo a colh do ouo. 5 Flp Sanos Moa 56

57 Ondas 5 Flp Sanos Moa 57 4 Ondas lcomagnécas 4. Onda lcomagnéca no vao As quaçõs dos campos lécco magnéco no vao, como vso anomn, são dadas po Andndo à dfnção d laplacano d um vco, vê-s qu sas duas quaçõs vcoas s ansfomam m ss quaçõs scalas: Dsnvolvndo os laplacanos, as quaçõs scvm-s

58 Ondas 5 Flp Sanos Moa 58 São ss quaçõs d onda smlhans à quação qu s vu, a uma vaávl, paa uma coda vban: F Agoa, cada uma das quaçõs é a ês vaávs. Vu-s qu, no caso d uma vaávl, a solução pod s pssa como um ngal duplo d soluçõs lmnas, chamada onda hamónca do po cos δ ± A Agoa pod-s d qu qualqu solução d cada uma das ss soluçõs scalas pod s pssa como um ngal quáduplo m,, d soluçõs lmnas do po, po mplo, paa a componn cos δ ± ± ± Chama-s a sa solução, uma onda plana monocomáca, OPM.

59 Ondas 5 Flp Sanos Moa 59 Dfnndo um vco K, vco d onda K ˆ ˆ ˆ sndo o vco d posção do pono dado po ˆ ˆ ˆ pod-s scv a OPM na foma cos cos cos Z Z Y Y K K K δ δ δ ± ± ± cos cos cos Z Z Y Y K K K ψ ψ ψ ± ± ±. Pmo va-s confma qu a OPM é solução quas as condçõs a mpo a a K. Tal va s fo paa a componn, sndo as conclusõs váldas paa as ouas componns. A quação é cos cos K δ δ ± ± ± ± Tom-s, po mplo, a solução com o snal ngavo. não,