INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO FÍSICA III FILIPE SANTOS MOREIRA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO D RAGANÇA SCOLA SUPRIOR D TCNOLOGIA D GSTÃO FÍSICA III FILIP SANTOS MORIRA 3

2 Física 3 (Q 1 ANÁLIS VCTORIAL Diadas paciais Diada d uma função Diadas paciais Diadas d funçõs composas Ingais múliplos Ingação d uma função Ingais duplos Ingais iplos Ingal d linha...6 CAMPOS SCALARS VCTORIAIS Inodução...9. Gadin d um campo scala Opado Nabla Fluo d um campo coial Digência Toma d Gn-Osogads Ciculação d um campo coial. Roacional Dminação d campos coiais Opaçõs sob os campos LCTROMAGNTISMO Campo lécico Linhas do campo lécico Poncial lécico Li d Gauss Con lécica li d Ohm Con lécica Rsisência li d Ohm Campo Magnéico Li d io-saa Li d Ampè Campo lcomagnéico quaçõs d Mawll Siuaçõs sacionáias Siuação Gal Polaiação quaçõs d Mawll na Maéia ONDAS Filip Sanos Moia i

3 Física 3 (Q 4.1 Inodução Anális d Foui do moimno ondulaóio Moimnos hamónicos Solução compla Fasos Coda m ibação quação d onda Ondas lcomagnéicas QUÂNTICA Ondas lcomagnéicas Infência difacção Popagação da lu Pincípio d Hugns Rflão Rfacção Difacção do spco lcomagnéico piência da lu d Young Difacção po Rd Cisalina Radiação d um copo ngo Li do Dslocamno d Win A Caásof do Ula-Viola Li d Planc. Foão fio Foolécico fio d Compon Ondas d maéia Inca Pincípio da inca d Hisnbg quação d Schöding spcos pimnais d Absoção d missão Áomo d oh spco do Hidogénio Áomo d Hidogénio spco do Hidogénio Áomo d Hidogénio Pincípio da clusão Tabla Piódica Pincípio da clusão Tabla Piódica ILIOGRAFIA Filip Sanos Moia ii

4 Física 3 (Q 1 Anális coial 1.1 Diadas paciais Diada d uma função Sa a função f ( uma função qualqu com uma aiál indpndn. A diada d uma função é d d lim Gomicamn, a diada d uma função num pono é a angn igonoméica do ângulo qu a ca angn à cua nss pono fa com o io das abcissas. As diadas calculam-s d acodo com a dfinição. mplo: d d lim 1 Y lim lim lim lim 1 lim ( ( ( ( É possíl, assim, com mais ou mnos abalho, sablc gas páicas d diação ablas d diadas Diadas paciais Uma função a uma aiál psna uma linha; uma função a duas aiáis psna uma supfíci; uma função a n aiáis psnaá uma hipsupfíci no spaço n1 dimnsional. Dfin-s diada pacial da função (, no pono P do spaço m odm a,, à diada da função ( qu s obém conglando, iso é, supondo consan. Da msma foma s pod dfini. Calculmos as diadas paciais da função. ( funciona como uma consan 3 Filip Sanos Moia 1

5 Física 3 (Q ( funciona como uma consan Diadas d funçõs composas As sguins gas da diação d funçõs composas são fundamnais: i. ( ( d d d d d d ii. ( 1(, ( d d d1 d d d d d d d iii. ( 1(,, (, d d 1 d d 1 d1 d d d d d d d d d 1 d1 d d d d d 1. Ingais múliplos 1..1 Ingação d uma função Consid-s a sguin função: f( β Diida-s o inalo n α β m inalos paclas abiáios i ; d sguida om-s m cada um dsss inalos um pono abiáio p i dmin-s aí o alo da função f(p i. Dfin-s, não 3 Filip Sanos Moia

6 Física 3 (Q β α f ( d lim ma( i f ( p i i qu é indpndn da foma da diisão m inalos dos ponos p i scolhidos. s ingal dfinido (um alo dfinido, um númo é a áa n a cua f( o io das abcissas. Conclui-s, d imdiao, qu s m fo um mínimo d f( no inalo {α, β} M um máimo da função nss msmo inalo, não β m ( β α f ( d M ( β α α qu é conhcido como o oma do alo médio paa ingais dfinidos. Paindo ds oma, é possíl chga à dfinição d pimiia ou ingal indfinido d f(; d faco, a pimiia d f(, F(, é oda a função qu saisfaça a sguin condição: df( d f ( 1.. Ingais duplos Quando s inoduiu o ingal dfinido, diidiu-s a áa sob a cua f( m pqunos cângulos. f(p i α p i i β Pimio calculou-s a áa dsss pqunos cângulos i f ( p i i só dpois é qu s passou ao limi d modo a ob o ingal dfinido β α f ( d lim ma( i f ( p i i 3 Filip Sanos Moia 3

7 Física 3 (Q β O ingal dfinido pod s inpado como o limi dssa soma. O sinal pod s α nndido como um sinal limi do sinal Σ o ingando f(d pod s iso como uma áa infinisimal cangula. O pocsso d cálculo dssa áa du-s, assim, ao d dfini uma áa infinisimal a inga. Pod-s-ia scolhido um lmno d áa ainda mais pquno. O mais pquno lmno d áa qu s pod dfini é o chamado lmno d áa m coodnadas casianas ds d d f( d ds α d β Agoa paa calcula a áa oal sob a cua, calcula-s pimio a áa cospondn ao cângulo do pimio pocsso. Nss cálculo, é omado consan. f ( dd f ( d Dpois sgu-s o pimio pocsso β α f ( d s pocdimno pod s sumido da sguin foma: S β f ( α dd o qu consiui um ingal duplo. O su cálculo sgu o pocsso inso do da diação pacial. Pimio, inga-s m odm a d, considando como uma consan; dpois, inga-s m odm a d, considando como uma consan. 3 Filip Sanos Moia 4

8 Física 3 (Q Ns mplo, a uilidad do ingal duplo não é muio apan, uma qu s pod calcula a áa muio mais facilmn uiliando o ingal simpls. Conudo, imagin-s qu s pnd calcula, po mplo, o olum sob uma supfíci - n o plano a supfíci (,. Pod oma-s como lmno d áa ds d d no plano dpois associa a ss lmno d áa uma alua (,, dfinido um olum infinisimal pismáico. O olum oal sá dado po (, dd Imagin-s, po mplo, qu s qu o olum sob a supfíci n os limis 1 paa a coodnada paa a coodnada. O olum é, não 1 dd Pimio inga-s m odm a, considando consan dpois inga-s m odm a. Assim sndo, m V d d d A odm d ingação, ns mplo, é abiáia, poqu os limis são consans puas Ingais iplos No mplo anio, pod-s-ia calculado o msmo olum usando um lmno d olum ainda mno: o lmno d olum m coodnadas casianas dv d d d O olum sia, não, dado po 1 d d d 1 d d Aqui, a odm á não é abiáia, pois o limi supio d ingação m dpnd d. Mais uma, pac dsncssáio co ao ingal iplo. Mas imagin-s ouo poblma: pnd-s dmina a massa d um pisma, sabndo qu a sua massa spcífica é uma função do pono dada po ρ 3 Filip Sanos Moia 5

9 Física 3 (Q O pisma m po limis 1 < < < < < < 4 O poblma pod s solido po M ( d d d d d ( 1 18,55 d 18, ,41 1 d d 4 d 1..4 Ingal d linha Consid-s um obco com massa m colocado num campo gaíico. Como a foça gaíica é um co, o campo gaíico é um mplo d um campo coial. A foça gaíica na massa é dada po mg, m qu g é um co consan chamado aclação gaíica. Supondo qu s laga a massa la cai a pai do pono A. O dslocamno ical mdido na dicção dscndn a pai d A é. O abalho fio pla foça gaíica causa o dslocamno da massa. Pnd-s calcula o abalho fio paa mo a massa d A aé, como na figua. m M N δ O abalho fio paa dsloca a massa do pono M paa o pono N, cospondn a uma disância lmna δ. A física di qu o abalho fio é igual ao poduo da ampliud da foça pla disância pcoida. Ns caso, a ampliud da foça psn é dado po mg a quanidad lmna δw, quando a massa s dsloca d M paa N é dada po δw m gδ 3 Filip Sanos Moia 6

10 Física 3 (Q dond s ia δw δ m g. Fando δ, obém-s δw lim δ δ dw d m g Paa s ob o abalho oal fio quando a massa s dsloca d A paa, calcula-s o ingal paa o inalo d inss, iso é abalho oal fio W m g d. s é mplo lmna d um ingal d linha. sa dnominação m do faco d s sa a inga ao longo da linha d A aé. No caso anio, o cálculo foi dico simpls, dido à paiculaidad do mplo. Consid-s agoa o caso m qu s m um campo coial, F, aaés do qual passa uma cua C, como na figua sguin. A F (, F F n M θ F N MN δ C A anális sguin ai s singi a duas dimnsõs. No caso gal, o campo coial ai aia com o spaço, iso é, F F(,. Consid-s qu o lmno pquno d C qu una os ponos M N sa θ o ângulo n a angn da cua C no pono M a dicção do campo nss pono. Sa o co qu un M N δ. Considando a quanidad F δ m qu psna o poduo scala. S F psna a foça gaíica, não a quanidad F δ psna a pquna quanidad d abalho fio plo campo ao mo uma paícula d massa uniáia n o pono M o pono N. O ingal apopiado ao longo d oda a cua psna o abalho oal fcuado. Assim, m-s ( F cos θ δ F F δ s F δ cos θ δ 3 Filip Sanos Moia 7

11 Física 3 (Q m qu F é a componn d F angncial à cua C. s sulado é do msmo ipo das pssõs paa o abalho obido aniomn. não sá-s inssado m ingais do ipo C F (, d. Dado qu F é uma função coial d d, não F á componns casianas F (, F (,, plo qu pod s scio na foma F(, F (, i F (,. D igual modo, pod dfini-s d d i d dond s ia F d s ( F (, i F (, ( d i d F (, d F C C C (, d. 3 Filip Sanos Moia 8

12 Física 3 (Q Campos scalas coiais.1 Inodução Um campo é, gosso modo, um n físico qu oma difns alos m ponos disinos do spaço. A posição do pono do spaço dmina o alo do campo no pono a cada insan. A ganda física pod s um scala. Tm-s, não, uma função das ês coodnadas do pono. A mpaua duma sala é m campo scala. O s físico ambém pod s d naua coial. As locidads das paículas dum fluído m moimno, po mplo a água, fomam um campo coial. A cada pono do spaço (ond sá o fluído sá associado um co. Os campos coiais podm s psnados po cos, plas angns, m cada pono, ao co cospondn a ss pono as chamadas linhas d foça do campo ou po supfícis a qu sas linhas são ppndiculas as supfícis d níl do campo. Num campo scala são as supfícis ond o campo é consan.. Gadin d um campo scala Dado um campo scala F(P, é possíl, com algumas siçõs mamáicas qu aqui não são abodadas, dfini um noo campo a pai dl, sndo s noo campo um campo coial, chamado gadin do campo scala. A cada pono do spaço, associa-s um co qu m a dicção o snido sgundo os quais o campo scala csc mais apidamn o su módulo é, usamn, o alo dss cscimno, po unidad d compimno. ss co é ppndicula às supfícis d igual alo do campo scala as suas supfícis d níl. F F 1 P 9º gad F F gadf lim F >F 1 O gadin d F é calculál dicamn a pai d F; s o campo si psso m coodnadas casianas F(,,, é F F gadf i F 3 Filip Sanos Moia 9

13 Física 3 (Q Como ao longo d uma supfíci quiponcial F não aia, dfinindo um co u angn à supfíci, m-s gadf u Logo, gad F m d s ppndicula à supfíci d níl qu passa po P...1 Opado Nabla O opado nabla,, é dfinido po logo, gadf F,.3 Fluo d um campo coial Fluo: quanidad qu passa po uma supfíci po unidad d mpo. mplo: quanidad d água qu passa aaés d uma dada scção d uma condua (po mplo po unidad d mpo. Suponha-s uma supfíci S dfina-s uma supfíci lmna S sob la. Sa n o so nomal a S. Sa um campo coial, po mplo, o campo d locidad d água. S n S A quanidad n S, obida pocando, a locidad da água, na dicção da nomal muliplicando pla áa S, dá o olum d água qu aassa ssa supfíci lmna po unidad d mpo. S s pnd sab qual o olum d água qu passa po unidad d mpo oda a supfíci, -s-ia d consida ouas supfícis lmnas soma as quanidads cospondns. 3 Filip Sanos Moia 1

14 Física 3 (Q Como a supfíci considada é conínua, consida-s uma supfíci infinisimal, ds, subsiui-s, no limi, a soma po um ingal, obndo-s, dss modo, o fluo do campo aaés da supfíci S, φ S. φ S S n ds A noção d fluo pmi ddui um campo scala a pai d um campo coial..4 Digência Suponha-s um pono qualqu do spaço, P, consid-s uma supfíci fchada, S, qu o coném. Chama-s digência do campo coial no pono P a: di lim V S n ds V Po ouas palaas, calcula-s o fluo qu sai aaés da supfíci fchada qu coném o pono (o símbolo significa ingação sob uma supfíci fchada diid-s plo olum limiado po ssa supfíci, V. Dpois, calcula-s o limi ds quocin quando o olum nd paa o. Isso quial a consida o fluo aaés d supfícis cada mais apadas nglobando o pono. No limi sá-s a calcula o fluo aaés d uma supfíci qu ngloba à usa o pono. S s limi, a digência, fo nulo, o pono é um pono nomal, po ond a água simplsmn passa. Isso significa qu a água qu na po um lado da supfíci sai plo ouo. Conudo, s o limi não fo nulo, o pono é dign do nomal, ou sa, m digência não nula. S fo posiio, isso significa qu sá a s ciada água nss pono, ou não sá a s inoduida do io. S s pnsa no spaço qu s sá a suda como uma banhia, o pono é uma onia ponual. S, ao conáio, a digência fo ngaia, a água sá dsapac nss pono, é um alo. não, a pai do campo coial inicial, dfiniu-s um noo campo scala a cada pono do spaço sá associado um scala, a digência do campo coial. A digência pod calcula-s dicamn a pai do campo coial po uma pssão mamáica qu s ddu dicamn da dfinição. D faco, pimindo o campo coial m coodnadas casianas, m (,,,, (,,,, i (,,,, (,,,, di 3 Filip Sanos Moia 11

15 Física 3 (Q.4.1 Toma d Gn-Osogads Um oma muio impoan é o oma d Gn-Osogads: n ds S V di dv s oma é fácil d nnd a pai do mplo da banhia (fido aniomn, podndo, msmo, chamá-lo d oma das banhias ; s oma di qu a água qu sai aaés da supfíci S qu limia a banhia (supfíci fchada é igual à água qu na plas onias mnos a qu sai plos alos. Há qu cona a água qu na ou sai, qu é acamn a digência nsss ponos ou conuno d ponos, soma, ou, no limi, inga, a odo o olum V. Dio m mos mais pcisos, o oma di qu o fluo d um campo coial aaés d uma supfíci fchada é igual ao ingal da digência do campo sndido ao olum limiado pla supfíci..5 Ciculação d um campo coial. Roacional Uma oua opação sob campos coiais qu sá aqui abodada é a d ciculação do campo ao longo d uma linha. sa opação é smlhan ao ingal d linha, á abodado. Suponha-s uma linha dfina-s um compimno lmna sob a linha. Sa τ o so angn à linha. Sa um campo coial. τ A quanidad τ é obida pocando na dicção da angn muliplicando plo compimno. sa quanidad dá a ciculação da água, s fo o campo d locidad da água, ao longo do compimno. Paa calcula a ciculação ao longo da linha, haia qu soma sas ciculaçõs lmnas, no limi, inga, obndo-s C τ d A noção d ciculação pmi dfini, a pai do campo coial, um noo campo scala. Suponha-s um pono no spaço P consid-s uma dicção dfinida po um so n. Consid-s uma linha fchada num plano ppndicula a n, nglobando o pono P. 3 Filip Sanos Moia 1

16 Física 3 (Q n P Dfin-s como componn d um co, chamado oacional do campo, sgundo n, como τ d o n lim Calcula-s, assim, a ciculação do campo ao longo da linha fchada, diid-s pla áa limiada pla linha obndo-s o limi quando nd paa o. Isso quial a consida linhas fchadas cada mais ausadas ao pono P. S o limi fo nulo, iso é, s o oacional não i componn sgundo a dicção dfinida po n, isso significa qu não há ciculação na linha. Mas, s fo não nulo, no limi, quando a linha s fcha cada mais, isso significa qu há um óic d um dmoinho no pono qu m componn sgundo n pooca oação da água na linha. Agoa, sá-s a associa, a cada pono, um noo co, poano, a dfini um noo campo, o oacional do campo inicial. Pcisamn poqu é um co, ai dicção snido. Como a digência pod s nndida como dando a quanidad d água qu na ou sai, spciamn numa onia ou alo, o oacional pod s nndido como uma colh qu pooca uma oação da água m ono d si pópia. Naualmn, m-lh associada uma dicção snido, a l ao óic qu cia. O oacional ambém s pod calcula dicamn a pai do campo coial. A pai da dfinição, ddu-s, paa um campo psso m coodnadas casianas o i m qu o dminan d s dsnolido sgundo a pimia linha, ficando o i. Andndo à dfinição d poduo coial, é imdiao consaa qu o 3 Filip Sanos Moia 13

17 Física 3 (Q is um oma qu laciona um campo coial com o su oacional, o oma d Sos τ d S o n ds O oma nnd-s bm pnsando o qu aconc numa chána d café, sndo, po isso, aciál chama-lh oma das chánas d café. Suponha-s, não, qu s pnd calcula a ciculação do café ao longo do bodo da chána; qu di, o pcuso é o bodo da chána. não, m d s cona as colhs qu s mm na chána. Conudo, nm odas as colhs dão oação como a qu s qu. S s consguiss m uma colh como mosa a figua, m paallo ao plano do bodo, do pis, não s consguia a oação do café como o pndido, po mais qu s odass a colh. Qu iso di qu m d s cona as pas úis das colhs, a sua pocção na nomal ao bodo da chána, o n. Cona significa, no limi, inga a oda a supfíci do bodo., assim, s obém o fluo d colhs, ou fluo do oacional, aaés da supfíci, o n ds. S n m mos mamáicos, o oma di qu a ciculação d um campo coial ao longo d uma linha fchada é igual ao fluo do oacional do campo aaés da supfíci limiada pla linha..6 Dminação d campos coiais Só há duas manias d cia um campo coial: ciando onias /ou alos, ou inoduindo colhs. Pns-s, po mplo, numa banhia chia d água: só há duas manias d a pô m moimno: uma é abi uma onia ou um alo. As paículas d água ão, não, da onia paa o alo. A oua mania é inoduindo uma colh odando-a; as paículas d água andam, não, à ola da colh m cicuio fchado. Dio d ouo modo, só há duas manias d cia um campo coial. Uma é cia ponos d digência não nula. não, as linhas d foça do campo (às quais o campo é angn ão dos ponos d digência posiia paa os ponos d digência ngaia. Oua foma é cia ponos com oacional não nulo. não, as linhas d foça do campo são fchadas sob si. O campo dfinido apnas po ponos d digência 3 Filip Sanos Moia 14

18 Física 3 (Q não nula, chamam-s ioacionais; os dfinidos apnas po ponos d oacional não nulo, chamam-s solnoidais. não, da a digência o oacional do campo coial, é caacia, complamn, o campo..7 Opaçõs sob os campos Dado agoa um campo, scala ou coial, áios ouos campos podm s diados a pai dos campos gadin, digência oacional. Po mplo, é fácil mosa, aplicando as spcias pssõs, qu o gad F O oma das chánas d café implica, imdiaamn, qu C gad F τ d o gad F n ds S A ciculação do gadin d um campo scala ao longo d uma linha fchada é smp nula. Isso implica qu a ciculação n dois ponos quaisqu não dpnd do aco. A A C C 1 C C C C1 ou A gad A F ds gad F ds ou A gad F ds A gad F ds Mosa-s, aé, qu A gad F ds F F A 3 Filip Sanos Moia 15

19 Física 3 (Q Iso é, a ciculação do gadin do campo F do pono A ao pono não dpnd do aco é igual ao alo do campo F no pono d chgada mnos o alo do campo F no pono d paida. Insamn, s um campo coial m ciculação nula num pcuso fchado ou, dio d oua foma, é ioacional, não is um campo scala qu é gadin, iso é o ou τ ds gad F s Galmn não inssa, dado, dmina F, mas sim o su siméico, qu m significado físico: ficando V - F gad V A V chama-s poncial do campo. Oua opação combinada, com inss, é di gad F Andndo a qu F F gadf i F di conclui-s, pondo gad F, qu di gad F F F F Chama-s, a s noo campo, laplaciano do campo scala F, usando o opado nabla, pod sc-s como lap F F 3 Filip Sanos Moia 16

20 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 17 Uma opação idênica pod s dfinida sob um campo coial; chama-s laplaciano d um campo coial, um noo campo coial, cuas componns são os laplacianos das componns do campo inicial. Iso é, s i, m i lap com.

21 Física 3 (Q 3 lcomagnismo 3.1 Campo lécico Consid-s a siuação m qu há duas cagas m dois ponos quaisqu do spaço, disando d si uma disância. ssas duas cagas ão cia n si uma foça, a foça lécica, qu sá d aacção caso as cagas sam d naua sinal conáia sá d pulsão caso sam d igual naua. ssa foça sá cida nas duas cagas. A li d Coulomb di qu F 1 q1 q q1 q 4π ε m qu é o so da linha ca qu un as duas cagas q 1 q, é a consan d Coulomb al apoimadamn Nm C -.Caso sam psns mais d duas cagas, não a foça lécica qu sá cida m cada caga, sá a soma d odas as foças lécicas ciadas po odas as cagas lécicas. F oal F Q i i i q i i i m qu Q é caga considada. S s diidi ssa foça plo alo da pópia caga, obém-s a pssão d um campo ciado plas cagas no pono ond sá a caga: o campo lécico, qu é dado pla quação F Q i q i i i Como s compoa po sa quação, o campo lécico, num dado pono, não dpnd da(s caga(s aí psn(s, mas sim das ouas cagas iinhas dss pono; o campo lécico é um campo io à caga. Dido ao sinal d Q, o campo lécico, num dado pono, pod s conáio ou não à foça lécica cida nssa caga; s a caga fo posiia, não a foça lécica o campo lécico ão o msmo snido a msma dicção; caso a caga Q sa ngaia, não a foça lécica cida nssa caga á a msma dicção do campo lécico nss pono, conudo o snido sá o oposo. Aé agoa, considaam-s cagas cuas disâncias n si são laiamn gands; aconc qu, muias s, as cagas são muio unas m compaação com as disâncias aos ponos do campo; nssa siuação, o sisma d cagas pod s considado conínuo, iso é, assum-s qu o sisma d cagas muio unas sa quialn a uma caga oal disibuída coninuamn num co olum ou numa ca supfíci. Paa calcula o campo lécico d uma disibuição conínua d cagas, diid-s a caga m pqunos lmnos, cada um com uma caga q, calcula-s o campo lécico 3 Filip Sanos Moia 18

22 Física 3 (Q ciado po ssa caga dpois, aplicando o pincípio da sobposição, somam-s odos os campos ciados po odas as cagas, sulando q lim q i i qi i i dq Na aliação dss cálculos é connin a noção d dnsidad d caga; caso a caga Q sa unifommn disibuída po uma linha d compimno l, não a dnsidad d caga po unidad d compimno, ρ Ql, é dada po Q ρ Ql l Caso a caga sa disibuída unifommn po uma supfíci d áa S, não a dnsidad d caga po unidad d áa, ρ QS, é dada po Q ρ QS S Po fim, s a caga si unifommn disibuída po um olum V, não a dnsidad d caga po unidad d olum, ρ QV, é dada po Q ρ QV V Caso a caga não sa unifommn disibuída numa linha, supfíci ou olum, não as dnsidads d caga cospondns são dadas po dq ρ Ql dl dq ρ QS ds dq ρ QV dv ond dq é a quanidad d caga num lmno d linha, supfíci ou olum Linhas do campo lécico Uma foma connin d isualia a configuação d um campo lécico consis m aça cuas qu nham smp, m, qualqu pono, a msma dicção do co campo lécico. ssas linhas, dnominadas linhas do campo lécico, lacionam-s com o co campo lécico,, da sguin foma: a o co campo lécico,, é angn, m cada pono, à linha do campo lécico qu passa plo pono b o númo d linhas, po unidad d áa, qu aassam uma supfíci ppndicula às linhas do campo, é popocional ao alo do campo lécico na gião (iso qu di qu, s i módulo gand, as linhas do campo saão muio unas s o módulo fo pquno as linhas saão mais afasadas. 3 Filip Sanos Moia 19

23 Física 3 (Q S s consida uma caga, q, não as linhas do campo lécico ão o sguin aspco: sa imagm é uma psnação bidimnsional; na alidad as linhas são adiais m odas as dicçõs. No caso d q s posiia, colocando uma caga, q 1, posiia ns campo, sa sá plida pla caga q, plo qu as linhas diigm-s paa foa da caga. No caso d q s ngaia, não ssa caga posiia, q 1, iá s aaída pla caga q, plo qu as linhas do campo, ns caso, diigm-s paa a caga. m qualqu dos casos, as linhas são adiais sndm-s aé ao infinio. As gas paa aça as linhas do campo lécico são as sguins: a as linhas diigm-s das cagas posiias paa as cagas ngaias b o númo d linhas qu sai d uma caga posiia, ou qu s apoimam d uma caga ngaia, é popocional ao módulo da caga c não há cuamno das linhas do campo lécico Poncial lécico A foça lcosáica é consaia. Assim sndo, é possíl associa uma função ngia poncial associada a ssa foça. Quando s coloca uma caga d poa q, num campo lcosáico, a foça sob ssa caga é q ; sa foça é o somaóio d odas as foças indiiduais cidas sob a caga q plas áias cagas qu poocam o campo lécico. Como as foças indiiduais são consaias, não a foça sulan ambém é consaia. O abalho fio pla foça q é igual ao ngaio do abalho fio po um agn no qu dsloca a caga. Considando um dslocamno infinisimal, ds, o abalho fcuado pla foça dw, é q, dw q ds Po dfinição, o abalho fio po uma foça consaia é igual ao ngaio da aiação da ngia poncial, du; não, pod sc-s 3 Filip Sanos Moia

24 Física 3 (Q du q ds No caso d um dslocamno finio da caga d poa, n dois ponos A, a aiação da ngia poncial é dada po U U U A q A ds s ingal, qu s fa sob a cua dscia po q ao dsloca-s d A paa, é um ingal d linha. Como a foça q é consaia, não s ingal não dpnd do pcuso n A. A difnça d poncial n os ponos A, V V A, é dfinida como sndo a aiação da ngia poncial diidida pla caga q : V V A U U q A A ds Como a ngia poncial é um scala, não o poncial lécico ambém é um scala. A úlima quação dfin apnas a difnça d poncial n dois ponos A ; po ouas palaas só m snido as difnças d V. Paa s dmina o poncial lécico, muias s oma-s o alo do poncial lécico nulo, num dado pono connin. O mais usual é consida ss pono colocado no infinio, dindo-s, nss caso, qu o poncial lécico, num dado pono, é igual ao abalho ncssáio, po unidad d caga, paa a uma caga d poa posiia do infinio aé ao pono considado. Fando V A no infinio, o poncial m qualqu pono P é dado po V P P ds Na alidad, V P psna a difnça d poncial n o pono P um pono no infinio. A unidad do poncial lécico é o Vol (V. Uma unidad lacionada com o Vol, é o lcão-ol (V qu é dfinido como a ngia qu um lcão (ou poão adqui ao mo-s aaés d uma difnça d poncial d 1 V; uma qu a caga do lcão é 1, C, m qu 1 V 1, J Oua foma d laciona o poncial lécico com o campo lécico é 3 Filip Sanos Moia 1

25 Física 3 (Q V V V gad V i Li d Gauss A li d Gauss di qu o fluo do campo lécico aaés d uma supfíci fchada é igual à caga lécica conida no inio dssa supfíci a diidi pla pmissiidad do mio, ε, ou sa: Q φ ds. ε S Mais adian ncona-s a ddução dsa li. 3. Con lécica li d Ohm 3..1 Con lécica Smp qu isi um moimno d cagas do msmo sinal numa dada dicção, dis qu há uma con lécica. m mos mais pcisos, suponha-s qu as cagas s mom numa dicção ppndicula a uma dada supfíci; di-s qu a con é igual à aa d passagm d cagas aaés dssa supfíci; s Q fo a quanidad d caga qu passa aaés dssa áa no inalo, a con média, I m, é dada pla aão I m Q S a aa d passagm d caga aia com o mpo, a con ambém aia com o mpo; dfin-s con insanâna, I, como sndo dq I d A unidad da con lécica é o Ampè (A. Po connção, scolh-s como snido posiio da con lécica o snido do moimno das cagas posiias; logo, a con lécica sá uma ganda coial. Dfin-s dnsidad d con como a con po unidad d áa, ou númo d cagas po unidad d áa po unidad d mpo, psna-s po ; a unidad d dnsidad d con é o Ampè / mo (Am -1. I J S 3 Filip Sanos Moia

26 Física 3 (Q S não isi qualqu campo lécico aplicado a um conduo, os lcõs ão sa m consan moimno, colidindo pdominanmn com iõs da d al como no caso das moléculas d um gás a uma dada mpaua. Dpois d uma dada colisão, o lcão m igual pobabilidad d s dsloca m qualqu dicção, com uma locidad qu s maná paicamn consan aé s da uma noa colisão. Sa τ o mpo médio n duas colisõs mpo d colisão. Ao s aplicado um campo lécico,, a locidad qu o poado d caga o lcão, cuo alo da caga s psna po adqui duan ss inalo d mpo é F τ a τ τ m m Dido a sa locidad, dnominada d locidad d aasamno, qu é uma locidad média, considando qu o númo oal d poados é n, a dnsidad d con ona-s consan, é dada po n τ J nd nτ m m Como τ é dpndn do númo d obsáculos da naua dsss obsáculos, ona-s idn qu é consan paa cada maial qu é caacísico d cada maial. não, pod sc-s n τ J m 3.. Rsisência li d Ohm Como s iu na scção anio, pod laciona-s a dnsidad d con com a campo lécico, aaés d À consan n τ J m n τ σ m dá-s o nom d conduiidad lécica d um conduo. Como s pod consaa a conduiidad d um conduo ai dpnd do maial com qu é fio é difn d conduo paa conduo. Pod, assim, sc-s J σ 3 Filip Sanos Moia 3

27 Física 3 (Q sa é a li d Ohm qu afima qu, m muios maiais (n os quais, a maio pa dos mais, a aão n a dnsidad d con o campo lécico é uma consan, qu é indpndn do campo lécico qu pooca a con. Consid-s qu o campo lécico é unifom num conduo d compimno l; pod laciona-s o campo lécico com a difnça d poncial n os ponos mos do conduo po V l Como J I S m σ J I S V l I l V S V 1 σ l S I O inso da conduiidad é a sisiidad psna-s po ρ; ou sa ρ 1 / σ. A úlima quação pod, não, s scia da sguin foma V R I m qu 1 R σ l S é a sisência do conduo a sua unidad é o Ohm (Ω. 3.3 Campo Magnéico O fnómno do magnismo a conhcido dos ggos, quando ss obsaam qu cas pdas, acualmn dnominadas d magni, aaíam pdaços d fo. O co campo magnéico, analogamn ao campo lécico ao campo gaíico, pod s dfinido m função da foça (d naua magnéica cida num copo d poa. A qusão ficaá, assim, duida a dfini qual ss copo. A unidad do campo magnéico é o Tsla (T. Consid-s uma gião do spaço m qu não is qualqu campo lécico ou gaíico; só is um campo magnéico. As piências com o moimno d paículas cagadas lcicamn, nssas giõs, laam às sguins obsaçõs: 3 Filip Sanos Moia 4

28 Física 3 (Q a há uma foça psn, a foça magnéica, qu é popocional à caga q ao módulo da locidad da paícula b o módulo a dicção da foça magnéica dpndm da locidad da paícula da dicção módulo do campo magnéico c quando uma paícula s mo numa paalla ao co campo magnéico, a foça magnéica cida sob a paícula é nula d s o co locidad fi um ângulo θ com o co campo magnéico, a foça magnéica acua numa dicção ppndicula a a ; po ouas palaas, a foça magnéica é ppndicula ao plano dfinido po a foça magnéica cida sob uma caga posiia m snido oposo à foça magnéica cida sob uma caga ngaia qu s moa com o msmo co locidad f s o co locidad fi um ângulo θ com o co campo magnéico, o módulo da foça magnéica é popocional a sn θ. sas obsaçõs podm sumi-s na sguin quação: F m q sa foça m a dicção dada pla dicção d, qu, pla dfinição d poduo coial, é ppndicula a a ; o snido da foça é, assim, dado pla ga da mão diia (ou do saca-olhas. Na scção anio considou-s qu as cagas psns no campo lécico saam paadas. Conudo, como las ão sa suias a uma foça a foça lécica, o mais naual é mom-s; msmo qu, num dado pono, a foça lécica sa nula, s a caga á si m moimno, não la coninuaá a mo-s. Qual a consquência, s alguma, dss moimno? É óbio qu, quando num campo lécico, a caga s mo qu a sua locidad sa influnciada plo campo lécico. Po ouo lado, á s iu qu uma caga m moimno, quando m psnça d campo magnéico, ai sof os fios da isência dss campo. É, assim, naual qu a psnça simulâna d um campo lécico d um campo magnéico, ambém influnci o su moimno. Quando al aconc, is uma foça, a foça d Lon, qu é dada po F L q ( Li d io-saa Uma agulha, quando magniada, é dsiada pla con lécica d um conduo. Um conduo, com uma con pmann, c uma foça sob um íman; al foi dscobo po dois físicos, io Saa. Com as piências qu ss dois físicos fiam, foi possíl chga a uma pssão qu laciona o campo magnéico, num dado pono do spaço, com a con qu o cia. A li d io-saa di qu, s um fio conduo é aassado uma con I, o campo magnéico d num pono P, associado a um lmno do conduo ds, m as sguins popidads: 3 Filip Sanos Moia 5

29 Física 3 (Q a o co d é ppndicula a ds (qu m a msma dicção da con ao co uniáio, diigido do lmno do conduo aé ao pono P b o módulo d d é insamn popocional a, ond é a disância n o lmno do conduo o pono P c o módulo d d é popocional à con ao compimno ds do lmno do conduo d o módulo d d é popocional a sn θ, ond θ é o ângulo n os cos ds. sas obsaçõs laam à li d io-saa qu é dscia pla quação Ids d m m qu m é uma consan sá lacionada com a pmabilidad magnéica, µ, po m µ 4π Assim, a li d io-saa pod s scia como µ Ids d 4 π D noa qu sa li apnas dá o alo do co campo magnéico dido a um pquno lmno do conduo. Paa s dmina o campo magnéico oal,, é ncssáio calcula o ingal m odos os lmnos do conduo m qu há con µ I ds 4π 3.3. Li d Ampè Uma piência muio simpls, dmonsa, com muia idência, qu um conduo com uma con ga um campo magnéico. Nsa piência, colocam-s áias bússolas num plano hoional, na iinhança d um fio conduo compido na ical. Quando não há con no fio, odas as bússolas aponam na msma dicção (na dicção do campo magnéico da Ta, al como spado. Conudo, s o fio fo pcoido po uma con consan fo, odas as bússolas ão dsia-s numa dicção angn a um cículo m ono do fio. As obsaçõs mosam qu a dicção d é a qu é dada pla ga da mão diia. Quando s in a con, os dsios das bússolas ambém são inidos. Uma qu as agulhas das bússolas aponam na dicção d, conclui-s qu as linhas d são cículos m ono do fio. Po simia, o módulo d é o msmo m qualqu pono d um cículo qu nha o cno no fio qu sa num plano ppndicula ao fio. Alando a con a disância ao fio, ifica-s qu é popocional à con insamn popocional à disância ao fio. 3 Filip Sanos Moia 6

30 Física 3 (Q Numa cua cicula cnada no fio, os cos dl são paallos n si, plo qu o poduo dl fica dl. Sob s cículo, m módulo consan. Assim sndo, o poduo dl ao longo d oda a linha é dado po C I µ dl dl (π I π µ C s sulado é conhcido com li d Ampè foi obido paa um caso paicula d um cículo nolndo um fio. Conudo, sa li pod s aplicada ao caso gal, no qual uma cua fchada abiáia é pcoida po uma con consan. Po ouas palaas, a li d Ampè di qu a ciculação do campo magnéico ao longo d uma linha fchada é igual ao poduo da con consan oal qu passa po qualqu supfíci limiada po ssa cua fchada, pla pmabilidad magnéica do mio. sa li só é álida paa cons consans. 3.4 Campo lcomagnéico quaçõs d Mawll O campo lcomagnéico é fomado po dois campos coiais: o campo lécico o campo magnéico. São caaciados dfinindo as suas onias ( alos as suas colhs, iso é, a sua digência o su oacional. As quaçõs qu fam ssas dfiniçõs são as quaçõs d Mawll: ρ di di ε o o µ J ε µ Nsas quaçõs, ρ é a dnsidad d caga J é a dnsidad d con. S ρ m fo a dnsidad d caga mól fo a locidad dssa caga, J ρ m Po ouo lado, a con qu aassa uma supfíci é o fluo d dnsidad d con aaés da supfíci: I S S J n ds ε, a pmissiidad lécica µ, a pmabilidad magnéica, são consans caacísicas do mio ond s sudam os campos. As quaçõs d Mawll podm, agoa, l-s d foma claa. 3 Filip Sanos Moia 7

31 Física 3 (Q ρ D di, conclui-s, qu os ponos d dnsidad d caga posiia são onias do ε campo lécico os ponos d dnsidad d caga ngaia, os alos. As cagas são, nglobando uma caacísica do mio, a pmissiidad lécica, ε, as onias os alos do campo lécico. Mas o campo lécico ambém é ciado po colhs. D o, conclui-s qu a diada m odm ao mpo do campo magnéico é colh do campo lécico. O campo magnéico não é ciado po onias alos, pois di. Não há caga magnéica quialn à caga lécica. Mas é ciado po colhs. D o µ J ε µ, conclui-s qu há dois ipos d colhs: a dnsidad d con a diada m odm ao mpo do campo lécico. O campo magnéico só é ciado po colhs, é solnoidal. É usual dfini dois noos campos a pai dos campos, aaés das quaçõs D ε µ H D chama-s dslocamno lécico H ciação magnéica. sas duas quaçõs dim-s quaçõs consiuias. Uma cia quação laciona, nos mios conduos, a dnsidad d con com o campo lécico: J σ m qu σ é a conduibilidad do conduo. sa quação é oua foma d pimi a li d Ohm. Com ss dois noos campos, as quaçõs d Mawll podm s sc-s: di D ρ di o D o H J Rpa-s qu as consans caacísicas da maéia, ε µ, dsapacam das quaçõs. nano, mos sado a fala do qu s passa num mio caaciado po uns cos ε µ. As quaçõs, no nano, são álidas nas fonias n os mios dlas iam-s as sguins quaçõs d fonia 3 Filip Sanos Moia 8

32 Física 3 (Q ε, µ 1 H 1 H ε 1, µ 1 D 1n D n 1n n Ou sa, na fonia d dois maiais, as componns angnciais d H são iguais bm como as componns nomais d D Siuaçõs sacionáias Uma pa impoan do sudo do lcomagnismo é o das siuaçõs sacionáias. São as siuaçõs m qu o compoamno macoscópico não é alado no mpo. Assim sndo, as diadas m odm ao mpo nas quaçõs d Mawll são nulas, ficando di D ρ di o o H J O campo magnéico, agoa chamado magnosáico, coninua a s solnoidal o campo lécico é agoa ioacional, só d onias alos, chamado agoa lcosáico. O campo lécico, agoa ndo oacional nulo, é gadin d um campo scala. Tomando o siméico, como iso aás, m gad V A V chama-s poncial lécico ou nsão lécica, al como iso aniomn, V V A A ds Os omas das chánas d café das banhias podm aplica-s aos campos. Aplicando o oma das banhias ao campo lécico D n ds di D dv ρ dv S V V ond Q é a caga oal no olum. sa é a li d Gauss, qu di qu o fluo do dslocamno lécico aaés d uma supfíci fchada é igual à caga oal no olum dfinido pla supfíci. Aplicando ao campo magnéico, conclui-s qu Q 3 Filip Sanos Moia 9

33 Física 3 (Q n ds di dv S V Aplicando o oma das chánas d café ao campo lécico, obém-s ds o n ds s τ S O msmo oma aplicado ao campo magnéico sula m H τ ds o H n ds J n ds I s S S m qu I é a con oal qu aassa a supfíci limiada pla linha. sa é a li d Ampè qu di qu a ciculação do campo ciação magnéica ao longo d uma supfíci fchada é igual à con qu aassa a supfíci limiada pla cua. Das quaçõs d Mawll é possíl ia as pssõs dos campos ciados po uma caga ponual: s P Q u Paa o campo lécico sula 1 4 πε Q u S s i um olum cagado com dnsidad ρ, não o campo ciado plo olum é o ingal dos campos ciados po cagas lmnas ρ dv. V dv u P 1 ρ dv u 4πε V ρ O campo magnéico só é ciado po cagas m moimno. 3 Filip Sanos Moia 3

34 Física 3 (Q P µ u Q 4 π Q u Daqui pod passa-s paa o campo ciado po uma con num cicuio I d l P s µ dl u I 4π u s sa pssão paa o campo é a li d io-saa. É possíl dmina as foças qu ss campos coiais ciam. A foça poocada plo campo lécico sob uma caga q é F q O campo magnéico só acua sob oua caga q s la i uma locidad F q s capíulo á inha sido abodado aniomn, mas aqui f-s uma anális mais analíica do qu inha sido não dscio Siuação Gal A siuação gal é mais compla, mboa muios dos sulados anios sam álidos. As quaçõs d Mawll nos campos são, não, ρ di di ε o o µ J ε µ Uma foma d aboda o poblma é a sguin: pgu-s na quação o 3 Filip Sanos Moia 31

35 Física 3 (Q Apliqu-s o oacional aos dois mmbos da quação o o o Iso não foi aado aquando do aamno d opaçõs múliplas, mas é fácil mosa, a pai das spcias pssõs, qu o o gad di Po ouo lado, o sgundo mmbo pod sc-s como o o A quação fica, não gad di o Subsiuindo das quaçõs d di o, m gad ρ µ J ε µ ε qu pod s scio na foma 1 J ε µ gad ρ µ ε Aplicando o opado oacional à quação qu dfin ε µ µ o J o, ncona-s sas duas quaçõs gonam o compoamno dos campos. Agoa não s ião aá-las com sa gnalidad, mboa isso sa fio mais ad. sas são quaçõs qu gm dsd o compoamno d cicuios com cons aiáis no mpo aé aos campos lcomagnéicos qu a pai d aí s pocam no spaço qu consium, como s á, ondas lcomagnéicas. Paa á, ai s abodado o poblma da popagação dss campos no spaço long dos cicuios qu os ciaam, não sndo abodado, poano, o poblma da adiação das annas. 3 Filip Sanos Moia 3

36 Física 3 (Q As quaçõs ficam, não, uma qu no spaço não há cagas ou dnsidads d cons ( ρ J, ε µ ε µ É fácil como é qu os campos s popagam. D faco, as quaçõs d Mawll ficam, na ausência d cagas ou cons na foma di di o o ε µ Os dois campos são, agoa, ambos solnoidais. A popagação dos campos dá-s poqu a diada m odm ao mpo d cada um ai sndo a colh do ouo. 3.5 Polaiação Quando um maial é colocado num mio qu nha um campo lécico psn, aconc um fnómno m qu ss maial fica cagado lcicamn com caga posiia d um lado ngaia do ouo. Isso oco dido a um dslocamno dos lcõs maioiaiamn paa um dos lados da molécula po fio dss campo lécico. Po ouo lado, há moléculas m qu is um dipolo lécico pmann, oiginando, assim, um dipolo pmann. A polaiação, P, d um maial é dfinida como o momno do dipolo po unidad d olum. Pod, ambém, s scia da sguin foma P χ ε m qu χ é a suscpibilidad lécica do maial. A caga po unidad d áa sob a supfíci d um campo polaiado é igual à componn d polaiação P na dicção da nomal à supfíci do copo. O dslocamno lécico laciona-s com P do sguin modo: D P ε ε χ χ ε quaçõs d Mawll na Maéia A dnsidad d cagas oal, agoa, é: ( ε ε 3 Filip Sanos Moia 33

37 Física 3 (Q ρ oal ρ l ρ P m qu ρ l é a dnsidad d caga li (m maiais conduos ρ P é a dnsidad d caga m maiais polaiados. Assim sndo, a pimia quação d Mawll m 1 ρ ρl P ε ε ε D ρ A sgunda a cia quação d Mawll não sofm alaçõs. A quaa quação d Mawll á qu m cona J J cond J mag J pol li Logo, µ J P M ε cond µ J cond D M A D chama-s dnsidad d con d dslocamno. Po ouo lado µ ( H M Logo µ ( M ( H µ H J cond J ds. 3 Filip Sanos Moia 34

38 Física 3 (Q 4 Ondas 4.1 Inodução Imagin-s a sguin siuação: ξ f ( a ξ f ( ξ f ( - a S a, m qu é o mpo, obém-s uma cua caminhan, m qu ξ f ( psna uma cua qu s mo paa a diia ξ f ( psna uma cua qu s mo paa a squda; m ambos os casos, psna uma locidad, chamada locidad d fas. Rsumidamn, pod sc-s ξ (, f ( ± sa é uma psnação d um moimno ondulaóio. ξ pod psna um gand númo d quanidads físicas, ais como a dfomação num sólido, a pssão num gás, um campo lécico ou magnéico, c. Um caso paiculamn inssan é o caso d ξ s uma função sinusoidal: ξ (, ξ sin ( - Subsiuindo po π/, m ξ (, ξ sin ( π/ - ξ sin [( - π] ξ sin ( - ξ (, A π/ é chamado o píodo spacial, ou compimno d onda, λ λ π / é dsignado po númo d onda. Rscndo a quação, m ξ (, ξ sin ( - ξ sin ( - m qu π / λ como πf, m λ f. a 3 Filip Sanos Moia 35

39 Física 3 (Q Anális d Foui do moimno ondulaóio D acodo com o oma d Foui, qualqu moimno piódico pod s psso como uma sobposição d moimnos hamónicos simpls d fquências,,..., n,... (ou píodos P, P/,..., P/n,... O msmo sulado ambém s aplica a um moimno ondulaóio piódico. Sa ξ (, f ( - um moimno ondulaóio piódico. Tal pod s scio da sguin foma: ξ (, f ( - f [ ( ± P] f ( ± P Iso significa qu, paa um dado mpo, ξ p-s quando aumna ou diminui P, P,..., np,... Ds modo, s m d s aia, s aia plo alo λ P, a onda p-s no spaço. Logo, um moimno ondulaóio no mpo, ambém o é no spaço. Sa ξ f ( f( λ uma função piódica no spaço. Usando o oma d Foui, mos ξ f ( a a cos a b sin b 1 1 cos... a sin... b n n cosn... sin n... ou sa ξ a an cos( n bn sin( n n 1 n 1 ond π / λ. Os coficins dsa pssão são dados po: a a b n n 1 P P P P P P f ( d f ( cos( n d f ( sin( n d S 3 Filip Sanos Moia 36

40 Física 3 (Q ξ f ( a a cos( a b sin ( b 1 1 cos(... a sin (... b n n cosn(... sin n(... como ξ f ( a a cos( a b sin( b 1 1 cos(... a sin (... b n n cosn(... sin n(... ou sa an cosn( bn sin n( n 1 n 1 ξ a. Iso indica qu qualqu moimno ondulaóio pod s scio como uma sobposição d moimnos ondulaóios com fquências,,..., n,... compimnos d onda λ, λ,..., nλ, Moimnos hamónicos Consid-s uma mola qu liga hoionalmn uma massa m a uma pad, udo assn numa msa sm aio como mosa a figua. l m A mola m compimno li l uma consan d igid. Maqu-s um io dos com oigm na posição da massa quando a mola sá com o su compimno igual ao compimno li, iso é, m pouso. Quando a mola é sicada ou compimida paa um compimno l, ag com uma foça dada po F l l ( O snido da macação da foça é o snido posiio do io dos. Isso significa qu, quando o é posiio, a foça é ngaia, iso é, quando a mola é sndida, a foça com qu a mola ag é ngaia, nando po o compimno li. Da msma foma, s é ngaio, a foça é posiia, iso é, quando a mola é compimida ag com uma foça qu na po o compimno li, conaiando a compssão. O moimno da massa é gido pla quação d Nwon 3 Filip Sanos Moia 37

41 Física 3 (Q d F m d Subsiuindo a foça, m d m d ou ainda d m d d d m Taa-s d uma quação difncial, cua ingação inodu duas consans, uma qu a quação é do º gau (nol a sgunda diada m odm a. S a quação fo scia na foma d d m ê-s qu a solução ( é qualqu função al qu a sgunda diada m odm ao mpo sa popocional ao ngaio da pópia função. Uma solução é fomada pla sinusóid D faco Acos( δ d d A sin d d ( δ [ Acos( δ ] Compaando com a quação do moimno da mola d d d d m 3 Filip Sanos Moia 38

42 Física 3 (Q ê-s qu são soluçõs da quação, as sinusóids ais qu m m A solução é, assim Acos δ m Rpa-s qu não foi colocada qualqu sição à ampliud da sinusóid A nm à fas inicial ( s, δ; sas são, aqui, as duas consans qu a quação do º gau implica. A solução é uma família d funçõs paamiadas plas duas consans. O moimno paicula dpnd das condiçõs iniciais do moimno, a pai das quais s dminam as consans. Suponha-s qu o moimno é inicialiado sicando a mola paa uma posição qu é impimida uma locidad inicial. sss ão s os alos d paa s, iso é, sabndo qu Acos d d com s, m ( δ A sin ( δ Acosδ A m sinδ Diidindo sas duas quaçõs, uma pla oua, m m gδ ou 3 Filip Sanos Moia 39

43 Física 3 (Q δ acg m Po ouo lado, scndo as quaçõs na foma A cosδ A m sinδ lando ao quadado ambas as quaçõs somando-as, chga-s, finalmn, à sguin quação m A. Viu-s assim qu uma quação do ipo d d m m po solução Acos( δ m qu A δ são dminados a pai das condiçõs iniciais Solução compla Um númo complo idnifica um pono num plano m qu o io das abcissas é o io dos númos ais o io das odnadas é o io dos númos imagináios. A unidad do io al é 1 a unidad do io imagináio é. Rpa-s qu s pod pnsa no númo complo como a soma d dois compimnos: a, mdida no io al, b, mdida na ppndicula, iso é, no io imagináio. Sndo assim, muliplica po significa oda o sgmno d 9º. φ a b É imdiao do oma d Piágoas qu 3 Filip Sanos Moia 4

44 Física 3 (Q a b da dfinição d angn b g φ a Também s pod sc a b m função d φ: a cosφ b sinφ Daqui sula oua mania d sc o númo complo: Sabndo qu ( cosφ sinφ c cosφ sinφ cos φ sinφ φ pod sc-s um númo complo da sguin foma φ c sa noação pmi qu nnd um númo complo do sguin modo: paa maca o pono a qu cospond, oma-s um compimno sgundo o io al oda-s um ângulo φ. Muliplica po φ significa oda a pai do io dos d um ângulo φ. A quação do moimno hamónico admi como solução famílias d funçõs d aiál compla do ipo A ( δ sa solução não m significado al, mas é fácil ai a solução qu m significado al a pai dsa. A solução compla é do ipo A ( δ Acos ( δ Asin( δ Poano, a solução com significado al é a pa al da solução compla, po ouas palaas a solução al é a qu is no mundo al. Impoa salina qu, s hou ncssidad d fcua opaçõs mamáicas sob a solução al do ipo sinusoidal, é possíl fcua as opaçõs sob a solução compla ai dpois a pa al, o qu facilia muio os cálculos m inúmas siuaçõs. 3 Filip Sanos Moia 41

45 Física 3 (Q 4.3 Fasos A solução compla A ( δ pod s dcomposa m dois facos A δ S s i a gaania d qu s abalha com uma única fquência, consan igual paa áias soluçõs, fa snido psna a solução apnas plo pimio faco. Quando al sucd, psna-s a solução po um faso: A δ Paa s ob a solução sinusoidal a qu m significado na alidad m d s m mn qu o faso é suposo oda com uma locidad angula. não, s s pnd o alo da solução sinusoidal no insan, m d s oda o faso d um ângulo acha a pa al do númo complo cospondn. 4.4 Coda m ibação quação d onda Suponha-s uma coda qu pod moimnos anssais num único plano d pquna ampliud. Vai-s supo qu qualqu moimno só pod dco anssalmn ao compimno da coda m pouso. A coda sá submida a foça d acção F. Analis-s o qu s passa com um compimno d coda. A F θ θ 1 F A foça qu as pas da coda não psnadas cm, à squda à diia do oço qu sá a s analisado, só pod s angn ao oço, poqu uma coda flíl como a considada só ansmi foça d acção a foça d acção F. Assim sndo, a foça qu acua sgundo, dicção única do moimno possíl é, da figua 3 Filip Sanos Moia 4

46 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 43 1 sin sin θ θ F F F S os ângulos θ 1 θ fom gaanidamn pqunos, o sno oma alos póimos da angn pod sc-s ( 1 θ gθ g F F Po dfinição d diada, a angn do ângulo fio pla angn à cua ( com o io dos é a diada da função ( no pono. Dss modo A d F F As diadas são paciais poqu é função d do mpo. não, s µ fo a massa po unidad d compimno da coda, a quação d Nwon paa o moimno sgundo é F µ Subsiuindo, fica F F A A µ µ Fando nd paa o, obém-s, po dfinição d diada, F µ qu s pod sc na foma F µ sa é uma quação às diadas paciais. A solução á não é uma simpls família d funçõs paamiada po consans; é oda a class d funçõs ξ( ±

47 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 44 fomada po odas as funçõs cuo agumno é ±, com >. Paa a dmonsação dsa afimação, consid-s o caso do agumno α. α α α α α α α α α α α α Subsiuindo na quação, sula α µ α F O qu é dadio s F / µ Paa o agumno, obém-s o msmo sulado. As funçõs do ipo ξ( ± chamam-s funçõs d onda ou ondas. O moimno da coda é um moimno m qu são popagadas ondas. 4.5 Ondas lcomagnéicas As quaçõs dos campos lécico magnéico, como iso aniomn, são dadas po µ ε µ ε

48 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 45 Andndo à dfinição d laplaciano d um co, ê-s qu sas duas quaçõs coiais s ansfomam m sis quaçõs scalas: µ ε µ ε µ ε µ ε µ ε µ ε Dsnolndo os laplacianos, as quaçõs scm-s µ ε µ ε µ ε

49 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 46 µ ε µ ε µ ε São sis quaçõs d onda smlhans à quação qu s iu, a uma aiál, paa uma coda iban F µ Agoa, cada uma das quaçõs é a ês aiáis. Viu-s qu, no caso d uma aiál, a solução pod s pssa como um ingal duplo d soluçõs lmnas, chamada onda hamónica do ipo cos( δ ± A Agoa pod-s di qu qualqu solução d cada uma das sis soluçõs scalas pod s pssa como um ingal quáduplo (m,, d soluçõs lmnas do ipo, po mplo, paa a componn cos( δ ± ± ± Chama-s a sa solução, uma onda plana monocomáica, OPM. Dfinindo um co K, co d onda i K sndo o co d posição do pono dado po i pod-s sc a OPM na foma

50 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 47 cos( cos( cos( Z Z Y Y K K K δ δ δ ± ± ± cos( cos( cos( Z Z Y Y K K K ψ ψ ψ ± ± ±. Pimio ai-s confima qu a OPM é solução quais as condiçõs a impo a a K. Tal ai s fio paa a componn, sndo as conclusõs álidas paa as ouas componns. A quação é µ ε cos( cos( K δ δ ± ± ± ± Tom-s, po mplo, a solução com o sinal ngaio. não, K K K cos( sin( ( sin( δ δ δ Da msma foma, conclui-s-ia qu Po ouo lado

51 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 48 K K K cos( sin( ( sin( δ δ δ Subsiuindo na quação, m µ ε Diidindo po, a quação é saisfia pla OPM s µ ε µ ε 1 K ond K é chamado d númo d onda, o módulo do co d onda K, a fquência angula. K A onda plana monocomáica pod s psnada, al como foi fio com a onda hamónica a uma dimnsão na coda, na foma compla ( ( ( Z Y K Z K Y K δ δ δ ( ( ( Z Y K Z K Y K ψ ψ ψ Sab-s, á, qu paa ncona os campos ais m qu s poca os complos no io al, iso é, oma os co-snos dos agumnos das ponnciais. Inclusi, pod psna-s a solução fasoialmn

52 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 49 ( ( ( Z Y K Z K Y K δ δ δ ( ( ( Z Y K Z K Y K ψ ψ ψ Sab-s, agoa, qu paa calcula o campo al, num co insan, é pciso muliplica o faso po, odando d um ângulo acha os co-snos. No-s, ambém, qu fasoialmn é possíl simplifica a noação. D faco, m odos aquls fasos há uma pacla comum, K. não, paa o campo lécico, s s dfini um faso coial i Z Y Z Y δ δ δ pod sc-s, paa o campo odo, K Da msma foma, fando i Z Y Z Y ψ ψ ψ sula K. A OPM popaga-s no spaço; inssa sab qual a supfíci cuos ponos êm, no msmo insan, os msmos alos do campo. asa consida as sis quaçõs scalas como s scam ao pincípio paa nnd qu ssas supfícis d igual alo do campo, chamadas fns d onda, são dadas po - K consan ou, paa o msmo insan,

53 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 5 K consan Andndo à figua, ê-s qu odos os ponos pncns a um plano nomal a K pocam-s na dicção d K no msmo pono. Iso é, a fn d onda é plana. A onda plana monocomáica di-s plana usamn po isso. Di-s monocomáica poqu nol uma única fquência (uma única co no spco isíl, como s á a sgui. A onda popaga-s, poano, na dicção dfinida po K as fns d onda, m qu os campos da onda êm, m cada insan, o msmo alo, são planas ppndiculas a K. Há, ambém, laçõs n os cos do campo lécico, do campo magnéico do co d onda K. As OPM s podm s pssas na foma compla como i Z Y Z Y ( ( ( δ δ δ i Z Y Z Y ( ( ( ψ ψ ψ As quaçõs d Mawll são ε ρ di di o J o µ ε µ Subsiuindo, po mplo, a OPM na quação do oacional d. Fica, po um lado i o m qu

54 Física 3 (Q 3 Filip Sanos Moia 51 ( ( ( Z Y Z Y δ δ δ Como a opação d dia, paa, cospond a muliplica po, m i o A opação d dia paa cospond a muliplica po paa cospond a muliplica po. Andndo à dfinição d poduo coial, pod sc-s K o Po ouo lado Subsiuindo na quação d Mawll o m K ou K Fando o msmo paa as ouas quaçõs d Mawll, sula D K K K D H K